中考数学专题二 分类讨论思想复习题及答案
中考数学专题复习《圆中的分类讨论、存在性问题》测试卷(附带答案)
中考数学专题复习《圆中的分类讨论 存在性问题》测试卷(附带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1．如图 点A B C 是O 上的三个点 若76AOB ∠=︒ 则C ∠的度数是（ ）A ．76︒B ．38︒C ．24︒D ．33︒2．如图 ⊙O 是ABC 的内切圆 点D E 分别为边AB AC 、上的点 且DE 为⊙O 的切线 若ABC 的周长为25 BC 的长是9 则ADE 的周长是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．163．如图 若O 是ABC 的内切圆 且50A ∠=︒ 则BOC ∠的度数为（ ）A ．100︒B ．105︒C ．115︒D ．130︒4．同一个圆的内角正三角形 正方形 正六边形的边心距的比为（ ）A ．23B 32C ．1:2:3D ．3:2:15．如图 四边形ABCD 内接于O 若它的一个外角6568DCE ABC ∠=︒∠=︒， 则A ∠的度数为（ ）A ．112︒B ．68︒C ．65︒D ．52︒6．如图 线段AB 为O 的直径 点C 在AB 的延长线上 4AB = 2BC = 点P 是O 上一动点 连接CP 以CP 为斜边在PC 的上方作Rt PCD 且使60DCP ∠=︒ 连接OD 则OD 长的最大值为（ ）A B ．C ．1 D ．4二 填空题7．已知O 的半径为3 且A B 是O 上不同的两点 则弦AB 的范围是 ． 8．一个圆锥的轴截面平行于投影面 圆锥的正投影是边长为2的等边三角形 那这个圆锥的表面积是 ．9．如图 四边形ABCD 内接于O AB 是O 的直径 过C 点的切线与AB 的延长线交于P 点．若40CPA ∠︒＝ 则ADC ∠的度数为 ．10．如图 已知ABC 内接于O BC 是O 的直径 AD 平分BAC ∠ 交O 于D 若4BC = 则CD 的长为 ．11．如图 在等腰直角三角形ABC 中 90BAC ∠=︒ 4AB AC == 点D 是AC 边上一动点 连结BD 以AD 为直径的圆交BD 于点E 则CE 长度的最小值是 ．12．如图 在ABC 中 90C ∠=︒ 3AC = 4BC = 则ABC 的内切圆半径r = ．三 解答题13．如图 在O 中 AB AC = 120A ∠=︒ 求ABC ∠的度数．14．如图 在O 中 D E 分别为半径OA OB 、上的点 且AD BE =．C 为弧AB 上一点 连接CD CE CO 、、 且CD CE =．求证：C 为 AB 的中点．15．如图 O 的半径OD ⊥弦AB 于点C 连接AO 并延长交O 于点E 连接EC ．若82AB CD ==，，求EC 的长．16．如图 AB 是O 的直径 点C 是劣弧BD 中点 AC 与BD 相交于点E ．连接BC BCF BAC ∠=∠ CF 与AB 的延长线相交于点F ．(1)求证：CF 是O 的切线(2)求证：ACD F ∠=∠(3)若10AB = 6BC = 请直接写出AD =_____． 17．如图 AB 是O 的直径 AC 是O 的弦 2AB = 30BAC ∠=︒．在图中作弦AD 使1AD = 并求CAD ∠的度数．18．如图 在平面直角坐标系中 O 为坐标原点 点A B 的坐标分别为()()8006，、，．动点Q 从点O 动点P 从点A 同时出发 分别沿着OA 方向 AB 方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动 运动时间为()()s 05t t <≤．以点P 为圆心 PA 长为半径的P 与AB OA的另一个交点分别为C D 连接CD QC 、．(1)求t 为何值时 点Q 与点D 重合(2)若P 与线段QC 只有一个公共点 请直接写出t 的取值范围． 参考答案： 1．B2．A3．C4．A5．C6．C7．06AB <≤8．3π9．115︒/115度10．211．252/225-+12．113．30︒15．1316．(3)145．17．CAD ∠的度数为30︒或90︒18．(1)4013t =时 点Q 与点D 重合 (2)0167t <≤或40513t <≤。
中考数学专题《分类讨论思想在压轴题中的应用》原卷
专题20 分类讨论思想在压轴题中的应用分类讨论思想是一个非常重要的数学思想，在中考数学压轴题中考查频繁，例如在解决中考压轴题中的存在性问题时，要用到分类讨论思想：1.在解决等腰三角形存在性问题时，需要讨论腰和底的多种情况；2.在解决直角三角形存在性问题时，需要对直角的情况进行讨论；3.在解决平行四边形和矩形、菱形、正方形的存在性时，需要对邻边或对边的情况进行讨论；4.在解决相似三角形存在性问题时，需要对对应边和对应角进行分类讨论；5.压轴题中其他的问题，例如线段的数量和位置关系等，有时也需要进行分类讨论。
（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图像交x 轴于点()1,0A -，()5,0B ，交y 轴于点C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图1，点M 从点B BC 向点C 运动，点N 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB 向点B 运动，点M ，N 同时出发．设运动时间为t 秒（05t <<）．当t 为何值时，BMN V 的面积最大？最大面积是多少？(3)已知P 是抛物线上一点，在直线BC 上是否存在点Q ，使以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 坐标；若不存在，请说明理由．（1）用待定系数法可求得二次函数的表达式为；（2）过点M 作ME x ⊥轴于点E ，设BMN V 面积为S ，由ON t =，BM =，可得5BN t =-，45ME BMsin t =︒==，即得()21115255()22228S BN ME t t t =⋅=-⋅=--+，由二次函数性质可得当52t =秒时，BMN V 的面积最大，求得其最大面积；（3）由()5,0B ，()0,5C 得直线BC 解析式为5y x =-+，设(),5Q m m -+，()2,45P n n n -++，分三种情况进行讨论求解．【答案】(1)245y x x =-++(2)当52t =时，BMN V 的面积最大，最大面积是258(3)存在，Q 的坐标为()7,12-或()7,2-或()1,4或()2,3【详解】（1）将点()1,0A -，()5,0B 代入2y x bx c =-++中，得010255b c b c =--+⎧⎨=-++⎩，解这个方程组得45b c =⎧⎨=⎩，∴二次函数的表达式为245y x x =-++；（2）过点M 作ME x ⊥轴于点E ，如图：设BMN V 面积为S ，根据题意得：ON t =，BM =．()5,0B ，5BN t ∴=-，在245y x x =-++中，令0x =得5y =，()0,5C ∴，5OC OB ∴==，45OBC ∠∴=︒．45ME BMsin t ∴=︒==，()22111515255()2222228S BN ME t t t t t ∴=⋅=-⋅=-+=--+，05t << ，∴当52t =时，BMN V 的面积最大，最大面积是258；（3）存在点Q ，使以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：由()5,0B ，()0,5C 得直线BC 解析式为5y x =-+，设(),5Q m m -+，()2,45P n n n -++，又()1,0A -，()0,5C ，①当PQ ，AC 是对角线，则PQ ，AC 的中点重合，21054505m n m n n +=-+⎧∴⎨-+-++=+⎩，解得0(m =与C 重合，舍去)或7m =-，()7,12Q ∴-；②当QA ，PC 为对角线，则QA ，PC 的中点重合，21050455m n m n n -=+⎧∴⎨-++=-+++⎩，解得0(m =舍去)或7m =，()7,2Q ∴-；③当QC ，PA 为对角线，则QC ，PA 的中点重合，20155450m n m n n +=-⎧∴⎨-++=-+++⎩，解得1m =或2m =，()1,4Q ∴或()2,3，综上所述，Q 的坐标为()7,12-或()7,2-或()1,4或()2,3．本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）已知抛物线2y x bx c =++．(1)如图①，若抛物线图象与x 轴交于点()3,0A ，与y 轴交点()0,3B -．连接AB ．①求该抛物线所表示的二次函数表达式；②若点P 是抛物线上一动点（与点A 不重合），过点P 作PH x ⊥轴于点H ，与线段AB 交于点M ．是否存在点P 使得点M 是线段PH 的三等分点？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(2)如图②，直线43y x n =+与y 轴交于点C ，同时与抛物线2y x bx c =++交于点()3,0D -，以线段CD 为边作菱形CDFE ，使点F 落在x 轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE 没有交点，求b 的取值范围．（1）①直接用待定系数法求解；②先求出直线AB 的解析式，设点M (m ，m -3)点P （m ，m 2-2m -3）若点M 是线段PH 的三等分点，则13HM HP =或23HM HP =，代入求解即可；（2）先用待定系数法求出n 的值，再利用勾股定理求出CD 的长为5，因为四边形CDFE 是菱形，由此得出点E 的坐标．再根据该抛物线与线段CE 没有交点，分两种情况（CE 在抛物线内和CE 在抛物线右侧）进行讨论，求出b 的取值范围．【答案】(1)①2=23y x x --，②存在，点P 坐标为(2，-3)或（12，-154），理由见解析(2)b <32-或b >133【详解】（1）①解：把()3,0A ，()0,3B -代入2y x bx c =++，得20333b c c ⎧=++⎨-=⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩，∴2=23y x x --②解：存在，理由如下，设直线AB 的解析式为y =kx +b ，把()3,0A ， ()0,3B -代入，得303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩，∴直线AB 的解析式为y =x -3，设点M (m ，m -3)、点P （m ，m 2-2m -3）若点M 是线段PH 的三等分点，则13HM HP =或23HM HP =，即232331m m m -=--或232332m m m -=--，解得：m =2或m =12或m =3，经检验，m =3是原方程的增根，故舍去，∴m =2或m =12∴点P 坐标为(2，-3)或（12，-154）（2）解：把点D （-3，0）代入直线43y x n =+，解得n =4，∴直线443y x =+，当x =0时，y =4，即点C （0，4）∴CD =5，∵四边形CDFE 是菱形，∴CE =EF =DF =CD =5，∴点E （5，4）∵点()3,0D -在抛物线2y x bx c =++上，∴（-3）2-3b +c =0，∴c =3b -9，∴239y b x bx =++-，∵该抛物线与线段CE 没有交点，分情况讨论当CE 在抛物线内时52+5b +3b -9<4解得：b <32-当CE 在抛物线右侧时，3b -9>4解得：b >133综上所述，b <32-或b >133此题考查了二次函数和一次函数以及图形的综合，解题的关键是数形结合和分情况讨论．1．（2023·安徽宿州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为()8,4，OA OC ，分别落在x 轴和y 轴上，将OAB V 绕点O 逆时针旋转，使点B 落在y 轴上，得到ODE V ，OD 与CB 相交于点F ，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点F ，交AB 于点G ．(1)求k 的值．(2)连接FG ，则图中是否存在与FBG △相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行证明；若不存在，请说明理由．(3)点M 在直线OD 上，N 是平面内一点，当四边形GFMN 是正方形时，请直接写出点N 的坐标．2．（2022·河南郑州·河南省实验中学校考模拟）在ABC V 中，AB AC =，E 为边AC 上一点，D 为直线BC 上一点，连AD 、BE ，交于点F ．(1)如图1，若60BAC ∠=︒，D 点在线段BC 上，且AE CD =，过B 作BG AD ⊥，求证：12=FG BF ；(2)如图2，若BAC BFD ∠=∠，且3BF AF =，求BD BC 的值；(3)如图3，若60BAC ∠=︒．若3BD CD =，将线段AD 绕点A 逆时针旋转到AH ，并且使得HAC ADB ∠=∠，连接BH 交AC 于P ，直接写出AC PC= ______ ．3．（2022·吉林长春·模拟）如图，在ABC V 中，5AB AC ==，6BC =．点P 从点B 出发，沿BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动，同时点Q 从点C 出发，沿折线CA AB -以每秒5个单位长度的速度运动，到达点A 时，点Q 停止1秒，然后继续运动．分别连接PQ 、BQ ．设点P 的运动时间为t 秒．(1)求点A 与BC 之间的距离；(2)当3BP AQ =时，求t 的值；(3)当PQB V 为钝角三角形时，求t 的取值范围；(4)点P 关于直线AB 的对称点是点D ，连接DQ ，当线段DQ 与ABC V 的某条边平行时，直接写出t 的值．4．（2022·浙江金华·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，点C 的坐标为()3,4，点D 从原点O 出发沿O A B →→匀速运动，到达点B 时停止，点E 从点A 出发沿A B C →→随D 运动，且始终保持CDE COA ∠=∠．设运动时间为t ．(1)当DE OB ∥时，求证：OCD BCE △≌△．(2)若点E 在BC 边上，当CDE △为等腰三角形时，求BE 的长．(3)若点D 的运动速度为每秒1个单位，是否存在这样的t ，使得以点C ，D ，E 为顶点的三角形与OCD V 相似?若存在，直接写出所有符合条件的t ；若不存在，请说明理由．5．（2022·重庆·模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c ++＝﹣交x 轴于点A 和C （1，0），交y 轴于点B （0，3），抛物线的对称轴交x 轴于点E ，交抛物线于点F ．(1)求抛物线的解析式；(2)将线段OE 绕着点O 沿顺时针方向旋转得到线段OE '，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接,AE BE ''，求13BE AE '+'的最小值；(3)M 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N 的横坐标；若不存在，请说明理由．6．（2022·广东佛山·校考三模）已知抛物线223(0)y ax ax a a =--<交x 轴于点A ，(B A 在B 的左侧），交y 轴于点C ．(1)求点A 的坐标；(2)若经过点A 的直线y kx k =+交抛物线于点D ．①当0k >且1a =-时AD 交线段BC 于E ，交y 轴于点F ，求ΔΔEBD CEF S S -的最大值；②当0k <且k a =时，设P 为抛物线对称轴上一动点，点Q 是抛物线上的动点，那么以A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标，若不能，请说明理由．7．（2022·广东江门·校考一模）如图，抛物线26y ax x =++的图象与直线y kx b =+有唯一交点()1,4A -．(1)求抛物线和直线的解析式；(2)若点拋物线与x 轴的交点分别为点M 、N ，抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使PA PM +的值最小？如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由．(3)直线y kx b =+与x 轴交于点B ，点Q 是x 轴上一动点，请你写出使QAB V 是等腰三角形的所有点Q 的横坐标．8．（2022·广东佛山·校考三模）如图1，AD 、BD 分别是ABC ∆的内角BAC ∠、ABC ∠的平分线，过点A 作AE AD ⊥，交BD 的延长线于点E ．(1)求证：12E C ∠=∠；(2)如图2，如果AE AB =，且:2:3BD DE =，求cos ABC ∠的值；(3)如果ABC ∠是锐角，且ABC ∆与ADE ∆相似，求ABC ∠的度数，并直接写出ADE ABC S S ∆∆的值．。
中考数学复习题方法技巧专题二分类讨论思想训练(含答案)
方法技巧专题 ( 二) 分类议论思想训练【方法解读】 当数学识题中的某一条件模糊而不确准时 , 需要对这一条件进行分类议论, 而后逐个解决 . 常有的分类议论有观点的分类、解题方法的分类和图形地点关系的分类等.1. 点 A , B , C 在☉ O 上 , ∠ AOB=100°, 点 C 不与 A , B 重合 , 则∠ ACB 的度数为 ( )A . 50°B . 80°或 50°C . 130°D . 50°或 130°2 [2018 ·山西威望展望 ] 已知一等腰三角形的两边长 , y 知足方程则此等腰三角形的周长为().xA .5B .4C .3D .5或 43. [2018 ·枣庄 ] 如图 F2- 1 是由 8 个全等的矩形构成的大正方形 , 线段 AB 的端点都在小矩形的极点上 , 假如点 P 是某个小矩形的极点 , 连接 PA , PB , 那么使△ ABP 为等腰直角三角形的点 P 有 ()图 F2-1A .2个B .3个C .4个D .5个4 [2018 ·鄂州 ] 如图 F2 2, 已知矩形 中 ,4 cm,8 cm, 动点P 在边上从点B 向点C 运动 , 速度为 1 cm/s,.-ABCD AB= BC=BC同时动点从点C 出发 , 沿折线→ →A 运动 , 速度为 2 cm/s 当一个点抵达终点时 , 另一个点随之停止运动.设点P 运动QC D.时间为t (s), △的面积为(cm 2), 则描绘 (cm 2) 与时间 t (s) 的函数关系的图象大概是()BPQ SS图 F2-2图 F2-35. [2018 ·聊城 ]假如一个正方形被截掉一个角后, 获得一个多边形, 那么这个多边形的内角和是.6. [2018 ·安徽 ]矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,知足△ PBE∽△ DBC,若△ APD是等腰三角形 , 则PE的长为.7.如图 F2- 4, 已知点A(1,2)是反比率函数y= 图象上的一点,连接 AO并延伸交双曲线的另一分支于点B,点 P 是 x 轴上一动点 , 若△是等腰三角形 , 则点P 的坐标是.PAB图 F2-48. [2017 ·齐齐哈尔 ]如图F2-5,在等腰三角形纸片ABC中, AB=AC=10, BC=12,沿底边 BC上的高 AD剪成两个三角形, 用这两个三角形拼成平行四边形, 则这个平行四边形较长的对角线的长是.图 F2-59 [2017 ·义乌 ] 如图 F2 6, ∠45°, 点,在边上 ,,4, 点P 是边上的点 , 若使, , 构成等腰三角.-AOB=M N OA OM=xON=x+OB P M N 形的点 P 恰巧有3个 , 则x的值是.图 F2-6参照答案1. D2. A [ 分析 ]解方程组得当2作为腰长时,等腰三角形的周长为5; 当 1 作为腰长时 , 由于 1+1=2, 不知足三角形的三边关系 . 故等腰三角形的周长为5.3. B [ 分析 ]以下列图,设每个小矩形的长与宽分别为x, y,则有2x=x+2y,进而 x=2y. 由于线段 AB是长与宽为2∶1的矩形对角线 , 所以依据网格作垂线可知, 过点B与AB垂直且相等的线段有BP1和 BP2,过点 A 与 AB垂直且相等的线段有AP3,且 P1, P2, P3都在极点上,所以知足题意的点P 共有3个 . 应选B.4. A [ 分析 ]由题意可知,0≤ t≤4,当0≤ t<2时,以下列图,S= BP· CQ=t· 2t=t2;当 t= 2时,以下列图,点 Q与点 D重合,则 BP=2, CQ=4,故 S= BP· CQ=×2×4=4;当 2<t≤ 6 时 , 以下列图 , 点Q在AD上运动 , S= BP·CD=t· 4=2t.应选 A.5. 180°或 360°或 540°[ 分析 ]如图,一个正方形被截掉一个角后, 可能获得以下的多边形:∴这个多边形的内角和是180°或 360°或 540°.6. 3 或[ 分析 ]由题意知,点P在线段BD上.(1)如图,若PD=PA,则点P在AD的垂直均分线上, 故点P为BD 的中点 , PE⊥BC,故 PE∥ CD,故 PE=DC=3.(2) 如图 , 若DA=DP,则DP=8, 在 Rt△BCD中 , BD==10,∴ BP=BD-DP=2.∵△ PBE∽△ DBC,∴ == ,∴ PE=CD=.综上所述 , PE的长为 3 或.7(-5,0) 或 (-3,0) 或 (3,0)或 (5,0).8.10或4或2[ 分析]在△ABC中,∵AB=AC=10,BC=12,底边BC 上的高是AD,∴∠ADB=∠90°,12 6,∴AD=8ADC=BD=CD=BC=×== .∴用这两个三角形拼成平行四边形, 能够分三种状况 :(1)依据如图的方法拼成平行四边形, 则这个平行四边形较长的对角线的长是10.(2)依据如图的方法拼成平行四边形, 则这个平行四边形较长的对角线的长是=4.(3) 依据如图的方法拼成平行四边形, 则这个平行四边形较长的对角线的长是=2.综上所述 , 这个平行四边形较长的对角线的长是10或4或 2.9.x= 0 或x=4- 4或4<x<4[ 分析 ]依据OM=x,ON=x+4,可知MN=4.作MN的垂直均分线, 该线与射线OB一直有一个公共点 , 分别以点M, N为圆心 ,4 为半径画圆 , 察看两圆与射线OB的交点状况:(1) 当☉N与射线OB没有公共点 , ☉M与射线OB有两个公共点时, 知足题意 , 如图① , 此时 4<x<4.(2) 当☉N与射线OB相切 , 只有一个公共点时, ☉M与射线OB也只有一个公共点时, 也知足题意 , 如图② , 此时x=4- 4;(3)当☉ N与射线 OB有两个公共点时,此时☉ M与射线 OB只有一个公共点,所以当☉ N与射线 OB有两个公共点时,一定出现不可以与点 M, N构成三角形的一个点,也能知足题意,如图③,此时 x=0.。
中考数学专题：例+练——第8课时 分类讨论题(含答案)
第8课时分类讨论题在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.1．（沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50° D．50°或80°2.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.类型之二 圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．4.（湖北罗田）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4.若以C 点为圆心， r 为半径 所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是___ __．5.（上海市）在△ABC 中，AB=AC=5，3cos 5B ．如果圆O 的半径为10，且经过点B 、C ，那么线段AO 的长等于 ．6.（•威海市）如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r ＝1+t （t≥0）．（1）试写出点A ，B 之间的距离d （厘米）与时间t （秒）之间的函数表达式； （2）问点A 出发后多少秒两圆相切？类型之三方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.7.（上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．8.（福州市)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．参考答案1.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。
中考数学专题复习教学案--分类讨论题(附答案)
分类讨论题类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.例1．（·沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50° B．80° C．65°或50°D．50°或80°【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。
故顶角可能是50°或80°.答案：D .同步测试：1.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm2. （·江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A 落在点A′处，(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.类型之二圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．例2.（•湖北罗田）在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4.若以C点为圆心， r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是___ __．【解析】圆与斜边AB只有一个公共点有两种情况,1、圆与AB相切，此时r＝2.4；2、圆与线段相交，点A在圆的内部，点B在圆的外部或在圆上，此时3＜r≤4。
课标版数学中考第二轮专题复习-分类讨论型试题(含答案
分类讨论型问题探究分类思想是解题的一种常用思想方法，它有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性，使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题，学生只有掌握了分类的思想方法，在解题中才不会出现漏解的情况.例1（2005年黑龙江） 王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米(水渠的宽不计)，请你计算这块等腰三角形菜地的面积．分析：本题是无附图的几何试题，在此情况下一般要考虑多种情况的出现，需要对题目进行分情况讨论。
分类思想在中考解题中有着广泛的应用，我们在解题中应仔细分析题意，挖掘题目的题设，结论中可能出现的不同的情况，然后采用分类的思想加以解决. 解：（1)当等腰三角形为锐角三角形时(如图1)，由勾股定理得AE ＝25（m ）由DE ∥FC 得，FCEDAC AE =，得FC ＝24（m ） S △ABC =12 ³40³24=480（m 2）(2)当等腰三角形为钝角三角形时(如图2)同理可得，S △ABC =1264³24=768（m 2）说明：本题主要考查勾股定理、相似三角形的判定及性质等内容。
练习一 1、（2005年资阳市）若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（ ）A.2a b + B.2a b - C.2a b +或2a b - D. a+b 或a-b2．（2005年杭州）在右图的几何体中, 上下底面都是平行四边形, 各个侧面都是梯形, 那么图中和下底面平行的直线有( )(A) 1条 (B) 2条 (C) 4条 (D) 8条3（2005年潍坊市）已知圆A 和圆B 相切，两圆的圆心距为8cm ，圆A 的半径为3cm ，则圆B 的半径是（ ）．A ．5cmB ．11cmC ．3cmD ．5cm 或11cm图1图2A4.（2005年北京）在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD BD DC2 ²，则∠BCA的度数为____________。
历年初三数学中考思想方法-分类讨论思想方法指导及例题解析及答案
中考中的数学思想方法----分类讨论思想一、概述：当我们面对一大堆杂乱的人民币时，我们一般会先分10元，5元，2元，1元，5角，…… 等不同面值把人民币整理成一叠叠的，再分别数出各叠钱数，最后把各叠的钱数加起来得出这一堆人民币的总值。
这样做，比随意一张张地数的方法要快且准确的多，因为这种方法里渗透了分类讨论的思想。
在数学中，分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想，正确应用分类思想，是完整解题的基础。
而在中考中，分类讨论思想也贯穿其中，几乎在全国各地的重考试卷中都会有这类试题，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度，很多压轴题也都涉及分类讨论，由此可见分类思想的重要性，下面精选了几道有代表性的试题予以说明。
二、例题导解：1、直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .③ 解：①当6、8是直角三角形的两条直角边时，斜边长为10，此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 10 =5 ②当6是这个三角形的直角边，8是斜边时，此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 8=4 2、在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 边上的高，并且AD BD DC 2=·，则∠BCA 的度数为____________。
解：①如图1，当△ABC 是锐角三角形时，∠BCA=90°-25°=65°①如图2，当△ABC 是钝角三角形时，∠BCA=90°+25°=115°图1 图23、如图1，已知Rt ABC △中，30CAB ∠=o，5BC =．过点A 作AE AB ⊥，且15AE =，连接BE 交AC 于点P ．（1）求PA 的长；（2）以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，试判断BE 与⊙A 是否相切，并说明理由；（3）如图2，过点C 作CD AE ⊥，垂足为D ．以点A 为圆心，r 为半径作⊙A ；以点C 为圆心，R 为半径作⊙C ．若r 和R 的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相．切．，且使D 点在⊙A 的内部，B 点在⊙A 的外部，求r 和R 的变化范围．（1）Q 在Rt ABC △中，305CAB BC ∠==o ，， 210AC BC ∴==．AE BC Q ∥，APE CPB ∴△∽△．::3:1PA PC AE BC ∴==．:3:4PA AC ∴=，3101542PA ⨯==． （2）BE 与⊙A 相切．Q 在Rt ABE △中，AB =15AE =，tan AE ABE AB ∴∠===60ABE ∴∠=o ． 又30PAB ∠=o Q ，9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=o o ，， BE ∴与⊙A 相切．（3）因为5AD AB ==，，所以r的变化范围为5r <<．当⊙A 与⊙C 外切时，10R r +=，所以R的变化范围为105R -<<； 当⊙A 与⊙C 内切时，10R r -=，所以R的变化范围为1510R <<+4、直角坐标系中，已知点P （－2，－1），点T （t ，0）是x 轴上的一个动点.(1) 求点P 关于原点的对称点P '的坐标；C Ｄ 图1 图2(2) 当t 取何值时，△P 'TO 是等腰三角形？解：（1）点P 关于原点的对称点P '的坐标为（2，1）.（2）5='P O .（a ）动点T 在原点左侧. 当51='=O P O T 时，△TO P '是等腰三角形.∴点)0,5(1-T .（b ）动点T 在原点右侧.①当P T O T '=22时，△TO P '是等腰三角形.得：)0,45(2T . ② 当O P O T '=3时，△TO P '是等腰三角形.得：点)0,5(3T .③ 当O P P T '='4时，△TO P '是等腰三角形.得：点)0,4(4T .综上所述，符合条件的t 的值为4,5,45,5-. 5、如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过点C 作CD ⊥x 轴于点D . (1)求直线AB 的解析式;(2)若S 梯形OBCD ＝433,求点C 的坐标; (3)在第一象限内是否存在点P ,使得以P ,O,B 为顶点的三角形与△OBA 相似.若存在,请求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.解：（1）直线AB 解析式为：y=33-x+3．（2）方法一：设点Ｃ坐标为（x ，33-x+3），那么OD ＝x ，CD ＝33-x+3． ∴OBCD S 梯形＝()2CD CD OB ⨯+＝3632+-x ． 由题意：3632+-x ＝334，解得4,221==x x （舍去） ∴ Ｃ（２，33） 方法二：∵ 23321=⨯=∆OB OA S AOB ,OBCD S 梯形＝334，∴63=∆ACD S ． 由OA=3OB ，得∠BAO ＝30°，AD=3CD ．∴ ACD S ∆＝21CD×AD ＝223CD ＝63．可得CD ＝33． ∴ AD=１，OD ＝２．∴C （２，33）． （３）当∠OBP ＝Rt ∠时，如图①若△BOP ∽△OBA ，则∠BOP ＝∠BAO=30°，BP=3OB=3，∴1P （3，33）． ②若△BPO ∽△OBA ，则∠BPO ＝∠BAO=30°,OP=33OB=1． ∴2P （1，3）．当∠OPB ＝Rt ∠时③ 过点P 作OP ⊥BC 于点P(如图)，此时△PBO ∽△OBA ，∠BOP ＝∠BAO ＝30° 过点P 作PM ⊥OA 于点M ．方法一： 在Rt △PBO 中，BP ＝21OB ＝23，OP ＝3BP ＝23． ∵ 在Rt △P ＭO 中，∠OPM ＝30°，∴ OM ＝21OP ＝43；PM ＝3OM ＝433．∴3P （43，433）．。
2023年九年级中考数学分类讨论专题之等腰三角形中的分类讨论思想专练
中考数学分类讨论专题之等腰三角形中的分类讨论思想专练一．选择题（共10小题）1．已知一个等腰三角形的三边长分别为3x-2，4x-3，7，则这个等腰三角形的周长为（）A．23 B．19.5或23C．9或23 D．9或19.5或232．已知方程x 2 -6x+8=0的根，分别是等腰三角形的底边和腰长，则该三角形的周长为（）A．6 B．10 C．8 D．124．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（）A．80°B．20°C．80°或20°D．不能确定5．等腰△ABC的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程x 2 -10x+m=0的两个实数根，则m的值是（）A．24 B．25 C．26 D．24或25为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．87．在△ABC中，∠A的相邻外角是110°，要使△ABC为等腰三角形，则底角∠B的度数是（）A．70 B．55°C．70°或55°D．60°8．等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（）A．80°、80°、20°B．80°、50°、50°C．80°、80°、20°或80°、50°、50°D．以上答案都不对9．如图，点A、B、P在⊙O上，且∠APB=50°．若点M是⊙O上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别是（）A．50°，50°，50°B．80°，80°，20°C．100°，100°，20°D．50°，50°，80°或80°，80°，20°二．填空题（共5小题）11．等腰三角形的三边长分别为m-2，2m+1，8，则等腰三角形的周长为________ ．12．等腰三角形的一条边长为4cm,另一条边长为6cm,则它的周长是________ ．13．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，点P在BC上，且PB=3，以AP为腰作等腰三角形APM，使得点M落在矩形ABCD边上，则CM=________ ．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E、F分别是边AB、AC上一点，且AF=EF．若∠CFE=72°，则∠B= ________ °．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=9，BC=5，点P为△ABC内一动点．过点P作PD⊥AC于点且S △PBC = 152，则D，交AB于点E．若△BCP为等腰三角形，PD的长为________ ．三．解答题（共5小题）16．如图矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点P是边AD上一点，联结BP，过点P作PE⊥BP，交DC于E点，将△ABP沿直线PE翻折，点B落在点B′处，若△B′PD为等腰三角形，求AP的长．17．（1）已知4a 2 -a-4=0，求代数式（2a-3）（2a+3）+（a-1） 2 +（1+a）（2-a）的值；（2）已知a,b满足a 2 +b 2 -10a-4b+29=0，且a,b为等腰三角形△ABC的边长．求△ABC的周长．18．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm,BC=3cm,若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm,设出发的时间为t秒．（1）当点P在线段AB上时，BP= ________cm.（用含t的代数式表示）（2）若△BCP为直角三角形，则t的取值范围是________ ．（3）若△BCP为等腰三角形，直接写出t的值．（4）另有一动点Q从点C开始，按B→A→C→B的路径运动，且速度为每秒2cm,若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．请直接写出t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．19．如图，矩形ABCD，点P是对角线AC上的动点（不与A、C重合），连接PB，作PE⊥PB交射线DC于点E．已知AD=6，AB=8．设AP的长为x.（1）如图1，PM⊥AB于点M，交CD于点N．求证：△BMP∽△PNE．是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理（2）试探究：PEPB由．（3）当△PCE是等腰三角形时，请求出所有x的值．20．如图，CD是△ABC的高，CD=8，AD=4，BD=3，点P是BC边上的一个动点（与B、C不重合），PE⊥AB于点E，DF=DE，FQ⊥AB于点F，交AC于点Q，连接QE．（1）若点P是BC的中点，则QE= ________ ；（2）在点P的运动过程中，①EF+FQ的值为________ ；②当点P运动到何处时，线段QE最小？最小值是多少？③当△AQE是等腰三角形时，求BE的长．。
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专题二 分类讨论思想
1．(2012年辽宁营口)圆心距为2的两圆相切，其中一个圆的半径为1，则另一个圆的半径为( )
A ．1
B ．3
C ．1或2
D ．1或3
2．已知线段AB ＝8 cm ，在直线AB 上画线段BC ，使BC ＝5 cm ，则线段AC 的长度为( )
A ．3 cm 或13 cm
B ．3 cm
C ．13 cm
D ．18 cm
3．(2011年贵州贵阳)如图Z2－3，反比例函数y 1＝k 1x
和正比例函数y 2＝k 2x 的图象交于A (－1，－3)，B (1,3)两点，若k 1x
＞k 2x ，则x 的取值范围是( )
图Z2－3
A ．－1＜x ＜0
B ．－1＜x ＜1
C ．x ＜－1或0＜x ＜1
D ．－1＜x ＜0或x ＞1 4．(2012年湖南张家界)当a ≠0时，函数y ＝ax ＋1与函数y ＝a x
在同一坐标系中的图象可能是( )
A B C D
5．(2011年山东济宁)如果一个等腰三角形的两边长分别是5 cm 和6 cm ，那么此三角形的周长是( )
A ．15 cm
B ．16 cm
C ．17 cm
D ．16 cm 或17 cm
6．(2012年四川泸州)为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：
(1)若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.50元/度计算；
(2)若每户居民每月用电量超过100度，则超过部份按0.80元/度计算(未超过部份仍按每度电0.50元计算)．
现假设某户居民某月用电量是x (单位：度)，电费为y (单位：元)，则y 与x 的函数关系用图象表示正确的是( )
A B C D
7．等腰三角形ABC 的两边长分别为4和8，则第三边长为________．
8．(2011年四川南充)过反比例函数y ＝k x
(k ≠0)图象上的一点A ，分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为B ，C .若△ABC 的面积为3，则k 的值为________．
9．在实数范围内，比较代数式a 与1a
的大小关系．
10．已知实数a ，b 分别满足a 2＋2a ＝2，b 2＋2b ＝2，求1a ＋1b
的值．
11．(2011年浙江绍兴)在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如，图Z2－4中过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB 的周长与面积相等，则点P 是和谐点．
(1)判断点M (1,2)，N (4,4)是否为和谐点，并说明理由；
(2)若和谐点P (a,3)在直线y ＝－x ＋b (b 为常数)上，求点a ，b 的值．
图Z2－4
12．(2012年江苏扬州)如图Z2－5，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (－1,0)，B (3,0)，C (0,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P 是直线l 上的一个动点，当△P AC 的周长最小时，求点P 的坐标；
(3)在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
图Z2－5
专题二 分类讨论思想
【专题演练】
1．D 2.A 3.C 4.C 5.D 6.C
7．8 8.±6
9．解：(1)当a ＝±1时，a ＝1a
； (2)当a ＜－1时，a ＜1a
； (3)当－1＜a ＜0时，a ＞1a
； (4)当0＜a ＜1时，a ＜1a
； (5)当a ＞1时，a ＞1a
. 10．解：若a ≠b ，可知a ，b 为方程x 2＋2x －2＝0的两实数根，由韦达定理，得a ＋b ＝
－2，ab ＝－2，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝－2－2
＝1. 若a ＝b ，则解关于a ，b 的方程分别，得a ＝b ＝－1＋3或a ＝b ＝－1－3，1a ＋1b ＝3＋1或1－ 3.
11．解：(1)∵1×2≠2×(1＋2)，4×4＝2×(4＋4)，
∴点M 不是和谐点，点N 是和谐点．
(2)由题意，得
当a >0时，(a ＋3)×2＝3a ，
∴a ＝6.
∴点P (a,3)在直线y ＝－x ＋b 上，代入，得b ＝9；
当a <0时，(－a ＋3)×2＝－3a ，
∴a ＝－6.
∴点P (a,3)在直线y ＝－x ＋b 上，代入，得b ＝－3.
∴a ＝6，b ＝9或a ＝－6，b ＝－3.
12．解：(1)将A (－1,0)，B (3,0)，C (0,3)代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得
⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝2，
c ＝3.
∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.
(2)如图D59，连接BC ，直线BC 与直线l 的交点为P ，
此时，△P AC 的周长最短(点A 与点B 关于l 对称)．
设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，将B (3,0)，c (0,3)代入上式，得
⎩⎪⎨⎪⎧ 3k ＋b ＝0，b ＝3，解得：⎩
⎪⎨⎪⎧
k ＝－1，b ＝3. ∴直线BC 的函数关系式y ＝x ＋3.
当x ＝1时，y ＝2，即点P 的坐标(1,2)．
图D59
(3)抛物线的对称轴为x ＝－
b 2a
＝1，设M (1，m )，已知A (－1,0)，C (0,3)， 则MA 2＝m 2＋4，MC 2＝m 2－6m ＋10，AC 2＝10.
①若MA ＝MC ，则MA 2＝MC 2，得
m2＋4＝m2－6m＋10，解得m＝1；
②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得
m2＋4＝10，解得m＝±6；
③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得
m2－6m＋10＝10，解得m1＝0，m2＝6.
当m＝6时，M，A，C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的点M的坐标为(1，6)或(1，－6)或(1,1)或(1,0)．。