高中数学第四章数系的扩充与复数的引入章末分层突破学案北师大版选修1_2
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第四章数系的扩充与复数的引入章末分层突破学案北师大版选修1-2[自我校对]①－1②a＝c，b＝d③z＝a－b i④Z(a，b)→⑤O Z⑥a＋c⑦(b＋d)i⑧(a－c)＋(b－d)i________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________复数的概念正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据． 求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义．复数z ＝log 3(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时， (1)z ∈R ；(2)z 为虚数．【精彩点拨】 根据复数的分类列方程求解．【规范解答】 (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x －3>0， ①log 2 x －3 ＝0， ②x －3>0， ③由②得x ＝4，经验证满足①③式． 所以当x ＝4时，z ∈R .(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0， ①log 2 x －3 ≠0， ②x －3>0， ③由①得x >3＋212或x <3－212.由②得x ≠4，由③得x >3.所以当x >3＋212且x ≠4时，z 为虚数．[再练一题]1．设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3(2)设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则复数z 的实部是__________． 【解析】 (1)因为a －103－i ＝a －10 3＋i 3－i 3＋i ＝a －10 3＋i 10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.(2)法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则i(z ＋1)＝i(a ＋b i ＋1)＝－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－3，a ＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故复数z 的实部是1.法二：由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得z ＋1＝－3＋2ii ＝2＋3i ，故z ＝1＋3i ，即复数z 的实部是1.【答案】 (1)D (2)1复数的四则运算复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i 看作一个字母(i 2＝－1)，除法运算注意应用共轭的性质z ·z 为实数．(1)设i 是虚数单位，z －表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i＋i·z －＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i(2)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2iD ．3－2i【精彩点拨】 (1)先求出z 及zi ，结合复数运算法则求解．(2)利用方程思想求解并化简．【规范解答】 (1)∵z ＝1＋i ，∴z －＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝－i 2＋i i ＝1－i ，∴z i＋i·z －＝1－i ＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选C.(2)由(z －2i)(2－i)＝5，得z ＝2i ＋52－i ＝2i ＋5 2＋i 2－i 2＋i＝2i ＋2＋i ＝2＋3i.【答案】 (1)C (2)A [再练一题]2．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z z的值为( )A.35＋45i B ．35－45i C ．－35＋45iD ．－35－45i【解析】 因为(1＋2i)z ＝4＋3i ，所以z ＝4＋3i 1＋2i ＝ 4＋3i 1－2i5＝2－i ，所以z ＝2＋i ，所以zz＝2＋i 2－i ＝ 2＋i 25＝35＋45i.【答案】 A复数的几何意义1.复数的几何表示法：即复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可以用复平面内的点Z (a ，b )来表示．此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．2．复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．(1)在复平面内，复数i1＋i 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)在复平面内，复数1－2i2＋i 对应的点的坐标为( )A ．(0，－1)B ．(0,1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35【精彩点拨】 先把复数z 化为复数的标准形式，再写出其对应坐标． 【规范解答】 (1)复数i 1＋i ＝i 1－i 1＋i 1－i ＝1＋i 2＝12＋12i.∴复数对应点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12. ∴复数i1＋i在复平面内对应的点位于第一象限．故选A. (2)∵1－2i 2＋i ＝ 1－2i 2－i 2＋i 2－i ＝－5i 5＝－i ，其对应的点为(0，－1)，故选A.【答案】 (1)A (2)A [再练一题]3．(1)已知复数z 对应的向量如图41所示，则复数z ＋1所对应的向量正确的是( )图41(2)若i 为虚数单位，图42中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )图42A ．EB ．FC ．GD ．H【解析】 (1)由题图知，z ＝－2＋i ，∴z ＋1＝－2＋i ＋1＝－1＋i ，故z ＋1对应的向量应为选项A.(2)由题图可得z ＝3＋i ，所以z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝ 3＋i 1－i 1＋i 1－i ＝4－2i2＝2－i ，则其在复平面上对应的点为H (2，－1)．【答案】 (1)A (2)D转化与化归思想一般设出复数z 的代数形式，即z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x ，y 应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法．设z ∈C ，满足z ＋1z ∈R ，z －14是纯虚数，求z .【精彩点拨】 本题关键是设出z 代入题中条件进而求出z . 【规范解答】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i ，∵z ＋1z ∈R ，∴y －y x 2＋y 2＝0，解得y ＝0或x 2＋y 2＝1，又∵z －14＝x ＋y i －14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14＋y i 是纯虚数．∴⎩⎪⎨⎪⎧x －14＝0，y ≠0，∴x ＝14，代入x 2＋y 2＝1中，求出y ＝±154，∴复数z ＝14±154i.[再练一题]4．满足z ＋5z是实数，且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ；若不存在，请说明理由．【解】 设虚数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)， 则z ＋5z＝x ＋y i ＋5x ＋y i ＝x ＋5x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －5y x 2＋y 2i ，z ＋3＝x ＋3＋y i.由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧y －5y x 2＋y 2＝0，x ＋3＝－y ，因为y ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.所以存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足题设条件．1．(2016·全国卷Ⅱ)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z ＝( ) A ．－1＋2i B ．1－2i C ．3＋2iD ．3－2i【解析】 由z ＋i ＝3－i 得z ＝3－2i ，∴z ＝3＋2i ，故选C. 【答案】 C2．(2015·广东高考)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2iD ．3－2i【解析】 ∵z ＝i(3－2i)＝3i －2i 2＝2＋3i ，∴z ＝2－3i. 【答案】 A3．(2015·山东高考)若复数z 满足z1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－iD ．－1＋i【解析】 由已知得z ＝i(1－i)＝i ＋1，则z ＝1－i ，故选A.【答案】 A4．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3【解析】 (1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，由题意知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A.【答案】 A5．(2016·北京高考)复数1＋2i 2－i ＝( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－i【解析】1＋2i 2－i ＝ 1＋2i 2＋i 2－i 2＋i ＝5i5＝i. 【答案】 A6．(2016·四川高考)设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2＝( ) A ．0 B ．2 C ．2iD ．2＋2i【解析】 (1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i. 【答案】 C7．(2016·天津高考)i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________． 【解析】 因为(1＋i)z ＝2，所以z ＝21＋i＝1－i ，所以其实部为1. 【答案】 18．(2016·江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________．【解析】 因为z ＝(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5. 【答案】 5章末综合测评(四) 数系的扩充与复数的引入(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ，b ∈C ，下列命题正确的是( ) A ．3i<5i B ．a ＝0⇔|a |＝0 C ．若|a |＝|b |，则a ＝±bD ．a 2≥0【解析】 A 选项中，虚数不能比较大小；B 选项正确；C 选项中，当a ，b ∈R 时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋32i ，但i≠－12＋32i 或12－32i ；D选项中，当a ∈R 时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i 2＝－1<0.【答案】 B2．i 是虚数单位，则i1＋i 的虚部是( )A.12i B ．－12iC.12 D ．－12【解析】i 1＋i ＝i 1－i 1＋i 1－i ＝1＋i 2＝12＋12i. 【答案】 C 3.⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝( ) A ．2 2 B ．2 C. 2D ．1【解析】 由21＋i ＝2 1－i 1＋i 1－i ＝2－2i2＝1－i ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝|1－i|＝ 2.故选C. 【答案】 C4.z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋iD ．1－i【解析】 法一：设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z －＝a －b i ，∵z ＋z －＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z －)i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i.法二：∵(z －z －)i ＝2，∴z －z －＝2i ＝－2i.又z ＋z －＝2，∴(z －z －)＋(z ＋z －)＝－2i ＋2，∴2z ＝－2i ＋2， ∴z ＝1－i. 【答案】 D5．复数i1－i的共轭复数为( )A ．－12＋12iB.12＋12iC.12－12i D ．－12－12i【解析】 ∵i 1－i ＝i 1＋i 1－i 1＋i ＝－1＋i 2＝－12＋12i ，∴其共轭复数为－12－12i.故选D.【答案】 D6．下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题：p 1：|z |＝2； p 2：z 2＝2i ；p 3：z 的共轭复数为1＋i ； p 4：z 的虚部为－1.其中的真命题为( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4【解析】 ∵z ＝2－1＋i ＝－1－i ，∴|z |＝ －1 2＋ －1 2＝2， ∴p 1是假命题；∵z 2＝(－1－i)2＝2i ，∴p 2是真命题； ∵z ＝－1＋i ，∴p 3是假命题； ∵z 的虚部为－1，∴p 4是真命题． 其中的真命题为p 2，p 4. 【答案】 C7．复平面上平行四边形ABCD 的四个顶点中，A ，B ，C 所对应的复数分别为2＋3i,3＋2i ，－2－3i ，则D 点对应的复数是( )A ．－2＋3iB ．－3－2iC ．2－3iD ．3－2i【解析】 设D (x ，y )，由平行四边形对角线互相平分得⎩⎪⎨⎪⎧2＋ －2 2＝3＋x 2，3＋ －3 2＝2＋y2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2，∴D (－3，－2)，∴对应复数为－3－2i. 【答案】 B8．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1D ．a ≠2【解析】 要使复数不是纯虚数，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2≠0，|a －1|－1≠0，解得a ≠－1. 【答案】 C9．若a ，b ∈R ，则复数(a 2－6a ＋10)＋(－b 2＋4b －5)i 对应的点在( ) 【导学号：67720027】A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 复数对应点的坐标为(a 2－6a ＋10，－b 2＋4b －5)， 又∵a 2－6a ＋10＝(a －3)2＋1>0， －b 2＋4b －5＝－(b －2)2－1<0. ∴复数对应的点在第四象限．故选D. 【答案】 D10．如果复数z ＝3＋a i 满足条件|z －2|<2，那么实数a 的取值范围是( ) A ．(－22，22) B ．(－2,2) C ．(－1,1)D ．(－3， 3)【解析】 因为|z －2|＝|3＋a i －2|＝|1＋a i|＝1＋a 2<2，所以a 2＋1<4，所以a 2<3，即－3<a < 3.【答案】 D11．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( ) A ．b ＝2，c ＝3 B ．b ＝－2，c ＝3 C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝2，c ＝－1【解析】 因为1＋2i 是实系数方程的一个复数根，所以1－2i 也是方程的根，则1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，(1＋2i)(1－2i)＝3＝c ，解得b ＝－2，c ＝3.【答案】 B12．设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，选项A ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2≥b 2，故b ＝0或a ，b 都为0，即z为实数，正确．选项B ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i<0，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2<b 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，故z 一定为虚数，正确．选项C ，若z 为虚数，则b ≠0，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ， 由于a 的值不确定，故z 2无法与0比较大小，错误．选项D ，若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，则z 2＝－b 2<0，正确．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上) 13．(2015·重庆高考)设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 【解析】 ∵|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝3，∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3. 【答案】 314．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝__________.【解析】 a ＋i i＝a ＋i · －ii· －i＝1－a i ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝a 2＋1＝2，所以a 2＝3.又a 为正实数，所以a ＝ 3. 【答案】315．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为__________．【解析】 a ＋b i ＝11－7i 1－2i ＝ 11－7i 1＋2i 1－2i 1＋2i ＝25＋15i5＝5＋3i ，依据复数相等的充要条件可得a ＝5，b ＝3.从而a ＋b ＝8.【答案】 816．若复数z 满足|z －i|≤2(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的图形的面积为________．【解析】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由|z －i|≤2可得x 2＋ y －1 2≤2，即x2＋(y －1)2≤2，它表示以点(0,1)为圆心，2为半径的圆及其内部，所以z 在复平面内所对应的图形的面积为2π.【答案】 2π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)计算：(1)(2＋2i)2(4＋5i)；(2)2＋2i 1－i 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 016. 【解】 (1)(2＋2i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i) ＝4i(4＋5i)＝－20＋16i. (2)2＋2i 1－i 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2016 ＝2＋2i －2i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 008＝i(1＋i)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1i 1 008＝－1＋i ＋(－i)1 008＝－1＋i ＋1＝i.18．(本小题满分12分)已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1 ＋i ＝y － 3－y i，①2x ＋ay － 4x －y ＋b i＝9－8i ，②有实数解，求实数a ，b 的值．【解】 由①得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，y －3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4，将x ，y 代入②得(5＋4a )－(6＋b )i ＝9－8i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5＋4a ＝9，－ 6＋b ＝－8，所以a ＝1，b ＝2.19．(本小题满分12分)实数k 为何值时，复数z ＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.【解】 (1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，z 是实数． (2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0，即k ＝4时，z 是纯虚数．(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0，即k ＝－1时，z 是0.20．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．【解】 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1.21．(本小题满分12分)已知复数z 1＝5i ，z 2＝2－3i ，z 3＝2－i ，z 4＝－5在复平面上对应的点分别是A ，B ，C ，D . 【导学号：67720028】(1)求证：A ，B ，C ，D 四点共圆； (2)已知AB →＝2 AP →，求点P 对应的复数．【解】 (1)证明：∵|z 1|＝|z 2|＝|z 3|＝|z 4|＝5， 即|OA |＝|OB |＝|OC |＝|OD |，∴A ，B ，C ，D 四点都在圆x 2＋y 2＝5上，即A ，B ，C ，D 四点共圆． (2)∵A (0，5)，B (2，－3)， ∴AB →＝(2，－3－5)． 设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y －5)，若AB →＝2 AP →，那么(2，－3－5)＝(2x,2y －25)，∴⎩⎨⎧2＝2x ，－3－5＝2y －25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝5－32，∴点P 对应的复数为22＋5－32i. 22．(本小题满分12分)设O 为坐标原点，已知向量O Z →1，O Z →2分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，a ∈R .若z 1＋z 2可以与任意实数比较大小，求O Z →1·O Z →2的值．【解】 由题意，得z 1＝3a ＋5－(10－a 2)i ， 则z 1＋z 2＝3a ＋5－(10－a 2)i ＋21－a＋(2a －5)i ＝⎝⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋(a 2＋2a －15)i. 因为z 1＋z 2可以与任意实数比较大小， 所以z 1＋z 2是实数，所以a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.又因为a ＋5≠0，所以a ＝3，所以z 1＝38＋i ，z 2＝－1＋i.所以O Z →1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫38，1，O Z →2＝(－1,1)．所以O Z →1·O Z →2＝38×(－1)＋1×1＝58.模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·湖北高考)i 为虚数单位，i 607的共轭复数．．．．为( ) A ．i B ．－i C ．1 D ．－1【解析】 因为i 607＝i 4×151＋3＝i 3＝－i ，所以其共轭复数为i ，故选A.【答案】 A2．根据二分法求方程x 2－2＝0的根得到的程序框图可称为( ) A ．工序流程图 B ．程序流程图 C ．知识结构图D ．组织结构图【解析】 由于该框图是动态的且可以通过计算机来完成，故该程序框图称为程序流程图．【答案】 B3．下列框图中，可作为流程图的是( ) A.整数指数幂→有理指数幂→无理指数幂B.随机事件→频率→概率C.入库→找书→阅览→借书→出库→还书D.推理图像与性质定义【解析】流程图具有动态特征，只有答案C符合．【答案】 C4．(2016·安庆高二检测)用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除”，那么a，b至少有一个能被5整除．则假设的内容是( )A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a不能被5整除D．a，b有一个不能被5整除【解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故应假设“a，b都不能被5整除”．【答案】 B5．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【解析】一般的演绎推理是三段论推理：大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理对特殊情况作出的判断．此题的推理不符合上述特征，故选C.【答案】 C6．(2015·安徽高考)设i是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】2i1－i＝2i 1＋i1－i 1＋i＝2 i－12＝－1＋i，由复数的几何意义知－1＋i在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.【答案】 B7．考察棉花种子是否经过处理跟生病之间的关系得到如表数据：A ．种子经过处理跟是否生病有关B ．种子经过处理跟是否生病无关C ．种子是否经过处理决定是否生病D ．以上都是错误的【解析】 计算3293与101314可知相差很小，故选B.【答案】 B8．给出下面类比推理：①“若2a <2b ，则a <b ”类比推出“若a 2<b 2，则a <b ”； ②“(a ＋b )c ＝ac ＋bc (c ≠0)”类比推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)”； ③“a ，b ∈R ，若a －b ＝0，则a ＝b ”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b ＝0，则a ＝b ”； ④“a ，b ∈R ，若a －b >0，则a >b ”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b >0，则a >b (C 为复数集)”．其中结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 ①显然是错误的；因为复数不能比较大小，所以④错误，②③正确，故选B.【答案】 B9．(2015·全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图1，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝( )图1A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 逐次运行程序，直至输出n .运行第一次：S ＝1－12＝12＝0.5，m ＝0.25，n ＝1，S >0.01；运行第二次：S ＝0.5－0.25＝0.25，m ＝0.125，n ＝2，S >0.01； 运行第三次：S ＝0.25－0.125＝0.125，m ＝0.062 5，n ＝3，S >0.01； 运行第四次：S ＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m ＝0.031 25，n ＝4，S >0.01； 运行第五次：S ＝0.031 25，m ＝0.015 625，n ＝5，S >0.01； 运行第六次：S ＝0.015 625，m ＝0.007 812 5，n ＝6，S >0.01； 运行第七次：S ＝0.007 812 5，m ＝0.003 906 25，n ＝7，S <0.01. 输出n ＝7.故选C. 【答案】 C10．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33为( ) A ．3 B ．－3 C ．6D ．－6 【解析】 a 1＝3，a 2＝6，a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－3，a 5＝a 4－a 3＝－6，a 6＝a 5－a 4＝－3，a 7＝a 6－a 5＝3，a 8＝a 7－a 6＝6，…，观察可知{a n }是周期为6的周期数列，故a 33＝a 3＝3. 【答案】 A11．(2016·大同高二检测)设a ，b ，c 均为正实数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c＋a －b ，则“PQR >0”是“P ，Q ，R 同时大于0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 必要性显然成立；PQR >0，包括P ，Q ，R 同时大于0，或其中两个为负两种情况．假设P <0，Q <0，则P ＋Q ＝2b <0，这与b 为正实数矛盾．同理当P ，R 同时小于0或Q ，R 同时小于0的情况亦得出矛盾，故P ，Q ，R 同时大于0，所以选C.【答案】 C12．有人收集了春节期间平均气温x 与某取暖商品销售额y 的有关数据如下表：y ＝bx ＋a 的系数b ＝－2.4，则预测平均气温为－8℃时该商品销售额为( )A ．34.6万元B ．35.6万元C ．36.6万元D ．37.6万元【解析】 x ＝－2－3－5－64＝－4，y ＝20＋23＋27＋304＝25，所以这组数据的样本中心点是(－4,25)． 因为b ＝－2.4，把样本中心点代入线性回归方程得a ＝15.4， 所以线性回归方程为y ＝－2.4x ＋15.4. 当x ＝－8时，y ＝34.6.故选A. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上) 13．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________． 【解析】 z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ， ∴m 2－m ＝0，∴m ＝0或1. 【答案】 0或114．在平面几何中，△ABC 的∠C 内角平分线CE 分AB 所成线段的比|AE |∶|EB |＝|AC |∶|CB |(如图2①)，把这个结论类比到空间，如图2②，在三棱锥A BCD 中，平面CDE 平分二面角A CD B 且与AB 相交于E ，结论是__________________．图2【解析】 依平面图形与空间图形的相关元素类比，线段之比类比面积之比． 【答案】 S △ACD ∶S △BCD ＝AE 2∶EB 215．(2015·山东高考)执行下边的程序框图3，若输入的x 的值为1，则输出的y 的值是________．图3【解析】 当x ＝1时，1<2，则x ＝1＋1＝2；当x ＝2时，不满足x <2，则y ＝3×22＋1＝13.【答案】 1316．(2016·江西吉安高二检测)已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论________. 【导学号：67720029】【解析】 由等比数列的性质可知，b 1b 30＝b 2b 29＝…＝b 11b 20，∴10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30.【答案】10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2016·哈尔滨高二检测)设z ＝ 1－4i 1＋i ＋2＋4i3＋4i ，求|z |.【解】 z ＝1＋i －4i ＋4＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i3＋4i ，∴|z |＝|7＋i||3＋4i|＝525＝ 2.18．(本小题满分12分)给出如下列联表：(参考数据：P (χ2≥6.635)＝0.010，P (χ2≥7.879)＝0.005) 【解】 由列联表中数据可得χ2＝110× 20×50－10×30230×80×50×60≈7.486.又P (χ2≥6.635)＝0.010，所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为高血压与患心脏病有关系． 19．(本小题满分12分)已知a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，求证：ax ＋by ≤1(分别用综合法、分析法证明)．【证明】 综合法：∵2ax ≤a 2＋x 2,2by ≤b 2＋y 2， ∴2(ax ＋by )≤(a 2＋b 2)＋(x 2＋y 2)． 又∵a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1， ∴2(ax ＋by )≤2，∴ax ＋by ≤1. 分析法：要证ax ＋by ≤1成立， 只要证1－(ax ＋by )≥0， 只要证2－2ax －2by ≥0， 又∵a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，∴只要证a 2＋b 2＋x 2＋y 2－2ax －2by ≥0， 即证(a －x )2＋(b －y )2≥0，显然成立．20．(本小题满分12分)某省公安消防局对消防产品的监督程序步骤为：首先受理产品请求，如果是由公安部发证的产品，则审核考察，领导复核，不同意，则由窗口将信息反馈出去，同意，则报公安部审批，再经本省公安消防局把反馈信息由窗口反馈出去．如果不是由公安部发证的产品，则由窗口将信息反馈出去．试画出此监督程序的流程图．【解】 某省公安消防局消防产品监督程序的流程图如下：21．(本小题满分12分)某产品的广告支出x (单位：万元)与销售收入y (单位：万元)之间有下表所对应的数据：(1)(2)求出y 对x 的线性回归方程；(3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？ 【解】 (1)散点图如图：(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以备计算a ，b .于是x ＝52，y ＝692，代入公式得：b ＝∑i ＝14x i y i －4x －y－∑i ＝14x 2i －4x －2＝418－4×52×69230－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝735，a ＝y －b x ＝692－735×52＝－2.故y 与x 的线性回归方程为y ＝735x －2.(3)当x ＝9万元时，y ＝735×9－2＝129.4(万元)．所以当广告费为9万元时，可预测销售收入约为129.4万元．22．(本小题满分12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图4①，②，③，④为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．图4(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f 1 ＋1f 2 －1＋1f 3 －1＋…＋1f n －1的值． 【解】 (1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4，…由上式规律，所以得出f (n ＋1)－f (n )＝4n .因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ⇒f (n ＋1)＝f (n )＋4n ⇒f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＝…＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时，1f n －1＝12n n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ， ∴1f 1 ＋1f 2 －1＋1f 3 －1＋…＋1f n －1＝1＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝32－12n .。
北师大版数学选修1-2 第四章 数系的扩充与复数的引入 章末归纳总结课件(48张)
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题型探究
第一章
本章归纳总结
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复数的概念
下列命题中，正确命题的个数是________．
①若x、y∈C则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a、b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i； ③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0； ④若a∈R，则(a＋1)i为纯虚数． [分析] (1)是两复数相等，用复数相等的充要条件判断；
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四、运算法则 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a、b、c、d∈R)． 1．z1± z2＝(a± c)＋(b± d)i； 2．z1· z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； z1 ac＋bd bc－ad 3．z ＝ 2 ＋ i． c ＋d2 c2＋d2 2
第一章
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一、复数的概念 1．虚数单位 i：(1)i2＝－1；(2)i 和实数在一起，服从实数 的运算律． 2．代数形式：a＋bi(a、b∈R)，其中 a 叫实部，b 叫虚部． 3．复数的分类 复数 z＝a＋bi(a、b∈R)中， z 是实数⇔b＝0， z
沟通了“数与形”之间的联系，提供了用“形”来帮助处理
“数”和用“数”来帮助处理“形”的工具．
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本章有两条主线：一条主线是以复数代数形式来表示复数
的概念．规定了加、乘两种运算法则，然后把减、除法分别定 义为加、乘法的逆运算来推导出其运算法则．利用复数的四则 运算，可把复数代数形式 a ＋ bi 看成由 a 和 bi 两个非同类项组 成，这样多项式的运算法则几乎可以全部搬过来照用不误，于 是复数就与多项式、方程联系起来，从而能帮助解决一些多项 式中的因式分解、解方程等数学问题．
2018_2019学年高中数学第四章数系的扩充与复数的引入章末小结课件北师大版选修1_2
3．复数是实数的充要条件 (1)z＝a＋bi(a，b∈R)∈R⇔b＝0； (2)z∈R⇔z＝ z ； (3)z∈R⇔z2≥0. 4．复数是纯虚数的充要条件 (1)z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0，且 b≠0； (2)z 是纯虚数⇔z＋ z ＝0(z≠0)； (3)z 是纯虚数⇔z2<0.
一、复数的基本概念
实数b＝0 1．复数 a＋bi虚数b≠0纯 非虚 纯数 虚数a＝a≠0 0 2．复数的相等 两个复数 z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，当 且仅当 a＝c 且 b＝d 时，z1＝z2.特别地，当且仅当 a＝b＝0 时，a＋bi＝0.
高中数学北师大版选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》(第1课时 数系的扩充和复数的概念)精品学案
第1课时数系的扩充和复数的概念1.了解引进复数的必要性,理解并掌握虚数单位i.2.理解复数的代数形式,复数虚部与实部.3.实数集、复数集、虚数集与纯虚数集的关系.重点:掌握复数的实部与虚部;实数、复数、虚数、纯虚数与复数的代数形式的实部、虚部的关系;两复数相等的充要条件.难点:体会复数问题实数化的过程.由于解方程的需要推动了数的发展,为了使类似x+5=3的方程有解,引入了负数;为了使类似5x=3的方程有解,引入了分数;为了使类似x2=3的方程有解,引入了无理数.但引入无理数后,类似x2=-1的方程在实数范围内仍然没解.问题1:为了得到方程x2=-1的解,需引入虚数单位i,试给出虚数单位i的定义?虚数单位i满足它的平方等于-1,即i2=-1.问题2:(1)复数:形如a+b i(a,b∈R)的数叫作复数.(2)复数集:全体复数所成的集合叫作复数集,用字母C表示.(3)复数的代数形式:复数通常用字母z表示,把复数表示成a+b i(a,b∈R)的形式,其中a与b分别叫作复数的实部与虚部.(4)两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.这就是说,如果a、b、c、d∈R,那么a+b i=c+d i⇔a=c,b=d.问题3:复数z=a+b i(a,b∈R),当b=0时,复数z是实数;当b≠0时,复数z是虚数;当时,复数z是纯虚数.问题4: 两复数可不可以比较大小?当两复数是实数时,两复数可以比较大小;当两复数有一个是虚数时,两复数不能比较大小,只能分析两复数相不相等.“复数”“虚数”这两个名词,都是人们在解方程时引入的.为了用公式求一元二次、三次方程的根,就会遇到求负数的平方根的问题.1545年,意大利数学家卡丹诺在《大术》一书中,首先研究了虚数,并进行了一些计算.1.“a=0”是“复数a+b i(a,b∈R)为纯虚数”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】a=0时,a+b i(a,b∈R)可能为纯虚数,也可能为0;a+b i为纯虚数时,a=0.所以答案为B.【答案】B2.复数z=-3-10i的实部是().A.3B.-3C.-10iD.10【解析】复数z=-3-10i的实部是-3.【答案】B3.若复数z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R),则z1=z2的充要条件是.【解析】z1=z2,则它们的实部与虚部分别相等,即a=c且|b|=|d|.【答案】a=c且b2=d2(或写成a=c且|b|=|d|)4.判断下列命题的真假:(1)-1的平方根只有一个;(2)i是1的4次方根;(3)i是方程x6-1=0的根;(4)方程x3-x2+x-1=0的根只有一个.【解析】(1)∵(-i)2=i2=-1,∴-i也是-1的平方根,故(1)为假命题.(2)∵i2=-1,∴i4=i2·i2=(-1)2=1,故(2)为真命题.(3)i6-1=i2·i2·i2-1=(-1)3-1=-2≠0,故(3)为假命题.(4)由x3-x2+x-1=0得(x2+1)(x-1)=0,则x2=-1或x=1,即x=±i或x=1都是方程x3-x2+x-1=0的根,故(4)为假命题.对复数概念的理解已知下列命题:①复数a+b i不是实数;②两个复数不能比较大小;③若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,其中x∈R,则x=±2;④若复数z=a+b i,则当且仅当b≠0时,z为虚数;⑤若a+b i=c+d i,则a=c且b=d.其中真命题的个数是().A.0B.1C.3D.4【方法指导】根据复数的有关概念来判断命题的真假.【解析】①是假命题,因为当a∈R且b=0时,a+b i是实数.②是假命题,因为两个复数都是实数时,可以比较大小.③是假命题,因为由纯虚数的条件得解得x=2.④是假命题,因为没有强调a,b∈R.⑤是假命题,因为没有强调,a,b,c,d∈R这一重要条件,故选A.【答案】A【小结】对于概念的理解注意一些小细节,比如a+b i中要求a∈R,b∈R.复数概念的应用z=+(m2+5m+6)i,当实数m为何值时,(1)z是实数;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数?【方法指导】根据复数的分类方式将问题转化为求实部和虚部应满足什么条件.【解析】(1)若z是实数,则得m=-2.(2)若z是虚数,则得m≠-2且m≠-3且m∈R.(3)若z是纯虚数,则得m=3.【小结】①本题考查复数集的分类,给出的是复数的标准代数形式即z=a+b i(a,b∈R),若不然,应先将其化为标准形式,再根据满足的条件去解;②解题中应时刻注意使式子有意义.复数相等的充要条件(1)已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,x,y∈R,求x与y.(2)设z1=1+sin θ-icos θ,z2=+(cos θ-2)i,若z1=z2,求θ.【方法指导】确定两复数的实部与虚部,利用两复数相等的定义列方程组,解方程组.【解析】(1)根据复数相等的充要条件,得方程组解得(2)由已知,得故解得θ=2kπ(k∈Z).【小结】复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法,转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是:①等式两边整理为a+b i(a,b∈R)的形式;②由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组;③解方程组,求出相应的参数.下列命题中正确的有.①若z=a+b i(a,b∈R),则当a=0,b≠0时,z为纯虚数;②若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z2=z3;③若实数a与a i对应,则实数集与纯虚数集一一对应.【解析】①正确.②错误,只有当z1,z2,z3∈R时才成立;若z1=1,z2=0,z3=i也满足题意.③错误,若a=0,则0·i=0不再是纯虚数.【答案】①复数z=log2(x2-3x-3)+ilog2(x-3),当x为何实数时:(1)z∈R;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数?【解析】(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为零,所以有由②得x=4,经验证满足①.所以当x=4时,z∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部非零,所以有解得即<x<4或x>4.所以当<x<4或x>4时,z为虚数.(3)因为一个复数是纯虚数时其实部为零且虚部不为0,所以有解得方程无解,所以复数z不可能是纯虚数.关于a的方程是a2-a tan θ-2-(a+1)i=0,若方程有实数根,求锐角θ和实数根.【解析】设实数根是a,则a2-a tan θ-2-(a+1)i=0,∵a,tan θ∈R,∴∴a=-1且tan θ=1,又0<θ<,∴θ=,a=-1.1.设集合C={复数},A={实数},B={纯虚数},若全集S=C,则下列结论中正确的是().A.A∪B=CB.∁S A=BC.A∩(∁S B)=⌀D.B∩(∁S A)=B【答案】D2.如果复数z=(a2-3a+2)+(a-1)i为纯虚数,则实数a的值为().A.1或2B.1C.2D.不存在【解析】由a2-3a+2=0和a-1≠0,得a=2.【答案】C3.已知复数z=3-2i,则复数z的实部与虚部的积是.【解析】z=3-2i的实部和虚部分别为3,-2,故答案为-6.【答案】-64.实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点:(1)位于第四象限;(2)在x 轴的负半轴上?【解析】(1)由已知得∴∴-7<m<3.∴当m∈(-7,3)时,z对应的点在第四象限.(2)由已知得解得m=4,即m=4时,z对应的点在x轴的负半轴上.(2013年·上海卷)设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=.【解析】∵m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,∴∴m=-2.【答案】-21.复数z=-2+3i的虚部是().A.-2B.2C.3D.3i【解析】复数z=-2+3i的虚部是3.【答案】C2.若复数(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i为虚数,则实数x满足().A.x=-B.x=-2或-C.x≠-2D.x≠1且x≠-2【解析】由题意得x2+x-2≠0,∴x≠1且x≠-2.【答案】D3.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},集合N={-1,3},若M∩N={3},则实数m的值为.【解析】由题设知3∈M,∴m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3.∴即∴m=-1.【答案】-14.设复数z=ab+(a2+b2)i(a、b∈R),a、b分别满足什么条件时,z是实数、虚数、纯虚数?【解析】当a、b同时为0时,z为实数;当a、b不全为0时,z是虚数;当a、b有且仅有一个为0时,z为纯虚数.5.如果(x+y)i=x-1,则实数x、y的值分别为().A.x=1,y=-1B.x=0,y=-1C.x=1,y=0D.x=0,y=0【解析】根据复数相等的充要条件,可知解得【答案】A6.下列命题中,正确命题的个数是().①若x,y∈C,则x+y i=1+i的充要条件是x=y=1;②若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i;③若x2+y2=0,则x=y=0;④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零;⑤-1没有平方根;⑥若a∈R,则(a+1)i是纯虚数.A.0B.1C.2D.3【解析】由于x,y∈C,所以x+y i不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的充要条件,①是假命题.由于两个虚数不能比较大小,∴②是假命题.当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,∴③是假命题.因为复数为纯虚数要求实部为零,虚部不为零,故④错.因为-1的平方根为±i,故⑤错.当a=-1时,(a+1)i是实数0,故⑥错.【答案】A7.复数z=(a2+2a-3)+(a2-1)i(a∈R)为纯虚数,则复数z的虚部为.【解析】复数z=(a2+2a-3)+(a2-1)i(a∈R)为纯虚数,∴∴∴a=-3,∴a2-1=8,∴复数z的虚部为8.【答案】88.已知m∈R,复数z=+(m2+2m-3)i,当m为何值时:(1)z∈R;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数;(4)z=+4i?【解析】(1)m需满足解得m=-3.(2)m需满足m2+2m-3≠0且m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.(3)m需满足解得m=0或m=-2.(4)m需满足解得m∈⌀.9.已知m、n∈R,复数z1=m2+2n-3+(m+n)i,z2=2m-3n+2+(2m-n)i,若z1=z2,则m+n=.【解析】∵z1=z2,∴∴∴n=1或n=-,m+n=3n,∴m+n的值为3或-.【答案】3或-10.已知复数z1=sin 2x+λi,z2=m+(m-cos 2x)i(λ,m,x∈R),且z1=z2.若λ=0且0<x<π,求x的值.【解析】∵z1=z2,∴∴λ=sin 2x-cos 2x.若λ=0,则sin 2x-cos 2x=0,得tan 2x=.∵0<x<π,∴0<2x<2π,∴2x=或2x=, ∴x=或.。
北京市2016-2017学年高中数学北师大版选修1-2学案：4.1 数系的扩充与复数的引入 Word版含解析
§1 数系的扩充与复数的引入 1．1 数的概念的扩展 1．2 复数的有关概念1．了解引入虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程．2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．(重点) 3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．(易混点) 4．理解复数的几何表示．(难点)[基础·初探]教材整理1 复数的有关概念及分类 阅读教材P 73部分，完成下列问题． 1．复数的有关概念 (1)复数①定义：形如a ＋b i 的数叫作复数，其中a ，b ∈R ，i 叫作虚数单位．a 叫作复数的实部，b 叫作复数的虚部．②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i. (2)复数集①定义：复数的全体组成的集合叫作复数集． ②表示：通常用大写字母C 表示． 2．复数的分类及包含关系 (1)复数a ＋b i ，a ，b ∈R . ⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)⎩⎨⎧纯虚数(a ＝0)，非纯虚数(a ≠0).(2)集合表示：图4-1-1判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)若a 为实数，则z ＝a 一定不是虚数．( ) (3)b i 是纯虚数．( )(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 教材整理2 复数的有关概念阅读教材P 74“1.2复数的有关概念”以下至P 75“练习”以上部分，完成下列问题．1．两个复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 当且仅当a ＝c ，且b ＝d . 2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )； (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )――→一一对应复平面向量OZ →＝(a ，b )． 3．复数的模设复数z ＝a ＋b i 在复平面内对应的点是Z (a ，b )，点Z 到原点的距离|OZ |叫作复数z 的模或绝对值，记作|z |，且|z |＝a 2＋b 2.如果(x ＋y )i ＝x －1，则实数x ，y 的值分别为( ) A ．x ＝1，y ＝－1B ．x ＝0，y ＝－1C ．x ＝1，y ＝0D ．x ＝0，y ＝0【解析】 ∵(x ＋y )i ＝x －1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －1＝0，∴x ＝1，y ＝－1. 【答案】 A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________[小组合作型]复数的概念与分类(1)若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．±1D ．－1或－2(2)已知复数z ＝a ＋(a 2－1)i 是实数，则实数a 的值为________．(3)当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m ＋(m 2－2m )i 为：①实数？②虚数？③纯虚数？【精彩点拨】 依据复数的分类标准，列出方程(不等式)组求解． 【自主解答】 (1)∵(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0.由x 2－1＝0，得x ＝±1，又由x 2＋3x ＋2≠0，得x ≠－2且x ≠－1，∴x ＝1.(2)∵z 是实数，∴a 2－1＝0，∴a ＝±1. 【答案】 (1)B (2)±1(3)①当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数．②当m 2－2m ≠0，且m ≠0， 即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．③当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．要特别注意复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0.[再练一题]1．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a ，b ∈R )为纯虚数的充要条件是( ) A ．|a |＝|b | B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠bD ．a >0且a ＝±b【解析】 要使复数z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，a ＋|a |≠0，∴a >0，a ＝±b .故选D. 【答案】 D复数相等(1)下列命题： ①若a ＋b i ＝0，则a ＝b ＝0；②x ＋y i ＝2＋2i ⇔x ＝y ＝2；③若y ∈R ，且(y 2－1)－(y －1)i ＝0，则y ＝1. 其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)已知x ，y ∈R ，(x ＋2y －1)＋(x －3y ＋4)i ＝10－5i ，求x ，y . 【精彩点拨】 根据复数相等的充要条件求解．【自主解答】 (1)命题①②中未明确a ，b ，x ，y 是否为实数，从而a ，x 不一定为复数的实部，b ，y 不一定是复数的虚部，故命题①②错误；命题③中，y ∈R ，从而y 2－1，－(y －1)是实数，根据复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 2－1＝0，－(y －1)＝0，∴y ＝1，故③正确． 【答案】 B(2)因为x ，y ∈R ，所以(x ＋2y －1)，(x －3y ＋4)是实数，所以由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝10，x －3y ＋4＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4. 所以x ＝3，y ＝4.1．复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，其中a ，b ，c ，d ∈R ，则z 1＝z 2⇔a ＝c 且b ＝d .2．复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法．转化过程主要依据复数相等的充要条件．基本思路是：(1)等式两边整理为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式；(2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组； (3)解方程组，求出相应的参数．[再练一题]2．(1)(2016·重庆高二检测)若(x －y )＋(2x －3)i ＝(3x ＋y )＋(x ＋2y )i(其中x ，y 为实数)，则x ＝________，y ＝________.(2)已知(2x ＋8y )＋(x －6y )i ＝14－13i ，则xy ＝________. 【解析】 (1)由复数相等的意义得 ⎩⎨⎧ x －y ＝3x ＋y ，2x －3＝x ＋2y ，所以⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1. (2)由复数相等的意义，得 ⎩⎨⎧ 2x ＋8y ＝14，x －6y ＝－13，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2. 所以xy ＝－2.【答案】 (1)1 －1 (2)－2[探究共研型]复数的几何意义探究1 若向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ →2对应的复数是－5＋4i ，如何求OZ →1＋OZ →2对应的复数？ 【提示】 因为向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ →2对应的复数是－5＋4i ，所以OZ →1＝(5，－4)，OZ →2＝(－5,4)，所以OZ →1＋OZ →2＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ →1＋OZ →2对应的复数是0. 探究2 若复数(a ＋1)＋(a －1)i(a ∈R )在复平面内对应的点P 在第四象限，则a 满足什么条件？【提示】 a 满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，a －1＜0，即－1＜a ＜1.(1)已知复数z 的实部为1，且|z |＝2，则复数z 的虚部是( ) A ．－ 3B.3iC ．±3iD ．±3(2)求复数z 1＝6＋8i 及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们模的大小． 【精彩点拨】 (1)设出复数z 的虚部，由模的公式建立方程求解． (2)用求模的公式直接计算．【自主解答】 (1)设复数z 的虚部为b ，∵|z |＝2，实部为1，∴1＋b 2＝4，∴b ＝±3，选D.【答案】 D(2)因为z 1＝6＋8i ，z 2＝－12－2i ， 所以|z 1|＝62＋82＝10，|z 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋(－2)2＝32.因为10>32，所以|z 1|>|z 2|.1．复数集和复平面内所有的点构成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可以根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．2．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算．3．两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．[再练一题]3．(1)复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，则向量AB →表示的复数是________．(2)已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围．【解析】 (1)因为复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA→与OB →，所以OA →＝(4,3)，OB →＝(－2，－5)，又AB →＝OB →－OA →＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量AB→表示的复数是－6－8i. 【答案】 －6－8i (2)∵z ＝3＋a i(a ∈R )，|z |＝ 32＋a 2，由已知得32＋a 2<4，∴a 2<7，∴a ∈(－7， 7)．[构建·体系]1．给出下列三个命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②2i －1的虚部是2i ；③2i 的实部是0.其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 复数的平方不一定大于0，故①错误；2i －1的虚部为2，故②错误；2i 的实部是0，③正确，故选B.【答案】 B2．已知复数z ＝2－3i ，则复数的模|z |等于( ) A ．5 B ．8 C ．6D ．11【解析】 |z |＝(2)2＋(－3)2＝11.【答案】 D3．下列命题正确的是__________(填序号)．①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋2i 的充要条件是x ＝1，y ＝2； ②若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ③实数集的补集是虚数集．【解析】 ①由于x ，y 都是复数，故x ＋y i 不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．②当a ＝0时，a i ＝0为实数，故②为假命题． ③由复数集的分类知，③正确，是真命题． 【答案】 ③4．复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数x 的取值范围是________．【解析】 ∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，3－x ＜0，解得x ＞3. 【答案】 (3，＋∞)5．已知复数z ＝(m 2＋3m ＋2)＋(m 2－m －6)i ，则当实数m 为何值时，复数z 【导学号：67720023】(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数． 【解】 z ＝(m 2＋3m ＋2)＋(m 2－m －6)i.(1)令m 2－m －6＝0⇒m ＝3或m ＝－2，即m ＝3或m ＝－2时，z 为实数． (2)令m 2－m －6≠0，解得m ≠－2且m ≠3，所以m ≠－2且m ≠3时，z 是虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m ＋2＝0，m 2－m －6≠0，解得m ＝－1，所以m＝－1时，z是纯虚数．我还有这些不足：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·泰安高二检测)－(2－2i)的虚部是()A．－2B．－ 2C. 2 D．2【解析】∵－(2－2i)＝－2＋2i，∴其虚部是 2.【答案】 C2．(2016·青岛高二检测)在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵sin 2>0，cos 2<0，∴复数z对应的点(sin 2，cos 2)在第四象限．故选D.【答案】 D3．(2016·肇庆高二检测)若x i－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋y i＝() A．－2＋i B．2＋iC ．1－2iD ．1＋2i【解析】 由i 2＝－1，得x i －i 2＝1＋x i ，则由题意得1＋x i ＝y ＋2i ，根据复数相等的充要条件得x ＝2，y ＝1，故x ＋y i ＝2＋i.【答案】 B4．已知复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B ．a ≠2，且a ≠1 C ．a ＝0D ．a ＝2或a ＝0【解析】 由题意，得a 2－2a ＝0，得a ＝0或a ＝2.故选D. 【答案】 D5．如果复数z 满足条件z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( ) A ．－34＋i B.34－i C ．－34－iD ．34＋i【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝34，b ＝1，即z ＝34＋i.【答案】 D 二、填空题6．设i 为虚数单位，若复数z ＝(m 2＋2m －3)＋(m －1)i 是纯虚数，则实数m ＝__________.【解析】 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3＝0，m －1≠0，解得m ＝－3.【答案】 －37．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是__________． 【解析】 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，所以所求的复数是3－3i.【答案】 3－3i8．复数z ＝x ＋1＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝3，则点Z (x ，y )的轨迹是________． 【解析】 ∵|z |＝3， ∴(x ＋1)2＋(y －2)2＝3，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝32.故点Z (x ，y )的轨迹是以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆．【答案】 以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆 三、解答题9．已知m ∈R ，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时；(1)z ∈R ；(2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z ＝12－4i? 【解】 (1)∵z ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋2m －3＝0，m －1≠0，解得m ＝－3， ∴当m ＝－3时，z ∈R . (2)∵z 是虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0，m －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠1且m ≠－3，m ≠1，∴当m ≠1且m ≠－3时，z 是虚数． (3)∵z 是纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0，m (m ＋2)m －1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠1且m ≠－3，m ＝0或m ＝－2，∴当m ＝0或m ＝－2时，z 是纯虚数． (4)∵z ＝12－4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m ＋2)m －1＝12，m 2＋2m －3＝－4，即⎩⎨⎧m ＝－1或－12，m ＝－1，∴m ＝－1时，z ＝12－4i.10．已知O 为坐标原点，OZ →1对应的复数为－3＋4i ，OZ →2对应的复数为2a＋i(a ∈R )．若OZ →1与OZ →2共线，求a 的值． 【解】 因为OZ →1对应的复数为－3＋4i ，OZ →2对应的复数为2a ＋i ，所以OZ→1＝(－3,4)，OZ →2＝(2a,1)．因为OZ →1与OZ →2共线，所以存在实数k 使OZ →2＝kOZ →1，即(2a,1)＝k (－3,4)＝(－3k,4k )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－3k ，1＝4k ，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝14，a ＝－38，即a 的值为－38.[能力提升]1．若复数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45i 是纯虚数，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4的值为( ) A ．－7 B ．－17 C ．7D ．－7或－17【解析】 ∵复数z 是纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－35＝0，cos θ－45≠0，∴sin θ＝35且cos θ≠45，∴cos θ＝－45.∴tan θ＝sin θcos θ＝－34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－34－11－34＝－7，故选A. 【答案】 A2．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°，且复数z 的模为2，则复数z 为( )A ．1＋3iB ．2C ．(－1, 3)D ．－1＋3i【解析】 设复数z 对应的点为(x ，y )，则 x ＝|z |·cos 120°＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，y ＝|z |·sin 120°＝2×32＝3，∴复数z 对应的点为(－1, 3)，∴z ＝－1＋3i. 【答案】 D3．复数z ＝－5－12i 在复平面内对应的点到原点的距离为__________． 【解析】 复数z ＝－5－12i 在复平面内对应点Z (－5，－12)，所以点Z 与原点O 的距离为|OZ |＝(－5)2＋(－12)2＝13.【答案】 134．若m 为实数，z 1＝(m 2＋1)＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝(4m ＋2)＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么使z 1>z 2的m 值的集合是什么？使z 1<z 2的m 的值的集合又是什么？ 【导学号：67720024】【解】 当z 1∈R 时，m 3＋3m 2＋2m ＝0， 解得m ＝0或m ＝－1或m ＝－2， ∴z 1＝1或z 1＝2或z 1＝5. 当z 2∈R 时，m 3－5m 2＋4m ＝0， 解得m ＝0或m ＝1或m ＝4，∴z2＝2或z2＝6或z2＝18.上面m的公共值为m＝0，此时，z1与z2同时为实数，且z1＝1，z2＝2. ∴当z1>z2时，m值的集合为空集；当z1<z2时，m值的集合为{0}．。
高中数学选修1,2《数系的扩充和复数的概念》教案
高中数学选修1,2《数系的扩充和复数的概念》教案高中数学选修1-2《数系的扩充和复数的概念》教案【一】教学准备教学目标知识与技能1、了解数系扩充的过程及引入复数的需要2、掌握复数的有关概念和代数符号形式、复数的分类方法及复数相等的充要条件过程与方法1、通过数系扩充的介绍，让学生体会数系扩充的一般规律2、通过具体到抽象的过程，让学生形成复数的一般形式情感态度与价值观1、体会数系的扩充过程中蕴含的创新精神与实践精神，感受人类理性思维的作用2、体会类比、分类讨论、等价转化的数学思想方法教学重难点重点：引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类，复数相等的充要条件难点：虚数单位i的引进和复数的概念教学过程(一)问题引入事实上在实数范围内x和y确实不存在?为什么会这样呢?假设x和y是存在的，那么就肯定是一些不是实数的数，那么，这些数是什么呢?我们能不能解决这个问题呢?这就是我们今天要学习的内容《数系的扩充和复数的引入》(二)回顾数系的扩充历程师：其实对于这种“数不够用”的情况，我们并不陌生。
大家记得吗?从小学到现在，我们一直在经历着数的不断扩充。
现在就让我们来回顾一下，看看我们以前是怎么解决“数不够用”的问题的。
(三)类比，引入新数，将实数集扩充1、类比数系的扩充规律，引导学生找出解决“实数不够用”这个问题的办法生：引入新数，使得平方为负数师：我们希望引入的数的平方为负数，但是负数有无穷多个，我们不肯能一下子引入那么多，只要引入平方为多少就行呢?2、历史重现：3、探究复数的一般形式：(四)新的数集——复数集1.复数的定义(略)2.复数的应用：复数在数学、力学、电学及其他学科中都有广泛的应用，复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，是进一步学习数学的基础。
(五)复数的分类(六)复数相等的充要条件复数相等的充要条件可以把复数相等的问题转化为求方程组的解的问题，是一种转化的思想。
课后小结1、由于实际的需要，我们总结数的三次扩充过程的规律，运用类比的方法，我们引进了新的数i，并将实数集扩充到了复数集，认识到了复数的代数形式，并讨论了复数的分类及复数相等的充要条件，并且利用相等的条件把复数问题转化为方程组的解的问题2、那么，复数究竟是什么东西呢?能不能像实数一样在现实中找到它的影子呢?别急，我们的探索脚步并不会停止下去，这是我们下次将要探索的内容。
高中数学(北师大版)选修1-2精品学案：第四章 数系的扩充与复 数的引入 章末小结
章末小结1.复数的概念及主要代数性质(1)复数:形如z=a+b i(a,b∈R)的数叫作复数,其中i是虚数单位,i2=-1,a,b分别叫它的实部和虚部.(2)复数的分类:设复数z=a+b i(a,b∈R),①当b=0时,z为实数;②当b≠0时,z为虚数;③当a=0,且b≠0时,z为纯虚数.(3)复数相等的条件:在复数集中任意两个复数a+b i,c+d i(a,b,c,d∈R),规定:a+b i与c+d i相等的充要条件是a=c且b=d,换句话说,如果两个复数实部和虚部分别相等,那么就说这两个复数相等.(4)两个实数可以比较大小,但两个复数如果不全是实数,就不能比较它们的大小.(5)共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.2.对复平面与复数的几何性质的理解(1)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面,x轴叫作实轴,y轴叫作虚轴.(2)复数z=a+b i(a,b∈R)与复平面上的点Z(a,b)建立了一一对应的关系.(3)复数的模:因为z=a+b i(a,b∈R)与复平面内的向量一一对应,所以向量的模就叫作复数z=a+b i的模,因此有|z|= ,且有z·=a2+b2.3.复数的四则运算及运算律(1)复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行:设z1=a+b i,z2=c+d i(a,b,c,d∈R),则①z1±z2=(a±c)+(b±d)i;②z1·z2=(ac-bd)+(ad+bc)i;③== +i(z2≠0).(2)结论:①在复数代数形式的四则运算中,加法、减法、乘法运算都可以按多项式运算法则进行,只是在运算过程中把i2换成-1,然后实、虚部分别合并;除法法则需分子分母同乘分母的共轭复数,使分母实数化.②记住一些常用的结果,如i的有关性质,可简化运算,提高运算速度.③若z为虚数,则|z|2≠z2.(3)运算律①复数的加法运算满足交换律、结合律.②复数的乘法运算满足交换律、结合律、乘法对加法的分配律.③复数的减法是加法的逆运算,复数的除法是乘法的逆运算.4.复数与其他知识的联系与区别(1)复数事实上是一对有序实数对,因此复数问题可以转化为实数问题来解决,复数z=a+b i(a,b∈R)与复平面内的向量=(a,b)一一对应,故复数与平面解析几何、平面向量联系密切.(2)复数代数形式的加、减运算与平面向量的加、减运算是一致的,复数代数形式的加法、减法、乘法运算与多项式的加法、减法、乘法运算是类似的.题型1:复数的基本概念和运算已知复数z=(2+i)m2--2(1-i),当实数m取什么值时,复数z是:(1)零;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数?【解析】z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i.(1)当即m=2时,z为零.(2)当m2-3m+2≠0,即m≠2且m≠1时,z为虚数.(3)当即m=-时,z为纯虚数.(4)当2m2-3m-2=-(m2-3m+2),即m=0或m=2时,z为复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.【小结】本题考查了复数的四则运算、复数的分类、复数相等的充要条件、复数的几何意义等知识点.题型2:复数的几何意义已知z是复数,z+2i、均为实数,且复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a 的取值范围.【解析】则z+2i=c+(d+2)i为实数,即d+2=0,解得d=-2,所以z=c-2i.又==为实数,即=0,解得c=4,所以z=4-2i.∵(z+a i)2=(4-2i+a i)2=16-(2-a)2-8(2-a)i对应的点在第一象限,∴⇒解得2<a<6.∴实数a的取值范围是(2,6).【小结】复数的几何意义使复数及复平面内的数学问题转化成一系列的实数问题.因而,需熟记各种转化的条件和实数、虚数、纯虚数满足的条件.题型3:复数的综合应用设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2.(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;(2)设u=,求证:u为纯虚数;(3)求ω-u2的最小值.【方法指导】先设出z的代数形式,然后利用ω=z+是实数为突破口求出|z|,结合-1<ω<2的范围求出z的实部的取值范围.证明u为纯虚数只需求出u的代数形式后,说明它的实部为0,虚部不为0即可.求ω-u2的最小值,这里可利用重要不等式.【解析】(1)设z=a+b i(a,b∈R,b≠0),则ω=a+b i+=(a+)+(b-)i.∵ω是实数,b≠0,∴b-=0,∴a2+b2=1,∴|z|=1,∴ω=2a,又-1<ω<2,∴z的实部的取值范围是(-,1).(2)u=====-i.又a∈(-,1),b≠0,∴u为纯虚数.(3)ω-u2=2a+=2a+=2a-=2a-1+=2[(a+1)+]-3.∵a∈(-,1),∴<a+1<2,∴ω-u2≥1,当且仅当a+1=时,即a=0时等号成立.故ω-u2的最小值为1.【小结】没有给定复数的具体形式时,要注意首先设出其代数形式z=a+b i(a,b∈R),这是解决复数问题时的一般思路,本题将复数与不等式相结合考查,具有一定的综合性.1.(2012年·全国新课标卷)下面关于复数z=的四个命题:p1:|z|=2;p2:z2=2i;p3:z的共轭复数为1+i;p4:z的虚部为-1.其中的真命题为().A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p4【解析】由题意得z===-1-i,则=,z2=(-1-i)2=2i,=-1+i,z的虚部为-1,所以p2,p4是正确的.【答案】C2.(2013年·全国Ⅱ卷)设复数z满足(1-i)z=2i,则z=().A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i【解析】z===i(1+i)=-1+i.【答案】A3.(2013年·安徽卷)设i是虚数单位,若复数a-(a∈R)是纯虚数,则a的值为().A.-3B.-1C.1D.3【解析】a-=a-=a-=a-(3+i)=(a-3)-i,所以a=3.【答案】D一、选择题1.复数的虚部是().A.-1B.1C.iD.-i【解析】==-1+i.【答案】B2.i为虚数单位,复平面内表示复数z=的点在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】因为z====--i,所以其在复平面上对应的点为(-,-),在第三象限.【答案】C3.已知复数z满足(3+4i)z=25,则z=().A.-3+4iB.-3-4iC.3+4iD.3-4i【解析】(法一)由(3+4i)z=25,得z===3-4i.(法二)设z=a+b i(a,b∈R),则(3+4i)(a+b i)=25,即3a-4b+(4a+3b)i=25,所以解得故z=3-4i.【答案】D4.已知集合M={1,2,z i},i为虚数单位,N={3,4},M∩N={4},则复数z=().A.-2iB.2iC.-4iD.4i【解析】∵M∩N={4},∴4∈M,∴z i=4,∴z==-4i.【答案】C5.已知复数z满足(1-i)z=2,则||为().A.1+iB.1-iC.D.2【解析】z====1+i,=1-i,所以||=|1-i|=.【答案】C6.若复数(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为().A.2B.4C.-6D.6【解析】==,根据已知条件a=-6.【答案】C7.若复数z满足方程z2+2=0,则z3等于().A.±2B.-2C.±2 iD.-2 i【解析】z2+2=0⇒z=±i⇒z3=±2 i.【答案】C8.已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b等于().A.-1B.1C.2D.3【解析】由已知条件a+2i=-1+b i,则a=-1,b=2,a+b=1.【答案】B9.若纯虚数z满足(2-i)z=4+b i,则实数b等于().A.-2B.2C.-8D.8【解析】(法一)设z=a i(a∈R且a≠0),则a i(2-i)=4+b i,即2a i-a i2=4+b i,∴a+2a i=4+b i,即∴b=8.(法二)由(2-i)z=4+b i,得z====+i,则=0,∴b=8,选D.【答案】D10.定义运算=ad-bc,则符合条件=0的复数z的共轭复数对应的点在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】由题意得z(1+i)-(1-i)(1+2i)=0,即z=====2-i,所以=2+i,对应点(2,1)在第一象限,选A.【答案】A二、填空题11.复数=.【解析】==-2i.【答案】-2i12.复数(i为虚数单位)的实部等于.【解析】∵==-3-i,∴-3-i的实部等于-3.【答案】-313.设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=.【解析】由(z-2i)(2-i)=5,得z=2i+=2i+=2i+2+i=2+3i.【答案】2+3i14.若(x+i)i=-1+2i(x∈R),则x=.【解析】由题意,得x+i====2+i,所以x=2.【解析】215.若z=,则z100+z50+1=.【解析】z==,z100+z50+1=()100+()50+1=()50+()25+1=i50+i25+1=i2+i+1=i.【答案】i三、解答题16.已知z1=5+10i,z2=3-4i,=+,求z.【解析】=+=,则z=====5-i.17.已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1·z2是实数,求z2.【解析】∵(z1-2)(1+i)=1-i,∴z1=2-i.设z2=a+2i,a∈R,则z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.∵z1·z2∈R,∴a=4,∴z2=4+2i.18.已知复数z=(3+b i)(1+3i)(b∈R)是纯虚数.(1)求b的值;(2)若w=,求复数w的模|w|.【解析】(1)z=(3+b i)(1+3i)=(3-3b)+(9+b)i.∵z是纯虚数,∴3-3b=0,且9+b≠0,∴b=1.(2)w====-i,∴|w|==.19.已知复数z=1-2i(i为虚数单位).(1)把复数z的共轭复数记作,若·z1=4+3i,求复数z1;(2)已知z是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,求实数p,q的值.【解析】(1)由题意得=1+2i,所以z1===2-i.(2)由题意知2(1-2i)2+p(1-2i)+q=0,化简得(-6+p+q)+(-8-2p)i=0.根据复数相等的条件,有-6+p+q=0且-8-2p=0,解得p=-4,q=10.20.已知z为复数,z+2i和均为实数,其中i是虚数单位.(1)求复数z;(2)若复数(z+c i)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数c的取值范围.【解析】(1)设复数z=a+b i(a,b∈R),由题意知,z+2i=a+b i+2i=a+(b+2)i∈R,∴b+2=0,即b=-2.又==+i∈R,∴2b+a=0,即a=-2b=4.∴z=4-2i.(2)由(1)可知z=4-2i,∴(z+c i)2=(4-2i+c i)2=[4+(c-2)i]2=16-(c-2)2+8(c-2)i,其对应的点在复平面的第一象限,∴解得2<c<6,即c的取值范围为(2,6).21.已知动点P在复平面上对应的复数为z=t+3+3i,其中t是使为纯虚数的复数,求点P的轨迹方程.【解析】设t=x1+y1i(x1,y1∈R),则===为纯虚数,得+=9.设z=x+y i(x,y∈R),则t=z-3-3i,x1+y1i=x+y i-3-3i,代入+=9,得(x-3)2+(y-3)2=9.选修1-2模块测试评估卷一、选择题1.下列两变量中具有相关关系的是().A.球的体积与半径B.匀速行驶车辆的行驶距离与时间C.正方体外接球的表面积与正方体的棱长D.日照时间与棉花的产量【解析】A、B、C项都是具有确定性的函数关系.本题只有D项才具有相关关系.【答案】D2.i为虚数单位,()2=().A.-1B.1C.-iD.i【解析】()2===-1.【答案】A3.某药厂生产某产品的工艺过程如下:从上图可以看出药品生产过程需要检验().A.1次B.2次C.3次D.4次【答案】C4.把正整数按下图所示的规律排序,则从2003到2005的箭头方向依次为().A.B.C. D.【答案】B5.设f(z)=,z1=3+4i,z2=-2-i,则f(z1-z2)等于().A.1-3iB.-2+11iC.-2+iD.5-5i【答案】D6.已知回归直线斜率的估计值为1.23,样本点的中心为点(4,5),则回归直线的方程为().A.y=1.23x+4B.y=1.23x+5C.y=1.23x+0.08D.y=0.08x+1.23【解析】回归直线必过点(4,5),故其方程为y-5=1.23(x-4),即y=1.23x+0.08.【答案】C7.下列有关回归的说法,正确的是().①相关关系的两个变量不一定是因果关系;②散点图能直观地反映数据的相关程度;③回归直线能代表线性相关的两个变量之间的关系;④任何一组数据都有回归直线方程.A.①②B.①②③C.②④D.①②③④【答案】B8.在一次对性别与吃零食是否有关的调查中,得到如下数据:根据此表,得到如下结论,其中正确的是().A.在此次调查中有90%以上的把握认为吃零食与性别有关B.在此次调查中有95%的把握认为吃零食与性别有关C.在此次调查中有99%的把握认为吃零食与性别有关D.在此次调查中没有充分的数据证明吃零食与性别有关【解析】χ2=≈0.00242<2.706,选D.【答案】D9.在所给的四个选项中,选择最合适的一个填入问号处,使之呈现一定的规律性,选项为().A. B.C.D.【解析】本题考查学生对图形类问题归纳的能力.在第一行中,第一个图叠加第二个图为第三个图,第二行也满足此规律,所以第三行也应满足此规律.又第三行的前两个图叠加为A 项,故选A.【答案】A10.对任意复数ω1,ω2,定义ω1*ω2=ω1,其中是ω2的共轭复数.对任意复数z1,z2,z3有如下四个命题:①(z1+z2)*z3=(z1*z3)+(z2*z3);②z1*(z2+z3)=(z1*z2)+(z1*z3);③(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3);④z1*z2=z2*z1.则真命题的个数是().A.1B.2C.3D.4【解析】由题意得(z1+z2)*z3=(z1+z2)=z1+z2=z1*z3+z2*z3,故①正确;z1*(z2+z3)=z1(+)=z1+z1=(z1*z2)+(z1*z3),故②正确;(z1*z2)*z3=(z1)=z1,而z1*(z2*z3)=z1z3,故③不正确;z1*z2=z1,而z2*z1=z2,故④不正确.故选B.【答案】B二、填空题11.已知i是虚数单位,实数x,y满足(x+i)i+y=1+i,则x-y的值为.【解析】∵(x+i)i+y=1+i,∴y-1+x i=1+i(x, y∈R),∴∴y=2,x=1,∴x-y=1-2=-1.【答案】-112.已知复数z1=1-i,z1·z2=1+i,则z2=.【解析】由z1·z2=1+i,知z2===i.【答案】i13.观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……照此规律,第n个等式为.【答案】n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)214.已知命题“若数列{a n}是等比数列,且a n>0,则数列b n=(n∈N*)也是等比数列”,类比这一性质,你能得到关于等差数列的一个性质是.【解析】设等差数列{a n}的公差为d,则b n===a1+(n-1),所以数列{b n}是以a n为首项,为公差的等差数列.【答案】若数列{a n}是等差数列,则数列b n=也是等差数列15.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入n的值为9,则输出S的值为.【解析】根据程序框图阅读判断并求解,注意程序终止的条件.由题意,程序运行如下:k=1<9,S=21+1=3,k=2<9;S=3+22+2=9,k=3<9;S=9+23+3=20,k=4<9;S=20+24+4=40,k=5<9;S=40+25+5=77,k=6<9;S=77+26+6=147,k=7<9;S=147+27+7=282,k=8<9;S=282+28+8=546,k=9≤9;S=546+29+9=1067,k=10>9,输出S=1067,程序结束.【答案】1067三、解答题16.为了研究性格与血型的关系,抽取80名被试验者,他们的血型与性格汇总如下,试判断性格与血型是否相关.【解析】由列联表中的数据得到:χ2=≈2.030<2.706.故没有充分的证据显示“血型与性格有关系”.17.对于直线l:y=kx+1,是否存在这样的实数k,使得l与双曲线C:3x2-y2=1的交点A、B关于直线y=ax(a为常数)对称?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.【解析】假设存在实数k,使得A、B关于直线y=ax对称,设A(x1,y1)、B(x2,y2).则由⇒(3-k2)x2-2kx-2=0,④由②③有a(x1+x2)=k(x1+x2)+2,⑤由④知x1+x2=,代入⑤整理得:ak=3与①矛盾.故不存在实数k,使得A、B关于直线y=ax对称.18.已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0,求点P(x0,y0)到直线l的距离d,写出其算法并画出算法框图.【解析】算法如下:第一步,输入P点的坐标(x0,y0)及直线方程的系数A,B,C;第二步,计算z1=Ax0+By0+C;第三步,计算z2=A2+B2;第四步,计算d=;第五步,输出d.程序框图如图所示.19.已知w=-+i.(1)求w2及w2+w+1的值;(2)若等比数列{a n}的首项为a1=1,公比q=w,求数列{a n}的前n项和S n.【解析】(1)w2=(-+i)2=-i-=--i.w2+w+1=(--i)+(-+i)+1=0.(2)由于w2+w+1=0,w k+2+w k+1+w k=w k(w2+w+1)=0,k∈Z.∴S n=1+w+w2+…+w n-1=∴S n=20.某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:(1)求y关于t的线性回归方程;(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:b=,a=-b.【解析】(1)由所给数据计算得=×(1+2+3+4+5+6+7)=4,=×(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,(t i-)2=9+4+1+0+1+4+9=28,(t i-)(y i-)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,b===0.5,a=-b=4.3-0.5×4=2.3,所求回归方程为y=0.5t+2.3.(2)由(1)知,b=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.将2015年的年份代号t=9代入(1)中的回归方程,得y=0.5×9+2.3=6.8,故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.21.已知函数f(x)=(a x-a-x),其中a>0,且a≠1.(1)判断函数f(x)在(-∞,+∞)上的单调性,并加以证明;(2)判断f(2)-2与f(1)-1,f(3)-3与f(2)-2的大小关系,由此归纳出一个更一般的结论,并加以证明.【解析】(1)由已知得f'(x)=(a x+a-x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.(2)f(2)-2>f(1)-1,f(3)-3>f(2)-2.一般的结论:f(n+1)-(n+1)>f(n)-n(n∈N*).证明如下:上述不等式等价于f(n+1)-f(n)>1,即>1,化简得(a n+1-1)(a n-1)>0,在a>0且a≠1的条件下,(a n+1-1)(a n-1)>0显然成立,故f(n+1)-(n+1)>f(n)-n(n∈N*)成立.。
高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入 1 数系的扩充与复数的引入教案(含解析)北师大版选修1-2
1数系的扩充与复数的引入数的概念的扩展已知方程：(1)x 2－22x ＋2＝0，(2)x 2＋1＝0.问题1：方程(1)在有理数数集中有解吗？在实数X 围内呢？ 提示：在有理数集中无解；在实数X 围内有解，其解为 2. 问题2：方程(2)在实数集中有解吗？ 提示：没有．问题3：若有一个新数i 满足i 2＝－1，试想方程x 2＋1＝0有解吗？ 提示：有解x ＝i ，但不是实数．1．复数的概念(1)虚数单位：把平方等于－1的数用符号i 表示，规定i 2＝－1.我们把i 叫作虚数单位．(2)复数：把形如a ＋b i 的数叫作复数(a ，b 是实数，i 是虚数单位)．复数通常表示为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)．(3)复数的实部与虚部：对于复数z ＝a ＋b i ，a 与b 分别叫作实部与虚部． (4)复数的分类：复数a ＋b i(a ，b ∈R)⎩⎨⎧实数b ＝0虚数b ≠0⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠02．复数集复数的全体组成的集合叫作复数集，记作C.显然R C.复数的相等问题1：若a ，b ，c ，d ∈R 且a ＝c ，b ＝d ，则复数a ＋b i 和c ＋d i 相等吗？ 提示：相等．问题2：若a ＋b i ＝c ＋d i ，那么实数a ，b ，c ，d 有何关系？ 提示：a ＝c ，b ＝d .复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .复平面及复数的几何意义问题1：实数与数轴上的点一一对应，复数可以用平面内的点表示吗？ 提示：可以．问题2：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)与有序实数对(a ，b )有何对应关系？与平面直角坐标系中的点Z (a ，b )有何对应关系？提示：一一对应，一一对应．问题3：在平面直角坐标系中点Z (a ，b )与向量OZ ―→＝(a ，b )有何对应关系？ 提示：一一对应．问题4：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)与OZ ―→有何对应关系？ 提示：一一对应．1．复平面当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x 轴为实轴，y 轴为虚轴．2．复数的几何意义(1)任一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)与复平面内的点Z (a ，b )是一一对应的． (2)一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)与复平面内的向量OZ ―→＝(a ，b )是一一对应的． 3．复数的模设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)在复平面内对应的点是Z (a ，b )，点Z 到原点的距离|OZ |叫作复数z 的模或绝对值，记作|z |，显然，|z |＝a 2＋b 2.1．注意复数的代数形式z ＝a ＋b i 中a ，b ∈R 这一条件，否则a ，b 就不一定是复数的实部与虚部．2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.3．只有两个复数都是实数时才能比较大小，否则没有大小关系．复数的基本概念[例1] 复数z ＝(1)z 为实数；(2)z 为虚数；(3)z 为纯虚数．[思路点拨] 分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断． [精解详析] (1)当m 2＋m －2＝0，即m ＝－2或m ＝1时，z 为实数． (2)当m 2＋m －2≠0，即m ≠－2且m ≠1时，z 为虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2≠0，m 2－3m ＋2＝0，即m ＝2时，z 为纯虚数．[一点通] 复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)时应先转化形式．(2)注意分清复数分类中的条件设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0，④z ＝0⇔a ＝0，且b ＝0.1．若(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．4 C ．－1或4D ．不存在解析：选B 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4＝0，m 2－5m －6≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或4，m ≠－1且m ≠6，∴m ＝4.2．下列命题中：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；②若复数x ＋y i(x ，y ∈R)是实数，则x ＝0，y ＝0； ③若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；④若两个复数实部的差和虚部的差都等于0，则这两个复数相等． 其中，正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B 对于①，若a ＝－1时，(a ＋1)i 为实数；对于②，若x ＋y i(x ，y ∈R)是实数，则y ＝0；对于③，因为a ＋i 和b ＋i 是虚数，所以不能比较大小；由复数相等的条件可知④正确.复数的相等[例2] (1)已知(2x y ；(2)设z 1＝1＋sin θ－icos θ，z 2＝11＋sin θ＋(cos θ－2)i.若z 1＝z 2，求θ.[思路点拨] 先找出两个复数的实部和虚部，然后再利用两个复数相等的充要条件列方程组求解．[精解详析] (1)根据复数相等的充要条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－3－y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4.(2)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋sin θ＝11＋sin θ，cos θ＝2－cos θ，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝0，cos θ＝1.则θ＝2k π(k ∈Z)．[一点通] 复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．3．若a i ＋2＝b －i(a ，b ∈R)，i 为虚数单位，则a 2＋b 2＝( ) A ．0 B ．2 C.52D ．5解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2＝b ，a ＝－1，则a 2＋b 2＝5.4．满足方程x 2－2x －3＋(9y 2－6y ＋1)i ＝0的实数对(x ，y )表示的点的个数是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3＝0，9y 2－6y ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3或x ＝－1，y ＝13.∴实数对(x ，y )表示的点有⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13，共有2个．答案：2复数的几何意义[例3] 实数a 取什么值时，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 的点 (1)位于第二象限； (2)位于直线y ＝x 上？[思路点拨] 位于第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0；位于直线y ＝x 上的点的横坐标等于纵坐标．[精解详析] 根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 的点就是点Z (a 2＋a －2，a 2－3a ＋2)．(1)由点Z 位于第二象限得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2<0，a 2－3a ＋2>0，解得－2<a <1.故满足条件的实数a 的取值X 围为(－2,1)．(2)由点Z 位于直线y ＝x 上得a 2＋a －2＝a 2－3a ＋2，解得a ＝1. 故满足条件的实数a 的值为1.[一点通] 按照复数集和复平面内所有的点的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所对应的点，就可根据点的位置确定复数的实部、虚部满足的条件．5．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 实部为－2，虚部为1的复数为－2＋i ，所对应的点位于复平面的第二象限，选B.6．设复数z ＝a ＋b i 对应的点在虚轴右侧，则( ) A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．b ＞0，a ∈RD ．a ＞0，b ∈R解析：选D 复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数． 7．在复平面内，求复数z ，使复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R)的对应点 (1)在虚轴上； (2)在实轴负半轴上．解：(1)若复数z 的对应点在虚轴上， 则m 2－m －2＝0，∴m ＝－1或m ＝2， 此时，z ＝6i 或z ＝0.(2)若复数z 的对应点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1，∴z ＝－2.复数的模[例4] (1)若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1－2i C ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i(2)设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－1,1) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)[精解详析] (1)依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R)， 由|z |＝5得 a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i. (2)因为|z 1|＝ a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5， 所以a 2＋4＜5，即a 2＋4＜5，所以a 2＜1， 即－1＜a ＜1. [答案] (1)D (2)B [一点通] 复数模的计算(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解．8．设复数z 1＝x ＋2i(x ∈R)，z 2＝2－y i(y ∈R)，若z 1＝z 2，则|z 1|＝________. 解析：∵z 1＝z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，2＝－y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.∴z 1＝2＋2i ，∴|z 1|＝2 2. 答案：2 29．求复数z 1＝6＋8i 及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的模的大小．解：∵z 1＝6＋8i ，z 2＝－12－2i ，∴|z 1|＝62＋82＝10， |z 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋－22＝32.∵10>32，∴|z 1|>|z 2|.1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数b i(b ≠0，b ∈R)不要只记形式，要注意b ≠0.2．复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)、复平面内的点Z (a ，b )和平面向量OZ ―→之间的关系可用图表示．1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋iC ．－2＋2i D.2＋2i解析：选A 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故z ＝3－3i. 2．若复数(a ＋1)＋(a 2－1)i(a ∈R)是实数，则a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．±1D ．不存在解析：选C (a ＋1)＋(a 2－1)i(a ∈R)为实数的充要条件是a 2－1＝0，∴a ＝±1. 3．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 复数z ＝－1－2i 在复平面内对应的点为(－1，－2)，位于第三象限． 4．已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A ．1个圆 B ．线段 C ．2个点D ．2个圆解析：选A 由题意可知(|z |－3)(|z |＋1)＝0，即|z |＝3或|z |＝－1.∵|z |≥0，∴|z |＝－1应舍去，故应选A.5．已知复数z 1＝5＋i ，z 2＝5＋b i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数b 的值为________． 解析：|z 1|＝|z 2|⇒52＋1＝52＋b 2⇒b 2＝1⇒b ＝±1.答案：±16．已知复数z ＝k 2－3k ＋(k 2－5k ＋6)i(k ∈R)，且z <0，则k ＝________. 解析：∵z <0，则z ∈R ，故虚部k 2－5k ＋6＝0，(k －2)(k －3)＝0， ∴k ＝2或k ＝3.但k ＝3时，z ＝0. 故k ＝2. 答案：27．已知z ＝m ＋i(m ∈R)，若|z |＝a －1＋(a 2－a －2)i(a ∈R)，求复数z .解：因为|z |≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥0，a 2－a －2＝0.解得a ＝2，所以|z |＝1.所以m 2＋1＝1，解得m ＝0，故z ＝i.8．已知复数z ＝(m 2－3m )＋(m 2－m －6)i ，当实数m 为何值时， ①z 是实数； ②z ＝4＋6i ；③z 对应的点在第三象限？解：因为z ＝(m 2－3m )＋(m 2－m －6)i ， ①令m 2－m －6＝0⇒m ＝3或m ＝－2， 即m ＝3或m ＝－2时，z 为实数．②⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝4，m 2－m －6＝6，⇒m ＝4.即m ＝4时z ＝4＋6i.③若z 所对应的点在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m <0，m 2－m －6<0，⇒0<m <3.即0<m <3时z 对应的点在第三象限．9．在复平面内画出复数z 1＝12＋32i ，z 2＝－1，z 3＝12－32i 对应的向量OZ 1―→，OZ 2―→，OZ 3―→，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z 1，Z 2，Z 3的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，(－1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，则向量OZ 1―→，OZ 2―→，OZ 3―→如图所示．|z 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1， |z 2|＝|－1|＝1， |z 3|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1. ∴在复平面xOy 内，点Z 1，Z 3关于实轴对称，且Z 1，Z 2，Z 3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．。
2019学年高中数学第四章数系的扩充与复数的引入1.2复数的有关概念二学案北师大版选修1_2word版本
1.2 复数的有关概念(二)学习目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．知识点一复平面思考实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答案任何一个复数z＝a＋b i，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以一一对应．梳理当用直角坐标平面内的点来表示复数时，我们称这个直角坐标平面为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．知识点二复数的几何意义知识点三复数的模或绝对值设复数z＝a＋b i在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，显然，|z|＝a2＋b2.两个复数不全是实数不能比较大小，但可以比较它们模的大小．1．在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( √)2．在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( ×)3．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.( ×)类型一 复数的几何意义例1 实数x 分别取什么值时，复数z ＝(x 2＋x －6)＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在：(1)第三象限；(2)直线x －y －3＝0上．考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系解 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x2＋x －6<0，x2－2x －15<0，即当－3<x <2时，点Z 在第三象限．(2)z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应点Z (x 2＋x －6，x 2－2x －15)，当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即当x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上．引申探究若本例中的条件不变，其对应的点在：(1)虚轴上；(2)第四象限．解 (1)当实数x 满足x 2＋x －6＝0，即当x ＝－3或2时，点Z 在虚轴上．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x2＋x －6>0，x2－2x －15<0，即当2<x <5时，点Z 在第四象限．反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．跟踪训练1 在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R )的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z .考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系解 若复数z 的对应点在虚轴上，则m 2－m －2＝0，所以m ＝－1或m ＝2，所以z ＝6i 或z ＝0.若复数z 的对应点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧ m2－m －2<0，m2－3m ＋2＝0，所以m ＝1，所以z ＝－2.类型二 复数的模例2 已知复数z 1＝3－i ，z 2＝cos θ＋isin θ.(1)求|z 1|及|z 2|，并比较它们的大小；(2)设z ∈C ，点Z 为z 在复平面内所对应的点，则满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 构成了什么图形？考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模解 (1)|z 1|＝错误!＝2，|z 2|＝cos2θ＋sin2θ＝1.因为2>1，所以|z 1|>|z 2|.(2)由|z 2|≤|z |≤|z 1|，得1≤|z |≤2.因为|z |≥1表示以O 为圆心，1为半径的圆的外部及其边界上所有点，|z |≤2表示以O 为圆心，2为半径的圆的内部及其边界上所有点，故符合题设条件的点构成了以O 为圆心，分别以1和2为半径的两个圆所夹的圆环(包括边界)．反思与感悟 利用模的定义将复数模的条件转化为其实部、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想．跟踪训练2 已知0<a <3，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( )A ．(1，10)B ．(1，3)C ．(1,3)D ．(1,10)考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模答案 A解析 0<a <3，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |＝a2＋1∈(1，10).1．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 D解析 ∵23<m <1，∴0<3m －2<1，m －1<0， ∴复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于第四象限．2．满足|z |2－2|z |－3＝0的复数z 的对应点的轨迹是( )A ．一个圆B ．线段C ．两个点D ．两个圆 考点 复数的几何意义的综合应用题点 利用几何意义解决轨迹、图形答案 A解析 由条件|z |2－2|z |－3＝0，得|z |＝3(|z |＝－1舍去)，|z |＝3表示一个圆．3．设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i(i 为虚数单位)，且|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－1或a >1B ．－1<a <1C ．a >1D ．a >0考点 复数的模的定义与应用题点 利用模的定义求参数答案 B解析 因为|z 1|＝a2＋4，|z 2|＝4＋1＝5， 所以a2＋4<5，即a 2＋4<5，所以a 2<1，即－1<a <1.4．若复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，其中m ∈R ，则|z |＝________. 考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模答案 3解析 复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，所以m －2＝0且m ＋1≠0，解得m ＝2，所以z ＝3i ，所以|z |＝3.5．当实数m 为何值时，复数(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i(i 为虚数单位)在复平面中的对应点(1)位于第四象限；(2)位于x 轴的负半轴上．考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ m2－8m ＋15>0，m2＋3m －28<0，得⎩⎪⎨⎪⎧ m>5或m<3，－7<m<4，所以－7<m <3.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ m2－8m ＋15<0，m2＋3m －28＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3<m<5，m ＝－7或m ＝4，所以m ＝4.1．复数的几何意义这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )而不是(a ，b i)；(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应向量OZ →是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ →相等的向量有无数个．2．复数的模(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a2＋b2；(2)从几何意义上理解，表示点Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示点Z 1和点Z 2之间的距离.一、选择题1．在复平面内，复数z ＝cos3＋isin3的对应点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 B解析 ∵π2<3<π，∴sin3>0，cos3<0， 故复数z ＝cos3＋isin3的对应点位于第二象限．2．已知复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 A解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1.3．已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 为纯虚数，则复数a －a i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 B解析 若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ a2－3a －4＝0，a －4≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4或a ＝－1，a≠4，得a ＝－1， 则复数a －a i ＝－1＋i 对应的坐标为(－1,1)，位于第二象限，故选B.4．已知0<a <1，复数z 的实数为a ，虚部为－2，则|z |的取值范围是() A ．(2,5) B ．(2,3)C ．(2，5)D ．(2，3)考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模答案 C解析 由题知z ＝a －2i ，所以|z |＝a2＋4，又a ∈(0,1)，所以|z |∈(2，5)．5．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( )A ．a ≠2或a ≠1B ．a ≠2且a ≠1C ．a ＝0或a ＝2D ．a ＝0考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 C解析 ∵z 在复平面内对应的点在虚轴上，∴a 2－2a ＝0，解得a ＝0或a ＝2.6．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i 考点 复数的模的定义与应用题点 利用模的定义求复数答案 A解析 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限，所以a <0，由|z |＝2知，错误!＝2，解得a ＝－1(舍正)，所以z ＝－1＋3i.7．在复平面内，复数z 1，z 2的对应点分别为A ，B .已知A (1,2)，|AB |＝25，|z 2|＝41，则z 2等于( )A ．4＋5iB ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325i 考点 复数的模的定义与应用题点 利用模的定义求复数答案 D解析 设z 2＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由条件得错误! ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝15，y ＝325.二、填空题8．若复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 5解析 由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )共线可知a ＝5.9．已知复数z ＝x －2＋y i 的模是22，则点(x ，y )的轨迹方程是________________． 考点 复数的几何意义的综合应用题点 利用几何意义解决轨迹、图形答案 (x －2)2＋y 2＝8解析 由模的计算公式得错误!＝2错误!，∴(x －2)2＋y 2＝8.10．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝________.考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模答案 2 解析 由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＝y ，故⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1.所以|x ＋y i|＝x2＋y2＝ 2.11．若复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i ，a ∈R 对应的点位于第二象限，则|z |的取值范围是________．考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3 解析 复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)，因为该点位于第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a <2.由条件得|z |＝错误!＝错误! ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a2－a ＋14＋92＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋92. 因为－1<a <2，所以|z |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3. 三、解答题12．求实数m 的值，使复数z ＝m (m －1)＋(m －1)i 对应的点位于(1)实轴上；(2)第一象限；(3)第四象限．考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系解 (1)由复数z 对应的点位于实轴上，可得m －1＝0，解得m ＝1，即当m ＝1时，复数z 对应的点位于实轴上．(2)由复数z 对应的点位于第一象限，可得错误!解得m >1，即当m >1时，复数z 对应的点位于第一象限．(3)由复数z 对应的点位于第四象限，可得错误!解得m <0，即当m <0时，复数z 对应的点位于第四象限．13．在复平面内，分别用点和向量表示复数1，－12＋12i ，－12－32i ，并求出它们的模． 考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模解 如图所示，点A ，B ，C 分别表示复数1，－12＋12i ，－12－32i ，与之对应的向量可用OA →，OB →，OC →来表示．|1|＝1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋12i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1. 四、探究与拓展14．关于实数x 的不等式mx 2－nx ＋p >0(m ，n ，p ∈R )的解集为(－1,2)，则复数m ＋p i 所对应的点位于复平面内的第________象限．考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 二解析 因为不等式mx 2－nx ＋p >0(m ，n ，p ∈R )的解集为(－1,2)，所以错误!所以错误!故复数m＋p i所对应的点位于复平面内的第二象限．15．复数z满足|z＋3－3i|＝3，求|z|的最大值和最小值．考点复数的几何意义的综合应用题点利用几何意义解决距离、角、面积解方法一|z＋3－3i|≥||z|－|3－3i||，又∵|z＋3－3i|＝3，|3－3i|＝12＝23，∴||z|－23|≤3，即3≤|z|≤33，∴|z|的最大值为33，最小值为 3.方法二|z＋3－3i|＝3表示以－3＋3i对应的点P为圆心，以3为半径的圆，如图所示，则|OP|＝|－3＋3i|＝12＝23，显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋3＝33，|z|min＝|OB|＝|OP|－3＝ 3.。
高二数学北师大版选修1-2 数系的扩充与复数的引入 章末分层突破 课件(31张)
转化与化归思想
3 4 B． － i 5 5 3 4 D．－ － i 5 5
4＋3i 4＋3i1－2i 【解析】 因为(1＋2i) z ＝4＋3i，所以 z ＝ ＝ ＝2－i，所 5 1＋2i
2 z 2＋i 2＋i 3 4 以 z＝2＋i，所以 ＝ ＝ ＝ ＋ i. 5 5 5 2 － i z
【答案】 A
－ i· z ＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选 C. 52＋i 5 (2)由(z－2i)(2－i)＝5，得 z＝2i＋ ＝2i＋ ＝2i＋2＋i＝2＋3i. 2－i 2－i2＋i
【答案】 (1)C (2)A
[再练一题] z 2．已知(1＋2i) z ＝4＋3i，则 的值为( z 3 4 A. ＋ i 5 5 3 4 C．－ ＋ i 5 5 )
A．－2 C．2
(2)设复数 z 满足(z－2i)(2－i)＝5，则 z＝( A．2＋3i C．3＋2i B．2－3i D．3－2i
z 【精彩点拨】 (1)先求出 z 及 ，结合复数运算法则求解． i (2)利用方程思想求解并化简．
2 z 1＋i －i ＋i z － 【规范解答】 (1)∵z＝1＋i，∴ z ＝1－i， ＝ ＝ ＝1－i，∴ ＋ i i i i
(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为 0， x2－3x－3>0， ① 所以log2x－3≠0， ② x－3>0， ③ 3＋ 21 3－ 21 由①得 x> 或 x< . 2 2 由②得 x≠4，由③得 x>3. 3＋ 21 所以当 x> 且 x≠4 时，z 为虚数． 2
[再练一题] 10 1．设 i 是虚数单位，若复数 a－ (a∈R)是纯虚数，则 a 的值为( 3－i A．－3 C．1 B．－1 D．3 )
高中数学(北师大版)选修1-2精品学案：第四章 数系的扩充与复 数的引入
第2课时复数代数形式的加减运算及其几何意义1.理解复数代数形式的加减运算规律.2.复数的加减与向量的加减的关系.重点:正确理解复数的加减运算,复数加减运算的几何意义.难点:对比复数加减法与向量加减法的异同,从而理解复数的几何意义.实数可以进行加减运算,并且具有丰富的运算律,其运算结果仍是实数;多项式也有相应的加减运算和运算律;对于引入的复数,其代数形式类似于一个多项式,当然它也应有加减运算,并且也有相应的运算律.问题1:依据多项式的加法法则,得到复数加法的运算法则.设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,那么(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i ,很明显,两个复数的和仍然是一个确定的复数.问题2: 复数的加法满足交换律、结合律.即z1+z2= z2+z1,(z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) .问题3:利用向量加法讨论复数加法的几何意义向量加法遵循平行四边形法则,在直角坐标系中从横纵坐标上分析就是横纵坐标分别相加.故复数相加就是实部与虚部分别相加得到一个新的复数.问题4:如何理解复数的减法?复数减法是复数加法的逆运算.向量减法遵循三角形法则,在直角坐标系中从横纵坐标上分析就是横纵坐标分别相减.故复数相减就是实部与虚部分别相减得到一个新的复数.十八世纪末十九世纪初,著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理“任何一元n次方程在复数集内有且仅有n个根”时,就应用并论述了卡尔丹所设想的新数,并首次引进了“复数”这个名词,把复数与平面内的点一一对应起来,创立了复平面,依赖于平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础.这样历经300年的努力,数系从实数系到复数系的扩张才基本完成,复数才被人们广泛承认和使用.1.设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位于( ).A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】(3-4i)-(-2+3i)=5-7i.【答案】D2.(2-i)+(3+i)+(4+i)+(5+i)-i(其中i为虚数单位)等于( ).A.10B.10+2iC.14D.14+2i【解析】(2-i)+(3+i)+(4+i)+(5+i)-i=2+3+4+5+(-+1++-)i=14.【答案】C3.复数z1=9+3i,z2=-5+2i,则z1-z2= .【解析】z1-z2=(9+3i)-(-5+2i)=14+i.【答案】14+i4.已知复数z1=7-6i,z1+z2=-4+3i.(1)求z2;(2)求z1-2z2.【解析】(1)z2=(z1+z2)-z1=(-4+3i)-(7-6i)=-11+9i.(2)z1-2z2=(7-6i)-2(-11+9i)=7-6i+22-18i=29-24i.复数代数形式的加减法运算(1)z1=2+3i,z2=-1+2i,求z1+z2,z1-z2;(2)计算:(+i)+(2-i)-(-i);(3)计算:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(-2012+2013i)+(2013-2014i).【方法指导】依据复数代数形式的加减运算法则以及运算律求解.【解析】(1)z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i,z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.(2)+i+(2-i)-(-i)=(+2-)+(-1+)i=1+i.。