《二次函数图像》重难点教学
二次函数图像和性质教学设计【优秀3篇】
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《二次函数的图像和性质》教学设计
05
二次函数的应用举例
最值问题
引入最值概念
通过实际问题的例子，如最大利 润、最小成本等，引入最值的概 念，并说明最值与二次函数的关
系。
求解最值
通过配方或公式法将二次函数化为 顶点式，从而找到函数的最大值或 最小值。同时，也可以通过观察函 数的图像来确定最值。
顶点
抛物线的顶点位于对称轴上，对于一般形式的二次函数，顶点坐标可以通过公式 $(-frac{b}{2a},c-frac{b^2}{4a})$求得。对于顶点式的二次函数，顶点坐标直接 为$(h,k)$。
抛物线与坐标轴的交点
与$x$轴的交点
令$y=0$，解一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，得到抛物线与$x$轴的交点横坐标。若方程有两个实数根，则抛 物线与$x$轴有两个交点；若方程有一个重根，则抛物线与$x$轴有一个交点；若方程无实数根，则抛物线与$x$ 轴无交点。
宽度
由二次项系数的绝对值 $|a|$决定，$|a|$越大，抛 物线越窄；$|a|$越小，抛 物线越宽。
顶点位置
由顶点式$y=a(xh)^2+k$中的$h$和$k$决 定，顶点坐标为$(h,k)$。
抛物线的对称轴和顶点
对称轴
对于一般形式的二次函数$y=ax^2+bx+c$，其对称轴为直线$x=-frac{b}{2a}$ 。对于顶点式的二次函数$y=a(x-h)^2+k$，其对称轴为直线$x=h$。
02
二次函数是一种非线性函数，其 图像是一个抛物线。
二次函数的一般形式
二次函数的一般形式为 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c$ 是 常数，且 $a neq 0$。
二次函数的性质与图像教案
二次函数的性质与图像教案一、教学目标1. 让学生了解二次函数的定义和标准形式；2. 理解二次函数的性质，包括顶点、开口、对称轴等；3. 掌握二次函数图像的特点，如开口方向、顶点位置等；4. 能够运用二次函数的性质和图像解决实际问题。
二、教学内容1. 二次函数的定义和标准形式；2. 二次函数的性质：顶点、开口、对称轴；3. 二次函数图像的特点：开口方向、顶点位置等；4. 实际问题举例。
三、教学重点与难点1. 重点：二次函数的性质和图像的特点；2. 难点：运用二次函数的性质和图像解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论等教学方法；2. 使用多媒体课件辅助教学，直观展示二次函数的图像；3. 引导学生通过实际问题，探究二次函数的性质和图像特点。
五、教学过程1. 引入：通过生活中的实例，引导学生思考二次函数的存在；2. 讲解：讲解二次函数的定义和标准形式，阐述二次函数的性质，如顶点、开口、对称轴等；3. 演示：使用多媒体课件，展示二次函数的图像，让学生直观理解二次函数的性质和图像特点；4. 练习：布置练习题，让学生巩固二次函数的性质和图像知识；5. 讨论：组织学生分组讨论，分享解题心得和实际问题解决方法；6. 总结：总结二次函数的性质和图像特点，强调运用二次函数解决实际问题的重要性。
六、教学评估1. 课堂练习：设计一份包含不同难度的练习题，以评估学生对二次函数性质与图像的理解程度。
2. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的参与情况和合作能力，评估他们对知识点的掌握和运用能力。
3. 课后作业：布置一道综合性的课后作业，要求学生应用二次函数的性质与图像解决实际问题，以评估他们的应用能力。
七、教学资源1. 多媒体课件：制作详细的课件，包括二次函数的图像、性质解释和实际问题示例。
2. 练习题库：准备一份涵盖各种类型题目的题库，用于课堂练习和课后作业。
3. 实际问题案例：收集一些与二次函数相关的实际问题案例，用于教学中的实例分析。
二次函数图像和性质教学设计(3篇)
二次函数图像和性质教学设计（3篇）二次函数的图像和性质3教学设计篇一22.1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质教学设计知识与技能：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象；过程与方法：结合图象确定抛物线y＝a(x－h)2＋k的开口方向、对称轴与顶点坐标及性质；情感态度与价值观：通过比较抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的关系，培养学生的观察、分析、总结的能力。
学情分析学生在学习了前两课时的基础上，对于顶点式已经有了一定的认识，可以根据类比思想比较容易得出完整顶点式的图象性质，所以这一部分主要是学生独立探究，个别指导，然后归纳总结。
之后把侧重点放在对实际问题的探究上，重点研究实际问题的建模过程，鼓励一题多解，拓展学生思维。
重点难点教学重点：画出形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数的图象，能指出开口方向，对称轴，顶点。
教学难点：理解函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2及其图象的相互关系。
4教学过程一、复习导入新课师：同学们，在学习新课之前，我们先来做这样一道题。
观察y＝－x2、y＝－x2－1、y＝－(x＋1)2这三条抛物线中，第一条抛物线可以经过怎样的平移得到第二条和第三条抛物线。
（指名学生回答）。
师：同学们可不可以在这个知识点的基础上进一步猜想一下第一条抛物线能否经过怎样的平移得到抛物线y＝－(x＋1)2－1 生：向左平移一个单位，再向下平移一个单位。
师：这个猜想是否正确呢？这节课我们一起来验证一下。
（板书课题）二、探究探究一（大屏幕出示）（自探问题部分）1.画出函数y＝－(x＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．x y＝－(x＋1)2－1 函数… …－4－3－2－10 1 2 ……开口方向顶点对称轴最值增减性y＝－(x＋1)2－1（学生口头展示以上问题）2．师：（结合课件）把抛物线y＝－x2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，就得到抛物线y＝－(x＋1)2－1．所以抛物线y＝－x2 与抛物线y＝－(x＋1)2－1 形状___________，位置________________．通过刚才的演示，可以证明我们前面的猜想是正确的。
《二次函数图像》重难点教学
课题：《二次函数的图象》难点教学教学目标：1、会用描点法画出二次函数的图象；2、根据图象观察、分析出二次函数的性质；3、进一步理解二次函数和抛物线的有关知识4、渗透数形结合的数学思想方法，培养观察能力和分析问题的能力；5、培养学生勇于探索创创新及实事求是的科学精神.教学重点：根据图象，观察、分析出二次函数的性质教学难点：渗透数形结合的数学思想方法教学用具：直尺、几何画板教学过程：1、列表、描点画出函数与图象，引入新课2、根据图象发现问题，由学生探索出新知识.提问：你能从图象中发现抛物线是哪些性质？这两个函数图象有何异同？（1）这两个函数的图象都关于y轴对称.这一点可以从刚才的列表中可以看出，时所对应的y值分别相等，如等.这样的两个点关于y轴对称.由这些点构成的抛物线也关于y轴对称.从解析式中也可以得出这个结论：互为相反数的两个数的平方数相等，因此，这两个函数的图象都是关于y轴对称的.（2）从图中可以看出，x可取x轴上的任意一点，而y对应的是大于、等于零的数.即抛物线有最低点（0，0）.这一点可以从解析式中得到很好的解释，可取任意实数. 图象开口向上.这也说明数与形是数学中的两条线索，它们是互相对应的，反映了数形结合的思想.（3）从图中也可以看出抛物线不同于我们以前学过的正比例函数和一次函数，这两个函数的图象都是直线，而抛物线是曲线，有一个拐弯，函数的图象都在最低点拐了一个弯.这样它们的性质几发生了变化.在y轴的左侧，从左向右呈下坡趋势，即y随x的增大而减小；在y轴的右侧，从左向右，呈上坡趋势，即y随x的增大而增大.这一变化趋势也可以从列表中看出. （4）这两个图象除以上相同之处外，还有不同的地方.如：离y轴近，离y轴远.从列表中可以看出：如过点（2，2），过点（2，8）也就是说，当x=2时，图象所对应的点高于所对应的点.因此会有上述的结论.3、画出函数的图象与中的a都是正数，当a<0时，图象会是什么样子呢？4、从函数图象入手，再次总结二次函数的性质(1)与刚才两个图象不同的是，的图象开口向下.这是因为x是任意实数。
二次函数的图像说课稿(精选6篇)
二次函数的图像说课稿（精选6篇）二次函数的图像说课稿 1尊敬的各位评委、各位老师：大家好！今天我说课的题目是《二次函数的图像》，这是北师大版必修1第二章的第四节课。
下面我将围绕本节课“教什么？”、“怎样教？”、“为什么这样教？”三个问题，从教材内容、教法学法、教学过程这三个方面逐一分析说明。
一、教材内容分析：１、本节课内容在整个教材中的地位和作用。
概括地讲，二次函数的图像在教材中起着承上启下的作用，它的地位体现在它的思想的基础性。
一方面，本节课是对初中有关内容的深化，为后面进一步学习二次函数的性质打下基础；另一方面，二次函数解析式中的系数由常数转变为参数，使学生对二次函数的图像由感性认识上升到理性认识，能培养学生利用数形结合思想解决问题的能力。
2、教学目标定位。
根据教学大纲要求、新课程标准精神和高一学生心理认知特征，我确定了三个层面的教学目标。
第一个层面是基础知识与能力目标：理解二次函数的图像中a、b、c、k、h的作用，能熟练地对二次函数的一般式进行配方，会对图像进行平移变换，领会研究二次函数图像的方法，培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力，提高运算和作图能力；第二个层面是过程和方法：让学生经历作图、观察、比较、归纳的学习过程，使学生掌握类比、化归等数学思想方法，养成即能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯；第三个层面是情感、态度和价值观：在教学中渗透美的教育，渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦。
3、教学重难点。
重点是二次函数各系数对图像和形状的影响，利用二次函数图像平移的特例分析过程，培养学生数形结合的思想和划归思想。
难点是图像的平移变换，关键是二次函数顶点式中h、k的正负取值对函数图像平移变换的影响。
二、教法学法分析：数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，感受数学的自然美。
2.2二次函数的图像
2.2二次函数的图像（1）教学目标：1、经历描点法画函数图像的过程；2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征；3、掌握2ax y =型二次函数图像的特征；4、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。
教学重点：2ax y =型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳教学难点：选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。
教学设计：一、回顾知识前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数的？ 先（用描点法画出函数的图像，再结合图像研究性质。
）引入：我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即2ax y =入手。
因此本节课要讨论二次函数2ax y =（0≠a ）的图像。
板书课题：二次函数2ax y =（0≠a ）图像 二、探索图像1、 用描点法画出二次函数 2x y =和2x y -=图像 （1） 列表x… -2 211- -1 21-0 21 1 211 2 (2)x y = … 4 4121 41 0 412 1 4124 … 2x y -=…-4-412-1-41-41-1-412-4…引导学生观察上表，思考一下问题：①无论x 取何值，对于2x y =来说，y 的值有什么特征？对于2x y -=来说，又有什么特征？ ②当x 取 1,21±±等互为相反数时，对应的y 的值有什么特征？（2） 描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）. （3） 连线，用平滑曲线按照x 由小到大的顺序连接起来，从而分别得到2x y =和2xy -=的图像。
2、 练习：在同一直角坐标系中画出二次函数22x y = 和22x y -=的图像。
学生画图像，教师巡视并辅导学困生。
（利用实物投影仪进行讲评） 3、二次函数2ax y =（0≠a ）的图像 由上面的四个函数图像概括出：（1） 二次函数的2ax y =图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线， （2） 这条抛物线关于y 轴对称，y 轴就是抛物线的对称轴。
数学教案《二次函数的图像》
数学教案《二次函数的图像》?一、教学目标：1、明白得二次函数中参数a,b,c,h,k对图像的阻碍。
2、领会二次函数图像平移的研究方法，并能迁移到其他函数图象的研究，从而提高识图和用图能力。
3、培养学生数形结合的思想意识。
二、教学重点：二次函数的图像的平移变换规律及应用。
教学难点：领会二次函数图像移动的方法，探究平移对函数解析式的阻碍及如何利用平移变换律求函数解析式，并能把平移变换规律迁移到其它函数。
三、教学方法：逐层推进，问题探究四、教学过程（一）、导入新课1、说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点(1) y = (x+2)2-1，(2) y = - (x-2)2+2 ，(3) y = a (x+h)2+k2、在初中，我们差不多学习了二次函数，明白其图象为抛物线，并了解其图像的开口方向、对称轴、顶点等特点，本节课将进一步研究一样的二次函数的性质。
（二）．问题探究探究问题1：和的图像之间有什么关系？实践探究1：在同一坐标系中做出下列函数的图像; ; ;观看发觉1:１.二次函数y=ax2(a?0)的图像可由的y=x2图像各点纵坐标变为原先的a倍得到.“教书先生”可能是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当如何说也确实是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。
只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初显现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。
《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。
事实上《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。
可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。
看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。
称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意差不多一致。
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课题：《二次函数的图象》难点教学
教学目标：
1、会用描点法画出二次函数的图象；
2、根据图象观察、分析出二次函数的性质；
3、进一步理解二次函数和抛物线的有关知识
4、渗透数形结合的数学思想方法，培养观察能力和分析问题的能力；
5、培养学生勇于探索创创新及实事求是的科学精神.
教学重点：根据图象，观察、分析出二次函数的性质
教学难点：渗透数形结合的数学思想方法
教学用具：直尺、几何画板
教学过程：
1、列表、描点画出函数与图象，引入新课
2、根据图象发现问题，由学生探索出新知识.
提问：你能从图象中发现抛物线是哪些性质？这两个函数图象有何异同？（1）这两个函数的图象都关于y轴对称.这一点可以从刚才的列表中可以看出，时所对应的y值分别相等，如等.这样的两个点关于y轴对称.由这些点构成的抛物线也关于y轴对称.从解析式中也可以得出这个结论：互为相反数的两个数的平方数相等，因此，这两个函数的图象都是关于y 轴对称的.
（2）从图中可以看出，x可取x轴上的任意一点，而y对应的是大于、等于零的数.即抛物线有最低点（0，0）.这一点可以从解析式中得到很好的解释，可取
任意实数. 图象开口向上.这也说明数与形是数学中的两条线索，它们是互
相对应的，反映了数形结合的思想.
（3）从图中也可以看出抛物线不同于我们以前学过的正比例函数和一次函数，这两个函数的图象都是直线，而抛物线是曲线，有一个拐弯，函数的图象都在最低点拐了一个弯.这样它们的性质几发生了变化.在y轴的左侧，从左向右呈下坡趋势，即y随x的增大而减小；在y轴的右侧，从左向右，呈上坡趋势，即y随x的增大而增大.这一变化趋势也可以从列表中看出.
（4）这两个图象除以上相同之处外，还有不同的地方.如：离y轴近，
离y轴远.从列表中可以看出：如过点（2，2），过点（2，8）也就是说，当x=2时，图象所对应的点高于所对应的点.因此会有上述的结论. 3、画出函数的图象
与中的a都是正数，当a<0时，图象会是什么样子呢？
4、从函数图象入手，再次总结二次函数的性质
(1)与刚才两个图象不同的是，的图象开口向下.这是因为x是任意实数。
因此，开口会向下.图象有最高点（0，0）
(2)此图象仍然是关于y轴对称的
(3)在y轴的左侧，y随x的增大而增大；在y轴的右侧，y随x的增大而减小
5、得出一般的规律
一般地，抛物线的对称轴是y轴，顶点是原点，当a>0时，抛物线的开口向上，当a<0时，抛物线的开口向下，a的绝对值越大，图象越靠近y 轴.
6、小结：这一节课，从始至中都是结合图象观察、归纳总结出二次函数
的性质，体现了数与形的结合.函数图象是解决函数问题的有利工具，希望大家能自觉地应用.
7、作业
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．使学生知道二次函数的意义；
2．使学生会用描点法画出二次函数的图像，并结合的图像，初步理解抛物线及其有关概念，数学教案－二次函数y=ax2的图象，初中数学教案《数学教案－二次函数y=ax2的图象》。
（二）能力训练点
1．进一步培养学生用描点法画函数图像的能力；
2．向学生进行数形结合的数学思想方法的教育。
（三）德育渗透点
通过对几个特殊的二次函数的讲解，向学生进行一般与特殊的辩证唯物主义教育。
（四）美育渗透点
通过本节课的教学，渗透二次函数图像的对称美，曲线的平滑美。
二、学法引导
教师采用引导发现法，观察法，讲解法
本节的主要内容是理解二次函数的定义，知道二次函数解析式中字母的意思，在画的图像时，要知道图形是抛物线，是轴对称图形、列表时，自变量x的值的选取，应以0为中心，对称地选取两对（或三对）互为相反数，最好x取整数值。
三、重点、难点、疑点及解决办法
1．教学重点：二次函数的意义及二次函数的图像的画法。
因为它们是研究二次函数的重要基础。
2．教学难点：正确画出二次函数的图像。
因为它的图像是一条曲线，画起来较复杂，而且学生在画图之前，尚不清楚二次函数的图像的具体形状和变化趋势，所以不易把握。
3．教学疑点：（1）；（2）的图像的反性质。
4．解决办法：（1）关于二次函数的定义，关键要注意：自变量的最高次数定义，二次项系数；（2）二次函数图像和性质，不可死记硬背，要结合图像理解和掌握二次函数的几个主要特征，如开口方向，顶点坐标（或位置），对称轴，最大值最小值等。
四、教学步骤
（一）教学过程
首先，我们来看两个实验问题：（出示幻灯）
1．圆的半径是R，它的面积为S，你能否写出S与R之间的函数关系式？这个问题由学生举手回答，可找层次较低的学生完成，培养他们的参与意识和自信心。
然后把答案写在黑板上留用。
2．已知一个矩形场地的周长是60，一边长为l，请你写出这个矩形场地的面积S与这条边长之间的函数关系式。
提问：比较这两个函数，都是用自变量的几次式来表示的？
用这个问题，引出二次函数，在学生回答之后，教师加以总结，
板书：
一般地，如果（a、b、c是常数，），那么，y叫做x的二次函数。
提问：1．上述概念中的a为什么不能是0？
2．对于二次函数中的b和c可否为0？若b和c其一为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？
3．由问题1和2，你能否总结：一个函数是否是二次函数，关键看什么？
由这三个问题加深学生对二次函数意义的理解，也同时给出了二次函数的三个特例使学生深刻理解：看一个函数是否是二次函数的关键是看二次项的系数是否为0．
4．二次函数的解析式，与我们所学过的什么知识相类似？
通过这个问题，使学生能把二次函数与一元二次方程初步搭上联系即可，为以后的教学
做好铺垫．练习一：P108中1、2口答，注意第1题要让学生说明不是二次函数的原因
提问：根据我们所学知道，一次函数的图像是条直线，那么二次函数的图像又是什么样的呢？
这个问题主要是为了引起学生的兴趣，不必回答，教师也不用给出答案．我们研究任何问题都最好由最简单的入手，根据刚才对二次函数的介绍，你认为最简单的二次函数是什么？
这个问题一方面可以使学生自然过渡到要先研究．另一方面也使同学认识到研
究问题要由简到繁的基本方法．
所以第三个问题是，由我们学习的画函数的图像方法与步骤，我们应怎样画二次函数的图像呢？
可由学生先回答画函数图像的三个步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线．然后分步骤来研究这个图像的方法．
（1）列表：①自变量x的取值范围是什么？
②要画这个图，你认为x取整数还是取其他数较好？
③看：它是一个数的平方形式，它的结论与x的值有什么关系？
学生可能有多种答法，引导学生回答：当x取互为相反数时，的值相同．
④若选7个点画图，你准备怎样选？
通过这4个问题可以使学生很顺利地想到为什么要先取书上给出的这7个点，而且也使
学生初步学会画二次函数图像时选点的技巧．
（2）描点：①在画坐标系时x轴的正、负半铀和y轴的正、负半轴是否都要画一样的长？
②怎样画就可以了呢？
答：x轴的正、负半轴画的一样长，y的正半轴画的较长，负半轴画的较短就可以．
通过这两个问题可培养学生的作图技巧．
（2）连线：①观察这7个点的位置，它们是否在一条直线上？
②我们应怎样连接这7个点？
让学生先连一次试试，然后教师演示。
关于原点附近的变化趋势，最好能用动画演示，增强学生的直观认识，或看书也可以．
注意：我们所画的只是近似图像．
接下来，让学生观察这个函数图像提问：
1．函数的图像有什么特点？
答：是轴对称图形．
2．你是怎样判断函数的图像有上述特征的？
这个问题，按不同的层次，有三种得出方法：（1）观察图；（2）看列表；（3）直接根据解析式，看学生层次定讲解的深度．
学生回答完上面的问题之后就可指出：函数的图像是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。
实际上，二次函数的图像都是抛物线（板书）
在此处，可大致解释一下抛物线是由物理中的问题而来的，不要深讲。
再结合图像指出：抛物线是开口向上的，y轴是它的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，即（0，0）点。
关于抛物线的顶点，可按不同层次的学生进行不同层次的解释：
从图像上直观得到：抛物线的顶点是图像的最低点：从解析式上看，当时，取得最小值0，（0，0）就是抛物线的顶点坐标。
（二）小结延伸
1．说一说清二次函数的意义？
注意点：（1）函数解析式关于自变量是整式；（2）自变量的最高次数是2。
2．二次函数的图像是什么形状的？它的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？
五、作业。