最新6-2矩阵的合同关系
矩阵的合同
矩阵的合同矩阵的合同是线性代数中一个重要的概念，用于描述两个矩阵之间的相似性。
它在各个领域中都有广泛的应用，特别是在矩阵理论、矩阵分析和线性代数中。
矩阵的合同是一种特殊的关系，它是矩阵的等价关系的一种推广。
如果两个矩阵A和B满足存在一个可逆矩阵P，使得P^TAP=B，那么我们称矩阵A和B合同，记作A ≅ B。
具体来说，一个矩阵A和B合同表示它们在一定程度上具有相似的结构和性质。
合同关系实际上是矩阵的相似关系的推广，相似关系要求两个矩阵有相同的特征值和相似的特征向量，而合同关系则不再要求特征值相同，只要求相似的二次型。
矩阵的合同关系具有以下性质：1. 自反性：任意矩阵A都与自己合同，即A ≅ A。
2. 对称性：若A与B合同，则B与A合同，即若A ≅ B，则B ≅ A。
3. 传递性：若A与B合同，B与C合同，则A与C合同，即若A ≅ B且B ≅ C，则A ≅ C。
矩阵的合同关系在矩阵的分类和标准化中起着重要的作用。
合同关系可以用于将一个矩阵转化为一种更加简化和标准化的形式，从而更方便地进行计算和分析。
例如，在矩阵的特征值分解中，我们可以通过合同变换将一个对称矩阵转化为对角矩阵，从而更容易求出其特征值和特征向量。
另外，矩阵的合同关系也与二次型密切相关。
一个矩阵A与一个二次型Q(x)合同，意味着它们具有相同的二次型矩阵。
合同关系可以用于研究二次型的性质和规范形式，以及在优化问题、最小二乘问题等领域中的应用。
还有，矩阵的合同关系在矩阵的相似关系和等价关系中起着桥梁的作用。
相似关系是合同关系的一个特例，等价关系是合同关系的一个推广。
通过研究矩阵的合同关系，我们可以更深入地理解和研究相似关系和等价关系。
总之，矩阵的合同关系是线性代数中一个重要的概念，它在矩阵理论、矩阵分析和线性代数中有重要的应用。
它的研究可以帮助我们更好地理解和研究矩阵的性质和相似性，以及在各个领域中解决实际问题。
矩阵的合同简单解释
矩阵的合同简单解释矩阵的合同，这听起来好像是个特别高深的数学概念，其实没那么可怕啦。
咱们先打个比方吧。
就好比你有两组小朋友在操场上排队，一组小朋友站成一个正方形的队形，另一组站成一个长方形的队形。
这两组小朋友呢，虽然队形不一样，但如果我们可以通过一些简单的规则把长方形的那组小朋友重新排列一下，让他们也能变成正方形的队形，而且每个小朋友在新队形里的相对位置关系和之前在长方形队形里的某些特殊关系是一样的，这就有点像矩阵的合同了。
矩阵其实就是一堆数按照一定的行和列排起来的东西。
那什么时候两个矩阵合同呢？简单说，如果有两个矩阵A和B，我们能找到一个可逆矩阵C，使得C的转置乘以A再乘以C等于B，那A和B就是合同的。
这就好比给那些小朋友找了一个神奇的指挥（可逆矩阵C），按照这个指挥的指示重新排列（乘以C），就能让两组小朋友的队形有那种特殊的对应关系（合同关系）。
再举个更具体的例子。
假如你是个小老板，你有两种不同的货物摆放方式，一种是按照矩阵A的方式摆放，另一种是按照矩阵B的方式摆放。
如果有一种合理的重新整理货架的方法（这个方法就相当于那个可逆矩阵C），整理之后货物的一些重要关系没有变，比如说不同种类货物之间的距离比例之类的，那就说明这两种摆放方式对应的矩阵是合同的。
那矩阵合同有啥用呢？这用处可大了去了。
比如说在研究二次型的时候，二次型可以用矩阵来表示。
如果两个矩阵合同，那就意味着对应的二次型有一些相似的性质。
这就好比两个长得不太一样的房子，但是它们内部的空间布局有某种相似性，可能客厅和卧室的相对位置关系，虽然大小不一样，但比例是类似的。
这种相似性在很多数学问题里就很有用，能让我们通过研究一个比较简单的矩阵对应的二次型，去了解另一个复杂一点的矩阵对应的二次型的性质。
还有啊，在物理学里也会用到矩阵合同的概念呢。
就像在研究一些晶体结构或者电磁场的时候，不同的坐标系下可能会得到不同的矩阵描述。
如果这些矩阵是合同的，那就说明虽然我们看问题的角度变了（坐标系变了），但是一些本质的东西没有变，就像不管从哪个方向看一个正方体，它的一些基本属性（比如对称性）是不会变的。
矩阵的合同
矩阵的合同矩阵的合同是指两个矩阵具有相同的大小（同样的行数和列数）和元素，并且它们的对应元素相等。
矩阵的合同是矩阵求解、线性代数和矩阵运算等领域中的重要概念。
矩阵的合同性质可以通过以下方式进行判断和证明：1. 两个矩阵的行数和列数必须相等，才有可能是合同的。
2. 对应位置的元素相等。
例如，矩阵A和矩阵B都是3x3的矩阵：A = [1 2 3][4 5 6][7 8 9]B = [1 2 3][4 5 6][7 8 9]根据上述定义，A和B是合同的，因为它们的大小相同且对应位置的元素相等。
矩阵的合同性质可以在矩阵求解和矩阵运算中有着重要的应用。
例如，在线性方程组的求解中，我们可以使用矩阵的合同性质来简化求解过程。
对于一个线性方程组Ax=b，如果两个矩阵A和B合同，那么它们可以代表同一个线性方程组。
因此，我们可以通过对矩阵进行一系列的运算，如行变换和列变换等，来简化方程组的求解过程。
矩阵的合同性质还可以通过矩阵的特征值来判断。
特征值是矩阵的一个重要性质，它可以通过求解矩阵的特征方程得到。
如果两个矩阵合同，它们的特征值也是相等的。
因此，我们可以通过求解特征方程来判断两个矩阵是否合同。
在矩阵运算中，合同性质也具有一定的意义。
例如，在矩阵的转置和共轭转置中，两个矩阵的合同性质得到了保持。
也就是说，如果矩阵A与矩阵B合同，那么它们的转置矩阵和共轭转置矩阵也是合同的。
这一性质在矩阵的运算和性质的证明中有着重要的应用。
总结起来，矩阵的合同性质是指两个矩阵具有相同的大小和相等的对应元素。
它是矩阵求解、线性代数和矩阵运算等领域中的重要概念。
通过判断和证明矩阵的合同性质，我们可以简化线性方程组的求解过程，判断两个矩阵是否相等，并且在矩阵的转置和共轭转置等运算中得到保持。
矩阵的合同性质对于理解和应用矩阵的运算和性质具有重要意义。
矩阵的等价,合同,相似的联系与区别
目录摘要 (I)引言 (1)1矩阵间的三种关系 (1)1.1 矩阵的等价关系 (1)1.2 矩阵的合同关系 (1)1.3. 矩阵的相似关系 (2)2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系 (3)3矩阵的等价、合同和相似之间的区别 (5)结束语 (6)参考文献 (6)摘要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系. 根据等价、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质．其二可利用正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化．关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件引言：在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致．还有矩阵的相似与合同之等价条件．并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量.1矩阵间的三种关系1.1 矩阵的等价关系定义1 两个s n ⨯矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的 n 阶矩阵Q ，使B PAQ =由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件：（1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）.（2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =.性质1（1）反身性：即A A ≅.（2）对称性：若A B ≅，则B A ≅（3）传递性：即若A B ≅，B C ≅，则A C ≅定理1 若A 为m n ⨯矩阵，且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和Q （n 阶），使得000r m nI PAQ B ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭.其中r I 为r 阶单位矩阵. 推论1 设A B 、是两m n ⨯矩阵，则A B ≅当且仅当()()r A r B =.1.2 矩阵的合同关系定义2 设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵p ，使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵（若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件：(1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵.(2) 存在数域p 上的n 阶矩阵p ,T P AP B =性质2（1）反身性：任意矩阵A 都与自身合同.（2）对称性：如果B 与A 合同，那么A 也与B 合同.（3）传递性：如果B 与A 合同，C 又与B 合同，那么C 与A 合同.因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.定理2 数域F 上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.定理3 复数域上秩为r 的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：22212r f y y y =++ 1.3. 矩阵的相似关系定义3 设,A B 均为数域p 上n 阶方阵，若存在数域p 上n 阶可逆矩阵p 使得B AP P =-1,则称矩阵A 与B 为相似矩阵（若n 级可逆矩阵p 为正交阵，则称A 与B 为正交相似矩阵）由矩阵的相似关系，不难得到矩阵A 与B 相似，必须同时具备两个条件(1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵(2) 在数域p 上n 阶可逆矩阵P ，使得B AP P =-1性质3(1)反身性 T A E AE = ;(2)对称性 由T B C AC =即得()11T A C BC --=;（3）传递性 111T A C AC =和2212T A C AC =即得 ()()21212T A C C A C C总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.(4) 11111221122()P k A k A P k P A P k P A P ---+=+（其中12,k k 是任意常数）； (5）1111212()()()P A A P P A P P A P ---=；(6）若A 与B 相似，则m A 与m B 相似（m 为正整数）；(7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果1B P AP -=为满秩矩阵，那么11111()B P AP P A P -----==.即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.(8）相似的矩阵有相同的行列式；因为如果1B P AP -=，则有：11B P AP P A P A --===(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；设1B P AP -=，若B 可逆，则11111()B P AP PA P -----==从而A 可逆.且1B -与1A -相似.若B 不可逆，则1()P AP -不可逆，即A 也不可逆.下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理定理4 相似矩阵的特征值相同.推论3 相似矩阵有相同的迹.2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系（1） 由以上三种矩阵间的关系的定义，可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系定理5 相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵．证明： 设n 阶方阵,A B 相似，由定义3知存在n 阶可逆矩阵1P ，使得111P AP B -=，此时若记11P P -=,1Q P = ,则有PAQ B =,因此由定义1得到n 阶方阵,A B 等价反过来，对于矩阵100010A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,121010B ⎛⎫= ⎪⎝⎭等价，但是A 与B 并不相似，即等价矩阵未必相似．定理 6 对于n 阶方阵,A B ，若存在n 阶可逆矩阵,P Q 使PAQ B =,(即A 与B等价)，且PQ E = (E 为n 阶单位矩阵)，则A 与B 相似．证明： 设对于n 阶方阵A 与B ,若存在n 阶可逆矩阵,P Q ,使PAQ B =,即A 与B 等价．又知PQ E =,若记11P P -= ,那么1Q P =,也即111P AP B -=,则矩阵,A B 也相似．定理7 合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．证明： 设n 阶方阵,A B 合同，由定义2有，存在n 阶可逆矩阵1P ，使得11TP AP B =，若记1TP P =,1Q P =,则有PAQ B =因此由定义1得到n 阶方阵,A B 等价反过来对于矩阵1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭等价，但是A 与B 并不合同，即等价矩阵未必合同．定理8 正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵．证明：若存在一个正交矩阵P ,即T P P E =使得1P AP B -=即~A B ，则有1T B P AP P AP -==，即A 与B 合同.同理，若存在一个正交矩阵P ，即T P P E =使得T P AP B =即A 与B 合同，则有1~T B P AP P AP A B -==⇒由此可得1.相似阵、合同阵必为等价阵，但过来必成立2.相似阵为正交相似，合同阵为正交合同时，相似与合同一致.（2）但相似矩阵与合同矩阵有着一定的内在联系，如果两者都具有反身性、对称性和传递性，即两者都是等价关系．另外，在一定条件下，两者是等价的．若矩阵A 与B 正交相似，则它们既是相似也是合同的．对于相似与合同矩阵之等价条件有以下定理，定理9 如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则A 与B 既相似又合同．证明：设A 与B 的特征根均为n λλλ ,,21因为A 与n 阶实对称矩阵，则一定存在一个n 阶正交矩阵 Q 使得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n AQ Q λλλ..211同理，一定能找到一个正交矩阵P 使得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n BP P λλλ..211从而有BP P AQ Q 11--= 将上式两边左乘P 和右乘1-P ,得()()()1111111-------===QP A QP QP AQP PQ B 由于T Q Q E =,T P P E =,1P P E -=有()()()()1111111T T T T QP QP P Q QP P EP PP E -------====,所以，1-P Q 是正交矩阵，由定理8知A 与B 相似．定理10 若n 阶矩阵A 与B 中只要有一个正交矩阵，则AB 与BA 相似且合同． 证明：不妨设A 是正交矩阵，则A 可逆，取U A =,有()()111U ABU A ABA A A BA BA ---===，则AB 与BA 相似，又知A 是正交阵，所以AB 与BA 既相似又合同．定理11 若A 与B 相似且又合同，C 与D 相似也合同，则有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B 00 既相似又合同． 证明: 因为A 与B ,C 与D 相似，故存在可逆矩阵1P ,2P ，使111122,P AP B P CP D --==,令1200P P P ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则1111200P P P ---⎛⎫= ⎪⎝⎭且10000A B P P C D -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B 00相似． 又因为A 与B 合同，C 与D 合同,故存在可逆矩阵12,Q Q , 122,T T Q AQ B Q CQ D ==令1200Q Q Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭而1200T T T Q Q Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭11112222000000000000T T T T T Q Q A A Q Q A Q Q Q Q C C Q Q C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11220000T T B Q AQ D Q CQ ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B 00合同． 3矩阵的等价、合同和相似之间的区别1、矩阵等价：a.同型矩阵而言b.一般与初等变换有关c.秩是矩阵等价的不变量，其次，两同型矩阵相似的本质是秩相等2、矩阵相似：a.针对方阵而言b.秩相等是必要条件c.本质是二者有相等的不变因子3、矩阵合同：a.针对方阵而言，一般是对称矩阵b.秩相等是必需条件c.本质是秩相等且正惯性指数相等，即标准型相同由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量，正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关系最弱、合同与相似是特殊的等价关系.由相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立.相似与合同不可互推，需要一定的条件.而且等价是经过有限次初等变换变得；相似不一定会都与对角阵相似，相似矩阵可看作是同一线性变换在不同基下的矩阵；合同可以通过二次型的非退化的线性替换来理解.结束语：矩阵中的这三种关系，在高等代数中是至关重要的，他们既包含着联系，又蕴涵着差别.相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵不一定是相似矩阵也不一定是合同矩阵；相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致；秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量，特征值是可对角化矩阵相似的不变量，正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量.参考文献：[1]张禾瑞.高等代数[M].北京：高等教育出版社,1983.[2]姚慕生.高等代数学[M].复旦：复旦大学出版社,1999.[3]北大数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1988 .[4]李志惠，李永明.高等代数中的典型问题与方法[M].北京：科学出版社，2006.[5]同济大学教研室. 线性代数[M].北京：高等教育出版社.，2001.[6]阎家灏.线性代数[M].重庆：重庆大学出版社.，1994.。
ch6-2 矩阵的合同
第六章二次型矩阵的合同()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n nn n n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x x x x f212122221112112121,,,,,,设有二次型 Axx f T=我们要解决的问题是：寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项(二次型的标准形或法式).使得将它代入二次型，有2221122.n nf d y d y d y =+++即求线性变换)(,,122112222121212121111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x111212122212n nn n nn c c c c c c C c c c ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭1)当C 是满秩矩阵时，称(1)为满秩(线性)变换(或非退化变换)；2)当C 是降秩矩阵时，称(1)为降秩(线性)变换(或退化变换)；3)当C 是正交矩阵时，称(1)为正交变换.定义1（线性变换定义的扩充）记从变量到变量 的线性变换(1)的系数矩阵为 12,,,n y y y 12,,,n x x x则称矩阵 A 与B 合同，或称 A 合同于B .定义2 设A , B 为n 阶方阵.如果存在可逆矩阵C ，使定理1 若矩阵A 与B 合同，则 A 与B 等价， 合同性质:（1）反身性 （2）对称性（3）传递性.TB C AC=()().R A R B =且Cyx =换如果对二次型作满秩变Ax x f T=有将其代入, Ax x f T=().y AC C y TT=()()Cy A Cy T=例1 设A 和B 为实对称矩阵，则由A 与B 相似可推出A 与B 合同，反之不然.证 由A 与B 相似可知，A 与B 有相同的特征值. 又由A 和B 都是实对称矩阵可知，存在正交矩阵111122,P AP P BP --=Λ=Λ即 111222112B P P P P AP P ---=Λ=从而 1111212()()P P A P P---= 和 ,使得A 和B 都与对角矩阵 相似， 1P 2P Λ记112,C P P -=T 1T 11122,P P P P--==T1T 1T T T T 1122121()()()C P P P P P P---===有于是 ，即A 与B 合同.TB C AC =()11112112P P P P C----===则由时，有 ，即A 与B 合同.反之，虽然都是实对称矩阵，且取1010,0201A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10102C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭TC AC B =故A 和B 不相似.但由于对任意可逆矩阵P反例说明，在所给条件下合同不一定相似.1P BP E A-=≠>>。
矩阵的合同,等价与相似的联系与区别
矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。
若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ≅。
2、矩阵等价的充要条件：A B ≅.{P Q A B ⇔同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。
（二）合同：1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ≅⇔二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。
2、矩阵相似的性质：~A B 11~,~,~(,)|E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-⇒=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立）r(A)=r(B)即的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：~()()A B E A E B λλ⇔-≅-二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵 12(,,,)n A λλλ=，12(,,,)m B βββ=1、若向量组（12,,,m βββ）是向量组（12,,,n λλλ）的极大线性无关组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。
而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ≅。
浅谈矩阵的等价、合同与相似之间的关系
1 、引 言矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用，起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍 ，对矩阵的应用学习有一定的帮助.2、矩阵的等价，相似，合同2.1矩阵的等价2.1.1矩阵等价的定义：矩阵等价用矩阵乘法表示出来就是，如果有两个m ×n 阶矩阵A 和B ，而且这两个矩阵满足B=QAP ，其中P 是n ×n 阶可逆矩阵，Q 是m ×m 阶可逆矩阵，那么这两个矩阵是等价的。
即，矩阵A 经过有限次的初等变换得到矩阵B2.1.2初等变换（1）换法变换：对调矩阵的两行（列），得初等矩阵E(i,j).用m 阶初等矩阵),mj i E （左乘nm ij a A ⨯=)(，相等于对矩阵A 实行第一种矩阵初等行变换，把A 的第i 行与第j 行对调，记作（r r j i ↔）类似的，用n 阶初等矩阵()j i E n ,右乘矩阵n m ij a ⨯=）（A ，相当于都矩阵A 实行第一种矩阵初等列变换，把A 的第i 列与第j 列对调，记作)c c j i ↔（ （2）倍法变换：以数K ≠0乘某一行（列）中的全部元素，得初等矩阵))((K i E 。
用））（（K i m E 左乘矩阵A ，相当于以数K 乘A 的第i 行，记作（K r i ⨯）。
用））（（K i nE 右乘矩阵A ，相当于以数K 乘A 的第i 列，记作（K ⨯c i ）。
（3）消法变换： 以数K 乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩阵））（（K E ij ，以））（（K E ij m 左乘矩阵A ，相当于把A 的第j 行乘以K 加到第i 行上，记作（r r j i K +）。
以））（（K E ij n右乘矩阵A ，相当于把A 的第i 列乘以K 加到第j 列上，记作（c c i j K +）。
矩阵的合同定义
矩阵的合同定义一、概述矩阵是线性代数中的重要工具，它在各个领域中都有着广泛的应用。
矩阵的合同定义是研究矩阵间等价关系的一种方法，通过合同定义可以刻画出矩阵的相似性和等价性。
本文将深入探讨矩阵的合同定义及其相关概念，对其进行全面、详细、完整的分析。
二、合同定义的概念2.1 矩阵的合同关系合同是一种等价关系，对于两个矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得A = PBP^(-1)，则称A与B合同。
合同关系是一种等价关系，具有自反性、对称性和传递性。
即对于任意矩阵A，有A与自身合同；若A与B合同，则B与A合同；若A 与B合同，B与C合同，则A与C合同。
2.2 合同关系的性质假设A与B为n阶方阵，则合同关系具有以下性质： - 矩阵的合同关系是一种等价关系。
- 对矩阵的运算保持合同关系，即若A与B合同，则cA与cB合同，A+B 与B+C合同。
- 矩阵的合同关系保持行列式的值相等，即若A与B合同，则|A| = |B|。
- 矩阵的合同关系保持矩阵的秩不变，即若A与B合同，则rank(A) = rank(B)。
三、合同关系的应用3.1 相似矩阵相似矩阵是合同关系的一种特殊情形，当可逆矩阵P为对角矩阵时，矩阵A与B相似。
相似矩阵具有一些重要的性质，如有相同的特征值、迹、行列式等。
相似矩阵的概念在线性代数中有着广泛的应用。
3.2 矩阵的标准型对于一个合同类中的矩阵，可以通过合同变换将其变换为一种标准形式，这种标准形式称为矩阵的标准型。
矩阵的标准型可以提取出矩阵的重要特征，便于进一步研究和应用。
常见的矩阵标准型有Jordan标准型和Rational标准型等。
3.3 矩阵的相似不变量矩阵的相似不变量是指在矩阵相似变换下不变的性质。
相似不变量可以通过合同变换求得，这些不变量对于描述矩阵的特征和性质具有重要意义。
例如，矩阵的迹、行列式、秩等都是矩阵的相似不变量。
四、合同关系与线性变换矩阵的合同关系与线性变换之间存在密切的联系。
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等价关系。
【注 2】合同的矩阵具有相同的秩。
信息系 刘康泽
例 1 设 A1 与 B1 合同， A2 与 B2 合同，
则
A1
0
0 A2
与
B1 0
0 B2
合同。
证明：由假设知，存在可逆的 C1 与 C2 ，使得
C1T A1C1 = B1
,
C
T 2
A2C2
=
B2
，
令
C
C1
0
0 C2
证明 因为 A 与 B 合同， B 与 D 合同，所以存在可
逆矩阵 C1 ， C2 ，使得
C1T AC1 = B ,
C
T 2
BC
2
=
D
，
则
C1C2 T AC1C2 = D ，
而 C1C2 C1 C2 0 ，故 C1 C2 可逆，故 A 与 D 合同。
【注 1】上述(1)(2)(3)表明矩阵的合同关系是一个
加到第 1 列，所得矩阵的第 1 行、第 1 列元素非零。
综上，可不放假设 a11 0 。
先将第 1 行的 ai1 倍加到第 i 行 (i 2,3, , n) ， a11
再将第 1 列的 ai1 倍（即 a1i 倍）加到第 i 列
a11
a11
(i 2,3, , n) ，得：
信息系 刘康泽
a11 a12
A
0
b22
0
bn2
a1n a11 0
b2
n
0
b22
bnn
0
bn2
0
b2n
bnn
a11 O
O A1
，
于是 A1 是 n 1阶的对称阵。对 A1 重复上述过程，
依次下去……。
则对 A 进行一系列的同类型的初等行与列的变换，可 以将 A 变成对角阵 D 。
信息系 刘康泽
6-2矩阵的合同关系
信息系 刘康泽
根据上节的讨论二次型 X T AX 经过非奇异线性变换 X = CY 变成新二次型Y T BY ，则原二次型的矩阵 A 与 新二次型的矩阵 B 有满足：
CT AC = B 。
【定义】设 A 和 B 为两个 n 阶矩阵，如果存在一个 n 阶可逆矩阵 C ，使得
CT AC = B ， 则称 A 与 B 合同，记为 A B 。
,dn ，
信息系 刘康泽
r(D2 ) n r ， (d j 0, j r 1, , n)
则
D1D2
1
O
OO
O
O
O 2
O
。
于是 即 也即
C T ACD2 D1D2 O ， ACD2 (C T )1O O ， ACD2C T OC T O ，
证明：因为 r( A) r ，故 A 必与下面的 D1 矩阵合同：
D1
1 O
O
O
,
其中 1 diag d1,d2,
,dr ，
r(D1) r (di 0 , i 1, 2, , r) ，
即存在可逆的 C ，使得： C T AC D1
取
D2
O
O
O
2
,
其中 2 diag dr1,dr2,
如果 a11 0 ，若至少有一个 aii 0 (i 1) ，
则先交换1 , i 两行，再交换1 , i 两列，这样就将 aii 交
换到第 1 行、第 1 列的位置。
0
a1i
a1n aii
ai1
ain
ai1
aii
ain a1i
0
a1n
an1
ani
ann ani
an1
ann
信息系 刘康泽
如果 a11 0 ，且所有 aii 0 ，若至少有一个 ai1 0 (i 1) ，则先将第 i 行加到第 1 行，再将第 i 列
根据上面的讨论立即得： 【定理】一个二次型经非奇异线性变换后仍变为二次 型，且新二次型矩阵与原二次型的矩阵合同。
信息系 刘康泽
合同关系具有以下性质：
（1）反身性： n 阶矩阵 A 与其本身合同，即 A A 。 证明 显然有 A = ET AE ，所以 A A 。
（2）对称性：如果 A 与 B 合同，则 B 与 A 也合同， 即 A B ，则 B A 。
，
C
C1
C2
0 ，故 C
可逆，且
CT
A1 0
0 A2
C
C1T
0
0 A1
C2T
0
0 C1
A2
0
0
C2
信息系 刘康泽
即
CT
A1 0
0 A2
C
C1T
A1C1 0
C2T
0 A2C2
B1 0
0
B2
所以
A1
0
0 A2
与
B1 00 B2源自合同。例 2 设 A 是 n 阶可逆实对称矩阵，且 A 与 A合同，
E( j, i(k)) AE(i, j(k)) ET (i, j(k)) AE(i, j(k)) .
信息系 刘康泽
上面三个式子的右边显然仍是对称阵。这就是说：对
对称矩阵进行一次同类型的初等行与列的变换，所得矩阵
仍然是对称矩阵。
设 A (aij )nn , aij a ji , i, j 1, 2, , n
信息系 刘康泽
【定理】设 A 是 n 阶实对称矩阵，则总存在可逆矩阵 C ，使得 CT AC 成为对角阵，即
d1
CT AC
d2
d
n
也即，实对称矩阵总能合同对角化。
证明：由于 A 是对称阵，且 E(i, j) AE(i, j) ET (i, j)AE(i, j) ,
E(i(k)) AE(i(k)) ET (i(k)) AE(i(k)) ,
这相当于存在初等矩阵 P1, P2 , , Ps ，使得： PsT P2T P1T AP1P2 Ps D 。
令 C = P1P2 Ps ，显然 C 可逆，
d1
则
CT A C D
d2
。
d
n
信息系 刘康泽
例 4 设 A 是 n 阶实对称矩阵， r( A) r ，则存在秩 为 n r 的实对称矩阵 B ，使得 AB O 。
则 n 必为偶数。
证明：由假设知，存在可逆的矩阵 C ，使得
A CT AC 两边取行列式有（注意到 A 0 ）： (1)n A C 2 A ，
C 2 (1)n 0 ， 故n必为偶数。
信息系 刘康泽
例 3 单位矩阵 E 与 E 在实数域上不合同。 证明：若存在实可逆矩阵 C ，使得
E CT EC CTC 由于 CTC 的主对角线上的元素全是 C 中各列元素 的平方和，它们都大于或等于零，但 E 的主对角线上的 元素全都小于零，矛盾！故 E 与 E 在实数域上不合同。
证明 因 A 与 B 合同，所以存在可逆矩阵 C ，使得
B = CT AC ，
于是
A=
CT
1 BC 1
C 1
T
B
C 1
，
从而 B 与 A 也合同。
信息系 刘康泽
（3）传递性： 如果 A 与 B 合同， B 与 D 合同，则 A 与 D 也合同。即若 A B ，且 B D ，则 A D 。