余弦函数图像和性质练习含答案
2021年沪教版高一数学暑假作业：余弦函数的图像与性质【含答案】
2021年沪教版高一数学暑假作业：余弦函数的图像与性质【含答案】一、单选题1．下列命题中正确的是（ ） A ．cos y x =在第二象限是减函数 B ．tan y x =在定义域内是增函数 C ．|cos(2)|3y x π=+的周期是2π D ．sin ||y x =是周期为2π的偶函数【答案】C【分析】根据函数的图象与图象变换进行判断．【详解】解：由余弦函数图象可知cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，故单调递减，但是在第二象限内不具有单调性，故A 错误；由正切函数的图象可知tan y x =在每一个周期内都是增函数，故tan y x =在定义域内不是增函数，故B 错误．cos(2)3y x π=+的周期为π，则|cos(2)|3y x π=+的图象是由cos(2)3y x π=+的图象将x 轴下方的部分翻折到x 轴上方得到的，故周期减半， |cos(2)|3y x π∴=+的周期是2π，故C 正确． sin ||y x =是偶函数，其图象是将sin y x =在y 轴右侧的函数图象翻折到y 轴左侧，所以函数sin ||y x =不是周期函数，故D 错误． 故选：C ．2．若()y f x =的图像与cos y x =的图象关于x 轴对称，则()y f x =的解析式为（ ） A ．()cos y x =- B ．cos y x =- C ．cos y x = D ．cos y x =【答案】B【分析】根据()f x -、()f x -、()fx 与()f x 的图象特征依次判断即可得到结果.【详解】对于A ，()cos cos y x x =-=，图象与cos y x =重合，A 错误； 对于B ，()y f x =与()y f x =-图象关于x 轴对称，cos y x ∴=-与cos y x =图象关于x 轴对称，B正确；对于C ，当0x ≥时，cos cos y x x ==，可知其图象不可能与cos y x =关于x 轴对称，C 错误； 对于D ，将cos y x =位于x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，就可以得到cos y x =的图象，可知其图象与cos y x =的图象不关于x 轴对称，D 错误.故选：B.3．函数cos y x =在区间(),3ππ上的图像的对称轴是（ ） A ．3x π= B ．52x π=C ．2x π=D ．x π=【答案】C【分析】根据余弦函数的性质即可求出对称轴.【详解】由余弦函数的性质可得函数cos y x =关于,x k k Z π=∈对称， 又(),3x ππ∈，则2x π=，故函数cos y x =在区间(),3ππ上的图像的对称轴是2x π=. 故选：C.4．若函数()3sin 12f x x ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()f x 是（ ） A ．周期为1的奇函数 B ．周期为2的偶函数C ．周期为1的非奇非偶函数D ．周期为2的非奇非偶函数．【答案】B【分析】先化简()f x 的解析式可得()3cos 1f x x π=-，由正弦函数的周期公式和奇偶性的定义法可得答案.【详解】()3sin 13cos 12f x x x πππ⎛⎫=--=-⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期为22T ππ==又()()()3cos 13cos 1f x x x f x ππ-=--=-=，所以()f x 为偶函数. 故选：B二、填空题5．已知余弦函数过点,6m π⎛⎫-⎪⎝⎭，则m 的值为__________． 3【分析】将,6m π⎛⎫-⎪⎝⎭代入余弦函数即可求解. 【详解】设余弦函数为cos y x =， 由函数过点,6m π⎛⎫-⎪⎝⎭可得3cos 6m π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 36．方程2cos 303⎛⎫++= ⎪⎝⎭x π的解集是____________. 【答案】22x x k ππ⎧=+⎨⎩或72,6x k k Z ππ⎫=-∈⎬⎭【分析】由题意可得出3cos 3x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得出3x π+的等式，由此可求得原方程的解集. 【详解】2cos 303x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 3x π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ ()5236x k k Z πππ∴+=±∈，解得22x k ππ=+或()726x k k Z ππ=-∈，因此，方程2cos 303⎛⎫+= ⎪⎝⎭x π的解集是22x x k ππ⎧=+⎨⎩或72,6x k k Z ππ⎫=-∈⎬⎭. 故答案为：22x x k ππ⎧=+⎨⎩或72,6x k k Z ππ⎫=-∈⎬⎭. 【点睛】本题考查余弦方程的求解，考查计算能力，属于基础题. 7．函数2sin 3cos =+y x x 的值域为_____________． 【答案】[3,3]-【分析】设cos x t =，[]1,1t ∈-，得到231324y t ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，根据二次函数性质得到值域.【详解】22sin 3cos 1cos 3cos y x x x x =+=-+，设cos x t =，[]1,1t ∈-，则223133124y t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，函数在[]1,1t ∈-上单调递增，故1t =时，max 1313y =-++=，1t =-时，min 1313y =--+=-，故值域为[3,3]-. 故答案为：[3,3]-.【点睛】本题考查了三角函数的值域，意在考查学生的计算能力和转化能力，换元是解题的关键. 8．函数()lg cos f x x x =-在(,)-∞+∞内的零点个数为__________． 【答案】4【分析】在同一平面直角坐标系中作出函数|lg |y x =和cos y x =的图像如图， 结合图像的对称性可以看出两函数|lg |y x =和cos y x =的图像应有4个交点， 即函数()lg cos f x x x =-在(),-∞+∞内有4个零点， 故答案为：4．点睛：本题旨在考查化归转化的数学思想、函数方程思想、数形结合思想等数学思想的综合运用，求解时依据函数的对称性，先画出y 轴右边的函数的图像相交的情形，再根据对称性确定y 轴左边的函数的图像相交的情形，最终使得问题获解． 9．当3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()arcsin cos y x =的值域是______. 【答案】,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【分析】令cos t x =，3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，再利用反正弦函数的性质求解. 【详解】令cos t x =，3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以212t -≤≤， 因为arcsin y t =在2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增， 所以arcsin 42t ππ-≤≤，所以函数()arcsin cos y x =的值域是,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查反正弦函数的图象和性质，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.10．函数2()sin cos 2f x x x =+-的值域是________ 【答案】3[3,]4--【分析】化简得到2()cos cos 1f x x x =-+-，设cos x t =，得到21324y t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，根据二次函数性质得到值域.【详解】22()sin cos 2cos cos 1f x x x x x =+-=-+-,设cos x t =，[]1,1t ∈-，则2213124y t t t ⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭， 当12t =时，函数有最大值为34-；当1t =-时，函数有最小值为3-.故函数值域为3[3,]4--. 故答案为：3[3,]4--.【点睛】本题考查了三角函数的值域，意在考查学生的计算能力和转化能力，换元转化为二次函数是解题的关键.11．方程2cos 210x -=的解集是___________. 【答案】{|6x x k ππ=+或,}6x k k Z ππ=-∈【分析】根据余弦函数的图象与性质解三角方程即可. 【详解】由2cos 210x -=可得：1cos 22x =， 所以223x k ππ=+或223x k ππ=-，()k ∈Z即6x k ππ=+或6x k ππ=-故答案为：{|6x x k ππ=+或,}6x k k Z ππ=-∈【点睛】本题主要考查了余弦函数的图象与性质，三角方程的解法，属于中档题. 三、解答题12．作出函数[]32cos ,,y x x ππ=-∈-的大致图象，并分别写出使0y >和0y <的x 的取值范围． 【答案】图象见解析；当,,66⎡⎫⎛⎤∈--⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦x ππππ时，0y >；当,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，0y <. 【分析】利用五点作图法可得函数大致图象，令0y =，确定函数零点，数形结合得到所求x 的取值范围. 【详解】由五点作图法可知：x π-2π-2ππcos x1-0 11-y32+ 3 32- 3 32+由此可得函数大致图象如下图所示：令0y =32cos 0x =，3cos 2x ∴=，又[],x ππ∈-，6x π∴=-或6π，结合图象可知：当,,66⎡⎫⎛⎤∈--⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦x ππππ时，0y >；当,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，0y <. 【点睛】本题考查五点作图法的应用、与余弦函数有关的不等式的求解；求解不等式可确定函数零点后，通过数形结合的方式来求解.13．利用“五点法”作出函数1cos y x =-，[]0,2x π∈的图像． 【分析】根据“五点法”的步骤先描点，再画出图象. 【详解】先找出五个关键点，列表如下：x2ππ32π 2π1cos y x =-0 121描点作出函数图象如下：14．求下列函数的单调递增区间： （1）3sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； （2）2cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； （3）sin y x =；（4）()22sin 2sin cos 3cos ,f x x x x x x R =++∈．【答案】（1）37,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦；（2）5,88k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦；（3）,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦；（4）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦．【分析】（1）利用诱导公式变形，由正弦型复合函数的单调性求解； （2）余弦型复合函数的单调性求解； （3）画出函数图象，结合函数图象即可判断；（4）首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得．【详解】解：（1）2sin 22sin 244y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由3222242k x k πππππ+-+，得3878k x k ππππ++，k Z ∈． 3sin 24y x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭的单调增区间为37,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， （2）因为2cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由2224k x k ππππ-++，k Z ∈，得588k x k ππππ-+≤≤-+，k Z ∈． 2cos 24y x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭的单调增区间为5,88k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， （3）sin y x =的图象是由sin y x =位于x 轴下方的图象关于x 轴翻折上去，函数图象如下所示：由函数图象可得函数的单调递增区间为,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ （4）因为()22sin 2sin cos 3cos ,f x x x x x x R =++∈所以()sin 2cos 222224f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，故函数的单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦15．如图，设A 、B 是半径为1的圆O 上的动点，且A 、B 分别在第一、二象限，C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，△AOB 为等边三角形，记以Ox 轴正半轴为始边、射线OA 为终边的角为θ.（1）若点A 的坐标为34(,)55，求5sin()5cos()3cot()2πθπθθ--++-值；（2）设2()||f BC θ=，求函数()f θ的解析式和值域. 【答案】（1）3；（2）()22cos()3f πθθ=-+，值域为(2,23).【分析】（1）根据A 的坐标，利用三角函数的定义，求出sin θ，cos θ，再利用诱导公式，即可得到结论； （2）由题意，cos cos()3COB πθ∠=+，利用余弦定理，可得函数()f θ的解析式，从而可求函数的值域．【详解】解：（1）A 的坐标为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，以Ox 轴正半轴为始边，射线OA 为终边的角为θ∴根据三角函数的定义可知，4sin 5θ=，3cos 5θ=，4tan 3θ=∴5sin()5cos()3cot()2πθπθθ--++-5sin 5cos 3tan θθθ=-++4345533553=-⨯+⨯+⨯=；（2）)AOB 为正三角形，3AOB π∴∠=．cos cos()3COB πθ∴∠=+222()||||||2||||cos 22cos 3f BC OC OB OC OB COB πθθ⎛⎫∴==+-∠=-+ ⎪⎝⎭62ππθ<<， 5236πππθ∴<+<， 3cos 03πθ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，所以222cos 233πθ⎛⎫<-+< ⎪⎝⎭(2()2,3f θ∴+∈．【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，考查余弦定理求边长的平方，考查学生的计算能力，属于中档题．。
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象知识点归纳与练习(含详细答案)
第一章 三角函数 §1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课时目标 1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．1．正弦曲线、余弦曲线2．“五点法”画图画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是_________________________； 画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________． 3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向________平移π2个单位长度即可．知识点归纳：1．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一．一、选择题1．函数y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．直线x ＝π22．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向右平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式为( )A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x3．函数y ＝－sin x ，x ∈[－π2，3π2]的简图是( )4．在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 B.⎝⎛⎦⎤π4，π2∪⎝⎛⎦⎤5π4，3π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，π2 D.⎝⎛⎭⎫5π4，7π4 5．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π 6．方程sin x ＝lg x 的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 7．函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象向右平移π2个单位后所得图象对应的函数解析式是__________．8．函数y ＝2cos x ＋1的定义域是________________． 9．方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________．10．设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________． 三、解答题11．利用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)； (2)y ＝－1－cos x (0≤x ≤2π)．12．分别作出下列函数的图象．(1)y＝|sin x|，x∈R；(2)y＝sin|x|，x∈R.能力提升13．求函数f(x)＝lg sin x＋16－x2的定义域．14．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．§1.4 三角函数的图象与性质 1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象答案知识梳理2．(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－1，(2π，0) (0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫32π，0，(2π，1) 3．左 作业设计1．D 2.B 3.D 4．A [∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图象，观察图象易得x ∈⎝⎛⎭⎫π4，34π.] 5．D [作出函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象，函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝2围成的平面图形，如图所示的阴影部分．利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC 的面积，又∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 平面图形＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π.]6．C [用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象．描出点⎝⎛⎭⎫110，－1，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．]7．y ＝－cos x解析 y ＝sin x 2π−−−−−−→向右平移个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 ∵sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ，∴y ＝－cos x . 8.⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z 解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－12，结合图象知x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋2π3，k ∈Z . 9．2解析 作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解．10.⎣⎡⎦⎤π4，5π4解析 由题意知sin x －cos x ≥0，即cos x ≤sin x ，在同一坐标系画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与 y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示：观察图象知x ∈[π4，54π]．11．解 利用“五点法”作图 (1)列表：X 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x1121描点作图，如图所示．(2)列表：X0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x－2－1－1－2描点作图，如图所示．12．解 (1)y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π) (k ∈Z )．其图象如图所示，(2)y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (x ≥0)－sin x (x <0)，其图象如图所示，13．解 由题意，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >016－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4sin x >0，作出y ＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得：x ∈[－4，－π)∪(0，π)．14．解 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x x ∈[0，π]，－sin x x ∈(π，2π].图象如图，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k 的取值范围是(1,3)．。
2020-2021数学第三册课时7.3.3余弦函数的性质与图像含解析
2020-2021学年新教材人教B版数学必修第三册课时分层作业：7.3.3余弦函数的性质与图像含解析课时分层作业(十)余弦函数的性质与图像(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数y＝－cos x的图像与余弦函数图像()A．关于x轴对称B．关于原点对称C．关于原点和x轴对称D．关于原点和坐标轴对称C[由y＝－cos x的图像知关于原点和x轴对称．］2．设函数f(x)＝sin错误!，x∈R，则f（x)是(）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为错误!的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数B［因为sin错误!＝－sin错误!＝－cos 2x，所以f(x）＝－cos 2x。
又f(－x）＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，所以f（x)的最小正周期为π的偶函数．]3．下列函数中，周期为π，且在错误!上为减函数的是() A．y＝sin错误!B．y＝cos错误!C．y＝sin错误!D．y＝cos错误!A[因为函数的周期为π，所以排除C、D．又因为y＝cos错误!＝－sin 2x在错误!上为增函数，故B不符．只有函数y＝sin错误!的周期为π，且在错误!上为减函数．]4．在(0，2π)内使sin x〉|cos x|的x的取值范围是（)A．错误!B．错误!∪错误!C．错误!D．错误!A［因为sin x〉|cos x｜，所以sin x〉0，所以x∈（0,π)，在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π）与y＝｜cos x｜，x∈（0，π）的图像，观察图像易得x∈错误!。
]5．三个数cos 32,sin 错误!，－cos 错误!的大小关系是（)A．sin 错误!＞cos 错误!＞－cos 错误!B．cos 错误!＞－cos 错误!＞sin 错误!C．cos 错误!＜sin 错误!＜－cos 错误!D．－cos 错误!＜sin 错误!＜cos 错误!C[sin 错误!＝cos错误!，－cos 错误!＝cos错误!。
正弦函数、余弦函数的图像(附答案)
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“黄花梨和紫檀是数一数二的好料，市场认可度又高，所以我们这里专注做这两种木料的手串。
”端木轩的尚女士向记者引见说。
海黄紫檀领风骚手串是源于串珠与手镯的串饰品，今天曾经演化为集装饰、把玩、鉴赏于一体的特征珍藏品。
怕上当受骗，我们教你如何鉴别小叶紫檀的真伪！点击访问：木缘鸿官网“目前珍藏、把玩木质手串的人越来越多，特别是海黄和印度小叶檀最受藏家追捧，有人把黄花梨材质的手串叫做腕中黄金。
”纵观海南黄花梨近十年的价钱行情，不难置信尚女士所言非虚。
一位从事黄花梨买卖多年的店主夏先生通知记者，在他的记忆中，2000年左右黄花梨上等老料的价钱仅为60元/公斤，2002年大量收购时，价格也仅为2万元/吨左右，而往常，普通价钱坚持在7000-8000元/公斤，好点的1公斤料就能过万。
“你看这10年间海南黄花梨价钱涨了百余倍，都说水涨船高，这海黄手串的价钱自然也是一路飙升。
”“这串最低卖8000元，能够说是我们这里海黄、小叶檀里的一级品了，普通这种带鬼脸的海黄就是这个价位。
”檀梨总汇的李女士说着取出手串让记者感受一下，托盘里一串直径2.5mm的海南黄花梨手串熠熠生辉，亦真亦幻的自然纹路令人入迷。
当问到这里最贵的海黄手串的价钱时，李女士和记者打起了“太极”，几经追问才通知记者，“有10万左右的，普通不拿出来”。
同海南黄花梨并排摆放的是印度小叶檀手串，价位从一串三四百元到几千元不等。
李女士引见说，目前市场上印度小叶檀原料售价在1700元/公斤左右，带金星的老料售价更高，固然印度小叶檀手串的整体售价不如海黄手串高，但近年来有的也翻了数十倍，随着老料越来越少，未来印度小叶檀的升值空间很大。
“和海黄手串比起来，印度小叶檀的价钱相对低一些，普通买家能消费得起。
高中数学第七章三角函数7.3.3余弦函数的性质与图像同步作业含解析第三册
课时作业(十）余弦函数的性质与图像一、选择题1．下列对y＝cos x的图像描述错误的是（)A．在［0，2π]和［4π，6π］上的图像形状相同，只是位置不同B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间C．关于x轴对称D．与y轴仅有一个交点2．x轴与函数y＝cos x的图像的交点个数是(）A．0B．1C．2 D．无数个3．函数y＝1－2cos错误!x的最小值,最大值分别是() A．－1,3 B．－1,1C．0，3 D．0，14．y＝|cos x｜的一个单调增区间是(）A．［－错误!,错误!] B．［0，π]C．［π,错误!] D．［错误!,2π］二、填空题5．函数y＝cos（－x)，x∈[0，2π］的单调递减区间是________．6．函数y＝2cos错误!的最小正周期为4π，则ω＝________。
7．利用余弦曲线，写出满足cos x>0，x∈[0，2π]的x的区间是________．三、解答题8．求函数y＝3－2cos错误!的对称中心坐标,对称轴方程,以及当x为何值时，y取最大值或最小值．9．求函数y＝sin2x＋a cos x－错误!a－错误!的最大值为1时a的值．[尖子生题库］10．已知函数f（x)＝2cos ωx（ω＞0）,且函数y＝f（x）的图像的两相邻对称轴间的距离为错误!.(1)求f错误!的值;(2）将函数y＝f（x）的图像向右平移π6个单位后，再将得到的函数图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求g(x）的单调递减区间．课时作业(十)余弦函数的性质与图像1．解析：由余弦函数的周期性可知A项正确，根据函数的图像可知B项与D项正确，y＝cos x的对称轴方程为x＝kπ，k∈Z，故C项错误．答案：C2．解析：函数y＝cos x的图像与x轴有无数个交点,故选D.答案：D3．解析：∵cos错误!x∈[－1,1］，∴－2cos错误!x∈［－2,2］，∴y＝1－2cos错误!x的最小值为－1，最大值为3。
【精品】高中数学 必修4_余弦函数与正切函数的图象和性质_讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案)基础
余弦函数与正切函数的图象和性质【学习目标】1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象.2.借助图象理解余弦函数的性质.3.借助正切线画出正切函数的图象，并通过该图象理解正切函数的性质. 【要点梳理】要点一：余弦函数图象的画法 1．描点法：按照列表、描点、连线三步法作出余弦函数图象的方法． 2．几何法利用三角函数线作出余弦函数在]2,0[π内的图象，再通过平移得到cos y x =的图象． 3．五点法先描出余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到余弦曲线在一个周期内的图象．在确定余弦函数cos y x =在]2,0[π上的图象形状时，起关键作用的五个点是3(0,1),(,0),(,1),(,0),(2,1)22ππππ-要点诠释：（1）熟记余弦函数图象起关键作用的五点．（2）若x R ∈，可先作出余弦函数在]2,0[π上的图象，然后通过左、右平移可得到cos y x =的图象．（3）由诱导公式cos sin()2y x x π==+，故cos y x =的图象也可以将x y sin =的图象上所有点向左平移2π个单位长度得到．要点二：余弦曲线（1）定义：余弦函数cos ()y x x R =∈的图象分别叫做余弦曲线． （2）图象要点诠释：（1）由余弦曲线可以研究余弦函数的性质．（2）运用数形结合的思想研究与余弦函数有关的问题． 要点三：余弦函数的性质函数 余弦函数y=cosx定义域 R 值域 [-1，1] 奇偶性 偶函数 周期性最小正周期2π 单调区间（k ∈Z ）增区间[]22k k πππ-，减区间[]22k k πππ+， 最值点（k ∈Z ）最大值点()21k π，最小值点()2,1k ππ+-对称中心（k ∈Z ） (,0)2k ππ+对称轴（k ∈Z ） x k π=要点诠释：（1）余弦函数的值域为[]1,1-，是指整个余弦函数或一个周期内的余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么余弦函数的值域就可能不是[]1,1-，因而求余弦函数的值域时，要特别注意其定义域。
1.6 余弦函数的图像与性质练习2
13．比较下列各组数的大小：
(1)cos
－π 8
与
cos157π；
(2)sin194°与 cos160°.
14．已知函数 y＝－cos2x＋acosx－12a－12的最大值为 1，求 a 的值．
余弦函数的图像余弦函数的性质
|基础巩固|(25 分钟，60 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1．对于余弦函数 y＝cosx 的图象，有以下三项描述：
(1)向左向右无限延伸；
(2)与 x 轴有无数多个交点；
(3)与 y＝sinx 的图象形状一样，只是位置不同．
其中正确的有( )
A．0 个 B．1 个
|能力提升|(20 分钟，40 分)
11．已知函数 y＝2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线 y＝2 围成一个封闭的平面图 形，则这个封闭图形的面积为( )
A．4 B．8 C．2π D．4π 12．(2016·江苏太仓月考)若函数 f(x)的定义域为[0,1]，则 f(cosx)的定义域为 ________．
则
f
－15π 4
＝________.
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 9．根据 y＝cosx 的图象解不等式：－ 23≤cosx≤12，x∈[0,2π]． 10．画出函数 y＝3＋2cosx 的简图． (1)求使此函数取得最大值、最小值的自变量 x 的集合并分别写出最大值、最 小值． (2)讨论此函数的单调性．
C．2 个 D．3 个
2．函数 y＝sin 2 0211π－2 010x 是(
)
A．奇函数Байду номын сангаас
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
高中数学 1-6-1~2余弦函数的图像 余弦函数的性质活页训练 北师大版必修4
【创新设计】2013-2014学年高中数学 1-6-1~2余弦函数的图像 余弦函数的性质活页训练 北师大版必修4双基达标 限时20分钟1．函数y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2的值域是( )． A ．[0,1] B ．[－1,1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析 画出y ＝cos x ，x ∈[－π6，π2]的图像，从而得出y ∈[0,1]，故选A.答案 A2．在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，下列函数是增函数的是( )．A ．y ＝1sin xB ．y ＝－1cos xC ．y ＝－sin xD ．y ＝－cos x解析 由正弦函数、余弦函数的单调性判断可知选D. 答案 D3．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋52π的一个对称中心是( )． A.⎝⎛⎭⎪⎫π8，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0D.⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0解析 对称中心为曲线与x 轴的交点，将四个点带入验证，只有⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0符合要求，故选B.答案 B4．三个数cos 32，sin 110，－cos 74的大小关系是________．解析 sin 110＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－110；－cos 74＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－74，又π＞32＞π2－110＞π－74＞0，又y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 32＜sin 110＜－cos 74.答案 cos 32＜sin 110＜－cos 745．函数y ＝ 2 cos x ＋1的定义域是________．解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－12，结合图像知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－23π，2k π＋2π3，k ∈Z . 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋2π3，k ∈Z6．求函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的值域．解 y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝⎛⎭⎪⎫cos x －232－13.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝154；当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.∴函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，154. 综合提高 限时25分钟7．要得到y ＝sin x 的图像，只需将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图像( )．A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，将此函数向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像． 答案 D8．对于函数y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥cos x ，cos x ，sin x ＜cos x ，下列命题中正确的是( )．A ．该函数的值域是[－1,1]B ．当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，函数取得最大值1C ．该函数是以π为最小正周期的周期函数D ．当且仅当2k π＋π＜x ＜2k π＋3π2(k ∈Z )时，f (x )＜0解析 画图像可知，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，x ＝2k π或x ＝2k π＋π2时取最大值，T ＝2π，故选D.答案 D9．y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 解析 画出y ＝cos x 的图像，观察其单调性可知－π＜a ≤0. 答案 (－π，0]10．方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________． 解析 作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图像，如图所示，由图像可知原方程有两个实 数解． 答案 211．求函数y ＝2cos x －3的单调递增区间． 解 由2cos x －3≥0，得cos x ≥32，即2k π－π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z )， 又y ＝cos x 的增区间为[2k π－π，2k π]，k ∈Z ，∴函数y ＝2cos x －3的单调递增区间是[2k π－π6，2k π]，k ∈Z .12．(创新拓展)作出函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |的简图，并写出它的定义域、值域、最小正周期、递增区间、递减区间、奇偶性．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，sin x ≥cos x ，sin x ，sin x ＜cos x ，图像如图．函数的定义域为R ，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22， 最小正周期为2π，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π4＋2k π 和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋2k π，5π4＋2k π，其中k ∈Z ，递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，－π2＋2k π和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋2k π，π＋2k π，其中k ∈Z ，函数既不是奇函数，也不是偶函数．。
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课时作业10 余弦函数、正切函数的图象与性质(一)
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．函数f (x )＝cos(2x －π
6)的最小正周期是( ) B ．π C ．2π
D ．4π
解析：本题考查三角函数的周期． T ＝2π
2＝π.
余弦型三角函数的周期计算公式为2π
ω(ω>0)． 答案：B
2．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π
3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )
B ．3
C ．6
D ．9
解析：将f (x )向右平移π3个单位长度得g (x )＝f (x －π3)＝cos[ω(x －π3)]＝cos(ωx －π3ω)，则－π
3ω＝2k π，
∴ω＝－6k ，又ω>0，∴k <0，当k ＝－1时， ω有最小值6，故选C. 答案：C
3．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π
2的函数，若f (x )＝
⎩⎨
⎧
cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤x ≤0，
sin x 0<x ≤π，
则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－15π4的值等于( )
A ．1 C ．0
D ．－2
2
解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2×－3＋3π4＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22. 答案：B
4．将函数y ＝cos x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin(x －π
6)的图象，则φ等于( )
解析：∵y ＝sin(x －π6)＝cos[π2－(x －π6)]＝cos(x －2π
3)．
将y ＝cos x 的图象向右平移2π3个单位可得到y ＝cos(x －2π
3)的图象，
∴要得到y ＝sin(x －π6)的图象应将y ＝cos x 的图象左移φ＝2π－2π
3＝4π
3个单位．
答案：C
5．已知f (x )是定义在(－3,3)上的奇函数，当0<x <3时，f (x )的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集为( )
∪(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3 ∪(0,1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，3
∪(0,1)∪(1,3)
D ．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3)
解析：f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1,3)，f (x )<0的解集为(－3，－1)
∪(0,1)，当x ∈(－π，π)时，cos x >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，π2，cos x <0的解集
为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
2，π， 故f (x )cos x <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪(0,1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，3. 答案：B
6．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4π3，0中心对称，那么
|φ|的最小值为( )
解析：由题意可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝0，即3cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
8π3＋φ＝0
∴8π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z ) ∴φ＝k π＋π2－8π
3(k ∈Z ) ∴|φ|的最小值为|φ|＝|2π＋π2－8π3|＝π
6.
答案：A
二、填空题(每小题8分，共计24分)
7．若f (x )＝cos x 在[－b ，－a ]上是增函数，那么f (x )在[a ，b ]上是________函数．
解析：∵f (x )＝cos x 是偶函数，且偶函数在对称区间的单调性相反， ∴f (x )在[a ，b ]上是减函数． 答案：减
8．函数f (x )的定义域为[0,1]，则f (cos x )的定义域为____________． 解析：由题意知0≤cos x ≤1， ∴2k π－π2≤x ≤2k π＋π
2，k ∈Z . 答案：[2k π－π2，2k π＋π
2](k ∈Z )
9．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π
3的交点，则φ的值是________．
解析：本题考查三角函数的图象及求值问题．
由题意cos π3＝sin(2×π3＋φ)，即sin(2π3＋φ)＝12，2π
3＋φ＝k π＋(－1)k
·π6，(k ∈Z )，因为0≤φ<π，所以φ＝π6.
答案：π
6
三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10．比较下列各组数的大小 (1)cos 32，sin 110，－cos 74；
(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π7.
解：(1)∵sin 1
10＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－110≈，
－cos 74＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π－74≈，cos 3
2＝， 又0<<<<π，y ＝cos x 在[0，π]上是减函数， ∴<<.
即cos 32<sin 110<－cos 7
4；
(2)∵cos 3π7＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－3π7＝sin π14， 而0<π14<3π7<π
2，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2上是增函数，
∴0<sin π14<sin 3π7<1<π
2，
y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减函数， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
sin π14>cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7.
即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
cos 3π7>cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin 3π7.
11．求当函数y ＝sin 2
x ＋a cos x －12a －3
2的最大值为1时，a 的值．
解：y ＝1－cos 2
x ＋a cos x －12a －32＝－cos 2
x ＋a cos x －12a －12
＝－(cos x －a 2)2＋a 24－12a －1
2
设cos x ＝t ，∵－1≤cos x ≤1，∴－1≤t ≤1.
∴求函数y ＝－(cos x －a 2)2＋a 24－12a －1
2的最大值为1时a 的值，等
价于求闭区间上的二次函数y ＝－(t －a 2)2＋a 24－12a －1
2(－1≤t ≤1)的最大值为1时a 的值．
(1)当a
2<－1，即a <－2时， t ＝－1时，y 有最大值为－32a －3
2，
由题设可知－32a －32＝1，∴a ＝－5
3>－2(舍去)． (2)当－1≤a
2≤1，即－2≤a ≤2时， t ＝a 2时，y 有最大值为a 24－a 2－12， 由题设可知a 24－a 2－1
2＝1，
解得a ＝1－7，或a ＝1＋7(舍去)．
(3)当a 2>1，即a >2时，t ＝1时，y 有最大值为a 2－32， 由题设可知a 2－3
2＝1，∴a ＝5. 综上可得a ＝1－7或a ＝5. 12．已知函数f (x )＝2cos(π
3－2x )．
(1)若f (x )＝1，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π6，π4，求x 的值；
(2)求f (x )的单调增区间． 解：(1)根据题意cos(π3－2x )＝1
2， 因为π3－2x ＝2k π±π
3(k ∈Z )，
而x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π6，π4，故x ＝0.
(2)令2n π≤π
3－2x ≤2n π＋π(其中n ∈Z )， 解得－n π－π3≤x ≤－n π＋π
6(其中n ∈Z )， 即k π－π3≤x ≤k π＋π
6(k ∈Z )，
从而f (x )的单调增区间为[k π－π3，k π＋π
6](k ∈Z )．。