数列求通项专项训练

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31、32班数列求通项专项训练第II 卷（非选择题）

评卷人 得分

一、解答题（题型注释）

1.已知等差数列{}n a 满足20a =，6810a a +=-.

（I ）求数列

{}n a 的通项公式；

（II ）求数列12n n a -????

??的前n 项和.

2.已知数列

{}n a 满足

211232222n n n

a a a a -++++=

，*n N ∈.

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；

(Ⅱ)设

()21n n

b n a =-，求数列

{}n b 的前n 项和n S .

3.等差数列{am}的前m 项和为Sm ，已知S3=22

a ，且S1，S2，S 4成等比数列，

（1）求数列{am}的通项公式.

（2）若{am}又是等比数列，令bm=19n n S S +? ，求数列{bm}的前m 项和Tm.

4.已知点(1,2)是函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)的图象上一点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )－1.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若b n ＝l og a a n ＋1，求数列{a n b n }的前n 项和T n .

5.数列

}

{n a 满足11=a ，

121+=

+n n

n a a a （*N n ∈）.

（1）求证1n a

??????是等差数列；(要指出首项与公差);

(2) 求数列

}

{n a 的通项公式;

（3）若Tn=

+

+3221a a a a …

1

++n n a a ，求证:

21<

n T .

6.(本小题满分12分)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为Sn ， 满足*

2

1,144N n n a S n n ∈--=+,且a 2、a 5、a 14构成等比数列. (1)证明5412+=

a a ;

(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有

2

111113221<+++n n a a a a a a .

7.已知函数x x f 2log )(=,若),(),(,221a f a f ),(,),(3n a f a f )(,42*

N n n ∈+ 成等差数列。 （1）求数列)}({*

N n a n ∈的通项公式；

（2）设)(k g 是不等式)(32)3(log log *

22N k k x a x k ∈+≥-+整数解的个数，求)(k g ； （3）记数列12n a ???

???

的前n 项和为n S ，

是否存在正数λ，对任意正整数,n k ，使2

n k S a λλ-<恒成立？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由。

8.（本小是满分13分）已知数列2

1{}:21(*).2n n n a a a a n N n

=++=-∈ 满足 （I ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设22,{}n n n

n n

b b n a -=数列的前项和为S n ．若对一切*,n n N S M ∈<都有成立（M 为正整数），求M 的最小值．

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试卷答案

1.解：（I ）设等差数列{}

n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=??

+=-? 解得11,

1.a d =??

=-?故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =-

（II ）设数列1

{

}2n n n a n S -的前项和为，即2

111,122n n n a a S a S -=+++= 故，

12.2242n n n S a

a a =+++

所以，当1n >时，

121111111121()22222422

121(1).

222n n n n n n n n n n n S a a a a a n a n n

-------=+++-=-+++--=---=

所以1

.2n n n

S -=

综上，数列11{}.2

2n n n n a n n S --=的前项和 略

2.

3.（1）设数列{am}的公差为d ，由S3=

22a ，可得3a2=2

2a ，解得a2=0或a2=3.

由S1，S2，S4成等比数列，可得

2214S S S = ,由122242,2,42S a d S a d S a d =-=-=+，故2222(2)()(42)a d a d a d -=-+ .

若a2=0，则22

2d d =-，解得d=0.此时Sm=0.不合题意；

若a2=3，则

2

(6)(3)(122)d d d -=-+，解得d=0或d=2，此时am=3或am=2m-1. （2）若{am}又是等比数列，则Sm=3m ，所以bm=19n n S S +?=9133(1)(1)n n n n =?+?+=111n n -

- ，

故Tm=（1－12 ）+（12－1

3 ）+（13－14）+…+（111n n -

+）=1－11n +=1n n +

4.

5.解：（1）由

121+=

+n n n a a a 可得：n n

n a a a 121

1

+=+ 即 111

2n n a a +=+

所以数列}1{

n a 是以首项11

1=a ，公差2d =的等差数列，

（2）由（1）可得 12)1(1

11

-=-+=n d n a a n

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∴

121

-=

n a n

（3）∵

)

121

121(21)12)(12(11+--=+-=

+n n n n a a n n

∴Tn=

1211215131311

1(2113221+-

-++-+-=

++++n n a a a a a a n n )]121

121()121321()7151()5131()311[(21+--+---++-+-+-=n n n n 21)1211(21<+-=n

∴ 21

<

n T .

6.

7.

（1）由题可知()222log 22n n f a n a n =+?=+得222n n a += （2）原式化简：

()()221221

221221212log log (3)23log log (32)23

log (32)23

32220220

2,2k k k k k k k k k x a x k x x k x x k x x x x x +++++++++-≥+?+?-≥+????-≥+???-?+?≤?--≤???∈??

其中整数个数()1

2

1k g k +=+

（3）由题意，11111641211414

n n n

S ??

-????=?=--，12k k a +=

又2

n k S a λλ-<恒成立，0n S >，0λ>，

所以当n S 取最大值，k a 取最小值时，n k S a λ-取到最大值 又1n S <，4k a ≥，所以214λλ-≤ 解得25λ≥-+.

8.