新课标极坐标参数方程高考题汇总复习过程
高考数学 第7讲 极坐标与参数方程知识点+典型例题+变式训练+基础训练+高考真题(精心整理,很实用)
第7讲 极坐标与参数方程【基础知识】一.极坐标知识点1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 2.极坐标与直角坐标的互化： 二.参数方程知识点1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点(,)P x y 满足()()x f t y f t =⎧⎨=⎩，该方程叫曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数。
（在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。
） 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
2．曲线的参数方程（1）圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x .（2）椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x .（3）抛物线px y 22=的参数方程可表示为)(.2,22为参数t pt y pt x ⎩⎨⎧==. （4）经过点),(o o O y x M ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为⎩⎨⎧+=+=.sin ,cos o o ααt y y t x x （t 为参数）.3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
在参数方程与普通方程的互化中，必须使y x ,的取值范围保持一致. 规律方法指导：1.把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法.常见的消参方法有：代入消法 ；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等. 2.把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性， 注意方程中的参数的变化范围。
极坐标与参数方程高考经典题型归纳总结
1.弦长问题模型11.在平面直角坐标系中，圆C 的方程为()25622=++y x（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （2）直线l 的参数方程为t t y t x (sin cos ⎩⎨⎧==αα为参数），l 与C 交于点B A ,， ①若43πα=，求AB ， ①若10=AB ，求l 的斜率。
2.已知直线t ty tx (32⎩⎨⎧=+=为参数）与曲线θθρcos 8sin 2=交于B A ,，求AB2.弦长问题模型2（只对直线过原点才可以）注意：若直线倾斜角为α且过原点，则该直线的直角坐标方程为αtan x y=，其参数方程为⎧==ααsin cos t y t x ，其极坐标方程为)(R ∈=ραθ3.在极坐标系中，以点(2,)2C π为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3l R πθρ=∈交于,A B 两点.（1）求圆C 及直线l 的普通方程.（2）求弦长AB .3.参数方程最值问题模型4.已知曲线θθθ(sin 2cos 1:1⎩⎨⎧+=+=y x C 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线:2C4πθ=()R ∈ρ（1）写出1C 的极坐标方程，2C 的一个参数方程；（2）设1C 与2C 交于N M ,两点，P 为1C 上一动点，求PMN ∆面积的最大值。
4.利用直线参数方程中t 的几何意义问题模型5.在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．6.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>,已知过点()2,4P --的直线l 的参数方程为:2,4x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩直线l 与曲线C 分别交于,M N(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程; (2)若||,||,||PM MN PN 成等比数列,求a 的值.5.综合问题例题1在平面直角坐标系xoy 中，曲线13:221=+y x C ，以坐标原点为极轴，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线a C 222)4sin(:2+=+πθρ（1）写出1C 的参数方程，2C 的普通方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C ，求PQ 的最小值以及此时P 点坐标。
高中数学极坐标与参数方程知识汇编及高考题型汇总
高中数学极坐标与参数方程知识点汇编及题型汇总【知识汇编】参数方程：直线参数方程：00cos ()sin x x t t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩为参数 00(,)x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定点00(,)x y 的数量；圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数(a,b)为圆心，r 为半径； 椭圆22221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数； 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ=⎧⎨=⎩为参数； 抛物线22y px =的参数方程是22()2x pt t y pt⎧=⎨=⎩为参数 极坐标与直角坐标互化公式：若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ，则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan yx θ=。
【题型1】参数方程和极坐标基本概念1．已知曲线C的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin 51cos 52y x (α为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox 轴正半轴为极轴建立极坐标系。
1)求曲线c 的极坐标方程2)若直线l 的极坐标方程为ρ(sinθ+cosθ)=1，求直线l 被曲线c 截得的弦长。
解：(1)∵曲线c 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin 51cos 52y x (α为参数)∴曲线c 的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入并化简得：ρ=4cosθ+2sinθ 即曲线c 的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ (2)∵l 的直角坐标方程为x+y-1=0∴圆心c 到直线l 的距离为d=22=2∴弦长为225-=23 .2．极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝sin （θ＋4π），曲线C2的极坐标方程为ρsin θ＝a （a ＞0），射线θ＝ϕ，θ＝ϕ＋4π，θ＝ϕ－4π，θ＝2π＋ϕ与曲线C1分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D ．（1）若曲线C1关于曲线C2对称，求a 的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程； （2）求｜OA ｜·｜OC ｜＋｜OB ｜·｜OD ｜的值． 解：（1）1C ：2)1()1(22=-+-y x ， 2C ：a y =， 因为曲线1C 关于曲线2C 对称，1=a ，2C ：1=y （2）)4sin(22||πϕ+=OA ；ϕsin 22||=OC ，【题型2】直线参数方程几何意义的应用1.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），直线l 与曲线C ：22(2)1y x --=交于A ，B 两点.（1）求AB的长；（2）在以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P的极坐标为⎛⎝，求点P 到线段AB 中点M 的距离.解：（1）直线l的参数方程为1222x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，（t为参数），代入曲线C 的方程得24100t t +-=．设点A ，B 对应的参数分别为12t t ，，则124t t +=-，1210t t =-，所以12||||AB t t =-=（2）由极坐标与直角坐标互化公式得点P 的直角坐标为(22)-，， 所以点P 在直线l 上，中点M 对应参数为1222t t +=-，由参数t 的几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离||2PM =． 2．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。
高考极坐标与参数方程题型及解题方法
高考极坐标与参数方程题型及解题方法1. 引言在高考数学考试中，极坐标与参数方程是比较常见的题型。
掌握这些题型的解题方法对于考生来说非常重要。
本文将针对高考中常见的极坐标与参数方程题型进行介绍，并给出相应的解题方法。
2. 极坐标题型及解题方法2.1 求曲线方程在给定了极坐标方程$r=f(\\theta)$的情况下，求曲线的方程是比较常见的题型。
要解决这类题目，一般有以下步骤：•首先，观察函数$f(\\theta)$的性质，判断是否是一个周期函数，通过实例来确定周期。
•根据这个周期，可以得到对应的关系式。
•使用关系式消去r和$\\theta$，得到曲线的直角坐标方程。
•最后，通过画图或其他方式，验证所得方程是否正确。
2.2 求曲线的长度求曲线的长度也是一个常见的问题，一般分为以下几步：•根据给定的极坐标方程$r=f(\\theta)$，利用弧长公式进行求解。
公式为：$$L=\\int_{\\alpha}^{\\beta}\\sqrt{[f'(\\theta)]^2+f^2(\\theta)}d\\theta$$ •其中$\\alpha$和$\\beta$为曲线所在区间，$f'(\\theta)$为导数。
•确定曲线所在区间，并计算导数$f'(\\theta)$。
•将上述求得的值带入弧长公式中，进行计算。
2.3 求曲线与极轴的夹角有时候，我们需要求出曲线与极轴的夹角。
对于这类问题，一般可以按照以下步骤进行求解：•首先，通过给定的极坐标方程$r=f(\\theta)$求出曲线与极轴的交点。
•然后，求出曲线在交点处的切线斜率k。
斜率的求解公式为：$$k=\\tan(\\pi/2-\\theta)=-\\frac{dr}{d\\theta}/r$$•最后，利用切线的斜率k求出曲线与极轴的夹角。
3. 参数方程题型及解题方法3.1 求曲线方程对于给定的参数方程x=f(t)和y=g(t)，求曲线的方程也是常见的高考题型。
【高中数学】参数方程和极坐标方程常考题型及解题方法归纳
参数方程和极坐标方程常考题型及解题方法归纳一、根据直线参数方程中ｔ的几何意义求与距离有关的问题经过点Ｐ（ｘ０，ｙ０），倾斜角为α的直线ｌ的参数方程为ｘ＝ｘ０＋ｔｃｏｓαｙ＝ｙ０＋ｔｓｉｎ烅烄烆α（ｔ为参数），参数ｔ的几何意义是：直线上定点Ｐ到动点Ｍ的有向线段，ｔ表示参数ｔ对应的点Ｍ到定点Ｐ的距离，即｜ｔ｜＝｜ＰＭ｜．若Ａ，Ｂ为直线ｌ上两点，其对应的参数分别为ｔ１与ｔ２，则有：①ＡＢ＝｜ｔ１－ｔ２｜；②当Ａ，Ｂ在点Ｐ的同侧时，ｔ１与ｔ２同号；当Ａ，Ｂ分别在点Ｐ的两侧时，ｔ１与ｔ２异号．需要注意的是：有时候直线的参数方程也可写为ｘ＝ｘ０＋ａｔｙ＝ｙ０＋烅烄烆ｂｔ（ｔ为参数），如果ａ２＋ｂ２≠１，则参数ｔ没有上述几何意义．例１ 在直角坐标系中，以原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线Ｃ：ρｌｌ与ｌ的普通方程；（２）若ＰＭ，ＭＮ，ＰＮ成等比数列，求ａ的值．分析 （１）利用ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ即可将曲线Ｃ的极坐标方程转化为直角坐标方程，在直线ｌ的参数方程中消去参数ｔ即可得直线ｌ的普通方程；（２）将直线ｌ的参数方程代入曲线Ｃ的直角坐标方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可建立关于ａ的方程求解．解 （１）由ρｓｉｎ２θ＝ａｃｏｓθ得ρ２ ｓｉｎ２θ＝ａρｃｏｓθ，可得曲线Ｃ的平面直角坐标方程ｙ２＝ａｘ（ａ＞０）．由直线ｌ的参数方程消去参数ｔ，可得直线ｌ的普通方程为ｘ－ｙ－１＝０．（２）设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，则ＰＭ＝ｔ１，ＰＮ＝ｔ２，ＭＮ＝ｔ１－ｔ２．将ｘ＝－１＋槡２２ｔ，ｙ＝－２ ＋槡２２ｔ代入ｙ２＝ａｘ，得ｔ２－（槡４ ２ ＋槡２ａ）ｔ＋８＋２ａ＝０．所以Δ＝（槡４ ２ ＋槡２ａ）２－４（８＋２ａ）＝２ａ２＋８ａ＞０，ｔ１＋ｔ２＝槡４ ２ ＋槡２ａ，ｔ１ｔ２＝８＋２ａ．由ＰＭ，ＭＮ，ＰＮ成等比数列，可以得到ｔ１－ｔ２２＝ｔ１ｔ２，所以（ｔ１＋ｔ２）２－４ｔ１ｔ２＝ｔ１ｔ２，即（槡４ ２ ＋槡２ａ）２－５（８＋２ａ）＝０，解得ａ＝１（ａ＝－４舍去）．例２ （２０１５年高考湖南卷）已知直线ｌ：ｘ＝５ ＋槡３２ｔｙ ＝槡３＋１２烅烄烆ｔ（ｔ为参数），以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Ｃ的极坐标方程为ρ＝２ｃｏｓθ．（Ⅰ）将曲线Ｃ的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Ｍ的直角坐标为（５，槡３），直线ｌ与曲线Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，求｜ＭＡ｜·｜ＭＢ｜的值．分析 （Ⅰ）利用ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ｘ＝ρｃｏｓθ即可将已知条件中的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）注意到点Ｍ在直线ｌ上，将直线ｌ的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解．解 （Ⅰ）ρ＝２ｃｏｓθ等价于ρ２＝２ρｃｏｓθ，将ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ρｃｏｓθ＝ｘ代入即得曲线Ｃ的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２－２ｘ＝０．（Ⅱ）结合直线ｌ的参数方程，注意到点Ｍ在直线ｌ上，且（槡３２）２＋（１２）２＝１，可设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，则ＭＡ＝｜ｔ１｜，ＭＢ＝｜ｔ２｜，所以ＭＡ·ＭＢ＝ｔ１ｔ２． 将直线ｌ的参数方程代入曲线Ｃ的直角坐标方程，整理得ｔ２ ＋槡５ ３ｔ＋１８＝０，则ＭＡ·ＭＢ＝ｔ１ｔ２＝１８．例３ 已知圆锥曲线Ｃ：ｘ＝２ｃｏｓαｙ＝ｓｉｎ｛α（α为参数）和定点Ａ（０，，槡３），Ｆ１，Ｆ２是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点Ｏ为极点，以ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（１）求直线ＡＦ２的极坐标方程；（２）经过点Ｆ１且与直线ＡＦ２垂直的直线ｌ交此圆锥曲线于Ｍ，Ｎ两点，求ＭＦ１－ＮＦ１的值．解 （１）消去参数α即可将曲线Ｃ的方程化为普通方程ｘ２４＋ｙ２＝１，从而可求得Ｆ１（－槡３，０），Ｆ２（槡３，０），于是可得直线ＡＦ２的普通方程为ｘ＋ｙ－槡３＝０，利用互化公式化为极坐标方程为ρｃｏｓθ＋ρｓｉｎθ＝槡３．（２）由（１）可得ｋＡＦ２＝－１，所以直线ｌ的倾斜角为４５°，从而可得直线ｌ的参数方程为ｘ＝－槡３ ＋槡２２ｔｙ ＝槡２２烅烄烆ｔ（ｔ为参数），代入椭圆Ｃ的直角坐标方程：ｘ２４＋ｙ２＝１，得５ｔ２－槡２ ６ｔ－２＝０，设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，注意到点Ｍ，Ｎ，Ｆ１都在直线ｌ上且点Ｍ，Ｎ在点Ｆ１两侧，所以｜ＭＦ１｜－｜ＮＦ１｜＝｜ｔ１＋ｔ２｜＝槡２ ６５．评注 对于直线上与定点距离有关的问题，利用直线参数方程中参数ｔ的几何意义，能避免通过解方程组求交点坐标的繁琐运算，使解题过程得到简化．二、利用参数方程求最值和取值范围利用曲线的参数方程求解两曲线间的最值问题，是解决这类问题的常用方法，优点是解题过程比较简洁．为此，需要熟悉常见曲线的参数方程、参数方程与普通方程的互化以及参数方程的简单应用．例４ 已知曲线Ｃ１：ｘ＝８ｃｏｓｔｙ＝２ｓｉｎ｛ｔ（ｔ为参数），以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线Ｃ２的极坐标方程为ρ＝７ｃｏｓθ－ｓｉｎθ．（１）将曲线Ｃ１的参数方程化为普通方程，将曲线Ｃ２的极坐标方程化为直角坐标方程．（２）设Ｐ为曲线Ｃ１上的点，点Ｑ极坐标为（２槡２，π４），求ＰＱ的中点与曲线Ｃ２上的点的距离的最小值．分析 （１）利用参数方程和普通方程之间的关系进行互化即可，（２）先把点Ｑ的极坐标化为直角坐标，设出点Ｐ的参数形式的直角坐标（ｔ为参数），进而得到ＰＱ的中点Ｍ的直角坐标，可用公式得到点Ｍ到直线Ｃ２的距离ｄ的表达式（用参数ｔ表示），再求最值即可．解 （１）由曲线Ｃ１的参数方程消去参数ｔ得曲线Ｃ１的普通方程ｘ２６４＋ｙ２４＝１．由曲线Ｃ２的极坐标方程得ρｃｏｓθ－ρｓｉｎθ＝７，于是可得它的直角坐标方程为ｘ－ｙ－７＝０．（２）由点Ｑ的极坐标（槡２ ２，π４）可得它的直角坐标为（２，２），设Ｐ（８ｃｏｓｔ，２ｓｉｎｔ），则ＰＱ的中点Ｍ的直角坐标为（４ｃｏｓｔ＋１，ｓｉｎｔ＋１），所以，点Ｍ到直线Ｃ２的距离ｄ＝４ｃｏｓｔ－ｓｉｎｔ－７槡２＝槡１７ｃｏｓ（ｔ＋φ）－７槡２，其中φ为锐角，且ｔａｎφ＝１４．当ｃｏｓ（ｔ＋φ）＝１时，ｄ取得最小值ｄｍｉｎ＝槡７ ２ －槡３４２．所以，ＰＱ的中点Ｍ与曲线Ｃ２上的点的距离的最小值为槡７ ２ －槡３４２．例５ （２０１４年全国卷Ⅰ）已知曲线Ｃ：ｘ２４＋ｙ２９＝１，直线ｌ：ｘ＝２＋ｔｙ＝２－２｛ｔ（ｔ为参数）．（Ⅰ）写出曲线Ｃ的参数方程和直线ｌ的普通方程；（Ⅱ）过曲线Ｃ上任一点Ｐ作与ｌ夹角为３０°的直线，交ｌ于点Ａ，求｜ＰＡ｜的最大值与最小值．分析 （Ⅰ）利用椭圆的普通方程及直线的参数的特征进行互化即可；（Ⅱ）由椭圆的参数方程建立｜ＰＡ｜的三角函数表达式，再求最值．图１解 （Ⅰ）曲线Ｃ的参数方程为ｘ＝２ｃｏｓθｙ＝３ｓｉｎ｛θ（θ为参数），直线ｌ的普通方程为２ｘ＋ｙ－６＝０．（Ⅱ）如图１，在曲线Ｃ上任意取一点Ｐ（２ｃｏｓθ，３ｓｉｎθ），它到直线ｌ的距离为：ｄ＝槡５５４ｃｏｓθ＋３ｓｉｎθ－６，则｜ＰＡ｜＝ｄｓｉｎ３０°＝槡２ ５５｜５ｓｉｎ（θ＋α）－６｜，其中α为锐角，且ｔａｎα＝４３．当ｓｉｎ（θ＋α）＝－１时，｜ＰＡ｜取得最大值，最大值为槡２２ ５５；当ｓｉｎ（θ＋α）＝１时，｜ＰＡ｜取得最小值，最小值为槡２ ５５．例６ （２０１５年高考陕西卷）在直角坐标系ｘΟｙ中，直线ｌ的参数方程为ｘ＝３＋１２ｔｙ ＝槡３２烅烄烆ｔ（ｔ为参数）．以原点为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙Ｃ的极坐标方程为ρ＝槡２ ３ｓｉｎθ．（Ⅰ）写出⊙Ｃ的直角坐标方程；（Ⅱ）Ρ为直线ｌ上一动点，当Ρ到圆心Ｃ的距离最小时，求Ρ的直角坐标．分析 （Ⅰ）利用ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，由⊙Ｃ的极坐标方程可得它的直角坐标方程；（Ⅱ）先设点Ρ的参数坐标，可得ΡＣ的函数表达式，再利用函数的性质可得ΡＣ的最小值，进而可得Ρ的直角坐标；或将直线ｌ的方程化为普通方程，再求过圆心且垂直于直线ｌ的直线方程，联立两方程可解得点Ｐ的直角坐标．解 （Ⅰ）由ρ＝槡２ ３ｓｉｎθ，得ρ２ ＝槡２ ３ρｓｉｎθ，从而，⊙Ｃ的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２ ＝槡２ ３ｙ，即ｘ２＋（ｙ－槡３）２＝３．（Ⅱ）设Ｐ（３＋１２ｔ，槡３２ｔ），又Ｃ（０，槡３），则｜ＰＣ｜＝（３＋１２ｔ）２＋（槡３２ｔ －槡３）槡２＝ｔ２＋槡１２，易知：当ｔ＝０时，ΡＣ取得最小值，此时Ρ点的直角坐标为（３，０）．评注 将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，常用的技巧有：代入消参、加减消参、整体消参、平方后加减消参等．如果题目中涉及圆、椭圆上的动点求相关最值（范围）问题时，可考虑用其参数方程设出点的坐标，将问题转化为函数问题来解决，可以使解题的过程更简洁．例７ （２０１６年全国卷Ⅱ理科第２０题）已知椭圆Ｅ：ｘ２ｔ＋ｙ２３＝１的焦点在ｘ轴上，Ａ是Ｅ的左顶点，斜率为ｋ（ｋ＞０）的直线交Ｅ于Ａ，Ｍ两点，点Ｎ在Ｅ上，ＭＡ⊥ＮＡ．（Ⅰ）当ｔ＝４，ＡＭ＝ＡＮ时，求△ＡＭＮ的面积；（Ⅱ）当２ ＡＭ＝ＡＮ时，求ｋ的取值范围．分析 （Ⅰ）先结合已知条件设出直线ＡＭ的参数方程，代入椭圆方程，可求得ＡＭ，进而求得△ＡＭＮ的面积；（Ⅱ）设出直线ＡＭ、ＡＮ的参数方程（以直线ＡＭ的倾斜角α为参数），代入椭圆方程，用ｔ和α表示｜ＡＭ｜和｜ＡＮ｜，再利用２ ＡＭ＝ＡＮ将ｔ表示为ｋ的函数，结合ｔ＞３，可求得ｋ的取值范围．解 （Ⅰ）当ｔ＝４，ＡＭ＝ＡＮ时，可得点Ａ（－２，０），ｋ＝１．设直线ＡＭ的参数方程为ｘ＝－２＋槡２２ｍｙ ＝槡２２烅烄烆ｍ（ｍ为参数），代入椭圆方程，整理得７２ｍ２－槡６ ２ ｍ＝０，故ＡＭ ＝槡１２ ２７，所以Ｓ△ＡＭＮ＝１２ＡＭ·ＡＮ＝１４４４９．（Ⅱ）设直线ＡＭ的倾斜角为α，又点Ａ（－槡ｔ，０），可设直线ＡＭ的参数方程为ｘ＝－槡ｔ＋ｍｃｏｓαｙ＝ｍｓｉｎ烅烄烆α（ｍ为参数），代入椭圆方程，整理得（３ｃｏｓ２α＋ｔ ｓｉｎ２α）ｍ２－６ｔｃｏｓα·ｍ＝０，所以ＡＭ＝６ｔｃｏｓα３ｃｏｓ２α＋ｔ ｓｉｎ２α．因为ＭＡ⊥ＮＡ，故直线ＡＮ的倾斜角为α＋π２，同理可得：ＡＮ＝６ｔｃｏｓ（α＋π２）３ｃｏｓ２（α＋π２）＋ｔ ｓｉｎ２（α＋π２）＝６ｔｓｉｎα３ｓｉｎ２α＋ｔ ｃｏｓ２α．由２ ＡＭ＝ＡＮ，ｋ＝ｔａｎα，代入化简得ｔ＝６ｋ２－３ｋｋ３－２．又因为椭圆Ｅ：ｘ２ｔ＋ｙ２３＝１的焦点在ｘ轴上，所以ｔ＞３，即６ｋ２－３ｋｋ３－２＞３，解得３槡２＜ｋ＜２．所以，ｋ的取值范围是（３槡２，２）．评注 本题属于圆锥曲线试题，常规思路是利用直角坐标直接求解，过程比较复杂．利用直线的参数方程来求解本题，使问题的求解过程变得简洁．三、利用极坐标中ρ的几何意义求有关距离或相关问题我们知道，极坐标中的ρ为极径，表示曲线上一点与原点Ｏ之间的距离，因此，与原点Ｏ有关的距离、面积等问题都可考虑运用极坐标中ρ的几何意义来解决，这是一种有效的解题策略，很多时候比化为直角坐标运算更简便．例８ （２０１５年高考全国卷Ⅱ）在直角坐标系ｘＯｙ中，曲线Ｃ１：ｘ＝ｔｃｏｓα，ｙ＝ｔｓｉｎα｛，（ｔ为参数，ｔ≠０），其中０≤α＜π，在以Ｏ为极点，ｘ轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线Ｃ２：ρ＝２ｓｉｎθ，曲线Ｃ３：ρ＝２ 槡３ｃｏｓθ．（Ⅰ）求Ｃ２与Ｃ１的交点的直角坐标；（Ⅱ）若Ｃ２与Ｃ１相交于点Ａ，Ｃ３与Ｃ１相交于点Ｂ，求ＡＢ的最大值．分析 （Ⅰ）可将曲线Ｃ２与Ｃ１的极坐标方程化为直角坐标方程后联立求交点的直角坐标，也可以直接联立极坐标方程求得交点的极坐标，再化为直角坐标；（Ⅱ）分别联立Ｃ２与Ｃ１、Ｃ３与Ｃ１的极坐标方程，求得Ａ，Ｂ的极坐标，由极径的概念用α表示出ＡＢ，转化为求关于α的三角函数的最大值．解 （Ⅰ）曲线Ｃ２的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２－２ｙ＝０，曲线Ｃ３的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２ －槡２ ３ｘ＝０．联立两方程解得：ｘ１＝０，ｙ１＝０烅烄烆，ｘ２＝槡３２，ｙ２＝３２烅烄烆，所以，Ｃ２与Ｃ１的交点的直角坐标为（０，０）和（槡３２，３２）．（Ⅱ）曲线Ｃ１的极坐标方程为θ＝α（ρ∈Ｒ，ρ≠０），其中０≤α＜π．于是可得：点Ａ的极坐标为（２ｓｉｎα，α），点Ｂ的极坐标为（槡２ ３ｃｏｓα，α）．所以ＡＢ＝２ｓｉｎα－槡２ ３ｃｏｓα＝４｜ｓｉｎ（α－π３）｜，又０≤α＜π，所以，当α＝５π６时，ＡＢ取得最大值，最大值为４．评注 如果用直角坐标来处理本题，计算量较大．例９ （２０１６年全国卷Ⅱ理科第２３题）在直线坐标系ｘＯｙ中，圆Ｃ的方程为（ｘ＋６）２＋ｙ２＝２５．（Ⅰ）以坐标原点为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，求Ｃ的极坐标方程；（Ⅱ）直线ｌ的参数方程是ｘ＝ｔｃｏｓα，ｙ＝ｔｓｉｎα｛，（ｔ为参数），ｌ与Ｃ交于Ａ，Ｂ两点，｜ＡＢ｜＝槡１０，求ｌ的斜率．分析 （Ⅰ）利用ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ｘ＝ρｃｏｓθ可得Ｃ的极坐标方程；（Ⅱ）先将直线ｌ的参数方程化为极坐标方程，再利用弦长公式可求得ｌ的斜率．解 （Ⅰ）由ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ可得Ｃ的极坐标方程ρ２＋１２ρｃｏｓθ＋１１＝０．（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线ｌ的极坐标方程为θ＝α（ρ∈Ｒ），与Ｃ的极坐标方程联立得ρ２＋１２ρｃｏｓα＋１１＝０．设点Ａ，Ｂ所对应的极径分别为ρ１，ρ２，则ρ１＋ρ２＝－１２ｃｏｓα，ρ１ρ２＝１１，所以｜ＡＢ｜＝｜ρ１－ρ２｜＝（ρ１＋ρ２）２－４ρ１ρ槡２＝１４４ｃｏｓ２α－槡４４．又｜ＡＢ｜＝槡１０，所以１４４ｃｏｓ２α－槡４４ ＝槡１０，解得ｃｏｓ２α＝３８，故ｔａｎα＝±槡１５３，所以，直线ｌ的斜率为槡１５３或－槡１５３．例１０ （２０１５年高考全国卷Ⅰ理科第２３题）在直角坐标系ｘＯｙ中，直线Ｃ１：ｘ＝－２，圆Ｃ２：（ｘ－１）２＋（ｙ－２）２＝１，以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求Ｃ１，Ｃ２的极坐标方程；（Ⅱ）若直线Ｃ３的极坐标方程为θ＝π４（ρ∈Ｒ），设Ｃ２与Ｃ３的交点为Ｍ，Ｎ，求△Ｃ２ＭＮ的面积．分析 （Ⅰ）根据公式ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，ｘ２＋ｙ２＝ρ２即可求得Ｃ１，Ｃ２的极坐标方程；（Ⅱ）联立直线Ｃ３和圆Ｃ２的极坐标方程得到关于ρ的方程，可求得ＭＮ，进而可求出△Ｃ２ＭＮ的面积．解 （Ⅰ）因为ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，所以，可求得：Ｃ１的极坐标方程为ρｃｏｓθ＝－２，Ｃ２的极坐标方程为ρ２－２ρｃｏｓθ－４ρｓｉｎθ＋４＝０．（Ⅱ）将Ｃ３的极坐标方程θ＝π４代入Ｃ２的极坐标方程ρ２－２ρｃｏｓθ－４ρｓｉｎθ＋４＝０，得ρ２ －槡３ ２ρ＋４＝０，解得ρ１＝槡２ ２，ρ２＝槡２，所以，ＭＮ＝ρ１－ρ２＝槡２．又因为Ｃ２的半径为１，∠Ｃ２ＭＮ＝π４，所以△Ｃ２ＭＮ的面积为Ｓ＝１２×槡２×１×ｓｉｎπ４＝１２．评注 过坐标原点、倾斜角为θ０的直线的极坐标方程为θ＝θ０，其上两点Ｐ（ρ１，θ０），Ｑ（ρ２，θ０）间的距离为ＰＱ＝ρ１－ρ２．【一点感悟】参数方程和极坐标虽然是选考内容，也应得到充分的重视，如果能够将它们和普通方程有机联系，相互补充，可以优化解题思路，简化计算过程，减少运算量，提高解题的效率．。
高考数学极坐标与参数方程题型归纳
高考数学极坐标与参数方程题型归纳在高考数学试题中，关于极坐标与参数方程的题型占据着重要的位置。
理解和掌握这部分知识点，不仅有助于应对考试，也对于深入理解数学的概念和应用有着重要意义。
下面我们来归纳总结一些常见的高考数学极坐标与参数方程题型。
极坐标题型1.求一点在极坐标系中的坐标给定一点在极坐标系中的表示形式，要求将其转换为直角坐标系中的坐标表示。
2.求极坐标下的函数表达式已知一函数在直角坐标系中的表达式，要求将其转换为极坐标下的函数表达式。
3.求曲线在极坐标系中的方程已知函数在极坐标系中的表达式，要求确定其对应的曲线在极坐标系下的方程式。
4.求曲线与极轴、极径的交点给定曲线在极坐标系下的方程，要求求解其与极轴或者极径的交点。
参数方程题型1.极坐标与参数方程的互相转化给定一个曲线的参数方程，要求将其转换为极坐标系的方程表示，或者反之。
2.参数方程求切线斜率已知曲线的参数方程，要求求解某点处的切线的斜率。
3.参数方程求曲线间的距离给定两条曲线的参数方程，要求确定其之间的距离。
4.参数方程求曲线的长度已知曲线的参数方程，要求确定其在一定区间内的弧长。
解题技巧1.理解极坐标与参数方程的基本概念在解题时，首先要对极坐标、参数方程的定义及基本性质有清晰的理解。
2.熟练运用坐标转换公式对于极坐标与直角坐标系之间的转换，可以根据公式进行相应的转化，这是解题的基本技巧。
3.掌握参数方程的运算方法参数方程的运算方法在解题时非常重要，要善于利用参数方程的特点进行计算。
4.多练习，熟悉题型通过多练习不同类型的题目，熟悉题型变形和解题技巧，提高解题效率。
高考数学中的极坐标与参数方程题型涵盖了数学的多个重要概念，需要认真理解和掌握。
通过不断的练习和积累，相信在高考数学中能够取得优异的成绩。
高考数学二轮复习-专题30 极坐标与参数方程的应用(解析版)
又因为 O是圆 C 上的点，所以 POQ PCQ π 。
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【三】最值、几何意义的综合问题
1.距离最值（点到点、曲线点到线、） 距离的最值： ---用“参数法” （1）曲线上的点到直线距离的最值问题 （2）点与点的最值问题 “参数法”：设点---套公式--三角辅助角 ①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ②套公式：利用点到线的距离公式 ③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一 2.面积的最值问题 面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题 3.几何意义及其综合应用：
P(2,
)
在曲线
cos(
)
2
上．
3
3
所以，l的极坐标方程为
cos(
)
2
．
3
（2）设 P(, ) ，在 Rt△OAP 中， | OP || OA | cos 4 cos , 即 4 cos ．
因为P在线段OM上，且
AP
OM
，故
的取值范围是 [
,
]
．
42
所以P点轨迹的极坐标方程为
4 cos ,
（1）分别写出 M1 ， M 2 ， M 3 的极坐标方程；
（2）曲线 M 由 M1 ， M 2 ， M 3 构成，若点 P 在 M 上，且 | OP | 3 ，求 P 的极坐标．
【解析】（1）由题设可得，弧 AB, BC,CD 所在圆的极坐标方程分别为
2 cos ， 2sin ， 2 cos ．
[ ,
] ．[来源:学*科*网]
42
【练习 2】在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P (2 2, ) ，圆心为直线ρsin(θ－π)＝－ 3与极轴的交点，求
新课标下极坐标及参数方程高考趋势及考题汇总
新课标下极坐标及参数方程考点及经典例题一、重点✓ 参数方程与普通方程的转化 一般都是参数方程转化为普通方程 ✓ 利用设参数求解曲线方程或者问题的最值 ✓ 利用极坐标求曲线方程二、方法✓ 消除参数的各类方法求得与普通方程的转化 ✓ 极坐标化为参数方程的方法 ✓ 设参的方法三、高考考点求曲线的极坐标方程、参数方程及极坐标方程、参数方程与普通方程的转化、并用极坐标及参数方程研究交点问题、值域问题、距离问题、位置判定问题。
四、考点剖析1、(2014·福建高考理科·Ｔ21)已知直线l 的参数方程为2()4x a tt y t =-⎧⎨=-⎩为参数，圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程； (2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．2..（2014·辽宁高考）将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（Ⅰ）写出C 的参数方程； （Ⅱ）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.3..(2014·新课标全国卷Ⅱ高考·T23) (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈错误！未找到引用源。
.(1)求C 的参数方程. (2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线l:y=3x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标.4.（15年新课标1）在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求12,C C 的极坐标方程.（II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.5.（2015新课标（II ））直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:23cos C ρθ=．（Ⅰ）.求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）.若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB的最大值．6.（2013·辽宁高考）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。
2023年新版极坐标及参数方程知识点及高考题汇编
1. 极坐标及参数方程知识点1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中旳任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ旳作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中旳坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系旳概念：在平面内取一种定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一种长度单位、一种角度单位(一般取弧度)及其正方向(一般取逆时针方向)，这样就建立了一种极坐标系。
3．点M 旳极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 旳距离||OM 叫做点M 旳极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边旳xOM ∠叫做点M 旳极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 旳极坐标，记为),(θρM .极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表达同一种点。
极点O 旳坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ有关极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表达同一点。
假如规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内旳点可用唯一旳极坐标),(θρ表达；同步，极坐标),(θρ表达旳点也是唯一确定旳。
5．极坐标与直角坐标旳互化：6。
圆旳极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径旳圆旳极坐标方程是 r =ρ；在极坐标系中，以 )0,(a C )0(>a 为圆心， a 为半径旳圆旳极坐标方程是 θρcos 2a =； 在极坐标系中，以 )2,(πa C )0(>a 为圆心，a 为半径旳圆旳极坐标方程是θρsin 2a =；7.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表达以极点为起点旳一条射线；)R (∈=ραθ表达过极点旳一条直线.在极坐标系中，过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴旳直线l 旳极坐标方程是a =θρcos .8．参数方程旳概念：在平面直角坐标系中，假如曲线上任意一点旳坐标y x ,都是某个变数t 旳函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 旳每一种容许值，由这个方程所确定旳点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线旳参数方程，联络变数y x ,旳变数t 叫做参变数，简称参数。
高考极坐标与参数方程题型总结
高考极坐标与参数方程题型总结1.在极坐标系中，要将直线C1：x=-2和圆C2：(x-1)^2+(y-2)^2=1转化为极坐标方程。
以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，将直线和圆的方程中的x和y用极坐标中的r和θ表示，然后化简即可得到它们的极坐标方程。
求出C2和C3的交点M、N的坐标，然后计算三角形OMN的面积即可求出C2MN的面积。
2.在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为x=tcosα，y=tsinα，其中α∈[0,π)。
将C1的参数方程转化为极坐标方程，即可得到C2和C3的极坐标方程。
求出C2和C1的交点A和C3和C1的交点B的极坐标，然后计算AB的极坐标差值的正弦值的最大值，即可得到AB的最大值。
3.在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为x=acos(t)，y=1+asin(t)，其中a>0.将C1的方程转化为极坐标方程，即可得到C2的极坐标方程。
设C3的极坐标方程为ρ=k，其中k>0.将C1和C2的极坐标方程代入C3的极坐标方程中，解出a即可。
1.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为r=cos(2θ)，参数方程为x=cos(2t)，y=sin(2t)。
2.求解：(1) C1的极坐标方程为r=cos(2θ)；(2) 射线x=λ与曲线C1分别交于M,N，求实数λ的最大值。
3.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为r=cos(θ)，直线L的极坐标方程为θ=π/3.1) 将曲线C极坐标方程化为直角坐标方程得y=cos(x)，其中x=θ-π/2；2) 直线L与曲线C交于A,B两点，点P(0,1)过点A，求点B的坐标为(√3/2,-1/2)。
4.在极坐标系中，已知曲线C的极坐标方程为r=2cos(θ)。
1) 点P的轨迹的极坐标方程为r=2cos(θ)+2sin(θ)；2) 以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy，直线L：y=√3x 与曲线C相交于E，求E的坐标为(1,√3)。
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新课标极坐标参数方程高考题汇总极坐标参数方程训练题1、已知直线l 的参数方程为2()4x a t t y t=-⎧⎨=-⎩为参数，圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程； (2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．2.. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．3.:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈错误！未找到引用源。
.(1)求C 的参数方程. (2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标.4.在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求12,C C 的极坐标方程.（II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.5.直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:23cos C ρθ=．（Ⅰ）.求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）.若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．6.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。
圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos()2 2.4πρθρθ=-= ()I 求1C 与2C 的交点的极坐标；()II 设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 的交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程为33,().12x t a t R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数求,a b 的值。
7.已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin ,x t y t =+⎧⎨=+⎩ （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为θρsin 2=.（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。
8.在平面直角坐标系xOy 中, 直线l 的参数方程为12x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数),曲线C 的参数方程为22tan 2tan x y θθ⎧=⎨=⎩ (θ为参数).试求直线l 和曲线C 的普通方程, 并求出它们的公共点的坐标.9.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π，直线l 的极坐标方程为a =-)4cos(πθρ，且点A 在直线l 上。
（Ⅰ）求a 的值及直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）圆C 的参数方程为)(sin ,cos 1为参数a ay a x ⎩⎨⎧=+=，试判断直线l 与圆C 的位置关系.10.已知动点P ，Q 都在曲线C ：()2cos 2sin x t t y t=⎧⎨=⎩为参数 上，对应参数分别为t =α与t =2α（0＜α＜2π）,M 为PQ 的中点. （1）求M 的轨迹的参数方程.（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点.11、已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)． (1)写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．12、在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x ，(α为参数)M 是曲线1C 上的动点，点P 满足OM OP 2=，（1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以D 为极点，X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与曲线1C ，2C 交于不同于原点的点A,B 求AB13、在极坐标中，已知圆C 经过点()4Pπ，，圆心为直线sin 3ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．14、在直角坐标系xOy 中，圆221:+=4C x y ，圆()222:-2+=4C x y（1）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,C C 的极坐标方程，并求出圆12,C C 的交点坐标（用极坐标表示）（2）求圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程15、已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围。
极坐标参数方程训练题1.【解析】(1)直线l 的普通方程为220x y a --=，圆C 的普通方程为2216x y +=(2)∵直线l 与圆C 有公共点，∴圆C 的圆心到直线l 的距离245ad -=≤，解得2525a -≤≤，∴实数a 的取值范围是[25,25]-2.【解析】解：将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ， 解得t 1＝0，t 2＝－8 2，所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.3.【解析】（1）C 的普通方程为()2211x y -+= (0≤y ≤1).可得C 的参数方程为1cos sin x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数，0≤t ≤π). （2）设D （1+cos t ,sin t ），由（1）知C 是以G （1，0）为圆心，1为半径的上半圆.因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t =3,t =3π.故D 的直角坐标为1cos ,sin 33ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ,即33,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.4.【解析】（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+= （Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=， 解得1ρ=222ρ2|MN|=1ρ－2ρ2因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o 121sin 452⨯=12. 考点:直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系 5.【解析】（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220xy y +-=， 曲线3C 的直角坐标方程为2230x y x +-=． 联立222220,230,x y y x y x ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或323,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和33)2．（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<． 因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为(23,)αα．所以2sin 23AB αα=-4in()3s πα=-， 当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．6.【解析】()I 由22,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==得，圆1C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=直线2C 的直角坐标方程分别为40x y +-=由22(2)4,40.x y x y ⎧+-=⎨+-=⎩解得12120,2,4,2,x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩所以圆1C ，直线2C 的交点直角坐标为(0,4),(2,2) 再由22,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，将交点的直角坐标化为极坐标(4,),(22,)24ππ所以1C 与2C 的交点的极坐标(4,),(22,)24ππ ()II 由()I 知，点P ，Q 的直角坐标为(0,2),(1,3)故直线PQ 的直角坐标方程为20x y -+= ①由于直线PQ 的参数方程为 33,().12x t a t R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数消去参数122b ab y x =-+ ② 对照①②可得1,21 2.2b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得1, 2.a b =-=7.【解析】将⎩⎨⎧+=+=ty t x sin 55cos 54消去参数t ，化为普通方程25)5()4(22=-+-y x , 即1C ：01610822=+--+y x y x .将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入01610822=+--+y x y x 得 016sin 10cos 82=+--θρθρρ.（Ⅱ）2C 的普通方程为0222=-+y y x .由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--+020161082222y y x y x y x ，解得⎩⎨⎧==11y x 或⎩⎨⎧==20y x . 所以1C 与2C 交点的极坐标分别为)4,2(π，)2,2(π8.【解析】因为直线 l 的参数方程为12x t y t=+⎧⎨=⎩(t 为参数), 由x = t+1 得t = x-1, 代入y = 2t, 得到直线l 的普通方程为2x-y-2 = 0. 同理得到曲线 C 的普通方程为2y = 2x.联立方程组22(1)2y x y x =-⎧⎨=⎩ ,解得公共点的坐标为(2, 2), (12, -1). 9.【解析】（Ⅰ）由点(2,)4A π在直线cos()4a πρθ-=上，可得2a =所以直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+= 从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-=（Ⅱ）由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+= 所以圆心为(1,0)，半径1r =以为圆心到直线的距离212d =<，所以直线与圆相交 10.【解析】（1）依题意有()()2cos ,2sin ,2cos2,2sin 2,P Q αααα因此 ()cos cos2,sin sin 2M αααα++.M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩()2ααπ<<为参数，0 （2）M 点到坐标原点的距离()2222cos ,02d x y ααπ=+=+<<.当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点.11、解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0. (2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到直线l 的距离d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|P A |＝d sin 30°＝2 55|5sin(θ＋α)－6|， 其中α为锐角，且tan α＝43. 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.。