1.3 二次函数的性质 公开课
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二次函数图像和性质课件(1)完整版公开课全篇
B. y= –(x+1)2+1
C.y=(x–1)2+1
D. y= –(x–1)2+1
1)若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向 下平移4个单位所得抛物线的解析式是 ________
2)如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移 得到抛物线y=2x2
3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平 移得到抛物线y=2(x+2)2-1
(h,k)
二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系
1.
(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大 而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的 增大而减小 .
y=3x2
向右
向上
y=3(x-1)2
y=3(x-1)2+2
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象和抛物线 y=3x²,y=3(x-1)2有什么关 系?它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?
y 3x 12 2
y 3x 12
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=h时,最小值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
人教数学九上22.1.3二次函数的图象和性质[时老师]【市一等奖】优质课
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教学目标
(一)知识与技能:
会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2图像;通过图象了解它们的图象特征和性质。
(二)过程与方法:
经历探索和发现二次函数图像的特点和性质的过程;体会数形结合的数学思想在数学中的应用。
(三)情感、态度与价值观:
经历观察,推理和交流等过程,获得研究问题与合作交流的方法和经验;体验数学活动中的探索性和创造性。
2学情分析
(一)教学内容分析
二次函数y=a(x-h)2的图像和性质是人教版九年级数学上册第二十二章第一节第四课时的内容,是在学生学习了二次函数的基本概念及二次函数y=ax2 ,y=ax2+k 的图像和性质之后引入的新内容。
本节课的教学内容既是对y-ax2 ,y=ax2+k 的图像和性质的引申,也是后面研究一般形式的二次函数图像性质的基础。
所以,学习本节内容我们既要对前段的内容进行升华,又要对后段内容进行启发。
(二)教学对象分析
九年级的学生在前面的学习过程中已经接触过一次函数和反比例函数的内容,从学习情况看,他们对函数的理解和掌握情况并不理想。
通过课下的了解,学生们对二次函数有一定的畏难情绪,对学习非常的不利。
所以我们在教学过程中,要想方设法的调动学生的积极性,帮助他们突破难点。
(三)教学环境分析
利用多媒体设备,几何画板软件,实物投影等为本节课的教学提供了方便。
3重点难点
教学重点:用描点法画二次函数y=a(x-h)2的图像;观察图象,得出上述二次函数的图象特征和性质。
教学难点:二次函数y=a(x-h)2的图像特点和性质的得出过程。
4教学过程
4.1 第一学时。
人教数学九上22.1.3二次函数的图象和性质2优质课
2.反思提升： 如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的
路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大 高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距 离为3.05米．若该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在 头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度 是多少？
总结反思 本节课研究的主要内容是什么？ 我们是怎么研究的（过程和方法是什么？）
天津市小东庄中学
天津市小东庄中学
目标检测 抛物线 y 3[( x 7)2 3] 可由抛物线 y 3x2先向 下 平移 9 个 单位，再向 右 平移 7 个单位得到.
天津市小东庄中学
布置作业
1.基础达标：教科书41页习题22.1，第 5 题（2）（3），第 7题（1）．
2
合作探究（一） 猜想—验证—归纳—应用
抛物线 y 1 (x 2)2 3 是由抛物线 y 1 x2 怎样平移得到的？
2
2
合作探究（一） 猜想—验证—归纳—应用 在学案上画出二次函数 y 1 (x 2)2 3 的图象，验证猜想.
2
合作探究（一） 猜想—验证—归纳—应用
根据前面的猜想、验证，小组合作完成学案的归纳总结： 1.抛物线 y a(x h)2 k 与抛物线 y ax2的关系. 2.二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象特征. 3.二次函数 y = a(x - h)2 + k 的性质.
C
2 3 x/m
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合作探究（二）解决实际问题
例题：要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端 安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达 到最高，高度为 3 m，水柱落地处离池中心 3 m，水管应多长？
路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大 高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距 离为3.05米．若该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在 头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度 是多少？
总结反思 本节课研究的主要内容是什么？ 我们是怎么研究的（过程和方法是什么？）
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目标检测 抛物线 y 3[( x 7)2 3] 可由抛物线 y 3x2先向 下 平移 9 个 单位，再向 右 平移 7 个单位得到.
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布置作业
1.基础达标：教科书41页习题22.1，第 5 题（2）（3），第 7题（1）．
2
合作探究（一） 猜想—验证—归纳—应用
抛物线 y 1 (x 2)2 3 是由抛物线 y 1 x2 怎样平移得到的？
2
2
合作探究（一） 猜想—验证—归纳—应用 在学案上画出二次函数 y 1 (x 2)2 3 的图象，验证猜想.
2
合作探究（一） 猜想—验证—归纳—应用
根据前面的猜想、验证，小组合作完成学案的归纳总结： 1.抛物线 y a(x h)2 k 与抛物线 y ax2的关系. 2.二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象特征. 3.二次函数 y = a(x - h)2 + k 的性质.
C
2 3 x/m
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合作探究（二）解决实际问题
例题：要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端 安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达 到最高，高度为 3 m，水柱落地处离池中心 3 m，水管应多长？
公开课教案《二次函数的性质》精品教案(市一等奖)(部优)
按照新课程标准要求，学科核心素养作为现代教育体系的核心理论，提高学生的兴趣、学习的主动性，是当前教育教学研究所注重的重要环节之一。
2021年4月，教育部发布文件，对教育机构改革进行了深入和细致的解读。
从中我们不难看出，作为一线教师，教育教学手段和理论知识水平是下一步需要进一步提高的重要能力。
本课作为课本中比较重要的一环，对核心素养进行了贯彻，将课堂环节设计进行了细致剖析，力求达到学生乐学，教师乐教的理想状态。
2.3 二次函数的性质【教学目标】1、知识与技能目标：从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质，学会判断二次函数的增减性，学会确定二次函数的最大值及最小值，学会判定二次函数的值何时为零，了解二次函数与二次方程的相互关系。
2、过程与方法目标：培养学生用五点法画二次函数简图的能力，培养学生观察、分析、归纳、总结的能力。
3、情感、态度与价值观目标：让学生体会数形结合的数学思想方法，向学生渗透事物间互相联系，以及运动、变化的辨证唯物主义思想。
【教学重点】二次函数的最大值、最小值及增减性的理解和求法；五点法画二次函数的大致图象。
【教学难点】二次函数性质的应用。
【教学方法】实践操作、引导探究【教学用具】多媒体课件、三角板，几何画板以及公式编辑器等软件【教学过程】参考解答：（1） 函数解析式为2119(3)(055y x x =--+≤[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
在今后的教学中，我会不断的钻研探索，使我的课堂真正成为学生学习的乐园。
在本节课的教学中，我始终坚持以引导为起点，以问题为主线，以能力培养为核心，遵照教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学原则；通过师生双边活动，通过对单元的复习，使学生对本单元的知识系统化，重点知识突出化，能力培养阶梯化；在选择题目时注意了以基本题为主，少量思考性较强的题目为辅，兼顾了不同层次学生的不同要求。
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(公开课)
拓展延伸
7.小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线 y= 1x2+3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，
5
则她与篮底的距离l是( B )
A.3.5 m
B.4 m
C.4.5 m
D.4.6 m
课堂小结
y=ax2
向右(h>0)[或向左 (h<0)]平移|h|个单位
y=a(x-h)2
向上(k>0)[或 向下(k<0)]平 移|k|个单位
O
-4 -2
2 4x
-2
y - 12（x+1）2-1
-4
顶点： (-1,-1)
-6
画一画，填出下表:
y - 12（Oxy +1）2
-4 -2
2 4x
-2 -4
y
-
1 2
x2
-6
y - 12（x+1）2-1y来自-1 2x
2
-1
怎样移动抛物线y
-
1 2
x
2就可以得到抛物线y
-
12（x
1）2 -1？
a>0
a<0
h<0 图象
h>0
开口方向 对称轴 顶点坐标
函数的增减性
最值
向上 直线x=h （h,k）
当x<h时，y随x增大而减小； 当x>h时，y随x增大而增大.
x=h时，y最小值=k
向下 直线x=h （h,k）
当x<h时，y随x增大而增大； 当x>h时，y随x增大而减小.
x=h时，y最大值=k
二次函数y=a(x-h)2+k的几种图象：
向上(k>0)[或 向下(k<0)]平 移|k|个单位
九年级数学上册第一章二次函数1.3二次函数的性质全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件
1/11
教学目标： 1. 从详细函数图象中认识二次函数基本性质. 2. 了解二次函数与二次方程相互关系. 3. 探索二次函数改变规律， 掌握函数最 大值（或最小值 ） 及函数增减性 概念，会求二次函数最值， 并能依据性质判断函数在某一范围内增减性. 重难点： ●本节教学重点是二次函数最大值、 最小值及增减性了解和求法. ●本节范例是二次函数性质应用， 比较复杂，是本节教学难点.
(1)设函数表示式为 y a(x 2.5)2 k 依据题意,得
a 2.52 k 2.25 a (4 2.5)2 k 3.05
∴所求函数表示式为
y 0.2x2 x 2.25
自变量x取值范围为0≤x≤4,
(2)球在11
THANK Y OU
11/11
2/11
运动员投篮后，篮球运 动线路是一条怎样曲线？ 怎样计算篮球到达最高点 时高度？
3/11
4/11
5/11
6/11
7/11
8/11
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6.篮球运动员投篮后,球运动路线为抛物线一部分 (如图),抛物线对称轴为直线x＝2.5. 求: (1)球运动路线函数表示式和自变量取值范围. (2)球在运动中离地面最大高度.
教学目标： 1. 从详细函数图象中认识二次函数基本性质. 2. 了解二次函数与二次方程相互关系. 3. 探索二次函数改变规律， 掌握函数最 大值（或最小值 ） 及函数增减性 概念，会求二次函数最值， 并能依据性质判断函数在某一范围内增减性. 重难点： ●本节教学重点是二次函数最大值、 最小值及增减性了解和求法. ●本节范例是二次函数性质应用， 比较复杂，是本节教学难点.
(1)设函数表示式为 y a(x 2.5)2 k 依据题意,得
a 2.52 k 2.25 a (4 2.5)2 k 3.05
∴所求函数表示式为
y 0.2x2 x 2.25
自变量x取值范围为0≤x≤4,
(2)球在11
THANK Y OU
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运动员投篮后，篮球运 动线路是一条怎样曲线？ 怎样计算篮球到达最高点 时高度？
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6.篮球运动员投篮后,球运动路线为抛物线一部分 (如图),抛物线对称轴为直线x＝2.5. 求: (1)球运动路线函数表示式和自变量取值范围. (2)球在运动中离地面最大高度.
九年级数学上册第1章二次函数1.3二次函数的性质1二次函数的性质名师公开课省级获奖课件新版浙教版
12．已知函数y＝x2＋(2m＋1)x＋m2－1. (1)m为何值时，y有最小值0；
(2)求证：不论m取何值，函数图象的顶点都在同一直线上．
(2)若该函数自变量的取值范围是－1≤x≤8，直接写出函数的最大值和最小值．
解：当x＝4时，函数有最大值2；当x＝－1时，函数有最小值－10.5.
14．在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1，k)和点B(－1，－k)． (1)当k＝－2时，求反比例函数的表达式；
谢谢大家
易错总结：容易忽略题目中给出的信息mn<0，不能得出m<0<n，从而不能根据图象进一步分成m<0<n<1和m<0<1≤n两种情况讨论．
D
11．求当二次函数y＝x2－2ax＋2a＋3分别满足下列条件时a的值． (1)函数y的最小值为0.
(2)当x＞5时，y随x的增大而增大；当x＜5时，y随x的增大而减小．
【答案】B
【答案】B
9．【中考·温州】已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( ) A．有最大值－1，有最小值－2 B．有最大值0，有最小值－1 C．有最大值7，有最小值－1 D．有最大值7，有最小值－2
【答案】D
【点拨】∵y＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2，∴在－1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，y有最小值－2；当x＝－1时，y有最大值，为9－2＝7.
C
7．已知抛物线y＝－x2＋2x－3，下列结论中不正确的是( ) A．函数y的最大值是－2 B．当x＜1时，y随x的增大而减小 C．图象的对称轴是直线x＝1 D．图象与y轴的交点在x轴下方
【点拨】∵y＝－x2＋2x－3＝－(x－1)2－2，∴可以得到以下结论：当x＝1时，抛物线的最大值为－2；当x＜1时，y随x的增大而增大；图象的对称轴是直线x＝1；令x＝0，得y＝－3，即图象与y轴的交点为(0，－3)，在x轴下方．综上所述，故选B.
(2)求证：不论m取何值，函数图象的顶点都在同一直线上．
(2)若该函数自变量的取值范围是－1≤x≤8，直接写出函数的最大值和最小值．
解：当x＝4时，函数有最大值2；当x＝－1时，函数有最小值－10.5.
14．在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1，k)和点B(－1，－k)． (1)当k＝－2时，求反比例函数的表达式；
谢谢大家
易错总结：容易忽略题目中给出的信息mn<0，不能得出m<0<n，从而不能根据图象进一步分成m<0<n<1和m<0<1≤n两种情况讨论．
D
11．求当二次函数y＝x2－2ax＋2a＋3分别满足下列条件时a的值． (1)函数y的最小值为0.
(2)当x＞5时，y随x的增大而增大；当x＜5时，y随x的增大而减小．
【答案】B
【答案】B
9．【中考·温州】已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( ) A．有最大值－1，有最小值－2 B．有最大值0，有最小值－1 C．有最大值7，有最小值－1 D．有最大值7，有最小值－2
【答案】D
【点拨】∵y＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2，∴在－1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，y有最小值－2；当x＝－1时，y有最大值，为9－2＝7.
C
7．已知抛物线y＝－x2＋2x－3，下列结论中不正确的是( ) A．函数y的最大值是－2 B．当x＜1时，y随x的增大而减小 C．图象的对称轴是直线x＝1 D．图象与y轴的交点在x轴下方
【点拨】∵y＝－x2＋2x－3＝－(x－1)2－2，∴可以得到以下结论：当x＝1时，抛物线的最大值为－2；当x＜1时，y随x的增大而增大；图象的对称轴是直线x＝1；令x＝0，得y＝－3，即图象与y轴的交点为(0，－3)，在x轴下方．综上所述，故选B.
二次函数的性质公开课一等奖课件省赛课获奖课件
②顶点式 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)是抛物线的顶 点．当已知抛物线的顶点坐标或对称轴，能够先求出抛物线 顶点时，设顶点式解题十分简捷．加上其他条件确定 a 的值， 即可求出函数的解析式；
③两根式 y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中 x1、x2 就是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根，即抛物线与 x 轴两交点的横坐标．当 题中已知抛物线与 x 轴交点的坐标时，设出零点式解题比较 简单．
已知顶点为(1，－3)，∴h＝－1，k＝－3， 即所求的二次函数 y＝a(x－1)2－3. 又∵图像经过点 P(2,0)， ∴0＝a×(2－1)2－3，∴a＝3， ∴函数的解析式为 y＝3(x－1)2－3，即 y＝3x2－6x.
解法四：设解析式为 y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)， 其中 x1，x2 是抛物线与 x 轴的两交点的横坐标， 已知抛物线与 x 轴的一个交点 P(2,0)，对称轴是 x＝1， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点为(0,0)， ∴x1＝0，x2＝2， ∴所求的解析式为 y＝a(x－0)(x－2)， 又∵顶点为(1，－3)，∴－3＝a×1×(1－2)，∴a＝3， ∴所求函数的解析式为 y＝3x2－6x.
∴函数的解析式为 y＝3x2－6x.
解法二：设所求函数的解析式为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
4a＋2b＋得 ab＝ ＝3－，6， c＝0.
∴函数的解析式为 y＝3x2－6x.
解法三：设所求函数的解析式为 y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)， 则顶点坐标为(－h，k)，
[分析] 本题中已知二次函数 f(x)的解析式，故可考虑用 配方法将 f(x)化成顶点式，进而确定对称轴和顶点坐标．然后 再结合对称性求 f(3)及比较 f(－12)与 f(32)的大小．
二次函数的图像与性质公开课优秀课件
当 xb时 ,最 大. 小4值 ac为 b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧, y随着x的增大而减
当 xb时 ,最 小.大4值 ac为 b2
2a
4a
例1：指出抛物线:yx25x4
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
方∵9对向/a4于=，）-1y，求＜=与a出0x,y2它∴轴+开b的交x口+点对c向我坐称下标们轴，为可、顶以顶点确坐点定标坐（它标2的、.5开，与口y 轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交 点（时0），，- 4这），样与就x可轴以交画点为出（它1的,0)大、致(4,图0）象，。
y=
—12 x2－6x
+21图象的
(1)“化” ：化成顶点式 ；
(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶 点坐标；
(3)“画”：列表、描点、连线。
3、拓展
公 式 为 ： yax2ba24ac4a b2.
函数y=ax²+bx+c的顶点是
求次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标．
配方:
这个结果通常 称为求顶点坐 标公式.
yax2bxc
提取二次项系数: (将含x项结合在一起，
a
x2
b a
x
c
提取二次项系数)
a xa2 xb a2xba2ba4a2 c4 ab22ba2 化简c整配减数的理方去绝平: 一对方:加次值上项一再系半
抛物线y＝ax2＋bx＋c
＝a(x＋
b 2
a
)2＋
4
ac 4
a
b
2
浙教版九年级上册 1.3 二次函数的性质 课件(51张PPT)
[解析] 点 关于直线 的对称点的坐标是 ，所以抛物线与 轴的另一个交点坐标为 .
13.已知 ， ， 为实数，点 ， 在二次函数 的图象上，则 ， 的大小关系是 ___ （用“ ”或“ ”填空）.
[解析] 易知抛物线 的对称轴为直线 , 点 , 在对称轴的右侧. , 抛物线开口向上, 在对称轴右侧， 随 的增大而增大.又 ， .
大
6
6. 已知抛物线 （ ， ， 为常数）， ， ， 是抛物线上的三点，则 ， ， 由小到大依次排列为_____________.（用“ ”连接）
[解析] 抛物线 （ ， ， 为常数）的对称轴为直线 ，所以点 关于对称轴直线 对称的点为 ，在对称轴右侧, 随 的增大而增大.因为 ，所以 .
知识点2 二次函数的增减性
5.（1） 关于二次函数 ，当 _____时， 随 的增大而减小；当 _____时， 随 的增大而增大；当 ___时，函数取得最____值为___.
1
小
6
（2） 关于二次函数 ，当 ______时， 随 的增大而减小；当 ______时， 随 的增大而增大；当 ____时，函数取得最____值为___.
8.抛物线 与 轴的交点坐标是__________________；与 轴的交点坐标是______.
和
9.已知抛物线 .
（1） 用配方法求出它的对称轴和顶点坐标；
解： ， 对称轴是直线 ， 顶点坐标是 .
思考
方程ax²+bx+c=0(a≠0)与函数y=ax²+bx+c(a≠0)有什么关系?
一般地，从二次函数y=ax²+bx+c的图象可得如下结论：如果抛物线y=ax²+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标为xo, 那么当x=xo时，函数值是0,因此x=xo是方程ax²+bx+c=0的一个根.
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y = x2－6x＋9
y = x2＋x－2 1
知识要 点
★二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二 次
方y=程ax与a二2+xxb次2轴+x+函b交cx的数点+c图=象0根的一关元系二次方的程根ax2+bx+c=0
b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的 实数根
b2-4ac > 0
有一个交点 没有交点
y x b
y
2a
新课讲 解
x b 2a
O
x
(1)
如果a>0,当x<
b 2a
时，y随x
的增大而减小；当x2>ba
时，y随x的增大而增大.
O
x
(2)
如 的果 增a大<而0,当增x大<；2ba当时x>， 2bya随x
时，y随x的增大而减小.
新课讲
解
例 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x
k>0 ）或向下 （当k<0 ）平移|k|个单位可得到y = a(x+m)2
+k的图象.
二次函数 y=ax²
y= a(x+m)2
新课引
y = a入(x+m)2
+k
对于二次函数y=ax²+bx+c （ a≠0 ）
的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样 的？
通过变形能否将 y=ax²+bx+c转化为 y = a(x+m)2 +k的形
（）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3 个
随堂即 练 3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称
轴，有下列结论：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④
3
若
2
（是A-3．，B①y1②）③,（
y ，B．y2）①是③抛④物线上（两点，则）y1>y2.其中正确的
二次函数 与一元二 次方程
二次函数与 一元二次方 程根的情况
二次函 数与x轴 的交点 个数
判别式Δ 的符号
一元二次 方程根的 情况
)2
4ac 4a
b2
新课讲 解
( a≠0)的图y象=a是x一²+条bb抛x+物c线，
➢对称轴是直线x=
2a b
4ac b2
➢➢当顶a点>0坐时标，是抛为物（线的2a开口，4向a 上，）顶
点是抛物线上的最低点。
➢当a<0时，抛物线的开口向下，顶 点是抛物线上的最高点。
★二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
轴
，即b≤1，故选择D .
2 利用二次函数深入讨论一元二次方程
新课讲 解
思考 下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共
点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是 多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）y=x2+x-2； （2）y=x2-6x+9； （3）y=x2-x+1.
新课引 入
y = a(x+m)2
+k
1、顶点坐标？
（0，0）
（–m，0） （ –m，k ）
2、对称轴？
y轴（直线x=0） （直线x= –m ） 3、平移问题？
（直线x= –m ）
一般地，函数y=ax²的图象先向右（当m<0）或向左 （当
m>0）平移|m|个单位可得y = a(x+m)2的图象；若再向上（当
C．①②④ D．②③④
O 2x x=-1
二次函 数的性
质
重点关 注4个方
面
开口方向及大 小对 称 轴
顶点坐标 增减性
课堂总 结
二次函数与一 元二次方程的
关系
课堂总 y=ax2+bx+c(a ≠0)当y取结定值时 就成了一元二次方程； ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时 就成了二次函数.
值1 的增大而减小，则实数b的取值范围是D （
）
A．b≥－1
B．b≤－1
C．b≥1
D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对
称轴右侧，y的值随x值的增大而减小.由题设可知，当x＞1时，
y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋x2bx＋2cb的对 b称 轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对2 称(1)
观察图象，完成下表
y = x2－x＋1 y = x2－6x＋9 个
y = x2－x＋1
新课讲 解
公共点 相 应 的 一 元 二 次 横坐标 方 程 的 根
0 -2, 1
x2-x+1=0无解
x2-6x+9=0，x1=x2=3 x2+x-2=0，x1=-2,x2=1
第1章
ZJ九(上) 教学课件
二次函数
1.3 二次函数的性质
学习目标
1．掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质，并会灵活应 用．（重点） 2.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联 系.(难点） 3.能运用二次函数的图象与性质确定方程的解.（重 点）
二次函数
y=
y时=a，x²图象将发生怎样a(的x+变m化)2 ？
有两个相等的实数 根
没有实数根
b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
1、抛物线与x轴的交点的个数：
⑴ y=2X２-X-1 y=3X2+2X+5
2个
⑵ y=4X2+4X+1
1个
b2- 4ac﹥0
b2- 4ac=0
随堂即 练 ⑶
0个
b2- 4ac<0
2、抛物线y=x2-5x+4与坐标轴的交点个数为D
式？
1 二次函数y=ax2+bx+c的性质
b
y=ax²+bx+c=a（x2+a x）+c
新课讲 解
=a〔x2+
b a
x+ b 2
2a
– b 2
2a
=
a(x+
b 2a
)2
+
4ac 4a
b
2
〕+c
y=ax²+bx+c
y a(x b )2 4ac b2
2a
4a
➢
二次函数y
a(
x
b 2a