2020版高考数学一轮复习课后限时集训47直线与圆锥曲线含解析理2
2020高考数学冲刺复习- 直线与圆锥曲线的位置关系-2020年领军高考数学一轮必刷题(江苏版)(含解析)
2020高考数学冲刺复习考点45 直线与圆锥曲线的位置关系1．已知抛物线C ：22(0)y px p =>，点F 为抛物线的焦点，焦点F 到直线3430x y -+=的距离为1d ，焦点F 到抛物线C 的准线的距离为2d ，且1235d d =. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若在x 轴上存在点M ，过点M 的直线l 分别与抛物线C 相交于P ，Q 两点，且2211PMQM+为定值，求点M 的坐标.【答案】（1）24y x =（2）(2,0) 【解析】解：（1）由题意知，焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则133362510pp d ++==，2d p =， 又363105p p +=，解得：2p =. 故抛物线C 的标准方程为24y x =.（2）设点M 的坐标为(,0)t ，设点P ，Q 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ， 显然直线l 的斜率不为0. 设直线l 的方程为x my t =+. 联立方程24x my t y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，并整理得2440y my t --=， 则()2160m t ∆=+>且124y y m +=，124y y t =-.由1||PM ==，2||QM y ==.有()()222222121111||||11PM QM m y m y +=+++()()()2222122222222121682116121y y m t t m m y y m t m t +++===+++.若2211||||PM QM +为定值，必有2t =.所以当2211||||PM QM +为定值时，点M 的坐标为(2,0).2．（江苏省南通市2019届高三模拟练习卷四模）如图，已知F 是抛物线C ：24y x =的焦点，过E(﹣l ，0)的直线l 与抛物线分別交于A ，B 两点（点A ，B 在x 轴的上方）．（1）设直线AF ，BF 的斜率分別为1k ，2k ，证明：120k k +=； （2）若∆ABF 的面积为4，求直线l 的方程． 【答案】(1)见解析；(2)210x +=. 【解析】（1）当直线l 的斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合题意．当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ﹣1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立抛物线方程可得得y 2﹣4my+4＝0，可得y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝4 ∴121212y y k k x 1x 1+=+=--()()()()()1212121222242402222my y y y m mmy my my my -+⨯-⨯==----. （2）S △ABF ＝S △EFB ﹣S △EFA ＝|y 1﹣y 2|()221212416164y y y y m +-=-=．解得m ＝2±（负值舍去）． ∴直线l 的方程为：210x +=．3．（江苏省南通市2019届高三模拟练习卷四模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a＞b ＞0)经过点(0，3-，点F 是椭圆的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当MF ＝2FN 时，求直线l 的方程；（3）若直线l 上存在点P 满足PM·PN ＝PF 2，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上． 【答案】（1）22143x y +=；（25250x y ±-=；（3）见解析. 【解析】（1）设椭圆的截距为2c ，由题意，b 3由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c ＝2a c c-，又a 2＝b 2+c 2，联立解得a ＝2，c ＝1．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）当直线l 与x 轴重合时，M （﹣2，0），N （2，0），此时MF ＝3NF ，不合题意； 当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为x ＝my+1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立22my 1x y 143x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0．△＝36m 2+36（m 2+4）＞0．122634m y y m +=-+ ①，1229y y 3m 4=-+②，由MF ＝2FN ，得y 1＝﹣2y 2③， 联立①③得，1222126,3434m my y m m =-=++， 代入②得，()22227293434m m m-=-++，解得25m =5250x y ±=；（3）当直线l 的斜率为0时，则M （2，0），N （﹣2，0），设P （x 0，y 0）， 则PM•PN ＝|（x 0﹣2）（x 0+2）|，∵点P 在椭圆外，∴x 0﹣2，x 0+2同号，又()()()()2220000PF x 1,x 2x 2x 1=-∴-+=-，解得052x =． 当直线l 的斜率不为0时，由（2）知，1212226m 9y y ,y y 3m 43m 4+=-=-++， 22210200PM 1m y y ,PN 1m y y ,PF 1m y =+-=+-=+．∵点P 在椭圆外，∴y 1﹣y 0，y 2﹣y 0同号， ∴PM•PN ＝（1+m 2）（y 1﹣y 0）（y 2﹣y 0）＝()()221201201my yy y y y ⎡⎤+-++⎣⎦()()2222002269113434m m y m y m m ⎛⎫=++-=+ ⎪++⎝⎭，整理得032y m =，代入直线方程得052x =．∴点P 在定直线52x =上． 4．（江苏省南通市2019届高三适应性考试）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为43的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，B 在x 轴的上方，且点B 的横坐标为4.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）设点P 为抛物线C 上异于A ，B 的点，直线PA 与PB 分别交抛物线C 的准线于E ，G 两点，x 轴与准线的交点为H ，求证：HG HE ⋅为定值，并求出定值.【答案】（1）24y x =（2）见证明【解析】（1）由题意得：(,0)2pF ， 因为点B 的横坐标为4，且B 在x 轴的上方， 所以8)B p ， 因为AB 的斜率为43，4342=-，整理得：80p +=，即0=，得2p =， 抛物线C 的方程为：24y x =.（2）由（1）得：(4,4)B ，(1,0)F ，淮线方程1x =-， 直线l 的方程：4(1)3y x =-， 由24(1)34y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩解得14x =或4x =，于是得1(,1)4A -. 设点2(,)4n P n ，又题意1n ≠±且4n ≠±,所以直线PA ：41114y x n ⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭，令1x =-，得41n y n +=--， 即41n HE n +=--， 同理可得：444n HG n -=+， 444414n n HG HE n n +-⋅=-⋅=-+. 5．（江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点P 是椭圆C 上的一个动点，且12PF F ∆（1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率不为零的直线2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，且PQ 的垂直平分线交y 轴于点1(0,)8T ，求直线PQ 的斜率.【答案】（1）22143x y +=（2）12或32【解析】(1)因为椭圆离心率为12，当P 为C 的短轴顶点时，12PF F △所以22212122c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩，所以21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为:22143x y +=.（2）设直线PQ 的方程为()1y k x =-，当0k ≠时，()1y k x =-代入22143x y +=，得:()22223484120k x k x k +-+-=.设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,N x y ，212024234x x k x k+==+，()1200231234y y k y k x k +-==-=+ 即22243,3434k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为TN PQ ⊥，则1TN PQ k k ⋅=-，所以222314381443k k k k k --+⋅=-+，化简得24830k k -+=，解得12k =或32k =，即直线PQ 的斜率为12或32.6．（江苏省扬州中学2019届高三4月考试）已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义:()PFd P FQ=. （1）当8(1)3P --，时，求()d P ； （2）证明:存在常数a ，使得2()d P PF a =+.（3）123,,P P P 为抛物线准线上三点，且1223PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系.【答案】（1）83；（2）证明见解析；（3）()()()1322d P d Pd P+>. 【解析】（1）因为8443(1)233PFk y x==⇒=-.联立方程24(1)1344Qy xxy x⎧=-⎪⇒=⎨⎪=⎩，则1083()534PFd PQF⎧=⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩.（2）当()1,0P-，易得2()2a d P PF=-=，不妨设()1,PP y-，0Py>，直线:1PF x my=+，则2Pmy=-，联立214x myy x=+⎧⎨=⎩，2440y my--=，224(4)16221Qm my m m++==++，()222212()||212221PPQy m d P PF m yy m m m+ -=-+=+++2212122m m m+-+=-+=.（3）设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y---，则()()()13224d P d P d P+-⎡⎤⎣⎦1322PF P F P F =+-2221324424y y y =+++-+ 222131344242y y y y +⎛⎫=+++-+ ⎪⎝⎭()22213134416y y y y =+++-++，因为()()222213134416y y y y ⎡⎤+++-++⎣⎦22131224428y y y y =++--，又因()()()()2222213131313444480y y y y y y y y ++-+=+->，所以()()()1322d P d P d P +>.7．（江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟考试）已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）离心率为2，其短轴长为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝12-，,AD DP AE λ==u u ur u u u r u u u r EQ μuuu r （λ，μ为非零实数），求λ2+μ2的值．【答案】（1）2212x y +=；（2）1 【解析】（1）因为短轴长2b ＝2，所以b ＝1，又离心率e ＝2c a =a 2﹣b 2＝c 2，解得a ＝2，c ＝1，则椭圆C 的方程为22x +y 2＝1； （2）由（1）可得点 A（﹣2，0），设P （x 1，y 1），D （x 0，y 0），则y 1＝k 1x 1，y 0＝k 2x 0， 由AD DP λ=u u u r u u u r可得x 0+2＝λ（x 3B x 、﹣x 0），y 0＝λ（y 1﹣y 0），即有x 0＝11021,1x y y λλλλ-+=+，k 1x 1＝y 1＝1λλ+y 0＝1λλ+k 2x 0＝k 2（x 1﹣2λ）， 两边同乘以k 1，可得k 12x 1＝k 1k 2（x 1﹣2λ）＝﹣12（x 1﹣2λ）， 解得x 1＝()()11221122,1212y k k k λλ=++，将P （x 1，y 1）代入椭圆方程可得λ2＝22112k +， 由AE EQ μ=u u u r u u u r可得μ2＝2122212k 11212k k =++，可得λ2+μ2＝1． 8．（江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研考试）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆22221y x C a b+=：（0a b >>）的上顶点为()0,3A ，圆2224a O x y +=：经过点()01M ，．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 作直线1l 交椭圆C 于P ，Q 两点，过点M 作直线1l 的垂线2l 交圆O 于另一点N ．若△PQN 的面积为3，求直线1l 的斜率．【答案】（1）13422=+y x ；（2）12± 【解析】（1）因为椭圆C 的上顶点为(03A ，，所以3b =22214O x y a +=：经过点()01M ，，所以2a =． 所以椭圆C 的方程为13422=+y x ．（2）若1l 的斜率为0，则PQ =，2MN =， 所以△PQN的面积为3，不合题意，所以直线1l 的斜率不为0． 设直线1l 的方程为1y kx =+，由221431x y y kx ，⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消y 得()2234880k x kx ++-=， 设()11P x y ，，()22Q x y ，，则1x，2x所以PQ =12x =-=. 直线2l 的方程为11y x k=-+，即0x ky k+-=，所以MN = 所以△PQN 的面积MN PQ S ⋅=21132==， 解得12k =±，即直线1l 的斜率为12±． 9．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：24y x=的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点． （1）求线段AF 的中点M 的轨迹方程；（2）已知△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍，求直线l 的方程．【答案】（1）221y x =-；（2）)1y x =±-【解析】（1）设线段AF 的中点的坐标为(),M x y ，()11,A x y 由抛物线C 的方程24y x =可得：焦点()1,0F由中点坐标公式可得：1110,22x y x y ++== 即：1121,2x x y y =-=又()11,A x y 在抛物线24y x =上，所以2114y x =，将1121,2x x y y =-=代入上式可得：()()22421y x =- 整理得：221y x =-所以线段AF 的中点M 的轨迹方程为：221y x =- （2）依据题意作出图形，如下：设()()1122,,,A x y B x y ，且1y 与2y 的取值一正、一负因为△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍，所以直线AB 的斜率存在， 且OAF ∆的面积是OBF ∆面积的2倍， 即：1211222OF y OF y ⨯⨯=⨯⨯⨯，整理得：122y y =- 设直线AB 的方程为：()1y k x =-联立直线与抛物线方程可得：()241y xy k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，整理得：204k y y k --=.所以124y y k+=，124y y ⋅=- 由121212244y y y y y y k ⎧⎪=-⎪⋅=-⎨⎪⎪+=⎩解得：22k =±.所以直线AB 的方程为：()221y x =±-10．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1(﹣2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4．过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D ．直线A 2D 与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若HG ⊥A 1D ，试求直线A 1D 的方程；（3）如果11A H A P λ=u u u u r u u u u r，试求λ的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）)62y x =+；（3）13,35⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）由题可得：2a =，又椭圆右准线方程为x ＝4，所以24a c =，解得：1225，又222a b c =+，解得：23b =所以椭圆C 的标准方程为：22143x y +=.（2）设()11,G x y （10y <）,则2112GA y k x =-且2211143x y +=所以直线GD 的方程为：()1122y y x x =-- 联立直线GD 的方程与准线方程4x =可得：()11224y y x x x ⎧=-⎪-⎨⎪=⎩，整理得：1122y y x =-，所以1124,2y D x ⎛⎫⎪-⎝⎭， 所以()()111112024232A Dy y x k x --==---.又HG ⊥A 1D ，所以11HG A D k k ⋅=-，即：()1111132y yx x ⋅=--联立()22111111143132x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=--⎪⎩可得：112,3x y ==. (D ∴所以()10426A D k ==--.所以直线1A D的方程为：()26y x =+. （3）设()4,D m ，(),P P P x y ，(),G G G x y ，(),H H H x y ，其中0m > 直线1A D 的方程为：()26my x =+ 联立椭圆方程可得：()2214326x y m y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得2254227P m x m -=+ 直线2A D 的方程为：()22my x =- 联立椭圆方程可得：()2214322x y m y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得22263G m x m -=+，263G m y m -=+ 所以直线OG 的方程为：2626my x m -=-联立直线OG 的方程与直线1A D 的方程可得：()226626my x my x m ⎧=+⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得：226215H m x m -=+ 所以2125422,27P m A P y m ⎛⎫-=+ ⎪+⎝⎭u u u r ,212622,15H m A H y m ⎛⎫-=+ ⎪+⎝⎭u u u u r 又11A H A P λ=u u u u v u u u u v ，所以2222625422,2,1527H P m m y y m m λ⎛⎫⎛⎫--+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭所以222262542221527m m m m λ⎛⎫--+=⨯+ ⎪++⎝⎭整理得：()222271121315315m m m λ+⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭因为21515m +>，所以111213315λ⎛⎫<<+ ⎪⎝⎭，整理得：1335λ<< 11．（江苏省南通市2019届高三下学期4月阶段测试）已知()()2,0,2,0,A B C D 点、-依次满足()12,.2AC AD AB AC ==+u u u v u u u v u u u v u u u v（1）求点D 的轨迹；（2）过点A 作直线l 交以A B 、为焦点的椭圆于M N 、两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线l 与点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，设点Q 的坐标为()1,0，是否存在椭圆上的点P 及以Q 为圆心的一个圆，使得该圆与直线,PA PB 都相切，如存在，求出P 点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由【答案】（1）以原点为圆心，1为半径的圆；（2）22184x y +=； （3）存在点P ，其坐标为(或(2,,使得直线12,PF PF 与以Q 为圆心的圆()2211x y -+=相切 【解析】（1）设()()00,,,C x y D x y ，则()()002,,4,0AC x y AB =+=u u u v u u u v ()003,2,22x y AD x y ⎛⎫⇒=+=+⎪⎝⎭u u u v 则：00222x x y y =-⎧⎨=⎩ 代入()2220024AC x y u u u v =++=得：221x y +=∴点D 的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆（2）由题意可知直线l 斜率存在，设直线l 的方程为()2y k x =+……①椭圆的方程()22222144x y a a a +=>-……②由l1= 213k ⇒=将①代入②得：()222222224244440a k a x a k x a k a a +-++-+= 又213k =，可得()2224233404a x a x a a -+-+=设()11,M x y ，()22,N x y21224235a x x a ∴+=-=⨯- 28a ⇒=∴椭圆方程为：22184x y +=（3）假设存在椭圆上的一点()00,P x y ，使得直线,PA PB 与以Q 为圆心的圆相切 则Q 到直线,PA PB 的距离相等，又()()2,0,2,0,A B -则()000:220PA x y y x y --+=，()000:220PB x y y x y +--= 则12d d ===化简整理得：220008403280x x y -++= P Q 点在椭圆上 220028x y ∴+=解得：02x =或08x =（舍）02x =时，0y = 1r ∴=∴椭圆上存在点P，其坐标为(或(2,使得直线12,PF PF 与以Q 为圆心的圆()2211x y -+=相切．12．（江苏省苏州市2019届高三下学期阶段测试）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C的参数方程为,(),x y tsin ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l的方程为πsin()4ρθ-(1)求直线l 的直角坐标方程和椭圆C 的普通方程； (2)若直线l 与椭圆C 有公共点，求t 的取值范围．【答案】（1）20y x --=，(22213x y t t +=≠（2）((1][1+),-∞-∞U U U【解析】（1）由题意知π2ρsin θ4⎛⎫-= ⎪⎝⎭y x 20--=，由()αx y t sin αα⎧=⎪⎨=⋅⎪⎩为参数，得(222x y 1t 3t +=≠.(2)由22220x y 13t y x --=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()322t 3x 12x 123t 0+++-=.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以()()222Δ124t 3123t 0=-+-≥,即()42tt 00t -≥≠．所以t 的取值范围是t 1t 1≥≤-或，所以t的取值范围是(][(),1∞∞-⋃-⋃⋃+.13．（江苏省七市2019届(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三第二次调研考试）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：2214x y +=，椭圆C 2：22221(0)x y a b a b +=>>，C 2与C 1的长轴∶1，离心率相同． （1）求椭圆C 2的标准方程；（2）设点P 为椭圆C 2上一点．① 射线PO 与椭圆C 1依次交于点A B ，，求证：PAPB为定值； ② 过点P 作两条斜率分别为12k k ，的直线12l l ，，且直线12l l ，与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证：12k k ⋅为定值．【答案】（1）22182x y +=；（2）①见解析，②见解析. 【解析】（1）设椭圆C 2的焦距为2c，由题意，a =，c a =，222a b c =+，解得b =C 2的标准方程为22x y 182+=。
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题答案
即 (x1, y1 2) (x2 , y2 2), x1 x2 ，
于是 x1 x2
x22 , x1
x2
(1
)
x2
,
(
x1 1
x2
)2
x1 x2
，……………⑤
( 4k )2
3
1 k2
1 k2
将③④代入⑤得 2
2
，
(1 )2
16
整理得
3(1 )2 , 1 1
则 16k 2m2 4 2k 2 1 2m2 4 0 ，即 m2 4k 2 2 0
又 x1
x2
4km 2k 2 1
，
x1 x2
2m 2 2k 2
4 1
9分
∴ y1 y2 kx1 mkx2 m k 2 x1x2 kmx1 x2 m2
…………11 分
(2 x1, y1) 3(2 x2 , y2 )
∴ 2yx1133y(22 x2 )
由
y1
y2
3 y2
y2
2 y2
12t 3t2 1
得
y2
6t 3t2 1
由
y1 y2
(3y2 ) y2
3 y22
9 3t2 1
得
y22
y2
1
消去 y得(1 k 2 )x 2 4kx 3 0,由 0得k 2 3 .
2
2
设 M (x1, y1 ), N (x2 , y2 ) ，则
2020版广西高考人教版数学(文)一轮复习考点规范练：48 直线与圆锥曲线 Word版含解析
(2)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其他公共点?说明理由.
( )������2
解(1)由已知得 M(0,t),P 2������,������ .
又 N 为 M 关于点 P 的对称点,
( ) ( ) ������2
������
2������2
2������2
故 N ������ ,������ ,ON 的方程为 y=������x,代入 y2=2px 整理得 px2-2t2x=0,解得 x1=0,x2= ������ .因此 H ������ ,2������ .
1
联立,消去 y 得 3x2-10x+3=0,解得 x1=3,x2=3.
因为 M 在 x 轴的上方,所以 M(3,2 3).
因为 MN⊥l,且 N 在 l 上,所以 N(-1,2 3).
因为 F(1,0),所以直线 NF:y=- 3(x-1).
|
所以 M 到直线 NF 的距离为
3 × (3 - 1) + 2 3|
所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其他公共点.
������2 ������2
25
10.(2018 福建厦门第一次质检)设 O 为坐标原点,椭圆 C:������2 + ������2=1(a>b>0)的左焦点为 F,离心率为 5 .
直线 l:y=kx+m(m>0)与 C 交于 A,B 两点,AF 的中点为 M,|OM|+|MF|=5.
∵P(0,1),������������·������������=-4, ∴(x1,y1-1)·(x2,y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=-4,
2021年高考数学一轮复习 第47讲 直线与圆锥曲线
共点，例如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点．故选 A.]
4．过点(0,1)作直线，使它与抛物线 y2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有________条．
3 [结合图形分析可知，满足题意的直线共有 3 条：直线 x＝0，过点(0,1)且平行于 x
轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线 x＝0). ]
(3)过抛物线 y2＝2px(p>0)焦点的弦中最短弦的弦长是 2p.( )
(4)若抛物线上存在关于直线 l 对称的两点，则 l 与抛物线有两个交点．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
x2 y2 2．(教材改编)直线 y＝k(x－1)＋1 与椭圆 ＋ ＝1 的位置关系是( )
94
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
A [直线 y＝k(x－1)＋1 恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．]
3．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相交时，也可能有一个公
线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个
公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线 l 与椭圆 C 相切的充要条件是直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点．( )
-1-
(2)直线 l 与双曲线 C 相切的充要条件是直线 l 与双曲线 C 只有一个公共点．( )
新高考数学复习考点知识与题型专项训练48--- 直线与圆锥曲线(解析版)
新高考数学复习考点知识与题型专项训练专题9.6 直线与圆锥曲线1．（四川省成都市龙泉驿区第一中学校2019届高三上入学）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上两点，，则的中点到准线的距离为（ ）A ．B ． 2C ． 3D ． 4 【答案】C 【解析】由题意，是抛物线的焦点，所以，准线方程为，设，所以，解得，所以线段的中点的横坐标为，所以线段的中点到该抛物线的准线的距离为，故选C ．2.（2019·湖南高三月考（理））抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，点Q 在抛物线上，且90MQF ∠=，则以MQ 为直径的圆的面积等于（ ）A.512π B.512π C.()252πD.()252π【解析】 如图：设点Q (),x y ，由题可知，点()()1,0,1,0F M -，90MQF ∠=,O 为MF 中点，112OQ MF ∴==，即221x y +=，又24y x =，2221524x y x y x⎧+=⇒=-⎨=⎩ ()()2222211461252MQ x y x x x x =++=++=++=-以MQ 为直径的圆的面积等于2514S MQ ππ-==答案选A3.（2019·天津高考真题（理））已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且（为原点），则双曲线的离心率为A.B.C.2D.【答案】D抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有∴，，，∴.故选D.4.(浙江省金华十校2019届高考模拟)已知椭圆C ：2214x y +=上的三点A ，B ，C ，斜率为负数的直线BC 与y 轴交于M ，若原点O 是ABC ∆的重心，且BMA ∆与CMO ∆的面积之比为32，则直线BC 的斜率为（ ）A ．24-B ．14-C ．3D ．3-【答案】C 【解析】设11(,)B x y ，22(,)C x y ．(0,)M m ．33(,)A x y ，直线BC 的方程为y kx m =+. ∵原点O 是ABC ∆的重心，∴BMA ∆与CMO ∆的高之比为3， 又BMA ∆与CMO ∆的面积之比为32，则2BM MC =.即2BM MC =，1220x x ⇒+=…①联立2244y kx mx y =+⎧⇒⎨+=⎩()222418440k x mkx m +++-=. 122814km x x k -+=+，21224414m x x k-=+…②，由①②整理可得：22223614m k m k =-+…③ ∵原点O 是ABC ∆的重心，∴()3122814kmx x x k =-+=+，3211222()[()2]14my y y k x x m k=-+=-++=-+. ∵223344x y +=，∴22222282()4()41441414km m k m k k-+=⇒+=++…④． 由③④可得2112k =，∵k 0<．∴36k =-. 故选：C ．5.（2019·四川石室中学高三月考（理））已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且F 到准线l 的距离为2，直线1l ：50x my -=与抛物线C 交于P ，Q 两点（点P在x 轴上方），与准线l 交于点R ，若||3QF =，则QRF PRFS S ∆∆=________.【答案】67【解析】因为F 到准线l 的距离为2，所以2p =，抛物线C ：24y x =，(1,0)F . 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，因为||3QF =，即22+1=3=2x x ⇒所以2y =-，代入直线1l：0m =⇒=所以直线1l为：0x y =由22004x y y y y x ⎧--=⎪⇒--=⎨⎪=⎩所以12y y =-，所以12y ==152x = ，所以2167121==5112QRFPRFS QR QF x S PRPFx ∆∆++===++故填：676.（2019·安徽高三开学考试（理））已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，且2AF FB λ=（λ为非零常数）.以A 为切点作抛物线C 的切线交直线1y =-于M 点，则MF 的长度为________.（结果用含λ式子表示）.【答案】1λλ+【解析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，抛物线C 的焦点为()0,1F ，设直线AB 的方程为1y kx =+， 联立直线AB 的方程与抛物线C 的方程214y kx x y =+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx --=，由韦达定理得124x x k +=，124x x =-.()11,1AF x y =--，()22,1FB x y =-，2AF FB λ=，212x x λ∴-=，2121x x λ∴=-，2121214x x x λ∴=-=-，得2214x λ=.抛物线C 的函数解析式为24x y =，求导得2x y '=，则抛物线C 在点A 处的切线方程为()1112x y y x x -=-，即21124x x y x =-，联立211124y x x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得11221x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，所点112,12x M x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 因此，1MF λλ====+， 故答案为：1λλ+.7．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学月考（文））已知椭圆2222:1x y E a b +=()0a b >>的半焦距为c ，原点O 到经过两点()(),0,0,c b 的直线的距离为12c ，椭圆的长轴长为 （1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的中点为()2,1M -，求弦长.AB【答案】（1）221123x y +=；（2）10.【解析】（1）经过两点()(),0,0,c b 的直线为：1x yc b+=即0bx cy bc +-=.由已知：原点到直线的距离12bc d c a ===即12b a =因为2a =，所以b =所以椭圆的标准方程为：221123x y +=（2）当直线l 斜率不存在时，线段AB 的中点在x 轴上，不合题意.所以直线l 的斜率存在，设为k ，则直线()12y k x +=-即为：21y kx k =--设()()1122,,,A x y B x y联立22214120y kx k x y =--⎧⎨+-=⎩得：()()22214821161680k x k k x k k +++++-= ()()22214821161680k xk k x k k +-+++-=显然>0∆则()122821414k k x x k++==+，解得12k = 则212216168214k k x x k+-⋅==+所以12AB x =-==8.（2019·天津高考真题（文）） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已知|2||OA OB =（O 为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（I ）12；（II ）2211612x y +=.【解析】（I ）解：设椭圆的半焦距为c2b =，又由222a b c =+，消去b得222)2a a c =+，解得12c a =，所以，椭圆的离心率为12. （II ）解：由（I）知，2,a c b ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-， 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-， 因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（I ）知(2,0)A c -，故3242ct c c =+，解得2t =， 因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l2=，解得2c =， 所以椭圆的方程为：2211612x y +=. 9. （2020·广西钦州·高二期末（文））已知抛物线()220y px p =>的顶点为O ，焦点坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求抛物线方程；（2）过点()1,0且斜率为1的直线l 与抛物线交于P ，Q 两点，求线段PQ 的值． 【答案】（1）22y x =．（2）【解析】（1）∵22y px =焦点坐标为,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴122p =，1p =， ∴抛物线的方程为22y x =．（2）设直线l 方程为1x y =+，设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立212x y y x =+⎧⎨=⎩ 消元得2220y y --=，∴120∆=>，122y y +=，122y y =-， ∴21211PQ y y =+-()221212114y y y y =+⋅+-()()221124226=+⋅-⋅-=．∴线段PQ 的值为26．10.（2019·浙江诸暨中学高二月考）如图，A 为椭圆2212x y +=的下顶点.过A 的直线l 交抛物线()220x py p =>于B ，C 两点，C 是AB 的中点.（1）求证：点C 的纵坐标是定值；（2）过点C 作与直线l 倾斜角互补的直线m 交椭圆于M ，N 两点.求p 的值，使得BMN ∆的面积最大.【答案】（1）证明见解析；（2）914.【解析】（1）易知()0,1A -，不妨设2,2t B t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22,24t t p C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入抛物线方程得：222224t t p p p -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，得：24t p =，∴42142C p p y p -==为定值. （2）∵点C 是AB 中点，∴BMN AMN S S ∆∆=，∵直线l 的斜率()11322k t t --==，直线m 斜率3k t '=-， ∴直线m 的方程：1322t y x t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即32y x t =-+，不妨记3m t=-，则l '：2y mx =+，代入椭圆方程整理得：()2221860m x mx +++=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则122821m x x m +=-+，122621x x m =+，12MN x =-=， A ∴到MN的距离d =，所以12AMNS MN d ∆=⋅⋅=44=≤=.=272m =， 所以229187t m ==，29414t p ==.1．（2020·山西运城·高三月考（理））已知抛物线21:4C y x =的焦点为F ，O 为坐标原点，点A 在抛物线C 上，且2AF =，点P 是抛物线C 的准线上的一动点，则PA PO +的最小值为（ ）.A 13B ．213C ．313D ．26【答案】A 【解析】抛物线的准线方程为1y =-，||2AF =，A ∴到准线的距离为2，故A 点纵坐标为1，把1y =代入抛物线方程可得2x =±． 不妨设A 在第一象限，则(2,1)A ，点O 关于准线1y =-的对称点为(0,2)M -，连接AM ， 则||||PO PM =，于是||||||||||PA PO PA PM AM +=+ 故||||PA PO +的最小值为22||2313AM =+= 故选：A ．2．（2019·新疆乌鲁木齐·乌市一中月考）已知两定点A (－1，0)和B (1，0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ）A 5B 10C 25D 210【答案】A 【解析】椭圆C 以A ，B 为焦点，即1c =，221b a =-，故可设椭圆方程为222211x y a a +=-(a >1)， 联立方程2222113x y a a y x ⎧+=⎪-⎨⎪=+⎩消去y 得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，由题意易知∆=36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)≥0，即42650a a -+≥ 得25a ≥或21a ≤（舍去），解得a 5所以15c e a a ==≤， 所以e. 故选：A.3.（2019·山西高三月考（理））已知双曲线C ：()22210x y a a-=>与l ：1x y +=相交于两个不同的点A 、B ，l 与y 轴交于点P ，若512PA PB =，则a =______. 【答案】1713【解析】由于双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，故方程：22211x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，有两组不同的实数解，消去y 并整理可得：2222(1)220a x a x a -+-= 所以实数a 应满足：24221048(1)0a a a a ⎧-≠⎨+->⎩，解得：0a <<且1a ≠ 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由根与系数关系可得：212221222121a x x a a x x a ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩ ① 根据题意可知(0,1)P ， 由512PA PB =，可得11225(,1)(,1)12x y x y -=-，从而得到12512x x = ② 由①②解得：1713a =±，又0a <<且1a ≠，所以1713a =故答案为17134.（2019·浙江高三学业考试）如图，(1,0)M，P，Q是椭圆2214xy+=上的两点（点Q在第一象限），且直线PM，QM的斜率互为相反数．若2PM QM=，则直线QM的斜率为__________．【答案】15【解析】延长PM，交椭圆于点N，由椭圆的对称性和直线PM，QM的斜率互为相反数可知：||||QM MN=，如下图所示：设直线PM的斜率为k，所以直线PM的方程为：(1)(0)y k x k=-<，与椭圆方程联立得：22(1)14y k xxy=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得，2212430yyk k⎛⎫++-=⎪⎝⎭，设()()1122,,,P x y N x y ，根据根与系数关系可得：122214ky y k-+=+， 12||2,2||PM y y QM =∴=-，1222214ky y y k -∴+=-=+，所以222222,11414k y x k k =∴=+++，把22221,1414k N kk ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭代入椭圆方程中得，2222221441414k k k ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得25,126k k =∴==-，所以直线QM 的斜率为k -=. 5．（2020·山东青岛·高三开学考试）已知直线l ：()1y k x =-与抛物线C ：()220y px p =>在第一象限的交点为A ，l 过C 的焦点F ，3AF =，则抛物线的准线方程为_______；k =_______.【答案】1x =- 【解析】易知直线l 与x 轴的交点为(1,0)，即抛物线的焦点为(1,0)F ，∴准线方程为1x =-，设11(,)A x y ，则11132pAF x x =+=+=，12x =，作AC x ⊥轴于点C ，如图，则(2,0)C ，1FC =，∴AC ==，∴直线l 的斜率为tan 1k AFC =∠==．故答案为：1x =-；6．（2020·江苏如皋·高二月考）已知F 是抛物线()221y px p =>的焦点，(),1N p ，M 为抛物线上任意一点，MN MF +的最小值为3，则p =________；若过F 的直线交抛物线于A 、B 两点，有2AF FB =，则AB =________.【答案】2 92【解析】过点M 作MP 垂直于抛物线()221y px p =>的准线l ，垂足为点P ，由抛物线的定义可得MP MF =，1p >，则2212p <，则点N 在抛物线内，如下图所示：MN MF MN MP ∴+=+，当点P 、M 、N 共线时，MN MF +取得最小值32pp +=，解得2p =， 所以，抛物线的标准方程为24y x =，该抛物线的焦点为()1,0F ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，可知直线AB 不与x 轴重合，设直线AB 的方程为1x my =+，联立214x my y x =+⎧⎨=⎩，可得2440y my --=，216160m ∆=+>恒成立，由韦达定理得124y y m +=，124y y =-，2AF FB =，则()()11221,21,x y x y --=-，122y y ∴=-，所以，1224y y y m +=-=，可得24y m =-，221222324y y y m =-=-=-，可得218m =，因此，()()22221212129114412AB m y y m y y y y m =+-=++-=+=.故答案为：2；92.7.（2019·浙江高三月考）如图，过抛物线2:C y x =上的一点()1,1A 作抛物线的切线，分别交x 轴于点D 交y 轴于点B ，点Q 在抛物线上，点E ，F 分别在线段AQ ，BQ 上，且满足AE λEQ =，BF μFQ =，线段QD 与EF 交于点P.（1）当点P 在抛物线C 上，且12λμ==时，求直线EF 的方程； （2）当1λμ+=时，求:PAB QAB S S △△的值.【答案】（1）4326y x =-或4326y x =-.（2）1:3. 【解析】（1）过抛物线上点A 的切线斜率为122x y x ='==，切线AB 的方程为21y x =-，则B ，D 的坐标分别为(0,1)-，1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 是线段AB 的中点.设(,)P x y ，()200,Q x x ，()11,E x y ，()22,F x y ，显然P 是ABQ △的重心.由重心坐标公式得2001,33x x P ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以2200133x x +⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则0132x +=，故332366P ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或332366P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭因为EF AB∥，所以2EFk=，所以直线EF的方程为4326y x+=-或4326y x-=-.（2）由解（1）知，AB的方程为21y x=-，(0,1)B-，1,02D⎛⎫⎪⎝⎭，D是线段AB的中点令||||QDmQP=，1||1||QAtQEλ==+，2||1||QBtQFμ==+，因为QD为ABC△的中线，所以22OAB OAD GBDS S S==△△△而12||||1||||QEFQABS QE QFS QA QB t t=⋅=△△，1212111322222QEF QEP QFP QEP QFPQAB QAD QAD QBDS S S S SS S S S t m t m t t m+⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭△△△△△△△△△所以1212132t t t t m=，即32m=，所以P是QAB的重心，:1:3PAB QABS S=△△.8．（2019·全国高三月考（理））如图，己知抛物线24x y=，直线1y kx=+交抛物线于,A B两点，P是抛物线外一点，连接,PA PB分别交地物线于点,C D，且CD AB.（1）若1k =，求点P 的轨迹方程.（2）若2PC CA =，且PA 平行x 轴，求PAB ∆面积.【答案】（1）2(11)x y =-<<（2）11121【解析】 （1）解法1：CD AB ，设()()()112200,,,,,,PD DB A x y B x y P x y λ=，则()()0011,,,C C C C PC x x y y CA x x y y =--=--，由PC CA λ=可得()01C C x x x x λ-=-，故011C x x x λλ+=+，同理20141C y x y λλ+=+， 故201014,11y x x x C λλλλ⎛⎫+ ⎪+ ⎪++ ⎪⎝⎭，代入抛物线得：2201014411y x x x λλλλ++⎛⎫=⋅ ⎪++⎝⎭， 化简得：221010024(1)0x x x y x λλλ-++-=，同理得：222020024(1)0x x x y x λλλ-++-=，所以12,x x 为方程2200024(1)0x x x y x λλλ-++-=的两根，又由12221241440,44x x k y kx x kx x x x y ⎧+==+⎧⎪⇒--=∴⎨⎨⋅=-=⎪⎩⎩，将1k =代入1200244,2x x x k x +===∴=且200124(1)4y x x x λλ+-==-①，将02x =代入①，得044121(0)4(1)11y λλλλλλ--===-+>+++，故0(1,1)y ∈-.故点P 的轨迹方程为2(11)x y =-<<. 解法2：同解法1知124x x +=1,44D c D CCD AB C D D C y y x x k k x x x x -+====∴+=-，设线段,AB CD 的中点分别为,M N ，易知,,M N P 三点共线，MN MP μ∴=（μ为实数），所以02N M x x x ===.以下同解法1.（2）由12,x x 为方程2200024(1)0x x x y x λλλ-++-=的两根，可得：120024,2x x x k x k +==∴=.由（1）得200124(1)4y x x x λλ+-==-，因为2PC CA =，所以2λ=，故20233k y =-.AC x 轴且,A C 在抛物线上，∴,A C 关于y 轴对称. 0112213C x x k x x λλ++==+，11223k x x +∴=-及125kx =-， 222,533k k C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭且2225kx =.∵C 在抛物线上,22224533k k ⎛⎫⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得22511k =.设AB 的中点为M ，则()2221212212211212424M x x x x x x y k +-⎛⎫+=⋅=⋅=+ ⎪⎝⎭， 所以()22001022=13M y y y y k -=-+，而21020111210(1)2253121PAB k S x x y y k ∆=-⋅-=⋅⨯+=. 9．（2019·全国高三月考）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(2,0)D 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．（1）若ABF ∆的面积为3，求直线l 的方程；（2）试判断以线段AB 为直径的圆与点F 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）240x y --=或240x y +-=；（2）点F 在以线段AB 为直径的圆内． 【解析】（1）由题意知焦点F 的坐标为(1,0)．设A ，B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，直线l 的方程为2x my =+．联立方程24,2,y x x my ⎧=⎨=+⎩消去x ，整理得2480y my --=，可得124y y m +=，128y y =-，则2112ABF ADF BDF S S S DF y y ∆∆∆=+=⨯⨯-===由ABF ∆的面积为3，可得3=，解得12m =±，故直线l 的方程为240x y --=或240x y +-=．（2）由（1）知221212416y y x x ==，21212()444x x m y y m -=++=+．又由11(1,)FA x y =-，22(1,)FB x y =-，可得1212122212(1)(1)()1FA FB x x y y x x x x y y ⋅=--+=-++-,224(44)81470m m =-+-+=--<．故AFB ∠为钝角，点F 在以线段AB 为直径的圆内．10.（2019·浙江温州中学高三月考）已知点()00,A x y 在抛物线24y x =上，,P Q 是直线2y x =+上的两个不同的点，且线段,AP AQ 的中点都在抛物线上.（Ⅰ）求0y 的取值范围；（Ⅱ）若APQ 的面积等于20y 的值. 【答案】（Ⅰ）04y >或00y <；（Ⅱ）0222y =±. 【解析】（Ⅰ）设(,2)P a a +，(,2)Q b b +，20(,)4y A y ，则AP 的中点20042(,)82y a y a M +++，代入24y x = 得：22000(42)440a y a y y ---++=同理可得：22000(42)440b y b y y ---++=所以，,a b 是方程22000(42)440x y x y y ---++=的两个根22000(42)4(44)y y y ∴∆=---++2008320y y =->解得：04y >或00y <（Ⅱ）点A 到PQ的距离200|2|y y d -+=2= 由韦达定理可知：042a b y +=-，20044ab y y =-++则|||PQ a b =-==1||2APQS PQ d ∆∴==212⋅=t =，则有：38240t t +-=，即：2(2)(212)0t t t -++=，解得2t =，即200440y y --=，解得：02y =±1.（2020·全国高考真题（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.【答案】2 【解析】联立22222221x cx y a b a b c =⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．2.（2019·浙江高考真题）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.【答案】15【解析】方法1：由题意可知||=|2OF OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，设(,)P x y可得22(2)16x y-+=，联立方程221 95x y+=可解得321,22x x=-=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，求得315,22P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF|=|OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，即342p pa ex x-=⇒=-求得3,22P ⎛- ⎝⎭，所以212PFk ==3.（2020·全国高考真题（文））已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52.【解析】 （1）222:1(05)25x y C m m +=<< ∴5a =，b m =，根据离心率c e a ====， 解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=；（2）不妨设P ,Q 在x 轴上方点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”， 可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时， 故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=， 根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：222311110555125211d ⨯-⨯+===+， 根据两点间距离公式可得：()()22652055AQ =++-=，∴APQ 面积为：15555252⨯⨯=；②当P 点为(3,1)-时， 故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ ==，可得：Q 点为(6,8)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=， 根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：()2283111405185185811d ⨯--⨯+===+， 根据两点间距离公式可得：()()226580185AQ =++-=，∴APQ 面积为：1518522185⨯⨯=， 综上所述，APQ 面积为：52. 4．（2019·江苏高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．【答案】（1）22143x y +=； （2）3(1,)2E --.【解析】（1）设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1=52，AF2⊥x轴，所以DF2=222211253()222DF F F-=-=，因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3.因此，椭圆C的标准方程为221 43x y+=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C：22143x y+=，a=2，因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=±4.因为点A在x轴上方，所以A(1，4).又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由()2222116y x x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-. 由223(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-.将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --.解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221143x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-.因此3(1,)2E --.5．（2019·北京高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【答案】(Ⅰ) 24x y =-，1y =； (Ⅱ)见解析. 【解析】(Ⅰ)将点()2,1-代入抛物线方程：()2221p =⨯-可得：2p =，故抛物线方程为：24x y =-，其准线方程为：1y =.(Ⅱ)很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程24x y =-联立可得：2440x kx +-=. 故：12124,4x x k x x +=-=-.设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,44OM ONx x k k =-=-， 直线OM 的方程为14x y x =-，与1y =-联立可得：14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，圆的半径为：1222x x -， 且：()1212122222x x k x x x x ++==，12222x x -==则圆的方程为：()()()2222141x k y k -++=+，令0x =整理可得：2230y y +-=，解得：123,1y y =-=， 即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-.6．（2019·全国高考真题（理））已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见详解；(2) 3或 【解析】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =.又因为212y x =，所以'y x =.则切线DA 的斜率为1x ， 故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得112210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立.所以直线AB 恒过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=， 于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-==+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+ 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，3S =；当1t =±时S =因此，四边形ADBE 的面积为3或。
2020年高考数学(文)总复习小卷练《直线与圆锥曲线的综合》解析卷
2020年高考数学（文）总复习小卷练《直线与圆锥曲线的综合》小题基础练一、选择题1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定 答案：A解析：通解 将直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1联立，整理得(4＋9k 2)x 2＋18k (1－k )x＋9(1－k )2－36＝0，则Δ＝[18k (1－k )]2－4(4＋9k 2)[9(1－k )2－36]＝144(8k 2＋2k ＋3)>0，所以直线与椭圆相交．优解 因为直线y ＝kx －k ＋1过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，所以直线与椭圆相交． 2．已知直线y ＝kx ＋1与双曲线x 2－y 24＝1交于A ，B 两点，且|AB |＝82，则实数k 的值为( )A ．±7B ．±3或±413C ．± 3D ．±413答案：B解析：由直线与双曲线交于A ，B 两点，得k ≠±2.将y ＝kx ＋1代入x 2－y 24＝1得，(4－k 2)x 2－2kx －5＝0，则Δ＝4k 2＋4(4－k 2)×5>0，解得k 2<5.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 4－k 2，x 1x 2＝－54－k 2，所以|AB |＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 4－k 22＋204－k 2＝82，解得k ＝±3或±413. 3．[2019·兰州模拟]已知直线y ＝kx －k －1与曲线C ：x 2＋2y 2＝m (m >0)恒有公共点，则m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(3，＋∞)D ．(－∞，3) 答案：A解析：直线y ＝kx －k －1恒过定点(1，－1)．因为直线y ＝kx －k －1与曲线C ：x 2＋2y 2＝m (m >0)恒有公共点，则曲线C 表示椭圆，点(1，－1)在椭圆内或椭圆上，所以12＋2×(－1)2≤m ，所以m ≥3，故选A.4．[2019·宁波九校联考(二)]过双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线的两条渐近线分别交于B ，C ，且2AB →＝BC →，则该双曲线的离心率为( )A.10B.103C. 5D.52答案：C解析：由题意可知，左顶点A (－1,0)．又直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1，若直线l 与双曲线的渐近线有交点，则b ≠1.又双曲线的两条渐近线的方程分别为y ＝－bx ，y ＝bx ，所以可得x B ＝－1b ＋1，x C ＝1b －1.由2AB →＝BC →，可得2(x B －x A )＝x C －x B ，故2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＋1＋1＝1b －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＋1，得b ＝2，故e ＝12＋221＝ 5. 5．[2019·浙江八校联考(二)]抛物线y ＝ax 2与直线y ＝kx ＋b (k ≠0)交于A ，B 两点，且这两点的横坐标分别为x 1，x 2，直线与x 轴交点的横坐标是x 3，则( )A ．x 3＝x 1＋x 2B ．x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3C ．x 1＋x 2＋x 3＝0D ．x 1x 2＋x 2x 3＋x 3x 1＝0 答案：B解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2，y ＝kx ＋b ，消去y 得ax 2－kx －b ＝0，可知x 1＋x 2＝k a ，x 1x 2＝－ba，令kx ＋b＝0得x 3＝－bk，所以x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3.故选B.6．[2019·长春检测]椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A ．－23B ．－32C ．－49D ．－94答案：A解析：设以P 为中点的弦所在直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，斜率为k ，则4x 21＋9y 21＝144,4x 22＋9y 22＝144，两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4，y 1－y 2x 1－x 2＝k ，代入解得k ＝－23.故选A.7．[2019·福建福州外国语学校适应性考试]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，抛物线y ＝14x 2＋14与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为( )A.x 28－y 22＝1B.x 22－y 28＝1 C ．x 2－y 24＝1 D.x 24－y 2＝1 答案：D解析：由题意可得c ＝5，得a 2＋b 2＝5，双曲线的渐近线方程为y ＝±bax .将渐近线方程和抛物线方程y ＝14x 2＋14联立，可得14x 2±b a x ＋14＝0，由渐近线和抛物线相切可得Δ＝b 2a 2－4×14×14＝0，即有a 2＝4b 2，又a 2＋b 2＝5，解得a ＝2，b ＝1，可得双曲线的方程为x 24－y 2＝1.故选D.8．[2019·唐山市五校联考]直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，M是线段AB 的中点，若l 与OM (O 是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为( )A ．3B ．2 C. 3 D.2 答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，代入双曲线的方程，得⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，又⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y22，所以x 0a 2＝y 0(y 1－y 2)b 2(x 1－x 2)，所以b 2a 2＝y 0(y 1－y 2)x 0(x 1－x 2)＝k OM k l ＝1，所以e 2＝1＋b 2a2＝2，所以e ＝2，故选D.二、非选择题9．若直线y ＝52x ＋b 和曲线4x 2－y 2＝36有两个不同的交点，则b 的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫92，＋∞ 解析：联立直线方程和曲线方程，消去y 得，－94x 2－5bx －b 2－36＝0，由直线和曲线有两个不同的交点，所以Δ＝25b 2－9(b 2＋36)>0，解得b <－92或b >92.10．直线x －y －1＝0与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点作直线x ＝－1的垂线，垂足为M ，则MA →·MB →＝________.答案：0解析：设A (x 1，x 1－1)，B (x 2，x 2－1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x 得x 2－6x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，故AB 的中点C (3,2)，M (－1,2)，又MA →＝(x 1＋1，x 1－3)，MB →＝(x 2＋1，x 2－3)，所以MA →·MB →＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 1－3)·(x 2－3)＝2x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋10＝0.11．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，则当|AF |＋4|BF |取得最小值时，直线AB 的倾斜角的正弦值为________．答案：223解析：当直线的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1，x 2>0，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2 ①，x 1x 2＝1 ②，1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋1＋1x 2＋1＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝2k 2＋4k 2＋21＋2k 2＋4k2＋1＝1.当直线的斜率不存在时，易知|AF |＝|BF |＝2，故1|AF |＋1|BF |＝1.设|AF |＝a ，|BF |＝b ，则1a ＋1b＝1，所以|AF |＋4|BF |＝a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋4b )＝5＋4b a ＋ab≥9，当且仅当a ＝2b 时取等号，故a ＋4b 的最小值为9，此时直线的斜率存在，且x 1＋1＝2(x 2＋1) ③，联立①②③得， x 1＝2，x 2＝12，k ＝±22，故直线AB 的倾斜角的正弦值为223.12．[2019·广东揭阳一中、汕头金山中学联考]已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y 2a＝1(a >0)的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________.答案：14解析：根据抛物线的定义得1＋p2＝5，所以p ＝8，所以m ＝±4.由对称性不妨取M (1,4)，A (－1,0)，则直线AM 的斜率为2，由题意得－a ×2＝－1，故a ＝14.课时增分练一、选择题1．已知抛物线y 2＝16x ，直线l 过点M (2,1)，且与抛物线交于A ，B 两点，|AM |＝|BM |，则直线l 的方程是( )A ．y ＝8x ＋15B ．y ＝8x －15C ．y ＝6x －11D ．y ＝5x －9 答案：B解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，代入抛物线方程得y 21＝16x 1，y 22＝16x 2，两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝16(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝16y 1＋y 2，又y 1＋y 2＝2，所以k AB ＝8，故直线l的方程为y ＝8x －15.2．直线l 与抛物线C ：y 2＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，且满足k 1k 2＝23，则直线l 过定点( )A ．(－3,0)B ．(0，－3)C ．(3,0)D ．(0,3)答案：A解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为k 1k 2＝23，所以y 1x 1·y 2x 2＝23.又y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，所以y 1y 2＝6.将直线l ：x ＝my ＋b 代入抛物线C ：y 2＝2x 得y 2－2my －2b ＝0，所以y 1y 2＝－2b ＝6，得b ＝－3，即直线l 的方程为x ＝my －3，所以直线l 过定点(－3,0)．3．若直线x －y ＋m ＝0与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，则m 的值为( )A ．± 2B ．±2C ．±1D ．±3 答案：C解析：设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1，x －y ＋m ＝0，得x 2－2mx －m 2－2＝0(Δ>0)，∴x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m ，∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，∴m 2＋(2m )2＝5，∴m ＝±1.4．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为M ，N ，点P 在椭圆C 上，且直线PN的斜率为－14，则直线PM 的斜率为( )A.13 B ．3 C.12 D ．2 答案：B解析：由题意知M (－2,0)，N (2,0)，又直线PN 的斜率为－14，所以直线PN 的方程为y＝－14(x －2)，代入椭圆C ：x 24＋y 23＝1可得13x 2－4x －44＝0.设P (x 0，y 0)，则x 0＋2＝413，解得x 0＝－2213，y 0＝1213，故直线PM 的斜率k ＝1213－2213＋2＝3，故选B.5．[2019·太原模拟]已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足F A →＋FB →＋FC →＝0，则1k AB ＋1k BC ＋1k CA＝( )A ．0B ．1C ．2D ．2p 答案：A解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，则⎝⎛⎭⎫x 1－p 2，y 1＋⎝⎛⎭⎫x 2－p2，y 2＋⎝⎛⎭⎫x 3－p 2，y 3＝(0,0)，故y 1＋y 2＋y 3＝0.∵1k AB ＝x 2－x 1y 2－y 1＝12p (y 22－y 21)y 2－y 1＝y 2＋y 12p ，同理可知1k BC ＝y 3＋y 22p ，1k CA ＝y 3＋y 12p ，∴1k AB ＋1k BC ＋1k CA ＝2(y 1＋y 2＋y 3)2p＝0.6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与直线y ＝x ＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为55，则椭圆C 的方程为( ) A.4x 225＋y 25＝1 B.x 25＋y 24＝1 C.x 29＋y 25＝1 D.x 225＋y 220＝1 答案：B解析：将直线方程y ＝x ＋3代入C 的方程并整理得(a 2＋b 2)x 2＋6a 2x ＋9a 2－a 2b 2＝0，由椭圆与直线只有一个公共点得，Δ＝(6a 2)2－4(a 2＋b 2)(9a 2－a 2b 2)＝0，化简得a 2＋b 2＝9.又由椭圆的离心率为55，所以ca＝a 2－b 2a ＝55，则b 2a 2＝45，解得a 2＝5，b 2＝4，所以椭圆方程为x 25＋y 24＝1. 7．[2019·天津红桥区月考]已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32 C ．2 D ．3答案：C解析：因为双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，所以双曲线的渐近线方程是y ＝±ba x .又抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p 2，故A ，B 两点的纵坐标分别是y ＝±pb2a.因为双曲线的离心率为2，所以c a ＝2，所以b 2a 2＝3，则b a ＝3，A ，B 两点的纵坐标分别是y ＝±pb 2a ＝±3p2.又△AOB的面积为3，x 轴是∠AOB 的平分线，所以12×3p ×p2＝3，解得p ＝2.故选C.8．[2017·全国卷Ⅰ]已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10 答案：A解析：因为F 为y 2＝4x 的焦点，所以F (1,0)．由题意直线l 1，l 2的斜率均存在，且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k，故直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k (x －1)，y ＝－1k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1，所以|AB |＝1＋k 2·|x1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·2k 2＋4k 22－4＝4(1＋k 2)k 2. 同理可得|DE |＝4(1＋k 2)．所以|AB |＋|DE |＝4(1＋k 2)k 2＋4(1＋k 2)＝41k 2＋1＋1＋k 2＝8＋4k 2＋1k 2≥8＋4×2＝16， 当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝±1时，取得等号．故选A.二、非选择题9．[2018·北京卷]若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a ＞0)的离心率为52，则a ＝________.答案：4 解析：由e ＝ca＝a 2＋b 2a 2知a 2＋4a 2＝⎝⎛⎭⎫522＝54，∴a 2＝16.∵a ＞0，∴a ＝4.10．[2019·沈阳监测]已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 恰好以P (1,1)为中点，则弦AB 所在直线的方程是________________________________________________________________________．答案：2x －y －1＝0解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则y 1＋y 2＝2，又点A ，B 在抛物线y 2＝4x上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，则y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2，即直线AB 的斜率k ＝2，所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.11．[2019·河南周口联考]已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆C 2的短轴为C 1的长轴且离心率为32.(1)求椭圆C 2的方程；(2)如图，M ，N 分别为直线l 与椭圆C 1，C 2的交点，P 为椭圆C 2与y 轴的交点，△PON 的面积为△POM 的面积的2倍，若直线l 的方程为y ＝kx (k >0)，求k 的值．解析：(1)∵椭圆C 1的长轴在x 轴上，且长轴长为4， ∴椭圆C 2的短轴在x 轴上，且短轴长为4. 设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎨⎧2b ＝4，ba ＝ 1－⎝⎛⎭⎫322＝12，解得a ＝4，b ＝2，∴椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由△PON 的面积为△POM 的面积的2倍，得 |ON |＝2|OM |， ∴|x 2|＝2|x 1|.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 23＝1，消去y 得x ＝±124k 2＋3， ∴|x 1|＝124k 2＋3.同理得|x 2|＝ 164＋k 2. ∴164＋k2＝2 124k 2＋3， 解得k ＝±3. ∵k >0，∴k ＝3.。
高考数学一轮复习 8.9 直线与圆锥曲线限时集训 理
限时集训(五十四) 直线与圆锥曲线(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．已知直线l ：x ＋ky －3k ＝0，如果它与双曲线x 24－y 23＝1只有一个公共点，则k 的取值个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左，右两支都相交的充要条件是( )A ．k >－b aB ．k <b aC ．k >b a 或k <－b aD ．－b a<k <b a3．直线y ＝kx ＋1，当k 变化时，此直线被椭圆x 24＋y 2＝1截得的最大弦长等于( )A ．4 B.433C ．2D ．不能确定4．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点的横坐标恰为c ，则椭圆的离心率为( )A.32B.3－1C.22D.2－15．(2012·温州模拟)设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA ―→与x 轴正方向的夹角为60°，则|OA ―→|为( )A.21p4 B.21p 2C.136p D.1336p6．(2012·清远模拟)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条7．设斜率为1的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 22＝1相交于不同的两点A ，B ，则使|AB |为整数的直线l 共有( )A ．4条B ．5条C ．6条D ．7条8．(2013·绍兴模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，M ，N 是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双曲线上的动点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，k 1k 2≠0，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则双曲线的离心率为( )A. 2B.52C.32D.32二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为________．10．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________．11．(2012·天津高三期末)一动圆过点A (0,1)，圆心在抛物线x 2＝4y 上，且恒与定直线l 相切，则直线l 的方程为________．12．设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________.13．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线x －my ＋m ＝0与抛物线交于A 、B 两点，且△OAB (O 为坐标原点)的面积为22，则m 6＋m 4的值是________．13题图14．过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝____________.三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．16．(2013·株洲模拟)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，△ABC 的三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC 所在直线l 的方程为4x ＋y －20＝0.(1)求抛物线C 的方程；(2)若O 是坐标原点，P ，Q 是抛物线C 上的两动点，且满足PO ⊥OQ ，证明：直线PQ 过定点．17．(2013·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；(2)若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |> 3.答 案[限时集训(五十四)]1．D 2.D 3.B 4.D 5.B 6.C 7.C 8．B9．解析：设直线方程为y ＝x ＋b ，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b x 24＋y 2＝1，消去y 得5x 2＋8bx ＋4b2－4＝0.所以x 1＋x 2＝－8b 5，x 1x 2＝4b 2－45.则|AB |＝2·|x 1－x 2|＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·45－b25≤4105. 答案：410510．解析：设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1， 两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24y 1＋y 2. 又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0. 答案：x ＋2y －8＝011．解析：由于A (0,1)为抛物线的焦点，由抛物线定义可知，圆心到A 点的距离等于到准线的距离，故l ：y ＝－1.答案：y ＝－112．解析：由PF 1⊥x 轴且P 点在双曲线的左支上，可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a .又因为点P 在直线y ＝b 3a x 上，所以－b 2a ＝b 3a×(－c )，整理得c ＝3b ，根据c 2＝a 2＋b 2得a ＝2 2b ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝3b 22b ＝324.答案：32413．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知，p2＝－m ，将x ＝my －m 代入抛物线方程y 2＝2px 中，整理得y 2－2pmy ＋2pm ＝0，由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝2pm ，∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝(2pm )2－8pm ＝16m 4＋16m 2，又△OAB 的面积S ＝12×p 2|y 1－y 2|＝12×(－m )×4m 4＋m 2＝22，两边平方即可得m 6＋m 4＝2. 答案：214．解析：设过抛物线焦点的直线为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，整理得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0，x 1＋x 2＝k 2＋2k 2，x 1x 2＝14.|AB |＝x 1＋x 2＋1＝k 2＋2k 2＋1＝2512，得k 2＝24，代入k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0得12x 2－13x ＋3＝0，解得x 1＝13，x 2＝34.又|AF |<|BF |， 故|AF |＝x 1＋12＝56.答案：5615．解：(1)由椭圆定义知 |AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得 |AB |＝43.(2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，化简得(1＋b 2)x2＋2cx ＋1－2b 2＝0.则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b21＋b 2.因为直线AB 的斜率为1， 所以|AB |＝2|x 2－x 1|，即43＝2|x 2－x 1|.则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝41－b 21＋b 22－41－2b 21＋b2＝8b 41＋b22，解得b ＝22. 16．解：(1)设抛物线C 的方程为y 2＝2mx ，由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y －20＝0，y 2＝2mx ，得2y 2＋my －20m ＝0. ∵Δ>0，∴m >0或m <－160.设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝ －m2， ∴x 1＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－y 14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5－y 24＝10＋m8.再设A (x 3，y 3)，由于△ABC 的重心为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，0， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 33＝m 2，y 1＋y 2＋y 33＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝11m8－10，y 3＝m2.∵点A 在抛物线上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫11m 8－10.∴m ＝8，抛物线C 的方程为y 2＝16x .(2)证明：当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，显然k ≠0，b ≠0，∵PO ⊥OQ ，∴k PO k OQ ＝－1，设P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，∴x P x Q ＋y P y Q ＝0.将直线y ＝kx ＋b 代入抛物线方程，得ky 2－16y ＋16b ＝0， ∴y P y Q ＝16b k .从而x P x Q ＝y 2P y 2Q 162＝b2k2，∴b 2k 2＋16bk＝0.∵k ≠0，b ≠0. ∴直线PQ 的方程为y ＝kx －16k ，PQ 过点(16,0)； 当PQ 的斜率不存在时，显然PQ ⊥x 轴，又PO ⊥OQ ，∴△POQ 为等腰三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|x |，y 2＝16x ，得P (16,16)，Q (16，－16)，此时直线PQ 过点(16,0)， ∴直线PQ 恒过定点(16,0)．17．解：(1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由题意，有x 20a 2＋y 20b2＝1.①由A (－a,0)，B (a,0)得k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a.由k AP ·k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0.由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22.(2)证明：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 2b2＝1.消去y 0并整理得x 2＝a 2b 2k 2a 2＋b2.②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，于是x 0＝－2a1＋k 2，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋4.由a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4， 即k 2＋1>4，因此k 2>3，所以|k |> 3.。
【新课改】2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测：直线与圆锥曲线(含解析)
课时跟踪检测（五十二） 直线与圆锥曲线1．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条解析：选B 设该抛物线焦点为F ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则|AB |＝|AF |＋|FB |＝x A ＋p2＋x B ＋p2＝x A ＋x B ＋1＝3＞2p ＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．2．(2019·张掖高三诊断)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为103，则|AB |＝( ) A.133B.143 C ．5D.163解析：选D 过抛物线的焦点的弦长公式为|AB |＝p ＋x 1＋x 2.∵p ＝2，∴|AB |＝2＋103＝163. 3．(2018·聊城二模)已知直线l 与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为(2,1)，则直线l 的方程为( )A ．y ＝x －1B ．y ＝－2x ＋5C ．y ＝－x ＋3D ．y ＝2x －3解析：选D 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②①－②得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，由题可知x 1≠x 2.∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝42＝2，即k AB ＝2，∴直线l 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.故选D.4．(2019·厦门模拟)过双曲线C ：x 24－y 29＝1的左焦点作倾斜角为π6的直线l ，则直线l与双曲线C 的交点情况是( )A ．没有交点B ．只有一个交点C ．有两个交点且都在左支上D ．有两个交点分别在左、右两支上解析：选D 直线l 的方程为y ＝33()x ＋13，代入C ：x 24－y 29＝1，整理得23x 2－813x －160＝0，Δ＝(－813)2＋4×23×160＞0，所以直线l 与双曲线C 有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右两支上．5．已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A ，B ，则|AB |＝( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2解析：选C 由题意可设l AB 为y ＝x ＋b ，代入y ＝－x 2＋3得x 2＋x ＋b －3＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝b －3，y 1＋y 2＝x 1＋b ＋x 2＋b ＝－1＋2b .所以AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12＋b ，该点在x ＋y ＝0上，即－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋b ＝0，得b ＝1，所以|AB |＝1＋12·x 1＋x 22－4x 1x 2＝3 2.6．(2019·青岛模拟)已知点A 是抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的对称轴与准线的交点，过点A 作抛物线C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，若△AP Q 的面积为4，则p 的值为( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选D 设过点A 与抛物线相切的直线方程为y ＝kx －p 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －p 2，x 2＝2py得x2－2pkx ＋p 2＝0，由Δ＝4k 2p 2－4p 2＝0，可得k ＝±1， 则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，p 2，P ⎝⎛⎭⎪⎫－p ，p 2，∴△AP Q 的面积为12×2p ×p ＝4，∴p ＝2.故选D.7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，过点P (3,6)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (12,15)，则双曲线C 的离心率为( )A ．2 B.32 C.355D.52解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AB 的中点为N (12，15)，得x 1＋x 2＝24，y 1＋y 2＝30，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式相减得：x 1＋x 2x 1－x 2a2＝y 1＋y 2y 1－y 2b2，则y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝4b 25a 2.由直线AB 的斜率k ＝15－612－3＝1，∴4b 25a 2＝1，则b 2a 2＝54，∴双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝32. 8．(2019·福州模拟)已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交E 于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，MN ⊥y 轴于点N ，若四边形CMNF 的面积等于7，则E 的方程为( )A ．y 2＝x B ．y 2＝2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选C F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线AB 的方程为y ＝x －p2.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p2，可得x 2－3px ＋p 24＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3p ， 则y 1＋y 2＝x 1＋x 2－p ＝2p ，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2，p ，∴N (0，p )，直线MC 的方程为y ＝－x ＋5p 2. ∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5p 2，0，∴四边形CMNF 的面积为S 梯形OCMN －S △ONF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2＋5p 2·p2－12·p 2·p ＝7p24＝7， 又p ＞0，∴p ＝2，即抛物线E 的方程为y 2＝4x .故选C.9．(2018·湖北十堰二模)如图，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的两个分支分别交于点A ，B .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A ．4 B.7 C.233D. 3解析：选B ∵△ABF 2为等边三角形，∴|AB |＝|AF 2|＝|BF 2|，∠F 1AF 2＝60°. 由双曲线的定义可得|AF 1|－|AF 2|＝2a ， ∴|BF 1|＝2a .又|BF 2|－|BF 1|＝2a ，∴|BF 2|＝4a . ∴|AF 2|＝4a ，|AF 1|＝6a .在△AF 1F 2中，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 2|·|AF 1|cos 60°， ∴(2c )2＝(6a )2＋(4a )2－2×4a ×6a ×12，即c 2＝7a 2，∴e ＝c a ＝c 2a 2＝7.故选B. 10．(2019·贵阳模拟)已知双曲线x 2－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，动直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x 2－x 1的最小值为( )A ．2 2B ．2C ．4D ．3 2解析：选A ∵l 与圆相切， ∴原点到直线的距离d ＝|m |1＋k2＝1，∴m 2＝1＋k 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 2＝1得(1－k 2)x 2－2mkx －(m 2＋1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4m 2k 2＋41－k2m 2＋1＝4m 2＋1－k 2＝8＞0，x 1x 2＝1＋m 2k 2－1＜0，∴k 2＜1，∴－1＜k ＜1，由于x 1＋x 2＝2mk 1－k 2，∴x 2－x 1＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝22|1－k 2|＝221－k2，∵0≤k 2＜1，∴当k 2＝0时，x 2－x 1取最小值2 2.故选A.11．(2019·安庆模拟)设抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，点A ，B 在抛物线上，且满足AF ―→＝λFB ―→，若|AF ―→|＝32，则λ的值为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线x 2＝4y 得焦点F 的坐标为(0,1)，准线方程为y ＝－1，∵|AF ―→|＝32，∴y 1＋1＝32，解得y 1＝12，∴x 1＝±2，由抛物线的对称性取x 1＝2， ∴A ⎝⎛⎭⎪⎫2，12，∴直线AF 的方程为y ＝－24x ＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－24x ＋1，x 2＝4y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12或⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝2，∴B (－22，2)，∴|FB ―→|＝2＋1＝3，∵AF ―→＝λFB ―→，∴|AF ―→|＝λ|FB ―→|，∴32＝3λ，解得λ＝12.答案：1212．(2019·武汉调研)已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点．直线P Q 过原点O 且与直线MN 平行，直线P Q 与椭圆交于P ，Q 两点，则|P Q|2|MN |＝________.解析：法一：由题意知，直线MN 的斜率不为0，设直线MN 的方程为x ＝my ＋1，则直线P Q 的方程为x ＝my .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q(x 4，y 4).⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 22＋y 2＝1⇒(m2＋2)y 2＋2my －1＝0⇒y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2. ∴|MN |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝22·m 2＋1m 2＋2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ，x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2－2＝0⇒y 3＋y 4＝0，y 3y 4＝－2m 2＋2. ∴|P Q|＝1＋m 2|y 3－y 4|＝2 2 m 2＋1m 2＋2. 故|P Q|2|MN |＝2 2. 法二：取特殊位置，当直线MN 垂直于x 轴时，易得|MN |＝2b2a＝2，|P Q|＝2b ＝2，则|P Q|2|MN |＝2 2.答案：2 213．(2019·石家庄重中高中摸底)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，直线l ：y ＝3(x －1)，l 与C 交于A ，B 两点，若|AB |＝163，则p ＝________.解析：由⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝3x －1，消去y ，得3x 2－(2p ＋6)x ＋3＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2p ＋63，x 1x 2＝1，所以|AB |＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝22p ＋629－4＝163，所以p ＝2. 答案：214．(2018·深圳二模)设过抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点P (异于原点O )的直线与抛物线y 2＝8px (p ＞0)交于A ，B 两点，直线OP 与抛物线y 2＝8px (p ＞0)的另一个交点为Q ，则S △AB QS △ABO＝________. 解析：设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，解得P ⎝⎛⎭⎪⎫2p k 2，2p k， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝8px ，解得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p k2，8p k ，∴|OP |＝ 4p2k4＋4p2k 2＝2p 1＋k2k 2， |P Q|＝ 36p2k 4＋36p 2k2＝6p 1＋k2k2， ∴S △AB Q S △ABO ＝|P Q||OP |＝3. 答案：315．已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，E 上一点(3，m )到焦点的距离为4. (1)求抛物线E 的方程；(2)过F 作直线l ，交抛物线E 于A ，B 两点，若直线AB 中点的纵坐标为－1，求直线l 的方程．解：(1)抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p2，由抛物线的定义可知3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2 ＝4，解得p ＝2，∴抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)法一：由(1)得抛物线E 的方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0)， 设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，整理得y 2－y 1x 2－x 1 ＝4y 2＋y 1(x 1≠x 2)． ∵线段AB 中点的纵坐标为－1， ∴直线l 的斜率k AB ＝4y 2＋y 1＝4－1×2＝－2， ∴直线l 的方程为y －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0. 法二：由(1)得抛物线E 的方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0)， 设直线l 的方程为x ＝my ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1消去x ，得y 2－4my －4＝0.设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵线段AB 中点的纵坐标为－1， ∴y 1＋y 22 ＝4m2＝－1，解得m ＝－12， ∴直线l 的方程为x ＝－12y ＋1，即2x ＋y －2＝0.16．(2019·佛山模拟)已知直线l 过点P (2,0)且与抛物线E ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 在第四象限，O 为坐标原点．(1)当A 是PC 中点时，求直线l 的方程；(2)以AB 为直径的圆交直线OB 于点D ，求|OB |·|OD |的值． 解：(1)∵A 是PC 的中点，P (2,0)，C 在y 轴上， ∴A 点的横坐标为1，又A 在第四象限，∴A (1，－2)． ∴直线l 的方程为y ＝2x －4. (2)显然直线l 的斜率不为0， 设l的方程为x ＝my ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝4x ，消去x得y 2－4my －8＝0，∴y 1y 2＝－8，故x 1x 2＝y 214·y 224＝4，∵D 在以AB 为直径的圆上，且在直线OB 上，∴AD ―→⊥OD ―→， 设OD ―→＝λOB ―→＝(λx 2，λy 2)，则AD ―→＝OD ―→－OA ―→＝(λx 2－x 1，λy 2－y 1)， ∴AD ―→·OD ―→＝(λx 2－x 1)λx 2＋(λy 2－y 1)λy 2＝0， 即λ2x 22－4λ＋λ2y 22＋8λ＝0，易知λ≠0， ∴λ(x 22＋y 22)＝－4.∴|OB |·|OD |＝x 22＋y 22·λ2x 22＋λ2y 22 ＝|λ|(x 22＋y 22)＝4.17．(2019·广州调研)如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上焦点为F 1，椭圆C 的离心率为12，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，263. (1)求椭圆C 的方程；(2)设过椭圆C 的上顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点B (B 不在y 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与x 轴交于点H ，若F 1B ―→·F 1H ―→＝0，且|MO |＝|MA |，求直线l 的方程．解：(1)因为椭圆C 的离心率为12，所以c a ＝12，即a ＝2c .又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝3c 2，即b 2＝34a 2，所以椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 234a2＝1.把点⎝⎛⎭⎪⎫1，263代入椭圆C 的方程中，解得a 2＝4.所以椭圆C 的方程为y 24＋x 23＝1.(2)由(1)知，A (0,2)，设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 23＋y24＝1，得(3k 2＋4)x 2＋12kx ＝0.设B (x B ，y B )，得x B ＝－12k3k 2＋4， 所以y B ＝－6k 2＋83k 2＋4，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 3k 2＋4，－6k2＋83k 2＋4.设M (x M ，y M )，因为|MO |＝|MA |，所以点M 在线段OA 的垂直平分线上， 所以y M ＝1，因为y M ＝kx M ＋2，所以x M ＝－1k，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，1.设H (x H,0)，又直线HM 垂直于直线l ， 所以k MH ＝－1k，即1－1k－x H＝－1k . 所以x H ＝k －1k，即H ⎝⎛⎭⎪⎫k －1k，0.又F 1(0,1)，所以F 1B ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 3k 2＋4，4－9k 23k 2＋4，F 1H ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k ，－1.因为F 1B ―→·F 1H ―→＝0，所以－12k 3k 2＋4·⎝⎛⎭⎪⎫k －1k －4－9k 23k 2＋4＝0，解得k ＝±263.所以直线l 的方程为y ＝±263x ＋2.。
(江苏专版)2020版高考数学一轮复习 直线与圆锥曲线教案(理)(含解析)苏教版
第九节 直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F x ，y ＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． [小题体验]1．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是________．解析：双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，若直线y ＝kx 与双曲线相交，数形结合得k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23 2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F (2，0)为其右焦点，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C 的方程为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2b2a ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝13．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O为坐标原点，则OA ―→·OB ―→等于________．解析：依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，所以OA ―→·OB ―→＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA ―→·OB ―→＝－13.故OA ―→·OB ―→的值为－13.答案：－131．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．[小题纠偏]1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有________条．解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．答案：32．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点有_______个．解析：因为直线y ＝ba x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行， 所以它与双曲线只有1个交点． 答案：1考点一 直线与圆锥曲线的位置关系重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，离心率为63.过点F 2的直线l (斜率不为0)与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)当四边形MF 1NF 2为矩形时，求直线l 的方程．解：(1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝6，b ＝ 2.故椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1. (2)由题意可知直线l 的斜率存在．设其方程为y ＝k (x －2)， 点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (－x 3，－y 3)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，y ＝k x －2得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0，所以x 1＋x 2＝12k 21＋3k2，则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)＝－4k1＋3k2，所以AB 的中点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 21＋3k 2，－2k 1＋3k 2，因此直线OD 的方程为x ＋3ky ＝0(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3ky ＝0，x 26＋y22＝1，解得y 23＝21＋3k2，x 3＝－3ky 3. 因为四边形MF 1NF 2为矩形， 所以F 2M ―→·F 2N ―→＝0，即(x 3－2，y 3)·(－x 3－2，－y 3)＝0， 所以4－x 23－y 23＝0. 所以4－29k 2＋11＋3k 2＝0. 解得k ＝±33.故直线l 的方程为y ＝±33(x －2)． [由题悟法]1．直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数． 2．判定直线与圆锥曲线位置关系的注意点(1)联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况． (2)判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根．[即时应用](2019·泰州中学高三学情调研) 已知椭圆的离心率为22，焦距为2，直线y ＝kx (x ≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，M 为其右准线与x 轴的交点，直线AM ，BM 分别与椭圆C 交于A 1，B 1两点，记直线A 1B 1的斜率为k 1.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在常数λ，使得k 1＝λk 恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由椭圆的焦距2c ＝2，得c ＝1.由椭圆的离心率e ＝c a ＝22，得a ＝2， 则b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 0，y 0)，则B (－x 0，－y 0)，k ＝y 0x 0，2y 20＝2－x 20，又右准线方程为x ＝2，则M (2,0)，直线AM 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 0x 0－2x －2，x22＋y 2＝1，消去y ，整理得[(x 0－2)2＋2y 20]x 2－8y 20x ＋8y 20－2(x 0－2)2＝0，因为方程的两个根为x 0，xA 1，所以x 0·xA 1＝8y 20－2x 0－22x 0－22＋2y 20＝42－x 20－2x 0－22x 0－22＋2－x 20＝4－3x 03－2x 0·x 0， 则xA 1＝4－3x 03－2x 0，yA 1＝y 0x 0－2(xA 1－2)＝y 03－2x 0，则A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3x 03－2x 0，y 03－2x 0，同理可得B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3x 03＋2x 0，－y 03＋2x 0，则k 1＝－6y 02x 0＝－3k ， 即存在λ＝－3，使得k 1＝λk 恒成立． 考点二 定点、定值问题重点保分型考点——师生共研[典例引领](2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，四点P 1(1,1)，P 2(0，1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．解：(1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称， 故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2＞1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上．因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |＜2，可得A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22.则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)． 将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得 (4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)＞0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋m －1x 1＋x 2x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12.当且仅当m ＞－1时，Δ＞0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．[由题悟法]定点、定值问题的求解策略(1)定点问题的求解策略把直线或曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然直线或曲线过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．(2)定值问题的求解策略在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就是“定值”问题，解决这类问题常通过取特殊值，先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数或者由该等式与变量无关，令其系数等于零即可得到定值．[即时应用](2019·徐州一模)已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C 的一个焦点F 在抛物线y 2＝4x 的准线上，且椭圆C 过点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，32，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 的斜率为12，且不过点P ，设直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1＋k 2为定值．解：(1)抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，由题意知F (－1,0)．设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝1，1a 2＋94b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：因为直线l 的斜率为12，且不过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， 所以可设直线l 的方程为y ＝12x ＋m (m ≠1)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝12x ＋m消去y 得x 2＋mx ＋m 2－3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，故有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4m 2－3＞0，x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－3.所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1－32x 2－1＋⎝⎛⎭⎪⎫y 2－32x 1－1x 1－1x 2－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＋m －32x 2－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋m －32x 1－1x 1－1x 2－1＝x 1x 2＋m －2x 1＋x 2－2m ＋3x 1x 2－x 1＋x 2＋1＝m 2－3＋m －2－m －2m ＋3m 2－3－－m ＋1＝0，所以k 1＋k 2为定值0. 考点三 最值、范围问题重点保分型考点——师生共研[典例引领](2018·苏北四市期末)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线的距离为6 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线PA 交y 轴于点M ，过点F 作MF 的垂线，交y 轴于点N .①当直线PA 的斜率为12时，求△FMN 的外接圆的方程；②设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求△AP Q 的面积的最大值．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＋a 2c ＝62，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝22，则b ＝22，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.(2)由题意可设直线PA 的方程为y ＝k (x ＋4)，k ＞0，则M (0，4k )， 所以k MF ＝0－4k 22－0＝－2k ，k FN ＝12k ，所以直线FN 的方程为y ＝12k(x －22)，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2k .①当直线PA 的斜率为12，即k ＝12时，M (0,2)，N (0，－4)，F (22，0)，因为MF ⊥FN ，所以圆心为(0，－1)，半径为3， 所以△FMN 的外接圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝9.②联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋4，x 216＋y28＝1消去y ，整理得(1＋2k 2)x 2＋16k 2x ＋32k 2－16＝0，解得x 1＝－4或x 2＝4－8k 21＋2k 2，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－8k 21＋2k 2，8k 1＋2k 2，又直线AN 的方程为y ＝－12k (x ＋4)，同理可得，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－41＋2k 2，－8k 1＋2k 2，所以P ，Q 关于原点对称，即P Q 过原点．所以△AP Q 的面积S ＝12OA ·(y P －y Q )＝2×16k 1＋2k 2＝322k ＋1k≤82， 当且仅当2k ＝1k ，即k ＝22时取“＝”．所以△AP Q 的面积的最大值为8 2.[由题悟法]圆锥曲线中的最值问题解决方法(1)代数法：从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值．(2)几何法：从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值．[即时应用]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，过它的两个焦点F 1，F 2分别作直线l 1与l 2，l 1交椭圆于A ，B 两点，l 2交椭圆于C ，D 两点，且l 1⊥l 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形ABCD 的面积S 的取值范围．解：(1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，将点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32的坐标代入椭圆方程得c 2＝1，故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)若l 1与l 2中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，此时四边形的面积为S ＝6.若l 1与l 2的斜率都存在，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k.不妨设直线l 1的方程为y ＝k (x ＋1)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 24＋y23＝1，消去y 整理得，(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，Δ＝64k 4－4(3＋4k 2)(4k 2－12)＝144k 2＋144＞0，所以x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1·x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝12k 2＋14k 2＋3， 所以AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12k 2＋14k 2＋3， 同理可得CD ＝12k 2＋13k 2＋4， 所以S ＝12AB ·CD ＝721＋k224k 2＋3·3k 2＋4， 令k 2＝t ∈(0，＋∞)， 所以S ＝721＋t24t ＋3·3t ＋4＝612t 2＋25t ＋12－6t12t 2＋25t ＋12＝6－612t ＋12t＋25≥6－649＝28849，所以S ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫28849，6.综上可知，四边形ACBD 面积的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤28849， 6.一保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·徐州第一中学检测)若双曲线x 29－y 24＝1与直线y ＝kx －1有且仅有一个公共点，则这样的直线有______条．解析：把直线y ＝kx －1代入双曲线x 29－y 24＝1中，消去y ，得(4－9k 2)x 2＋18kx －45＝0，当4－9k 2＝0，即k ＝±23时，直线与双曲线相交，有一个交点；当4－9k 2≠0，即k ≠±23时，令Δ＝0，得182k 2＋4(4－9k 2)×45＝0，解得k ＝±53，此时直线与双曲线相切，有一个交点． 综上，k 的值有4个，即这样的直线有4条． 答案：42．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为M ，N ，点P 在C 上，且直线PN 的斜率是－14，则直线PM 的斜率为________．解析：设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，直线PM 的斜率k PM ＝y 0x 0＋2，直线PN 的斜率k PN ＝y 0x 0－2，可得k PM ·k PN ＝y 20x 20－4＝－34，故k PM ＝－34·1k PN＝3. 答案：33．已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与椭圆16x 2＋25y 2＝400的左焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且AK ＝2AF ，则点A 的横坐标为________．解析：16x 2＋25y 2＝400可化为x 225＋y 216＝1，则椭圆的左焦点为F (－3,0)，又抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p2，所以p2＝－3，即p ＝－6，即y 2＝－12x ，K (3,0)．设A (x ，y )，则由AK ＝2AF 得(x －3)2＋y 2＝2[(x ＋3)2＋y 2]，即x 2＋18x ＋9＋y 2＝0， 又y 2＝－12x ，所以x 2＋6x ＋9＝0，解得x ＝－3. 答案：－34．(2019·江都中学检测)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，若双曲线的离心率为2，O 为坐标原点，△AOB 的面积为33，则p ＝________. 解析：∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程是y ＝±bax ，抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程是x ＝－p2，∴A ，B 两点的纵坐标分别是y ＝±pb2a ，∵双曲线的离心率为2，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝3，则ba＝3， ∴A ，B 两点的纵坐标分别是y ＝±pb 2a ＝±3p 2，又△AOB 的面积为33， ∴12×3p ×p 2＝33，解得p ＝233. 答案：2335．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是___________．解析：设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1， 两式相减并化简得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24y 1＋y 2. 又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12， 故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0. 答案：x ＋2y －8＝06．(2018·海门中学检测)如图，过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线l 与抛物线和圆x 2＋(y －1)2＝1交于A ，B ，C ，D 四点，则AB ―→·DC ―→＝________.解析：不妨设直线AB 的方程为y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，y ＝14x 2，解得x ＝±2，则A (－2,1)，D (2,1)，因为B (－1,1)，C (1,1)，所以AB ―→＝(1,0)，DC ―→＝(－1,0)，所以AB ―→·DC ―→＝－1.答案：－17．(2019·宁海中学调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，点A ，B 1，B 2，F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB 2与直线B 1F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为________．解析：根据题意得，直线AB 2的方程为：y ＝b ax ＋b ， 直线B 1F 的方程为：y ＝b cx －b ， 联立两直线方程解得x ＝2aca －c. 又由题意可得2ac a －c ＝a2c ，化简得2c 2＋ac －a 2＝0， 即2e 2＋e －1＝0， 又0＜e ＜1，解得e ＝12.答案：128．已知直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且AB ＝12，若M 为抛物线C 的准线上一点，则△ABM 的面积为________．解析：由题意知，抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，对称轴为x 轴，准线为x ＝－p2.因为直线l 与x 轴垂直，所以AB ＝2p ＝12，p ＝6，又点M 在抛物线C 的准线上，所以点M 到直线AB 的距离为6，所以△ABM 的面积S ＝12×6×12＝36.答案：369．(2018·镇江期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，线段P Q 的中点为H ，O 为坐标原点，且OH ＝1，求△PO Q 面积的最大值．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，3a 2＋14b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设l 与x 轴的交点为D (n,0)，直线l ：x ＝my ＋n ，P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，x 24＋y 2＝1消去x ，整理得(4＋m 2)y 2＋2mny ＋n 2－4＝0，所以y 1＋y 2＝－2mn 4＋m 2，y 1y 2＝n 2－44＋m 2，故y 1＋y 22＝－mn 4＋m 2，x 1＋x 22＝my 1＋y 2＋2n2＝4n4＋m2， 即H ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n 4＋m2，－mn 4＋m 2， 由OH ＝1，得n 2＝4＋m 2216＋m2， 则S △PO Q ＝12OD |y 1－y 2|＝12|n ||y 1－y 2|.令T ＝n 2(y 1－y 2)2＝n 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝1924＋m216＋m22，设t ＝4＋m 2(t ≥4)，则4＋m216＋m22＝t t 2＋24t ＋144＝1t ＋144t＋24≤12t ·144t＋24＝148， 当且仅当t ＝144t，即t ＝12时，S △PO Q ＝1，所以△PO Q 面积的最大值为1.10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆C ：x 24＋y 2＝1的左顶点A 作直线l ，与椭圆C 和y 轴正半轴分别交于点P ，Q.(1)若AP ＝P Q ，求直线l 的斜率；(2)过原点O 作直线l 的平行线，与椭圆C 交于点M ，N ，求证：AP ·A QMN 2为定值． 解：(1)依题意，椭圆C 的左顶点A (－2,0)， 设直线l 的斜率为k (k ＞0)，点P 的横坐标为x P ， 则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0，则－2·x P ＝16k 2－44k 2＋1，从而x P ＝2－8k21＋4k2.因为AP ＝P Q ，所以x P ＝－1.所以2－8k 21＋4k 2＝－1，解得k ＝32(负值舍去)．(2)证明：设点N 的横坐标为x N .结合(1)知，直线MN 的方程为y ＝kx .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1，得x 2N ＝41＋4k2. 从而AP ·A Q MN 2＝2x P ＋22x N2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋24×41＋4k2＝12(定值)． 二上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·苏州调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，椭圆上的动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知过点M (0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以线段AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．解：(1)由题意得ca ＝22，故a ＝2c . 又椭圆上的动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)， 所以a －c ＝3(2－1)，所以c ＝3，a ＝32，所以b 2＝a 2－c 2＝9， 所以椭圆C 的标准方程为x 218＋y 29＝1.(2)当直线l 的斜率为0时，对于x 218＋y 29＝1，令y ＝－1，得x ＝±4，此时以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝16.当直线l 的斜率不存在时，以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝9.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y ＋12＝16，x 2＋y 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3，即两圆的交点为(0,3)，记T (0,3)．猜想以线段AB 为直径的圆恒过定点T (0,3)．当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 218＋y29＝1，得(1＋2k 2)x 2－4kx －16＝0，所以Δ＝(－4k )2＋64(1＋2k 2)＝144k 2＋64＞0，x 1＋x 2＝4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－161＋2k2. 因为TA ―→·TB ―→＝(x 1，y 1－3)·(x 2，y 2－3)＝x 1x 2＋y 1y 2－3(y 1＋y 2)＋9＝x 1x 2＋(kx 1－1)(kx 2－1)－3(kx 1－1＋kx 2－1)＋9＝(k 2＋1)x 1x 2－4k (x 1＋x 2)＋16＝－16k 2＋11＋2k2－16k 21＋2k 2＋16＝－161＋2k21＋2k2＋16＝0，所以TA ⊥TB ，故以线段AB 为直径的圆过点T (0,3)．综上，以线段AB 为直径的圆恒过定点(0,3)．2．(2019·盐城模拟)如图，已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a＞b ＞0)的左、右焦点，点P (－2,3)是椭圆C 上一点，且PF 1⊥x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)设圆M ：(x －m )2＋y 2＝r 2(r ＞0)．①设圆M 与线段PF 2交于A ，B 两点，若MA ―→＋MB ―→＝MP ―→＋MF 2―→，且AB ＝2，求r 的值； ②设m ＝－2，过点P 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于G ，H 两点(均异于点P )．试问：是否存在这样的正数r ，使得G ，H 两点恰好关于坐标原点O 对称？若存在，求出r 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)因为点P (－2,3)是椭圆C 上一点，且PF 1⊥x 轴， 所以椭圆的半焦距c ＝2，由c 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，所以b 2a ＝a 2－4a＝3， 化简得a 2－3a －4＝0，解得a ＝4，所以b 2＝12， 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)①因为MA ―→＋MB ―→＝MP ―→＋MF 2―→， 所以MA ―→－MP ―→＝MF 2―→－MB ―→，即PA ―→＝BF 2―→. 所以线段PF 2与线段AB 的中点重合(记为点Q)，由(1)知Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32. 因为圆M 与线段PF 2交于A ，B 两点， 所以k M Q ·k AB ＝k M Q ·kPF 2＝－1，即0－32m ·3－0－2－2＝－1，解得m ＝－98， 所以M Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－98－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－322＝158，又AB ＝2，所以r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1582＋12＝178.②假设存在正数r 满足题意．由G ，H 两点恰好关于原点对称，设G (x 0，y 0)，则H (－x 0，－y 0)，不妨设x 0＜0. 因为P (－2,3)，m ＝－2，所以两条切线的斜率均存在， 设过点P 与圆M 相切的直线的斜率为k ，则切线方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0， 由该直线与圆M 相切，得r ＝31＋k2，即k ＝±9－r2r 2，所以两条切线的斜率互为相反数，即k PG ＝－k PH ， 所以y 0－3x 0＋2＝－－y 0－3－x 0＋2，化简得x 0y 0＝－6，即y 0＝－6x 0， 代入x 2016＋y 2012＝1，化简得x 40－16x 20＋48＝0， 解得x 0＝－2(舍去)或x 0＝－23， 所以y 0＝3，所以G (－23，3)，H (23，－3)， 所以k PG ＝3－3－2＋23＝32，所以r ＝31＋⎝⎛⎭⎪⎫322＝677. 故存在满足条件的正数r ，且r ＝677.命题点一 椭圆1.(2018·浙江高考)已知点P (0,1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m ＞1)上两点A ，B 满足AP ―→＝2PB ―→，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP ―→＝2PB ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝2y 2－1，即x 1＝－2x 2，y 1＝3－2y 2. 因为点A ，B 在椭圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 224＋3－2y 22＝m ，x224＋y 22＝m ，解得y 2＝14m ＋34，所以x 22＝m －(3－2y 2)2＝－14m 2＋52m －94＝－14(m －5)2＋4≤4，所以当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大． 答案：52．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：将y ＝b2代入椭圆的标准方程，得x 2a 2＋b 24b2＝1，所以x ＝±32a ，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2. 又因为F (c,0)，所以BF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2.因为∠BFC ＝90°，所以BF ―→·CF ―→＝0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0， 即c 2－34a 2＋14b 2＝0，将b 2＝a 2－c 2代入并化简，得a 2＝32c 2，所以e 2＝c 2a 2＝23，所以e ＝63(负值舍去)．答案：633．(2017·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标． 解：(1)设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以c a ＝12，2a 2c＝8，解得a ＝2，c ＝1，于是b ＝a 2－c 2＝3， 因此椭圆E 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知，F 1(－1,0)，F 2(1,0)． 设P (x 0，y 0)，因为P 为第一象限的点， 故x 0＞0，y 0＞0.当x 0＝1时，l 2与l 1相交于F 1，与题设不符． 当x 0≠1时，直线PF 1的斜率为y 0x 0＋1，直线PF 2的斜率为y 0x 0－1.因为l 1⊥PF 1，l 2⊥PF 2，所以直线l 1的斜率为－x 0＋1y 0，直线l 2的斜率为－x 0－1y 0， 从而直线l 1的方程为y ＝－x 0＋1y 0(x ＋1)， ① 直线l 2的方程为y ＝－x 0－1y 0(x －1)． ② 由①②，解得x ＝－x 0，y ＝x 20－1y 0，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 0，x 20－1y 0. 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得x 20－1y 0＝±y 0，即x 20－y 20＝1或x 20＋y 20＝1. 又点P 在椭圆E 上，故x 204＋y 203＝1.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 20－y 20＝1，x 204＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝477，y 0＝377；联立⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝1，x 204＋y 23＝1，无解．因此点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫477，377.4．(2018·北京高考)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .(1)求椭圆M 的方程；(2)若k ＝1，求|AB |的最大值；(3)设P (－2,0)，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ，若C ，D 和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－74，14共线，求k .解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝63，2c ＝22，解得a ＝3，b ＝1.所以椭圆M 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝－3m 2，x 1x 2＝3m 2－34.所以|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝2x 2－x 12＝2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝12－3m22. 当m ＝0，即直线l 过原点时，|AB |最大，最大值为 6. (3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由题意得x 21＋3y 21＝3，x 22＋3y 22＝3. 直线PA 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1＋2x ＋2，x 2＋3y 2＝3，得[(x 1＋2)2＋3y 21]x 2＋12y 21x ＋12y 21－3(x 1＋2)2＝0.设C (x C ，y C )，所以x C ＋x 1＝－12y 21x 1＋22＋3y 21＝4x 21－124x 1＋7. 所以x C ＝4x 21－124x 1＋7－x 1＝－12－7x 14x 1＋7.所以y C ＝y 1x 1＋2(x C ＋2)＝y 14x 1＋7. 设D (x D ，y D )，同理得x D ＝－12－7x 24x 2＋7，y D ＝y 24x 2＋7.记直线C Q ，D Q 的斜率分别为k C Q ，k D Q ，则k C Q －k D Q ＝y 14x 1＋7－14－12－7x 14x 1＋7＋74－y 24x 2＋7－14－12－7x 24x 2＋7＋74＝4(y 1－y 2－x 1＋x 2)．因为C ，D ，Q 三点共线，所以k C Q －k D Q ＝0. 故y 1－y 2＝x 1－x 2. 所以直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1.5．(2017·天津高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c,0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c ), △EFA 的面积为b 22.(1)求椭圆的离心率；(2)设点Q 在线段AE 上，|F Q|＝32c ，延长线段F Q 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM ∥Q N ，且直线PM 与直线Q N 间的距离为c ，四边形P Q NM 的面积为3c .①求直线FP 的斜率； ②求椭圆的方程．解：(1)设椭圆的离心率为e . 由已知，可得12(c ＋a )c ＝b22.又由b 2＝a 2－c 2，可得2c 2＋ac －a 2＝0，即2e 2＋e －1＝0. 又因为0＜e ＜1，解得e ＝12.所以椭圆的离心率为12.(2)①依题意，设直线FP 的方程为x ＝my －c (m ＞0)， 则直线FP 的斜率为1m.由(1)知a ＝2c ，可得直线AE 的方程为x 2c ＋yc ＝1，即x ＋2y －2c ＝0，与直线FP 的方程联立， 可解得x ＝2m －2c m ＋2，y ＝3cm ＋2，即点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2m －2c m ＋2，3c m ＋2.由已知|F Q|＝32c ，有⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m －2c m ＋2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c m ＋22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22，整理得3m 2－4m ＝0，所以m ＝43，即直线FP 的斜率为34. ②由a ＝2c ，可得b ＝3c ，故椭圆方程可以表示为x 24c 2＋y 23c2＝1.由①得直线FP 的方程为3x －4y ＋3c ＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋3c ＝0，x 24c 2＋y 23c2＝1消去y ，整理得7x 2＋6cx －13c 2＝0，解得x ＝c 或x ＝－13c7(舍去)．因此可得点P ⎝⎛⎭⎪⎫c ，3c 2，进而可得|FP |＝c ＋c2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22＝5c2， 所以|P Q|＝|FP |－|F Q|＝5c 2－3c2＝c .由已知，线段P Q 的长即为PM 与Q N 这两条平行直线间的距离， 故直线PM 和Q N 都垂直于直线FP . 因为Q N ⊥FP ，所以|Q N |＝|F Q |·tan∠Q FN ＝3c 2×34＝9c8，所以△F Q N 的面积为12|F Q||Q N |＝27c232，同理，△FPM 的面积等于75c232，由四边形P Q NM 的面积为3c ， 得75c 232－27c 232＝3c ，整理得c 2＝2c . 又由c ＞0，得c ＝2. 所以椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.命题点二 双曲线1.(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值为________． 解析：∵双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0， ∴焦点F (c,0)到渐近线的距离d ＝|bc ±0|b 2＋a 2＝b ，∴b ＝32c ，∴a ＝c 2－b 2＝12c ，∴e ＝ca＝2. 答案：22．(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．解析：由双曲线的标准方程，知a 2＝7，b 2＝3，所以c 2＝a 2＋b 2＝10， 所以c ＝10，从而焦距2c ＝210. 答案：2103．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．解析：由题意得，双曲线的右准线x ＝32与两条渐近线y ＝±33x 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±32.不妨设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2， 则F 1(－2,0)，F 2(2,0)， 故四边形F 1PF 2Q 的面积是 12|F 1F 2|·|P Q|＝12×4×3＝2 3. 答案：2 34．(2018·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a ＞0)的离心率为52，则a ＝________.解析：由e ＝ca＝a 2＋b 2a 2，得a 2＋4a 2＝54， ∴a 2＝16. ∵a ＞0，∴a ＝4. 答案：45．(2018·全国卷Ⅲ改编)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为________．解析：法一：不妨设一条渐近线的方程为y ＝b ax ， 则F 2到y ＝b ax 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b .在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ， 所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中， 根据余弦定理得 cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－6a22ac＝－cos ∠POF 2＝－a c，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca＝ 3. 法二：如图，过点F 1向OP 的反向延长线作垂线，垂足为P ′，连接P ′F 2，由题意可知，四边形PF 1P ′F 2为平行四边形，且 △PP ′F 2是直角三角形．因为|F 2P |＝b ，|F 2O |＝c ，所以|OP |＝a .又|PF 1|＝6a ＝|F 2P ′|，|PP ′|＝2a ，所以|F 2P |＝2a ＝b ，所以c ＝a 2＋b 2＝3a ，所以e ＝c a＝ 3.答案： 36．(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点，若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．解析：所求的c 的最大值就是双曲线的一条渐近线x －y ＝0与直线x －y ＋1＝0的距离，此距离d ＝12＝22. 答案：22命题点三 抛物线1.(2017·全国卷Ⅱ改编)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为________．解析：法一：由题意，得F (1,0)， 则直线FM 的方程是y ＝3(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝3x －1，y 2＝4x ，得x ＝13或x ＝3.由M 在x 轴的上方，得M (3,23)， 由MN ⊥l ，得|MN |＝|MF |＝3＋1＝4.又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°， 因此△MNF 是边长为4的等边三角形， 所以点M 到直线NF 的距离为4×32＝2 3.法二：依题意，得直线FM 的倾斜角为60°， 则|MN |＝|MF |＝21－cos 60°＝4.又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°， 因此△MNF 是边长为4的等边三角形， 所以点M 到直线NF 的距离为4×32＝2 3. 答案：2 32．(2018·北京高考)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．解析：由题知直线l 的方程为x ＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2a )(a ＞0)． 又直线被抛物线截得的线段长为4， 所以4a ＝4，即a ＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)． 答案：(1,0)3．(2017·天津高考)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________________．解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C (－1，a )(a ＞0)，则A (0，a )． 又F (1,0)，所以AC ―→＝(－1,0)，AF ―→＝(1，－a )， 由题意得AC ―→与AF ―→的夹角为120°， 故cos 120°＝－11×1＋－a2＝－12，解得a ＝3， 所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1. 答案：(x ＋1)2＋(y －3)2＝14．(2017·浙江高考)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜x ＜32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|PA |·|P Q|的最大值．解：(1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12＜x ＜32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．(2)设直线AP 的斜率为k ，则直线B Q 的斜率为－1k.则直线AP 的方程为y －14＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即kx －y ＋12k ＋14＝0，直线B Q 的方程为y －94＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，即x ＋ky －94k －32＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标x Q ＝－k 2＋4k ＋32k 2＋1. 因为|PA |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ 1＋k 2(k ＋1)，|P Q|＝1＋k 2(x Q －x )＝－k －1k ＋12k 2＋1，所以|PA |·|P Q|＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减， 因此当k ＝12时，|PA |·|P Q|取得最大值2716.命题点四 圆锥曲线中的综合问题1．(2018·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点⎝⎛⎭⎪⎫3，12，焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，圆O 的直径为F 1F 2.(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为267，求直线l 的方程． 解：(1)因为椭圆C 的焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．又点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b2＝1，a 2－b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.因为圆O 的直径为F 1F 2， 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝3.(2)①设直线l 与圆O 相切于点P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，则x 20＋y 20＝3， 所以直线l 的方程为y ＝－x 0y 0(x －x 0)＋y 0，即y ＝－x 0y 0x ＋3y 0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－x 0y 0x ＋3y消去y ，得(4x 20＋y 20)x 2－24x 0x ＋36－4y 20＝0.(*)因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝(－24x 0)2－4(4x 20＋y 20)·(36－4y 20)＝48y 20(x 20－2)＝0. 因为x 0＞0，y 0＞0，所以x 0＝2，y 0＝1. 所以点P 的坐标为(2，1)． ②因为△OAB 的面积为267，所以12AB ·OP ＝267，从而AB ＝427.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(*)得x 1,2＝24x 0± 48y 20x 20－224x 20＋y 20， 所以AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 20y 20·48y 20x 20－24x 20＋y 202. 因为x 20＋y 20＝3，所以AB 2＝16x 20－2x 20＋12＝3249， 即2x 40－45x 20＋100＝0，解得x 20＝52(x 20＝20舍去)，则y 20＝12， 因此P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫102，22. 所以直线l 的方程为y －22＝－5⎝ ⎛⎭⎪⎫x －102， 即y ＝－5x ＋3 2.2．(2017·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. (1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A )，直线B Q 与x 轴相交于点D .若△APD 的面积为62，求直线AP 的方程． 解：(1)设点F 的坐标为(－c,0)，依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，p 2＝a ，a －c ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，c ＝12，p ＝2， 于是b 2＝a 2－c 2＝34. 所以椭圆的方程为x 2＋4y 23＝1，抛物线的方程为y 2＝4x . (2)设直线AP 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，与直线l 的方程x ＝－1联立，可得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－2m ，故点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2m .联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋1，x 2＋4y 23＝1消去x ， 整理得(3m 2＋4)y 2＋6my ＝0，解得y ＝0或y ＝－6m 3m 2＋4. 由点B 异于点A ，可得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4，－6m 3m 2＋4. 由Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2m ，可得直线B Q 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 3m 2＋4－2m (x ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2m ＝0，令y ＝0，解得x ＝2－3m 23m 2＋2，故点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3m23m 2＋2，0.所以|AD |＝1－2－3m 23m 2＋2＝6m23m 2＋2.又因为△APD 的面积为62， 故12×6m 23m 2＋2×2|m |＝62，整理得3m 2－26|m |＋2＝0，解得|m |＝63，所以m ＝±63.所以直线AP 的方程为3x ＋6y －3＝0或3x －6y －3＝0.。
2020版高考数学一轮复习课后限时集训47直线与圆锥曲线含解析理201906273100
AB为圆
C：( x－ 1) 2＋ y2＝1 的任一条直径，
→→ 则 PA·PB
的取值范围是 ________．
[3,151,0) 为椭圆的右焦点， PA· PB＝ ( PC＋ CA) ·（PC＋ CB) ＝( PC＋CA) ·（PC
→ →→
→
→
→→ →
－ CA) ＝ PC2 － CA2 ＝ | PC| 2 － 1 ，显然 | PC| ∈［a－ c ， a＋ c] ＝ [2,4] ，所以 PA· PB＝ | PC| 2 －
去
x得
ky2－ 4y－ 4k＝ 0，设
A( x1， y1) ， B( x2， y2) ，所以
4 y1＋ y2＝k， y1y2＝－ 4，所以 | y1－y2|
16
1
16
1
＝ k2 ＋ 16，所以△ AOB的面积为 2×1× k2 ＋ 16＝ 6，解得 k＝± 2，所以 | AB| ＝ 1＋ k2
| y1－ y2| ＝ 6，故选 A.]
C的方程为 ( ) B．y2＝ 2x D．y2＝－ 2x
B
[ 设 A( x1，y1) ，B( x2，y2) ，抛物线方程为
y2＝ 2px，则
y21 ＝ 2 px1， y22 ＝ 2 px2，
两式相减可得 2p
y1－ y2
＝
x1－
x
·（y1＋
2
y2)
＝
k AB· 2＝
2，即可得
p＝ 1，∴抛物线
C 的方程为
55 －4×０ ＝ 3 .]
1 7．(2019 ·沧州百校联盟 ) 过点 M(1,1) 作斜率为－ 的直线与椭圆
2
x2 y2 C： a2＋ b2 ＝ 1( a>b>0)
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课后限时集训(四十七)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0A [因为直线y ＝ba x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点．]2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( )A.12B.22C.32 D.55C [设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知y M ＝－b 2a 2k x M ，代入k ＝1，M (－4,1)，解得b 2a 2＝14，e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝32，故选C.]3．抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点．若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2x C ．x 2＝2yD ．y 2＝－2xB [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减可得2p＝y 1－y 2x 1－x 2·(y 1＋y 2)＝k AB ·2＝2，即可得p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x .] 4．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，设O为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13B [依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝t a n 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，∴OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.]5．(2018·太原一模)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为6，则|AB |＝( )A ．6B ．8C ．12D ．16A [由题意知抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，易知当直线AB 垂直于x 轴时，△AOB 的面积为2，不满足题意，所以可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －4k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝16k 2＋16，所以△AOB 的面积为12×1×16k2＋16＝6，解得k ＝±2，所以|AB |＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝6，故选A.]二、填空题6．已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．553[由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1,0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －，x 25＋y24＝1，消去y ，整理得3x 2－5x ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0.则|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝＋22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553.] 7．(2019·沧州百校联盟)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．22 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b2＝1①， x 22a 2＋y 22b2＝1②，①②两式相减并整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.把已知条件代入上式得，－12＝－b 2a 2×22，∴b 2a 2＝12，故椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝22.] 8．P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，AB 为圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的任一条直径，则PA →·PB→的取值范围是________．[3,15] [圆心C (1,0)为椭圆的右焦点，PA →·PB →＝(PC →＋CA →)·(PC →＋CB →)＝(PC →＋CA →)·(PC →－CA →)＝PC →2－CA →2＝|PC →|2－1，显然|PC →|∈[a －c ，a ＋c ]＝[2,4]，所以PA →·PB →＝|PC →|2－1∈[3,15]．]三、解答题9. 如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．[解] 设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x＋2k 2－2＝0.因为直线AB 过椭圆的左焦点F ，所以方程有两个不等实根，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，所以AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2.因为k ≠0，所以－12<x G <0，所以点G 横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点为F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．[解] (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ，消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <23， ∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m3，∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，∴m ＝±355.B 组 能力提升1．(2019·黑龙江松原模拟)已知P 是圆C ：x 2＋y 2＝4上的动点，P 在x 轴上的射影为P ′，点M 满足PM →＝MP ′→，当点P 在圆C 上运动时，点M 形成的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点A (0,2)的直线l 与曲线E 相交于点C ，D ，并且AC →＝35AD →，求直线l 的方程．图①[解] (1)如图①，设M (x ，y )，则P (x,2y )在圆C ：x 2＋y 2＝4上． 所以x 2＋4y 2＝4，即曲线E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)经检验，当直线l ⊥x 轴时，题目条件不成立，所以直线l 的斜率存在(如图②)．设直线l ：y ＝kx ＋2，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋2，得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0.Δ＝(16k )2－4(1＋4k 2)·12＞0，得k 2＞34.图②x 1＋x 2＝－16k1＋4k2，① x 1x 2＝121＋4k2.② 又由AC →＝35AD →，得x 1＝35x 2，将它代入①②得k 2＝1，k ＝±1⎝ ⎛⎭⎪⎫满足k 2＞34，所以直线l 的斜率为k ＝±1，所以直线l的方程为y ＝±x ＋2.2．(2019·河南濮阳期末)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点．设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．[解] 显然直线x ＝0不满足题设条件，可设直线l ：y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 24＋y 2＝1消去y ，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋14x 2＋4kx ＋3＝0，∴x 1＋x 2＝－4k k 2＋14，x 1·x 2＝3k 2＋14，由Δ＝(4k )2－4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋14×3＝4k 2－3＞0得，k ＞32或k ＜－32.①又∠AOB 为锐角，∴cos∠AOB ＞0，∴OA →·OB →＞0， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＞0.又y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝3k2k 2＋14＋－8k 2k 2＋14＋4＝－k 2＋1k 2＋14，∴3k 2＋14＋－k 2＋1k 2＋14＞0，即k 2＜4，∴－2＜k ＜2.②由①②得，－2＜k ＜－32或32＜k ＜2. 故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.。