2015-2016学年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷(理科)
高三数学上学期期末试卷(含解析)-人教版高三全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市正定中学高三（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x|x＜3}，N={x|x＞﹣1}，全集U=R，则∁U（M∩N）=（）A．{x|x≤﹣1} B．{x|x≥3} C．{x|0＜x＜3} D．{x|x≤﹣1或x≥3}2．已知=1+i，则复数z在复平面上对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数4．等比数列{a n}中，a1+a2=40，a3+a4=60，那么a7+a8=（）A．9 B．100 C．135 D．805．设函数f（x）=，则f（﹣98）+f（lg30）=（）A．5 B．6 C．9 D．226．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B． C． D．87．过三点A（1，2），B（3，﹣2），C（11，2）的圆交x轴于M，N两点，则|MN|=（）A． B． C． D．8．根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A．0 B．3 C．6 D．129．球O半径为R=13，球面上有三点A、B、C，AB=12，AC=BC=12，则四面体OABC的体积是（）A．60B．50C．60D．5010．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油11．已知双曲线E： =1（a＞0，b＞0）的左，右顶点为A，B，点M在E上，△ABM 为等腰三角形，且顶角θ满足cosθ=﹣，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．12．设函数f′（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导函数，f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，并且当x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0．则使得f（x）＜0成立的x的取值X围是（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣1，1）D．（﹣2，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设向量，是相互垂直的单位向量，向量λ+与﹣2垂直，则实数λ=．14．若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为．15．已知对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32，则m=．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n=（n≥2），其中S n为{a n}的前n项和，则S2016=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos2A=a．（I）求；（Ⅱ）若c2=a2+，求角C．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC=BC=，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD．（Ⅰ）证明：DC1⊥BC；（Ⅱ）设AA1=2，A1B1的中点为P，求点P到平面BDC1的距离．19．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）（Ⅱ）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：60，65，70，75，80，85，90，95，物理分数从小到大排序是：72，77，80，84，88，90，93，95．（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；（ii）若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95根据上表数据，用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由．参考公式：相关系数r=；回归直线的方程是：，其中对应的回归估计值b=，a=，是与x i对应的回归估计值．参考数据：≈457，≈23.5．20．已知P是圆C：x2+y2=4上的动点，P在x轴上的射影为P′，点M满足，当P 在圆上运动时，点M形成的轨迹为曲线E（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）经过点A（0，2）的直线l与曲线E相交于点C，D，并且=，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点x=1处的切线的斜率；（Ⅱ）若当x＞0时，f（x）＞恒成立，求正整数k的最大值．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，等腰梯形ABDC内接于圆，过B作腰AC的平行线BE交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求证：BE=EF．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，求tanα的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，某某数a的最大值．2015-2016学年某某省某某市正定中学高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x|x＜3}，N={x|x＞﹣1}，全集U=R，则∁U（M∩N）=（）A．{x|x≤﹣1} B．{x|x≥3} C．{x|0＜x＜3} D．{x|x≤﹣1或x≥3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出M∩N，从而求出M∩N的补集即可．【解答】解：集合M={x|x＜3}，N={x|x＞﹣1}，全集U=R，则M∩N={x|﹣1＜x＜3}，则∁U（M∩N）={x|x≤﹣1或x≥3}，故选：D．2．已知=1+i，则复数z在复平面上对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解： =1+i，∴=（3+i）（1+i）=2+4i，∴z=2﹣4i，则复数z在复平面上对应点（2，﹣4）位于第四象限．故选：D．3．已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】用二倍角公式把二倍角变为一倍角，然后同底数幂相乘公式逆用，变为二倍角正弦的平方，再次逆用二倍角公式，得到能求周期和判断奇偶性的表示式，得到结论．【解答】解：∵f（x）=（1+cos2x）sin2x=2cos2xsin2x=sin22x==，故选D．4．等比数列{a n}中，a1+a2=40，a3+a4=60，那么a7+a8=（）A．9 B．100 C．135 D．80【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意可得等比数列的公比q，而7+a8=（a1+a2）q6，代值计算可得．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∴q2===，∴a7+a8=（a1+a2）q6=40×=135，故选：C．5．设函数f（x）=，则f（﹣98）+f（lg30）=（）A．5 B．6 C．9 D．22【考点】函数的值．【分析】利用分段函数的性质及对数函数性质、运算法则和换底公式求解．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣98）=1+lg100=3，f（lg30）=10lg30﹣1==3，∴f（﹣98）+f（lg30）=3+3=6．故选：B．6．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B． C． D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为四棱锥，底面为直角梯形，高为侧视图三角形的高．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，棱锥底面为俯视图中的直角梯形，棱锥的高为侧视图中等腰三角形的高．∴四棱锥的高h==2，∴棱锥的体积V==4．故选A．7．过三点A（1，2），B（3，﹣2），C（11，2）的圆交x轴于M，N两点，则|MN|=（）A． B． C． D．【考点】圆的一般方程．【分析】设圆的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣b）2=r2，代入A（1，2），B（3，﹣2），求出b，r，利用勾股定理求出|MN|．【解答】解：设圆的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣b）2=r2，代入A（1，2），B（3，﹣2），可得，解得：b=2，r=5，所以|MN|=2=2，故选：D．8．根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A．0 B．3 C．6 D．12【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，r=12，m=30，n=12，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，r=6，m=12，n=6，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，r=0，m=6，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为6，故选：C；9．球O半径为R=13，球面上有三点A、B、C，AB=12，AC=BC=12，则四面体OABC的体积是（）A．60B．50C．60D．50【考点】球内接多面体．【分析】求出△ABC的外接圆的半径，可得O到平面ABC的距离，计算△ABC的面积，即可求出四面体OABC的体积．【解答】解：∵AB=12，AC=BC=12，∴cos∠ACB==﹣，∴∠ACB=120°，∴△ABC的外接圆的半径为=12，∴O到平面ABC的距离为5，∵S△ABC==36，∴四面体OABC的体积是=60．故选：A．10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．【解答】解：对于选项A，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油效率大于5千米每升，故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米，故A错误；对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确．11．已知双曲线E： =1（a＞0，b＞0）的左，右顶点为A，B，点M在E上，△ABM 为等腰三角形，且顶角θ满足cosθ=﹣，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据△ABM是顶角θ满足cosθ=﹣的等腰三角形，得出|BM|=|AB|=2a，cos∠MBx=，进而求出点M的坐标，再将点M代入双曲线方程即可求出离心率．【解答】解：不妨取点M在第一象限，如右图：∵△ABM是顶角θ满足cosθ=﹣的等腰三角形，∴|BM|=|AB|=2a，cos∠MBx=，∴点M的坐标为（a+，2a•），即（，），又∵点M在双曲线E上，∴将M坐标代入坐标得﹣=1，整理上式得，b2=2a2，而c2=a2+b2=3a2，∴e2==，因此e=，故选：C．12．设函数f′（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导函数，f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，并且当x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0．则使得f（x）＜0成立的x的取值X围是（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣1，1）D．（﹣2，2）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．【分析】令g（x）=xf（x），判断出g（x）是R上的奇函数，根据函数的单调性以及奇偶性求出f（x）＜0的解集即可．【解答】解：令g（x）=xf（x），g′（x）=xf′（x）+f（x），当x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0，∴g（x）在（﹣1，1）递减，而g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=﹣xf（x）=﹣g（x），∴g（x）在R是奇函数，∵f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，即g（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，+∞）递增，g（0）=0，g（2）=0，g（﹣2）=0，如图示：，x≥0时，f（x）＜0，即xf（x）＜0，由图象得：0≤x＜2，x＜0时，f（x）＜0，即xf（x）＞0，由图象得：﹣2＜x＜0，综上：x∈（﹣2，2），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设向量，是相互垂直的单位向量，向量λ+与﹣2垂直，则实数λ= 2 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量垂直，令数量积为零列方程解出．【解答】解：∵向量，是相互垂直的单位向量，∴=0，．∵λ+与﹣2垂直，∴（λ+）•（﹣2）=λ﹣2=0．解得λ=2．故答案为2．14．若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为 2 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=x可得．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图△ABC及内部），变形目标函数可得y=x﹣z，平移直线y=x可知，当直线经过点A（2，0）时，截距取最小值，z取最大值，代值计算可得z的最大值为2，故答案为：2．15．已知对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32，则m= 0 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】在所给的等式中，分别令x=1、x=﹣1，可得2个等式，再结合a1+a3+a5+a7=32，求得m的值．【解答】解：对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32，令x=1，可得（m+1）（1+1）6=a0+a1+a2+…+a7①，再令x=﹣1，可得（m﹣1）（1﹣1）6=0=a0﹣a1+a2+…﹣a7②，由①﹣②可得 64（m+1）=2（a1+a3+a5+a7）=2×32，∴m=0，故答案为：0．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n=（n≥2），其中S n为{a n}的前n项和，则S2016=．【考点】数列的求和．【分析】通过对a n=（n≥2）变形可知2S n S n﹣1=S n﹣1﹣S n，进而可知数列{}是首项为1、公差为2的等差数列，计算即得结论．【解答】解：∵a n=（n≥2），∴2=2S n a n﹣a n，∴2﹣2S n a n=S n﹣1﹣S n，即2S n S n﹣1=S n﹣1﹣S n，∴2=﹣，又∵=1，∴数列{}是首项为1、公差为2的等差数列，∴S2016==，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos2A=a．（I）求；（Ⅱ）若c2=a2+，求角C．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）由正弦定理化简已知等式，整理即可得解．（II）设b=5t（t＞0），由（I）可求a=3t，由已知可求c=7t，由余弦定理得cosC的值，利用特殊角的三角函数值即可求解．【解答】（本题满分为12分）解：（I）由正弦定理得，，…即，故．…（II）设b=5t（t＞0），则a=3t，于是．即c=7t．…由余弦定理得．所以．…18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC=BC=，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD．（Ⅰ）证明：DC1⊥BC；（Ⅱ）设AA1=2，A1B1的中点为P，求点P到平面BDC1的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由题目条件结合勾股定理，即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，代入运用公式进行计算即可得出答案．【解答】（1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．∵D为AA1的中点，∴DC=DC1．又，可得，∴DC1⊥DC．而DC1⊥BD，DC∩BD=D，∴DC1⊥平面BCD．∵BC⊂平面BCD，∴DC1⊥BC．…（2）解：由（1）知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1A1，∴CA，CB，CC1两两垂直．以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz．由题意知，，．则，，．设是平面BDC1的法向量，则，即，可取．设点P到平面BDC1的距离为d，则．…12分19．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）（Ⅱ）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：60，65，70，75，80，85，90，95，物理分数从小到大排序是：72，77，80，84，88，90，93，95．（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；（ii）若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95根据上表数据，用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由．参考公式：相关系数r=；回归直线的方程是：，其中对应的回归估计值b=，a=，是与x i对应的回归估计值．参考数据：≈457，≈23.5．【考点】线性回归方程．【分析】（I）根据分层抽样原理计算，使用组合数公式得出样本个数；（II）（i）使用乘法原理计算；（ii）根据回归方程计算回归系数，得出回归方程．【解答】解：（I）应选女生位，男生位，可以得到不同的样本个数是．（II）（i）这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀，则需要先从物理的4个优秀分数中选3个与数学优秀分数对应，种数是（或），然后将剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是，根据乘法原理，满足条件的种数是．这8位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有种．故所求的概率．（ii）变量y与x的相关系数．可以看出，物理与数学成绩高度正相关．也可以数学成绩x为横坐标，物理成绩y为纵坐标做散点图如下：从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理与数学成绩高度正相关．设y与x的线性回归方程是，根据所给数据，可以计算出，a=84.875﹣0.66×77.5≈33.73，所以y与x的线性回归方程是．20．已知P是圆C：x2+y2=4上的动点，P在x轴上的射影为P′，点M满足，当P 在圆上运动时，点M形成的轨迹为曲线E（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）经过点A（0，2）的直线l与曲线E相交于点C，D，并且=，求直线l的方程．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（Ⅰ）利用代入法，求曲线E的方程；（Ⅱ）分类讨论，设直线l：y=kx+2与椭圆方程联立，利用韦达定理，向量得出坐标关系，求出直线的斜率，即可求直线l的方程．【解答】解：（I）设M（x，y），则P（x，2y）在圆x2+4y2=4上，所以x2+4y2=4，即…..（II）经检验，当直线l⊥x轴时，题目条件不成立，所以直线l存在斜率．设直线l：y=kx+2．设C（x1，y1），D（x2，y2），则．…△=（16k）2﹣4（1+4k2）•12＞0，得．…．①，…②．…又由，得，将它代入①，②得k2=1，k=±1（满足）．所以直线l的斜率为k=±1．所以直线l的方程为y=±x+2…21．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点x=1处的切线的斜率；（Ⅱ）若当x＞0时，f（x）＞恒成立，求正整数k的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1）即可；（Ⅱ）问题转化为对x＞0恒成立，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出正整数k的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=﹣+，∴…（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，即对x＞0恒成立．即h（x）（x＞0）的最小值大于k．…，，记ϕ（x）=x﹣1﹣ln（x+1）（x＞0）则，所以ϕ（x）在（0，+∞）上连续递增．…又ϕ（2）=1﹣ln3＜0，ϕ（3）=2﹣2ln2＞0，所以ϕ（x）存在唯一零点x0，且满足x0∈（2，3），x0=1+ln（x0+1）．…由x＞x0时，ϕ（x）＞0，h'（x）＞0；0＜x＜x0时，ϕ（x）＜0，h'（x）＜0知：h（x）的最小值为．所以正整数k的最大值为3．…请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，等腰梯形ABDC内接于圆，过B作腰AC的平行线BE交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求证：BE=EF．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）由PA是圆的切线结合切割线定理得比例关系，求得PD，再由角相等得三角形相似：△PAC∽△CBA，从而求得AC的长；（II）欲求证：“BE=EF”，可先分别求出它们的值，比较即可，求解时可结合圆中相交弦的乘积关系．【解答】解：（I）∵PA2=PC•PD，PA=2，PC=1，∴PD=4，…又∵PC=ED=1，∴CE=2，∵∠PAC=∠CBA，∠PCA=∠CAB，∴△PAC∽△CBA，∴，…∴AC2=PC•AB=2，∴…证明：（II）∵，CE=2，而CE•ED=BE•EF，…∴，∴EF=BE．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，求tanα的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）对极坐标方程两边同乘ρ，得到直角坐标方程；（II）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，利用参数意义和根与系数的关系列出方程解出α．【解答】解：（I）∵ρsin2θ=4cosθ，∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．（II）将代入y2=4x，得sin2α•t2+（2sinα﹣4cosα）t﹣7=0，所以，所以，或，即或．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，某某数a的最大值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=﹣时，根据f（x）=的最小值为3，可得lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，不等式得证．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 f（x）≥|a﹣|，可得|a﹣|≥a，由此解得a的X围．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵当a=﹣时，f（x）=|x﹣|+|x+|=的最小值为3，∴lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，∴lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 f（x）=|x﹣|+|x﹣a|≥|（x﹣）﹣（x﹣a）|=|a﹣|，再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a﹣|≥a，∴a﹣≥a，或 a﹣≤﹣a，解得a≤，故a的最大值为．。
2015-2016第一学期高二期末考试理科数学试题及答案
2015-2016学年度高二年级期末教学质量检测理科数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“0x >”是0>”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 2．抛物线24y x =的焦点坐标是A ．(1,0)B ．(0,1)C ．1(,0)16 D ．1(0,)163．与圆8)3()3(22=-+-y x 相切，且在y x 、轴上截距相等的直线有A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 4．设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是A ．若l ∥α，l ∥β，则//αβB ．若//l α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β, //l α，则l ⊥β 5．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<06．设(2,1,3)a x = ，(1,2,9)b y =-，若a 与b 为共线向量，则A ．1x =，1y =B ．12x =，12y =-C ．16x =，32y =-D ．16x =-，32y =7．已知椭圆2215x y m +=的离心率5e =，则m 的值为A ．3B ．3C D ．253或38．如图,在正方体1111ABCD A BC D -中，,,M N P 分别是111,,B B B C CD 的中点，则MN 与1D P 所成角的余弦值为A． BCD ．9．如图，G 是ABC ∆的重心，,,OA a OB b OC c ===，则OG =A ．122333a b c ++B ．221333a b c ++C ．222333a b c ++D ．111333a b c ++10.下列各数中，最小的数是A ．75B ．)6(210 C ．)2(111111 D ．)9(8511．已知双曲线22214x yb-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦 点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A ． B C ．3 D ．512、在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 A 、 11 B 、12 C 、1 D 、15二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分13．若直线x +a y+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a = 14．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 。
2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试卷及答案
2015-2016学年度 第一学期期末质量监测高二数学（理科）试卷一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线023=+-y x 的倾斜角是A.6π B.3π C.23π D.56π 2. 直线l 过点(2,2)P -，且与直线032=-+y x 垂直，则直线l 的方程为 A. 220x y +-= B. 260x y --=C. 260x y --=D. 250x y -+=3. 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为π12, 则该几何体的体积是A. π4B. 12πC. 16πD. 48π 4. 在空间中，下列命题正确的是 A. 如果直线m ∥平面α,直线α⊂n 内,那么m ∥n ;B. 如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC. 如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m α⊥D. 如果平面α⊥平面β，任取直线m α⊂，那么必有m β⊥5. 如果直线013=-+y ax 与直线01)21(=++-ay x a 平行.那么a 等于A. -1B.31 C. 3 D. -1或316. 方程)0(0222≠=++a y ax x 表示的圆A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于直线x y =轴对称D. 关于直线x y -=轴对称7. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是1AA ，AD 的中点，则1CD 与EF 所成角为A. 0︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒8. 如果过点M (-2,0)的直线l 与椭圆1222=+y x 有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是A.]22,(--∞ B.),22[+∞ C.]21,21[-D. ]22,22[-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知双曲线的标准方程为116422=-y x ，则该双曲线的焦点坐标为，_________________渐近线方程为_________________.10. 已知向量)1,3,2(-=a，)2,,5(--=y b 且a b ⊥ ，则y =________.11. 已知点),2,(n m A -，点)24,6,5(-B 和向量(3,4,12)a =-且AB ∥a .则点A 的坐标为________.12. 直线0632=++y x 与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 13. 抛物线x y 82-=上到焦点距离等于6的点的坐标是_________________.14. 已知点)0,2(A ，点)3,0(B ，点C 在圆122=+y x 上，当ABC ∆的面积最小时，点C 的坐标为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，E ，F ,G 分别是AC ，AD ,BC 的中点. 求证：（I ）AB ∥平面EFG ;（II ）平面⊥EFG 平面ABC .16. （本小题共13分）已知斜率为2的直线l 被圆0241422=+++y y x 所截得的弦长为求直线l 的方程.17. （本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAB 平面ABCD ，AB ∥CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，E 为PA 的中点,M 在PD 上(点M 与D P ,两点不重合).（I ） 求证：PB AD ⊥；（II ）若λ=PDPM,则当λ为何值时, 平面⊥BEM 平面PAB ?（III ）在（II ）的条件下,求证：PC ∥平面BEM .18. （本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，PD CD =,E 为PC 的中点. （I ） 求证：AC ⊥PB ； （II ） 求二面角P --BD --E 的余弦值.19. （本小题共14分）已知斜率为1的直线l 经过抛物线22y px =(0)p >的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，4=AB .（I ） 求p 的值；（II ） 设经过点B 和抛物线对称轴平行的直线交抛物线22y px =的准线于点D ，求证：DO A ,,三点共线(O 为坐标原点).20. （本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的左焦点为F ,离心率为33，过点)1,0(M 且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为6. （I ） 求椭圆G 的方程；（II ）设动点P 在椭圆G 上（P 不是顶点），若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 是坐标原点)的斜率的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末质量检测高二数学（理科）试卷参考答案2016.1一、ABB C BA CD二、9.（±52,0），2y x =±10. -411. (1,-2,0)12. 313. (-4,24±)14. （13133，13132） 说明：1.第9题，答对一个空给3分。
2015-2016学年度上学期期末考试高三年级数学理科试卷
2015-2016学年度上学期期末考试高三年级数学理科试卷 命题学校：东北育才一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只 有一项是符合题目要求的）1.已知集和{}0232=+-=x x x A ，{}24log ==x x B ，则=B A ( ) A.{}2,1,2- B.{}2,1 C.{}2,2- D.{}22.若复数()()i a a a z 3322++-+=为纯虚数（i 为虚数单位），则实数a 的值是（ ）A.3-B.13或-C. 1-3或D. 13．已知向量()31,=a ，()m ,2-=b ，若a 与2b a +垂直，则m 的值为（ ）A.1B.1-C.21-D.21 4.直线()0112=+++y a x 的倾斜角的取值范围是（ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,24,0 D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππππ,432,4 5.若数列{}n a 的通项公式是()()231--=n a n n ，则=+⋯++1021a a a （ ）A.15B.12C.12-D.15-6.已知四棱锥ABCD P -的三视图如图所示，则四棱锥ABCD P -的四个侧面中面积最大的值是（ ）A.3B.52C.6D.87.右图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是（ ）A.2>nB.3>nC.4>nD.5>n8.已知集合{}4,3,2,1=A ,{}7,6,5=B ,{}9,8=C .现在从三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成（ ）个集合A.24B.36C.26D.279.已知点()02，P ，正方形ABCD 内接于⊙O :222=+y x ，N M 、分别为边BC AB 、的中点，当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，ON PM ⋅的取值范围为（ ）A.[]11-，B.[]22-， C.[]22-， D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2222-， 10.设双曲线13422=-y x 的左，右焦点分别为21,F F ,过1F 的直线交双曲线左支于B A ,两点，则22AF BF +的最小值为（ ） A.219 B.11 C.12 D.16 11.已知球O 半径为5，设C B A S 、、、是球面上四个点，其中︒=∠120ABC ,2==BC AB ,平面⊥SAC 平面ABC ，则棱锥ABC S -的体积的最大值为（ ） A.33 B.23 C.3 D.33 12．已知函数()1323+-=x x x f ，()⎪⎩⎪⎨⎧≤--->+=0,860,412x x x x x x x g ，则方程()[]0=-a x fg（a 为正实数）的根的个数不可能为（ ）A.个3B.个4C.个5D.个6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设0,0>>b a ，3是a 3与b 3的等比中项，其中b a 11+的最小值为 14.在52⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a x 的二项展开式中，x 的一次项系数是10-，则实数a 的值为 15.设[]m 表示不超过实数m 的最大整数，则在直角坐标平面xOy 上，满足[][]5022=+y x 的点()y x P ,所形成的图形的面积为16.定义区间()(][)[]d c d c d c d c ,,,,、、、的长度均为()c d c d >-，已知事数0>p ，则满足不等式111≥+-xp x 的x 构成的区间长度之和为 三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）已知函数()()R x x x x f ∈--=21cos 2sin 232 (1) 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈125,12ππx 时，求函数()x f 的最小值和最大值 (2) 设ABC ∆的内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，且3=c ，()0=C f ，若向量()A ,sin 1=m 与向量()B ,sin 2=n 共线，求b a ,的值18.（本小题满分12分）某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是31每次测试通过与否互相独立.规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试.（1） 求该学生考上大学的概率；（2） 如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为ξ，求变量ξ的分布列及数学期望ξE .19.（本小题满分12分）如图，在长方形ABCD 中，2=AB ，1=AD ，E 为DC 的中点，现将DAE ∆沿AE 折起，使平面⊥DAE 平面ABCE ，连BE DC DB ,,（1） 求证：ADE BE 平面⊥（2） 求二面角C BD E --的余弦值20．（本小题满分12分） 已知21F F 、分别为椭圆()01:22221>>=+b a bx a y C 的上、下焦点，其中1F 也是抛物线ADEy x C 4:22=的焦点，点M 是1C 与2C 在第二象限的交点，且351=MF (1) 求椭圆1C 的方程； (2) 当过点()3,1P 的动直线l 与椭圆1C 相交于两个不同点B A ,时，在线段AB 上取点Q ，满=证明：点Q 总在某定直线上.21.（本小题满分12分）设函数()x x xa x f ln +=，()323--=x x x g 其中R a ∈. （1） 当2=a 时，求曲线()x f y =在点()()1,1f P 处的切线方程；（2） 若存在[]2,0,21∈x x ，使得()()M x g x g ≥-21成立，求整数M 的最大值；（3） 若对任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21t s 、都有()()t g s f ≥，求a 的取值范围.选做题（请考生从22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，PA 是过点A 的直线，且ABC PAC ∠=∠(1) 求证：PA 是⊙O 的切线； (2) 如果弦CD 交AB 于点E ，8=AC ，5:6:=ED CE ，3:2:=EB AE ，求BCE ∠sin23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ，直线l的极坐标方程为224sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθρ.圆C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=θθsin 22cos 22r y r x ，()0>r 为参数，θ (1) 求圆心C 的一个极坐标；(2) 当r 为何值时，圆C 上的点到直线l 的最大距离为324.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()()R x x x x f ∈-+-=3212(1) 解不等式()5≤x f ；(2) 若()()mx f x g +=1的定义域为R ，求实数m 的取值范围.。
2023-2024学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．椭圆y 22+x 2=1的焦点坐标为（ ） A ．（﹣1，0），（1，0）B ．（0，﹣1），（0，1）C ．（−√3，0），（√3，0）D ．(0，−√3)，(0，√3) 2．抛物线y 2＝x 的准线方程是（ ）A ．x =−12B ．x =−14C ．y =−12D ．y =−143．直线3x +√3y +1=0的倾斜角为（ ）A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°4．已知点P 与A （0，2），B （﹣1，0）共线，则点P 的坐标可以为（ ）A ．（1，﹣1）B ．（1，4）C ．(−12，−1)D ．（﹣2，1） 5．已知P 为椭圆C ：x 24+y 2b 2=1上的动点，A （﹣1，0），B （1，0），且|P A |+|PB |＝4，则b 2＝（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1⊥底面ABC ，则“CB ⊥BB 1”是“CB ⊥AB “的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，点P （﹣2，3，1）到x 轴的距离为（ ）A ．2B ．3C ．√5D ．√10 8．已知双曲线C ：x 2−y 2b 2=1的左右顶点分别为A 1，A 2，右焦点为F ，以A 1F 为直径作圆，与双曲线C 的右支交于两点P ，Q ．若线段PF 的垂直平分线过A 2，则b 2的数值为（ ）A ．3B ．4C ．8D ．910．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，且∠A ＝60°，E ，F 分别为棱AB ，DC 中点．将△BCF 和△ADE 分别沿BF ，DE 折叠，若满足AC ∥平面DEBF ，则线段AC 的取值范围为（ ）A ．[√3，2√3）B ．[√3，2√3]C ．[2，2√3)D ．[2，2√3]二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
2016年北京市海淀区高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2016年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）函数f（x）＝的定义域是（）A．[O，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，1] 2．（5分）某程序的框图如图所示，若输入的z＝i（其中i为虚数单位），则输出的S值为（）A．﹣1B．1C．﹣i D．i3．（5分）若x，y满足，则z＝x+y的最大值为（）A．B．3C．D．44．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）A ．B．C ．D ．5．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，则“{a n}为常数列”是“∀n∈N*，S n ＝na n”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）在极坐标系中，圆C1：ρ＝2cosθ与圆C2：ρ＝2sinθ相交于A，B两点，则|AB|＝（）A．1B．C ．D．27．（5分）已知函数f（x ）＝是偶函数，则下列结论可能成立的是（）A．a ＝，b ＝﹣B．a＝，b ＝C．a ＝，b ＝D．a ＝，b ＝8．（5分）某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示，若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（）A．甲只能承担第四项工作B．乙不能承担第二项工作C．丙可以不承担第三项工作D．丁可以承担第三项工作二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知向量，若，则t＝．10．（5分）在等比数列{a n}中，a2＝2，且，则a1+a3的值为．11．（5分）在三个数2中，最小的数是．12．（5分）已知双曲线C：＝1的一条渐近线l的倾斜角为，且C的一个焦点到l的距离为，则C的方程为．13．（5分）如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个．（ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有种；（ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有种．14．（5分）已知函数f（x），对于实数t，若存在a＞0，b＞0，满足：∀x∈[t﹣a，t+b]，使得|f（x）﹣f（t）|≤2，则记a+b的最大值为H（t）．（1）当f（x）＝2x时，H（0）＝；（2）当f（x）＝x2且t∈[1，2]时，函数H（t）的值域为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，且＝．记∠ACD＝α，∠BCD＝β．（Ⅰ）求证：＝（Ⅱ）若α＝，β＝，AB＝，求BC的长．16．（13分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量； （Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为，，根据样本数据，试估计与的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M 、N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ． （Ⅰ）求证：BC ⊥平面P AB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ，A 四个点在同一个平面内；（Ⅲ）当P A ＝AB ＝2，二面角C ﹣AN ﹣D 的大小为时，求PN 的长．18．（13分）已知函数f（x）＝ln x+﹣1，g（x）＝（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）求函数g（x）的单调区间；（Ⅲ）求证：直线y＝x不是曲线y＝g（x）的切线．19．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A，B两点，且|AB|＝2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧．直线P A，PB与直线x＝4分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x轴交于两点E，F，求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值．20．（13分）给定正整数n（n≥3），集合U n＝{1，2，…，n}．若存在集合A，B，C，同时满足下列条件：①U n＝A∪B∪C，且A∩B＝B∩C＝A∩C＝∅；②集合A中的元素都为奇数，集合B中的元素都为偶数，所有能被3 整除的数都在集合C中（集合C中还可以包含其它数）；③集合A，B，C中各元素之和分别记为S A，S B，S C，有S A＝S B＝S C；则称集合U n为可分集合．（Ⅰ）已知U8为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合A，B，C；（Ⅱ）证明：若n是3 的倍数，则U n不是可分集合；（Ⅲ）若U n为可分集合且n为奇数，求n的最小值．2016年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）函数f（x）＝的定义域是（）A．[O，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，1]【解答】解：要使函数有意义，则需2x﹣1≥0，即为2x≥1，解得，x≥0，则定义域为[0，+∞）．故选：A．2．（5分）某程序的框图如图所示，若输入的z＝i（其中i为虚数单位），则输出的S值为（）A．﹣1B．1C．﹣i D．i【解答】解：模拟执行程序，可得z＝i，n＝1不满足条件n＞5，S＝i1，n＝2不满足条件n＞5，S＝i2，n＝3不满足条件n＞5，S＝i3，n＝4不满足条件n＞5，S＝i4，n＝5不满足条件n＞5，S＝i5，n＝6满足条件n＞5，退出循环，输出S＝i5＝i．故选：D．3．（5分）若x，y满足，则z＝x+y的最大值为（）A．B．3C．D．4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图由z＝x+y得y＝﹣x+y，平移y＝﹣x+y，由图象知当直线y＝﹣x+y经过点A直线的截距最大，此时z最大，由得，即A（1，3），则z＝+3＝，故选：C．4．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）A．B．C．D．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，底面是一个三角形：即俯视图：底是2、高是侧视图的底边，三棱锥的高是侧视图和正视图的高1，∴几何体的体积V＝＝，故选：A．5．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，则“{a n}为常数列”是“∀n∈N*，S n ＝na n”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若{a n}为常数列，则d＝0，则S n＝na n成立，即充分性成立，若S n＝na n，则当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝na n﹣（n﹣1）a n﹣1，即（n﹣1）a n﹣1＝（n﹣1）a n，则a n﹣1＝a n，则{a n}为常数列，即必要性成立．故“{a n}为常数列”是“∀n∈N*，S n＝na n”的充要条件，故选：C．6．（5分）在极坐标系中，圆C1：ρ＝2cosθ与圆C2：ρ＝2sinθ相交于A，B两点，则|AB|＝（）A．1B．C．D．2【解答】解：由ρ＝2cosθ得，ρ2＝2ρcosθ；∴x2+y2＝2x；∴（x﹣1）2+y2＝1；∴该圆表示以（1，0）为圆心，1为半径的圆；由ρ＝2sinθ得，ρ2＝2ρsinθ；∴x2+y2＝2y；∴x2+（y﹣1）2＝1；∴该圆表示以（0，1）为圆心，1为半径的圆；画出这两个圆的图形如图：△ABC2为Rt△，C2A＝C2B＝1；∴．故选：B．7．（5分）已知函数f（x）＝是偶函数，则下列结论可能成立的是（）A．a＝，b＝﹣B．a＝，b＝C．a＝，b＝D．a＝，b＝【解答】解：函数f（x）＝是偶函数，x＝0时，sin a＝cos b，…①可得sin（x+a）＝cos（﹣x+b）＝sin（x+﹣b），…②，当a＝，b＝﹣，满足①，不满足②，A不成立．a＝，b＝，满足①，不满足②，B不正确．a＝，b＝，满足①，满足②，所以C正确．a＝，b＝，不满足①，所以不正确．故选：C．8．（5分）某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示，若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（）A．甲只能承担第四项工作B．乙不能承担第二项工作C．丙可以不承担第三项工作D．丁可以承担第三项工作【解答】解：由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为17+23+14+11+15＝80，但不能同时取得．要使总和最大，甲可以承担第一或四项工作，丙只能承担第三项工作，丁则不可以承担第三项工作，所以丁承担第五项工作；乙若承担第四项工作；戊承担第一项工作，此时效益值总和为17+23+14+11+13＝78；乙若不承担第二项工作，承担第一项，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，此时效益值总和为17+22+14+11+15＝79，所以乙不承担第二项工作，故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知向量，若，则t＝±3．【解答】解：∵向量，若，则9﹣t2＝0，求得t＝±3，故答案为：±3．10．（5分）在等比数列{a n}中，a2＝2，且，则a1+a3的值为5．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2＝2，且，∴+＝，解得q＝2或．当q＝2时，则a1+a3＝＝5；当q＝时，则a1+a3＝+2×＝5．故答案为：5．11．（5分）在三个数2中，最小的数是．【解答】解：＝，log 32＞＝，∴三个数2中，最小的数是．故答案为：．12．（5分）已知双曲线C：＝1的一条渐近线l的倾斜角为，且C的一个焦点到l的距离为，则C的方程为x2﹣＝1．【解答】解：双曲线C：＝1的一条渐近线l的方程为y＝x，由题意可得＝tan＝，即b＝a，由C的一个焦点到l的距离为，可得＝b＝，解得a＝1，则双曲线的方程为x2﹣＝1．故答案为：x2﹣＝1．13．（5分）如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个．（ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有4种；（ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有6种．【解答】解：（i）当三个顶点都填1时，中间的只能填2，若其中一个填2，另外两个填1，由3种，故共有1+3＝4种，（ⅱ）同一条边上的三个数字都不同时，有A33＝6种，故答案为：4，6．14．（5分）已知函数f（x），对于实数t，若存在a＞0，b＞0，满足：∀x∈[t﹣a，t+b]，使得|f（x）﹣f（t）|≤2，则记a+b的最大值为H（t）．（1）当f（x）＝2x时，H（0）＝2；（2）当f（x）＝x2且t∈[1，2]时，函数H（t）的值域为[﹣，2]∪[2，4]．【解答】解：（1）根据题意，当f（x）＝2x时，存在a＞0，b＞0，满足：∀x∈[﹣a，b]，使得|f（x）﹣f（0）|≤2，即|f（x）|≤2，∴|2x|≤2，即|x|≤1，解得﹣1≤x≤1；令，解得a＝b＝1；∴a+b的最大值为H（0）＝2；（2）根据题意，当f（x）＝x2且t∈[1，2]时，不等式|f（x）﹣f（t）|≤2可化为|x2﹣t2|≤2，∴t2﹣2≤x2≤t2+2，即；又t∈[1，2]，∴t2∈[1，4]，∴t2+2∈[3，6]；∴∈[，]，t2﹣2∈[﹣1，2]，∴∈[0，]；解不等式组得﹣≤x≤2或2≤x≤4；∴函数H（t）的值域为[﹣，2]∪[2，4]．故答案为：（1）2，（2）[﹣，2]∪[2，4]．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，且＝．记∠ACD＝α，∠BCD＝β．（Ⅰ）求证：＝（Ⅱ）若α＝，β＝，AB＝，求BC的长．【解答】解：（Ⅰ）在△ACD中，由正弦定理得：，在△BCD中，由正弦定理得：，∵∠ADC+∠BDC＝π，∴sin∠ADC＝sin∠BDC，∵，∴．（Ⅱ）∵，，∴，∠ACB ＝α+β＝．设AC ＝2k ，BC ＝3k ，k ＞0，由余弦定理得：AB 2＝AC 2+BC 2﹣2AC •BC •cos ∠ACB ， 即，解得k ＝1，∴BC ＝3．16．（13分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量； （Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为，，根据样本数据，试估计与的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（I ）由山下试验田4株青蒿样本青蒿素产量数据， 得样本平均数…（2分）则山下试验田100株青蒿的青蒿素产量S 估算为g ． …（3分）（Ⅱ）比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差和，结果为．…（6分）（Ⅲ）依题意，随机变量ξ可以取7.2，7.4，8，8.2，8.6，9.4，…（7分），，，，，，…（9分）随机变量ξ的分布列为：…（11分）随机变量ξ的期望．…（13分）17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M、N分别为线段PB，PC上的点，MN⊥PB．（Ⅰ）求证：BC⊥平面P AB；（Ⅱ）求证：当点M不与点P，B重合时，M，N，D，A四个点在同一个平面内；（Ⅲ）当P A＝AB＝2，二面角C﹣AN﹣D的大小为时，求PN的长．【解答】证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，AB⊥BC，…（1分）因为P A⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以P A⊥BC．…（2分）因为AB∩P A＝A，且AB，P A⊂平面P AB，所以BC⊥平面P AB…（4分）（Ⅱ）因为BC⊥平面P AB，PB⊂平面P AB，所以BC⊥PB…（5分）在△PBC中，BC⊥PB，MN⊥PB，所以MN∥BC．…（6分）在正方形ABCD中，AD∥BC，所以MN∥AD，…（7分）所以AM，AD可以确定一个平面，记为α所以M，N，D，A四个点在同一个平面α内…（8分）解：（Ⅲ）因为P A⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以P A⊥AB，P A⊥AD．又AB⊥AD，如图，以A为原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，…（9分）所以C（2，2，0），D（0，2，0），B（2，0，0），P（0，0，2）．设平面DAN的一个法向量为，平面CAN的一个法向量为，设，λ∈[0，1]，因为，所以，又，所以，即，取z＝1，得到，…（9分）因为，，所以，即，取a＝1得，到，…（10分）因为二面C﹣AN﹣D大小为，所以，所以解得，所以…（12分）18．（13分）已知函数f（x）＝ln x+﹣1，g（x）＝（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）求函数g（x）的单调区间；（Ⅲ）求证：直线y＝x不是曲线y＝g（x）的切线．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：函数f（x）在（0，+∞）上的极小值为f（1）＝ln1+1﹣1＝0，所以f（x）的最小值为0；（Ⅱ）函数g（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），，由（Ⅰ）得，f（x）≥0，所以g'（x）≥0，所以g（x）的单调增区间是（0，1），（1，+∞），无单调减区间；（Ⅲ）证明：假设直线y＝x是曲线g（x）的切线．设切点为（x0，y0），则g'（x0）＝1，即，又，则．所以，得g'（x0）＝0，与g'（x0）＝1矛盾，所以假设不成立，直线y＝x不是曲线g（x）的切线19．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A，B两点，且|AB|＝2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧．直线P A，PB与直线x＝4分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x轴交于两点E，F，求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，2b＝2，即b＝1，，得，解得a2＝4，椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）方法一、设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1），所以，直线P A的方程为，同理：直线PB的方程为，直线P A与直线x＝4的交点为，直线PB与直线x＝4的交点为，线段MN的中点，所以圆的方程为，令y＝0，则，因为，所以，所以，设交点坐标（x1，0），（x2，0），可得x1＝4+，x2＝4﹣，因为这个圆与x轴相交，该方程有两个不同的实数解，所以，解得．则（）所以当x0＝2时，该圆被x轴截得的弦长为最大值为2．方法二：设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1），所以，直线P A的方程为，同理：直线PB的方程为，直线P A与直线x＝4的交点为，直线PB与直线x＝4的交点为，若以MN为直径的圆与x轴相交，则，即，即．因为，所以，代入得到，解得．该圆的直径为，圆心到x轴的距离为，该圆在x轴上截得的弦长为；所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2．20．（13分）给定正整数n（n≥3），集合U n＝{1，2，…，n}．若存在集合A，B，C，同时满足下列条件：①U n＝A∪B∪C，且A∩B＝B∩C＝A∩C＝∅；②集合A中的元素都为奇数，集合B中的元素都为偶数，所有能被3 整除的数都在集合C中（集合C中还可以包含其它数）；③集合A，B，C中各元素之和分别记为S A，S B，S C，有S A＝S B＝S C；则称集合U n为可分集合．（Ⅰ）已知U8为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合A，B，C；（Ⅱ）证明：若n是3 的倍数，则U n不是可分集合；（Ⅲ）若U n为可分集合且n为奇数，求n的最小值．【解答】解：（I）依照题意，可以取A＝{5，7}，B＝{4，8}，C＝{1，2，3，6}．（II）假设存在n是3的倍数且U n是可分集合．设n＝3k，则依照题意{3，6，…，3k}⊆C，故S C≥3+6+…+3k＝，而这n个数的和为，故S C＝＝，矛盾，所以n是3的倍数时，U n一定不是可分集合．（Ⅲ）n＝35．因为所有元素和为，又S B 中元素是偶数，所以＝3S B＝6m（m为正整数），所以n（n+1）＝12m，因为n，n+1为连续整数，故这两个数一个为奇数，另一个为偶数．由（Ⅱ）知道，n不是3的倍数，所以一定有n+1是3的倍数．当n为奇数时，n+1为偶数，而n（1+n）＝12m，所以一定有n+1既是3的倍数，又是4的倍数，所以n+1＝12k，所以n＝12k﹣1，k∈N*．…（10分）定义集合D＝{1，5，7，11，…}，即集合D由集合U n中所有不是3的倍数的奇数组成，定义集合E＝{2，4，8，10，…}，即集合E由集合U n中所有不是3的倍数的偶数组成，根据集合A，B，C的性质知道，集合A⊆D，B⊆E，此时集合D，E中的元素之和都是24k2，而，此时U n中所有3的倍数的和为，24k2﹣（24k2﹣2k）＝2k，（24k2﹣2k）﹣（24k2﹣6k）＝4k显然必须从集合D，E中各取出一些元素，这些元素的和都是2k，所以从集合D＝{1，5，7，11，…}中必须取偶数个元素放到集合C中，所以2k ≥6，所以k≥3，此时n≥35而令集合A＝{7，11，13，17，19，23，25，29，31，35}，集合B＝{8，10，14，16，20，22，26，28，32，34}，集合C＝{3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，1，5，2，4}，检验可知，此时U35是可分集合，所以n的最小值为35．…（13分）第21页（共21页）。
2015-2016学年北京市海淀区高一(下)期末数学试卷-含详细解析.
2015-2016学年北京市海淀区高一（下）期末数学试卷副标题一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.不等式x2+2x-3＜0的解集为（）A. 或B. 或C. D.2.若等差数列{a n}中，a3=3，则{a n}的前5项和S5等于（）A. 10B. 15C. 20D. 303.当a=3，b=5，c=7时，执行如图所示的程序框图，输出的m值为（）A.B.C.D.4.设a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.5.若向面积为2的△ABC内任取一点P，并连接PB，PC，则△PBC的面积小于1的概率为（）A. B. C. D.6.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为P=160-2x，生产x件所需成本为C（元），其中C=500+30x元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（）A. B. C. D.7.在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对应的边分别为a，b，c．若∠C=30°，a=c，则∠B等于（）A. B. C. 或 D. 或8.某校为了了解学生近视的情况，对四个非毕业年级各班的近视学生人数做了统计，每个年级都有7个班．如果某个年级的每个班的近视人数都不超过5人，则认定该“”从表中数据可知：一定是学生视力保护达标年级的是（）A. 初一年级B. 初二年级C. 高一年级D. 高二年级二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）9.若实数a，b满足0＜a＜2，0＜b＜1，则a-b的取值范围是______ ．10.公比为2的等比数列{a n}中，若a1+a2=3，则a3+a4的值为______ ．11.如图，若N=5，则输出的S值等于______ ．12.函数f（x）=（x＞0）的最大值为______ ，此时x的值为______ ．13.高一某研究性学习小组随机抽取了100名年龄在10岁到60岁的市民进行问卷调查，并制作了频率分布直方图（如图），从图中数据可知a= ______ .现从上述年龄在20岁到50岁的市民中按年龄段采用分层抽样的方法抽取30人，则在[20，30）年龄段抽取的人数应为______ .14.设数列{a n}使得a1=0，且对任意的n∈N*，均有|a n+1-a n|=n，则a3所有可能的取值构成的集合为______ ；a64的最大值为______ ．三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15.已知公差不为零的等差数列{a n}满足a1=1，a2是a1与a5的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2a n，判断数列{b n}是否为等比数列．如果是，求数列{b n}的前n项和S n，如果不是，请说明理由．16.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC=60°，CD=2．（Ⅰ）若AD=BD=3，求△ABC的面积；（Ⅱ）若AD=2，BD=4，求sin B的值．17.（Ⅰ）求型空调平均每周的销售数量；（Ⅱ）为跟踪调查空调的使用情况，从该家电专卖店第二周售出的A、B型空调销售记录中，随机抽取一台，求抽到B型空调的概率；（Ⅲ）已知C型空调连续五周销量的平均数为7，方差为4，且每周销售数量C1，C2，C3，C4，C5互不相同，求C型空调这五周中的最大销售数量．（只需写出结论）18.高一某班级在学校数学嘉年华活动中推出了一款数学游戏，受到大家的一致追捧．游戏规则如下：游戏参与者连续抛掷一颗质地均匀的骰子，记第i次得到的点数为x i，若存在正整数n，使得x1+x2+…+x n=6，则称n为游戏参与者的幸运数字．（Ⅰ）求游戏参与者的幸运数字为1的概率；（Ⅱ）求游戏参与者的幸运数字为2的概率．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解法问题，根据不等式的解法与应用进行求解即可，是基础题目．【解答】解：不等式x2+2x-3＜0可化为（x+3）（x-1）＜0，解得-3＜x＜1，所以不等式的解集为{x|-3＜x＜1}．故选D．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了等差数列的通项公式及其性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用等差数列的通项公式及其性质与求和公式即可得出．【解答】解：S5==5a3=5×3=15．故选B.3.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得a=3，b=5，c=7z1=-15，z2=30，m=-．输出m的值为-．故选：B．模拟程序的运行，根据赋值语句的功能依次计算即可得解．本题主要考查了程序框图的简单应用，考查了赋值语句的功能，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：A、由a＞b得到-a＜-b，则c-a＜c-b．故本选项正确；B、当c=0时，该不等式不成立，故本选项错误；C、当a=1．b=-2时，1＞-，即不等式＜不成立，故本选项错误；D、当a=-1，b=-2时，=2＞1，即不等式＜1不成立，故本选项错误；故选：A．利用不等式的性质或通过取特殊值即可得出．熟练掌握不等式的性质及通过取特殊值否定一个命题等是解题的关键．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了几何概型，解答此题的关键在于明确测度比是面积比．对于几何概型常见的测度是长度之比，面积之比，体积之比，角度之比，要根据题意合理的判断和选择是哪一种测度进行求解．属于中档题．首先分析题目求在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积小于1的概率，即可考虑画图求解的方法，然后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是什么．再根据几何关系求解出它们的比例即可．【解答】解：记事件A={△PBC的面积小于1}，基本事件空间是三角形ABC的面积，（如图）事件A的几何度量为图中阴影部分的面积（DE是三角形的中位线），因为阴影部分的面积是整个三角形面积的，所以P（A）=．故选D．6.【答案】B【解析】解：设该厂每天获得的利润为y元，则y=（160-2x）•x-（500+30x）=-2x2+130x-500（0＜x＜80）．由题意，知-2x2+130x-500≥1300，解得：20≤x≤45，所以日销量在20至45件（包括20和45）之间时，每天获得的利润不少于1300元．故选：B．设该厂的每天获利为y，则y=（160-2x）x-（500+30x）=-2x2+130x-500，解不等式-2x2+130x-500≥1300，即可得出结论．本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，同时考查了学生解不等式的能力，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：∵a=c，∴由正弦定理得sinA=sinC=×=，∴A=45°或135°，=15或者故选：C根据正弦定理建立方程关系，结合三角函数的定义进行求解即可．本题主要考查正弦定理的应用，根据条件结合三角函数的特殊角的定义是解决本题的关键．8.【答案】A【解析】解：能反应“学生视力保护达标年级”的是平均值和方差：平均数：与每一个数据有关，更能反映全体的信息；方差：方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．故选：A．根据平均值、方差、中位数以及众数的实际意义作出选择．本题考查了基本概念的掌握，需要学生掌握众数、中位数、平均数的优缺点．9.【答案】（-1，2）【解析】【分析】本题考查了不等式的性质，属于基础题．根据不等式的同向可加性，即可求出答案．【解答】解：∵0＜b＜1，∴-1＜-b＜0，∵0＜a＜2，∴-1＜a-b＜2，故答案为（-1，2）.10.【答案】12【解析】【分析】本题考查等比数列的两项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．由等比数列的通项公式得a3+a4=q2（a1+a2），由此能求出结果．【解答】解：∵公比为2的等比数列{a n}中，a1+a2=3，∴a3+a4=q2（a1+a2）=22×3=12．故答案为12．11.【答案】【解析】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值．而S=++…+=1-=．故答案为：．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．12.【答案】-3；2【解析】解：函数f（x）=（x＞0），分离常数化简为：f（x）=-x+1-（x＞0），∵x+≥=4，当且仅当x=2时取等号．∴-x-≤-4因此：f（x）=-x+1-≤-3．即f（x）的最大值为-3，此时的x=2．故答案为：-3，2．由题意，先采用“分离常数”法，在利用基本不等式的性质即可求解．本题考查了分离常数法的运用能力，利用到基本不等式的性质求最值的问题．属于基础题．13.【答案】0.035；10【解析】【分析】根据频率和为1，列出方程求出a的值；利用分层抽样原理，求出在[20，30）年龄段内的人数与20～50内的人数，即可计算应抽取的人数.本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题目.【解答】解：根据频率和为1，得10a=1-（0.020+0.025+0.015+0.005）10，解得a=0.035；又市民年龄在20～50岁的人数为100×（1-0.020×10-0.005×10）=75，且在[20，30）年龄段内的人数是100×0.025×10=25，则采用分层抽样的方法抽取30人，在[20，30）年龄段抽取的人数应为.故答案为0.035；10.14.【答案】{-3，-1，1，3}；2016【解析】解：①∵a1=0，且对任意的n∈N*，均有|a n+1-a n|=n，∴n=1时，|a2-0|=1，解得a2=±1．∴a2=1，则|a3-1|=2，解得a3=3，-1．∴a2=-1，则|a3+1|=2，解得a3=-3，1．∴a3所有可能的取值构成的集合为{-3，-1，1，3}．②对任意的n∈N*，均有|a n+1-a n|=n，可得：a n+1-a n=±n，取a n+1-a n=n，a1=0时，数列{a n}单调递增，可得：a n=（a n-a n-1）+（a n-1-a n-2）+…+（a2-a1）+a1=（n-1）+（n-2）+…+1+0=，则a64的最大值==2016．故答案为：{-3，-1，1，3}，2016．①由于a1=0，且对任意的n∈N*，均有|a n+1-a n|=n，则n=1时，|a2-0|=1，解得a2=±1．利用|a3-a2|=2，即可得出a3．②对任意的n∈N*，均有|a n+1-a n|=n，可得：a n+1-a n=±n，取a n+1-a n=n，a1=0时，数列{a n}单调递增，利用“累加求和”方法即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、数列的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．15.【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），则由a1=1得a2=a1+d=1+d；a5=a1+4d=1+4d．因为a2是a1与a5的等比中项，所以，即（1+d）2=1+4d，解得d=0（舍）或d=2，故数列{a n}的通项公式为a n=a1+（n-1）•d=2n-1．（Ⅱ）由，得：（1）当n=1时，．（2）当n≥2时，．故数列{b n}为以2为首项，4为公比的等比数列，则有．【解析】（Ⅰ）根据等差数列的通项公式，利用等比中项列出方程，求出数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）利用等比数列的定义即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式的应用问题，也考查了等比中项的应用问题，是基础题目．16.【答案】解：（Ⅰ）解法一：当AD=BD=3时，△ABD的面积△△ACD的面积△△ABC的面积△ △ △ ．解法二：当AD=BD=3时，过点A作AE⊥BC于点E，如上图所示．因为∠ADC=60°，所以又因为CD=2，所以BC=BD+CD=5．所以：△ABC的面积△ ．（Ⅱ）解法一：当AD=2，BD=4时，∠ADB=180°-∠ADC=120°；在△ADB中，由余弦定理AB2=AD2+BD2-2AD•BD cos∠ADB，即：解得：．在△ADB中，由正弦定理得，即，解得：．解法二：当AD=2，BD=4时，过点A作AE⊥BC于点E，如图所示，∵∠ADC=60°，∴DE=AD cos∠ADE=2×cos60°=1，又因为BD=4，所以BE=BD+DE=5．所以：故．【解析】（Ⅰ）解法一：由题意可知，△ABD，△ACD的两边及夹角，利用任意三角形的面积公式，求ABD的面积和ACD的面积，那么S△ABD+S△ACD=S△ABC．解法二：过点A作BC的垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的性质S△ABC=底乘高求解．（Ⅱ）解法一：当AD=2，BD=4时，∠ADB=180°-∠ADC=120°；在△ADB中，由余弦定理求出AB；在△ADB中，再利用正弦定理求sinB的值．解法二：当AD=2，BD=4时，过点A作AE⊥BC于点E，∵∠ADC=60°，求出AE，DE又因为BD=4，BE=BD+DE．利用直角三角形的性质，求AB，那么sinB=即可得到答案．本题主要考查了三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查运算能力，本题利用了初中的直角三角形的性质，作成勾股定理求解．高中的正余弦定理有时候解题计算麻烦，任意三角形的面积公式在知道两条边及其夹角时，计算比较简单．属于基础题．17.【答案】解：（Ⅰ）结合表格得：A型空调平均每周的销售数量（台）；----------（4分）（Ⅱ）第二周售出A型号8台，B型号12台，设“随机抽取一台，抽到B型空调”为事件D，----------（5分）则事件D包含12个基本事件，----------（6分）而所有基本事件个数为8+12=20，----------（7分）所以；----------（8分）（III）10台．------------（12分）【解析】（Ⅰ）根据平均数计算公式求出即可；（Ⅱ）求出满足条件的事件个数再求出所有基本事件的个数，代入概率公式计算即可；（Ⅲ）由根据平均数和方程求出即可．本题考查概率、平均数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．18.【答案】解：（Ⅰ）设“游戏参与者的幸运数字为1”为事件A-------------（1分）由题意知x1=6，抛掷了1次骰子，相应的基本事件空间为ΩA={1，2，3，4，5，6}，共有6个基本事件，-------------（2分）而A={6}，只有1个基本事件，------------（3分）所以------------（4分）（Ⅱ）设“游戏参与者的幸运数字为2”为事件B，------------（5分）由题意知x1+x2=6，抛掷了2次骰子，相应的基本事件空间为ΩB={（x1，x2）|1≤x1≤6，1≤x2≤6，x1∈N，x2∈N}，共有36个基本事件，-----------（6分）而B={（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）}，共有5个基本事件，----------（7分）所以．-----------（8分）【解析】（Ⅰ）基本事件空间为ΩA={1，2，3，4，5，6}，共有6个基本事件，而A={6}，只有1个基本事件，即可求游戏参与者的幸运数字为1的概率；（Ⅱ）由题意知x1+x2=6，抛掷了2次骰子，相应的基本事件空间为ΩB={（x1，x2）|1≤x1≤6，1≤x2≤6，x1∈N，x2∈N}，共有36个基本事件，而B={（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）}，共有5个基本事件，即可求游戏参与者的幸运数字为2的概率．本题考查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想，属于基础题．。
2020-2021学年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷
2020-2021学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.抛物线y2=x的准线方程为()A. x=14B. x=−14C. y=14D. y=−142.在复平面内，复数i1+i对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.在(x−2)5的展开式中，x4的系数为()A. 5B. −5C. 10D. 104.已知直线l：x+ay+2=0，点A(−1,−1)和点B(2,2)，若l//AB，则实数a的值为()A. 1B. −1C. 2D. −25.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为()A. 2B. 4C. 6D. 126.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=1，b⃗ =(−2,1)，且|a⃗−b⃗ |=2，则a⃗⋅b⃗ =()A. −1B. 0C. 1D. 27.已知α，β是两个不同的平面，“α//β”的一个充分条件是()A. α内有无数直线平行于βB. 存在平面γ，α⊥γ，β⊥γC. 存在平面γ，α∩γ=m，β∩γ=n，且m//nD. 存在直线l，l⊥α，l⊥β8.已知函数f(x)=1−2sin2(x+π4)，则()A. f(x)是偶函数B. 函数f(x)的最小正周期为2πC. 曲线y=f(x)关于x=−π4对称 D. f(1)>f(2)9.数列{a n}的通项公式为a n=n2−3n，n∈N∗，前n项和为S n.给出下列三个结论：①存在正整数m，n(m≠n)，使得S m=S n；②存在正整数m，n(m≠n)，使得a m+a n=2√a m a n；③记T n=a1a2…a n(n=1,2，3，…)则数列{T n}有最小项．其中所有正确结论的序号是()A. ①B. ③C. ①③D. ①②③10.如图所示，在圆锥内放入两个球O1，O2，它们都与圆锥相切(即与圆锥的每条母线相切)，切点圆(图中粗线所示)分别为⊙C1，⊙C2.这两个球都与平面a相切，切点分别为F1，F2，丹德林(G⋅Dandelin)利用这个模型证明了平面a与圆锥侧面的交线为椭圆，F1，F2为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球.若圆锥的母线与它的轴的夹角为30°，⊙C1，⊙C2的半径分别为1，4，点M为⊙C2上的一个定点，点P为椭圆上的一个动点，则从点P沿圆锥表面到达点M的路线长与线段PF1的长之和的最小值是()A. 6B. 8C. 3√3D. 4√3二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）11.在“互联网+”时代，国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合，实现线上、线下融合式教学模式变革.某校高一、高二和高三学生人数如图所示.采用分层抽样的方法调查融合式教学模式的实施情况，在抽取样本中，高一学生有16人，则该样本中的高三学生人数为______ ．12.设等比数列{a n}的前n项和为S n.若−S1、S2、a3成等差数列，则数列{a n}的公比为______ ．13.已知双曲线x2−y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，点M(−3,4)，则双曲线的渐近线方程为______ ；2|MF1|−|MF2|=______ ．14.已知函数f(x)是定义域R的奇函数，且x≤0时，f(x)=ae x−1，则a=______ ，f(x)的值域是______ ．15.已知圆P：(x−5)2+(y−2)2=2，直线l：y=ax，点M(5,2+√2)，点A(s,t).给出下列4个结论：①当a=0，直线l与圆P相离；②若直线l圆P的一条对称轴，则a=2；5③若直线l上存在点A，圆P上存在点N，使得∠MAN=90°，则a的最大值为20；21④N为圆P上的一动点，若∠MAN=90°，则t的最大值为5√2+8．4其中所有正确结论的序号是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BCC1B1为矩形，AC⊥平面BCC1B1，D，E分别是棱AA1，BB1的中点．(Ⅰ)求证：AE//平面B1C1D；(Ⅱ)求证：CC1⊥平面ABC；(Ⅲ)若AC=BC=AA1=2，求直线AB与平面B1C1D所成角的正弦值．17.若存在△ABC同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题：(Ⅰ)求∠A的大小；(Ⅱ)求cos B和a的值．条件①：sinC=3√3；14c；条件②：a=73条件③：b−a=1；．条件④：bcosA=−5218.年份201320142015201620172018201920202021年生产台数(单位：万台)3456691010a年返修台数(单位：台)3238545852718075b年利润(单位：百万元) 3.85 4.50 4.20 5.50 6.109.6510.0011.50c．注：年返修率=年返修台数年生产台数(Ⅰ)从2013～2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率；(Ⅱ)公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从2013～2020年中随机选出3年，记ξ表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数.求ξ的分布列和数学期望；(Ⅲ)记公司在2013～2015年，2016～2018年，2019～2021年的年生产台数的方差分别为s12，s22，s32.若s32≤max{s12,s22}，其中max{s12,s22}表示s12，s22，这两个数中最大的数.请写出a的最大值和最小值.(只需写出结论)(注：s2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+⋅⋅⋅(x n−x−)2]，其中x−为数据x1，x2，⋅⋅⋅，x n的平均数)19.已知椭圆W：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，且经过点C(2,√3).(Ⅰ)求椭圆W的方程及其长轴长；(Ⅱ)A，B分别为椭圆W的左、右顶点，点D在椭圆W上，且位于x轴下方，直线CD交x轴于点Q.若△ACQ的面积比△BDQ的面积大2√3，求点D的坐标．20.已知函数f(x)=lnxx．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)设g(x)=f(x)−x，求证：g(x)≤−1；(Ⅲ)设ℎ(x)=f(x)−x2+2ax−4a2+1.若存在x0使得ℎ(x0)≥0，求a的最大值．21.设A是由n×n(n≥2)个实数组成的n行n列的数表，满足：每个数的绝对值是1，且所有数的和是非负数，则称数表A是“n阶非负数表”．(Ⅰ)判断如下数表A1，A2是否是“4阶非负数表”；A数表A2A，记R(s)为A的第s行各数之和(1≤s≤5)，证明：存在{i,j，k}⊆{1，2，3，4，5}，使得R(i)+R(j)+R(k)≥3；(Ⅲ)当n=2k(k∈N∗)时，证明：对与任意“n阶非负数表”A，均存在k行k列，使得这k行k列交叉处的k2个数之和不小于k．答案和解析1.【答案】B【解析】解：抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1，∴p2=14，∴抛物线y2=x的准线方程为x=−14．故选：B．抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1，由此可得抛物线y2=x的准线方程．本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，定型与定位是关键．2.【答案】A【解析】解：∵i1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=12+12i，∴复数i1+i 对应的点的坐标为(12,12)，位于第一象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】D【解析】解：(x−2)5的展开式的通项为T r+1=C5r x5−r2r，所以x4的系数为C51×2=10．故选：D．由二项展开式的通项公式，即可求得x4的系数．本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：∵直线l：x+ay+2=0，点A(−1,−1)和点B(2,2)，∴直线AB的斜率为2+12+1=1，若l//AB，则−1a=1，求得a=−1，故选：B．由题意利用斜率公式，两直线平行的性质，求得a的值．本题主要考查斜率公式，两直线平行的性质，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由三视图可知，该三棱锥的两个顶点为正方体的顶点，另外两个顶点是正方体棱的中点，其直观图如图所示：故该三棱锥的体积为：13×12×3×2×2=2．故选：A．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查运算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=1，b⃗ =(−2,1)，且|a⃗−b⃗ |=2，a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=4，即1−2a⃗⋅b⃗ +5=4，则a⃗⋅b⃗ =1．故选：C．通过向量的模的运算法则，转化求解向量的数量积即可．本题考查向量的数量积的求法，向量模的运算法则的应用，是基础题．7.【答案】D【解析】解：由α内有无数直线平行于β，不一定得到α//β，α与β也可能相交，如图：故A错误；若存在平面γ，使α⊥γ，β⊥γ，不一定得到α//β，α与β也可能相交，如图：故B错误；存在平面γ，α∩γ=m，β∩γ=n，且m//n，不一定得到α//β，α与β也可能相交，如图：故C错误；存在直线l，l⊥α，l⊥β，由直线与平面垂直的性质，可得α//β，故D正确．故选：D．由空间中的线面关系，画出图形，逐一分析四个选项得答案．本题考查空间中面面平行的判定，考查充分条件的应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．8.【答案】C【解析】解：f(x)=1−2sin2(x+π4)=cos2(x+π4)=cos(2x+π2)=−sin2x，则函数f(x)为奇函数，函数的周期T=2π2=π，当x=−π4时，f(x)=−sin[2×(−π4)]=−sin(−π2)=1为最大值，则x=−π4是对称轴，f(1)=−sin2，f(2)=−sin4，则f(1)<f(2)，故正确的是C，故选：C．利用三角函数的倍角公式进行化简，结合三角函数的性质分别进行判断即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用二倍角公式进行化简，结合三角函数的性质是解决本题的关键．是基础题．9.【答案】C【解析】解：若存在正整数m，n(m≠n)，使得S m=S n，则S m−S n=0，即a m+1+a m+2+⋯+a n=0，令a n=0，解得n=0(舍)或n=3，即a3=0，所以存在m=2，n=3，使得S m=S n，故选项①正确；因为a m+a n=2√a m a n，即(√a m−√a n)2=0，即a m=a n，且a m≥0，a n≥0，记y=n2−3n，对称轴为n=32，而n=1，2，3，…故只有n1=1，n2=2时，有a n1=a n2，但此时a1=1−3=−2=a2<0不成立，故不存在正整数m，n(m≠n)，使得a m+a n=2√a m a n，故选项②错误；因为T n=a1a2…a n(n=1,2，3，…)，则a1=−2，a2=−2，a3=0，且当n≥2时，a n单调递增，所以当n>3时，a n>0，而T3=0，故当n>3时，T n=0，又T2=4，T1=−2，所以数列{T n}有最小项T1=−2，故选项③正确．故选：C．假设存在正整数m，n(m≠n)，使得S m=S n，则S m−S n=0，转化为a n的关系进行分析，即可判断选项①，利用完全平方式将a m+a n=2√a m a n化简，可得即a m=a n，再分析a n的对称性，可得a1=1−3=−2=a2<0，从而可判断选项②，利用T n=a1a2…a n(n=1,2，3，…)，得到a1=−2，a2=−2，a3=0，且当n≥2时，a n单调递增，分析即可判断选项③．本题以数列的有关知识为背景设计问题，要求学生能利用数列的基础知识探究新的问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解本质．10.【答案】C【解析】解：如图所示，在椭圆上任取一点P，连接VP交C1于Q，交C2于点R，连接O1Q，O1F1，PO1，PF1，O2R，在△O1PF与△O1PQ中，O1Q=O1F=r1，其中r1为球半径，∠O1QP=∠O1FP=90°，O1P为公共边，所以△O1PF≌△O1PQ，所以PF1=PQ，设P沿圆锥表面到达M的路径长为d，则PF1+d=PQ+d≥PQ+PR=QR，当且仅当P为直线VM与椭圆的交点时取等号，QR=VR−VQ=OR2tan30∘−OR1tan30∘=r2−r1√33=3√3，故从点P沿圆锥表面到达点M的路线长与线段PF1的长之和的最小值是3√3．故选：C．在椭圆上任取一点P，连接VP交C1于Q，交C2于点R，连接O1Q，O1F1，PO1，PF1，O2R，利用△O1PF≌△O1PQ全等，得到PF1=PQ，当点P沿圆锥表面到达点M的路线长与线段PF1的长之和最小时，即当P为直线VM与椭圆的交点时，求解即可得到答案．本题以Dandelin双球作为几何背景考查了椭圆知识的综合应用，涉及了两条线段距离之和最小的求解，解题的关键是确定当P为直线VM与椭圆的交点时取得最值．11.【答案】12【解析】解：根据直方图知，抽样比例为16800=150，所以应该抽取高三人数为600×150=12(人)．故答案为：12．根据直方图求出抽样比例，再计算抽取高三人数．本题考查了分层抽样法与直方图的应用问题，是基础题．12.【答案】3或−1【解析】解：∵−S1，S2，a3成等差数列，∴2S2=−S1+a3，又数列{a n}为等比数列，∴2(a1+a1q)=−a1+a1q2，整理得：a1q2−2a1q−3a1=0，又a1≠0，∴q2−2q−3=0，解得：q=3或−1．故答案为：3或−1．根据−S1、S2、a3成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，化简得到关于a1与q的关系式，由a1≠0，两边同时除以a1，得到关于q的方程，求解方程得答案．本题题考查了等差数列的性质，等比数列的通项公式及前n项和，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】y=±√2x−2【解析】解：双曲线x2−y22=1的渐近线方程为：y=±√2x，双曲线的焦点坐标(±√3,0)，M在双曲线上，所以|MF1|−|MF2|=−2a=−2，故答案为：y=±√2x；−2．利用双曲线方程直接求解渐近线方程；求出焦点坐标，然后利用双曲线的定义求解即可得到|MF1|−|MF2|.本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线方程的求法，定义的应用，是基础题．14.【答案】1 (−1,1)【解析】解：根据题意，函数f(x)是定义域R的奇函数，则f(0)=0，又由x≤0时，f(x)=ae x−1，则f(0)=a−1=0，解可得a=1，在区间(−∞,0]上，f(x)=e x−1，有−1<f(x)≤0，又由f(x)为奇函数，则有−1<f(x)<1，即函数的值域为(−1,1)，故答案为：1，(−1,1)．根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=0，结合函数的解析式可得f(0)=a−1=0，解可得a的值，即可得函数在(−∞,0]上的解析式，利用函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题．15.【答案】①②④【解析】解：当a=0时，直线l：y=0，故圆的半径r=√2小于点P到直线的距离，所以当a=0，直线l与圆P相离，故选项①正确；因为圆的对称轴过圆心，故直线l过点(5,2)，又直线l：y=ax，所以a=25，故选项②正确；考虑极限情况：M，N为切点时比M，N为割点时的∠MAN更大，故直线l的斜率最大时，点M，N均应为切点，过M作圆的切线，则x A=5−√2,y A=2+√2，所以a=√25−√2=7√2+1223>1120，故选项③错误；设N(5+√2cosθ,2+√2sinθ)，M(5,2+√2)，则MN的中点Q(5+√22cosθ,2+√22+√22sinθ)，而∠MAN=90°，则点A为以MN为直径的圆上，设半径为r，MN2=4−4sinθ，则r=√1−sinθ，所以t最大时应该是点Q的纵坐标加半径，即t=2+√22+√22sinθ+√1−sinθ，令g(x)=2+√22+√22x+√1−x，x∈[−1,1]，令μ=√1−x∈[0,√2]，得f(μ)=2+√22+√22(1−μ2)+μ，μ∈[0,√2]，f(μ)=−√22μ2+μ+2+√2，当μ=√22时，f(μ)max =f(√22)=−√24+√22+2+√2=5√2+84， 所以t 的最大值为5√2+84，故选项④正确； 故答案为：①②④．当a =0时，求出直线l 的方程，然后利用点到直线的距离公式结合直线与圆的位置关系进行分析，即可判断选项①；利用圆的对称轴经过圆心，所以直线l 经过两个点，从而得到直线的斜率，即可判断选项②；考虑极限情况，M ，N 为切点时比M ，N 为割点时的∠MAN 更大，故直线l 的斜率最大时，点M ，N 均应为切点，分析求解即可判断选项③；根据∠MAN =90°，可得点A 为以MN 为直径的圆上，t 最大时应该是圆心的纵坐标加半径，利用换元法求出最值即可判断选项④．本题以命题真假的判断为载体考查了直线与圆的位置关系的应用，涉及了换元法求解函数的最值问题、二次函数的最值问题，综合性强，对学生分析问题和解决问题的能力以及化简运算能力要求很高． 16.【答案】 解：(Ⅰ)证明：在三棱柱ABC −中，AA 1//BB 1，且AA 1=BB 1．因为点D ，E 分别时棱AA 1，BB 1的中点， 所以AD//B 1E ，且AD =B 1E .所以四边形AEB 1D 是平行四边形． 所以AE//DB 1．又因为AE ⊄平面B 1C 1D ，DB 1⊂平面B 1C 1D ， 所以AE//平面B 1C 1D .(Ⅱ)证明：因为AC ⊥平面BCC 1B 1，CC 1⊂平面BCC 1B 1， 所以AC ⊥CC 1．因为侧面BCC 1B 1为矩形， 所以CC 1⊥BC ．又因为AC ∩BC =C ，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以CC 1⊥平面ABC ．(Ⅲ)解：分别以CA ，CB ，CC 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C −xyz ，由题意得A(2,0，0)B(2，0，0)，B 1(0,2，2)，C 1(0,0，2)，D(2,0，1)．所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,2),C 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−1)．设平面B 1C 1D 的法向量为n =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅C 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⋅⃗⃗⃗⃗ C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2y =0,2x −z =0.令x =1，则y =0，z =2．于是n⃗ =(1,0，2)． 所以cos <n,⃗⃗⃗ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=n⋅⃗⃗⃗ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×2√2=−√1010． 所以直线AB 与平面B 1C 1D 所成角的正弦值为√1010．【解析】(Ⅰ)根据直线平行于平面的判定定理可知只需证线线平行，利用平行四边形可得AE//DB 1，从而可证得AE//平面B 1C 1D ；(Ⅱ)要证CC 1⊥平面ABC ，根据线面垂直的判定定理可知只需证CC 1与平面内两相交直线垂直即可；(Ⅲ)建立空间直角坐标系，先求出平面B 1C 1D 的法向量，然后利用公式可求出直线AB 与平面B 1C 1D 所成角的正弦值．本题主要考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、以及线面所成角，解题的关键是利用空间向量的方法求解，同时考查了学生空间想象能力． 17.【答案】解：若选择①②③， (Ⅰ)因为a =73c ，sinC =3√314，由正弦定理可得sinA =a⋅sinC c =√32， 因为b −a =1，所以a <b ，可得0<∠A <π2，可得∠A =π3． (Ⅱ)在△ABC 中，a =73c ，所以a >c ，所以0<∠C <π2， 因为sinC =3√314，可得cosC =√1−sin 2C =1314，所以cosB =cos[π−(A +C)]=cos −(A +C)=sinAsinC −cosAcosC =√32×3√314−12×1314=−17，所以sinB =√1−cos 2B =4√37， 由正弦定理可得4√37b=√32a，可得7b =8a ，因为b −a =1，所以a =7． 若选择①②④， (Ⅰ)因为a =73c ，sinC =3√314，由正弦定理可得sinA =a⋅sinC c=√32， 在△ABC 中，bcosA =−52， 所以π2<∠A <π， 可得∠A =2π3．(Ⅱ)在△ABC 中，a =73c ， 所以a >c ， 所以0<∠C <π2， 因为sinC =3√314，可得cosC =√1−sin 2C =1314，所以cosB =cos[π−(A +C)]=−cos(A +C)=sinAsinC −cosAcosC =√32×3√314+12×1314=1114，所以sinB =√1−cos 2B =5√314， 因为bcosA =−52， 所以b =−52−12=5，由正弦定理可得a =b⋅sinA sinB=√32×55√314=7．【解析】若选择①②③，(Ⅰ)由正弦定理可得sin A的值，结合b−a=1，可求0<∠A<π2，即可得解∠A的值；(Ⅱ)由题意可得a>c，可得0<∠C<π2，利用同角三角函数基本关系式可求cos C的值，利用三角形内角和定理，两角和的余弦公式可求cos B，进而可求sin B，利用正弦定理即可求解a的值．若选择①②④，(Ⅰ)利用正弦定理可得sin A的值，由于bcosA=−52，可得范围π2<∠A<π，即可求解∠A的值；(Ⅱ)由题意利用大边对大角可求0<∠C<π2，利用同角三角函数基本关系式可求cos C的值，利用两角和的余弦公式可求cos B，进而可求sin B，由于bcosA=−52，可求b的值，根据正弦定理可得a．本题主要考查了正弦定理以及三角函数恒等变换在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)由图表知，2013年～2020年中，产品的平均利润小于100元/台的看人发只有2015年，2016年，∴从2013年～2020年中随机抽取一年，该年生产的平均利润不小于100元/台的概率为P=68=0.75．(Ⅱ)由图表得，2013～2020年中，返修率超过千分之一的年份只有2013年和2015年，∴ξ的所有可能取值为1，2，3，P(ξ=1)=C61C22C83=328，P(ξ=2)=C62C21C83=1528，P(ξ=3)=C63C20C83=514，∴E(ξ)=1×328+2×1528+3×514=94．(Ⅲ)a的最大值为13，最小值为7．【解析】(Ⅰ)由图表知，2013年～2020年中，产品的平均利润小于100元/台的看人发只有2015年，2016年，由此能求出从2013年～2020年中随机抽取一年，该年生产的平均利润不小于100元/台的概率．(Ⅱ)由图表得，2013～2020年中，返修率超过千分之一的年份只有2013年和2015年，ξ的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)．(Ⅲ)a的最大值为13，最小值为7．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、概率的求法，考查超几何分布分布、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)由已知可得：{ca =√324 a2+3b2=1a2=b2+c2，解得a =4，b =2，c =2√3， 故椭圆的方程为：x 216+y 24=1，且长轴长为2a =8；(Ⅱ)因为点D 在x 轴下方，所以点Q 在线段AB(不包括端点)上， 由(Ⅰ)可知A(−4,0)，B(4,0)，所以△AOC 的面积为12×4×√3=2√3，因为△ACQ 的面积比△BDQ 的面积大2√3，所以点Q 在线段OB(不包括端点)上，且△OCQ 的面积等于△BDQ 的面积， 所以△OCB 的面积等于△BCD 的面积， 所以OD//BC ，设D(m,n)，n <0， 则nm =0−√34−2=−√32， 因为点D 在椭圆W 上，所以m 216+n 24=1，解得m =2，n =−√3， 所以点D 的坐标为(2,−√3).【解析】(Ⅰ)由已知点，椭圆的离心率以及a ，b ，c 的关系式即可求解；(Ⅱ)根据已知条件推出OD 与BC 平行，设出点D 的坐标，利用平行关系以及点D 在椭圆上联立方程即可求解．本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到三角形面积问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=lnx x，∴f′(x)=1−lnx x ，令f′(x)=0，解得：x =e ，故f(x)在(0,e)递增，在(e,+∞)； (Ⅱ)证明：∵f(x)=lnx x，∴g(x)=lnx x−x ，∴g′(x)=1−lnx x 2−1=1−lnx−x 2x 2，①当x ∈(0,1)时，1−x 2>0，−lnx >0，故g′(x)>0， ②当x ∈(1,+∞)时，1−x 2<0，−lnx <0，故g′(x)<0， 故g(x)在(0,1)递增，在(1,+∞)递减， 故g(x)≤g(1)=−1； (Ⅲ)∵f(x)=lnx x，∴ℎ(x)=lnx x−x 2+2ax −4a 2+1，①当0≤a ≤12时，ℎ(1)=2a −4a 2=2a(1−2a)≥0，即存在1，使得ℎ(1)≥0； ②当a >12时，由(Ⅱ)可知：lnx x−x ≤−1，即lnx x≤x −1，故ℎ(x)≤x −x 2+2ax −4a 2=−(x −2a +12)2+(2a +1)24−4a 2≤−3a 2+a +14=−(2a−1)(6a+1)4<0，综上，对任意x >0，ℎ(x)<0， 即不存在x 0使得ℎ(x 0)≥0， 综上，a 的最大值是12．【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)求出g(x)的解析式，求出函数的导数，根据函数的单调性求出g(x)的最大值，从而证明结论成立； (Ⅲ)求出ℎ(x)的解析式，通过讨论a 的范围，结合不等式的性质求出a 的最大值即可． 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是一道中档题．21.【答案】(Ⅰ)解：记a(i,j)为数表A 中第i 行第j 列的数，∑∑a nj=1n i=1(i,j)为数表A 中所有数的和，∑∑a kj=1k i=1(i,j)为数表A 中前k 行k 列交叉处各数之和． A 1是“4阶非负数表”；A 2不是“4阶非负数表”；(Ⅱ)证明：由题意可知，a(i,j)∈{1，−1}，i =1，2，3，4，5，j =1，2，3，4，5，且数表A 是“5阶非负数表”，所以R(s)(s =1,2，3，4，5)为奇数，且R(1)+R(2)+R(3)+R(4)+R(5)≥0， 不妨设R(1)≥R(2)≥R(3)≥R(4)≥R(5)， ①当R(3)≥0时，因为R(3)为奇数， 所以R(3)≥1，所以R(1)+R(2)+R(3)≥3R(3)≥3； ②当R(3)<0时，因为R(3)为奇数， 所以R(3)≤−1，所以R(4)+R(5)≤2R(3)≤−2，所以R(1)+R(2)+R(3)≥−R(4)−R(5)≥2， 又因为R(1)，R(2)，R(3)均为奇数， 所以R(1)+R(2)+R(3)≥3．(Ⅲ)证明：①先证明数表A 中存在n −1行n 列(n =2k)，其所有数的和大于等于0， 设R(i)=∑a n j=1(i,j)(i =1,2,…,n)， 由题意可知∑R n i=1(i)≥0，不妨设R(1)≥R(2)≥R(3)≥⋯≥R(n)，由于n ∑R n−1i=1(i)−(n −1)∑R n i=1(i)=∑R n−1i=1(i)−(n −1)R(n) =∑[n−1i=1R(i)−R(n)]≥0， 所以∑R n−1i=1(i)≥n−1n ∑R n i=1(i)≥0；②由①及题意，不妨设数表A 前n −1行n 列(n =2k)，其所有数的和大于等于0， 下面考虑前2k −1行，证明存在2k −1行k 列，其所有数的和大于等于k ， 设T(j)=∑a 2k−1i=1(i,j)(j =1,2,…,2k)，则∑T 2k j=1(j)=∑R 2k−1i=1(i)≥0，不妨设T(1)≥T(2)≥T(3)≥⋯≥T(2k)， 因为T(j)为2k −1个奇数的和，所以T(j)为奇数(j =1,2，3，…，2k)， 1°.当T(k)≥0时，因为T(k)为奇数， 所以T(k)≥1， 所以∑T k j=1(j)≥kT(k)≥k ；2°.当T(k)<0时，因为T(k)为奇数， 所以T(k)≤−1， 所以∑T 2k j=k+1(j)≤kT(k)≤−k ，所以∑T k j=1(j)≥−∑T 2kj=k+1(j)≥k ；③在②所设数表A 下，证明前2k −1行前k 列中存在k 行k 列，其所有数的和大于等于k ， 设R′(i)=∑a k j=1(i,j)(i =1,2,…,2k −1)，则∑R 2k−1i=1′(i)=∑T kj=1(j)≥k ，不妨设R′(1)≥R′(2)≥R′(3)≥⋯≥R′(2k −1)， 1°.当R′(k)≥1时，∑R k i=1′(i)≥kR′(k)≥k ，2°.当R′(k)≤0时，R′(2k −1)≤R′(2k −2)≤⋯≤R′(k)≤0，所以∑R k i=1′(i)≥k −∑R 2k−1i=k+1′(i)≥k ，所以∑∑a k j=1k i=1′(i,j)=∑R ki=1′(i)≥k ， 综上所述，对于任意“n 阶非负数表”A ，均存在k 行k 列，使得这k 行k 列交叉处的k 2个数之和不小于k ．【解析】(Ⅰ)利用题中给出的新定义进行分析判断即可； (Ⅱ)记a(i,j)为数表A 中第i 行第j 列的数，则a(i,j)∈{1，−1}，不妨设R(1)≥R(2)≥R(3)≥R(4)≥R(5)，然后分当R(3)≥0、当R(3)<0分别进行证明即可；(Ⅲ)分成三种情况进行证明：①先证明数表A 中存在n −1行n 列(n =2k)，其所有数的和大于等于0，②由①及题意，不妨设数表A 前n −1行n 列(n =2k)，其所有数的和大于等于0，③在②所设数表A 下，证明前2k −1行前k 列中存在k 行k 列，其所有数的和大于等于k ，分别利用新定义分析证明即可．本题考查的是新定义问题，试题以求和的有关知识为背景设计问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可．。
2015-2016学年北京市海淀区七年级(上)期末数学试卷
2015-2016 学年北京市海淀区七年级（上）期末数学试卷一．选择题（本大题共30 分，每小题3 分）1．（3 分）的相反数为（）A．2 B．﹣C．D．﹣22．（3分）石墨烯（Graphene）是从石墨材料中剥离出来、由碳原子组成的只有一层原子厚度的二维晶体．石墨烯一层层叠起来就是石墨，厚 1 毫米的石墨大约包含300 万层石墨烯．300 万用科学记数法表示为（）A．300×104 B．3×105 C．3×106 D．3000000 3．（3 分）下列各式结果为负数的是（）A．﹣（﹣1）B．（﹣1）4 C．﹣|﹣1| D．|1﹣2| 4．（3 分）下列计算正确的是（）A．a+a=a2 B．6a3﹣5a2=aC．3a2+2a3=5a5 D．3a2b﹣4ba2=﹣a2b5．（3 分）用四舍五入法对0.02015（精确到千分位）取近似数是（）A．0.02 B．0.020 C．0.0201 D．0.02026．（3 分）如图所示，在三角形ABC中，点D是边AB上的一点．已知∠ACB=90°，∠CDB=90°，则图中与∠A 互余的角的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（3分）若方程2x+1=﹣1 的解是关于x 的方程1﹣2（x﹣a）=2 的解，则a 的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．﹣8．（3分）一件夹克衫先按成本价提高50%标价，再将标价打8 折出售，结果获利28 元，如果设这件夹克衫的成本价是x 元，那么根据题意，所列方程正确的是（）A．0.8（1+0.5）x=x+28 B．0.8（1+0.5）x=x﹣28C．0.8（1+0.5x）=x﹣28 D．0.8（1+0.5x）=x+289．（3 分）在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若a c＜0，b+a＜0，则（）A．b+c＜0 B．|b|＜|c| C．|a|＞|b| D．abc＜0 10．（3 分）已知AB 是圆锥（如图1）底面的直径，P 是圆锥的顶点，此圆锥的侧面展开图如图2 所示．一只蚂蚁从A 点出发，沿着圆锥侧面经过PB 上一点，最后回到A 点．若此蚂蚁所走的路线最短，那么M，N，S，T（M，N，S，T 均在PB 上）四个点中，它最有可能经过的点是（）A．M B．N C．S D．T二．填空题（本大题共24 分，每小题3 分）11．（3分）在“1，﹣0.3，+，0，﹣3.3”这五个数中，非负有理数是．（写出所有符合题意的数）12．（3 分）∠AOB 的大小可由量角器测得（如图所示），则∠AOB 的补角的大小为°．13．（3 分）计算：180°﹣20°40′=．14．（3 分）某4 名工人3 月份完成的总工作量比此月人均定额的4 倍多15 件，如果设此月人均定额是x 件，那么这4 名工人此月实际人均工作量为件．（用含x 的式子表示）15．（3 分）|a|的含义是：数轴上表示数a 的点与原点的距离．则|﹣2|的含义是；若|x|=2，则x 的值是．16．（3 分）某小组几名同学准备到图书馆整理一批图书，若一名同学单独做要40h 完成．现在该小组全体同学一起先做8h 后，有2 名同学因故离开，剩下的同学再做4h，正好完成这项工作．假设每名同学的工作效率相同，问该小组共有多少名同学？若设该小组共有x 名同学，根据题意可列方程为．17．（3 分）如图所示，AB+CD AC+BD．（填“＜”，“＞”或“=”）18．（3 分）已知数轴上动点A 表示整数x 的点的位置开始移动，每次移动的规则如下：当点A 所在位置表示的数是7 的整数倍时，点A 向左移动3 个单位，否则，点A 向右移动1 个单位，按此规则，点A 移动n 次后所在位置表示的数记做x n．例如，当x=1 时，x3=4，x6=7，x7=4，x8=5．①若x=1，则x14=；②若|x+x1+x2+x3+…+x20|的值最小，则x3=．三．解答题（本大题共21 分，第19 题7 分，第20 题4 分，第21 题10 分）19．（7 分）计算：（1）3﹣6×；（2）﹣42÷（﹣2）3﹣×．20．（4 分）如图，已知三个点A，B，C．按要求完成下列问题：（1）取线段AB 的中点D，作直线DC；（2）用量角器度量得∠ADC的大小为（精确到度）；（3）连接BC，AC，则线段BC，AC 的大小关系是；对于直线DC 上的任意一点C′，请你做一做实验，猜想线段BC′与AC′的大小关系是．21．（10 分）解方程：（1）3（x+2）﹣2=x+2；（2）=1﹣．四．解答题（本大题共13 分，第22、23 题各4 分，第24 题5 分）22．（4 分）先化简，再求值：﹣a2b+（3ab2﹣a2b）﹣2（2ab2﹣a2b），其中a=1，b=﹣2．23．（4 分）如图所示，点A在线段CB上，AC=，点D是线段BC的中点．若CD=3，求线段AD 的长．24．（5 分）列方程解应用题：为了丰富社会实践活动，引导学生科学探究，学校组织七年级同学走进中国科技馆，亲近科学，感受科技魅力．来到科技馆大厅，同学们就被大厅里会“跳舞”的“小球矩阵”吸引住了（如图1）．白色小球全部由计算机精准控制，每一只小球可以“悬浮”在大厅上空的不同位置，演绎着曲线、曲面、平面、文字和三维图案等各种动态造型．已知每个小球分别由独立的电机控制．图2，图3 分别是9 个小球可构成的两个造型，在每个造型中，相邻小球的高度差均为a．为了使小球从造型一（如图2）变到造型二（如图3），控制电机使造型一中的②，③，④，⑥，⑦，⑧号小球同时运动，②，③，④号小球向下运动，运动速度均为3 米/秒；⑥，⑦，⑧号小球向上运动，运动速度均为2 米/秒，当每个小球到达造型二的相应位置时就停止运动．已知⑦号小球比②号小球晚秒到达相应位置，问②号小球运动了多少米？五．解答题（本大题共12 分，第25 题6 分，第26 题各6 分）25．（6 分）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a=b=0．我们称使得成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为（a，b）．（1）若（1，b）是“相伴数对”，求b 的值；（2）写出一个“相伴数对”（a，b），其中a≠0，且a≠1；（3）若（m，n）是“相伴数对”，求代数式m﹣﹣[4m﹣2（3n﹣1）]的值．26．（6分）如图1，点O 是弹力墙MN 上一点，魔法棒从OM 的位置开始绕点O 向ON 的位置顺时针旋转，当转到ON 位置时，则从ON 位置弹回，继续向OM 位置旋转；当转到OM 位置时，再从OM 的位置弹回，继续转向ON 位置，…，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1 步，从OA0（OA0在OM 上）开始旋转α至OA1；第2 步，从OA1 开始继续旋转2α至OA2；第3 步，从OA2 开始继续旋转3α至OA3，…．例如：当α=30°时，OA1，OA2，OA3，OA4 的位置如图2 所示，其中OA3 恰好落在ON 上，∠A3OA4=120°；当α=20°时，OA1，OA2，OA3，OA4，OA5 的位置如图3 所示，其中第4 步旋转到ON 后弹回，即∠A3ON+∠NOA4=80°，而OA5 恰好与OA2 重合．解决如下问题：（1）若α=35°，在图4 中借助量角器画出OA2，OA3，其中∠A3OA2 的度数是；（2）若α＜30°，且OA4 所在的射线平分∠A2OA3，在如图5 中画出OA1，OA2，OA3，OA4 并求出α的值；（3）若α＜36°，且∠A2OA4=20°，则对应的α值是．（4）（选做题）当OA i 所在的射线是∠A j OA k（i，j，k 是正整数，且OA j 与OA k 不重合）的平分线时，旋转停止，请探究：试问对于任意角α（α的度数为正整数，且α＜180°），旋转是否可以停止？写出你的探究思路．2015-2016 学年北京市海淀区七年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共30 分，每小题3 分）1．（3 分）的相反数为（）A．2 B．﹣C．D．﹣2【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．【解答】解：的相反数为﹣，故选：B．【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．（3分）石墨烯（Graphene）是从石墨材料中剥离出来、由碳原子组成的只有一层原子厚度的二维晶体．石墨烯一层层叠起来就是石墨，厚 1 毫米的石墨大约包含300 万层石墨烯．300 万用科学记数法表示为（）A．300×104 B．3×105 C．3×106 D．3000000【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．【解答】解：300 万用科学记数法表示为3×106．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3．（3 分）下列各式结果为负数的是（）A．﹣（﹣1）B．（﹣1）4C．﹣|﹣1| D．|1﹣2|【分析】根据小于零的数是负数，可得答案．【解答】解：A、﹣（﹣1）=1 是正数，故A 错误；B、（﹣1）4=1 是正数，故B 错误；C、﹣|﹣1|=﹣1 是负数，故C 正确；D、|1﹣2|=1，故D 错误；故选：C．【点评】本题考查了正数和负数，小于零的数是负数，化简各数是解题关键．4．（3 分）下列计算正确的是（）A．a+a=a2B．6a3﹣5a2=aC．3a2+2a3=5a5D．3a2b﹣4ba2=﹣a2b【分析】根据合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案．【解答】解：A、合并同类项是解题关键，故A 错误；B、不是同类项不能合并，故B 错误；C、不是同类项不能合并，故C 错误；D、合并同类项系数相加字母及指数不变，故D 正确；故选：D．【点评】本题考查了合并同类项，合并同类项系数相加字母及指数不变．5．（3分）用四舍五入法对0.02015（精确到千分位）取近似数是（）A．0.02 B．0.020 C．0.0201D．0.0202【分析】把万分位上的数字1 进行四舍五入即可．【解答】解：0.02015≈0.020（精确到千分位）．故选：B．【点评】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法；从一个数的左边第一个不是0 的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．6．（3 分）如图所示，在三角形ABC中，点D是边AB上的一点．已知∠ACB=90°，∠CDB=90°，则图中与∠A 互余的角的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据图形和余角的概念解答即可．【解答】解：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠CDB=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A 互余的角的个数是2．故选：B．【点评】本题考查的是余角和补角的概念，掌握和为90 度的两个角互为余角是解题的关键．7．（3分）若方程2x+1=﹣1 的解是关于x 的方程1﹣2（x﹣a）=2 的解，则a 的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．﹣【分析】根据解方程，可得x 的值，根据同解方程，可得关于a 的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：解2x+1=﹣1，得x=﹣1．把x=﹣1 代入1﹣2（x﹣a）=2，得1﹣2（﹣1﹣a）=2．解得a=﹣，故选：D．【点评】本题考查了同解方程，利用同解方程得出关于a 的方程是解题关键．8．（3分）一件夹克衫先按成本价提高50%标价，再将标价打8 折出售，结果获利28 元，如果设这件夹克衫的成本价是x 元，那么根据题意，所列方程正确的是（）A．0.8（1+0.5）x=x+28 B．0.8（1+0.5）x=x﹣28C．0.8（1+0.5x）=x﹣28 D．0.8（1+0.5x）=x+28【分析】设这件夹克衫的成本价是x 元，根据题意可得，利润=标价×80%﹣成本价，据此列出方程．【解答】解：设这件夹克衫的成本价是x 元，由题意得，0.8（1+50%）x﹣x=28，即0.8（1+0.5）x=28+x．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．9．（3 分）在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若a c＜0，b+a＜0，则（）A．b+c＜0 B．|b|＜|c| C．|a|＞|b| D．abc＜0【分析】根据数轴和ac＜0，b+a＜0，可以判断选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．【解答】解：由数轴可得，a＜b＜c，∵ac＜0，b+a＜0，∴如果a=﹣2，b=0，c=2，则b+c＞0，故选项A 错误；如果a=﹣2，b=﹣1，c=0.9，则b|＞|c|，故选项B 错误；如果a=﹣2，b=0，c=2，则abc=0，故选D 错误；∵a＜b，ac＜0，b+a＜0，∴a＜0，c＞0，|a|＞|b|，故选项C 正确；故选：C．【点评】本题考查数轴，解题的关键是明确数轴的特点，能举出错误选项的反例．10．（3 分）已知AB 是圆锥（如图1）底面的直径，P 是圆锥的顶点，此圆锥的侧面展开图如图2 所示．一只蚂蚁从A 点出发，沿着圆锥侧面经过PB 上一点，最后回到A 点．若此蚂蚁所走的路线最短，那么M，N，S，T（M，N，S，T 均在PB 上）四个点中，它最有可能经过的点是（）A．M B．N C．S D．T【分析】根据圆锥画出侧面展开图，根据两点之间线段最短可得它最有可能经过的点是N．【解答】解：如图所示：根据圆锥侧面展开图，此蚂蚁所走的路线最短，那么M，N，S，T（M，N，S，T 均在PB 上）四个点中，它最有可能经过的点是N，，故选：B．【点评】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短．二．填空题（本大题共24 分，每小题3 分）11．（3 分）在“1，﹣0.3，+，0，﹣3.3”这五个数中，非负有理数是1，+ ，0 ．（写出所有符合题意的数）【分析】根据大于或等于零的有理数是非负有理数，可得答案．【解答】解：非负有理数是1，+，0．故答案为：1，+ ，0．【点评】本题考查了有理数，大于或等于零的有理数是非负有理数．12．（3 分）∠AOB 的大小可由量角器测得（如图所示），则∠AOB 的补角的大小为120 °．【分析】先根据图形得出∠AOB=60°，再根据和为180 度的两个角互为补角即可求解．【解答】解：由题意，可得∠AOB=60°，则∠AOB 的补角的大小为：180°﹣∠AOB=120°．故答案为120．【点评】本题考查补角的定义：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．熟记定义是解题的关键．13．（3 分）计算：180°﹣20°40′=159°20′．【分析】先变形得出179°60′﹣20°40′，再度、分分别相减即可．【解答】解：180°﹣20°40′=179°60′﹣20°40′=159°20°．故答案为：159°20′．【点评】本题考查了度、分、秒之间的换算的应用，能熟记度、分、秒之间的关系是解此题的关键，注意：1°=60′，1′=60″．14．（3 分）某4 名工人3 月份完成的总工作量比此月人均定额的4 倍多15 件，如果设此月人均定额是x件，那么这4 名工人此月实际人均工作量为件．（用含x的式子表示）【分析】根据4 名工人3 月份完成的总工作量比此月人均定额的4 倍多15 件得到总工作量是（4x+15）件，再把总工作量除以4 可得这4 名工人此月实际人均工作量．【解答】解：（4x+15）÷4=（件）．答：这4 名工人此月实际人均工作量为件．故答案为：．【点评】考查了列代数式，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“和”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式．15．（3 分）|a|的含义是：数轴上表示数 a 的点与原点的距离．则|﹣2|的含义是数轴上表示﹣2 的点与原点的距离；若|x|=2，则x 的值是±2 ．【分析】直接利用绝对值的定义得出|﹣2|的含义以及求出x 的值．【解答】解：|﹣2|的含义是数轴上表示﹣2 的点与原点的距离；|x|=2，则x 的值是：±2．故答案为：数轴上表示﹣2 的点与原点的距离；±2．【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．16．（3 分）某小组几名同学准备到图书馆整理一批图书，若一名同学单独做要40h 完成．现在该小组全体同学一起先做8h 后，有2 名同学因故离开，剩下的同学再做4h，正好完成这项工作．假设每名同学的工作效率相同，问该小组共有多少名同学？若设该小组共有x 名同学，根据题意可列方程为=1 ．【分析】设该小组共有x 名同学，根据题意可得，全体同学整理8 小时完成的任务+（x﹣2）名同学整理4 小时完成的任务=1，据此列方程．【解答】解：设该小组共有x 名同学，由题意得，+=1．故答案为：+=1．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．17．（3 分）如图所示，AB+CD＜AC+BD．（填“＜”，“＞”或“=”）【分析】AC 与BD 的交点为E，由两点之间线段最短可知AE+BE＞AB，同理得到CE+DE＞DC，从而得到AB+CD＜AC+BD．【解答】解：如图所示：由两点之间线段最短可知AE+BE＞AB．同理：CE+DE＞DC．∴AE+BE+CE+DE＞AB+DC．∴AC+BD＞AB+DC，即AB+DC＜AC+BD．故答案为：＜．【点评】本题主要考查的是线段的性质，掌握线段的性质是解题的关键．18．（3 分）已知数轴上动点A 表示整数x 的点的位置开始移动，每次移动的规则如下：当点A 所在位置表示的数是7 的整数倍时，点A 向左移动3 个单位，否则，点A 向右移动1 个单位，按此规则，点A 移动n 次后所在位置表示的数记做x n．例如，当x=1 时，x3=4，x6=7，x7=4，x8=5．①若x=1，则x14= 7 ；②若|x+x1+x2+x3+…+x20|的值最小，则x3= ﹣1 ．【分析】（1）按照规律写出x14即可．（2）当x=﹣3 时，|x+x1+x2+x3+…+x20|的值最小，由此可以解决问题．【解答】解：①由题意：x1=2，x2=3，x3=4，x4=5，x5=6，x6=7，x7=4，x8=5，x9=6，x10=7，x11=4，x12=5，x13=6，x14=7．故答案为x14=7．②特殊值法：当x=﹣6 时，可得|x+x1+x2+x3+…+x20|=44，当x=﹣5 时，可得|x+x1+x2+x3+…+x20|=39，当x=﹣4 时，可得|x+x1+x2+x3+…+x20|=34，当x=﹣3 时，可得|x+x1+x2+x3+…+x20|=33，当x=﹣2 时，可得|x+x1+x2+x3+…+x20|=32，当x=﹣1 时，可得|x+x1+x2+x3+…+x20|=31，当x=0 时，可得|x+x1+x2+x3+…+x20|=30，综上所述，x=0 时，|x+x1+x2+x3+…+x20|的值最小，此时x3=﹣1故答案为﹣1．【点评】本题考查规律型：图形的变化，解题的关键是连接题意，利用规律解决问题，可以取特殊值尝试一下，找到x 为何值时|x+x1+x2+x3+…+x20|的值最小，属于中考常考题型．三．解答题（本大题共21 分，第19 题7 分，第20 题4 分，第21 题10 分）19．（7 分）计算：（1）3﹣6×；（2）﹣42÷（﹣2）3﹣×．【分析】（1）根据有理数的乘法和减法进行计算即可；（2）根据有理数的乘方、除法、乘法和减法进行计算即可．【解答】解：（1）3﹣6×=3﹣6×=3﹣1=2；（2）﹣42÷（﹣2）3﹣×=﹣16÷（﹣8）﹣=2﹣1=1．【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．20．（4 分）如图，已知三个点A，B，C．按要求完成下列问题：（1）取线段AB 的中点D，作直线DC；（2）用量角器度量得∠ADC的大小为90°（精确到度）；（3）连接BC，AC，则线段BC，AC 的大小关系是BC=AC ；对于直线DC 上的任意一点C′，请你做一做实验，猜想线段BC′与AC′的大小关系是BC′=AC′．【分析】（1）利用线段垂直平分线的作法得出D点位置，进而得出答案；（2）利用量角器得出∠ADC 的大小；（3）利用线段垂直平分线的性质得出线段BC，AC 的大小关系以及线段BC′与AC′的大小关系．【解答】解：（1）如图所示：直线DC即为所求；（2）90°（只要相差不大都给分）．故答案为：90°；（3）BC=AC，BC′=AC′，（若（2）中测得的角不等于90°，则相应地得出线段的不等关系（注意：要分类讨论），同样给分．）【点评】此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的性质与作法，正确把握线段垂直平分线的性质是解题关键．21．（10 分）解方程：（1）3（x+2）﹣2=x+2；（2）=1﹣．【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程去分母，去括号，移项合并，把y 系数化为1，即可求出解．【解答】解：（1）去括号得：3x+6﹣2=x+2，移项合并得：2x=﹣2，解得：x=﹣1；（2）去分母得：2（7﹣5y）=12﹣3（3y﹣1），去括号得：14﹣10y=12﹣9y+3，移项合并得：﹣y=1，解得：y=﹣1．【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．四．解答题（本大题共13 分，第22、23 题各4 分，第24 题5 分）22．（4 分）先化简，再求值：﹣a2b+（3ab2﹣a2b）﹣2（2ab2﹣a2b），其中a=1，b=﹣2．【分析】首先根据整式的加减运算法则将原式化简，再代入求值．注意去括号时，如果括号前是负号，那么括号中的每一项都要变号；合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变．【解答】解：原式=﹣a2b+3ab2﹣a2b﹣4ab2+2a2b=（﹣1﹣1+2）a2b+（3﹣4）ab2= ﹣ab2，当a=1，b=﹣2 时，原式=﹣1×（﹣2）2=﹣4．【点评】解题关键是先化简，再代入求值．注意运算顺序及符号的处理．23．（4 分）如图所示，点A在线段CB上，AC=，点D是线段BC的中点．若CD=3，求线段AD 的长．【分析】根据点A 在线段CB 上，AC=，点D 是线段BC 的中点，CD=3，可以求得BC 的长，从而可以求得CA 的长，从而得到AD 的长．【解答】解：∵点D 是线段BC 的中点，CD=3，∴BC=2CD=6，∵AC= ，AC+AB=CB，∴AC=2，AB=4，∴AD=CD﹣AC=3﹣2=1，即线段AD 的长是1．【点评】本题考查两点间的距离，解题的关键是求出各线段的长，然后找出所问题需要的条件．24．（5 分）列方程解应用题：为了丰富社会实践活动，引导学生科学探究，学校组织七年级同学走进中国科技馆，亲近科学，感受科技魅力．来到科技馆大厅，同学们就被大厅里会“跳舞”的“小球矩阵”吸引住了（如图1）．白色小球全部由计算机精准控制，每一只小球可以“悬浮”在大厅上空的不同位置，演绎着曲线、曲面、平面、文字和三维图案等各种动态造型．已知每个小球分别由独立的电机控制．图2，图3 分别是9 个小球可构成的两个造型，在每个造型中，相邻小球的高度差均为a．为了使小球从造型一（如图2）变到造型二（如图3），控制电机使造型一中的②，③，④，⑥，⑦，⑧号小球同时运动，②，③，④号小球向下运动，运动速度均为3 米/秒；⑥，⑦，⑧号小球向上运动，运动速度均为2 米/秒，当每个小球到达造型二的相应位置时就停止运动．已知⑦号小球比②号小球晚秒到达相应位置，问②号小球运动了多少米？【分析】设②号小球运动了x 米，根据图中的造型和“②，③，④号小球向下运动，运动速度均为3 米/秒；⑥，⑦，⑧号小球向上运动，运动速度均为2 米/秒”列出方程并解答．【解答】解：设②号小球运动了x 米，由题意可得方程：= ，解方程得：x=2答：从造型一到造型二，②号小球运动了2 米．【点评】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．五．解答题（本大题共12 分，第25 题6 分，第26 题各6 分）25．（6 分）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a=b=0．我们称使得成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为（a，b）．（1）若（1，b）是“相伴数对”，求b 的值；（2）写出一个“相伴数对”（a，b），其中a≠0，且a≠1；（3）若（m，n）是“相伴数对”，求代数式m﹣﹣[4m﹣2（3n﹣1）]的值．【分析】（1）利用“相伴数对”的定义化简，计算即可求出b的值；（2）写出一个“相伴数对”即可；（3）利用“相伴数对”定义得到9m+4n=0，原式去括号整理后代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵（1，b）是“相伴数对”，∴+=，解得：b=﹣；（2）（2，﹣）（答案不唯一）；（3）由（m，n）是“相伴数对”可得：+=，即=，即9m+4n=0，则原式=m﹣n﹣4m+6n﹣2=﹣n﹣3m﹣2=﹣﹣2=﹣2．【点评】此题考查了整式的加减，以及代数式求值，弄清题中的新定义是解本题的关键．26．（6分）如图1，点O 是弹力墙MN 上一点，魔法棒从OM 的位置开始绕点O 向ON 的位置顺时针旋转，当转到ON 位置时，则从ON 位置弹回，继续向OM 位置旋转；当转到OM 位置时，再从OM 的位置弹回，继续转向ON 位置，…，， 如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第 1 步，从 OA 0（OA 0 在 OM 上）开始旋转α至 OA 1；第 2 步，从 OA 1 开始继续旋转 2α至 OA 2；第 3 步，从 OA 2 开始继续旋转 3α至 OA 3，…．例如：当α=30°时，OA 1，OA 2，OA 3，OA 4 的位置如图 2 所示，其中 OA 3 恰好落在 ON 上，∠A 3OA 4=120°；当α=20°时，OA 1，OA 2，OA 3，OA 4，OA 5 的位置如图 3 所示，其中第 4 步旋转到 ON 后弹回，即∠A 3ON +∠NOA 4=80°，而 OA 5 恰好与 OA 2 重合．解决如下问题：（1）若α=35°，在图 4 中借助量角器画出 OA 2，OA 3，其中∠A 3OA 2 的度数是 45° ；（2）若α＜30°，且 OA 4 所在的射线平分∠A 2OA 3，在如图 5 中画出 OA 1，OA 2， OA 3，OA 4 并求出α的值；（3）若α＜36°，且∠A 2OA 4=20°，则对应的α值是，（ ）° ．（4）（选做题）当 OA i 所在的射线是∠A j OA k （i ，j ，k 是正整数，且 OA j 与 OA k 不重合）的平分线时，旋转停止，请探究：试问对于任意角α（α的度数为正 整数，且α＜180°），旋转是否可以停止？写出你的探究思路．【分析】（1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可；（2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出α的度数即可；（3）类比第（2）小题的算法，分三种情况讨论，求出α的度数即可；（4）无论a 为多少度，旋转很多次，总会出一次OA i 是∠A i OA K 是的角平分线，但当a=120 度时，只有两条射线，不会出现OA i 是∠A j OA K 是的角平分线，所以旋转会中止．【解答】解：（1）解：如图所示．∠a=45°，（2）解：如图所示．∵α＜30°，∴∠A0OA3＜180°，4α＜180°．∵OA4 平分∠A2OA3，∴2（180°﹣6α）+ =4α，解得：．（3），，（）°（4）对于角α=120°不能停止．理由如下：无论a 为多少度，旋转过若干次后，一定会出现OA i 是∠A j OA K 是的角平分线，所以旋转会停止．但特殊的，当a 为120°时，第一次旋转120°，∠MOA1=120°，第二次旋转240°时，与OM 重合，第三次旋转360°，又与OM 重合，第四次旋转480°时，又与OA1 重合，…依此类推，旋转的终边只会出现“与OM 重合”或“与OA1 重合”两种情况，不会出第三条射线，所以不会出现OA i 是∠A j OA K 是的角平分线这种情况，旋转不会停止．【点评】本题主要考察角度的计算的相关知识，可结合平角的性质及角度的加减进行计算分析．第21页（共21页）。
2016年北京海淀区高考数学一模理试题PDF解析版
sin AC sin 2 2 （Ⅱ） 由（Ⅰ） BC 3sin 3sin 3 6 2 AC BC. 3 在 VABC 中, 应用余弦定理, 有
AC 2 BC 2 AB2 2 AC BC cos ACB
将 AC
2 2 BC , AB 19, ACB 带入上式，得到 3 6 2 3 4 2 2 BC 2 BC 2 19 2 BC 2 cos 9 3 3 19 BC 2 19 9 BC 3
y2 1. 为 3 ，所以 c 2 ，从而 a 1, b 3 ，双曲线为 x 3
2 2
2
13、如图，在三角形三条边上的 6 个不同的圆内分别填入数字 1，2，3 中的一个. （1）当每条边上的三个数字之和为 4 时，不同的填法有 （2）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有 【答案】 4 ， 种; 种.
北京市海淀区 2015-2016 学年度第二学期高三综合练习（一） 数学试卷（理科）
2016.4
第 I 卷（选择题 共 40 分）
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项） 1、函数 f ( x) A. [0, ) 【答案】A 【解析】本题考查函数的定义域，只需 2 1 0 ，即 x 0.
2
1 1 2 1 1
其他顶点随之确定，故有 6 种填法. 14、已知函数 f ( x) ，对于实数 t 若存在 a 0, b 0 ，满足 x [t a, t b] ，使得 f ( x) f (t ) 2 ，则记
a b 的最大值为 H (t ).
（1）当 f ( x) 2 x 时， H (0)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知（1+bi）i=﹣1+i，则b的值为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i2．（5分）抛物线x2=4y的准线与y轴的交点的坐标为（）A．B．（0，﹣1）C．（0，﹣2）D．（0，﹣4）3．（5分）如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若，则λ﹣μ的值为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣34．（5分）某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a值为1，则输出的a值为（）A．1 B．2 C．3 D．55．（5分）已知数列A：a1，a2，a3，a4，a5，其中a i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，4，5，则满足a1+a2+a3+a4+a5=3的不同数列A一共有（）A．15个B．25个C．30个D．35个6．（5分）已知圆C：（x﹣2）2+y2=4，直线，l 2：y=kx﹣1，若l1，l2被圆C 所截得的弦的长度之比为1：2，则k的值为（）A．B．1 C．D．7．（5分）若x，y满足，则z=y﹣2|x|的最大值为（）A．﹣8 B．﹣4 C．1 D．28．（5分）已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′，记过点A与三条直线AB，AD，AA′所成角都相等的直线条数为m，过点A与三个平面AB′，AC，AD′所成角都相等的直线的条数为n，则下面结论正确的是（）A．m=1，n=1 B．m=4，n=1 C．m=3，n=4 D．m=4，n=4二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知双曲线的一条渐近线过点（1，2），则b=，其离心率为．10．（5分）在（x+）6的展开式中，常数项为（用数字作答）11．（5分）已知等比数列{a n}的公比为2，若a2+a3=4，则a1+a4=．12．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥中最长棱的棱长为．13．（5分）已知函数，若f（x）的最小值是a，则a=．14．（5分）已知△ABC，存在△A1B1C1，满足==，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形．（1）在满足下列条件的三角形中，存在“友好：三角形的是；（请写出符合要求的条件的序号）①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°（2）若△ABC存在”友好“三角形，且A=70°，则另外两个角的度数分别为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值与最小值的和．16．（13分）已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A症状的概率为．为了研究连续服用该药物后出现A症状的情况，做药物试验．试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期．假设每次用药后当天是否出现A症状的出现与上次用药无关．（Ⅰ）如果出现A症状即停止试验”，求试验至多持续一个用药周期的概率；（Ⅱ）如果在一个用药周期内出现3次或4次A症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至多持续两个周期．设药物试验持续的用药周期数为η，求η的期望．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AD⊥AB，且PB=AB=AD=3，BC=1．（Ⅰ）若点F为PD上一点且，证明：CF∥平面PAB；（Ⅱ）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（Ⅲ）在线段PD上是否存在一点M，使得CM⊥PA？若存在，求出PM的长；若不存在，说明理由．18．（13分）已知函数．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）求证：当0＜k＜1时，关于x的不等式f（x）＞1在区间[1，e]上无解．（其中e=2.71828…）19．（14分）已知椭圆的离心率为，其左顶点A在圆O：x2+y2=16上．（Ⅰ）求椭圆W的方程；（Ⅱ）若点P为椭圆W上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q．是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．20．（13分）若实数数列{a n}满足，则称数列{a n}为“P数列”．（Ⅰ）若数列{a n}是P数列，且a1=0，a4=1，求a3，a5的值；（Ⅱ）求证：若数列{a n}是P数列，则{a n}的项不可能全是正数，也不可能全是负数；（Ⅲ）若数列{a n}为P数列，且{a n}中不含值为零的项，记{a n}前2016项中值为负数的项的个数为m，求m所有可能取值．2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（2015秋•海淀区期末）已知（1+bi）i=﹣1+i，则b的值为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【分析】利用复数代数形式的乘法运算展开等式右边，由复数相等的条件求出b的值即可．【解答】解：∵（1+bi）i=﹣1+i，∴i﹣b=﹣1+i，∴b=1，故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．2．（5分）（2015秋•海淀区期末）抛物线x2=4y的准线与y轴的交点的坐标为（）A．B．（0，﹣1）C．（0，﹣2）D．（0，﹣4）【分析】利用抛物线x2=4y的准线方程为y=﹣1，即可求出抛物线x2=4y的准线与y轴的交点的坐标．【解答】解：抛物线x2=4y的准线方程为y=﹣1，∴抛物线x2=4y的准线与y轴的交点的坐标为（0，﹣1），故选：B．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，比较基础．3．（5分）（2015秋•海淀区期末）如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若，则λ﹣μ的值为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣3【分析】利用平面向量的三角形法则，将用表示，再由平面向量基本定理得到λ，μ的值．【解答】解：由题意，因为E为DC的中点，所以，所以，即，所以λ=﹣1，μ=2，所以λ﹣μ=﹣3；故选：D．【点评】本题考查了三角形中线的向量性质以及平面向量基本定理的运用；属于基础题．4．（5分）（2015秋•海淀区期末）某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a值为1，则输出的a值为（）A．1 B．2 C．3 D．5【分析】由已知中的程序框图及已知中输入a=3，可得：进入循环的条件为i≤3，模拟程序的运行结果，即可得到输出的a值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1i=1a=2×1﹣1=1，i=2，不满足条件i＞3，a=2×2﹣1=3，i=3不满足条件i＞3，a=2×3﹣3=3，i=4满足条件i＞3，退出循环，输出a的值为3．故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题．5．（5分）（2015秋•海淀区期末）已知数列A：a1，a2，a3，a4，a5，其中a i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，4，5，则满足a1+a2+a3+a4+a5=3的不同数列A一共有（）A．15个B．25个C．30个D．35个【分析】由题意，a1，a2，a3，a4，a5，由2个0，3个1组成，或1个﹣1，4个1组成，利用组合知识，可得满足a1+a2+a3+a4+a5=3的不同数列．【解答】解：由题意，a1，a2，a3，a4，a5，由2个0，3个1组成，或1个﹣1，4个1组成，∴满足a1+a2+a3+a4+a5=3的不同数列A一共有=15．故选：A．【点评】本题考查组合知识，考查学生的计算能力，确定a1，a2，a3，a4，a5，由2个0，3个1组成，或1个﹣1，4个1组成是关键．6．（5分）（2015秋•海淀区期末）已知圆C：（x﹣2）2+y2=4，直线，l 2：y=kx ﹣1，若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，则k的值为（）A．B．1 C．D．【分析】由条件利用直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式，求得k的值．【解答】解：圆C：（x﹣2）2+y2=4的圆心为（2，0），半径为2，圆心到线的距离为，l 1被圆C所截得的弦的长度为2=2，圆心到l2的距离为，l2被圆C所截得的弦的长度为2，结合l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，可得2=2×2，求得k=，故选：C．【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．7．（5分）（2015秋•海淀区期末）若x，y满足，则z=y﹣2|x|的最大值为（）A．﹣8 B．﹣4 C．1 D．2【分析】由约束条件作出可行域，分类化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，当x≥0时，可行域为四边形OACD及其内部区域，A点是目标函数取得最大值的点；当x≤0时，可行域为三角形OAB及其内部区域，A点是目标函数取得最大值的点．∴z=y﹣2|x|的最大值为2．故选：D．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．（5分）（2015秋•海淀区期末）已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′，记过点A与三条直线AB，AD，AA′所成角都相等的直线条数为m，过点A与三个平面AB′，AC，AD′所成角都相等的直线的条数为n，则下面结论正确的是（）A．m=1，n=1 B．m=4，n=1 C．m=3，n=4 D．m=4，n=4【分析】由已知条件结合正方体的结构特征求解．【解答】解：正方体ABCD﹣A′B′C′D′，过点A与三条直线AB，AD，AA′所成角都相等的直线有：AC′，过A作BD′的平行线，过A作A′C的平行线、过A作B′D的平行线，共4条，故m=4；过点A与三个平面AB′，AC，AD′所成角都相等的直线分两类：第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每面所成角和另两个面所成角相等，有3条，合计4条，故n=4．故选：D．【点评】本题考查满足条件的直线条数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正方体的结构特征的合理运用．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2015秋•海淀区期末）已知双曲线的一条渐近线过点（1，2），则b=2，其离心率为．【分析】利用双曲线的渐近线经过的点，直接求出b，然后求解离心率即可．【解答】解：双曲线的一条渐近线y=bx，过点（1，2），可得b=2，a=1，c=，可得双曲线的离心率为：e=．故答案为：2；．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．10．（5分）（2016•萍乡二模）在（x+）6的展开式中，常数项为15（用数字作答）【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：（x+）6的展开式的通项公式为T r+1=•x6﹣3r，令6﹣3r=0，求得r=2，可得常数项为=15，故答案为：15．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．11．（5分）（2015秋•海淀区期末）已知等比数列{a n}的公比为2，若a2+a3=4，则a1+a4=6．【分析】利用等比数列的通项公式先求出首项，由此能求出a1+a4的值．【解答】解：∵等比数列{a n}的公比为2，a2+a3=4，∴=4，解得a1=，∴a1+a4==6．故答案为：6．【点评】本题考查等比数列中两项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．12．（5分）（2015秋•海淀区期末）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥中最长棱的棱长为．【分析】由四棱锥的三视图得到该四棱锥是如右图所示的四棱锥P﹣ABCD，其中，PC⊥底面ABCD，ABCD是边长为2的正方形，PC=2，由此能求出该四棱锥中最长棱的棱长．【解答】解：由四棱锥的三视图得到该四棱锥是如右图所示的四棱锥P﹣ABCD，其中，PC⊥底面ABCD，ABCD是边长为2的正方形，PC=2，∴该四棱锥中最长棱的棱为AP，∵AC==2，∴AP==2．故答案为：2．【点评】本题考查四棱锥中棱长最长的棱长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三视图的性质的合理运用．13．（5分）（2016•崇明县二模）已知函数，若f（x）的最小值是a，则a=﹣4．【分析】运用指数函数的单调性，可得当x≥0时，f（x）的最小值为a+1；由题意可得f（x）在x＜0时取得最小值a，求得对称轴，可得f（）=a，解方程可得a=﹣4．【解答】解：当x≥0时，f（x）=a+2x≥a+1，即x=0时，f（x）的最小值为a+1；当x＜0时，f（x）=x2﹣ax=（x﹣）2﹣，由题意可得f（x）在x＜0时取得最小值a，即有＜0，即a＜0，则f（）=a，即﹣=a，解得a=﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查分段函数的最值的求法，注意运用指数函数和二次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．14．（5分）（2015秋•海淀区期末）已知△ABC，存在△A1B1C1，满足==，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形．（1）在满足下列条件的三角形中，存在“友好：三角形的是②；（请写出符合要求的条件的序号）①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°（2）若△ABC存在”友好“三角形，且A=70°，则另外两个角的度数分别为65°，45°．【分析】（1）假设存在友好三角形，根据新定义得出结论，（2）利用正弦定理和新定义得出A1，B1，C1与B的关系，根据内角和得出方程，解出B．【解答】解：（1）①若存在友好三角形，则，显然不成立，故①不存在友好三角形．②若存在友好三角形，则，∴a1：b1：c1=sinA1：sinA2：sinA3=：2：2．∴a1+b1=＞2，③若存在友好三角形，则，∴a1：b1：c1=sinA1：sinA2：sinA3=：：2．∴a1+b1=2（﹣）＜2．与三角形两根之和大于第三边矛盾．故③不存在友好三角形．综上，存在友好三角形的是②．（2）C=180°﹣70°﹣B=110°﹣B．∴，即，∴，∵，∴sinA1=sin20°，sinB1=sin（90°﹣B），sinC1=sin（B﹣20°），∴A1=20°或160°，B1=90°﹣B，或B1=90°+B，C1=B﹣20°或200°﹣B．∵A1+B1+C1=180°，∴20°+90°﹣B+200°﹣B=180°，或20°+90°+B+B﹣20°=180°，解得B=65°，或者B=45°．∴C=45°，或C=65°．故答案为65°，45°．【点评】本题考查了正弦定理及三角形的相关知识，属于中档题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）（2016•天津一模）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值与最小值的和．【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=，由周期公式可得；（Ⅱ）由x的范围可得，分别可得得最小值和最大值，相加由诱导公式计算可得．【解答】解：（Ⅰ）化简可得==2cosx（sinx﹣cosx）+1=2cosxsinx﹣2cos2x+1=sin2x﹣cos2x=，∴函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）∵，∴，∴．当时，函数f（x）取得最小值；当时，函数f（x）取得最大值，由诱导公式计算可得，∴函数f（x）在区间上的最大值与最小值的和为0．【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和最值，属中档题．16．（13分）（2015秋•海淀区期末）已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A症状的概率为．为了研究连续服用该药物后出现A症状的情况，做药物试验．试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期．假设每次用药后当天是否出现A症状的出现与上次用药无关．（Ⅰ）如果出现A症状即停止试验”，求试验至多持续一个用药周期的概率；（Ⅱ）如果在一个用药周期内出现3次或4次A症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至多持续两个周期．设药物试验持续的用药周期数为η，求η的期望．【分析】（Ⅰ）设持续i天为事件A i，i=1，2，3，4，用药持续最多一个周期为事件B，由此利用互斥事件概率加法公式能求出试验至多持续一个用药周期的概率．法二：设用药持续最多一个周期为事件B，则为用药超过一个周期，利用对立事件概率计算公式能求出试验至多持续一个用药周期的概率．（Ⅱ）随机变量η可以取1，2，分别求出相应的概率，由此能求出η的期望．【解答】解：（Ⅰ）法一：设持续i天为事件A i，i=1，2，3，4，用药持续最多一个周期为事件B，…．（1分）所以，…．（5分）则．…．（6分）法二：设用药持续最多一个周期为事件B，则为用药超过一个周期，…．（1分）所以，…．（3分）所以．…．（6分）（Ⅱ）随机变量η可以取1，2，…．（7分）所以，，….11分所以．…．（13分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．17．（14分）（2015秋•海淀区期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AD⊥AB，且PB=AB=AD=3，BC=1．（Ⅰ）若点F为PD上一点且，证明：CF∥平面PAB；（Ⅱ）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（Ⅲ）在线段PD上是否存在一点M，使得CM⊥PA？若存在，求出PM的长；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）过点F作FH∥AD，交PA于H，连接BH，证明HF∥BC，CF∥BH，然后证明CF∥平面PAD．（Ⅱ）说明BC⊥AB．PB⊥AB，PB⊥BC，以B为原点，BC，BA，BP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面BPD的一个法向量，平面APD的一个法向量，通过向量的数量积求解二面角B﹣PD﹣A的大小．（Ⅲ）假设存在点M，设，利用向量的数量积求解即可．【解答】解：（Ⅰ）过点F作FH∥AD，交PA于H，连接BH，因为，所以．…．（1分）又FH∥AD，AD∥BC，所以HF∥BC．…．（2分）所以BCFH为平行四边形，所以CF∥BH．…．（3分）又BH⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，…．（4分）（一个都没写的，则这（1分）不给）所以CF∥平面PAB．…．（5分）（Ⅱ）因为梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，所以BC⊥AB．因为PB⊥平面ABCD，所以PB⊥AB，PB⊥BC，如图，以B为原点，BC，BA，BP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，…．（6分）所以C（1，0，0），D（3，3，0），A（0，3，0），P（0，0，3）．设平面BPD的一个法向量为，平面APD的一个法向量为，因为，所以，即，…．（7分）取x=1得到，…．（8分）同理可得，…．（9分）所以，…．（10分）因为二面角B﹣PD﹣A为锐角，所以二面角B﹣PD﹣A为．…．（11分）（Ⅲ）假设存在点M，设，所以，…．（12分）所以，解得，…．（13分）所以存在点M，且．…．（14分）【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，向量的数量积的应用，考查空间想象能力以及计算能力．18．（13分）（2016•天津一模）已知函数．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间和极值；（其中e=2.71828…）（Ⅱ）求证：当0＜k＜1时，关于x的不等式f（x）＞1在区间[1，e]上无解．【分析】（Ⅰ）当时，化简函数f（x）的解析式，利用函数的导数求解函数的单调区间和极值；（Ⅱ）当0＜k＜1时，求出函数f（x）在区间[1，e]上的最大值，然后判断结果即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以，…．（1分）当时，．…．（2分）令，得x1=1，x2=2，…．（3分）所以f（x）在x=1处取得极大值，在x=2处取得极小值．…．（7分）函数f（x）的单调递增区间为（0，1），（2，+∞），f（x）的单调递减区间为（1，2）．…．（8分）（Ⅱ）证明：不等式f（x）＞1在区间[1，e]上无解，等价于f（x）≤1在区间[1，e]上恒成立，即函数f（x）在区间[1，e]上的最大值小于等于1．因为，令f′（x）=0，得．…．（9分）因为0＜k＜1时，所以．当时，f'（x）≤0对x∈[1，e]成立，函数f（x）在区间[1，e]上单调递减，…．（10分）所以函数f（x）在区间[1，e]上的最大值为f（1）=k﹣1＜1，所以不等式f（x）＞1在区间[1，e]上无解；…．（11分）当时，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：1）或f（e）．…．（12分）此时f（1）=k﹣1＜1，，所以=．综上，当0＜k＜1时，关于x的不等式f（x）＞1在区间[1，e]上无解．…．（13分）【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．19．（14分）（2016•天津一模）已知椭圆的离心率为，其左顶点A在圆O：x2+y2=16上．（Ⅰ）求椭圆W的方程；（Ⅱ）若点P为椭圆W上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q．是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）由题意求出a，通过离心率求出c，然后求解椭圆的标准方程．（Ⅱ）法一：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），设直线AP的方程为y=k（x+4），与椭圆方程联立，利用弦长公式求出|AP|，利用垂径定理求出|oa|，即可得到结果．法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），设直线AP的方程为x=my﹣4，与椭圆方程联立与椭圆方程联立得求出|AP|，利用垂径定理求出|oa|，即可得到结果．法三：假设存在点P，推出，设直线AP的方程为x=my﹣4，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，推出，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆W的左顶点A在圆O：x2+y2=16上，令y=0，得x=±4，所以a=4．…．（1分）又离心率为，所以，所以，…．（2分）所以b2=a2﹣c2=4，…．（3分）所以W的方程为．…．（4分）（Ⅱ）法一：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），设直线AP的方程为y=k（x+4），…．（5分）与椭圆方程联立得，化简得到（1+4k2）x2+32k2x+64k2﹣16=0，…．（6分）因为﹣4为上面方程的一个根，所以，所以．…．（7分）所以．…．（8分）因为圆心到直线AP的距离为，…．（9分）所以，…．（10分）因为，…．（11分）代入得到．…．（13分）显然，所以不存在直线AP，使得．…．（14分）法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），设直线AP的方程为x=my﹣4，…．（5分）与椭圆方程联立得化简得到（m2+4）y2﹣8my=0，由△=64m2＞0得m≠0．…．（6分）显然0是上面方程的一个根，所以另一个根，即．…．（7分）由，…．（8分）因为圆心到直线AP的距离为，…．（9分）所以．…．（10分）因为，…．（11分）代入得到，…．（13分）若，则m=0，与m≠0矛盾，矛盾，所以不存在直线AP，使得．…．（14分）法三：假设存在点P，使得，则，得．…．（5分）显然直线AP的斜率不为零，设直线AP的方程为x=my﹣4，…．（6分）由，得（m2+4）y2﹣8my=0，由△=64m2＞0得m≠0，…．（7分）所以．…．（9分）同理可得，…．（11分）所以由得，…．（13分）则m=0，与m≠0矛盾，所以不存在直线AP，使得．…．（14分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的方程的求法，考查转化思想以及计算能力．20．（13分）（2015秋•海淀区期末）若实数数列{a n}满足，则称数列{a n}为“P数列”．（Ⅰ）若数列{a n}是P数列，且a1=0，a4=1，求a3，a5的值；（Ⅱ）求证：若数列{a n}是P数列，则{a n}的项不可能全是正数，也不可能全是负数；（Ⅲ）若数列{a n}为P数列，且{a n}中不含值为零的项，记{a n}前2016项中值为负数的项的个数为m，求m所有可能取值．【分析】（Ⅰ）推导出a3=|a2|﹣a0=|a2|，a4=|a3|﹣a2=|a2|﹣a2，由此能求出a3，a5的值．（Ⅱ）假设P数列{a n}的项都是正数，则a n+2=a n+1﹣a n，a n+3=a n+2﹣a n+1=﹣a n＜0，与假设矛盾；假设P数列{a n}的项都是负数，则a n+2=|a n+1|﹣a n＞0，与假设矛盾，由此能证明{a n}的项不可能全是正数，也不可能全是负数．（Ⅲ）存在最小的正整数k满足a k＜0，a k+1＞0（k≤5），数列{a n}是周期为9的数列，由此能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）因为{a n}是P数列，且a1=0，所以a3=|a2|﹣a0=|a2|，所以a4=|a3|﹣a2=|a2|﹣a2，所以|a2|﹣a2=1，解得…．（1分）所以．…．（3分）证明：（Ⅱ）假设P数列{a n}的项都是正数，即a n＞0，a n+1＞0，a n+2＞0，所以a n+2=a n+1﹣a n，a n+3=a n+2﹣a n+1=﹣a n＜0，与假设矛盾．故P数列{a n}的项不可能全是正数，…．（5分）假设P数列{a n}的项都是负数，则a n＜0，而a n+2=|a n+1|﹣a n＞0，与假设矛盾，….7分故P数列{a n}的项不可能全是负数．解：（Ⅲ）由（Ⅱ）可知P数列{a n}中项既有负数也有正数，且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数．因此存在最小的正整数k满足a k＜0，a k+1＞0（k≤5）．设a k=﹣a，a k+1=b（a，b＞0），则a k+2=b+a，a k+3=a，a k+4=﹣b，a k+5=b﹣a．a k+6=|b﹣a|+b，a k+7=|b﹣a|+a，a k+8=a﹣b，a k+9=﹣a，a k+10=b，故有a k=a k+9，即数列{a n}是周期为9的数列…．（9分）由上可知a k，a k+1，…，a k+8这9项中，a k，a k+4为负数，a k+5，a k+8这两项中一个为正数，另一个为负数，其余项都是正数．因为2016=9×224，所以当k=1时，m=224×3=672；当2≤k≤5时，a1，a2，…，a k﹣1这k﹣1项中至多有一项为负数，而且负数项只能是a k﹣1，记a k，a k+1，…，a2016这2007﹣k项中负数项的个数为t，当k=2，3，4时，若a k﹣1＜0，则b=a k+1=|a k|﹣a k﹣1＞|a k|=a，故a k+8为负数，此时t=671，m=671+1=672；若a k﹣1＞0，则b=a k+1=|a k|﹣a k﹣1＜|a k|=a，故a k+5为负数．此时t=672，m=672，当k=5时，a k﹣1必须为负数，t=671，m=672，…．（12分）综上可知m的取值集合为{672}．…．（13分）【点评】本题考查数列中第3项和第5项的求法，考查数列中的项不可能全是正数，也不可能全是负数的证明，考查实数的集合的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列性质的合理运用．。