【常考题】高三数学上期末一模试卷(及答案)
【必考题】高三数学上期末一模试题(含答案)
【必考题】高三数学上期末一模试题(含答案)一、选择题1．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．设,x y 满足约束条件 202300x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46y x ++的取值范围是A ．3[3,]7- B ．[3,1]- C ．[4,1]-D ．(,3][1,)-∞-⋃+∞3．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（ ） A．2+B1C．2 D14．已知数列{}n a 的通项公式是221sin2n n a n π+=（），则12310a a a a ++++=L A ．110B ．100C ．55D ．05．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32xy =⨯的图象上，等比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*()n N ∈，其前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（ ）A ．2n n S T =B ．21n n T b =+C ．n n T a >D ．1n n T b +<6．已知实数x 、y 满足约束条件00134x y x ya a⎧⎪≥⎪≥⎨⎪⎪+≤⎩，若目标函数231x y z x ++=+的最小值为32，则正实数a 的值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．17．已知点(),P x y 是平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-内的动点, 点()1,1,A O -为坐标原点, 设()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为M ,若M ≤恒成立, 则实数m 的取值范围是（ ）A ．11,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,,35⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭8．在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，2a b =，3cos 5A =，则sinB =（ ） A ．25B ．35C ．45 D ．859．设x y ，满足约束条件70310,350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩，，„„…则2z x y =-的最大值为（ ）.A ．10B ．8C ．3D ．210．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则cos2A =（ ）A ．78B ．18C ．78-D ．18-11．已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若229m n a a a =，则212m n+的最小值等于（ ） A ．1B ．12C ．34 D ．3212．等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么{}n a 的前7项和7S =（ ） A ．22B ．24C ．26D ．28二、填空题13．若为等比数列的前n 项的和，，则=___________14．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知)3cos cos ,60a C c A b B -==︒，则A 的大小为__________．15．在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a = ．16．若实数,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值等于_____．17．若关于 x 的不等式 ()2221x ax -< 的解集中的整数恰有 3 个，则实数 a 的取值范围是________________．18．已知平面四边形ABCD 中，120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，2AB AD ==，则AC 的最大值为__________．19．已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.20．若无穷等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为______.三、解答题21．设 的内角 的对边分别为 已知．（1）求角 ；（2）若，，求的面积．22．ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c ，，，且sin sin sin 2sin a A b B c C a B +=+()1求角C ； ()2求3sin cos 4A B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值．23．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-．（1）求角B ；（2）点D 在线段BC 上，满足DA DC =，且11a =，5cos()5A C -=，求线段DC 的长．24．设递增等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝3，S 3＝13，数列{b n }满足b 1＝a 1，点P （b n ，b n +1）在直线x ﹣y +2＝0上，n ∈N *. （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （2）设c n nnb a =，求数列{c n }的前n 项和T n . 25．已知点（1，2）是函数()(0,1)xf x a a a =>≠的图象上一点，数列{}n a 的前n 项和是()1n S f n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1log n a n b a +=，求数列{}n n a b •的前n 项和n T 26．已知函数()2sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<部分图象如图所示.（1）求ϕ值及图中0x 的值；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知7,()2,c f C ==-sin B =2sin A ，求a 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 【详解】∵点M (a ,b )与点N (0,−1)在直线3x −4y +5=0的两侧,∴()()34530450a b -+⨯++<，即3450a b -+<，故①错误； 当0a >时,54a b +>，a +b 即无最小值，也无最大值，故②错误； 设原点到直线3x −4y +5=0的距离为d ,则22513(4)==+-d ,则22a b +>1，故③正确；当0a >且a ≠1时,11b a +-表示点M (a ,b )与P (1,−1)连线的斜率． ∵当0a =,b =54时,51194114b a ++==---,又直线3x −4y +5=0的斜率为34， 故11b a +-的取值范围为93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故④正确.∴正确命题的个数是2个. 故选B.点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z前面的系数为负时，截距越大，z值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.2．B解析：B【解析】【分析】【详解】先作可行域，而46yx++表示两点P（x,y）与A（-6,-4）连线的斜率，所以46yx++的取值范围是[,][3,1]AD ACk k=-，选B.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.3．B解析：B【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．4．C解析：C【解析】【分析】由已知条件得a n ＝n 2sin （2n 12+π）＝22,,n n n n ⎧-⎨⎩是奇数是偶数，所以a 1+a 2+a 3+…+a 10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92，由此能求出结果． 【详解】∵2n 12+π =n π+2π，n ∈N *，∴a n ＝n 2sin （2n 12+π）＝22,,n n n n ⎧-⎨⎩是奇数是偶数， ∴a 1+a 2+a 3+…+a 10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92＝1+2+3+…+10＝()101+10=552故选C ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、三角函数的周期性，属于中档题．5．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】由题意可得：332,323n nn n S S +=⨯=⨯- ，由等比数列前n 项和的特点可得数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式：132n n a -=⨯ ，设11n nb b q -= ，则：111132n n n b q b q --+=⨯ ，解得：11,2b q == ，数列{}n b 的通项公式12n nb -= ，由等比数列求和公式有：21nn T =- ，考查所给的选项：13,21,,n n n n n n n n S T T b T a T b +==-<< .本题选择D 选项.6．D解析：D 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，根据目标函数的几何意义，利用直线斜率的几何意义以及数形结合进行求解即可. 【详解】 目标函数()12123112111x y x y y z x x x ++++++===+⨯+++， 设11y k x +=+，则k 的几何意义是区域内的点与定点(1,1)D --连线的斜率，若目标函数231x yzx++=+的最小值为32，即12z k=+的最小值是32，由3122k+=，得14k=，即k的最小值是14，作出不等式组对应的平面区域如图：由斜率的意义知过D的直线经过()3,0B a时，直线的斜率k最小，此时011314ka+==+，得314a+=，得1a=.故选：D.【点睛】本题考查利用线性规划中非线性目标函数的最值求参数，解题时要结合非线性目标函数的几何意义寻找最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.7．C解析：C【解析】试题分析：直线()4x m y=-恒过定点(0,4)，当0m>时，约束条件()4{04yx yx m y≤-≤≥-对应的可行域如图，则()OP OA Rλλ-∈u u u r u u u r的最小值为0M=，满足2M≤，当0m=时，直线()4x m y=-与y轴重合，平面区域()4{04yx yx m y≤-≤≥-为图中y轴右侧的阴影区域，则()OP OA Rλλ-∈u u u r u u u r的最小值为0M=，满足2M≤，当0m<时，由约束条件()4{04yx yx m y≤-≤≥-表示的可行域如图，点P与点B重合时，()OP OA Rλλ-∈u u u r u u u r的最小值为MOB =u u u r ，联立{(4)y x x m y ==-，解得44(,)11m mB m m --，所以421m OB m =-u u u r ，由4221m m ≤-，解得1135m -≤≤，所以103m -≤≤，综上所述，实数m 的取值范围是1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，故选C.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的理解题意，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数的最值，试题有一定的难度，属于难题.8．A解析：A 【解析】试题分析：由3cos 5A =得，又2a b =，由正弦定理可得sin B =.考点：同角关系式、正弦定理．9．B解析：B 【解析】 【分析】作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解. 【详解】 作出可行域如图：化目标函数为2y x z =-，联立70310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得5,2A（）. 由图象可知，当直线过点A 时，直线在y 轴上截距最小，z 有最大值25-28⨯=. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.10．C解析：C 【解析】 【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】∵()cos 4cos a B c b A =-． ∴sin A cos B ＝4sin C cos A ﹣sin B cos A 即sin A cos B +sin B cos A ＝4cos A sin C ∴sin C ＝4cos A sin C ∵0＜C ＜π，sin C ≠0． ∴1＝4cos A ，即cos A 14=， 那么27cos2218A cos A =-=-． 故选C 【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．11．C解析：C 【解析】∵正项等比数列{}n a 的公比为3，且229m n a a a =∴2224222223339m n m n a a a a --+-⋅⋅⋅=⋅=∴6m n +=∴121121153()()(2)(2)62622624m n m n m n n m ⨯++=⨯+++≥⨯+=，当且仅当24m n ==时取等号. 故选C.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等． （3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．12．D解析：D 【解析】试题分析：由等差数列的性质34544123124a a a a a ++=⇒=⇒=，则考点：等差数列的性质二、填空题13．-7【解析】设公比为q 则8a1q=-a1q4所以q3=-8S6S3=q6-1q3-1=q3+1=-8+1=-7解析：-7 【解析】 设公比为，则，所以．．14．【解析】由根据正弦定理得即又因为所以故答案为 解析：75︒【解析】)3acosC ccosA b -=)3sinAcosC sinCcosA sinB -=，即()332A C -=， ()1sin ,?3026A C A C π-=-==︒，又因为180B 120A C +=︒-=︒， 所以2150,A 75A =︒=︒， 故答案为75︒．15．8【解析】【分析】【详解】设等差数列的公差为则所以故答案为8解析：8 【解析】 【分析】 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 则351712610a a a a a d +=+=+=， 所以71101028a a =-=-=，故答案为8.16．【解析】【分析】先画出可行域改写目标函数然后求出最小值【详解】依题意可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域目标函数化为：则的最小值即为动直线在轴上的截距的最大值通过平移可知在点处动直线在轴上的截距最解析：72-【解析】 【分析】先画出可行域，改写目标函数，然后求出最小值 【详解】依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：3y x z =-，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为20:220x y A x y +=⎧⎨-+=⎩解得11,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以3z x y =-的最小值()min 173122z =⋅--=-． 【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值17．【解析】试题分析：关于x 的不等式（2x －1）2<ax2等价于其中且有故有不等式的解集为所以解集中一定含有123可得所以解得考点：含参数的一元二次方程的解法解析：2549, 916⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：关于x的不等式（2x－1）2<ax2等价于2(4)410a x x-+-+<，其中40a∆=>且有40a->，故有04a<<，不等式的解集为1122xa a<<+-，所以111422a<<+解集中一定含有1,2,3，可得，所以5374aa≥≤，解得2549916a≤≤.考点：含参数的一元二次方程的解法.18．4【解析】【分析】由题知：四边形为圆内接四边形的最大值为四边形外接圆的直径由正弦定理即可求出的最大值【详解】因为所以故的最大值为四边形外接圆的直径当为四边形外接圆的直径时得到：又因为所以在中由正弦定解析：4【解析】【分析】由题知：四边形ABCD为圆内接四边形，AC的最大值为四边形外接圆的直径，由正弦定理即可求出AC的最大值.【详解】因为120BAD∠=︒，60BCD∠=︒，所以故AC的最大值为四边形外接圆的直径.当AC为四边形外接圆的直径时，得到：90ADC ABC∠=∠=︒，又因为2AB AD==，60BCD∠=︒，所以30ACD ACB∠=∠=︒.在ABCV中，由正弦定理得：sin90sin30AC AB=︒︒，解得：4AC=.故答案为：4本题主要考查正弦定理得应用，判断四边形ABCD 为圆内接四边形是解题的关键，属于中档题.19．5【解析】【分析】画出不等式表示的可行域利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)化直线为当直线平移过点A 时z 取得最大值联立直线得A （解析：5 【解析】 【分析】画出不等式表示的可行域，利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可 【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)，化直线2z x y =+为122z y x =-+ 当直线平移过点A 时，z 取得最大值，联立直线3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得A （1,2），故max 145z =+=故答案为：5【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，是基础题20．【解析】【分析】首先根据无穷等比数列的各项和为2可以确定其公比满足利用等比数列各项和的公式得到得到分和两种情况求得的取值范围得到结果【详解】因为无穷等比数列的各项和为2所以其公比满足且所以当时当时所解析：(0,2)(2,4)U . 【解析】首先根据无穷等比数列{}n a 的各项和为2，可以确定其公比满足01q <<，利用等比数列各项和的公式得到121a q=-，得到122a q =-，分01q <<和10q -<<两种情况求得1a 的取值范围，得到结果. 【详解】因为无穷等比数列{}n a 的各项和为2， 所以其公比q 满足01q <<，且121a q=-， 所以122a q =-， 当01q <<时，1(0,2)a ∈， 当10q -<<时，1(2,4)a ∈，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4)U ， 故答案是：(0,2)(2,4)U . 【点睛】该题考查的是有关等比数列各项和的问题，涉及到的知识点有等比数列存在各项和的条件，各项和的公式，注意分类讨论，属于简单题目.三、解答题21．（1）（2）【解析】 【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果．（2）利用（1）的结论，余弦定理及三角形的面积公式求出结果． 【详解】（1）∵b=a （cosC ﹣sinC ），∴由正弦定理得sinB=sinAcosC ﹣sinAsinC ，可得sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC ﹣sinAsinC ， ∴cosAsinC=﹣sinAsinC ， 由sinC≠0，得sinA+cosA=0， ∴tanA=﹣1， 由A 为三角形内角， 可得．（2）因为，所以由正弦定理可得b=c ，因为a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，，可得c=，所以b=2，所以．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用． 22．()()124C π=2【解析】试题分析：（1）由正弦定理得到2222a b c ab +=，再由余弦定理得到()2222cos 024a b c C C C ab ππ+-==∈∴=，；（2）由第一问得到原式等价于33sin cos 44A A ππ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，化简后为2sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据角的范围得到三角函数的范围即可． 解析：()2221sin sin sin 2sin 2a A b B c C a B a b c ab +=∴+=Q即2222a b c ab +-=由余弦定理()2222cos 0224a b c C C C ab ππ+-==∈∴=，（23sin cos 4A B π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ 3313sin cos 3sin cos 2cos 442A A A A A A ππ⎫⎛⎫--+=-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()110,,6612A A ππππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭Q ，， 12sin 26A π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭3sin cos 4A B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值为223．（Ⅰ）6B π=;（Ⅱ）455AD =．【解析】【试题分析】（1）运用正弦定理将已知中的222sin sin sin sin A C B A C +-=等式转化为边的关系，再借助运用余弦定理求解；（2）借助题设条件DA DC =，且11a =，()cos A C -=，再运用正弦定理建立方程求解：（Ⅰ）由正弦定理和已知条件，222a c b +-=所以cos B =． 因为()0,B π∈，所以6B π=．（Ⅱ）由条件．由()()cos sin A C A C -=⇒-=．设AD x =，则CD x =，11BD x =-，在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ADBAD B=∠．故512xx =⇒=．所以5AD DC ==． 24．（1）a n ＝3n ﹣1，b n ＝2n ﹣1（2）T n ＝3﹣（n +1）•（13）n ﹣1【解析】 【分析】(1)利用基本量法求解n a ,再代入()1,n n P b b +到直线20x y -+=可得{}n b 为等差数列,再进行通项公式求解即可. (2)利用错位相减求和即可. 【详解】（1）递增等比数列{a n }的公比设为q ,前n 项和为S n ,且a 2＝3,S 3＝13, 可得a 1q ＝3,a 1+a 1q +a 1q 2＝13,解得q ＝3或q 13=, 由等比数列递增,可得q ＝3,a 1＝1,则13-=n n a ； P （b n ,b n +1）在直线x ﹣y +2＝0上,可得b n +1﹣b n ＝2, 且b 1＝a 1＝1,则b n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1； （2）c n nn b a ==（2n ﹣1）•（13）n ﹣1, 前n 项和T n ＝1•1+3•13+5•19++L （2n ﹣1）•（13）n ﹣1, 13T n ＝1•13+3•19+5•127++L （2n ﹣1）•（13）n , 相减可得23T n ＝1+2（1139+++L （13）n ﹣1）﹣（2n ﹣1）•（13）n＝1+2•111133113n -⎛⎫- ⎪⎝⎭--（2n ﹣1）•（13）n , 化简可得T n ＝3﹣（n +1）•（13）n ﹣1.【点睛】本题主要考查了等比等差数列的通项公式求解以及错位相减的求和方法,属于中档题. 25．（1）a n ＝2n －1；（2）T n ＝(n －1)2n ＋1. 【解析】 【分析】（1）由点（1,2）在()xf x a =图像上求出2a =，再利用n S 法求出n a ．（2）利用错位相减法求和，注意相减时项的符号，求和时项数的确定． 【详解】(1)把点(1,2)代入函数f (x )＝a x得a ＝2， 所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝f (n )－1＝2n－1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n－2n －1＝2n －1，对n ＝1时也适合，∴a n ＝2n －1.(2)由a ＝2，b n ＝log a a n ＋1得b n ＝n ， 所以a n b n ＝n ·2n －1.T n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1，①2T n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n .② 由①－②得：－T n ＝20＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ， 所以T n ＝(n －1)2n＋1. 【点睛】（1）主要考查了n S 法求通项公式，即11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（2）用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 26．（1）6π=ϕ,076x π=（2）1a = 【解析】试题分析：（1）根据图象可得()01f =，从而求得ϕ得值，再根据()02f x =，可得022,62x k k Z πππ+=+∈，结合图象可得0x 的值；（2）根据（1）的结论及()2f C =-，可得C 的值，将sin B = 2sin A 根据正弦定理角化边得2b a =，再根据余弦定理即可解得a 的值.试题解析：（1）由图象可以知道：()01f =. ∴1sin 2ϕ= 又∵2πϕ<∴6πϕ=∵()02f x =∴0sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，022,62x k k Z πππ+=+∈, 从而0,6x k k Z ππ=+∈. 由图象可以知道1k =, 所以076x π=（2）由()2f C =-,得sin 216C π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,且()0,C π∈. ∴23C π=∵sin 2sin B A = ∴由正弦定理得2b a =又∵由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得：2227422cos ,3a a a a π=+-⨯ ∴解得1a =。
2020-2021高三数学上期末一模试题(附答案)(7)
2020-2021高三数学上期末一模试题(附答案)(7)一、选择题1．已知数列121,,,4a a 成等差数列，1231,,,,4b b b 成等比数列，则212a ab -的值是 ( ) A ．12B ．12-C ．12或12- D ．142．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ） A ．65B ．184C ．183D ．1763．设,x y 满足约束条件3002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩, 则3z x y =+的最小值是 A ．5- B ．4C ．3-D ．114．若直线()10,0x ya b a b+=>>过点(1,1)，则4a b +的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．9D ．105．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则cos2A =（ ）A ．78B ．18C ．78-D ．18-6．已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且13213,,22a a a 成等差数列，则8967a a a a +=+ A ．6B ．7C ．8D ．97．已知数列{a n }满足331log 1log ()n n a a n N +++=∈且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D ．158．设2z x y =+，其中,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最小值是12-，则z 的最大值为（ ） A ．9-B ．12C ．12-D ．99．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21n n S a n N=-∈，则5a 等于（ ）A ．16-B ．16C ．31D ．3210．已知01x <<，01y <<，则）AB ．CD ．11．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =，a =7cos 8A =，则ABC ∆的面积为（） A B ．3CD 12．在△ABC 中，若1tan 15013A C BC ︒===，，，则△ABC 的面积S 是( )ABCD 二、填空题13．已知向量()()1,,,2a x b x y ==-r r ，其中0x >，若a r 与b r 共线，则yx的最小值为__________．14．数列{}21n-的前n 项1,3,7..21n-组成集合{}()*1,3,7,21nn A n N=-∈，从集合nA中任取()1,2,3?··n k k =个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =++⋅⋅⋅+，例如当1n =时，{}1111,1,1===A T S ；当2n =时，{}21221,2,13,13,13137A T T S ==+=⨯=++⨯=，试写出n S =___15．(广东深圳市2017届高三第二次（4月）调研考试数学理试题)我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法---“三斜求积术”，即ABC △的面积S =，其中a b c 、、分别为ABC △内角、、A B C 的对边.若2b =，且tan C =，则ABC △的面积S 的最大值为__________．16．在钝角ABC V 中，已知1AB AC ==，若ABC V 的面积为2BC 的长为______．17．设,x y 满足约束条件0{2321x y x y x y -≥+≤-≤，则4z x y =+的最大值为 .18．若正项数列{}n a 满足11n n a a +-<,则称数列{}n a 为D 型数列,以下4个正项数列{}n a 满足的递推关系分别为:①2211n n a a +-=②1111n na a+-= ③121n n n a a a +=+④2121n n a a +-=，则D 型数列{}n a 的序号为_______.19．已知数列{}n a 满足51()1,62,6n n a n n a a n -⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩，若对任意*n N ∈都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是_________.20．在等比数列中，，则__________．三、解答题21．已知在等比数列{}n a 中, 11a =,且2a 是1a 和31a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若数列{}n b 满足()*21n n b n a n N =-+∈,求{}nb 的前n 项和nS.22．如图，在四边形ABCD 中，7,2,AC CD AD ==2.3ADC π∠=（1）求CAD ∠的正弦值；（2）若2BAC CAD ∠=∠，且△ABC 的面积是△ACD 面积的4倍，求AB 的长.23．已知实数x 、y 满足6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，求实数a 的取值范围.24．如图，在ABC ∆中，45B ︒∠=，10AC =,25cos 5C ∠=点D 是AB 的中点, 求（1）边AB 的长；（2）cos A 的值和中线CD 的长25．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos 0a C c A b B ++=. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为4，其外接圆的半径为3，求ABC ∆的周长.26．在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 与31a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足(1)1(1)n n n n a b n n ++=+（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】由题意可知：数列1,a 1,a 2，4成等差数列，设公差为d ， 则4=1+3d ，解得d =1， ∴a 1=1+2=2，a 2=1+2d =3.∵数列1,b 1,b 2,b 3，4成等比数列，设公比为q ， 则4=q 4,解得q 2=2， ∴b 2=q 2=2.则21221122a ab --==. 本题选择A 选项.2．B解析：B 【解析】分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996， 设首项为1a ，结合等差数列前n 项和公式有：811878828179962S a d a ⨯=+=+⨯=， 解得：165a =，则81765717184a a d =+=+⨯=. 即第八个孩子分得斤数为184.本题选择B 选项.点睛：本题主要考查等差数列前n 项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．C解析：C 【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．由3z x y =+可得3y x z =-+．平移直线3y x z =-+，结合图形可得，当直线3y x z =-+经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 也取得最小值．由300x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得3232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点A 的坐标为33(,)22-．∴min 333()322z =⨯-+=-．选C ． 4．C解析：C 【解析】 【详解】 因为直线()10,0x ya b a b+=>>过点()1,1,所以11+1a b = ,因此1144(4)(+)5+59b a b aa b a b a b a b+=+≥+⋅= ,当且仅当23b a ==时取等号,所以选C.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.5．C解析：C【解析】 【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】∵()cos 4cos a B c b A =-． ∴sin A cos B ＝4sin C cos A ﹣sin B cos A 即sin A cos B +sin B cos A ＝4cos A sin C ∴sin C ＝4cos A sin C ∵0＜C ＜π，sin C ≠0． ∴1＝4cos A ，即cos A 14=， 那么27cos2218A cos A =-=-． 故选C 【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．6．D解析：D 【解析】 【分析】设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0），由题意可得关于q 的式子，解之可得q ，而所求的式子等于q 2，计算可得． 【详解】设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0）由题意可得31212322a a a ⨯=+， 即q 2-2q-3=0， 解得q=-1（舍去），或q=3，故()26728967679a a qa a q a a a a ．++===++ 故选：D ． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题．7．A解析：A 【解析】试题分析：331313log 1log log log 1n n n n a a a a +++=∴-=Q 即13log 1n n a a +=13n naa +∴=∴数列{}n a 是公比为3的等比数列335579246()393a a a q a a a ∴++=++=⨯=15793log ()5a a a ∴++=-．考点：1．等比数列的定义及基本量的计算；2．对数的运算性质．8．B解析：B 【解析】 【分析】作出不等式对应的可行域，当目标函数过点A 时，z 取最小值，即min 12z =-，可求得k 的值，当目标函数过点B 时，z 取最大值，即可求出答案. 【详解】作出不等式对应的可行域，如下图阴影部分，目标函数可化为2y x z =-+，联立20x y y k +=⎧⎨=⎩，可得()2,A k k -，当目标函数过点A 时，z 取最小值，则()2212k k ⨯-+=-，解得4k =，联立0x y y k-=⎧⎨=⎩，可得(),B k k ，即()4,4B ，当目标函数过点B 时，z 取最大值，max 24412z =⨯+=.故选：B.【点睛】本题考查线性规划，考查学生的计算求解能力，利用数形结合方法是解决本题的关键，属于基础题.9．B解析：B 【解析】 【分析】令1n =，由11a S =可求出1a 的值，再令2n ≥，由21n n S a =-得出1121n n S a --=-，两式相减可得出数列{}n a 为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求出5a 的值. 【详解】当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，解得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=.所以，数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，则451216a =⨯=，故选：B. 【点睛】本题考查利用n S 来求通项n a ，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，同时也要注意等差数列和等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题.10．B解析：B 【解析】 【分析】2+≥x y，边分别相加求解。
【常考题】高三数学上期末第一次模拟试题附答案
【常考题】高三数学上期末第一次模拟试题附答案一、选择题1．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．若正实数x ，y 满足141x y +=，且234yx a a +>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,4-B ．()1,4-C ．[]4,1-D ．()4,1-3．设,x y 满足约束条件 202300x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46y x ++的取值范围是A ．3[3,]7- B ．[3,1]- C ．[4,1]-D ．(,3][1,)-∞-⋃+∞4．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ） A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S5．在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若 2?a bcos C =,则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形6．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形7．已知函数223log ,0(){1,0x x f x x x x +>=--≤，则不等式()5f x ≤的解集为 ( ) A ．[]1,1-B ．[]2,4-C ．(](),20,4-∞-⋃D ．(][],20,4-∞-⋃ 8．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则cos2A =（ ） A ．78B ．18C ．78-D ．18-9．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为A ．2-B ．1-C ．1D ．310．变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩，则22(2)x y -+的最小值为（ ） A ．32B ．5C ．5D ．9211．在中，，，，则A ．B ．C ．D ．12．ABC ∆中有：①若A B >，则sin sin A>B ；②若22sin A sin B =，则ABC ∆—定为等腰三角形；③若cos acosB b A c -=，则ABC ∆—定为直角三角形.以上结论中正确的个数有（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题13．若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .2C A π-=，1sin 3A =，3a =，则b =______.15．已知等差数列{}n a 的公差为()d d 0≠，前n 项和为n S ，且数列{}n S n +也为公差为d 的等差数列，则d =______．16．若正数,a b 满足3ab a b =++，则+a b 的取值范围_______________。
高三数学上学期期末考试一模试题 文含解析 试题
2021届高三数学上学期期末考试〔一模〕试题文〔含解析〕本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
一、选择题〔此题一共12个小题〕1．假设集合A＝{x|x2﹣3x+2＞0}，B＝{x||x﹣1|＜2}，那么A∩B＝〔〕A．〔﹣1，1〕B．〔2，3〕C．〔﹣1，3〕D．〔﹣1，1〕U〔2，3〕2．假设复数z满足z〔1+2i〕＝4+3i，那么＝〔〕A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i3．命题“∃x≤0，x2﹣x＞0〞的否认是〔〕A．∀x＞0，x2﹣x≤0 B．∀x≤0，x2﹣x≤0C．∃x＞0，x2﹣x≤0 D．∃x≤0，x2﹣x≤04．抛物线C：y2＝2px〔p＞0〕的焦点为F，对称轴与准线的交点为T，P为C上任意一点，假设|PT|＝2|PF|，那么∠PTF＝〔〕A．30°B．45°C．60°D．75°5．如下图函数图象经过何种变换可以得到y＝sin2x的图象〔〕A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位6．变量x，y满足不等式组，那么2x﹣y的最小值为〔〕A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．47．一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为〔〕A．48+12B．60+12C．72+12D．848．cos〔﹣α〕＝，α∈〔，π〕，那么sinα﹣cosα＝〔〕A．B．﹣C．D．﹣9．某设备使用年限x〔年〕与所支出的维修费用y〔万元〕的统计数据〔x，y〕分别为〔2，1.5〕，〔3，4.5〕，〔4，5.5〕，〔5，6.5〕，由最小二乘法得到回归直线方程为x+，假设方案维修费用超过15万元将该设备报废，那么该设备的使用年限为〔〕A．8年B．9年C．10年D．11年10．公比为2的等比数列{a n}中存在两项a m，a n，满足a m a n＝32a12，那么的最小值为〔〕A．B．C．D．11．函数f〔x〕＝2x3﹣ax2+1在〔0，+∞〕内有且只有一个零点，那么a的值是〔〕A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣212．设F1，F2分别为双曲线〔a＞0，b＞0〕的左、右焦点，过点F1作圆x2+y2＝b2的切线与双曲线的左支交于点P，假设|PF2|＝2|PF1|，那么双曲线的离心率为〔〕A．B．C．D．二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分13．记S n为等比数列{a n}的前n项和，a5＝﹣2，S3＝a2+3a1，那么a1＝．14．半径为R的圆周上有一定点A，在圆周上等可能地任取一点与点A连接，那么所得弦长介于R与R 之间的概率为．15．如下图梯子构造的点数依次构成数列{a n}，那么a100＝．16．在△ABC中，∠BAC＝60°，AD为∠BAC的角平分线，且＝+，假设AB＝2，那么BC＝．三、解答题：本大题一一共5小题，一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤. 17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，sin〔A+B〕＝4．〔Ⅰ〕求cos C；〔Ⅱ〕假设b＝7，D是BC边上的点，且△ACD的面积为6，求sin∠ADB．18．HY开放40年，我国经济获得飞速开展，城汽车保有量在不断增加，人们的交通平安意识也需要不断加强．为理解某城不同性别驾驶员的交通平安意识，某小组利用假期进展一次全驾驶员交通平安意识调查．随机抽取男女驾驶员各50人，进展问卷测评，所得分数的频率分布直方图如下图．规定得分在80分以上为交通平安意识强．〔Ⅰ〕求a的值，并估计该城驾驶员交通平安意识强的概率；〔Ⅱ〕交通平安意识强的样本中男女比例为4：1，完成以下2×2列联表，并判断有多大把握认为交通平安意识与性别有关；〔Ⅲ〕用分层抽样的方式从得分在50分以下的样本中抽取6人，再从6人中随机选取2人，对将来一年内的交通违章情况进展跟踪调查，求至少有1人得分低于40分的概率．平安意识强平安意识不强合计男性女性合计附：，其中n＝a+b+c+d．P〔K2≥k〕k19．在以ABCDEF为顶点的五面体中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EF∥AB，点G为CD中点，平面EAD⊥平面ABCD．〔Ⅰ〕证明：BD⊥EG；〔Ⅱ〕假设三棱锥V E﹣FBC＝，求菱形ABCD的边长．20．抛物线y2＝4x的准线过椭圆C：〔a＞b＞0〕的左焦点F，且点F到直线l：x＝〔c 为椭圆焦距的一半〕的间隔为4．〔Ⅰ〕求椭圆C的HY方程；〔Ⅱ〕过点F做直线与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，线段AB的中垂线交直线l于点Q．假设|PQ|＝2|AB|，求直线AB的方程．21．设函数f〔x〕＝e x﹣ax﹣1〔a∈R〕．〔Ⅰ〕讨论函数f〔x〕的单调性；〔Ⅱ〕假设关于x的方程ln〔ax+a+1〕﹣x＝1有唯一的实数解，求a的取值范围．四、解答题〔一共2小题，满分是10分〕22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数〕，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝10cosθ．〔Ⅰ〕设直线l与曲线C交于M，N两点，求|MN|；〔Ⅱ〕假设点P〔x，y〕为曲线C上任意一点，求|x+y﹣10|的取值范围．23．函数f〔x〕＝|2x﹣a|+|x﹣1|〔a∈R〕．〔Ⅰ〕当a＝1时，求不等式f〔x〕≥1的解集；〔Ⅱ〕假设存在x∈R满足不等式f〔x〕＜4，务实数a的取值范围．参考答案一、选择题〔此题一共12个小题〕1．假设集合A＝{x|x2﹣3x+2＞0}，B＝{x||x﹣1|＜2}，那么A∩B＝〔〕A．〔﹣1，1〕B．〔2，3〕C．〔﹣1，3〕D．〔﹣1，1〕U〔2，3〕【分析】可以求出集合A，B，然后进展交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＜1或者x＞2}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，∴A∩B＝〔﹣1，1〕∪〔2，3〕．应选：D．2．假设复数z满足z〔1+2i〕＝4+3i，那么＝〔〕A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i【分析】等号两边同时除以1+2i，再进展化简，整理．解：＝2﹣i．应选：B．3．命题“∃x≤0，x2﹣x＞0〞的否认是〔〕A．∀x＞0，x2﹣x≤0 B．∀x≤0，x2﹣x≤0C．∃x＞0，x2﹣x≤0 D．∃x≤0，x2﹣x≤0【分析】直接利用特称命题的否认是全称命题写出结果即可．解：因为特称命题的否认是全称命题，所以，命题“∃x≤0，x2﹣x＞0〞的否认是：∀x≤0，x2﹣x ≤0．应选：B．4．抛物线C：y2＝2px〔p＞0〕的焦点为F，对称轴与准线的交点为T，P为C上任意一点，假设|PT|＝2|PF|，那么∠PTF＝〔〕A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|，sin∠PTM＝．，可得∠PTM＝，即有那么∠PTF＝即可．解：设P在准线l上的射影为M，由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|，∵假设|PT|＝2|PF|，那么sin∠PTM＝．，可得∠PTM＝，即有那么∠PTF＝．应选：C．5．如下图函数图象经过何种变换可以得到y＝sin2x的图象〔〕A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【分析】此题关键是画出函数y＝sin2x的图象，然后与题干中图象进展比拟，即可得到结果．解：由题意，函数y＝sin2x的图象如下：根据图，由y＝sin2x的图象向左平移﹣＝个单位即可得到题中图象，那么反过来，题中图象向右平移﹣＝个单位即可得到y＝sin2x的图象．应选：D．6．变量x，y满足不等式组，那么2x﹣y的最小值为〔〕A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．4【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．解：变量x，y满足不等式组，目的函数z＝2x﹣y，画出图形：点A〔1，1〕，B〔0，2〕，z在点B处有最小值：z＝2×0﹣2＝﹣2，应选：B．7．一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为〔〕A．48+12B．60+12C．72+12D．84【分析】首先把三视图准换为几何体，进一步利用几何体的外表积公式的应用求出结果解：根据几何体的三视图转换为几何体为：所以，该几何体的外表积为：S＝2××〔4+2〕×2+2×6+2×6+4×6+2×6＝60+12．应选：B．8．cos〔﹣α〕＝，α∈〔，π〕，那么sinα﹣cosα＝〔〕A．B．﹣C．D．﹣【分析】由α∈〔，π〕，所以〔〕，又因为cos〔﹣α〕＝＞0，所以角〔〕是第四象限角，所以sin〔〕＝﹣，再利用两角和与差的三角函数公式即可算出结果．解：∵α∈〔，π〕，∴〔〕，又∵cos〔﹣α〕＝＞0，∴角〔〕是第四象限角，∴sin〔〕＝﹣，∴sinα＝sin[﹣〔﹣α〕]＝sin cos〔〕﹣cos sin〔〕＝，cosα＝cos[﹣〔﹣α〕]＝cos cos〔〕+sin sin〔〕＝﹣，∴sinα﹣cosα＝，应选：C．9．某设备使用年限x〔年〕与所支出的维修费用y〔万元〕的统计数据〔x，y〕分别为〔2，1.5〕，〔3，4.5〕，〔4，5.5〕，〔5，6.5〕，由最小二乘法得到回归直线方程为x+，假设方案维修费用超过15万元将该设备报废，那么该设备的使用年限为〔〕A．8年B．9年C．10年D．11年【分析】由表格中的数据，我们易计算出变量x，y的平均数，根据回归直线一定经过样本数据中心点，求出后，代入y＝15可得答案．解：由表中数据可得：＝＝3.5，＝＝4.5，∵归直线一定经过样本数据中心点，故＝﹣﹣×3.5＝﹣1.1；故x﹣1.1；当y＝15时，x该设备的使用年限为10年．应选：C．10．公比为2的等比数列{a n}中存在两项a m，a n，满足a m a n＝32a12，那么的最小值为〔〕A．B．C．D．【分析】利用等比数列的通项公式，转化求解m、n的方程，利用根本不等式求解表达式的最小值即可．解：公比为2的等比数列{a n}中存在两项a m，a n，满足a m a n＝32a12，可得：a1•2m﹣1•a1•2n﹣1＝32a12，可得m+n﹣2＝5，所以m+n＝7，那么＝〔〕×〔m+n〕＝≥＝，当且仅当n＝2m，并且m+n＝7时，取等号，但是m，n∈N，所以m＝2，n＝4时，表达式的值是：＝，m＝3，n＝4时，表达式的值是：，m＝2，n＝5时，表达式的值是：．表达式的最小值：．应选：D．11．函数f〔x〕＝2x3﹣ax2+1在〔0，+∞〕内有且只有一个零点，那么a的值是〔〕A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2【分析】先对函数求导，然后结合导数的符号判断函数的单调性，结合零点断定定理即可求解．解：∵函数f〔x〕＝2x3﹣ax2+1〔a∈R〕在〔0，+∞〕内有且只有一个零点，∴f′〔x〕＝2x〔3x﹣a〕，x∈〔0，+∞〕，①当a≤0时，f′〔x〕＝2x〔3x﹣a〕＞0，函数f〔x〕在〔0，+∞〕上单调递增，f〔0〕＝1，f〔x〕在〔0，+∞〕上没有零点，舍去；②当a＞0时，f′〔x〕＝2x〔3x﹣a〕＞0的解为x＞，∴f〔x〕在〔0，〕上递减，在〔，+∞〕递增，又f〔x〕只有一个零点，∴f〔〕＝﹣+1＝0，解得a＝3．应选：A．12．设F1，F2分别为双曲线〔a＞0，b＞0〕的左、右焦点，过点F1作圆x2+y2＝b2的切线与双曲线的左支交于点P，假设|PF2|＝2|PF1|，那么双曲线的离心率为〔〕A．B．C．D．【分析】由双曲线的定义可得，|PF2|﹣|PF1|＝2a，那么|PF2|＝4a，|PF1|＝2a，设切点为M，那么|OM|＝b，|OF1|＝c，又|MF1|＝a，|PF2|＝2b，即有4a＝2b，即可．解：P为双曲线左支上的一点，那么由双曲线的定义可得，|PF2|﹣|PF1|＝2a，由|PF2|＝2|PF1|，那么|PF2|＝4a，|PF1|＝2a，设切点为M，那么|OM|＝b，|OF1|＝c，∴|MF1|＝a，∴OM为△PF1F2的中位线，那么|PF2|＝2b即有4a＝2b即有e＝．应选：C．二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分13．记S n为等比数列{a n}的前n项和，a5＝﹣2，S3＝a2+3a1，那么a1＝﹣．【分析】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由S3＝a2+3a1变形可得1+q+q2＝q+3，即q2＝2，结合等比数列的通项公式分析可得答案．解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，假设S3＝a2+3a1，那么a1+a2+a3＝a2+3a1，即a1+a2+a3＝a2+3a1，变形可得：1+q+q2＝q+3，即q2＝2，又由a5＝﹣2，那么a1＝＝＝﹣；故答案为：﹣．14．半径为R的圆周上有一定点A，在圆周上等可能地任取一点与点A连接，那么所得弦长介于R与R 之间的概率为．【分析】先找出满足条件弦的长度介于R与R之间的图形测度，再代入几何概型计算公式求解．解：此题利用几何概型求解．测度是弧长．根据题意可得，满足条件：〞弦长介于R与R之间〞，其构成的区域是2〔﹣〕圆的周长，那么弦长介于R与R之间的概率P＝．故答案为：．15．如下图梯子构造的点数依次构成数列{a n}，那么a100＝5252 ．【分析】由题意知第n个图形，通过等差数列前n项和公式求其通项，代入100可求结果．解：由题意知a n＝2+3+4+…+n+〔n+1〕+〔n+2〕＝，那么＝5252．故答案为：5252．16．在△ABC中，∠BAC＝60°，AD为∠BAC的角平分线，且＝+，假设AB＝2，那么BC＝2．【分析】因为AD为∠BAC的角平分线，所以，设AC＝x，那么，2＝＝+，＝，结合条件得x＝6，利用余弦定理就可解出BC．解：因为AD为∠BAC的角平分线，所以，设AC＝x，那么，＝，＝，所以2＝，2＝+﹣，2＝++〔〕，2＝++〔〕〔﹣〕，2＝+，＝，所以，解得x＝6，即AC＝6，在△ABC中，cos∠BAC＝，cos60°＝，解得BC＝2．故答案为：2三、解答题：本大题一一共5小题，一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤. 17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，sin〔A+B〕＝4．〔Ⅰ〕求cos C；〔Ⅱ〕假设b＝7，D是BC边上的点，且△ACD的面积为6，求sin∠ADB．【分析】〔I〕由结合二倍角及诱导公式进展化简可求cos C，〔II〕结合三角形的面积可求CD，然后由余弦定理可求AD，再由正弦定理及诱导公式求解解：〔I〕∵sin〔A+B〕＝4，∴＝4×，即+2cos C＝2，∴7cos2C﹣8cos C+1＝0，∵C∈〔0，π〕，∴cos C＝1〔舍〕或者cos C＝，〔II〕b＝7，△ACD的面积为6，舍CD＝m，结合〔1〕可得sin C＝，∴＝6，∴m＝CD＝3，由余弦定理可得，AD2＝9＝52，∴AD＝2，由正弦定理可得，，∴sin∠ADB＝sin∠ADC＝18．HY开放40年，我国经济获得飞速开展，城汽车保有量在不断增加，人们的交通平安意识也需要不断加强．为理解某城不同性别驾驶员的交通平安意识，某小组利用假期进展一次全驾驶员交通平安意识调查．随机抽取男女驾驶员各50人，进展问卷测评，所得分数的频率分布直方图如下图．规定得分在80分以上为交通平安意识强．〔Ⅰ〕求a的值，并估计该城驾驶员交通平安意识强的概率；〔Ⅱ〕交通平安意识强的样本中男女比例为4：1，完成以下2×2列联表，并判断有多大把握认为交通平安意识与性别有关；〔Ⅲ〕用分层抽样的方式从得分在50分以下的样本中抽取6人，再从6人中随机选取2人，对将来一年内的交通违章情况进展跟踪调查，求至少有1人得分低于40分的概率．平安意识强平安意识不强合计男性女性合计附：，其中n＝a+b+c+d．P〔K2≥k〕k【分析】〔Ⅰ〕根据频率和为1列方程求得a的值，计算得分在80分以上的频率即可；〔Ⅱ〕根据题意填写上列联表，计算K2，对照临界值得出结论；〔Ⅲ〕用分层抽样法求得抽取各分数段人数，用列举法求出根本领件数，计算所求的概率值．解：〔Ⅰ〕根据频率和为1，得〔0.004+0.008+0.020+0.028+0.020+a+0.004〕×10＝1，解得a＝0.016；计算得分在80分以上的频率为〔0.016+0.004〕×10＝0.20，所以估计该城驾驶员交通平安意识强的概率为0.20；〔Ⅱ〕根据题意知，平安意识强的人数有100×0.2＝20，其中男性为20×＝16〔人〕，女性为4人，填写上列联表如下；平安意识强平安意识不强合计男性16 34 50女性 4 46 50合计20 80 100 计算K2＝＝9＞7.879，所以有超过99.5%的把握认为“交通平安意识与性别有关〞；〔Ⅲ〕用分层抽样法从得分在50分以下的样本中抽取6人，其中[30，40〕内有2人，记为A、B，[40，50〕内有4人，分别记为c、d、e、f；从这6人中随机选取2人，根本领件为：AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef一共15种不同取法；那么至少有1人得分低于40分的根本领件为AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf一共9种不同取法；故所求的概率为P＝＝．19．在以ABCDEF为顶点的五面体中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EF∥AB，点G为CD中点，平面EAD⊥平面ABCD．〔Ⅰ〕证明：BD⊥EG；〔Ⅱ〕假设三棱锥V E﹣FBC＝，求菱形ABCD的边长．【分析】〔Ⅰ〕取AD中点O，连结EO、GO、AC，推导出OG⊥BD，EO⊥AD，从而EO⊥平面ABCD，进而EO⊥BD，BD⊥平面EOG，由此能证明BD⊥EG．〔Ⅱ〕设菱形ABCD的边长为a，那么AB＝AE＝ED＝2EF＝a，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出菱形ABCD的边长．解：〔Ⅰ〕证明：取AD中点O，连结EO、GO、AC，∵底面ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EF∥AB，点G为CD中点，平面EAD⊥平面ABCD．∴OG⊥BD，EO⊥AD，∴EO⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴EO⊥BD，∵OE∩OG＝O，∴BD⊥平面EOG，∵EG⊂平面EOG，∴BD⊥EG．〔Ⅱ〕解：设菱形ABCD的边长为a，那么AB＝AE＝ED＝2EF＝a，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，那么E〔0，0，〕，F〔，，〕，B〔0，，0〕，C〔﹣2a，，0〕，＝〔，，0〕，＝〔0，，﹣〕，＝〔﹣2a，，﹣〕，设平面EFB的法向量＝〔x，y，z〕，那么，取x＝，得＝〔〕，∴C到平面EFB的间隔d＝＝，cos＜＞＝＝＝，∴sin＜＞＝＝，S△BEF＝＝＝．∵三棱锥V E﹣FBC＝，∴V E﹣FBC＝＝×a＝，解得a＝．∴菱形ABCD的边长为．20．抛物线y2＝4x的准线过椭圆C：〔a＞b＞0〕的左焦点F，且点F到直线l：x＝〔c 为椭圆焦距的一半〕的间隔为4．〔Ⅰ〕求椭圆C的HY方程；〔Ⅱ〕过点F做直线与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，线段AB的中垂线交直线l于点Q．假设|PQ|＝2|AB|，求直线AB的方程．【分析】〔Ⅰ〕由题意知椭圆的c，点F到直线l：x＝〔c为椭圆焦距的一半〕的间隔为4知，a，c的关系，再由a，b，c之间的关系求出椭圆方程；〔Ⅱ〕神州行AB的方程与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB及中点坐标，再由椭圆求出Q的坐标，进而求出PQ的长，再由题意求出参数m的值，即求出直线AB的方程．解：〔Ⅰ〕由题意得c＝1，+c＝4，b2＝a2﹣c2，解得：a2＝3，b2＝2，所以椭圆C的HY方程：+＝1；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得F〔﹣1，0〕，x＝＝3，显然直线AB的斜率不为零，设直线AB的方程：x＝my ﹣1，A〔x，y〕，B〔x'，y'〕，联立与椭圆的方程：〔3+2m2〕y2﹣4my﹣4＝0，y+y'＝，yy'＝，x+x'＝m〔y+y'〕﹣2＝，所以中点P的坐标〔，〕，所以AB的中垂线方程：y﹣＝﹣m〔x+〕即：y＝﹣mx﹣，与直线x＝3联立得：所以Q的坐标〔3，﹣〕，∴|PQ|2＝〔3+〕2+〔〕2＝36•，|AB|2＝〔〕2•|y﹣y'|2＝〔1+m2〕•[〔〕2+]＝48•〔〕2由题意|PQ|＝2|AB|，∴36＝4•48•〔〕2，整理得：3m4﹣4m2﹣4＝0，解得：m2＝2，所以m＝，所以直线AB方程：x＝y﹣1．21．设函数f〔x〕＝e x﹣ax﹣1〔a∈R〕．〔Ⅰ〕讨论函数f〔x〕的单调性；〔Ⅱ〕假设关于x的方程ln〔ax+a+1〕﹣x＝1有唯一的实数解，求a的取值范围．【分析】〔1〕对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可判断，〔2〕结合〔1〕的讨论及零点断定定理即可求解．解：〔I〕∵f〔x〕＝e x﹣ax﹣1，∴f′〔x〕＝e x﹣a，①当a≤0时，f′〔x〕＞0恒成立，f〔x〕在R上单调递增，②a＞0时，假设x∈〔lna，+∞〕，f′〔x〕＞0，f〔x〕单调递增，假设x∈〔﹣∞，lna〕，f′〔x〕＜0，f〔x〕单调递减，综上可得，当a≤0时，f〔x〕在R上单调递增；a＞0时，f〔x〕在〔lna，+∞〕上单调递增，〔﹣∞，lna〕上单调递减，〔Ⅱ〕假设关于x的方程ln〔ax+a+1〕﹣x＝1有唯一的实数解，即e x+1＝ax﹣a+1＝a〔x+1〕+1有唯一的实数根，令t＝x+1，那么e t＝at+1即e t﹣at﹣1＝0有唯一的实数根，结合〔1〕的讨论可知，①当a≤0时，f′〔t〕＞0恒成立，f〔t〕在R上单调递增，f〔0〕＝0，结合零点断定定理可知，只有一个零点0，②a＞0时，假设，t∈〔lna，+∞〕，f′〔x〕＞0，f〔t〕单调递增，假设t∈〔﹣∞，lna〕，f′〔t〕＜0，f〔t〕单调递减，假设只有1个零点，那么f〔lna〕＝a﹣alna﹣1＝0，令g〔x〕＝x﹣xlnx﹣1，那么g′〔x〕＝﹣lnx，那么g〔x〕在〔0，1〕上单调递增，在〔1，+∞〕上单调递减，x＝1时，g〔x〕获得最大值g〔1〕＝0，∴a＝1综上可得，a的范围为{a|a≤0或者a＝1}四、解答题〔一共2小题，满分是10分〕22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数〕，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝10cosθ．〔Ⅰ〕设直线l与曲线C交于M，N两点，求|MN|；〔Ⅱ〕假设点P〔x，y〕为曲线C上任意一点，求|x+y﹣10|的取值范围．【分析】〔Ⅰ〕参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，利用勾股定理的应用求出弦长．〔Ⅱ〕利用方程之间的转换和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：〔Ⅰ〕直线l的参数方程为为参数〕，转换为直角坐标方程为：4x+3y＝0，曲线C的极坐标方程为ρ＝10cosθ，转换为直角坐标方程为〔x﹣5〕2+y2＝25．所以圆心〔5，0〕到直线4x﹣3y＝0的d＝，所以：|MN|＝2．〔Ⅱ〕圆的直角坐标方程转换为参数方程为〔θ为参数〕，所以y＝|x+＝|＝，当时，y max＝15，当时，y min＝0，所以|x+y﹣10|的取值范围为[0，15]．23．函数f〔x〕＝|2x﹣a|+|x﹣1|〔a∈R〕．〔Ⅰ〕当a＝1时，求不等式f〔x〕≥1的解集；〔Ⅱ〕假设存在x∈R满足不等式f〔x〕＜4，务实数a的取值范围．【分析】〔Ⅰ〕当a＝1时，f〔x〕＝|2x﹣1|+|x﹣1|，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集可得解集；〔Ⅱ〕由题意可得f〔x〕min＜4，由绝对值的性质和绝对值的意义，求得最小值，解不等式可得a的范围．解：〔Ⅰ〕当a＝1时，f〔x〕＝|2x﹣1|+|x﹣1|，当x≥1时，f〔x〕≥1即2x﹣1+x﹣1≥1，解得x≥1；当x≤时，f〔x〕≥1即1﹣2x+1﹣x≥1，解得x≤；当＜x＜1时，f〔x〕≥1即2x﹣1+1﹣x≥1，解得x∈∅，那么原不等式的解集为〔﹣∞，]∪[1，+∞〕；〔Ⅱ〕假设存在x∈R满足不等式f〔x〕＜4，即为f〔x〕min＜4，由f〔x〕＝|2x﹣a|+|x﹣1|＝|x﹣|+〔|x﹣|+|x﹣1|〕≥0+|〔x﹣〕﹣〔x﹣1〕|＝|1﹣|，即x＝时f〔x〕获得最小值|1﹣|，所以|1﹣|＜4，解得﹣6＜a＜10．本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
2020-2021高三数学上期末一模试卷及答案(2)
2020-2021高三数学上期末一模试卷及答案(2)一、选择题1．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若22a b >，则a b > C ．若,0a b c ><，则a c b c +<+ D<a b <2．若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b > D ．33a b <3．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ） A ．94-B ．94C ．274D ．274-4．若直线()100,0ax by a b ++=>>把圆()()224116x y +++=分成面积相等的两部分，则122a b+的最小值为( ) A ．10B ．8C ．5D ．45．设,x y 满足约束条件3002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩, 则3z x y =+的最小值是 A ．5-B ．4C ．3-D ．116．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ⋅< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．198 B ．199C ．200D ．2017．若直线()10,0x ya b a b+=>>过点(1,1)，则4a b +的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．9D ．108．在等差数列{}n a 中，若1091a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ） A ．15B ．16C ．17D ．149．已知,,a b R +∈且115a b a b+++=,则+a b 的取值范围是（ ） A ．[1,4]B ．[)2,+∞C ．(2,4)D ．(4,)+∞10．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A．1B．1C ．23＋2D ．23－211．设,x y 满足约束条件0,20,240,x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．12D ．1312．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21n n S a n N =-∈，则5a 等于（ ）A ．16-B ．16C ．31D ．32二、填空题13．已知实数，且，则的最小值为____14．已知lg lg 2x y +=，则11x y+的最小值是______.15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，若23sin c ab C =，则当b aa b+取最大值时，cos C =__________；16．已知平面四边形ABCD 中，120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，2AB AD ==，则AC 的最大值为__________．17．已知0,0a b >>，且20a b +=，则lg lg a b +的最大值为_____． 18．设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若1345a a a a =+++…，则q =__________________．19．已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.20．设(32()lg 1f x x x x =++，则对任意实数,a b ，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的_________条件．（填“充分不必要”.“必要不充分”.“充要”.“既不充分又不必要”之一）三、解答题21．已知函数()()22f x x x a x R =++∈（1）若函数()f x 的值域为[0,)+∞，求实数a 的值；（2）若()0f x >对任意的[1,)x ∈+∞成立，求实数a 的取值范围。
2020-2021高三数学上期末一模试题带答案
2020-2021高三数学上期末一模试题带答案一、选择题1．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若22a b >，则a b > C ．若,0a b c ><，则a c b c +<+ D<a b <2．若正实数x ，y 满足141x y +=，且234yx a a +>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,4-B ．()1,4-C ．[]4,1-D ．()4,1-3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1142n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意*N n ∈，都有()143n p S n ≤-≤成立，则实数p 的取值范围是（ ）A ．()2,3B ．[]2,3C ．92,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．已知x ，y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，z ＝2x +y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a +b ＝m ，则14a b+的最小值为（ ） A ．3B ．32C ．2D ．525．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形6．已知数列{}n a的首项110,1n n a a a +==+，则20a =（ ） A ．99B ．101C ．399D ．4017．数列{}n a 中，对于任意,m n N *∈，恒有m n m n a a a +=+，若118a =，则7a 等于( ) A ．712B ．714C ．74D ．788．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则cos2A =（ ） A ．78B ．18C ．78-D ．18-9．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，则2a ＋b ＋c 的最小值为( )A ． 3－1 B． 3＋1 C ．23＋2 D ．23－2 10．在中，，，，则A ．B ．C ．D ．11．等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么{}n a 的前7项和7S =（ ） A ．22B ．24C ．26D ．2812．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( )A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(1,4)D ．(0,4)二、填空题13．已知0a >，0b >，当()214a b ab++取得最小值时，b =__________． 14．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升； 15．如图，在ABC V 中，,43C BC π==时，点D 在边AC 上， AD DB =，DE AB ⊥，E 为垂足若22DE =，则cos A =__________16．设，，若，则的最小值为_____________.17．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则12231lim ()n n n a a a a a a +→+∞+++=L ________________.18．已知数列{}n a 满足51()1,62,6n n a n n a a n -⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩，若对任意*n N ∈都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是_________.19．等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，1lim 2n n S →∞=，则首项1a 的取值范围是____________．20．已知等差数列{}n a 的公差为()d d 0≠，前n 项和为n S ，且数列{}n S n +也为公差为d 的等差数列，则d =______．三、解答题21．已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且当2n ≥时，满足21nn n S a S =-．（1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）证明：2221274n S S S +++<L ． 22．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．23．在△ABC 中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知3cos()16cos cos B C B C --=，（1）求cos A （2）若3a =，△ABC的面积为求b c 、24．在ABC ∆sin cos C c A =． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若ABC S ∆，2b c +=+a 的值． 25．在ABC ∆中，角A ，B 、C 的对边分别为a ，b ，csin bB=. （1）求A ；（2）若2a =，且()cos 2sin sin cos B C B C C -=-，求ABC ∆的面积.26．已知()f x a b =⋅v v，其中()2cos ,2a x x =v，()cos ,1b x =v ，x ∈R ．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()1f A =-，a =且向量()3,sin m B =v 与()2,sin n C =v共线，求边长b 和c 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】选项A 中，当c=0时不符，所以A 错．选项B 中，当2,1a b =-=-时，符合22a b >，不满足a b >，B 错．选项C 中, a c b c +>+,所以C 错．选项D中，因为0≤<，由不等式的平方法则，22<，即a b <．选D.2．B解析：B 【解析】 【分析】 根据1444y y x x x y ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合基本不等式可求得44yx +≥，从而得到关于a 的不等式，解不等式求得结果. 【详解】 由题意知：1442444y y x yx x x y y x⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0x Q >，0y > 40x y ∴>，04yx>424x y y x ∴+≥=（当且仅当44x y y x =，即4x y =时取等号） 44yx ∴+≥ 234a a ∴-<，解得：()1,4a ∈- 本题正确选项：B 【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是配凑出符合基本不等式的形式，从而求得最值.3．B解析：B 【解析】11111444222n n S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11221244133212nnn n ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=+-⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭()143n p S n ≤-≤Q即22113332n p ⎛⎫⎛⎫≤-⋅-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意*n N ∈都成立， 当1n =时，13p ≤≤ 当2n =时，26p ≤≤当3n =时，443p ≤≤ 归纳得：23p ≤≤故选B点睛：根据已知条件运用分组求和法不难计算出数列{}n a 的前n 项和为n S ，为求p 的取值范围则根据n 为奇数和n 为偶数两种情况进行分类讨论，求得最后的结果4．B解析：B 【解析】 【分析】作出可行域，求出m ，然后用“1”的代换配凑出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值． 【详解】作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，平移该直线，当直线l 过点(3,0)A 时，2x y +取得最大值6，所以6m =．1411414143()()(5)(5)6662b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=，当且仅当4b a a b =，即12,33a b ==时等号成立，即14a b+的最小值为32． 故选：B. 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．5．C解析：C 【解析】 【分析】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，得出::5:11:13a b c =，可得出角C 为最大角，并利用余弦定理计算出cos C ，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状. 【详解】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，可得出::5:11:13a b c =， 设()50a t t =>，则11b t =，13c t =，则角C 为最大角，由余弦定理得2222222512116923cos 022511110a b c t t t C ab t t +-+-===-<⨯⨯，则角C 为钝角，因此，ABC ∆为钝角三角形，故选C. 【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.6．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由11n n a a +=+，可得)21111n a ++==，是以1为公差，以1为首项的等差数列.2,1n n a n ==-，即220201399a =-=.故选C.7．D解析：D 【解析】因为11,8m n m n a a a a +=+=,所以2112,4a a == 42122a a ==,3123,8a a a =+= 73478a a a =+=.选D.8．C解析：C 【解析】 【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】∵()cos 4cos a B c b A =-． ∴sin A cos B ＝4sin C cos A ﹣sin B cos A即sin A cos B +sin B cos A ＝4cos A sin C ∴sin C ＝4cos A sin C ∵0＜C ＜π，sin C ≠0． ∴1＝4cos A ，即cos A 14=， 那么27cos2218A cos A =-=-． 故选C 【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．9．D解析：D 【解析】由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23， 得(a ＋c )·(a ＋b )＝4－23. ∵a 、b 、c >0.∴(a ＋c )·(a ＋b )≤22b c 2a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭(当且仅当a ＋c ＝b ＋a ，即b ＝c 时取“＝”)，∴2a ＋b ＋c ≥2423－＝2(3－1)＝23－2. 故选：D点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误10．D解析：D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可知，再由正弦定理即可求出AB .【详解】 由内角和定理知，所以，即，故选D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，属于中档题.11．D解析：D 【解析】试题分析：由等差数列的性质34544123124a a a a a ++=⇒=⇒=，则考点：等差数列的性质12．B解析：B 【解析】 【分析】先判断函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，把()24(3)f a f a ->转化为自变量的不等式求解.【详解】可知函数()f x 为减函数，由2(4)(3)f a f a ->，可得243a a -<，整理得2340a a --<，解得14a -<<，所以不等式的解集为(1,4)-． 故选B. 【点睛】本题考查函数不等式，通常根据函数的单调性转化求解，一般不代入解析式.二、填空题13．【解析】【分析】根据均值不等式知即再由即可求解注意等号成立的条件【详解】（当且仅当等号成立）（当且仅当等号成立）（当且仅当等号成立）故答案为【点睛】本题主要考查了均值不等式不等式等号成立的条件属于中 解析：14【解析】 【分析】根据均值不等式知，4244a b ab ab +≥=()2416a b ab +≥，再由4416216844ab ab a b a b+≥⋅=⋅⋅即可求解，注意等号成立的条件. 【详解】4244a b ab ab +≥=Q （当且仅当4a b =等号成立），()2416a b ab ∴+≥（当且仅当4a b =等号成立）， ()2444a b a b ∴++≥⋅41684ab a b⋅=⋅（当且仅当4a b =等号成立），()224281a a a ∴+=⇒=. 故答案为14b =. 【点睛】本题主要考查了均值不等式，不等式等号成立的条件，属于中档题.14．【解析】试题分析：由题意可知解得所以考点：等差数列通项公式解析：6766【解析】试题分析：由题意可知123417891463,3214a a a a a d a a a a d +++=+=++=+=，解得137,2266a d ==，所以5167466a a d =+=. 考点：等差数列通项公式． 15．【解析】在△ABC 中∵DE ⊥ABDE=∴AD=∴BD=AD=∵AD=BD ∴A=∠ABD ∴∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A 在△BCD 中由正弦定理得即整理得cosA= 解析：64【解析】在△ABC 中，∵DE ⊥AB ，DE =22 ，∴AD =22, ∴BD =AD =22sin A． ∵AD =BD ，∴A =∠ABD ， ∴∠BDC =∠A +∠ABD =2∠A ， 在△BCD 中，由正弦定理得sin sin BD BCC BDC=∠ ， 即224sin sin 23A A =，整理得cosA =6. 16．3+22【解析】【分析】由已知可得a-1+b=1从而有2a-1+1b=(2a-1+1b)(a-1+b)展开后利用基本不等式即可求解【详解】由题意因为a>1b>2满足a+b=2所以a-1+b=1且a- 解析：【解析】 【分析】由已知可得，从而有，展开后利用基本不等式，即可求解. 【详解】 由题意，因为满足， 所以，且，则，当且仅当且，即时取得最小值.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，其中解答中根据题意配凑基本不等式的使用条件，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.17．【解析】【分析】求出数列的公比并得出等比数列的公比与首项然后利用等比数列求和公式求出即可计算出所求极限值【详解】由已知所以数列是首项为公比为的等比数列故答案为【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时解析：323【解析】 【分析】求出数列{}n a 的公比，并得出等比数列{}1n n a a +的公比与首项，然后利用等比数列求和公式求出12231n n a a a a a a ++++L ，即可计算出所求极限值. 【详解】 由已知3212a q a ==，23112()()22n n n a --=⨯=，3225211111()()()2()2224n n n n n n a a ----+=⋅==⋅，所以数列{}1n n a a +是首项为128a a =，公比为1'4q =的等比数列， 11223118[(1()]3214[1()]13414n n n n a a a a a a -+-+++==--L ，1223132132lim ()lim [1()]343n n n n n a a a a a a +→+∞→∞+++=-=L . 故答案为323.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了利用定义判定等比数列、等比数列求和以及数列极限的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.18．【解析】【分析】由题若对于任意的都有可得解出即可得出【详解】∵若对任意都有∴∴解得故答案为【点睛】本题考查了数列与函数的单调性不等式的解法考查了推理能力与计算能力属于中档题解析：17,212⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】由题若对于任意的*n N ∈都有1n n a a +>，可得5610012a a a a -＜，＞，＜＜． 解出即可得出． 【详解】∵511,62,6n n a n n a a n -⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩，若对任意*n N ∈都有1n n a a +>， ∴5610012a a a a -＜，＞，＜＜．． ∴11 0()510122a a a a --⨯+＜，＞，＜＜ ， 解得17 212a ＜＜ ． 故答案为17,212⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了数列与函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．【解析】【分析】由题得利用即可得解【详解】由题意知可得又因为所以可求得故答案为：【点睛】本题考查了等比数列的通项公式其前n 项和公式数列极限的运算法则考查了推理能力与计算能力属于中档题解析：110,,122⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U【解析】 【分析】 由题得11(1)2a q =-，利用(1,0)(0,1)q ∈-⋃即可得解 【详解】由题意知，1112a q =-，可得11(1)2a q =-，又因为(1,0)(0,1)q ∈-⋃，所以可求得1110,,122a ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U .故答案为：110,,122⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U【点睛】本题考查了等比数列的通项公式其前n 项和公式、数列极限的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．【解析】【分析】表示出再表示出整理并观察等式列方程组即可求解【详解】等差数列的公差为前项和为设其首项为则=又数列也为公差为的等差数列首项为所以=即：整理得：上式对任意正整数n 成立则解得：【点睛】本题 解析：12【解析】 【分析】表示出n S【详解】等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，设其首项为1a ， 则n S =()112n n na d -+，又数列也为公差为d=()1n d -()1n d =-=上式对任意正整数n 成立，则)2120122d d d da d d⎧=⎪=⎪-+=⎪⎩，解得：12d =，134a =- 【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 项和及通项公式，考查了方程思想及转化思想、观察能力，属于中档题．三、解答题21．(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）当n ≥2时，S n ﹣S n ﹣121nn S S =-⇒S n ﹣S n ﹣1＝S n •S n ﹣1（n ≥2），取倒数，可得111n n S S --=1，利用等差数列的定义即可证得：数列{1nS }是等差数列； （2）利用222111111211n S n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭进行放缩并裂项求和即可证明【详解】（1）当2n ≥时，211nn n n S S S S --=-，11n n n n S S S S ---=，即1111n n S S --= 从而1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，1为公差的等差数列．（2）由（1）可知，()11111n n n S S =+-⨯=，1n S n∴=． 则当2n ≥时222111111211n S n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭． 故当2n ≥时22212111111111123224211n S S S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 1111137111221224n n ⎛⎫=++--<+⋅= ⎪+⎝⎭ 又当1n =时，21714S =<满足题意，故2221274n S S S +++<L ． 法二：则当2n ≥时22211111n S n n n n n=<=---， 那么222121111111717142334144n S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<++-+-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 又当1n =时，21714S =<，当时，21714S =<满足题意， 【点睛】本题考查数列递推式的应用，考查等差数列的判定，考查等价转化思想，突出裂项法、放缩法应用的考查，属于难题．22．（1）21n a n =-；（2）2312n n -+【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，运用通项公式，可得3,2q d ==，进而得到所求通项公式；（2）由（1）求得1(21)3n n n n c a b n -=+=-+，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可得到数列{}n c 和． 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 因为233,9b b ==，可得323b q b ==，所以2212333n n n n b b q ---==⋅=， 又由111441,27a b a b ====，所以1412141a a d -==-， 所以数列{}n a 的通项公式为1(1)12(1)21n a a n d n n =+-⨯=+-=-．（2）由题意知1(21)3n n n n c a b n -=+=-+，则数列{}n c 的前n 项和为12(121)1331[13(21)](1393)2132n n n n n n n -+---+++-+++++=+=+-L L ． 【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 23．：（1）1cos 3A =（2）3{2b c ==或23b c =⎧⎨=⎩【解析】：（1）由3cos()16cos cos B C B C --=得3(cos cos sin sin )1B C B C -=- 即1cos()3B C +=-从而cos A 1cos()3B C =-+=（2）由于0,A π<<1cos 3A =，所以sin A =又ABC S =V 1sin 2bc A =6bc =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2213b c += 解方程组2213{6b c bc +==，得3{2b c ==或23b c =⎧⎨=⎩24．(1) 6A π=;(2) 2a =.【解析】试题分析：（1sin sin cos A C C A ⋅=⋅．消去公因式得到所以tan 3A =．进而得到角A ；（2）结合三角形的面积公式，和余弦定理得到2b c +=+式得到2a =． 解析：（I sin cos C c A =，所以cos 0A ≠， 由正弦定理sin sin sin a b c A B C==，sin sin cos A C C A ⋅=⋅． 又因为 ()0,C π∈，sin 0C ≠，所以 tan 3A =． 又因为 ()0,A π∈， 所以 6A π=．（II ）由11sin 24ABC S bc A bc ∆===bc =， 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得2222cos6a b c bc π=+-，即()()222212a b c bc b c =+-=+-，因为2b c +=+ 解得 24a =. 因为 0a >， 所以 2a =.25．(1) 6A π=【解析】 【分析】（1）根据正弦定理得到tan 3A =，计算得到答案. （2）化简得到()cos cos B C C +=-，即A C =，再计算得到2a c ==，代入面积公式得到答案. 【详解】（1）∵cos sin sin b a A B A ==，∴tan 3A =.∵()0,A π∈，∴6A π=. （2）∵()cos 2sin sin cos B C B C C -=- ∴cos cos sin sin 2sin sin cos B C B C B C C +=-， ∴()cos cos B C C +=-，即cos cos A C =，即A C =. ∵6A π=，∴23B π=.∵2a =，∴2a c ==.∴11sin 2222ABC S ac B ∆==⨯⨯= 【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力. 26．（1）,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦;（2）3,2b c ==．【解析】试题分析：（1）化简()f x 得()12cos 23f x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，代入[]()2,2k k k Z πππ-∈，求得增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦；（2）由()1f A =-求得3A π=，余弦定理得()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-.因为向量()3,sin m B =r 与()2,sin n C r=共线,所以2sin 3sin B C =,由正弦定理得23b c =，解得3,12b c ==.试题解析：（1）由题意知,()22cos 21cos 2212cos 23f x x x x x x π⎛⎫==+-=++⎪⎝⎭, cos y x =Q 在[]()2,2k k k Z πππ-∈上单调递增,∴令2223k x k ππππ-≤+≤,得236k x k ππππ-≤≤-,()f x ∴的单调递增区间()2,36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦. （2）()12cos 21,cos 2133f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=++=-∴+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ,又72,23333A A πππππ<+<∴+=,即3A π=.2a =Q ,由余弦定理得()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-.因为向量()3,sin m B =r 与()2,sin n C r=共线,所以2sin 3sin B C =,由正弦定理得323,,12b c b c =∴==.考点：三角函数恒等变形、解三角形．。
【常考题】高三数学上期末一模试卷(带答案)
【常考题】高三数学上期末一模试卷(带答案)一、选择题1．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若22a b >，则a b > C ．若,0a b c ><，则a c b c +<+D ．若a b <，则a b <2．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知正数x 、y 满足1x y +=，且2211x y m y x +≥++，则m 的最大值为（ ） A ．163B ．13C ．2D ．44．正项等比数列中，的等比中项为，令，则（ ） A ．6B ．16C ．32D ．645．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36=2S =18S ，，则105S S 等于( ) A ．－3B ．5C ．33D ．－316．设x y ，满足约束条件10102x y x y y -+≤⎧⎪+-⎨⎪≤⎩＞，则yx 的取值范围是（ ）A ．()[),22,-∞-+∞UB ．(]2,2-C ．(][),22,-∞-+∞UD ．[]22-,7．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =，6a =7cos 8A =，则ABC ∆的面积为（ ） A 17B ．3C 15D 158．设x y ，满足约束条件70310,350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩，，„„…则2z x y =-的最大值为（ ）.A ．10B ．8C ．3D ．29．在△ABC 中，若1tan 15013A C BC ︒===，，，则△ABC 的面积S 是( ) A ．338- B ．334- C ．338+ D ．334+ 10．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．911．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则10N =（ ）A ．1020B ．1010C ．510D ．50512．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1(1)()n n n S nS n N *++∈＜.若871a a <-，则（ ） A ．n S 的最大值为8S B ．n S 的最小值为8S C ．n S 的最大值为7S D ．n S 的最小值为7S二、填空题13．已知实数，且，则的最小值为____14．关于x 的不等式a 34≤x 2﹣3x +4≤b 的解集为[a ，b ]，则b －a ＝________． 15．数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()()*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩，当100a =时，则数列{}n a 的前100项的和100S 为________.16．(广东深圳市2017届高三第二次（4月）调研考试数学理试题)我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法---“三斜求积术”，即ABC △的面积S =，其中a b c 、、分别为ABC △内角、、A B C 的对边.若2b =，且tan C =，则ABC △的面积S 的最大值为__________．17．若ABC ∆的三个内角45A =︒，75B =︒，60C =︒，且面积6S =+形的外接圆半径是______18．设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ，若{}n a和都是等差数列，且公差相等，则1a ＝_______．19．已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集是_________.20．设x ，y 满足则220,220,20,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩则3z x y =-的最小值是______.三、解答题21．某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促销费用x 万元，满足31km x =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件，已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.（1）将2020年该产品的利润y （万元）表示为年促销费用x （万元）的函数； （2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 22．解关于x 的不等式()222ax x ax a R -≥-∈.23．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设11n n n n c b a a +=+•，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：2(1)n S n <+.24．已知角A ，B ，C 为等腰ABC ∆的内角，设向量(2sin sin ,sin )m A C B =-r，(cos ,cos )n C B =r ，且//m n r r，BC =（1）求角B ；（2）在ABC ∆的外接圆的劣弧»AC 上取一点D ，使得1AD =，求sin DAC ∠及四边形ABCD 的面积．25．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos c B b C a B +=．（1）求cos B 的值；（2）若2CA CB -=u u u v u u u v，ABC ∆的面积为22，求边b ．26．已知函数()2sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<部分图象如图所示.（1）求ϕ值及图中0x 的值；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知7,()2,c f C ==-sin B =2sin A ，求a 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】选项A 中，当c=0时不符，所以A 错．选项B 中，当2,1a b =-=-时，符合22a b >，不满足a b >，B 错．选项C 中, a c b c +>+,所以C 错．选项D 中，因为0a ≤<b ，由不等式的平方法则，22ab <，即a b <．选D.2．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】∵点M (a ,b )与点N (0,−1)在直线3x −4y +5=0的两侧,∴()()34530450a b -+⨯++<，即3450a b -+<，故①错误； 当0a >时,54a b +>，a +b 即无最小值，也无最大值，故②错误； 设原点到直线3x −4y +5=0的距离为d ,则22513(4)==+-d ,则22a b +>1，故③正确；当0a >且a ≠1时,11b a +-表示点M (a ,b )与P (1,−1)连线的斜率． ∵当0a =,b =54时,51194114b a ++==---,又直线3x −4y +5=0的斜率为34， 故11b a +-的取值范围为93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故④正确.∴正确命题的个数是2个. 故选B.点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.3．B解析：B 【解析】 【分析】由已知条件得()()113x y +++=，对代数式2211x y y x +++变形，然后利用基本不等式求出2211x y y x +++的最小值，即可得出实数m 的最大值. 【详解】正数x 、y 满足1x y +=，则()()113x y +++=，()()()()()()222222221212111111111111y x y x y x x y y x y x y x y x +-+-⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦+=+=+=+++++++++444444141465111111y x x y y x x y x y =+-+++-+=+++-=+-++++++()()14441111525311311y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=++++-=++-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭41112253113x y y x ⎛⎫++≥⨯+⋅-= ⎪ ⎪++⎝⎭， 当且仅当12x y ==时，等号成立，即2211x y y x +++的最小值为13，则13m ≤. 因此，实数m 的最大值为13. 故选：B. 【点睛】本题考查利用基本不等式恒成立求参数，对代数式合理变形是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.4．D解析：D 【解析】因为，即，又，所以.本题选择D 选项.5．C解析：C 【解析】 【分析】由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出105S S . 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q （公比显然不为1），则()()61636333111119111a q S q q q S qa q q---===+=---，得2q =，因此，() ()101105510555111111233111a qS qqqS qa qq---===+=+=---，故选C.【点睛】本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一般在求解等比数列问题时，有如下两种方法：（1）基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通项公式或求和公式来进行计算；（2）性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用．6．A解析：A【解析】【分析】根据题意，作出可行域，分析yx的几何意义是可行域内的点(),x y与原点O连线的斜率，根据图象即可求解.【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示，yx的几何意义是可行域内的点(),x y与原点O连线的斜率，由102x yy-+=⎧⎨=⎩，得点A的坐标为()1,2，所以2OAk=，同理，2OBk=-，所以yx的取值范围是()[),22,-∞-+∞U.故选：A【点睛】本题考查简单的线性规划，考查斜率型目标函数问题，考查数形结合思想，属于中等题型. 7．D解析：D【解析】【分析】三角形的面积公式为1sin 2ABC S bc A ∆=，故需要求出边b 与c ，由余弦定理可以解得b 与c . 【详解】解：在ABC ∆中，2227cos 28b c a A bc +-==将2b c =，6a =代入上式得22246748c c c +-=，解得：2c =由7cos 8A =得2715sin 18A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以，111515sin 2422ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=故选D. 【点睛】三角形的面积公式常见形式有两种：一是12（底⨯高），二是1sin 2bc A .借助12（底⨯高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助1sin 2bc A 时，需要求出三角形两边及其夹角的正弦值.8．B解析：B 【解析】 【分析】作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解. 【详解】 作出可行域如图：化目标函数为2y x z =-，联立70310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得5,2A（）.由图象可知，当直线过点A 时，直线在y 轴上截距最小，z 有最大值25-28⨯=. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.9．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理求出c ， 【详解】A 是三角形内角，1tan 3A =，∴sin A =由正弦定理sin sin a c A C=得sin sin 10a C c A ===， 又2222cos c a b ab C =+-，即22512cos15012b b b =+-︒=+，2302b +-=，32b =（32b =舍去），∴11sin 122ABC S ab C ∆==⨯︒=． 故选：A ． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查同角间的三角函数关系．解三角形中公式较多，解题时需根据已知条件确定先选用哪个公式，再选用哪个公式．要有统筹安排，不致于凌乱．10．D解析：D 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出满足约束条件236y xx y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域，如图，画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ， 平移直线2z x y =+，由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时 目标函数2z x y =+有最大值，2z x y =+的最大值为9.故选D. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.11．D解析：D 【解析】n 阶幻方共有2n 个数，其和为()222112...,2n n n n ++++=Q 阶幻方共有n 行，∴每行的和为()()2221122n n n n n++=，即()()2210110101,50522n n n N N+⨯+=∴==，故选D.12．C解析：C 【解析】 【分析】由已知条件推导出（n 2﹣n ）d ＜2n 2d ，从而得到d ＞0，所以a 7＜0，a 8＞0，由此求出数列{S n }中最小值是S 7．【详解】∵（n +1）S n ＜nS n +1，∴S n ＜nS n +1﹣nS n ＝na n +1即na 1()12n n d-+＜na 1+n 2d ，整理得（n 2﹣n ）d ＜2n 2d∵n 2﹣n ﹣2n 2＝﹣n 2﹣n ＜0∴d ＞0∵87a a -＜1＜0 ∴a 7＜0，a 8＞0数列的前7项为负，故数列{S n }中最小值是S 7故选C ．【点睛】本题考查等差数列中前n 项和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．二、填空题13．3+54【解析】【分析】由a+b ＝2得出b ＝2﹣a 代入代数式中化简后换元t ＝2a ﹣1得2a ＝t+1得出1＜t ＜3再代入代数式化简后得出2t6t-(t2+5)然后在分式分子分母中同时除以t 利用基本不等解析：【解析】【分析】由a +b ＝2得出b ＝2﹣a ，代入代数式中，化简后换元t ＝2a ﹣1，得2a ＝t +1，得出1＜t ＜3，再代入代数式化简后得出，然后在分式分子分母中同时除以t ，利用基本不等式即可求出该代数式的最小值．【详解】解：由于a +b ＝2，且a ＞b ＞0，则0＜b ＜1＜a ＜2，所以，，令t ＝2a ﹣1∈（1，3），则2a ＝t +1，所以，．当且仅当，即当时，等号成立．因此，的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解本题的关键就是对代数式进行化简变形，考查计算能力，属于中等题．14．4【解析】【分析】设f（x）x2﹣3x+4其函数图象是抛物线画两条与x轴平行的直线y＝a和y＝b如果两直线与抛物线有两个交点得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间所以两直线与抛物线不可能有解析：4【解析】【分析】设f（x）34x2﹣3x+4，其函数图象是抛物线，画两条与x轴平行的直线y＝a和y＝b，如果两直线与抛物线有两个交点，得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间，所以两直线与抛物线不可能有两个交点，所以直线y＝a应该与抛物线只有一个或没有交点，所以a小于或等于抛物线的最小值且a与b所对应的函数值相等且都等于b，利用f （b）＝b求出b的值，由抛物线的对称轴求出a的值，从而求出结果．【详解】解：画出函数f（x）＝34x2﹣3x+4＝34（x－2）2＋1的图象，如图，可得f（x）min＝f（2）＝1，由图象可知，若a>1，则不等式a≤34x2－3x＋4≤b的解集分两段区域，不符合已知条件，因此a≤1，此时a≤x2－3x＋4恒成立．又不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集为[a ，b ]， 所以a ≤1<b ，f （a ）＝f （b ）＝b ，可得2233443344a ab b b b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 由34b 2－3b ＋4＝b ，化为3b 2－16b ＋16＝0， 解得b ＝43或b ＝4. 当b ＝43时，由34a 2－3a ＋4－43＝0，解得a ＝43或a ＝83， 不符合题意，舍去，所以b ＝4，此时a ＝0，所以b －a ＝4.故答案为：4【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，解题时应灵活应用函数的思想解决实际问题，是中档题．15．【解析】【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和【详解】数列满足：（且为常数）当时则所以（常数）故所以数列的前项为首项为公差为的等差数列从项开始由于所以奇数项为偶数项为所以故答案为：【点睛】 解析：1849【解析】【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和.【详解】数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()()*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩， 当100a =时，则1100a =，所以13n n a a +-=-（常数），故()10031n a n =--，所以数列的前34项为首项为100，公差为3-的等差数列.从35项开始，由于341a =，所以奇数项为3、偶数项为1，所以()()1001001346631184922S +⨯=+⨯+=，故答案为：1849【点睛】本题考查了由递推关系式求数列的性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，同时也考查了分类讨论的思想，属于中档题.16．【解析】由题设可知即由正弦定理可得所以当时故填【解析】由题设可知)sin sin sin cos cos sin cos C C B C B C C =⇒=+，即sin C A =，由正弦定理可得c =，所以S ==242a a =⇒=时，max S == 17．【解析】【分析】设三角形外接圆半径R 由三角形面积公式解方程即可得解【详解】由题：设三角形外接圆半径为R （）根据正弦定理和三角形面积公式：即解得：故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应解析：【解析】【分析】设三角形外接圆半径R ，由三角形面积公式21sin 2sin sin sin 2S ab C R A B C ==解方程即可得解.【详解】由题：1sin sin 75sin(4530)2B =︒=︒+︒==设三角形外接圆半径为R （0R >），根据正弦定理和三角形面积公式：211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅=即262R +=，解得：R =故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应用，利用正弦定理对面积公式进行转化求出相关量，需要对相关公式十分熟练.18．【解析】分析：设公差为d 首项利用等差中项的性质通过两次平方运算即可求得答案详解：设公差为d 首项和都是等差数列且公差相等即两边同时平方得：两边再平方得：又两数列公差相等即解得：或为正项数列故答案为：点 解析：14【解析】分析：设公差为d ，首项1a ，利用等差中项的性质，通过两次平方运算即可求得答案. 详解：设公差为d ，首项1a ，Q {}n a 和都是等差数列，且公差相等，∴=，即=，两边同时平方得：()1114233a d a a d +=+++14a d +=两边再平方得：()221111168433a a d d a a d ++=+， ∴2211440a a d d -+=，12d a =，又两数列公差相等，2112a a d a =-==，12a =，解得：114a =或10a =， Q {}n a 为正项数列，∴114a =.故答案为：14. 点睛：本题考查等差数列的性质，考查等差中项的性质，考查化归与方程思想. 19．【解析】【分析】根据不等式的解集是求得的值从而求解不等式的解集得到答案【详解】由题意因为不等式的解集是可得解得所以不等式为即解得即不等式的解集为【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法其中解答中根解析：11(,)23-- 【解析】【分析】根据不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，求得,a b 的值，从而求解不等式250bx x a -+>的解集，得到答案.【详解】由题意，因为不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-， 可得53(2)(3)(2)a ba ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=⎪⎩，解得1,6a b =-=-， 所以不等式250bx x a -+>为26510x x --->，即2651(31)(21)0x x x x ++=++<，解得1123x -<<-， 即不等式250bx x a -+>的解集为11(,)23--.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中根据三个二次式之间的关键，求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20．-4【解析】【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】解：作出可行域如图所示当直线经过点时故答案为：【点睛】本题考查简单的线性解析：-4【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：作出可行域如图所示，当直线3z x y =-经过点()2,2时，min 2324z =-⨯=-.故答案为：4-【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．三、解答题21．（1）1628(0)1y x x x =--+≥+；（2）厂家2020年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,为21万元.【解析】【分析】（1）由不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件，可求k 的值，再求出每件产品销售价格的代数式，则利润y （万元）表示为年促销费用x （万元）的函数可求.（2）由（1）得16281y x x =--++，再根据均值不等式可解.注意取等号. 【详解】（1）由题意知,当0x =时,1,m = 所以213,2,31k k m x =-==-+, 每件产品的销售价格为8161.5m m+⨯元. 所以2020年的利润816161.581628(0)1m y m m x x x m x +=⨯---=--+≥+； (2)由(1)知,161628(1)292111y x x x x =--+=--++≤++,当且仅当16(1)1x x =++,即3x =时取等号, 该厂家2020年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,为21万元.【点睛】考查均值不等式的应用以及给定值求函数的参数及解析式.题目较易，考查的均值不等式，要注意取等号.22．当0a =时，不等式的解集为{}|1x x ≤-；当0a >时，不等式的解集为2{|x x a≥或1}x ≤-； 当20a -<<时，不等式的解集为2{|1}x x a≤≤-； 当2a =-时，不等式的解集为{}1-； 当2a <-时，不等式的解集为2{|1}x x a -≤≤.【解析】【分析】将原不等式因式分解化为()()210ax x -+≥，对参数a 分5种情况讨论：0a =，0a >，20a -<<，2a =-，2a <-，分别解不等式．【详解】解：原不等式可化为()2220ax a x +--≥，即()()210ax x -+≥， ①当0a =时，原不等式化为10x +≤，解得1x ≤-，②当0a >时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭， 解得2x a≥或1x ≤-， ③当0a <时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭. 当21a >-，即2a <-时，解得21x a -≤≤； 当21a =-，即2a =-时，解得1x =-满足题意； 当21a<-，即20a -<<时，解得21x a ≤≤-. 综上所述，当0a =时，不等式的解集为{}|1x x ≤-；当0a >时，不等式的解集为2{|x x a≥或1}x ≤-； 当20a -<<时，不等式的解集为2{|1}x x a≤≤-； 当2a =-时，不等式的解集为{}1-； 当2a <-时，不等式的解集为2{|1}x x a -≤≤.【点睛】本题考查含参不等式的求解，求解时注意分类讨论思想的运用，对a 分类时要做到不重不漏的原则，同时最后记得把求得的结果进行综合表述.23．（1）n a n =，21n b n =+；（2）见解析【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式及求和公式列1a d ，的方程组求解则n a n =可求，进而得21n b n =+（2）利用()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭分组求和即可证明 【详解】 （1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以112351096a d a d d +=⎧⎨+=+⎩. 整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩， 所以()11?n a a n d n =+-=，即n a n =，()11221n b b n d n =+-⋅=+，即21n b n =+.综上，n a n =，21n b n =+.（2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭， 所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+++-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++. 【点睛】 本题考查等差数列的通项公式及求和公式，裂项相消求和，考查推理计算能力，是中档题24．（1）3B π=（2【解析】【分析】（1）利用向量共线的条件，结合诱导公式，求得角B 的余弦值，即可得答案； （2）求出CD ，23ADC ∠=π，由正弦定理可得sin DAC ∠，即可求出四边形ABCD 的面积．【详解】（1）Q 向量(2sin sin ,sin )m A C B =-r ，(cos ,cos )n C B =r ，且//m n r r， (2sin sin )cos sin cos A C B B C ∴-=，2sin cos sin()A B B C ∴=+，2sin cos sin A B A ∴=，1cos 2B ∴=， 0B Q π<<，3B π∴=； （2）根据题意及（1）可得ABC ∆是等边三角形，23ADC ∠=π， ADC ∆中，由余弦定理可得22222cos3AC AD CD AD CD π=+-⋅⋅， 260CD CD ∴+-=，2CD ∴=，由正弦定理可得sin sin 7CD ADC DAC AC ∠∠==，∴四边形ABCD 的面积．11122S DAC ABC =⨯∠+∠=． 【点睛】本题考查向量共线条件的运用、诱导公式、余弦定理、正弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将四边形的面积分割成两个三角形的面积和.25．（1）1cos 3B =；（2）3b = 【解析】【分析】（1）直接利用余弦定理的变换求出B 的余弦值．（2）利用（1）的结论首先求出sin B 的值，进一步利用平面向量的模的运算求出c ，再利用三角形的面积公式求出a ，最后利用余弦定理的应用求出结果．【详解】解：在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos c B b C a B +=．则：2222222223222a c b a b c a c b c b a ac ab ac+-+-+-+=g g g ， 整理得：22223ac a c b =+-， 所以：2221cos 23a cb B ac +-==； （2）由于1cos 3B =，(0,)B π∈，所以：sin 3B ==， 在ABC ∆中，由于：||2CA CB -=u u u r u u u r ， 则：2BA =u u u r ，即：2c =．由于ABC ∆的面积为所以：1sin 2ac B = 解得：3a =，故：2222cos b a c ac B =+-14922393=+-=g g g ， 解得：3b =．【点睛】本题考查的知识要点：平面向量的模的运算的应用，余弦定理和三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．26．（1）6π=ϕ,076x π=（2）1a = 【解析】试题分析：（1）根据图象可得()01f =，从而求得ϕ得值，再根据()02f x =，可得022,62x k k Z πππ+=+∈，结合图象可得0x 的值；（2）根据（1）的结论及()2f C =-，可得C 的值，将sin B = 2sin A 根据正弦定理角化边得2b a =，再根据余弦定理即可解得a 的值.试题解析：（1）由图象可以知道：()01f =. ∴1sin 2ϕ=又∵2πϕ<∴6πϕ=∵()02f x = ∴0sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，022,62x k k Z πππ+=+∈, 从而0,6x k k Z ππ=+∈. 由图象可以知道1k =, 所以076x π= （2）由()2f C =-,得sin 216C π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,且()0,C π∈. ∴23C π= ∵sin 2sin B A =∴由正弦定理得2b a =又∵由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得：2227422cos ,3a a a a π=+-⨯ ∴解得1a =。
2020-2021高三数学上期末一模试题(及答案)
2020-2021高三数学上期末一模试题(及答案)一、选择题1．若正实数x ，y 满足141x y +=，且234yx a a +>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,4-B ．()1,4-C ．[]4,1-D ．()4,1-2．若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b >D ．33a b <3．若直线()100,0ax by a b ++=>>把圆()()224116x y +++=分成面积相等的两部分，则122a b+的最小值为( ) A ．10B ．8C ．5D ．44．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ）A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形5．已知函数223log ,0(){1,0x x f x x x x +>=--≤，则不等式()5f x ≤的解集为 ( ) A ．[]1,1-B ．[]2,4-C ．(](),20,4-∞-⋃D ．(][],20,4-∞-⋃ 6．已知,,a b R +∈且115a b a b+++=,则+a b 的取值范围是（ ） A ．[1,4]B ．[)2,+∞C ．(2,4)D ．(4,)+∞7．数列{}n a 为等比数列，若11a =，748a a =，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则5(S = )A ．3116B ．158C ．7D ．318．设实数,x y 满足242210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，则1y x +的最大值是（ ）A ．-1B ．12 C ．1 D ．329．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =10．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项的和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 （ ） A ．24B ．48C ．60D ．8411．已知x 、y 满足约束条件50{03x y x y x -+≥+≥≤，则24z x y =+的最小值是（ ）A ．6-B ．5C ．10D ．10-12．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =，a =7cos 8A =，则ABC ∆的面积为（ ） AB ．3CD二、填空题13．已知变数,x y 满足约束条件340{210,380x y x y x y -+≥+-≥+-≤目标函数(0)z x ay a =+≥仅在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为_____________． 14．已知0,0x y >>，1221x y +=+，则2x y +的最小值为 . 15．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是__________． 16．已知数列{}{}n n a b 、满足ln n n b a =，*n ∈N ，其中{}n b 是等差数列，且431007e a a ⋅=，则121009b b b +++=L ________．17．已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，45234a a a a +=+，则144S S a +=______． 18．已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集是_________.19．已知数列{}n a (*n ∈N )，若11a =，112nn n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2lim n n a →∞= ． 20．已知等比数列{}n a 的公比为2,前n 项和为n S ,则42S a =______. 三、解答题21．已知在等比数列{}n a 中, 11a =,且2a 是1a 和31a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若数列{}n b 满足()*21n n b n a n N=-+∈,求{}nb 的前n 项和nS.22．设{}n a 是等比数列，公比不为1．已知113a =，且1a ，22a ，33a 成等差数列． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ． 23．设数列{}n a 满足()*164n n n a a n a +-=∈-N ，其中11a =. （Ⅰ）证明：32n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列； （Ⅱ）令112n n b a =--，设数列{}(21)n n b -⋅的前n 项和为n S ，求使2019n S <成立的最大自然数n 的值.24．已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+. （1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S . 25．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 114=，公比q >0，S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列.（1）求{a n }； （2）设b n ()()22212n n n n c n b b log a +==+，，求数列{c n }的前n 项和T n .26．在公差不为0的等差数列{}n a 中，1a ，3a ，9a 成公比为3a 的等比数列，又数列{}n b 满足*2,21,()2,2,n a n n k b k N n n k ⎧=-=∈⎨=⎩． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】根据1444y y x x x y ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合基本不等式可求得44yx +≥，从而得到关于a 的不等式，解不等式求得结果. 【详解】 由题意知：1442444y y x yx x x y y x⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0x Q >，0y > 40x y ∴>，04yx>424x y y x ∴+≥=（当且仅当44x y y x =，即4x y =时取等号） 44yx ∴+≥ 234a a ∴-<，解得：()1,4a ∈- 本题正确选项：B 【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是配凑出符合基本不等式的形式，从而求得最值.2．D解析：D 【解析】 ∵0a b << ∴设1,1a b =-= 代入可知,,A B C 均不正确对于D ，根据幂函数的性质即可判断正确 故选D3．B解析：B 【解析】 【分析】由于直线将圆平分，故直线过圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，利用“1”的代换的方法以及基本不等式，求得所求和的最小值. 【详解】圆的圆心为()4,1--，由于直线将圆平分，故直线过圆心，即410a b --+=，即41a b +=，故()121284448222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当82b aa b =，即11,82a b ==时，取得最小值为8.故选B.本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用“1”的代换和基本不等式求解和式的最小值问题.直线能将圆平分成面积相等的两个部分，则这条直线是经过圆心的.要注意的是，圆的标准方程是()()222x a y b r -+-=，圆心是(),a b ，所以本题的圆心是()4,1--，而不是()4,1.4．C解析：C 【解析】 【分析】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，得出::5:11:13a b c =，可得出角C 为最大角，并利用余弦定理计算出cos C ，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状. 【详解】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，可得出::5:11:13a b c =， 设()50a t t =>，则11b t =，13c t =，则角C 为最大角，由余弦定理得2222222512116923cos 022511110a b c t t t C ab t t +-+-===-<⨯⨯，则角C 为钝角，因此，ABC ∆为钝角三角形，故选C. 【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.5．B解析：B 【解析】分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可． 详解：由于()223log ,01,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩， 当x ＞0时，3+log 2x≤5，即log 2x≤2=log 24，解得0＜x≤4， 当x≤0时，x 2﹣x ﹣1≤5，即（x ﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤0， ∴不等式f （x ）≤5的解集为[﹣2，4]， 故选B ．点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.6．A解析：A 【解析】分析：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，可得()214ab a b ≥+，又115a b a b +++=，可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭，化简整理即可得出. 详解：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，可得()214ab a b ≥+，又115a b a b+++=， 可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭， 化为()()2540a b a b +-++≤， 解得14a b ≤+≤， 则+a b 的取值范围是[]1,4. 故选：A.点睛：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.7．A解析：A 【解析】 【分析】先求等比数列通项公式，再根据等比数列求和公式求结果. 【详解】Q 数列{}n a 为等比数列，11a =，748a a =，638q q ∴=，解得2q =， 1112n n n a a q --∴==， Q 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ， 55111111131211248161612S ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭∴=++++==-．故选A ． 【点睛】本题考查等比数列通项公式与求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.8．D解析：D 【解析】【分析】由约束条件确定可行域，由1yx+的几何意义，即可行域内的动点与定点P（0，-1）连线的斜率求得答案．【详解】由约束条件242210x yx yx-≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，作出可行域如图，联立10220xx y-=⎧⎨+-=⎩，解得A（112，），1yx+的几何意义为可行域内的动点与定点P（0，-1）连线的斜率，由图可知，113212PAk+==最大．故答案为32．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题型．9．A解析：A【解析】sin()2sin cos2sin cos cos sinA CBC A C A C++=+所以2sin cos sin cos2sin sin2B C A C B A b a=⇒=⇒=，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视. 10．C解析：C 【解析】试题分析：∵11011101100000a a a d a a ⋅∴＞，＜，＜，＞，＜， ∴18110111810181060T a a a a S S S =+⋯+--⋯-=--=（），选C . 考点：1.等差数列的求和；2.数列的性质.11．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】作出不等式50{03x y x y x -+≥+≥≤所表示可行域如图所示，作直线:24l z x y =+，则z 为直线l 在y 轴上截距的4倍， 联立3{x x y =+=，解得3{3x y ==-，结合图象知，当直线l 经过可行域上的点()3,3A -时，直线l 在y 轴上的截距最小， 此时z 取最小值，即()min 23436z =⨯+⨯-=-，故选A. 考点：线性规划12．D解析：D 【解析】 【分析】三角形的面积公式为1sin 2ABC S bc A ∆=，故需要求出边b 与c ，由余弦定理可以解得b 与c . 【详解】解：在ABC ∆中，2227cos 28b c a A bc +-==将2b c =，6a =代入上式得22246748c c c +-=，解得：2c =由7cos 8A =得2715sin 18A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以，111515sin 242282ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=故选D. 【点睛】三角形的面积公式常见形式有两种：一是12（底⨯高），二是1sin 2bc A .借助12（底⨯高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助1sin 2bc A 时，需要求出三角形两边及其夹角的正弦值.二、填空题13．【解析】【分析】【详解】试题分析：由题意知满足条件的线性区域如图所示：点而目标函数仅在点处取得最大值所以考点：线性规划最值问题解析：1(,)3+∞【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意知满足条件的线性区域如图所示：，点(22)A ，，而目标函数(0)z x ay a =+≥仅在点(2,2)处取得最大值，所以1133AB k a a ->=-∴> 考点：线性规划、最值问题.14．3【解析】试题分析：根据条件解得那么当且仅当时取得等号所以的最小值为3故填：3考点：基本不等式解析：3 【解析】试题分析：根据条件，解得，那么，当且仅当时取得等号，所以的最小值为3，故填：3. 考点：基本不等式15．【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得应满足解得∴实数的取值范围是答案：点睛：根据三角形的形状判断边满足的条件时需要综合考虑边的限制条件在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用必须要考虑到三个内角的 解析：2210a <<【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得a 应满足22222222224130130310a a a a <<⎧⎪+->⎪⎨+->⎪⎪+->⎩，解得2210a << ∴实数a 的取值范围是(22,10)． 答案：(22,10) 点睛：根据三角形的形状判断边满足的条件时，需要综合考虑边的限制条件，在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用，必须要考虑到三个内角的余弦值都要大于零，并由此得到不等式，进一步得到边所要满足的范围．16．2018【解析】【分析】数列{an}{bn}满足bn ＝lnann ∈N*其中{bn}是等差数列可得bn+1﹣bn ＝lnan+1﹣lnan ＝ln 常数t 常数et ＝q ＞0因此数列{an}为等比数列由可得a1解析：2018 【解析】 【分析】数列{a n }、{b n }满足b n ＝lna n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，可得b n +1﹣b n ＝lna n +1﹣lna n ＝ln 1n n a a +=常数t ．1n na a +=常数e t ＝q ＞0，因此数列{a n }为等比数列．由431007e a a ⋅=， 可得a 1a 1009＝a 2a 1008431007a a e =⋅==L ．再利用对数运算性质即可得出．【详解】解：数列{a n }、{b n }满足b n ＝lna n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，∴b n +1﹣b n ＝lna n +1﹣lna n ＝ln 1n na a +=常数t ． ∴1n na a +=常数e t ＝q ＞0， 因此数列{a n }为等比数列．且431007e a a ⋅=，∴a 1a 1009＝a 2a 1008431007a a e =⋅==L ．则b 1+b 2+…+b 1009＝ln （a 1a 2…a 1009）==lne 2018＝2018．故答案为：2018．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与性质、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．2【解析】【分析】利用已知条件求出公比再求出后可得结论【详解】设等比数列公比为则又数列是递增的∴∴故答案为：2【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前项和公式属于基础题解析：2【解析】【分析】利用已知条件求出公比q ，再求出144,,S S a 后可得结论．【详解】设等比数列{}n a 公比为q ，则2454232(1)4(1)a a a q q a a a q ++===++，又数列{}n a 是递增的，∴2q =， ∴44121512S -==-，111S a ==，3428a ==，14411528S S a ++==． 故答案为：2．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题．18．【解析】【分析】根据不等式的解集是求得的值从而求解不等式的解集得到答案【详解】由题意因为不等式的解集是可得解得所以不等式为即解得即不等式的解集为【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法其中解答中根解析：11(,)23-- 【解析】【分析】根据不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，求得,a b 的值，从而求解不等式250bx x a -+>的解集，得到答案.【详解】由题意，因为不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-， 可得53(2)(3)(2)a b a ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=⎪⎩，解得1,6a b =-=-， 所以不等式250bx x a -+>为26510x x --->，即2651(31)(21)0x x x x ++=++<，解得1123x -<<-， 即不等式250bx x a -+>的解集为11(,)23--.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中根据三个二次式之间的关键，求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．【解析】【分析】由已知推导出=(=1+（）从而-=-由此能求出【详解】∵数列满足：∴（）+（）+……+（）=++……+==(∴=(；又+……+（）=1+++……+=1+=1+（）即=1+（）∴-=- 解析：23- 【解析】【分析】由已知推导出2n S =23(11)4n -，21n S -=1+13（1114n --），从而22n n a S =-21n S -=21132n -n -23，由此能求出2lim n n a →∞ 【详解】 ∵数列{}n a 满足：1 1a =，112nn n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴（12 a a +）+（34 a a +）+……+（212 n n a a -+）=12+312⎛⎫ ⎪⎝⎭+……+2112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=11124114n ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=23(11)4n -， ∴2n S =23(11)4n -； 又12345 a a a a a +++++……+（2221 n n a a --+）=1+212⎛⎫ ⎪⎝⎭+412⎛⎫ ⎪⎝⎭+……+2212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1+2111124114n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=1+13（1114n --）， 即21n S -=1+13（1114n --） ∴22n n a S =-21n S -=21132n -n -23 ∴2211lim lim(32n n n n a n -→∞→∞=-2)3=-2 3， 故答案为：-2 3【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，数列的极限的求法，考查逻辑思维能力及计算能力，属于中档题． 20．【解析】由等比数列的定义S4=a1＋a2＋a3＋a4=＋a2＋a2q ＋a2q2得＋1＋q ＋q2= 解析：152【解析】 由等比数列的定义，S 4=a 1＋a 2＋a 3＋a 4=2a q ＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2， 得42S a =1q ＋1＋q ＋q 2=152. 三、解答题21．(1) 12n n a -=(2) n S 221n n =+-【解析】【分析】(1)由题意结合等差数列的性质得到关于公比的方程，解方程求得公比的值，然后结合首项求解数列的通项公式即可.(2)结合(1)的结果首先确定数列{}n b 的通项公式，然后分组求和即可求得数列{}n b 的前n 项和n S .【详解】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,则2a q =,23a q =,∵2a 是1a 和31a -的等差中项,∴()21321a a a =+-,即()2211q q =+-,解得2q =,∴12n n a -=.(2) 121212n n n b n a n -=-+=-+,则()()11321122n n S n -⎡⎤=+++-++++⎣⎦L L ()12112212nn n ⎡⎤+--⎣⎦=+-. 221n n =+-.【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．22．（1）13n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2）13(21)34n n n T ++-⋅=【解析】【分析】 （1）由等差中项可得21343a a a =+,设数列{}n a 的公比为()1q q ≠,则211143a q a a q ⋅=+⋅,可解得q ,即可求得通项公式；（2）由（1）可得3n n n n a =⋅,再利用错位相减法求解即可. 【详解】解:（1）设数列{}n a 的公比为()1q q ≠,且1a ,22a ,33a 成等差数列,所以21343a a a =+,即211143a q a a q ⋅=+⋅,解得13q =, 因为113a =,所以13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）由（1）知，13n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以3n n n n a =⋅, 所以1231323333n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅L ,则234131323333n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅L ,作差可得,1231233333n n n T n +-=++++-⋅L则()+13312331n n n T n --=-⋅-，即1132322n n T n +⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭, 所以()132134n n n T ++-⋅= 【点睛】本题考查等差中项的应用,考查等比数列的通项公式,考查错位相减法求数列的和.23．（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）6【解析】【分析】 （Ⅰ）由递推公式凑出1132n n a a ++--与32n n a a --的关系，即可得证 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得2111222n n n n n a b a a --=-==--，即可得到{}(21)n n b -⋅的通项公式，再用错位相减法求和，证明其单调性，可得得解.【详解】 解：（Ⅰ）()*164n n n a a n a +-=∈-N Q 1163346224n n n n n n a a a a a a ++----∴=---- 6312628n n n n a a a a --+=--+ 2(3)(2)n n a a --=-- 322n n a a -=- 32n n a a ⎧⎫-∴⎨⎬-⎩⎭是首项为113132212a a --==--，公比为2的等比数列 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，322n n n a a -=-，即2111222n n n n n a b a a --=-==--， 21212n n n b n ∴-⋅=-⋅（）（）123S 123252...(21)2n n n =⋅+⋅+⋅++-⋅①23412S 123252...(21)2n n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅②，①减②得11231142S 122(22...2)(21)222(21)212n n n n n n n +++--=⋅+++--⋅=+⋅--⋅- 1(32)26n n +=-⋅-.1S (23)26n n n +∴=-⋅+ 2111S S (21)2(23)22210n n n n n n n n ++++∴-=-⋅--⋅=+>（），S n ∴单调递增.76S 92611582019=⨯+=<Q ，87S 112628222019=⨯+=>.故使S 2019n <成立的最大自然数6n =.【点睛】本题考查利用递推公式证明函数是等比数列，以及错位相减法求和，属于中档题.24．（1）证明见解析（2）()11222n n n n S ++=-- 【解析】【分析】(1)根据n n b a n =+求得1n b +,化简成含n a 的表达式再得12n n b b +=即可.(2)根据(1)中等比数列的首项与公比求得数列{}n b 的通项公式,再代入n n b a n =+即可求得数列{}n a 的通项公式,再根据分组求和求解即可.【详解】（1）证明：因为121,n n n n a a n b a n +=+-=+所以()()()11121122n n n n n b a n a n n a n b ++=++=+-++=+=,又因为11120b a =+=≠,则12n nb b +=, 所以数列{}n b 是首项为2,公比为2的等比数列.（2）由（1）知2n n n a n b +==,所以2n n a n =-,所以()()()()232122232n n S n =-+-+-+⋅⋅⋅+-()()232222123n n =+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+ ()()()121211221222n n n n n n +-++=-=---【点睛】 本题主要考查了数列的递推公式证明等比数列的方法,同时也考查了分组求和与等比等差数列求和的公式等.属于中等题型.25．（1）a n 11()2n +=；（2）T n 2211311436(2)(3)n n ⎡⎤=--⎢⎥++⎣⎦. 【解析】【分析】（1）根据等差中项的性质列方程，并转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值，进而求得数列{}n a 的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列{}n c 的前n 项和n T .【详解】（1）由S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列，可得2（S 3+a 3）=S 2+a 2+S 1+a 1，即有2a 1（1+q +2q 2）=3a 1+2a 1q ，化为4q 2=1，公比q >0，解得q 12=. 则a n 14= ⋅（12）n ﹣111()2n +=； （2）b n 212222111()(2)(1)n n log a log n --===+， c n =（n +2）b n b n +2=（n +2）⋅22221111(1)(3)4(1)(3)n n n n ⎡⎤=-⎢⎥++++⎣⎦， 则前n 项和T n =c 1+c 2+c 3+…+c n ﹣1+c n14=[22222222221111111111243546(2)(1)(3)n n n n -+-+-++-+-+++L ] 2211111449(2)(3)n n ⎡⎤=+--⎢⎥++⎣⎦ 2211311436(2)(3)n n ⎡⎤=--⎢⎥++⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列通项公式的基本量计算，考查裂项求和法，属于中档题.26．（1）n a n =；（2）22(41)2(1)3n n T n n -=++ 【解析】【分析】（1）根据条件列方程组解得公差与首项，即得数列{}n a 的通项公式；（2）根据分组求和法得结果.【详解】（1）公差d 不为0的等差数列{}n a 中，1a ，3a ，9a 成公比为3a 的等比数列，可得2319a a a =，313a a a =，可得2111(2)(8)a d a a d +=+，11a =，化简可得11a d ==，即有n a n =；（2）由（1）可得2,212,2n n n k b n n k ⎧=-=⎨=⎩，*k N ∈； 前2n 项和212(28322)(48124)n n T n -=+++⋯+++++⋯+ 2(14)12(41)(44)2(1)1423n n n n n n --=++=++-． 【点睛】本题考查等差数列通项公式以及分组求和法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.。
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【常考题】高三数学上期末一模试卷(及答案)一、选择题1．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ） A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S2．若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．13．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若,1,3A b π==ABC ∆的面积为3，则a 的值为（ ） A ．2 B ．3C ．32D ．14．已知在中，，，分别为角，，的对边，为最小角，且，，，则的面积等于（ ） A ．B ．C ．D ．5．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ） A ．94-B ．94C ．274D ．274-6．已知数列{}n a 的通项公式是221sin2n n a n π+=（），则12310a a a a ++++=L A ．110B ．100C ．55D ．07．已知数列{}n a 的首项110,211n n n a a a a +==++，则20a =（ ） A ．99B ．101C ．399D ．4018．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112n n a S a +＝，＝， 则n S ＝( )A ．12n -B ．13()2n -C ．12()3n - D ．112n - 9．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－3，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A ． 31 B ． 31 C ．3＋2D ．3210．已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( )A ．140B ．280C ．168D ．5611．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1(1)()n n n S nS n N *++∈＜.若871a a <-，则（ ） A ．n S 的最大值为8S B ．n S 的最小值为8S C ．n S 的最大值为7S D ．n S 的最小值为7S 12．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=o ，22AB BC CD ==，则cos DAC ∠=（ ）ABCD．10二、填空题13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .2C A π-=，1sin 3A =，3a =，则b =______.14．若变量,x y 满足约束条件12,{20,20,x y x y x y +≤-≥-≤ 则z y x =-的最小值为_________.15．在等差数列{}n a 中，首项13a =，公差2d =，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为 ．16．已知数列{}n a 的前n 项和为21nn S =-，则此数列的通项公式为___________．17．在平面直角坐标系中，设点()0,0O，(A ，点(),P x y的坐标满足0200y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩，则OA u u u v 在OP uuu v 上的投影的取值范围是__________ 18．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差d =（___）．19．已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.20．设(3()lg f x x x =+，则对任意实数,a b ，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的_________条件．（填“充分不必要”.“必要不充分”.“充要”.“既不充分又不必要”之一）三、解答题21．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设11n n n n c b a a +=+•，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：2(1)n S n <+.22．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且2cos 2a C c b +=. （1）求角A 的大小；（2）若1a =，求ABC ∆面积的最大值。
23．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且222sin sin sin sin A C B A C +-．（1）求角B ；（2）点D 在线段BC 上，满足DA DC =，且11a =，cos()A C -=DC 的长．24．在ABC ∆中,,A B C 的对边分别,,a b c ，若()2sin(2)()26f x x f C π=+=-，，c =sin B =2sin A ，（1）求C （2）求a 的值． 25．已知{}n a 是递增数列，其前n 项和为n S ，11a >，且10(21)(2)n n n S a a =++，*n ∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）是否存在*,,m n k N ∈使得2()m n k a a a +=成立？若存在，写出一组符合条件的,,m n k 的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设32n n n b a -=-，若对于任意的*n N ∈，不等式12111(1)(1)(1)31n b b b ≤+++L m 的最大值． 26．已知角A ，B ，C 为等腰ABC ∆的内角，设向量(2sin sin ,sin )m A C B =-r，(cos ,cos )n C B =r ，且//m n r r，BC =（1）求角B ；（2）在ABC ∆的外接圆的劣弧»AC 上取一点D ，使得1AD =，求sin DAC ∠及四边形ABCD 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【解析】 【分析】先通过数列性质判断60a <，再通过数列的正负判断n S 的最小值. 【详解】∵等差数列{}n a 中，390a a +<，∴39620a a a +=<，即60a <.又70a >，∴{}n a 的前n 项和n S 的最小值为6S . 故答案选C 【点睛】本题考查了数列和的最小值，将n S 的最小值转化为{}n a 的正负关系是解题的关键.2．B解析：B 【解析】试题分析：作出题设约束条件可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，把直线l 向上平移，z 增加，当l 过点(3,2)B 时，3227z =+⨯=为最大值．故选B ．考点：简单的线性规划问题．3．B解析：B 【解析】试题分析：由已知条件及三角形面积计算公式得131sin ,2,23c c π⨯⨯=∴=由余弦定理得考点：考查三角形面积计算公式及余弦定理．4．C解析：C 【解析】【分析】根据同角三角函数求出；利用余弦定理构造关于的方程解出，再根据三角形面积公式求得结果. 【详解】由余弦定理得：，即解得：或为最小角本题正确选项： 【点睛】本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、同角三角函数关系，关键是能够利用余弦定理构造关于边角关系的方程，从而求得边长.5．C解析：C 【解析】设等比数列的公比为q （q ＞1），1+（a 2-a 4）+λ（a 3-a 5）=0，可得λ=24531a a a a +--则a 8+λa 9=a 8+666929498385888222535353111a a a a a a a a a q q q a a a a a a a q a a q q --+=++=+-=------令21t q =-，（t ＞0），q 2=t+1，则设f （t ）=()()()()()()3232622213112111t t t t t t qf t q tt t ++-+-+=='=∴-当t ＞12时，f （t ）递增； 当0＜t ＜12时，f （t ）递减． 可得t=12处，此时6f （t ）取得最小值，且为274，则a 8+λa 9的最小值为274； 故选C.6．C解析：C 【解析】 【分析】由已知条件得a n ＝n 2sin （2n 12+π）＝22,,n n n n ⎧-⎨⎩是奇数是偶数，所以a 1+a 2+a 3+…+a 10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92，由此能求出结果． 【详解】∵2n 12+π =n π+2π，n ∈N *，∴a n ＝n 2sin （2n 12+π）＝22,,n n n n ⎧-⎨⎩是奇数是偶数， ∴a 1+a 2+a 3+…+a 10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92＝1+2+3+…+10＝()101+10=552故选C ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、三角函数的周期性，属于中档题．7．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由11n n a a +=+，可得)21111n a ++==，是以1为公差，以1为首项的等差数列.2,1n n a n ==-，即220201399a =-=.故选C.8．B解析：B 【解析】 【分析】利用公式1n n n a S S -=-计算得到11323,2n n n n S S S S ++==，得到答案. 【详解】由已知1112n n a S a +==，，1n n n a S S -=- 得()12n n n S S S -=-，即11323,2n n n n S S S S ++==， 而111S a ==，所以13()2n n S -=.故选B. 【点睛】本题考查了数列前N 项和公式的求法，利用公式1n n n a S S -=-是解题的关键.9．D解析：D 【解析】由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－， 得(a ＋c )·(a ＋b )＝4－∵a 、b 、c >0.∴(a ＋c )·(a ＋b )≤22b c 2a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭(当且仅当a ＋c ＝b ＋a ，即b ＝c 时取“＝”)，∴2a ＋b ＋c＝1)＝－2. 故选：D点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误10．A解析：A 【解析】由等差数列的性质得，5611028a a a a +==+，∴其前10项之和为()11010102814022a a +⨯==，故选A. 11．C解析：C 【解析】 【分析】由已知条件推导出（n 2﹣n ）d ＜2n 2d ，从而得到d ＞0，所以a 7＜0，a 8＞0，由此求出数列{S n }中最小值是S 7． 【详解】∵（n +1）S n ＜nS n +1， ∴S n ＜nS n +1﹣nS n ＝na n +1 即na 1()12n n d-+＜na 1+n 2d ，整理得（n 2﹣n ）d ＜2n 2d ∵n 2﹣n ﹣2n 2＝﹣n 2﹣n ＜0 ∴d ＞0∵87a a -＜1＜0 ∴a 7＜0，a 8＞0数列的前7项为负， 故数列{S n }中最小值是S 7 故选C ． 【点睛】本题考查等差数列中前n 项和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．12．C解析：C 【解析】 【分析】设1BC CD ==，计算出ACD ∆的三条边长，然后利用余弦定理计算出cos DAC ∠． 【详解】如下图所示，不妨设1BC CD ==，则2AB =，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点D ， 易知四边形BCDE 是正方形，则1BE CD ==，1AE AB BE ∴=-=， 在Rt ADE ∆中，222AD AE DE =+=，同理可得225AC AB BC =+=，在ACD ∆中，由余弦定理得2222310cos 210252AC AD CD DAC AC AD +-∠===⋅⨯⨯， 故选C ．【点睛】本题考查余弦定理求角，在利用余弦定理求角时，首先应将三角形的边长求出来，结合余弦定理来求角，考查计算能力，属于中等题．二、填空题13．7【解析】【分析】先求出再利用正弦定理求最后利用余弦定理可求【详解】因为所以故且为锐角则故由正弦定理可得故由余弦定理可得故即或因为为钝角故故故答案为：7【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外解析：7 【解析】 【分析】 先求出2sin 3C =，再利用正弦定理求c ，最后利用余弦定理可求b .【详解】 因为2C A π-=，所以2C A π=+，故sin sin cos 2C A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 且A 为锐角，则22cos A =，故22sin 3C =. 由正弦定理可得sin sin a c A C =，故223sin 3621sin 3a Cc A⨯===， 由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 故222972262b b =+-⨯⨯即7b =或9b =， 因为C 为钝角，故c b >，故7b =. 故答案为：7. 【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量. （1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）； （3）如果知道两角及一边，用正弦定理.14．【解析】由约束条件作出可行域如图联立解得化目标函数得由图可知当直线过点时直线在y 轴上的截距最小有最小值为故答案为点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值属简单题求目标函数最值的一般步骤 解析：4-【解析】由约束条件12,20,20,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩作出可行域如图，联立12 {20x y x y +=-=，解得()84A ，，化目标函数z y x =-，得y x z =+，由图可知，当直线y x z =+过点()84A ，时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为4-，故答案为4-. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15．200【解析】试题分析：等差数列中的连续10项为遗漏的项为且则化简得所以则连续10项的和为考点：等差数列解析：200 【解析】试题分析：等差数列{}n a 中的连续10项为*+129,,,,,()x x x x a a a a x N ++⋯∈，遗漏的项为*+,x n a n N ∈且19,n ≤≤则9()10(18)10(2)22x x x x x n x a a a a a a n +++⨯++⨯-=-+，化简得4494352x n ≤=+≤，所以5x =，511a =，则连续10项的和为(1111+18)10=2002+⨯.考点：等差数列.16．【解析】【分析】由数列的前项和为得时得出;验证时是否满足即可【详解】当时当时又所以故答案为:【点睛】本题考查了由数列的前项和公式推导通项公式的计算问题;解题时需验证时是否满足是基础题解析：12n n a -=【解析】 【分析】由数列{}n a 的前n 项和为23nn S =-，得2n >时1123n n S --=-,，得出1n n n a S S -=-;验证1n =时11a S =是否满足n a 即可. 【详解】当1n =时,11211a S ==-=, 当2n ≥时,()11121212nn n n n n a S S ---=-=---=,又1121-=,所以12n n a -=.故答案为:12n n a -=.【点睛】本题考查了由数列{}n a 的前n 项和公式n S 推导通项公式n a 的计算问题;解题时，需验证1n =时11a S =是否满足n a ，是基础题.17．【解析】【分析】根据不等式组画出可行域可知；根据向量投影公式可知所求投影为利用的范围可求得的范围代入求得所求的结果【详解】由不等式组可得可行域如下图阴影部分所示：由题意可知：在上的投影为：本题正确结 解析：[]3,3-【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，可知5,66AOP ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦；根据向量投影公式可知所求投影为cos OA AOP ∠u u u v，利用AOP ∠的范围可求得cos AOP ∠的范围，代入求得所求的结果.【详解】由不等式组可得可行域如下图阴影部分所示：由题意可知：6AOB π∠=，56AOC π∠=OA u u u v 在OP uuu v上的投影为：cos 9323OA AOP AOP AOP ∠=+∠=∠u u u vAOB AOP AOC ∠≤∠≤∠Q 5,66AOP ππ⎡⎤∴∠∈⎢⎥⎣⎦33cos AOP ⎡∴∠∈⎢⎣⎦[]cos 3,3OA AOP ∴∠∈-u u u v 本题正确结果：[]3,3- 【点睛】本题考查线性规划中的求解取值范围类问题，涉及到平面向量投影公式的应用；关键是能够根据可行域确定向量夹角的取值范围，从而利用三角函数知识来求解.18．【解析】【分析】根据两个和的关系得到公差条件解得结果【详解】由题意可知即又两式相减得【点睛】本题考查等差数列和项的性质考查基本分析求解能力属基础题 解析：1-【解析】 【分析】根据两个和的关系得到公差条件，解得结果. 【详解】由题意可知，10551015S S -=--=-，即67891015a a a a a ++++=-， 又1234510a a a a a ++++=，两式相减得2525d =-，1d =-. 【点睛】本题考查等差数列和项的性质，考查基本分析求解能力，属基础题.19．5【解析】【分析】画出不等式表示的可行域利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)化直线为当直线平移过点A 时z 取得最大值联立直线得A （解析：5 【解析】 【分析】画出不等式表示的可行域，利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可 【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)，化直线2z x y =+为122z y x =-+ 当直线平移过点A 时，z 取得最大值，联立直线3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得A （1,2），故max 145z =+=故答案为：5【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，是基础题20．充要【解析】所以为奇函数又为单调递增函数所以即是的充要条件点睛：充分必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断若则若则的真假并注意和图示相结合例如⇒为真则是的充分条件2等价法：利用⇒与非⇒非⇒与非⇒非解析：充要 【解析】3232()()lg(1)()lg(1)lg10f x f x x x x x x x +-=+++-+-+== ，所以()f x 为奇函数，又()f x 为单调递增函数，所以0()()()()()()0a b a b f a f b f a f b f a f b +≥⇔≥-⇔≥-⇔≥-⇔+≥ ，即“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的充要条件点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．三、解答题21．（1）n a n =，21n b n =+；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式及求和公式列1a d ，的方程组求解则n a n =可求，进而得21n b n =+（2）利用()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭分组求和即可证明【详解】（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以112351096a d a d d +=⎧⎨+=+⎩. 整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以()11?n a a n d n =+-=，即n a n =，()11221n b b n d n =+-⋅=+，即21n b n =+.综上，n a n =，21n b n =+. （2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭，所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+++-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，裂项相消求和，考查推理计算能力，是中档题 22．（1）3π；（2【解析】 【分析】(1)根据2cos 2a C c b +=,利用正弦定理将边化为角,进一步求出角A ; (2)根据条件由余弦定理,可得222212cos 3a b c bc π==+-,再结合222b c bc +≥,求出bc 的范围,进一步求出ABC ∆面积的最大值. 【详解】解:(1)∵2cos 2a C c b +=,∴2sin cos sin 2sin A C C B +=,又∵A B C π++=,∴()2sin cos sin 2sin cos cos sin A C C A C A C +=+, ∴sin 2cos sin C A C =,∴()sin 2cos 10C A -=, ∵sin 0C ≠,∴1cos 2A =, 又()0,A π∈,∴3A π=(2)由(1)知,3A π=,∵1a =,∴由余弦定理,有222212cos 3a b c bc π==+-,∴221bc b c +=+.∵222b c bc +≥, ∴12bc bc +≥, ∴1bc ≤,当且仅当1b c ==时等号成立,∴()max11sin 1sin 2323ABC S bc ππ∆==⨯⨯=,∴三角形ABC 的面积的最大值为4. 【点睛】本题考查了正弦定理,余弦定理,面积公式和均值不等式,考查了转化思想和计算能力,属中档题.23．（Ⅰ）6B π=;（Ⅱ）5AD =．【解析】【试题分析】（1）运用正弦定理将已知中的222sin sin sin sin A C B A C +-=等式转化为边的关系，再借助运用余弦定理求解；（2）借助题设条件DA DC =，且11a =，()cos A C -=，再运用正弦定理建立方程求解：（Ⅰ）由正弦定理和已知条件，222a c b +-=所以cos 2B =． 因为()0,B π∈，所以6B π=．（Ⅱ）由条件．由()()cos sin 55A C A C -=⇒-=．设AD x =，则CD x =，11BD x =-，在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ADBAD B=∠．故512xx =⇒=．所以5AD DC ==． 24．（1）23C π=；（2）1a =. 【解析】 【分析】（1）由()2f C =，结合特殊角的三角函数值，求得C .（2）利用正弦定理得到2b a =，利用余弦定理列方程，解方程求得a 的值. 【详解】（1）由()2f C =-,得sin(2)16C π+=-,且(0,)C π∈,所以3262c ππ+=，23C π=- （2）因为sin 2sin B A =,由正弦定理得2b a =又由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得：2227422cos,3a a a a π=+-⨯ 解得1a = 【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，属于基础题. 25．（1）1(51)2n -（2）不存在（3）8 【解析】 【分析】 【详解】（Ⅰ）11110(21)(2)a a a =++，得2112520a a -+=，解得12a =，或112a =． 由于11a >，所以12a =．因为10(21)(3)n n n S a a =++，所以210252n n n S a a =++. 故221111101010252252n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=++---，整理，得22112()5()0n n n n a a a a ++--+=，即11()[2()5]0n n n n a a a a +++--=．因为{}n a 是递增数列，且12a =，故10n n a a ++≠，因此152n n a a +-=． 则数列{}n a 是以2为首项，52为公差的等差数列.所以512(1)(51)22n a n n =+-=-.………………………………………………5分 （Ⅱ）满足条件的正整数,,m n k 不存在，证明如下：假设存在*,,m n k N ∈，使得2()m n k a a a +=，则15151(51)2m n k -+-=-． 整理，得3225m n k +-=， ① 显然，左边为整数，所以①式不成立．故满足条件的正整数,,m n k 不存在． ……………………8分 （Ⅲ）313(51)21222n n n n b a n n --=-=--=+，不等式12111(1)(1)(1)31n b b b ≤+++L31≤3121231111n nb b b b b b b b ++++⋅⋅L4682235721n n +=⋅⋅⋅⋅+L ．设46822()35721n f n n +=⋅⋅⋅⋅+L则(1)()35721f n f n n +=⋅⋅⋅⋅+L2423n n +==+24124n n +=>===+. 所以(1)()f n f n +>，即当n 增大时，()f n 也增大．要使不等式12111(1)(1)(1)31n b b b ≤+++L 对于任意的*n N ∈恒成立，只需min ()f n ≤即可．因为min 4()(1)315f n f ===，所以3115≤. 即43112448151515m ⨯≤==.所以，正整数m 的最大值为8． ………………………………………14分26．（1）3B π=（2 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的条件，结合诱导公式，求得角B 的余弦值，即可得答案； （2）求出CD ，23ADC ∠=π，由正弦定理可得sin DAC ∠，即可求出四边形ABCD 的面积． 【详解】（1）Q 向量(2sin sin ,sin )m A C B =-r ，(cos ,cos )n C B =r，且//m n r r，(2sin sin )cos sin cos A C B B C ∴-=，2sin cos sin()A B B C ∴=+，2sin cos sin A B A ∴=，1cos 2B ∴=，0B Q π<<，3B π∴=；（2）根据题意及（1）可得ABC ∆是等边三角形，23ADC ∠=π， ADC ∆中，由余弦定理可得22222cos3AC AD CD AD CD π=+-⋅⋅， 260CD CD ∴+-=，2CD ∴=，由正弦定理可得sin sin CD ADC DAC AC ∠∠==∴四边形ABCD 的面积．111224S DAC ABC =⨯∠+∠=． 【点睛】本题考查向量共线条件的运用、诱导公式、余弦定理、正弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将四边形的面积分割成两个三角形的面积和.。