基础医学07级高数二试卷(B)
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学理工农医类湖北
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学理工农医类(湖北卷)选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.如果nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为A.3B.5C.6D.10 2.将⎪⎭⎫⎝⎛π+=63cos 2x y 的图象按向量a =⎪⎭⎫⎝⎛-π-2,4平移，则平移后所得图象的解析式为 A.243cos 2-⎪⎭⎫⎝⎛π+=x y B. 243cos 2+⎪⎭⎫⎝⎛π-=x y C. 2123cos 2-⎪⎭⎫⎝⎛π-=x y D. 2123cos 2+⎪⎭⎫⎝⎛π+=x y 3.设P 和Q 是两个集合，定义集合P-Q={}Q x P x x ∉∈且,|，如果P={x|log 2x<1},Q={x||x-2|<1},那么P-Q 等于A ．{x|0<x<1} B.{x|0<x ≤1} C.{x|1≤x<2} D.{x|2≤x<3} 4.平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m ＇和n ＇，给出下列四个命题：①m ＇⊥n ＇⇒m ⊥n; ②m ⊥n ⇒ m ＇⊥n ＇③m ＇与n ＇相交⇒m 与n 相交或重合； ④m ＇与n ＇平行⇒m 与n 平行或重合. 其中不正确的命题个数是A.1B.2C.3D.45.已知p 和q 是两个不相等的正整数，且q ≥2,则=-⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→111111lim q pn n n A ．0 B.1 C.qpD.11--q p6.若数列{a n }满足∈=+，n p p a a nn 为正常数(221N*),则称{a n }为“等方比数列”.甲：数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列.则甲是乙的充分条件但不是必要条件 甲是乙的必要条件但不是充分条件 甲是乙的充要条件甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．双曲线C 1：12222=-by a x （a>0,b>0）的左准线为l ,左焦点和右焦点分别为F 1和F 2；抛物线C 2的准线为l ，焦点为F 2.C 1和C 2的一个交点为M ，则||||||||21121MF MF MF F F -等于A.-1B.1C.21-D.21 8.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且3457++=n n B A n n ，则使得nn b a为整数的正整数n 的个数是A.2B.3C.4D.59.连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)的夹角为θ，则⎥⎦⎤⎝⎛π∈θ20，的概率是A.125 B.21 C.127 D 65 10.已知直线1=+by a x （a,b 是非零常数）与圆x 2+y 2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有A.60条B.66条C.72条D.78条 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知函数y=2x-a 的反函数是y=bx+3,则 a= ;b= .12.复数z=a+bi,a,b ∈R,且b ≠0,若z 2-4bz 是实数，则有序实数对（a,b ）可以是 .(写出一个有序实数对即可)13.设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥+≥+-.32,0,03x y x y x 则目标函数2x+y 的最小值为 .14.某篮球运动员在三分线投球的命中率是21，他投球10次，恰好投进3个球的概率 .（用数值作答）15.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为at y -⎪⎭⎫⎝⎛=161（a 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 .（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室.三、解答题：本大题共5小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知△ABC 的面积为3，且满足0≤∙≤6，设和的夹角为θ. （Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）求函数f (θ)=2sin 2θθπ2cos 34-⎪⎭⎫⎝⎛+的最大值与最小值.17.（本小题满分12分）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：（Ⅰ）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；（Ⅱ）估计纤度落在[)50.1,38.1中的概率及纤度小于1.40的概率是多少； （Ⅲ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[)34.1,30.1的中点值是1.32）作为代表. 据此，估计纤度的期望.18.（本小题满分12分）如图，在三棱锥V -ABC 中，VC ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，D 是AB 的中点，且AC =BC =a ，∠VDC =θ⎪⎭⎫⎝⎛<<20πθ. （Ⅰ）求证：平面VAB ⊥平面VCD ；（Ⅱ）当角θ变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围.19.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，过定点C (0，p )作直线与抛物线x 2=2px (p >0)相交于A 、B 两点. （Ⅰ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点， 求△ANB 面积的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.（此题不要求在答题卡上画图）20.（本小题满分13分）已知定义在正实数集上的函数f (x )=21x 2+2ax ，g (x )=3a 2ln x +b ，其中a >0.设两曲线y =f (x )，y=g (x )有公共点，且在该点处的切线相同.（Ⅰ）用a 表示b ，并求b 的最大值； （Ⅱ）求证：f (x ) ≥g (x ) (x>0).21.（本小题满分14分） 已知m ，n 为正整数.（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x >-1时，(1+x )m≥1+mx ；（Ⅱ）对于n ≥6，已知21311<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n ，求证mn n m ⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2131，m =1,1,2…，n ；（Ⅲ）求出满足等式3n+4m+…+(n +2)m=(n +3)n的所有正整数n .。
基础医学2测试题及答案
基础医学2测试题及答案一、单选(共100小题，每题1分，共100分。
题下选项可能多个正确，只能选择其中最佳的一项)您的姓名： [填空题] *_________________________________1.设某人的肺通气量为7500ml/min，呼吸频率为20次/分，无效腔容量为125ml，每分肺血流量为5L，他的通气/血流比值应是 [单选题] *A.0.7SWB.0.8SWC.0.9SWD.1.0SW(正确答案)E.1.1SW2.关于胰岛素的作用下列哪项错误 [单选题] *A.促进脂肪合成，抑制脂肪分解SWB.抑制蛋白质合成，抑制氨基酸进入细胞SW(正确答案)C.促进葡萄糖利用，抑制糖原分解和产生SWD.促进钾进入细胞，降低血钾SWE.促进蛋白质合成及氨基酸转运SW3.诱导IgE产生的主要细胞因子是 [单选题] *A.IL-1SWB.IL-2SWC.IL-4SW(正确答案)D.IL-3SWE.IL-6SW4.某护士在给一位乙型肝炎病毒(HBV)携带者注射时，不慎被病人用过的针头刺伤手指。
为预防乙型肝炎病毒感染，应首先采取的措施是 [单选题] *A.注射抗生素WMB.注射丙种球蛋白WMC.注射乙型肝炎疫苗WMD.注射HBIGWM(正确答案)E.注射α干扰素WM5.维系蛋白质一级结构的主要化学键是 [单选题] *A.范德华力WMB.二硫键WMC.氢键WMD.离子键WME.肽键WM(正确答案)6.下列抗原属内源性Ag的是 [单选题] *A.菌体AgWMB.细菌的外毒素WMC.病毒感染细胞合成的病毒蛋白WM(正确答案)D.异种动物血清WME.红细胞的Rh抗原WM7.普鲁卡因不宜用于哪种麻醉 [单选题] *A.表面麻醉WM(正确答案)B.浸润麻醉WMC.传导麻醉WMD.硬膜外麻醉WME.蛛网膜下腔麻醉WM8.可引起先天性婴儿畸形的常见病毒是 [单选题] *A.风疹病毒WM(正确答案)B.麻疹病毒WMC.狂犬病毒WMD.髓灰质炎病毒WME.EB病毒WM9.与接合有关的细菌结构是 [单选题] *A.微绒毛WMB.普通菌毛WMC.性菌毛WM(正确答案)D.鞭毛WME.纤毛WM10.单个细胞或小团细胞死亡称为 [单选题] *A.坏死WMB.死亡WMC.凋亡WM(正确答案)D.液化WME.化生WM11.Th2细胞主要分泌 [单选题] *A.IFN-αWMB.IL-4WM(正确答案)C.IFN-γWMD.TNF-βWME.IL-2WM12.下列哪项不属于渗出性炎 [单选题] *A.出血性炎WMB.卡他性炎WMC.肉芽肿性炎WM(正确答案)D.化脓性炎WME.浆液性炎WM13.不属于肉芽肿性炎病变的是 [单选题] *A.伤寒小结WMB.结核结节WMC.肺肉质变WM(正确答案)D.慢性虫卵结节WME.Aschoff小体WM14.适宜卡介苗（）接种的主要对象是 *A.结核性脑膜炎患者WMB.结核菌素试验阳性者WM(正确答案)C.严重的结核病患者WM(正确答案)D.新生儿以及结核菌素试验阴性的儿童WME.细胞免疫功能低下者WM答案:D15.女性6岁患儿，高热，惊厥，神志不清，颈项强直，病理反射(+)，脑脊液压力高，脓性，不宜用 [单选题] *A.青霉素GWMB.麦迪霉素WM(正确答案)C.磺胺嘧啶WMD.氯霉素WME.氨苄西林WM16.HLA-B27阳性相关的疾病是 [单选题] *A.类风湿性关节炎WMB.系统性红斑狼疮WMC.强直性脊柱炎WM(正确答案)D.肾小球性肾炎咳血综合征WME.胰岛素依赖型糖尿病WM17.关于普萘洛尔，哪项错误 [单选题] *A.阻断突触前膜β2受体减少去甲肾上腺素释放WMB.减少肾素的释放WMC.长期用药一旦病情好转应立即停药WM(正确答案)D.生物利用度个体差异大WME.能诱发支气管哮喘WM18.下列中不属于免疫缺陷病共同特点的是 [单选题] *A.好发恶性肿瘤WMB.反复感染WMC.常患心血管病WM(正确答案)D.多伴有自身免疫病WME.多有遗传倾向性WM19.类毒素的性质是 [单选题] *A.有免疫原性，有毒性WMB.无免疫原性，无毒性WMC.有免疫原性，无毒性WM(正确答案)D.有毒性，无免疫原性WME.有过敏原性，有毒性WM20.红细胞生成的基本原料是 [单选题] *A.铁、维生素B12WMB.叶酸、维生素B12WMC.蛋白质、叶酸WMD.蛋白质、维生素B12WME.铁、蛋白质WM(正确答案)21.胶质瘢痕是由哪种细胞形成的 [单选题] *A.成纤维细胞WMB.原浆型星形细胞WMC.纤维型星形细胞WMD.少突胶质细胞WME.小胶质细胞WM(正确答案)22.心输出量是 [单选题] *A.心脏每搏动一次所泵出的血量WMB.左、右心室输出的总血液量WMC.每分钟左心室所泵出的血量WM(正确答案)D.心房进入心室的血量WME.每分钟两心房进入心室的血量WM23.关于卡托普利，下列哪种说法错误 [单选题] *A.降低外周血管阻力WMB.可用于治疗心衰WMC.与利尿药合用可加强其作用WMD.可增加体内醛固酮水平WM(正确答案)E.双侧肾动脉狭窄的患者忌用WM24.重症肌无力的自身抗原是 [单选题] *A.平滑肌NUB.乙酰胆碱受体NU(正确答案)C.胰岛素受体NUD.细胞核NUE.血小板NU25.下列氨基酸中不属于必需氨基酸的是 [单选题] *A.缬氨酸RKB.苏氨酸RKC.赖氨酸RKD.蛋氨酸RKE.谷氨酸RK(正确答案)26.女性患儿，11岁，因一次感冒而出现多尿、口渴或多饮症状，时常伴有乏力、头痛和食欲不振。
07年高数2
五邑大学试卷学期： 2006 至 2007 学年度第 2 学期课程：高等数学(II)竞赛专业：姓名：完整学号：填空题。
（每小题4分，总计16分）1．设函数)(xf在0=x点处具有二阶连续导数，且(0)0f=，(0)1f'=，(0)2f''=-，则2()limxf x xx→-＝。
2．求sin xy x=的导数y'= 。
3．区域D：1,02x y≤≤≤，积分D＝.4．设11()n nnn u u s∞-=-=∑，且lim nnnu A→∞=，则nnu∞=∑＝.单项选择题，答案填入下表。
（每小题4分，总计24分）5．设21,0()1,0xexf x kxx x⎧->⎪=⎨⎪-≤⎩在x＝0处连续，k＝( )（A）－1 （B）1（C）－2 （D）26．如果函数1()1xf xx+=-，则()()nf x＝( )（A）2!(1)nnx⋅-（B）12!(1)nnx+⋅-（C）1(1)2!(1)nnnx+-⋅⋅-（D）2(1)!(1)nnnx⋅-⋅-7．如果()f x dx c=⎰，则()f x＝( )（A）（B（C（D8．若22(,)f xy x y x y xy+=+-，则(,)f x yx∂∂＝( )（A）－1 （B）2y(C) 2(x＋y) (D) 2x9．设D是由曲线y y ＝x 围成，则x yDe dxdy ⎰⎰＝( )（A ）12e - （B ）2e （C ）12e+ （D ） 110．下列级数中，绝对收敛的是( )（A）11n n -∞= （B）1n ∞= （C ） 211cos 3n n n π∞=∑ （D ）11(1)21n n n n -∞=--∑解答题（每小题10分，总计60分）11．求二元函数2(,)(4)z f x y x y x y ==--在由直线6x y +=，x 轴和y 轴所围成的闭区域D 上的极值、最大值与最小值。
12．过曲线2y x =（x ≥0）上某点A 作一条切线，使之与曲线及x 轴围成的图形的面积为112，求：(1) 切点A 的坐标；(2) 过切点A 的切线方程；(3) 由上述图形绕x 轴旋转成的旋转体体积V 。
2007—数二真题、标准答案及解析
π （8）设函数 f ( x, y ) 连续，则二次积分 π
∫2
dx ∫
B.
1
sin x
f ( x, y )dy 等于
π
（ ）
A.
∫0 ∫0
1
1
dy ∫
π
π +arcsin y
f ( x, y )dx f ( x, y )dx
∫0
1
dy ∫
π −arcsin y
f ( x, y )dy f ( x, y )dx
（7）二元函数 f ( x, y ) 在点（0，0）处可微的一个充分条件是 A.
( x , y )→( 0,0 ) ⎣
lim
⎡ f ( x, y ) − f ( 0, 0 ) ⎤ ⎦=0
B.
lim
x →0
f ( x, 0 ) − f ( 0, 0 ) f ( 0, y ) − f ( 0, 0 ) = 0 ，且 lim =0 y →0 x y
C.
( x , y )→( 0,0 )
lim
f ( x, 0 ) − f ( 0, 0 ) x2 + y 2
=0
⎡ f ' y ( x, 0 ) − f ' y (0, 0) ⎦ ⎤ = 0, f 'x ( x, 0 ) − f 'x (0, 0) ⎤ D. lim ⎡ ⎦ = 0, 且 lim x →0 ⎣ y →0 ⎣
07级医用高数题-A (附最后答案)
2007医用高数A （共2页） 第1页07级医用高数题 A注意:① 个别题目、专业与其他专业有所不同,请选做对应的题!② 每题均需写出详细的解题过程, 否则不给分.1．(8分) 求2tan )1(lim 1x x x π-→. 参考答案:（ π2）2．(8分) 求xxn x x x n ee e 120lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++→Λ, 其中n 是给定的自然数. 参考答案:（ 21+n e ）3．(8分) 求x x d )1(1202⎰-. 参考答案:（ 发散 ）4．(8分) ⑴【一般班通用题】设二阶常系数线性微分方程x e y y y γβα=+'+''的一个特解为x x e x e y )1(2++=，求α，β，γ .参考答案：（ ⎪⎩⎪⎨⎧-==-=123γβα ）⑵【护理.康复班用题】试求⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)1ln()(22x x x x f x 的微商.参考答案：( ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-+='0,20),1ln(114)(222x x x x x x f )5．(8分) 证明⎰1d 1x xq 当q ＜1时收敛，当q ≥1时发散. 参考答案：（ 证明略 ）6．(8分) 求函数t t t tx I xed 12ln )(2⎰+-=在区间 [ e , e 2 ]上的最大值. 参考答案：（ eee +-+1)1ln( ）2007医用高数A （共2页） 第2页7．(8分) ⑴【一般班通用题】求0365)4(=-''+y y y .参考答案：（ x C x C e C e C y x x 3sin 3cos 432221+++=- ）⑵【护理.康复班用题】设)(x f 是连续函数，且⎰+=10d )(2)(t t f x x f ，求)(x f . 参考答案：( 1)(-=x x f )8．(8分) 设对任意x ＞0，曲线)(x f y =上点))(,(x f x 处的切线在y 轴上的截距等于⎰xd )(1t t f x，求)(x f 的一般表达式.参考答案：( 21ln )(C x C x f += )9．(8分) 已知)(~λπX ，且1)]2()1[(=--X X E ，求λ .参考答案：( 1=λ )10．(8分) ⑴【一般班通用题】求由方程 0=-z y x e x 所确定的函数z 的偏导数.参考答案：( xe y y z x⋅-=∂∂21 )⑵【护理.康复班用题】求函数x y ln =在[ 1, e ]的平均值I .参考答案：(11-e ) 11．(10分) 设随机变量X 具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=,,043,2230,)(其它x x x x k x f(1) 确定常数k ； (2) 求X 的分布函数； (3) 求{}271≤<X P .参考答案：( (1) 61=k (2) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<≤<=4,143,42330,120,0)(22x x x x x x x x F (3) 4841 )12．(10分) 设随机变量X 在 [ 2, 5 ] 上服从均匀分布，现在对X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率.参考答案：(2720)。
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国卷Ⅱ.理)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷Ⅱ)理科数学（必修+选修Ⅱ）注意事项：1． 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，考试时间120分钟．2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上．3． 选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．4． 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚 5． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． 6． 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n kn n P k C p p k n -=-=，，，…， 一、选择题1．sin 210=（ ）AB．-C ．12D ．12-2．函数sin y x =的一个单调增区间是（ ） A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭， B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭，3．设复数z 满足12ii z+=，则z =（ ） A ．2i -+B ．2i --C ．2i -D ．2i +4．下列四个数中最大的是（ ） A ．2(ln 2) B ．ln(ln 2) C．D ．ln 25．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ） A ．23 B ．13 C ．13- D ．23-6．不等式2104x x ->-的解集是（ ） A ．(21)-，B ．(2)+∞，C ．(21)(2)-+∞ ，， D ．(2)(1)-∞-+∞ ，， 7．已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正弦值等于（ ） A．4B．4C．2D．28．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．129．把函数e x y =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ） A ．3e2x -+ B ．3e2x +- C ．2e3x -+ D ．2e3x +-10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种 B ．60种 C ．100种 D ．120种11．设12F F ，分别是双曲线2222x y a b-的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=且123AF AF =，则双曲线的离心率为（ ）ABCD12．设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0，则FA FB FC ++=（ ）A ．9B ．6C ．4D ．3第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．821(12)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．（用数字作答）14．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1)(0)N σσ>，．若ξ在(01)，内取值的概率为0.4，则ξ在(02)，内取值的概率为 ．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．16．已知数列的通项52n a n =-+，其前n 项和为n S ，则2lim nn S n ∞=→ ．全国卷Ⅱ理科数学（必修+选修Ⅱ）二．请把填空题答案写在下面相应位置处：13. 14 15． 16.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ．（1）求函数()yf x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．18．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形， 侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点． （1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小． 20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线4x =相切． （1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB的取值范围．AEBCFSD21．（本小题满分12分） 设数列{}n a 的首项113(01)2342n n a a a n --∈==，，，，，，…． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n b a =1n n b b +<，其中n 为正整数．22．（本小题满分12分）已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案评分说明：1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3． 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题1．D 2．C 3．C 4．D 5．A 6．C 7．A 8．A 9．C 10．B 11．B 12．B二、填空题13．42- 14．0.815．2+16．52-三、解答题17．解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3．应用正弦定理，知sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===3， 2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭． 因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<< ⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin cos sin 2y x x x ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪2⎝⎭5s i n 3x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y取得最大值18．解：（1）记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，1A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则01A A ，互斥，且01A A A =+，故 01()()P A P A A =+012122()()(1)C (1)1P A P A p p p p =+=-+-=- 于是20.961p =-．解得120.20.2p p ==-，（舍去）．（2）ξ的可能取值为012，，． 若该批产品共100件，由（1）知其二等品有1000.220⨯=件，故2802100C 316(0)C 495P ξ===． 1180202100C C 160(1)C 495P ξ===． 2202100C 19(2)C 495P ξ===． 所以ξ的分布列为19（1）作FG DC ∥交SD 于点G ，则G 为SD 的中点．连结12AG FG CD∥，，又CD AB∥， 故FG AE AEFG∥，为平行四边形． EF AG ∥，又AG ⊂平面SAD EF ⊄，平面SAD ． 所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设2DC =，则42SD DG ADG ==，，△为等 腰直角三角形．取AG 中点H ，连结DH ，则DH AG ⊥．又AB ⊥平面SAD，所以AB DH ⊥，而AB AG A = ， 所以DH ⊥面AEF ．取EF 中点M ，连结MH ，则HM EF ⊥． 连结DM ，则DM EF ⊥．故DMH ∠为二面角A EF D --的平面角tan 1DH DMH HM ∠=== 所以二面角A EF D --的大小为． 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系xyz ．设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(00)B a a C a ，，，，，， 00222a a b E a F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，02b EF a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．取SD 的中点002b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，则02b AG a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，．EF AG EF AG AG =⊂，∥，平面SAD EF ⊄，平面SAD ， 所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设(100)A ，，， 则11(110)(010)(002)100122B C S E F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，．EF 中点AEBCFSD H G M111111(101)0222222M MD EF MD EF MD EF ⎛⎫⎛⎫=---=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，⊥ 又1002EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，，0EA EF EA EF =，⊥，所以向量MD 和EA 的夹角等于二面角A EF D --的平面角．cos MD EA MD EA MD EA <>==，． 所以二面角A EF D --的大小为20．解：（1）依题设，圆O 的半径r 等于原点O到直线4x =的距离，即2r ==． 得圆O 的方程为224x y +=． （2）不妨设1212(0)(0)A x B x x x <，，，，．由24x =即得(20)(20)A B -，，，．设()P x y ，，由PA PO PB ，，成等比数列，得22x y =+，即 222x y -=． (2)(2)PA PB x y x y =----- ，，22242(1).x y y =-+=-由于点P 在圆O 内，故222242.x y x y ⎧+<⎪⎨-=⎪⎩，由此得21y <．所以PA PB 的取值范围为[20)-，． 21．解：（1）由132342n n a a n --==，，，，…， 整理得 111(1)2n n a a --=--．又110a -≠，所以{1}n a -是首项为11a -，公比为12-的等比数列，得1111(1)2n n a a -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭（2）方法一：由（1）可知302n a <<，故0n b >．那么，221n nb b +- 2211222(32)(32)3332(32)229(1).4n n n n n n n n n n a a a a a a a a aa ++=-----⎛⎫⎛⎫=-⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-又由（1）知0n a >且1n a ≠，故2210n n b b +->，因此1n n b b n +<，为正整数．方法二：由（1）可知3012n n a a <<≠，，因为132n n a a +-=， 所以1n n b a ++==．由1n a ≠可得33(32)2n n n a a a -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即 223(32)2n n n n a a a a -⎛⎫-< ⎪⎝⎭两边开平方得32na a - 即 1n nb b n +<，为正整数．22．解：（1）求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-． 曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为： ()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使 23(31)2b t a t =--．于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根．记 32()23g t t at a b =-++，则 2()66g t t at '=- 6()t t a =-． 当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2at t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即 ()a b f a -<<．。
高等数学B试卷 答案
2007年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学B 》试卷一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有6个小题，每一小题4分，共24分）1． =⋅+∞→xx x x 2)sin(lim22 . 2 . =+-⎰-2221)1(dx e e x x x 3 . 级数 +⋅-+-⋅+⋅-+n n n )21()1()21(31)21(2121132的和是 .4. 微分方程 1)1(2)(2)('=-=-⋅⎩⎨⎧y x x y x y x 的解是5. 已知三阶矩阵 A 的特征值为 1 , 2 , 3 ； E 为三阶单位矩阵 , 则 E A A ++22 =6. 有两个箱子, 第一个箱子里有3个新球, 2个旧球, 第二个箱子里有4个新球, 5个旧球 . 现从第一个箱子里随机地取出一个球放到第二个箱子里, 再从第二个箱子里取出一个球, 若已知从第二个箱子里取出的球是新球, 则从第一个箱子里取出的是新球的概率为二．选择题. （本题共有6个小题，每一小题4分，共24分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求） 1．函数 xex x f 1)(-⋅= 有 ( ) 条渐近线 .（A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 3 2. 下列级数中 ，（ ）是条件收敛级数 .（A ） ∑+∞=⋅-1)1(n nnn （B ）∑+∞=+-112)1(n n n （C ） ∑+∞=-1)1(n nn（D ）∑+∞=⋅-12sin )1(n n n n .3．设函数 )(x f y = 在 [ 0 ，1 ] 上可导. 从定性上看，下列三个图像按 ( ) 的排序，依次分别是 )(x f y = 、)('x f y = 和 dt t f y x)(0⎰= 的函数图像 .（A ） 321L L L 和、 （B ） 132L L L 和、 （C ） 213L L L 和、 （D ） 123L L L 和、4. 设 n 维行向量 )21,0,,0,21(⋅⋅⋅⋅⋅⋅=α, 矩阵 A = E + 2ααT , B = E ααT- , 其中 E 为 n 阶单位阵 , 则B = ( ) （A ）. O （B ） E （C ） E - （D ） ααTE +5. 设 A 、B 是两个随机事件, 且 0 < P ( A ) < 1 , P ( B ) > 0 , P (A B ) = P (A B ) , 则必有 ( ) . （A ）P ( A B ) = P (B A ) （B ） P ( A B ) = P ( A ) P ( B )（C ） P ( A ) = P ( B ) （D ） P ( A B ) = )()(A P B P 6. 设随机变量 X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,00,2cos 21)(πx x x f 对 X 独立地重复观察4次, 用 Y 表示观察值大于3π的次数, 则P ( Y = 2 ) = ( ) .（A ） 21 （B ）81（C ）85 （D ）83三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共8个小题，每小题8分，共64分） 1． 设 1→x 时，))1((ln 222-=-++x x C Bx Ax o ，其中 ))1((2-x o 是当 1→x 时比 2)1(-x 高阶的无穷小, 求常数 C B A 、、 之值．2．已知 00,,1arctan )(=≠⎩⎨⎧=x x xx x f ， 求 （1） )('x f ； （2） )('x f 在点 0=x 处是否连续 ？为什么 ？ 3. 设 ),(y x z z = 是由方程 12322=+++z y x z 所确定的二元函数 ；（1） 该二元函数有无极值 ？如有，求出极值点 ；如无，说明理由 .（2） 在约束条件 12=+y x 下，该函数是否还有极值？如有，求出极值点 ；如无，说明理由 .4．设函数 )(x f y = 为连续函数. 对于任意实数a ，如果总成立1)()(+=⎰⎰a f d x f Dσ ，其中 D 为直角坐标系 xoy 中直线 a y x y ==, 和 0=x 所围的封闭区域 ， 求 )(x f 的函数解析表达式 . 5. 设 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---111111111, 矩阵 B 满足 B A* = A1- + 2 B , 其中 A* 是 A 的伴随矩阵 , 求B .6. 设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----3241223k k ， 求常数 k 及可逆阵 P ，使 P1-AP 为对角阵 .7. 设连续型随机变量 X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-+-≤=ax a x a x B A a x x F 1,arcsin 0)(其中 a > 0 . 求 (1) A 和 B ; (2) 概率密度 )(x f ; (3) )0(>X P . 8. 设随机向量 ),(Y X 的联合概率分布为线---------------------------------------------------------------------------------------------------X 与 Y 独立, 求 : (1)α、β ； （2）X 与 Y 的边缘分布 ； （3）X + Y 的分布 .四．应用题： （本题共3个小题，每小题9分，共27分）1．试利用微分学方法 ，根据常数 k 的各种不同取值 ， 讨论曲线 k e e y x x +-=2 与曲线k x e e y x x 2422++-= 的交点个数情况 .2. 问 a 分别为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+-=--1221455321321321x ax x ax x x x x x有唯一解, 无解, 无穷多解 ? 在有无穷多解的情况下, 用基础解系表示其通解 .3. 某商店每周以每千克200元的价格从生产厂家购进 y 千克某产品，并以每千克 260 元的价格在市场上销售. 规定一周内商店售不完的产品将作为再生原料由厂家回收进行处理，回收价格为每千克180元. 假定该产品每周的市场需求量 X 是服从区间 [ 10 ，30 ] 上均匀分布的随机变量，试确定商店的周进货量 y ，使商店获利的期望值最大 .五．证明题： （本题共2个小题，第一小题6分，第二小题5分，共11分）1． 设函数 )(x f 是 ]1,0[ 上的连续函数 ，0)(1=⎰dt t f . 试证：必至少存在一点 )1,0(∈ξ，使得⎰=1)()(ξξdt t f f .2. 设 A 是 n ( n ≥ 2 ) 阶方阵且 A 的元素全都是 1 , E 是 n 阶单位阵, 证明：A n E A E 11)(1--=-- .2007年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学B 》试卷考试说明：1、考试时间为150分钟；--------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。
2007考研数学二真题及答案
2007考研数学二真题及答案一．选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1） 当0x +→等价的无穷小量是 （B ）A. 1-1D.1-（2）函数11()tan ()()xxe e xf x x e e +=-在区间[],ππ-上的第一类间断点是x =(A)A. 0B. 1C. 2π-D. 2π （3）如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是：（C ）.A .(3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F =- .D (3)F -5(2)4F =--(4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 (C)A. 若0()limx f x x →存在，则(0)0f = B. 若0()()lim x f x f x x→+-存在, (0)0f =C. 若0()lim x f x x →存在, 则(0)0f '=D. 0()()lim x f x f x x→--存在, (0)0f =（5）曲线1ln(1),xy e x=++渐近线的条数为 （D ）.A 0 .B 1 .C 2 .D 3(6)设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且"()0f x >, 令n u = ()1,2.......,,f n n = 则下列结论正确的是 (D)A.若12u u >，则{}n u 必收敛B. 若12u u >，则{}n u 必发散C. 若12u u <，则{}n u 必收敛D. 若12u u <，则{}n u 必发散 （7）二元函数(,)f x y 在点（0，0）处可微的一个充分条件是 （B ） A.()()()(),0,0lim,0,00x y f x y f →-=⎡⎤⎣⎦B. ()()0,00,0lim0x f x f x→-=，且()()00,0,0lim 0y f y f y →-= C.()(,0,0,00,0lim0x y f x f →-=D. ()0lim ',0'(0,0)0,x x x f x f →-=⎡⎤⎣⎦且()0lim ',0'(0,0)0,y y y f x f →⎡⎤-=⎣⎦（8）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)x dx f x y dy ππ⎰⎰等于 （B ）.A10arcsin (,)y dy f x y dx ππ+⎰⎰ .B 10arcsin (,)y dy f x y dy ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)y dy f x y dx ππ+⎰⎰ .D 1arcsin 02(,)y dy f x y dx ππ-⎰⎰（9）设向量组123,,ααα线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A) （A ） ,,122331αααααα--- （B ） ,,122331αααααα+++ （C ） 1223312,2,2αααααα--- （D ）1223312,2,2αααααα+++（10）设矩阵A=211121112--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则A 于B ， （B ）(A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上(11)30arctan sin limx x x x →-=16. (12)曲线2cos cos 1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩上对应于4t π=1）. (13)设函数123y x =+，则()0ny ＝23n -⋅.(14)二阶常系数非齐次线性微分方程2''4'32x y y y e -+=的通解y ＝_32122x x x C e C e e +-. (15)设(,)f u v 是二元可微函数，(,)y x z f x y=,则1222(,)(,)z z y y x x y x xy f f x y x x y y x y∂∂''-=-+∂∂.(16)设矩阵01000010********A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，则3A 的秩为_1______.三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）设()f x 是区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调、可导函数，且满足()100cos sin ()sin cos f x x t t f t dt t dt t t --=+⎰⎰，其中1f-是f 的反函数，求()f x .【详解】： 设(),y f t =则1()t fy -=.则原式可化为：1(0)0cos sin '()sin cos xxf t tyf y dy tdt t t--=+⎰⎰ 等式两边同时求导得：cos sin '()sin cos x xxf x x x x-=+cos sin '()sin cos x xf x x x-=+（18）（本题满分11分） 设D是位于曲线y =- ()1,0a x >≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域.（Ⅰ）求区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积()V a ； （Ⅱ）当a 为何值时，()V a 最小？并求此最小值. 【详解】：22222()())(ln )xa a I V a y dx dx a πππ-+∞+∞===⎰⎰ 22412(ln )(2ln )2()()0(ln )a a a a II V a a π-'=⋅= 得ln (ln 1)0a a -=故ln 1a =即a e =是唯一驻点，也是最小值点，最小值2()V e e π= （19）求微分方程()2''''y x y y +=满足初始条件(1)'(1)1y y ==的特解.【详解】： 设dy p y dx '==，则dpy dx''=代入得：22()dp dx x p x x p p p dx dp p p++=⇒==+ 设x u p= 则()d pu u p dp =+du u p u p dp ⇒+=+1dudp ⇒=1u p c ⇒=+ 即21x p c p =+ 由于(1)1y '=故11110c c =+⇒=即2x p =32223dy p y x c dx ⇒==⇒=±+ 由21(1)13y c =⇒=或253c = 特解为322133y x =+或322533y x =-+（20）已知函数()f a 具有二阶导数，且'(0)f ＝1，函数()y y x =由方程11y y xe--=所确定.设(ln sin ),z f y x =-求x dzdx=，202x d zdx=.【详解】： 11y y xe--=两边对x 求导得11()0y y y e xe y --''-+⋅=得 111y y e y xe --'=- （当01)x y ==，故有11121x e y -='==-1(ln sin )(cos )(0)(111)0x x dz f y x y x f dxy=='''=--=⨯-=222221()(ln sin )(cos )(ln sin )(sin )x x d z y f y x y x f y x x dxy y=='''''=--+--+221(0)(111)(0)(10)1(1)11f f -'''=⨯-+⨯+=⨯-=- (21)（本题11分）设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==证明：存在(,)a b ξ∈，使得''''()()f g ξξ=.【详解】：证明：设(),()f x g x 在(,)a b 内某点(,)c a b ∈同时取得最大值，则()()f c g c =，此时的c 就是所求点()()f g ηηη=使得.若两个函数取得最大值的点不同则有设()max (),()max ()f c f x g d g x ==故有()()0,()()0f c g c g d f d ->-<，由介值定理，在(,)c d 内肯定存在()()f g ηηη=使得由罗尔定理在区间(,),(,)a b ηη内分别存在一点''1212,,()()f f ξξξξ使得＝＝0在区间12(,)ξξ内再用罗尔定理，即''''(,)()()a b f g ξξξ∈=存在，使得.（22）（本题满分11分）设二元函数2.1.(,)12.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤计算二重积分(,).Df x y d σ⎰⎰其中{}(,)2D x y x y =+≤【详解】：D 如图（1）所示，它关于x,y 轴对称，(,)f x y 对x,y 均为偶函数，得1(,)4(,)DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰，其中1D 是D 的第一象限部分.由于被积函数分块表示，将1D 分成（如图（2））：11112D D D =U ,且(1)(2)1112:1,0,0 :12,0,0D x y x y D x y x y +≤≥≥≤+≤≥≥于是11212(,)(,)(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.而111112200111(,)(1)3412xD f x y d dx x dy x x dx σ-==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰121222cos sin 10cos sin 1(,)()D D f x y d d rdr rπθθθθσσθ++==⋅⎰⎰⎰⎰极坐标变换2200221122200021112001cos sin cos sin 2sin cos222(tan )222122(1)1tan 2tan22221)u td d d du du u u u dt dt t πππθθθθθθθθθθθ-===+-+===-+---+==-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 所以11(,)1)12D f x y d σ=⎰⎰得1(,)4(1))12Df x y d σ=+⎰⎰(23)（本题满分11分）设线性方程组1231232123020(1)40x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321(2)x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解. 【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组1231232123123020(3)4021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩的解.即矩阵211100201401211aa a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭211100110001000340a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪→⎪- ⎪ ⎪++⎝⎭方程组(3)有解的充要条件为 1,2a a ==.当1a =时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为(1,0,1)Tξ=-此时的公共解为：,1,2,x k k ξ==L当2a =时，方程组(3)的系数矩阵为111011101220011014400001111100⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时方程组(3)的解为1230,1,1x x x ===-，即公共解为：(0,1,1)Tk -(24)设3阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2,λλλ===-1(1,1,1)Tα=-是A 的属于1λ的一个特征向量,记534B A A E =-+其中E 为3阶单位矩阵()I 验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值的特征向量； ()II 求矩阵B .【详解】：（Ⅰ）可以很容易验证111(1,2,3...)n nA n αλα==，于是 5353111111(4)(41)2B A A E ααλλαα=-+=-+=-于是1α是矩阵B 的特征向量.B 的特征值可以由A 的特征值以及B 与A 的关系得到，即 53()()4()1B A A λλλ=-+， 所以B 的全部特征值为－2，1，1.前面已经求得1α为B 的属于－2的特征值，而A 为实对称矩阵，于是根据B 与A 的关系可以知道B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B 的属于1的特征向量为123(,,)Tx x x ，所以有方程如下：1230x x x -+=于是求得B 的属于1的特征向量为23(1,0,1),(1,1,0)T Tαα=-=（Ⅱ）令矩阵[]123111,,101110P ααα-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1(2,1,1)P BP diag -=-，所以1111333111112(2,1,1)101(2,1,1)333110121333B P diag P diag -⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅-⋅=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦011101110-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。
2007年高考全国卷2(理科数学)
2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅱ）一、选择题本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin 210=A ．2 B ．2- C ．12 D ．12- 2．函数sin y x =的一个单调增区间是A ．()ππ-44，B ．3()ππ44，C ．()3ππ2，D ．3(2)ππ2，3．设复数z 满足12ii z+=，则z =A ．2i -+B ．2i --C ．2i -D ．2i + 4．下列四个数中最大的是A ．2(ln 2)B ．ln(ln 2)C ．ln ．ln 25．在ABC ∆中，已知D 是AB 边上一点，若2AD DB =，13CD CA CB λ=+，则λ=A ．23B ．13C ．13-D ．23-6．不等式2104x x ->-的解集是A ．(2,1)-B ．(2,)+∞C ．(2,1)(2,)-+∞D ．(,2)(1,)-∞-+∞7．已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正弦值等于A ．2 D 8．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为A ．3B ．2C ．1D ．129．把函数x y e =的图像按向量(2,3)a =平移，得到()y f x =的图像，则()f x = A ．32x e -+ B ．32x e +- C ．23x e -+ D ．23x e +- 10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有A ．40种B ．60种C ．100种D ．120种11．设12F F ，分别是双曲线2222x y a b -的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=且123AF AF =，则双曲线的离心率为A D 12．设F 为抛物线24y x =的焦点，,,ABC 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++= ，则FA FB FC ++=A ．9B ．6C ．4D ．3 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．281(12)()x x x+-的展开式中常数项为 ．（用数字作答）14．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1,)(0)N σσ>．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为 ．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 2cm ． 16．已知数列的通项52n a n =-+，其前n 项和为n S ，则2limnn S n ∞=→ ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （Ⅰ）求函数()y f x =的解析式和定义域； （Ⅱ）求y 的最大值．18．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =． （Ⅰ）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（Ⅱ）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为AB ，SC 的中点． （Ⅰ）证明EF ∥平面SAD ；（Ⅱ）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小．20．（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，以O为圆心的圆与直线4x =相切． （Ⅰ）求圆O 的方程；（Ⅱ）圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使PA ，PO ，PB 成等比数列，求PA PB ⋅的取值范围． 21．（本小题满分12分）设数列{}n a 的首项1(01)a ∈，，132n n a a --=，2,3,4,n =.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；AEBCFSD（Ⅱ）设n b a =，证明1n n b b +<，其中n 为正整数． 22．（本小题满分12分） 已知函数3()f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())M t f t 处的切线方程；（Ⅱ）设0a >，如果过点(,)a b 可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题 1．D 2．C 3．C 4．D5．A6．C7．A8．A9．C10．B 11．B 12．B二、填空题 13．42- 14．0.8 15．2+16．52-三、解答题17．解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3． 应用正弦定理，知sin sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===π3，2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭． 因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<< ⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin sin 2y x x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭5x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y取得最大值 18．解：（1）记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 1A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则01A A ，互斥，且01A A A =+，故01()()P A P A A =+012122()()(1)C (1)1P A P A p p p p =+=-+-=-于是20.961p =-．解得120.20.2p p ==-，（舍去）． （2）ξ的可能取值为012，，．若该批产品共100件，由（1）知其二等品有1000.220⨯=件，故2802100C 316(0)C 495P ξ===．1180202100C C 160(1)C 495P ξ===．2202100C 19(2)C 495P ξ===． 所以ξ的分布列为19．解法一：（1）作FG DC ∥交SD 于点G ，则G 为SD 的中点．连结12AG FG CD ∥，，又CD AB ∥， 故FG AE AEFG∥，为平行四边形． EF AG ∥，又AG ⊂平面SAD EF ⊄，平面SAD ． 所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设2DC =，则42SD DG ADG ==，，△为等 腰直角三角形．取AG 中点H ，连结DH ，则DH AG ⊥． 又AB ⊥平面SAD ，所以AB DH ⊥，而AB AG A =，所以DH ⊥面AEF ．取EF 中点M ，连结MH ，则HM EF ⊥．AEBCFSD H G M连结DM ，则DM EF ⊥．故DMH ∠为二面角A EF D --的平面角tan DH DMH HM ∠=== 所以二面角A EF D --的大小为． 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D xyz -．设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(00)B a a C a ，，，，00222a a b E a F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 02b EF a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．取SD 的中点002b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，则02b AG a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，． EF AG EF AG AG =⊂，∥，平面SAD EF ⊄，平面SAD ，所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设(100)A ，，，则11(110)(010)(002)100122B C S E F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，． EF 中点111111(101)0222222M MD EF MD EF MD EF ⎛⎫⎛⎫=---=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，⊥ 又1002EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，0EA EF EA EF =，⊥， 所以向量MD 和EA 的夹角等于二面角A EF D --的平面角．3cos 3MD EA MD EA MD EA<>==，． 所以二面角A EF D --的大小为． 20．解：（1）依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线4x =的距离，即2r ==．得圆O 的方程为224x y +=．（2）不妨设1212(0)(0)A x B x x x <，，，，．由24x =即得 (20)(20)A B -，，，．设()P x y ，，由PA PO PB ，，成等比数列，得2222(2)x x y -+=+，即 222x y -=． (2)(2)PA PB x y x y =-----，，22242(1).x y y =-+=-由于点P 在圆O 内，故222242.x y x y ⎧+<⎪⎨-=⎪⎩，由此得21y <．所以PA PB 的取值范围为[20)-，． 21．解：（1）由132342n n a a n --==，，，，…，整理得 111(1)2n n a a --=--．又110a -≠，所以{1}n a -是首项为11a -，公比为12-的等比数列，得1111(1)2n n a a -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭（2）方法一： 由（1）可知302n a <<，故0n b >．那么，221n n b b +-2211222(32)(32)3332(32)229(1).4n n n n n n n n n n a a a a a a a a aa ++=-----⎛⎫⎛⎫=-⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-又由（1）知0n a >且1n a ≠，故2210n n b b +->，因此1n n b b n +<，为正整数．方法二：由（1）可知3012n n a a <<≠，，因为132nn a a +-=，所以1n n b a ++==由1n a ≠可得33(32)2n n n a a a -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即 223(32)2n n n n a a a a -⎛⎫-< ⎪⎝⎭两边开平方得32nn a a a -<．即 1n n b b n +<，为正整数．22．解：（1）求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-． 曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即 23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根． 记 32()23g t t at a b =-++， 则 2()66g t t at '=-6()t t a =-．当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2at t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即 ()a b f a -<<．。
2007年(全国卷II)(含答案)高考理科数学
2007年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(理)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分) 1．sin 210= （ ） A ．32B ．32-C ．12D ．12-2．函数sin y x =的一个单调增区间是（ ）A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，3．设复数z 满足12ii z+=，则z =（ ） A ．2i -+B ．2i --C ．2i -D ．2i +4．下列四个数中最大的是（ ） A ．2(ln 2)B ．ln(ln 2)C ．ln 2D ．ln 25．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ）A ．23B ．13C ．13-D ．23-6．不等式2104x x ->-的解集是（ ） A ．(21)-， B ．(2)+∞， C ．(21)(2)-+∞ ，， D ．(2)(1)-∞-+∞ ，，7．已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正弦值等于（ ） A ．64B ．104C ．22D ．328．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．129．把函数e x y =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ） A ．3e 2x -+B ．3e 2x +-C ．2e 3x -+D ．2e 3x +-10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种B ．60种C ．100种D ．120种11．设12F F ，分别是双曲线2222x y a b-的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠= 且123AF AF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．52B ．102C ．152D ．512．设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0，则FA FB FC ++= （ ）A ．9B ．6C ．4D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．821(12)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．（用数字作答）14．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1)(0)N σσ>，．若ξ在(01)，内取值的概率为0.4，则ξ在(02)，内取值的概率为 ．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2． 16．已知数列的通项52n a n =-+，其前n 项和为n S ，则2limnn S n ∞=→ ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在ABC△中，已知内角Aπ=3，边23BC=．设内角B x=，周长为y．（1）求函数()y f x=的解析式和定义域；（2）求y的最大值．18．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A=．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD-中，底面A B C D为正方形，侧棱SD⊥底面A B C D E F，，分别为AB SC，的中点．（1）证明EF∥平面SAD；（2）设2SD DC=，求二面角A EF D--的大小．A EB CF SD20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线34x y -=相切． （1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB的取值范围．21．（本小题满分12分）设数列{}n a 的首项113(01)2342n n a a a n --∈==，，，，，，…． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设32n n n b a a =-，证明1n n b b +<，其中n 为正整数．22．（本小题满分12分） 已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．2007年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(理)试题答案解析: 一、选择题 1.答案：D解析：sin2100 =1sin 302-︒=-，选D 。
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南 方 医 科 大 学
生物医学工程 学院 2008学年（秋）季学期考试
2007级基础医学本科 《高等数学二》试卷（B 卷）
姓名 学号 专业 年级
1、设 A 、B 、C 表示三个不同的随机事件，则至少有一个事件发生是 。
2、在行列式中，10-= 。
3、随机变量~(,)X B n p 中，200,0.05n p ==，一般采用λ= ，其分布为 来处理。
4、方阵A 有逆阵的充要条件是 ；
5、行列式按列展开，D = 。
6、矩阵A 与B 的和应满足 。
7、设A 与B 分别为线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，其线性方程组有解的 充要条件是 。
8、二项分布()(1)
,01,0,1,2,...,;()k
k
n k
n P X k C p p p k n E X -==-<<==则 ,
和方差()D X = 。
9、设随机事件,A B 为任意两个事件，则下列命题正确的是
.()()();.()()()();.()()();.()()()
A P A P
B P AB B P A P A P B P A B
C P AB P B P A
D P AB P B P A B ≤≤≤+≤+≤≤≤≤+
10、如果11
1213
212223
3132330a a a
a a a N a a a =≠， 则行列式 11
1213
21222331
32
33
222222222a a a a a a a a a 的值为
.;
.2;
.4;
.8A N B N C N D N
11、若A 为57⨯矩阵，则齐次方程组0Ax =
.A 无解； .B 只有零解； .C 有非零解； .D 不一定 12、4阶行列式中，含因子23a 且带正号的项为
11233244122331441223344114233142
.;.;.;
.A a a a a B a a a a C a a a a D a a a a
三、计算题
13、1111111111111111x x x x
+-+-
14、设连续型随机变量X 的分布函数为
20,0(),11,1x F x a x x
x <⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
0 试求（1）系数a ；（2）X 落在区间(0.3,0.6)内的概率；（3）X 的密度函数 15、某药厂有三个生产一种片剂药品的车间，其中有50%的片剂由第一车间生产，有30%的片剂由第二车间生产，另外20%的片剂则由第三车间生产。
已知第一、第二车间生产的产品中有4%的次品，第三车间生产的产品中有3%的次品，如果任意从中抽取一份产品，其为次品的概率是多少？此产品为各个车间生产的可能是多少？
16、求矩阵
1234
0123
0012
0001
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
的特征值和特征值。