高三高考文科数学《三角函数》题型归纳与汇总

高三高考文科数学《三角函数》题型归纳与汇总高考文科数学题型分类汇总：三角函数篇本文旨在汇总高考文科数学中的三角函数题型，包括定义法求三角函数值、诱导公式的使用、三角函数的定义域或值域、三角函数的单调区间、三角函数的周期性、三角函数的图象变换和三角函数的恒等变换。

题型一：定义法求三角函数值这类题目要求根据三角函数的定义，求出给定角度的正弦、余弦、正切等函数值。

这类题目的难点在于熟练掌握三角函数的定义，以及对角度的准确度量。

题型二：诱导公式的使用诱导公式是指通过对已知的三角函数进行代数变形，得到新的三角函数值的公式。

这类题目需要熟练掌握各种诱导公式，以及灵活应用。

题型三：三角函数的定义域或值域这类题目要求确定三角函数的定义域或值域。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数的定义域和值域的概念和计算方法。

题型四：三角函数的单调区间这类题目要求确定三角函数的单调区间，即函数在哪些区间上单调递增或单调递减。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数单调性的判定方法。

题型五：三角函数的周期性这类题目要求确定三角函数的周期。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数周期的计算方法。

题型六：三角函数的图象变换这类题目要求根据给定的变换规律，确定三角函数图象的变化。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对图象变换的计算方法。

题型七：三角函数的恒等变换这类题目要求根据已知的三角函数恒等式，进行变形和推导。

需要掌握各种三角函数的恒等式，以及灵活应用。

2）已知角α的终边经过一点P，则可利用点P在单位圆上的性质，结合三角函数的定义求解．在求解过程中，需注意对角终边位置进行讨论，避免忽略或重复计算．例2已知sinα=0.8，且α∈[0,π2]，则cosα=．答案】0.6解析】∵sinα=0.8，∴cosα=±√1-sin²α=±0.6XXXα∈[0,π2]，∴cosα>0，故cosα=0.6易错点】忘记对cosα的正负进行讨论思维点拨】在求解三角函数值时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．同时，需根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型二诱导公式的使用例3已知tanα=√3，且α∈(0,π2)，则sin2α=．答案】34解析】∵ta nα=√3，∴α=π/30<α<π/2，∴0<2α<πsin2α=sin(π-2α)=sinπcos2α-cosπsin2α=-sin2α2sin2α=0，∴sin2α=0sin2α=3/4易错点】忘记利用诱导公式将sin2α转化为sin(π-2α)思维点拨】在解决三角函数的复合问题时，可利用诱导公式将一个三角函数转化为其他三角函数的形式，从而简化计算．同时，需注意根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型三三角函数的定义域或值域例4已知f(x)=2sinx+cosx，则f(x)的值域为．答案】[−√5,√5]解析】∵f(x)=2sinx+cosx=√5(sin(x+α)+sin(α-x))，其中tanα=-121≤sin(x+α)≤1，-1≤sin(α-x)≤15≤f(x)≤√5f(x)的值域为[−√5,√5]易错点】忘记利用三角函数的性质将f(x)转化为含有同一三角函数的形式思维点拨】在确定三角函数的定义域或值域时，可利用三角函数的性质将其转化为含有同一三角函数的形式，从而方便计算．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其定义域或值域．题型四三角函数的单调区间例5已知f(x)=sin2x，则f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为．答案】[0,π/4]∪[3π/4,π]解析】∵f'(x)=2cos2x=2(2cos²x-1)=4cos²x-2f'(x)>0的充要条件为cosx12f(x)在[0,π/4]∪[3π/4,π]上单调递增易错点】忘记将f'(x)化简为含有同一三角函数的形式，或对于三角函数的单调性判断不熟练思维点拨】在求解三角函数的单调区间时，需先求出其导数，并将其化简为含有同一三角函数的形式．然后，利用三角函数的单调性进行判断，得出函数的单调区间．题型五三角函数的周期性例6已知f(x)=sin(2x+π)，则f(x)的周期为．答案】π解析】∵sin(2x+π)=sin2xcosπ+cos2xsinπ=-sin2xf(x)的周期为π易错点】忘记利用三角函数的周期性质思维点拨】在求解三角函数的周期时，需利用三角函数的周期性质，即f(x+T)=f(x)，其中T为函数的周期．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其周期．题型六三角函数的图象变换例7已知f(x)=sinx，g(x)=sin(x-π4)，则g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移了．答案】π4解析】∵g(x)=sin(x-π4)=sinxcosπ4-cosxsinπ4g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移π4易错点】忘记利用三角函数的图象变换公式，或对于三角函数的图象不熟悉思维点拨】在求解三角函数的图象变换时，需利用三角函数的图象变换公式，即y=f(x±a)的图象相对于y=f(x)的图象向左（右）平移a个单位．同时，需对于各种三角函数的图象有一定的了解，以便准确判断图象的变化情况．题型七三角函数的恒等变换例8已知cosα=12，且α∈(0,π2)，则sin2α的值为．答案】34解析】∵cosα=12，∴sinα=√3/2sin2α=2sinαcosα=√3/2×1/2=3/4易错点】忘记利用三角函数的恒等变换公式思维点拨】在求解三角函数的恒等变换时，需熟练掌握三角函数的基本恒等式和常用恒等式，从而简化计算．同时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．已知角α的终边所在的直线方程，可以通过设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义来解决相关问题。

如果直线的倾斜角为特殊角，也可以直接写出角α的三角函数值。

例如，对于sin(−α)=1/2，可以利用诱导公式cos(α+π/2)=-sinα来求解cos(2α)。

根据诱导公式，cos(α+π/2)=-sinα=-1/2，因此cos(α)=0.再根据sin²α+cos²α=1，可得sinα=1/2.因此cos(2α)=cos²α-sin²α=0-1/4=-1/4.对于给定函数f(x)=2asin(2x-π/3)+b，已知它的定义域为[0,π/2]，值域为[-5,1]，可以通过分析函数结构来求解a和b的值。

由于sin函数的定义域为[-1,1]，因此2sin(2x-π/3)的值域为[-2,2]，再加上b的值域[-5,1]，得到f(x)的值域为[-7,3]。

但是题目中给出f(x)的值域为[-5,1]，因此需要对函数进行平移变换，即将f(x)整体上移2个单位，即f(x)+2的值域为[-5+2,1+2]=[-3,3]。

因此2asin(2x-π/3)的值域为[-3,3]，可以求解出a的值为±12/63.接着，根据b的值域为[-5,1]，可以列出不等式-6/63+b≤-5，解得b≥19/123，或者6/63+b≥1，解得b≤-23/123.因此b的值为19/123或-23/123.当π/ω为最大值时，函数f(x)取得最大值。

由于2a的符号不确定，会直接影响函数的最值，因此需要分类讨论。

对于涉及字母参数的数学问题，需要仔细分析。

思维点拨：1.求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常常借助三角函数线或三角函数图象来求解。

2.求解涉及三角函数的值域（最值）的题目一般常用以下方法：1) 利用sinx、cosx的值域；2) 形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；3) 换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域（最值）问题。

题型：三角函数的单调区间已知函数f(x)=Asin(ωx+π/3)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示。

1) 求A和ω的值。

2) 函数y=f(x)在[0,π]的单调增区间。

3) 函数g(x)=f(x)+1在区间(a,b)上恰有10个零点，求b-a 的最大值。

经典解答：1) A=2.ω=2，因此f(x)=2sin(2x+π/3)/(3√3)。

2) 令-π/2+2kπ≤2x+π/3≤π/2+2kπ，k∈Z，则-5π/6+kπ≤x≤-π/6+kπ。

当k=0时，-5π/6≤x≤-π/6；当k=1时，-π/6≤x≤π/6.由于x∈[0,π]，因此函数y=f(x)在[0,π/6]和[7π/6,π]上单调递增。

3) 同上。

易错点：审题容易出错，将求三角函数在区间上的单调区间当作是求三角函数在R上的单调区间了。

因此，求出函数在R上的单调增区间后，还要将增区间和[0,π]求交集。

求三角函数的单调区间时，需要注意以下几点：1）对于形如$y=Asin(\omega x+\varphi)$（$A>0$，$\omega>0$）的函数，可以把$\omega x+\varphi$看作一个整体，通过$-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq \omega x+\varphi\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi$（$k\in Z$）来求得函数的增区间，通过$\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq \omega x+\varphi\leq\frac{3\pi}{2}+2k\pi$（$k\in Z$）来求得函数的减区间。

2）对于形如$y=Asin(-\omega x+\varphi)$（$A>0$，$\omega>0$）的函数，可以先利用诱导公式把$x$的系数变为正数，得到$y=-Asin(\omega x-\varphi)$，通过$\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq \omega x-\varphi\leq\frac{3\pi}{2}+2k\pi$（$k\in Z$）来求得函数的减区间，通过$-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq \omega x-\varphi\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi$（$k\in Z$）来求得函数的增区间。

3）对于$y=Acos(\omega x+\varphi)$，$y=Atan(\omegax+\varphi)$等函数，其单调区间的求法与$y=Asin(\omegax+\varphi)$类似。