云南省曲靖市数学高二下学期文数3月月考试卷
2022-2023学年云南省曲靖市高二下学期月考(三)数学试题【含答案】
2022-2023学年云南省曲靖市高二下学期月考（三）数学试题一、单选题1．设集合{}|24A x x =-≤≤，{}|2,B x x n n ==∈N ，则A B = （）A ．{}2,0,2,4-B ．{}2,4C ．{}24x x ≤≤D ．{}0,2,4【答案】D【分析】{}0,2,4,6,8,B = ，再计算交集得到答案.【详解】{}0,2,4,6,8,B = ，∴{}0,2,4A B = .故选：D.2．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（）A ．i -B ．iC ．1D ．1-【答案】D【分析】根据复数z 满足()11z i i +=-，利用复数的除法求得z ，再根据复数的概念求解.【详解】因为复数z 满足()11z i i +=-，所以()()()211111i iz i i i i --===-++-，所以z 的虚部为1-.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．随机变量X 的分布列如下表所示：X1234P0.1m0.32m则()2P X ≤=（）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4【答案】C【分析】利用分布列的性质求出m 的值，然后由概率的分布列求解概率即可．【详解】解：由分布列的性质可得，0.10.321m m +++=，可得0.2m =，所以(2)(1)(2)0.10.20.3P X P X P X ==+==+= ．故选：C ．4．已知数列{}n a 是等差数列，且237820a a a a +=--，则5a =（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】根据数列的下标和性质，对原式进行转化即可求得.【详解】因为237820a a a a +=--，所以()()283720a a a a +++=，5420a =，解得55a =.故选：D.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题.5．2022年12月4日是第九个“国家宪法日”.某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为23，连续答对两道题的概率为12.用事件A 表示“甲同学答对第一道题”，事件B 表示“甲同学答对第二道题”，则()P BA =∣（）A ．34B ．23C ．12D ．13【答案】A【分析】根据条件概率的计算公式，即可求得答案.【详解】依题意()()()()()12132,,23243P AB P A P AB P BA P A ==∴===∣，故选：A6．已知随机变量(,)X B n p ，且()4,()2E X D X ==，则(1)P X ==（）A ．312B ．412C ．512D ．612【答案】C【分析】根据二项分布的方差和期望公式，列方程即可解出,n p 的值，进而可求.【详解】由二项分布的方差和期望公式可得：()()()412E X np D X np p ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩，解得1,82p n ==，则1718851181(1)2222P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．7．已知 1.30.72,4,ln 6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b<c<a C ．c<a<b D ．c b a<<【答案】C【详解】因为0.7 1.4 1.34222b ==>>，2ln6lne 2c =<=，所以c a b <<；故选C.8．关于函数()()22,,x f x ex -=∈-∞+∞.下列说法错误的是（）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减C ．()f x 的值域为(]0,1D ．不等式()2f x e ->的解集为()(),22,-∞-+∞ 【答案】D【解析】根据函数()()22,,x f x ex -=∈-∞+∞，逐一对其进行奇偶性，复合函数的单调性分析，即可判断选项A ，B ，C 均正确，而选项D 也可由单调性转化为关于x 的二次不等式求解，解集应为(2,2)-，则D 错误.【详解】因为函数22(),(,)x f x e x -=∈-∞+∞，22()22()()x x f x eef x ----===，则该函数为偶函数，其图像关于y 轴对称，故选项A 说法正确；令22x t =-，在(,0)-∞单调递增，(0,)+∞单调递减，又t y e =在(,0]-∞单调递增，则由复合函数的单调性可知()f x 在(,0)-∞单调递增，(0,)+∞单调递减，故选项B 说法正确；由(,0]t ∈-∞可得(0,1]y ∈，即()f x 的值域为(0,1]，故选项C 说法也正确；由不等式2f x e ->（）即222x e e -->222x ->-，则24x <，22x -<<故的不等式2()f x e ->解集为(2,2)-，选项D 说法错误.【点睛】关键点点睛：本题的关键是对复合函数的单调性的判断，并由此应用到求值域和解不等式.二、多选题9．已知抛物线2:4x yΓ=的焦点为F ，过F 与y 轴垂直的直线交抛物线Γ于点M ，N ，则下列说法正确的有（）A ．点F 坐标为(1,0)B ．抛物线Γ的准线方程为1y =-C ．线段MN 长为4D ．直线2y x =-与抛物线Γ相切【答案】BC【解析】根据抛物线的标准方程和几何性质，可判定A 不正确，B 正确；令1y =，可得求得4MN =，可判定C 正确；联立方程组，根据∆<0，可判定D 不正确.【详解】由抛物线2:4x yΓ=，可得24p =，即2p =，且焦点在y 轴上，所以焦点为(0,1)F ，准线方程为1y =-，所以A 不正确，B 正确；令1y =，可得24x =，解得2x =±，所以4MN =，所以C 正确；联立方程组224y x x y=-⎧⎨=⎩，整理得2480x x -+=，可得2(4)480∆=--⨯<，所以直线2y x =-与抛物线没有公共点，所以D 不正确.故选：BC.【点睛】求解直线与抛物线的位置关系问题的方法：在解决直线与抛物线的位置关系的问题时，其方法类似于直线与椭圆的位置关系，在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合法的思想来求解.10．已知函数()33sin2cos222f x x x =+，则下列选项正确的有（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．曲线()y f x =关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．()f x 的最大值为3D ．曲线()y f x =关于直线π6x =对称【答案】CD【分析】利用三角函数辅助角公式化简可得()π3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可求得周期，判断A ；结合正弦函数的最值判断C ；结合正弦函数的对称性判断B ，D.【详解】由题意得函数()33πsin2cos23sin 2226f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 错误；由于πππ33sin 203362f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则曲线()y f x =不关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，故B 错误；由于()π3sin 2,R 6f x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，故max ()3f x =，故C 正确；由于πππ3sin 23666f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为函数最值，则曲线()y f x =关于直线π6x =对称，故D 正确，故选：CD.11．3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（）A ．共有60种不同的坐法B ．空位不相邻的坐法有72种C ．空位相邻的坐法有24种D ．两端不是空位的坐法有18种【答案】ACD【分析】按照题目给定的条件排列即可.【详解】对于A ，3554360A =⨯⨯=，故A 正确；对于B ，相当于先排好这3个人有33A 种排法，然后把2个空位插在3个人中间，故有24C 种插法，234336C A =，故B 错误；对于C ，相当于把2个空位先捆绑好，再插到3人中，134324C A =，故C 正确；对于D ，相当于先从3人中抽取2人排好后放在两端，第三个人在中间的3个空位中任取一个，故有123318C A =种，故D 正确；故选：ACD.12．设函数()e ln xf x x=，则下列说法正确的是()A ．()f x 定义域是()()0,11,+∞ B ．()0,1x ∈时，()f x 图象位于x 轴下方C ．()f x 存在单调递增区间D ．()f x 有且仅有两个极值点【答案】ABC【分析】直接根据函数解析式即可判断A 、B ；求f (x )的导数，利用导数即可研究函数的单调性、极值点，由此即可判断C 、D.【详解】对A 选项，()e ln xf x x =需满足0ln 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠，∴()e ln xf x x=的定义域为()()0,11,+∞ ，故A 正确；对B 选项，由()e ln xf x x=，当()0,1x ∈时，ln 0x <，∴()0f x <，∴()f x 在()0,1上的图像都在x 轴的下方，故B 正确；对C 选项，()21e ln (ln )x x f x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭='，令()1ln g x x x =-，∵()2110g x x x '=+>，∴()g x 在()0,∞+单调递增，∵()12ln 202g =->，∴x ＞2时，g (x )＞0，()0f x ¢>，∴()f x 存在单调递增区间，故C 正确；对D 选项，由B 可知，()0,1x ∈时，()f x 图象位于x 轴下方；当x ＞1时，∵g (x )在()0,∞+单调递增，且()11ln1101g =-=-<，()12ln 202g =->，∴存在唯一的()01,2x ∈使g (x )＝0，即()00f x '=，当()00,x x ∈时，g (x )＜0，()0f x '<，()f x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，g (x )＞0，()0f x ¢>，()f x 单调递增，∴f (x )只有一个极小值点，故D 错误.故选：ABC.三、填空题13．若向量()3,21a x x =-- ，()2,5b = ，且a b ∥ ，则x =___________.【答案】13【分析】利用向量平行的充要条件列方程求x .【详解】因为向量()3,21a x x =-- ，()2,5b = ，a b ∥ ，所以()()53221x x -=-，解得：x =13.故答案为：1314．41(1)(1)x x-+的展开式中2x 项的系数为__________．【答案】2【分析】根据二项式定理求出4(1)x +通项，再求2x 项的系数.【详解】因44411(1)(1)(1)(1)x x x x x-+=+-+，只需要求4(1)x +的展开式中含23,x x 项的系数．又4(1)x +的展开式的通项为14C r rr T x +=，则含23,x x 项的系数分别是2443C 62⨯==，34C 4=，()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为2344C C 642-=-=.故答案为：2.15．网络用语“车珠子”，通常是指将一块原料木头通过加工打磨，变成球状珠子的过程.某同学有一圆锥状的木块，想把它打磨成“车珠子”，经测量，该圆锥状木块的底面直径为12cm ，体积为396πcm ，假设条件理想，他能成功，则该珠子的体积的最大值是__________3cm .【答案】36π【分析】根据圆锥体积求出圆锥的高和母线长，利用轴截面面积求得珠子的半径，即可求得答案.【详解】设圆锥的高为cm h ，则21π696π,83h h ⋅⋅=∴=，故圆锥的母线长为228610(cm)l =+=，作圆锥轴截面和其内切圆，此时珠子的体积最大，设内切圆的半径为r ，则()11128101012,3(cm)22r r ⨯⨯=⨯++⨯∴=，故该珠子的体积最大值是33)4π336π(cm 3⋅=，故答案为：36π四、双空题16．已知函数()()221x f e x x x =-+，则()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为______，若()f x ax ≥在()0,∞+上恒成立，则实数a 的取值范围为______.【答案】10x y +-=(],0-∞【解析】（1）求出()0f '，可得出所求切线的斜率，并求出切点的坐标，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）利用参变量分离法得出()f x a x≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，令()()f xg x x=，利用导数求出函数()g x 在区间()g x 在区间()0,∞+上的最小值，进而可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）()()221x e x f x x =-+ ，()()()()2221221x x x f x e x x e x e x '∴=-++-=-，所以()01f '=-，又因为()01f =，所以切线方程为1y x =-+，即10x y +-=；（2）由题可得：()≥f x a x在()0,∞+恒成立，设()()12xe g xf x x x x⎛⎫=+- ⎝=⎪⎭，则()()()2211x e x xx x g -+'=，因为0x >，所以当1x >时，()0g x '>，当01x <<时，()0g x '<，所以()g x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以当1x =时，()g x 有最小值()10g =，所以0a ≤.故答案为：10x y +-=；(],0-∞.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.五、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差d 为整数，535S =，且236,1,a a a +成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足n b =11n n a a +，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)32n a n =-(2)n T =31+n n 【分析】(1)运用等差数列的求和公式和通项公式，等比数列的中项性质，解方程可得公差，进而得到所求通项公式.(2)求得n b =1311()3231n n --+，用数列的裂项相消求和，计算可得所求和.【详解】（1）由53535S a ==，得37a =，由236,1,a a a +成等比数列，得()2263164a a a =+=，即()()33364a d a d -⋅+=，整理得2314150d d -+=，又因为公差d 为整数，所以3d =，所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-；（2）n b =11n n a a +=1(32)(31)n n -+=1311()3231n n --+，所以123n n T b b b b =++++= 11111111[(1)()()()]34477103231n n ⨯-+-+-++--+ =11(1)331n ⨯-+=31+n n ．18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，在①()3cos sin a b C b C -=，②()()2sin 2sin 2sin a c A c a C b B -+-=这两个条件中任选一个，并解答：（1）求角B 的大小；（2）若2a c +=，3b =，求ABC 的面积.【答案】条件选择见解析；（1）3B π=；（2）312.【分析】（1）若选①：根据正弦定理得()3sin sin cos sin sin A B C B C -=，化简成3cos sin sin sin B C B C =，即可得解；若选②：由正弦定理得：()()2222a c a c a c b -⋅+=⋅-，结合余弦定理即可求解；（2）结合（1）利用余弦定理求出13ac =，即可得到三角形面积.【详解】（1）若选①：因为()3cos sin a b C b C -=，由正弦定理得()3sin sin cos sin sin A B C B C -=，即()3sin sin cos sin sin B C B C B C +-=⎡⎤⎣⎦，3cos sin sin sin B C B C =，又因为B ，()0,C π∈，所tan 3B =，即3B π=若选②：()()2sin 2sin 2sin a c A c a C b B -+-=由正弦定理得：()()2222a c a c a c b -⋅+=⋅-化简得：222a c b ac +-=，又由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=，得1cos 2B =，又因为()0,B π∈，得3B π=·（2）由余弦定理得2222cos3=+-b a c ac π∴()223b a c ac =+-，又2a c +=，3b =，代入得13ac =，所以13sin 212S ac B ==.19．在如图所示几何体中，四边形ABCD 与ABEF 均为直角梯形，AB CD ∥，AF BE ∥，AB AD ⊥，AB AF ⊥，且平面ABCD ⊥平面ABEF ．已知2==AB AF ，1AD CD BE ===．(1)证明：BC FC ⊥；(2)求直线EF 与平面BEC 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)105【分析】（1）由面面垂直的性质得到AF ⊥平面ABCD ，即可得到BC AF ⊥，再连接AC ，即可得到BC AC ⊥，从而得到BC ⊥平面AFC ，即可得证；（2）建立直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；【详解】（1）证明：因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，又AB AF ⊥，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =，AF ⊂平面ABEF ，所以AF ⊥平面ABCD ，因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC AF ⊥，连接AC ，在梯形ABCD 中，由2AB =，1AD =，1CD =，AD AB ⊥，所以45DCA BAC ∠=∠=︒，所以45CBA ∠=︒，所以BC AC ⊥，因为BC AC ⊥，BC AF ⊥，,AC AF ⊂平面AFC ，AC AF A ⋂=，所以BC ⊥平面AFC ，因为FC ⊂平面AFC ，所以BC FC ⊥（2）解：分别以AB 、AF 、AD 所在直线为x 、y 、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()2,0,0B ，()1,0,1C ，()0,2,0F ，()2,1,0E ，所以()1,0,1BC =- ，()0,1,0BE = ，()2,1,0EF =- ，设平面BEC 的法向量为(),,n x y z = ，平面BEC 与直线EF 所成的角为θ，则00n BE y n BC x z ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩ ，令1x =，则1z =，0y =，所以()1,0,1n = ，所以()2222210sin 52111n EF n EFθ⋅-===⋅-+⋅+ ，所以直线EF 与平面BEC 所成角的正弦值为105；20．2018年，中国某省的一个地区社会民间组织为年龄在30岁-60岁的围棋爱好者举行了一次晋级赛，参赛者每人和一位种子选手进行一场比赛，赢了就可以晋级，否则，就不能晋级，结果将晋级的200人按年龄（单位：岁）分成六组：第一组[30,35)，第二组[35,40)，第三组[40,45)，第四组[45,50)，第五组[50,55)，第六组[55,60]，下图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）求实数a 的值；（2）若先在第四组、第五组、第六组中按组分层抽样共抽取10人，然后从被抽取的这10人中随机抽取3人参加优胜比赛.①求这三组各有一人参加优胜比赛的概率；②设ξ为参加优胜比赛的3人中第四组的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ.【答案】（1）0.036a =（2）①310p =②见解析【分析】（1）根据频率和为1列方程，解方程求得a 的值.（2）利用分层抽样的知识计算出每组的抽取人数.①用古典概型的概率计算公式计算出这三组各有一人参加优胜比赛的概率；②利用超几何分布的知识计算出分布列和数学期望.【详解】解：（1）直方图中的组距为5，可得0.024520.035520.0451a ⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=，得0.036a =.（2）从直方图中可得第四组的人数为0.04520040⨯⨯=（人），第五组的人数为0.03520030⨯⨯=（人），第六组的人数为0.03520030⨯⨯=（人），三组共100人，按组用分层抽样法抽取10人，则第四组应抽取4人，第五组应抽取3人，第六组应抽取3人.①三组各有一人参加优胜比赛的概率111433310310C C C p C ⋅⋅==；②ξ的可能取值为0，1，2，3，()0346310106C C P C ξ===，()2164310112C C P C ξ===，()21463103210C C P C ξ===，()30463101330C C P C ξ===，ξ的分布列为ξ0123P 1612310130()11310123 1.2621030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本小题主要考查频率分布直方图有关的计算，考查古典概型，考查超几何分布，属于中档题.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(2,1)，且离心率为22.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点P (0，3)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA = ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在，1432y x =±+.【分析】（1）点()2,1代入椭圆方程，得22211a b +=，由22e =得22c a =可转化为a 2=2b 2，解出a ，b ，进而得出方程.（2）分两种情况讨论，斜率不存在时，显然不满足2PB PA = ，斜率存在时设所求直线方程l ：y =kx +3代入椭圆方程化简得：(1+2k 2)x 2+12kx +14=0，结合韦达定理和2PB PA = ，分析斜率，进而写出方程.【详解】解：（1）由已知点代入椭圆方程得22211a b +=，由22e =得22c a =可转化为a 2=2b 2，由以上两式解得a 2=4，b 2=2，所以椭圆C 的方程为：22142x y +=.（2）存在这样的直线.当l 的斜率不存在时，显然不满足2PB PA = ，所以设所求直线方程l ：y =kx +3代入椭圆方程化简得：(1+2k 2)x 2+12kx +14=0，1221212k x x k +=-+①，1221412x x k =+②△=(12k )2﹣4×14×(1+2k 2)>0，274k >，设所求直线与椭圆相交两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由已知条件2PB PA = 可得x 2=2x 1③，综合上述①②③式子可解得27724k =>符合题意，所以所求直线方程为：1432y x =±+.【点睛】本题考查椭圆的方程，以及直线和椭圆相交问题，属于中档题.22．已知函数()()ln f x x ax a R =-∈.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）求出函数()y f x =的定义域和导数()1f x a x'=-，然后分0a ≤和0a >两种情况讨论，分析()f x '在()0,∞+上导数符号的变化，即可得出函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，函数()y f x =有两个零点，则0a >且有10f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即可求出实数a 的取值范围.【详解】（Ⅰ）函数()ln f x x ax =-的定义域为()0,∞+，()1f x a x'=-.①当0a ≤时，由()0f x ¢>，知函数()y f x =在()0,∞+内单调递增；②当0a >时，由()0f x ¢>，即10a x ->得10x a<<；由()0f x '<，即10a x-<得1x a >.所以，函数()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递减.因此，当0a ≤时，()y f x =在()0,∞+内单调递增；当0a >时，()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增；在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递减；（Ⅱ）当0a ≤时，则函数()y f x =在()0,∞+上为增函数，函数()y f x =最多一个零点，不合乎题意，舍去；当0a >时，由（Ⅰ）知，函数()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递减.且当0x →时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →-∞，则11ln1ln10f aa a⎛⎫=-=-->⎪⎝⎭，即ln1a<-，解得10ae<<.因此，实数a的取值范围是1 0,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查带参函数单调区间的求解，同时也考查了利用函数的零点个数求参数的取值范围，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.。
云南省高二下学期3月月考数学试卷(文科)
云南省高二下学期3月月考数学试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高一下·新疆开学考) 已知全集U=R，A={x|x＜﹣1或x＞0}，B={x|x﹣2＞0}，则A∩（CUB）=（）A . {x|x＜﹣1}B . {x|0＜x≤2}C . {x＞0}D . {x|x＜﹣1或0＜x≤2}【考点】2. （2分）直线x-y+a=0的倾斜角为（）A . 30°B . 60°C . 150°D . 120°【考点】3. （2分） (2018高二上·南宁月考) 设，，，则（）A .B .C .D .【考点】4. （2分） (2018高一上·慈溪期中) 若直角坐标平面内A、B两点满足：①点A、B都在函数f(x)的图象上；②点A、B关于原点对称，则称点(A ， B)是函数f(x)的一个“姊妹点对”．点对(A ， B)与(B ， A)可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数，则f(x)的“姊妹点对”有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个【考点】5. （2分） (2017高一上·中山月考) 已知函数，则 =（）A . 是奇函数，且在R上是增函数B . 是偶函数，且在R上是增函数C . 是奇函数，且在R上是减函数D . 是偶函数，且在R上是减函数【考点】6. （2分） (2016高一上·埇桥期中) 设f（x）= ，则f（f（﹣2））=（）A . ﹣1B .C .D .【考点】7. （2分） (2016高二上·重庆期中) 过点A（1，4），且横、纵截距的绝对值相等的直线的条数为（）A . 1B . 2C . 3D . 4【考点】8. （2分）已知直线（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0与2（k﹣3）x﹣2y+3=0平行，那么k的值为（）A . 1或3B . 1或5C . 3或5D . 1或2【考点】9. （2分） (2019高二下·台州期中) 直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是（）A .B .C .D . （-2， -2）∪[2，2)【考点】10. （2分）(2017·广安模拟) 若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，则k 的值为（）A . ﹣1B . ﹣C . ﹣D . ﹣3【考点】11. （2分）用二分法求方程x3﹣2x﹣5=0在区间[2，3]上的实根，取区间中点x0=2.5，则下一个有根区间是（）A . [2，2.5]B . [2.5，3]C .D . 以上都不对【考点】12. （2分）(2017·三明模拟) 函数的图象大致是（）A .B .C .D .【考点】二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2017高二上·绍兴期末) 已知平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1 ， l2的距离________；点（0，2）到直线l1的距离________．【考点】14. （1分） (2020高一上·上海期中) 下列幂函数在区间上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是________（请填入全部正确的序号）⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；⑸【考点】15. （1分） (2016高一上·金华期中) 已知函数f（x）= ﹣，求函数f（x）的定义域________．【考点】16. （1分）已知幂函数y=（m2﹣m﹣1）x 在区间（0，+∞）上单调递减，则m=________．【考点】三、计算题 (共1题；共10分)17. （10分） (2019高一上·河南月考) 已知集合.（1）求；（2）若，求实数m的取值范围.【考点】四、解答题 (共4题；共40分)18. （10分） (2019高一上·双鸭山期中) 计算：（1）．（2）若，求的值．【考点】19. （10分）(2020·安徽模拟) 已知椭圆的离心率为，且过点，点P在第一象限，为左顶点，为下顶点，交轴于点，交x轴于点D.（1）求椭圆E的标准方程；（2）若，求点P的坐标.【考点】20. （10分） (2019高二上·青海月考) 已知圆经过，两点，且圆心在轴上.（1）求直线的方程；（2）圆的方程；【考点】21. （10分） (2019高一上·厦门月考) 已知函数是R上的奇函数，且当时，，（1）求函数在R的解析式；（2）在所给的坐标系中画出的图像，并写出函数的单调区间.（作图要求：要标出与坐标轴的交点，顶点）.【考点】参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、计算题 (共1题；共10分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：四、解答题 (共4题；共40分)答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：。
云南省曲靖市高二下学期3月月考数学试卷(文科)
云南省曲靖市高二下学期 3 月月考数学试卷（文科）姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 设全 U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={2，3，4}，则（∁UA）∪B（ ）A . {3，4}B . {3，4，5}C . {2，3，4，5}D . {1，2，3，4}2. （2 分） 已知直线 l 过点 P（3，4），它的倾斜角是直线 y=x+1 的两倍，则直线 l 的方程为（ ）A . y﹣4=0B . x﹣3=0C . y﹣4=2（x﹣3）D . y﹣4=x﹣33. （2 分） (2019 高一上·邢台期中) 若A.B.C.D.4. （2 分） 下列函数 是（ ）中，满足“对任意的则（ ）. 时，均有”的A.B.第 1 页 共 16 页C.D. 5. （2 分） 下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ） A. B. C. D.6. （2 分） (2016 高一上·晋中期中) 已知函数若 f[f（0）+m]=2，则 m 等于（ ）A.3 B.4 C.5 D.6 7. （2 分） 在 y 轴上的截距是－3，且经过 A(2，－1)，B(6,1)中点的直线方程为（ ）A.B.C.D.8. （2 分） 已知直线 l1：x+a2y+6=0，l2：（a﹣2）x+3ay+2a=0，若 l1∥l2 则实数 a 的值为（ ）A . ﹣1 或 3B . 0或3第 2 页 共 16 页C . ﹣1 或 0 D . ﹣1 或 3 或 0 9. （2 分） 已知直线 和的最小值是（ ）和直线， 抛物线上一动点 到直线 和直线 的距离之A. B.2 C. D.3 10. （2 分） 已知 a,b 满足 a+2b=1，则直线 ax+3y+b=0 必过定点（ ）A. B. C.D. 11. （2 分） (2017 高一上·南涧期末) 设 f（x）=3x﹣x2 ， 则在下列区间中，使函数 f（x）有零点的区间 是（ ） A . [0，1] B . [1，2] C . [﹣2，﹣1] D . [﹣1，0] 12. （2 分） (2015·三门峡模拟) 函数 f（x）的部分图象如图所示，则 f（x）的解析式可以是（ ）第 3 页 共 16 页A . f（x）=x+sinx B . f（x）=C . f（x）=x（x﹣ ）（x﹣ ） D . f（x）=xcosx二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2016 高一上·东莞期末) 若直线 l1：x+ky+1=0（k∈R）与 l2：（m+1）x﹣y+1=0（m∈R）相互 平行，则这两直线之间距离的最大值为________14. （1 分） (2019 高三上·宜城期中) 已知函数 的减函数，则 m 的值为________．是幂函数，且是上15. （1 分） (2016 高一上·哈尔滨期中) 函数 y=的定义域为________．16. （1 分） (2016 高一上·南通期中) 已知函数 f（x）= 使得 f（x1）=f（x2）成立，则实数 a 的取值范围是________．三、 计算题 (共 1 题；共 10 分)，若存在 x1 ， x2∈R 且 x1≠x2 ，17. （10 分） (2019 高一上·龙岩月考) 若集合，．（1） 若，全集，试求．（2） 若，求实数 m 的取值范围．四、 解答题 (共 4 题；共 50 分)18. （10 分） (2016 高一上·常州期中) 求解下列各式的值：第 4 页 共 16 页（1） （2 ） +（﹣2017）0+（3 ） ；（2）+lg6﹣lg0.02．19. （15 分） (2019 高二上·上海月考) 矩阵乘法运算在矩阵的作用下变换成点，记的几何意义为平面上的点，且.（1） 若平面上的点 在矩阵的作用下变换成点，求点 的坐标；（2） 若平面上相异的两点 A、B 在矩阵 M 的作用下，分别变换为点 、 ，求证：若点 P 为线段 上 的点，则点 P 在 M 的作用下的点 在线段 上；（3） 已知△的顶点坐标为变换成△，记△与△、、的面积分别为 与，且△在矩阵作用下，求 的值，并写出一般情况（三角形形状一般化且变换矩阵一般化）下 与 的关系（不要求证明）.20. （10 分） (2020 高二上·温州期末) 已知圆心 在直线：上的圆经过点和，且过点的直线 与圆 相交于不同的两点.（1） 求圆 的标准方程；（2） 若，求直线 的方程.21.（15 分）(2019 高一上·宿州期中) 已知为定义在 上的偶函数，且时，（1） 求时，函数的解析式；（2） 画出函数图像，写出函数的单调区间(不需证明)；（3） 若恒成立，求 的取值范围第 5 页 共 16 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点：解析： 答案：3-1、 考点：第 6 页 共 16 页解析： 答案：4-1、 考点： 解析：答案：5-1、 考点： 解析：答案：6-1、 考点：第 7 页 共 16 页解析： 答案：7-1、 考点： 解析： 答案：8-1、 考点：第 8 页 共 16 页解析： 答案：9-1、 考点： 解析：答案：10-1、第 9 页 共 16 页考点：解析： 答案：11-1、 考点：解析： 答案：12-1、 考点：解析：第 10 页 共 16 页二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、计算题 (共1题；共10分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：四、解答题 (共4题；共50分)答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：。
云南2023-2024学年高二下学期3月月考试题 数学含答案
云师2025届高二年级3月月考数学试卷（答案在最后）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.椭圆221259x y +=与椭圆()2219259x y k k k +=<--的（）A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等2.在四边形ABCD 中，四个顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是()2,0-，()1,3-，()3,4，()2,3，E ，F 分别为,AB CD 的中点，则EF AB ⋅=（）A.10B.12C.14D.163.各项为正的等比数列{}n a 中，1241,81a a a ==，则{}n a 的前4项和4S =（）A.40B.121C.27D.814.设m 、n 是不同的直线，α、β是不同的平面，以下是真命题的为（）A.若αβ⊥，//m α，则m β⊥B.若n α⊥，n β⊥，则//βαC.若αβ⊥，m α⊥，则//m βD.若m α⊥，m n ⊥，则//n α5.小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（）A.48B.32C.24D.166.若点P 是曲线2ln 1y x x =-+上任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离为（）A.1B.2C.D.27.已知π5πsin cos 4124αα⎛⎫⎛⎫++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πcos 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.312-B.312+C.1322+ D.1322-8.将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会的志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安排方法有（）A.2720B.3160C.3000D.2940二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分；若只有两个正确选项，每选对一个3分；若只有3个正确选项，选对一个2分，选对两个3分9.已知1021(0)a x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（）A.奇数项的二项式系数和为256B.第6项的系数最大C.存在常数项D.有理项共有6项10.设z 为复数，则下列命题中正确的是（）A.2z zz = B.若2(12i)z =-，则复平面内z 对应的点位于第二象限C.22z z= D.若1z =，则i z +的最大值为211.已知函数()f x 的定义域为R ，x ∀、y ∈R 都有()()()()2126f xy f x f y f y x +=--+，且()01f =，则（）A.()12f -= B.()13f =C.()f x 是增函数D.()f x 是偶函数三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}|12M x x =+≤，{}21xN x =>，则M N ⋂=___________13.将平面内等边ABC 与等腰直角ABD△（其中AB 为斜边），沿公共边AB 折叠成直二面角，若2AB =，且点,,,A B C D 在同一球O 的球面上，则球O 的表面积为______.14.已知实数a ，b 满足423a a +=，22log 3b +=，则32a b +=__________．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.滇池久负盛名，位于春城昆明，是我国西南地区最大的淡水湖，被誉为“高原明珠”．如图，为计算滇池岸边A 与B 两点之间的距离，在岸边选取C 和D 两点，现测得20km AD =，28km CD =，60DAC ∠=︒，15CAB ∠=︒，120ABC ∠=︒．（1）求AC 的长；（2）求AB 的长．16.已知函数22()ln (0)f x x ax a x a =+-≥.（1）若1x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值；（2）求函数()y f x =的单调区间.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,,ABCD AB AD AD ⊥ BC ，1,2AP AB AD BC ====.（1）求二面角B PD C --的正弦值；（2）在棱PC 上确定一点E ，使异面直线PD 与BE 所成角的大小为60 ，并求此时点E 到平面PBD 的距离.18.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22222:1(0)x y C a b a b-=>>的焦距之比为12．（1）求椭圆1C 和双曲线2C 的离心率；（2）设双曲线2C 的右焦点为F ，过F 作FP x ⊥轴交双曲线2C 于点P （P 在第一象限），A ，B 分别为椭圆1C 的左、右顶点，AP 与椭圆1C 交于另一点Q ，O 为坐标原点，证明：BP OP OQ OP k k k k ⋅=+．19.设正整数数列1:A a ，2a ，⋯，(3)N a N >满足<i j a a ，其中1i j N ≤<≤.如果存在{2k ∈，3，⋯，}N ，使得数列A 中任意k 项的算术平均值均为整数，则称A 为“k 阶平衡数列”（1）判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？（2）若N 为偶数，证明：数列:1A ，2，3，⋯，N 不是“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈⋯（3）如果2019N a ≤，且对于任意{2,3,,}k N ∈⋯，数列A 均为“k 阶平衡数列”，求数列A 中所有元素之和的最大值．云师2025届高二年级3月月考数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.椭圆221259x y +=与椭圆()2219259x y k k k +=<--的（）A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【答案】D 【解析】【分析】求出两椭圆的长轴长、短轴长、焦距以及离心率，即可得出合适的选项.【详解】椭圆221259x y +=的长轴长为5210⨯=，短轴长为236⨯=，焦距为8=，离心率为45，椭圆()2219259x y k k k+=<--的长轴长为，短轴长为焦距为8=，离心率为所以，两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离心率也不相等.故选：D.2.在四边形ABCD 中，四个顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是()2,0-，()1,3-，()3,4，()2,3，E ，F 分别为,AB CD 的中点，则EF AB ⋅=（）A.10B.12C.14D.16【答案】A 【解析】【分析】利用中点坐标公式以及向量的坐标表示进行数量积运算.【详解】由题意，3357,,,2222E F ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()4,2EF = ，()1,3AB =，412310EF AB ⋅=⨯+⨯=.故选：A3.各项为正的等比数列{}n a 中，1241,81a a a ==，则{}n a 的前4项和4S =（）A.40 B.121 C.27D.81【答案】A 【解析】【分析】先根据等比数列通项公式求出q ，再根据前n 项和公式求值即可.【详解】设等比数列公比为q ,31241,81,81,0,0,n a a a q q a q ==∴⨯=>∴> ()44113803,40.132q S ⨯--∴=∴===--故选：A.4.设m 、n 是不同的直线，α、β是不同的平面，以下是真命题的为（）A .若αβ⊥，//m α，则m β⊥ B.若n α⊥，n β⊥，则//βαC.若αβ⊥，m α⊥，则//m β D.若m α⊥，m n ⊥，则//n α【答案】B 【解析】【分析】根据空间中点线面的位置关系，借助于正方体，逐项分析即可.【详解】对于A ,如上图正方体中，设平面11ABB A 为α，平面1111D C B A 为β，CD 为m ，满足αβ⊥，//m α，此时//m β，故A 错误；对于B ，因为n α⊥，n β⊥，α、β是不同的平面，则必有//βα，故B 正确；对于C ，如上图正方体中，设平面11ABB A 为α，平面1111D C B A 为β，11A D 为m ，满足αβ⊥，m α⊥，此时m β⊂，故C 错误；对于D ，如上图正方体中，设平面11ABB A 为α，11A D 为m ，11A B 为n ，则满足m α⊥，m n ⊥，此时n ⊂α，故D 错误.故选:B .5.小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（）A.48B.32C.24D.16【答案】C 【解析】【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解.【详解】1与4相邻，共有22A 2=种排法，两个2之间插入1个数，共有122A =种排法，再把组合好的数全排列，共有33A 6=种排法，则总共有22624⨯⨯=种密码．故选：C6.若点P 是曲线2ln 1y x x =-+上任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离为（）A.1B.2C.D.2【答案】D 【解析】【分析】求出平行于2y x =-的直线与曲线2ln 1y x x =-+相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论．【详解】设00(,)P x y ，函数2ln 1y x x =-+的定义域为(0,)+∞，求导得12y x x'=-，当曲线2ln 1y x x =-+在点P 处的切线平行于直线2y x =-时，00121x x -=，则00(1)(21)0x x -+=，而00x >，解得01x =，于是201ln112y =-+=，平行于2y x =-的直线与曲线2ln 1y x x =-+相切的切点坐标为(1,2)，所以点P 到直线2y x =-的最小距离即点(1,2)到直线2y x =-的距离2d ==．故选：D 7.已知π5π3sin cos 4124αα⎛⎫⎛⎫++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πcos 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.12-B.12+C.122+D.122-【答案】D 【解析】【分析】应用诱导公式及已知有π5πcos cos 4124αα⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由5ππ2π1243αα⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭及差角余弦公式得5ππ1sin sin 12442αα⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，最后由和角正弦公式有π5ππcos 2cos 6124ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即可求结果.【详解】因为πππsin cos 424αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos 44ααππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合题设，所以π5πcos cos 4124αα⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，而5ππ2π1243αα⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2π5ππ5ππ5πcoscos cos cos sin 312412412ααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦πsin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭，即15ππsin sin 24124αα⎛⎫⎛⎫-=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5ππ1sin sin 12442αα⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π5ππ5πcos 2cos cos 612412αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦π5ππcos sin sin 41244ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭114222⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭.故选：D8.将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会的志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安排方法有（）A.2720B.3160C.3000D.2940【答案】D 【解析】【分析】根据题意可知：共有两种分配方式，一种是4:2:2，一种是3:3:2，结合分堆法运算求解.【详解】共有两种分配方式，一种是4:2:2，一种是3:3:2，故不同的安排方法有42233238428523C C C C C C +A =29402!2!⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分；若只有两个正确选项，每选对一个3分；若只有3个正确选项，选对一个2分，选对两个3分9.已知1021(0)a x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（）A.奇数项的二项式系数和为256B.第6项的系数最大C.存在常数项D.有理项共有6项【答案】BCD 【解析】【分析】令1x =即可求出a 的值，再写出展开式的通项，再一一判断.【详解】解：令1x =，得()1011024a +=，则1a =或3a =-（舍去）.∴1021x ⎫⎪⎭的展开式的通项510521101021C C rrr rrr T x x --+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.对于A ，()01101010101011C C C 251222+++=⨯= ，故A 错误；对于B ，由题设展开式共11项，第6项的系数最大，故B 正确；对于C ，令5502r -=，解得2r =，故存在常数项为第三项，故C 正确；对于D ，当0,2,4,6,8,10r =时，为有理项，故有理项共有6项，故D 正确.故选：BCD.10.设z 为复数，则下列命题中正确的是（）A.2z zz = B.若2(12i)z =-，则复平面内z 对应的点位于第二象限C.22z z= D.若1z =，则i z +的最大值为2【答案】ABD 【解析】【分析】利用复数的四则运算，复数模的性质逐个选项分析即可.【详解】对于A ，设i z a b =+，故i z a b =-，则222z a b =+，22i)(i)zz a b a a b b (+-=+=，故2z zz =成立，故A 正确，对于B ，2(12i)4i 3z =-=--，4i 3z =-，显然复平面内z 对应的点位于第二象限，故B 正确，对于C ，易知222z a b =+，2222i z a b ab =++，当0ab ≠时，22z z ≠，故C 错误，对于D ，若1z =，则221a b +=，而i z +==，易得当1b =时，i z +最大，此时i 2z +=，故D 正确.故选：ABD11.已知函数()f x 的定义域为R ，x ∀、y ∈R 都有()()()()2126f xy f x f y f y x +=--+，且()01f =，则（）A.()12f -=B.()13f =C.()f x 是增函数D.()f x 是偶函数【答案】BC 【解析】【分析】通过赋值法求出函数()y f x =解析式，然后逐项判断，可得出合适的选项.【详解】令0x y ==，得()()()2210066f ff =-+=，则()13f =，令1y =，则()()()()213126323f x f x f x f x x +=--+=-+，①令1x =，则()()()()2132624f y f y f y f y +=--+=+，即()()12f x f x +=+，②联立①②可得()21f x x =+，则()1211f -=-+=-，()13f =，A 错B 对，函数()21f x x =+为增函数，且为非奇非偶函数，C 对D 错.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数的基本性质问题，解题的关键在于对x 、y 进行赋值，通过构建方程组求解函数解析式，然后利用函数的基本性质来进行判断.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}|12M x x =+≤，{}21x N x =>，则M N ⋂=___________【答案】{}|01x x <≤【解析】【分析】化简集合M ，N ，利用集合的交集的定义即可求.【详解】因为{}{}|12|31M x x x x =+≤=-≤≤，{}{}|21|0x N x x x =>=>，所以{}|01M N x x =<≤ .故答案为：{}|01x x <≤13.将平面内等边ABC 与等腰直角ABD△（其中AB 为斜边），沿公共边AB 折叠成直二面角，若2AB =，且点,,,A B C D 在同一球O 的球面上，则球O 的表面积为______.【答案】16π3【解析】【分析】利用空间几何体的外接球及球体表面积公式计算即可.【详解】如图所示取AB 中点E ，连接,DE CE ，根据题意易知,,90CE AB DE AB CED ⊥⊥∠= ，又ABD △为等腰直角三角形，ABC 为等边三角形，所以可知1,EA EB ED CE ====，易知O 点在直线CE 上，设OE h =，球半径为R ，所以()222224,33R AE OE CE h h R =+=-⇒==，故外接球O 的表面积为216π4π3S R ==.故答案为：16π314.已知实数a ，b 满足423a a +=，22log 3b +=，则32a b +=__________．【答案】1【解析】【分析】由22log 3b =可变形为()()2log 3122log 313b b +++=，故考虑构造函数()2x f x x =+，判断函数的单调性，利用单调性化简等式，由此可求,a b .【详解】因为22log 3b =，化简得()()2log 31313b b +++=．所以()()2log 3122log 313b b +++=，又242223a a a a +=+=，构造函数()2x f x x =+，因为函数2x y =，y x =在(),-∞+∞上都为增函数，所以函数()f x 在(),-∞+∞上为单调递增函数，由()13f =，∴()22log 311a b =+=，解得12a =，13b =，∴312a b +=．故答案为：1.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.滇池久负盛名，位于春城昆明，是我国西南地区最大的淡水湖，被誉为“高原明珠”．如图，为计算滇池岸边A 与B 两点之间的距离，在岸边选取C 和D 两点，现测得20km AD =，28km CD =，60DAC ∠=︒，15CAB ∠=︒，120ABC ∠=︒．（1）求AC 的长；（2）求AB 的长．【答案】（1）32km（2）326km 3【解析】【分析】（1）在ACD 中利用余弦定理可求AC 长；（2）在ABC 中利用正弦定理可求AB 长．【小问1详解】在ACD 中，有20km AD =，28km CD =，60DAC ∠=︒．由余弦定理，可得2222cos CD AD AC AD AC DAC ∠=+-⋅，即222128202202AC AC =+-⨯⨯⨯，整理可得2203840AC AC --=，解得32AC =或12AC =-（舍去），故AC 的长为32km ．【小问2详解】在ABC 中，有32km AC =，15CAB ∠=︒，120ABC ∠=︒，则1801512045ACB ∠=︒-︒-︒=︒．由正弦定理sin sin AC AB ABC ACB=∠∠，可得sin 32sin45326km sin sin1203AC ACB AB ABC ∠=︒︒==∠，即AB 的长为326km 3．16.已知函数22()ln (0)f x x ax a x a =+-≥.（1）若1x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值；（2）求函数()y f x =的单调区间.【答案】（1）1a =（2）见解析【解析】【分析】（1）利用()01f '=，解得1a =，再检验可得答案；（2）求导后，对a 分0a =和0a >讨论，根据()0f x '>可得增区间，()0f x '<可得递减区间.【详解】（1）函数定义域为(0,)+∞，2221()a x ax f x x-++'=，因为1x =是函数的极值点，所以2(1)120f a a '=+-=，解得12a =-（舍）或1a =经检验，1a =时，1x =是函数的极值点，所以1a =.（2）若0a =，1()0f x x '=>，所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无递减区间；若0a >，令(21)(1)()0ax ax f x x +-+'=>，解得10x a<<，令()0f x '<，解得1x a>，所以函数()f x 的单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.综上所述：0a =，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无递减区间；当0a >时，函数()f x 的单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了根据函数的极值点求参数，考查了分类讨论思想，考查了由导数求单调区间，属于基础题.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,,ABCD AB AD AD ⊥ BC ，1,2AP AB AD BC ====.（1）求二面角B PD C --的正弦值；（2）在棱PC 上确定一点E ，使异面直线PD 与BE 所成角的大小为60 ，并求此时点E 到平面PBD 的距离.【答案】（1）3（2）23PE PC = ，439d =【解析】【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求二面角；（2）设PE PC λ=uur uu u r，由空间向量法求异面直线所成的角得出λ，再由向量法求点面距．【小问1详解】以{},,AB AD AP 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.因为2,1BC AP AB AD ====，所以()()()()1,0,0,0,0,1,0,1,0,1,2,0B P D C ，则()()()1,0,1,0,1,1,1,1,0PB PD DC =-=-= .设平面PBD 的法向量1111(,,)n x y z = ，则11111100n PB x z n PD y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取11x =得1(1,1,1)n = ，设平面PCD 的法向量()2222,,n x y z = ，则22222200n DC x y n PD y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取21x =得2(1,1,1)n =-- ，设二面角B PD C --的大小为θ，则121cos cos ,3n n θ=== ，所以22sin 3θ==.【小问2详解】设(),2,(01)PE PC λλλλλ==-<≤ ，则()1,2,1BE PE PB λλλ=-=--+ .因为异面直线PD 与BE 所成角的大小为60 ，所以1cos 60|cos ,|2PD BE ︒=<>== ，解得23λ=或0λ=（舍去）.此时242,,333PE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以点E 到平面PBD的距离11439PE n d n ⋅=== .18.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22222:1(0)x y C a b a b-=>>的焦距之比为12．（1）求椭圆1C 和双曲线2C 的离心率；（2）设双曲线2C 的右焦点为F ，过F 作FP x ⊥轴交双曲线2C 于点P （P 在第一象限），A ，B 分别为椭圆1C 的左、右顶点，AP 与椭圆1C 交于另一点Q ，O 为坐标原点，证明：BP OP OQ OP k k k k ⋅=+．【答案】18.椭圆1C的离心率为5，双曲线2C的离心率为519.证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意结合椭圆、双曲线的方程与性质运算求解；（2）由（1）可知2103,55P a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，联立方程求点Q 的坐标，结合斜率公式分析证明.【小问1详解】椭圆1C的焦距12c =，双曲线2C的焦距22c =12=，整理得2235b a =，从而2222125c a b a =-=，2222285c a b a =+=，故椭圆1C的离心率115c e a ==，双曲线2C的离心率225c e a ==．【小问2详解】由（1）可知3,55P a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，椭圆22122:135x y C a a +=，因为(,0)A a -，所以直线AP的方程为5()5y x a =+．联立方程组22222105()5135y x a x y a a ⎧-=+⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩，整理得22(8(13(50x ax a -+-+-=，则2Q ax -=，则Q x =，可得2105()5Q Q y x a =+=，即Q ⎛⎫⎪⎪⎭，因为352105BP a k ==，352105OP a k ==，35Q OQ Q y k x ==，则1220BP OP k k +⋅==，312520OQ OP k k ++==，故BP OP OQ OP k k k k ⋅=+．【点睛】方法点睛：与弦端点相关问题的解法解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为端点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程(组)求解．19.设正整数数列1:A a ，2a ，⋯，(3)N a N >满足<i j a a ，其中1i j N ≤<≤.如果存在{2k ∈，3，⋯，}N ，使得数列A 中任意k 项的算术平均值均为整数，则称A 为“k 阶平衡数列”（1）判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？（2）若N 为偶数，证明：数列:1A ，2，3，⋯，N 不是“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈⋯（3）如果2019N a ≤，且对于任意{2,3,,}k N ∈⋯，数列A 均为“k 阶平衡数列”，求数列A 中所有元素之和的最大值．【答案】（1）2，4，6，8，10不是4阶平衡数列；1，5，9，13，17是4阶平衡数列；（2）证明见解析（3）12873．【解析】【分析】（1）由268104+++不为整数，数列1，5，9，13，17为等差数列，结合新定义即可得到结论；（2）讨论k 为偶数或奇数，结合新定义即可得证；（3）在数列A 中任意两项s a ，t a ，()s t ≠，作差可得数列中任意两项之差都是k 的倍数，{2,3,,1}k N ∈⋯-，讨论数列A 的项数超过8，推得数列A 的项数至多7项.讨论数列A 的项数为7，数列的项数小于或等于6，奇数可得所求最大值.【小问1详解】由268104+++不为整数，可得数列2，4，6，8，10不是4阶平衡数列；数列1，5，9，13，17为首项为1，公差为4的等差数列，则数列1，5，9，13，17是4阶平衡数列；【小问2详解】证明：若N 为偶数，设2(N )k m m *=∈，考虑1，2，3，⋯，k 这k 项，其和为(1)2k k S +=.所以这k 项的算术平均值为：12122S k m k ++==，此数不是整数；若k 为奇数，设21k m =+，N m *∈，考虑1，2，3，4，5，⋯2k -，1k -，1k +；这k 项，其和为(1)12k k S +'=+，所以这k 项的算术平均数为：1111221S k m k k m '+=+=+++，此数不是整数；故数列A ：1，2，3，4，⋯，N 不是“k 阶平衡数列”，其中{2,3,4,}k N ∈⋯；【小问3详解】在数列A 中任意两项s a ，t a ，()s t ≠，对于任意{2,3,4,5,,}k N ∈⋯，在A 中任意取两项s a ，t a ，相异的1k -项，并设这1k -项和为n S .由题意可得n s S a +，n t S a +都是k 的倍数，即n s S a pk +=，n t S a qk +=，(p ，q 为整数），可得()s t a a p q k -=-，即数列中任意两项之差都是k 的倍数，{2,3,,1}k N ∈⋯-，因此所求数列A 的任意两项之差都是2，3，⋯，1N -的倍数，如果数列A 的项数超过8，那么21a a -，32a a -，⋯，87a a -均为2，3，4，5，6，7的倍数，即21a a -，32a a -，⋯，87a a -均为420的倍数，(420为2，3，4，5，6，7的最小公倍数），81213287..42072940a a a a a a a a -=-+-++->⨯=，即8129402940a a >+>，这与2019N a ≤矛盾，故数列A 的项数至多7项.数列A 的项数为7，那么21a a -，32a a -，⋯，76a a -均为2，3，4，5，6的倍数，即21a a -，32a a -，⋯，76a a -均为60的倍数，(60为2，3，4，5，6的最小公倍数），又72019a ≤，且127a a a <<⋯<，所以6201960a ≤-，52019260a ≤-⨯，⋯，12019660a ≤-⨯，所以()()1272019201960201966012873a a a ++⋯+≤+-+⋯+-⨯=，当且仅当201960(7)159960(1i a i i i =--=+=，2⋯，7)，127a a a ++⋯+取得最大值12873；验证可得此数列为“k 阶平衡数列”，{2,3,,}k N ∈⋯，如果数列的项数小于或等于6，由2019N a ≤，可得数列中所有项的之和小于或等于2019612114⨯=，综上可得数列A 中所有元素之和的最大值为12873.【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论思想和化简运算能力､推理能力，属于难题.。
云南省高二下学期3月月考数学试卷(文科)
云南省高二下学期3月月考数学试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·辽宁期末) 下列命题：① “在三角形中，若 ,则”的逆命题是真命题；②“ ”的否定是“ ”；③“若”的否命题为“若，则”；其中正确的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 32. （2分） (2018高二上·抚顺期中) 已知，则“ ”是或的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分） (2020高二下·都昌期中) 已知命题：，，命题：，恒成立.若为假命题，则实数的取值范围为（）A .B . 或C . 或D .4. （2分） (2019高三上·宜昌月考) 已知等比数列的前项和为，则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2019高二上·阜阳月考) 点、为椭圆长轴的端点，、为椭圆短轴的端点，动点满足，若面积的最大值为8，面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .6. （2分） (2020高二下·林州月考) 设分别是椭圆的左右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高二上·榆林期末) 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为4，离心率为，则该椭圆的方程为（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二上·安阳开学考) 椭圆 =1过点（﹣2，），则其焦距为（）A . 2B . 2C . 4D . 49. （2分）(2017·大庆模拟) 已知条件p：|x﹣4|≤6，条件q：x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则m 的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣1]B . （﹣∞，9]C . [1，9]D . [9，+∞）10. （2分） (2018高二上·武汉期末) 已知是椭圆的左焦点， A为右顶点， P 是椭圆上的一点，轴，若，则该椭圆的离心率是（）A .B .C .D .11. （2分） (2015高二下·铜陵期中) 设F1 ， F2为椭圆左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，的值等于（）A . 0B . 1C . 2D . 412. （2分） (2017高三上·静海开学考) 已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”；命题q：“∃x0∈R，x +4x0+a=0”．若命题“p∧q”是假命题，则实数a的取值范围是（）A . （﹣∞，4]B . （﹣∞，1）∪（4，+∞）C . （﹣∞，e）∪（4，+∞）D . （1，+∞）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·苏州月考) “ ”是“ ”的________条件（填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）14. （1分）(2020·镇江模拟) 给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________．（写出所有正确命题的序号）因为所以不是函数的周期；对于定义在上的函数若则函数不是偶函数；“ ”是“ ”成立的充分必要条件；若实数满足则．15. （1分）以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为正常数，||+||=K，则动点P的轨迹为椭圆；②双曲线与椭圆有相同的焦点；③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点A（5，0）及定直线x=的距离之比为的点的轨迹方程为．其中真命题的序号为________16. （1分） (2017高二上·集宁月考) 如图所示,已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点,其纵坐标等于短半轴长的 ,则椭圆的离心率是________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2020高二上·绿园期末) 已知命题．（1）若，为真命题，求的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．18. （10分） (2017高二上·黄山期末) 设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足≤0。
云南2023-2024学年高二下学期3月月考试题 数学含答案
2022级高二年级教学测评月考卷（五）数学（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知383,48a S ==，则5a 的值为（）A ．5B ．7C ．9D ．102．设()f x 是可导函数，且()()13Δ1lim3Δx f x f x∆→--=，则()1f '=（）A ．12B ．13-C ．1-D ．3-3．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比2q =，且满足2864a a =，则6a =（）A ．16B ．8C ．4D ．24．若函数()235ln f x x x x =--的导函数为()f x '，则()0f x '>的解集为（）A ．()0,+∞B ．()51,0,2⎛⎫-+∞⎪⎝⎭C ．()1,0-D ．5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5．已知()()2,0,1,3,2,5a b =-=-，则向量b在向量a上的投影向量是（）A ．()13,2,55-B ．()13,2,538-C ．()12,0,15-D ．()12,0,138-6．过点()2,4P -作圆22:(2)(1)25O x y -+-=的切线l ，直线:40m x by -=与直线l 平行，则直线l 与m的距离为（）A ．4B ．2C ．85D ．1257．已知函数()321213f x x x ax =-++在区间[]0,4上单调递增，则实数a 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知ln3x =是函数()e x f x ax =+的极小值点，则a =（）A ．ln3B ．ln3-C ．3D ．3-二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列求导运算正确的是（）A ．若()()cos 21f x x =+，则()()2sin 21f x x '=+B ．若()23e x f x -+=，则()23e x f x -+'=C ．若()e x x f x =，则()1e xxf x ='-D ．若()ln f x x x =，则()ln 1f x x ='+10．已知数列{}n a 满足()*111,,,n n a a pa q p q n +==+∈∈R N ，设{}na 的前n 项和为nS ，则下列说法正确的有（）A ．若1,3p q =-=，则102a =B ．若1,3p q =-=，则1015S =C ．若2,1p q ==，则101024a =D ．若2,1p q ==，则102036S =11．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为e ．过2F 作其中一条渐近线的垂线，垂足为P ．已知22PF =，直线2PF 的斜率为12-，则（）A ．2b =B ．e =C ．双曲线的方程为2214y x -=D ．5542P ⎛⎫⎪⎝⎭12．已知()ln xf x x=，下列说法正确的是（）A ．()f x 在1x =处的切线方程为22y x =-B ．()f x 的单调递减区间为1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()f x 的极大值为1eD ．方程()1f x =-有1个不同的解第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知数列{}n a 满足112a =，且141n n n a a a +=+，则n a =_______．14．函数()f x 的导函数为()f x '，满足关系式()()2233ln f x x xf x '=+-，则()3f '的值为_______．15．已知直线l 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，与C 相交于,A B 两点，且10AB =．若线段AB 的中点的横坐标为3，则焦点F 的坐标为_______；直线l 的斜率为_______．（第一空2分，第二空3分）16．定义在R 上的奇函数()f x 的导函数满足()()f x f x '<，且()()21f x f x +=-，若()2023e f =-，则不等式()e x f x <的解集为_______．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()*4211n n S n a n =++∈N ．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（ⅡII ）记12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）已知函数()32,f x x ax a =+∈R ，且()15f '-=．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的极值．19．（本小题满分12分）给出以下三个条件：①515S =；②139,,a a a 成等比数列；③623a a =．请从这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成作答．若选择多个条件分别作答，以第一个作答计分．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为1,1n S S =，_______．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若13nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，令n n n a c b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．20．（本小题满分12分）已知函数()()32,f x x ax bx a b =++∈∈R R ，其图象在点()1,4处的切线方程为4y =．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求函数()f x 在区间1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值．21．（本小题满分12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率2e =，且椭圆C 的短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 过点10,2D ⎛⎫⎪⎝⎭，且与椭圆C 相交于,M N 两点，又点P 是椭圆C 的下顶点，当PMN △面积最大时，求直线l 的方程．22．（本小题满分12分）已知函数()()e 2,ln 1,x f x g x ax x a =-=+-∈R ．（Ⅰ）讨论函数()g x 的单调性；（Ⅱ）设()()()h x f x g x =-，若()h x 存在零点，求实数a 的取值范围．2022级高二年级教学测评月考卷（五）数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案BCADCADD【解析】因为在等差数列{}n a 中，318123,82848a a d S a d =+==+=，解得12,1d a ==-，故514187a a d =+=-+=，故选B ．2．()()()()()Δ0Δ013Δ113Δ1lim3lim 313Δ3Δx x f x f f x f f x x→→----=-'=-=-，则()11f '=-，故选C ．3．因为等比数列{}n a 的各项均为正数，公比2q =，且满足28281264a a a =⨯=，所以112a =，则556112162a a q ==⨯=，故选A ．4． 函数()235ln f x x x x =--的导函数为()()55,23,0,230f x f x x x x x x∴=-->∴--'>'，解得52x >，故选D ．5．因为()()2,0,1,3,2,5a b=-=- ，则向量b 在向量a上的投影为5a b a⋅==，所以向量b 在向量a()112,0,155a a a ⨯=⨯==- ，故选C ．6．由条件知点()2,4P -在圆O 上， 直线OP 的斜率为413,224-=-∴--切线l 的斜率为43，即直线l 方程为()4423y x -=+，整理得：43200,x y -+= 直线:40m x by -=与直线l 平行，3,b ∴=∴直线m 方程为430x y -=，则直线l 与m 的距离为4=，故选A ．7．因为()321213f x x x ax =-++在区间[]0,4上单调递增，所以()240f x x x a =-+≥'在[]0,4上恒成立，又当[]0,4x ∈时，函数224(2)4y x x x =-+=--+，在2x =时取得最大值4，所以()2max44a x x ≥-+=，所以a 的最小值为4，故选D ．8．因为()e x f x ax =+，所以()e x f x a '=+．因为ln3x =是()f x 的极小值点，所以()ln330f a =+='，解得3a =-．当3a =-时，()e 3x f x '=-，当ln3x >时，()()0,f x f x '>单调递增；当ln3x <时，()()0,f x f x '<单调递减，所以3a =-时，ln3x =是()f x 的极小值点，故3a =-，故选D ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案CDABDABCCD【解析】9．若()()cos 21f x x =+，则()()2sin 21f x x =-+'，故A 错误；若()23e x f x -+=，则()232e x f x -+=-'，故B 错误；若()e x xf x =，则()()()2e e 1e e x x x x x x x f x '''⋅-⋅-==，故C 正确；若()ln f x x x =，则()1ln (ln )ln 1ln f x x x x x x x x x'=⋅+⋅=+⋅=+''，故D 正确，故选CD ．10．对于A ，B ，若1,3p q =-=，则1213,3n n n n a a a a ++++=+=，两式相减可得2n n a a +=，{}n a ∴为周期2的周期数列，121,2a a ==，则1022a a ==，故A 正确；()101255315S a a =+=⨯=，故B 正确；对于C ，D ，若2,1p q ==，则121n n a a +=+，可得()11121,12,n n a a a ++=++=∴ 数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，12nn a ∴+=，则101021,211023nn a a =-∴=-=，故C 错误；()101021210203612S -=-=-，故D 正确，故选ABD ．11．设过()2,0F c 与一条渐近线0bx ay -=垂直的直线为l ，则l 的方程为()ay x c b=--，与0bx ay -=联立可得2,a ab P cc ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为22PF ==，又()2,0F c ，得212ab ca cc-=-，联立得：1,2a b ==，则c ==，所以离心率为c a =，双曲线的标准方程为221,,455y x P ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故选ABC ．12．对于A ，由()ln (0)x f x x x =>，得()()21ln ,10xf x f x '-==，则()11f '=，所以()f x 在1x =处的切线方程为1y x =-，故A 错误；对于B ，由()0f x '<，得1ln 0,e x x -<>，所以()f x 的单调递减区间为()e,+∞，故B 错误；对于C ，由()0f x '=，得e x =，当0e x <<时，()0f x '>，当e x >时，()0f x '<，所以当e x =时，()f x 取得极大值()1e e f =，故C 正确；对于D ，由C 选项可知()f x 的最大值为1e，且当0e x <<时，()1e f x <；当e x >时，()ln 0xf x x=>，所以函数()y f x =与1y =-的交点个数为1，所以()1f x =-有1个解，故D 正确，故选CD ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案142n -5-()2,0;2±{}()01,+∞ 【解析】13．对141n n n a a a +=+两边同时取倒数，所以114114n n n n a a a a ++==+，则1114n n a a +-=，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以112a =为首项，4为公差的等差数列，所以()124142n n n a =+-=-，所以142n a n =-．14．由()()2233ln f x x xf x '=+-进行求导得：()()3223f x x f x ''=+-，可得：()()336233f f ='-'+，解得()35f '=-．15．抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，如图1，令()()1122,,,A x y B x y ，由10AB =，可得()12121022p p AB AF FB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又1232x x +=，则126x x +=，则4p =，此时抛物线2:8C y x =，其焦点()2,0F ．由题意可得直线l 的斜率存在，则其方程可设为()2y k x =-，由()22,8,y k x y x ⎧=-⎨=⎩整理得()22224240k x k x k -++=，则()21221242,4,k x x k x x ⎧+⎪+=⎨⎪=⎩则10，即10=，即10=，解得2k =±．16．()()()()()()()1121,2,42f x f x f x f x f x f x f x ⋅+=-∴+=-∴+=-=+ ，即()f x 的周期为4，()()()()2023e,20231e,f f f f x =-∴=-=- 是定义在R 上的奇函数()f x ，()1e f ∴=．①()0f x ≠时，令()()()()()()(),,e e x x f x f x f x g x g x f x f x -='='<' ，()()()0e xf x f xg x -∴='<'，即()g x 单调递减，()()()()111,11,1ef g g x g x ===∴ ，∴不等式()e x f x <的解集为()1,+∞；②0x = 时，()000e 1,0f x =<=∴=时，不等式成立．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）因为()4211n n S n a =++，令1n =得11a =，因为()4211n n S n a =++，所以()()1142112n n S n a n --=-+≥，两式相减得()()()1421212n n n a n a n a n -=+--≥，即()()12321n n n a n a --=-．所以()121223n n a n n a n --=≥-，所以2312135211323n n a a a n a a a n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-，即121na n a =-，所以当2n ≥时，21n a n =-，又11a =，所以21n a n =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()()1221121212121n n n b a a n n n n +===--+-+，所以111111121133521212121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）已知()32,f x x ax a =+∈R ，函数定义域为R ，可得()232f x x ax '=+，因为()15f '-=，所以325a -=，解得1a =-，此时()()322,32f x x x f x x x '=-=-，易知()()10,11f f '==，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()011y x -=⨯-，即10x y --=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()()32f x x x '=-，当0x <时，()()0,f x f x '>单调递增；当203x <<时，()()0,f x f x '<单调递减；当23x >时，()()0,f x f x '>单调递增，所以当0x =时，函数()f x 取得极大值，极大值()00f =；当23x =时，函数()f x 取得极小值，极小值32222433327f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）若选①515S =，111,1S a =∴= ，5154551015,12S a d d d ⨯∴=+=+=∴=，()11n a n n ∴=+-=．若选②139,,a a a 成等比数列，2319a a a ∴=，又111,1S a =∴= ，()()2211128,(12)18a d a a d d d ∴+=+∴+=+，解得0d =或1，又0,1d d ≠∴= ，()11n a n n ∴=+-=．若选③623a a =，()1153a d a d ∴+=+，又111,1S a =∴= ，()1531d d ∴+=+，解得1d =，()11n a n n ∴=+-=．（Ⅱ）1,3nn n a n b ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，3nn n n a c n b ∴==⋅，1231323333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++⋅ ，234131323333n n T n +∴=⨯+⨯+⨯++⋅ ，两式相减得231233333nn n T n +-=++++-⋅ ()()1131333133132n n n n n n ++--=-⋅=-⋅-，13113422n n T n +⎛⎫∴=+-⋅ ⎪⎝⎭．20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()232f x x ax b =++'，所以()f x 在点()1,4处切线的斜率为()132k f a b ==++'，因为切线方程为4y =，所以切线的斜率为0，且()14f =，所以320,14,a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得6,9a b =-=，所以()3269f x x x x =-+．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()3269f x x x x =-+．()()()23129313f x x x x x =-+=--'，令()0f x '=得1x =或3，所以在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上()()0,f x f x '>单调递增，在()1,3上()()0,f x f x '<单调递减，在()3,5上()()0,f x f x '>单调递增，所以1x =处()f x 取得极大值()14f =，3x =处()f x 取得极小值()30f =，又321111256922228f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()3255659520f =-⨯+⨯=，所以()f x 在1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为20，最小值为0．21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得：3,222,c a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得1,b c =⎧⎪⎨=⎪⎩则222134a b c =+=+=，∴椭圆C 的方程为2214x y +=．（Ⅱ）如图2，由（Ⅰ）可知()10,1,0,2P D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，图232PD ∴=，由题意可知直线斜率必存在，设直线1:2l y kx =+，设()()1122,,,M x y N x y ，联立221,21,4y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理可得：()2214430k x kx ++-=，()22Δ1612410k k =++>，12122243,4141k x x x x k k -+=-=++，12214x x k∴-===+，1222113322214214PMN S PD x x k k ∴=⋅-=⨯⨯=⋅++△，(m m =≥，可得22344m k -=，221144m k +∴+=，则2236611214PMN m m S m m m m =⋅==+++△，又1y m m =+在)+∞上单调递增，∴当m ==0k =时，PMN △面积最大．此时直线1:2l y =．22．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由()()1ln 1,0,,g x ax x x a g x a x=+->∈=+'R ，当0a ≥时，()10g x a x=+>'，函数()g x 在()0,+∞上单调递增，当0a <时，令()10g x a x =+='，解得1x a =-，当10x a <<-时，()0g x '>，当1x a>-时，()0g x '<，所以函数()g x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，综上，当0a ≥时，函数()g x 在()0,+∞上单调递增，当10,0a x a <<<-时，函数()g x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．（Ⅱ）令()()()0h x f x g x =-=，得e ln 1x x a x--=，令()e ln 1,0x x H x x x--=>，则()()()221e e ln 11e ln x x x x x x x x H x x x⎛⎫---- ⎪'-+⎝⎭==，当01x <<时，()0H x '<，当1x >时，()0H x '>，所以函数()H x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以当1x =时，()H x 取最小值()1e 1H =-，因为()h x 存在零点，即方程e ln 1x x a x--=有实数根，所以e 1a ≥-．即实数a 的取值范围为[)e 1,-+∞．。
云南省高二下学期3月月考数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则下列说法正确的是（ ）{|03}A x x =<<{|4}B x x =<A ．B ．C ．D ． A B ⊄B A ⊆A B ⊆A B ∈【答案】C【分析】利用集合间的包含关系，结合数轴法即可得解.【详解】因为，，{|03}A x x =<<{|4}B x x =<所以由数轴法可知.A B ⊆故选：C ．2．在复平面内，复数对应的点位于（ ） 1i i -+A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【分析】利用复数除法法则得到，从而确定所在象限. 1i 1i i-+=+【详解】，故在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限. ()()()1i i 1i 1i i i i -+⋅--+==+⋅-1i i-+()1,1故选：A 3．数列2，－4，6，－8，…的通项公式可能是（ ）A ．B ．C ．D ．)(12n n a n =-)(112n n a n +=-)(12n n n a =-)(112n n n a +=-【答案】B【分析】根据题意，分析数列各项变化的规律，即可得答案．【详解】根据题意，数列2，，6，，，4-8-⋯其中，，，，11212a =⨯⨯=2(1)224a =-⨯⨯=-31236a =⨯⨯=2(1)248a =-⨯⨯=-其通项公式可以为，1(1)2n n a n +=-⨯故选：．B 4．函数，若，则实数a 的值为（ ） ()21ax x f x =+()10f '=A ．B ．C ．1D ．－1 1212-【答案】A【分析】先对求导，再由得到关于的方程，解之即可.()f x ()10f '=a 【详解】因为，所以，， 21()f x ax x =+0x ≠21()2f x ax x'=-+因，所以，故. ()10f '=212101a -+⨯=12a =故选：A. 5．设向量的模长为1，则（ ）cos a α⎛= ⎝ cos 2=αA ．0B ．C ． D12-12【答案】B【分析】根据向量的模长公式，结合余弦的二倍角公式，可得答案.【详解】，则， 1=21cos 2α=. 2211cos 22cos 12122αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭故选：B.6．直线与圆相切，则34x y b +=222210x y x y +--+=b =A ．-2或12B ．2或-12C ．-2或-12D ．2或12【答案】D【详解】∵直线与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，∴＝1或12,故选D.【解析】本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用.7．已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a 的取值{}n a ()()*638,6N ,6n n a n n a n a n -⎧--≤=∈⎨>⎩{}n a 范围是（ ）A ．B ．C ．D ． ()2,3[)2,310,37⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,3【答案】C【分析】首先分别确定每段的单调性，然后结合可得答案.76a a >【详解】当时，有，即；当时，有，6n ≤30a ->3a <6n >1a >又，即，综上，有， 76a a >106a a >-1037a <<8．已知定义在R 上的函数满足，且，当时，()f x ()()110f x f x ++-=()()f x f x -=12x <≤，则（ ）()21x f x =-()2022f =A ．－1B ．－3C ．1D ．3【答案】D【分析】由已知条件变形可得函数的周期为4，然后利用函数周期结合已知的解析式可求得答案【详解】，得，()()110f x f x ++-=()()11f x f x +=--∴，()()()2f x f x f x +=--=-∴()()42()f x f x f x +=-+=∴的周期为4，()f x ∴， ()()220222213f f ==-=故选：D ．二、多选题9．关于双曲线与双曲线下列说法正确的是（ ） 221:132x y C -=222:123y x C -=A ．它们的实轴长相等B ．它们的渐近线相同C ．它们的离心率相等D ．它们的焦距相等【答案】BD【解析】根据两个双曲线分别求解四个选项中的性质，再比较，判断选项.【详解】双曲线，，，实轴长，渐近线方程221:132x y C -=223,2a b ==2225c a b =+=2a =，离心率 y x ==c e a ===2c =双曲线，，，实轴长222:123y x C -=222,3a b ==2225c a b =+=2a =y x ==，离心率 c e a ===2c =综上比较，可知两个双曲线的渐近线，焦距相等.10．将函数图象向左平移个单位后，所得图象关于原点对称，则的值可能为()()sin 2f x x ϕ=+π8ϕ( )A ．B ．C ．D ． π2-π4-3π83π4【答案】BD【分析】根据图象平移求出平移后函数解析式，根据正弦型函数的对称性即可求出的值．ϕ【详解】平移后得到函数解析式为， ()ππsin 2sin 284g x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∵g (x )图象关于原点对称，即g (x )是奇函数，∴， ()π0sin 04g ϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∴，∴． ()ππ4k k ϕ+=∈Z ()ππ4k k ϕ=-∈Z 当k ＝0时，φ＝；当k ＝1，φ＝． π4-3π4故选：BD ．11．设等差数列的前n 项和为，公差为d ，已知，，，则下列结论正确{}n a n S 312a =120S >130S <的有（ ）A ．B ． 670a a +<70a <C ．d 可以取负整数D ．对任意，有 N*n ∈6n S S ≤【答案】BD【解析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可判断出结论．【详解】因为， 12112111202S a d ⨯=+⋅>131********S a d ⨯=+⋅<所以，112110,60a d a d +>+<即6770,0,a a a +><所以，60a >由得，312a =1122a d =-联立可解得 ， 112110,60a d a d +>+<2437d -<<-故等差数列是单调递减的，且，{}n a 60a >70,a <综上可知BD 正确，故选：BD【点睛】关键点点睛：由，解得，是求解本题的关键所在，由此结合条120S >130S <60a >70a <件求出的范围，判断数列的单调性，求出，属于中档题.d 6n S S ≤12．已知函数 ，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都()()e x f x x a -=-()y f x =与y 轴垂直，则实数a 的值可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 21e -212e -213e -21e 【答案】BC【分析】理解题意就是函数 的导函数存在两个不同的零点，讨论导函数的图像即可.()f x 【详解】∵曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直， ()y f x =∴ 有两个不同的解，()'e e 0x x f x a x --=-+=即得 有两个不同的解， ()1e xa x -=-即的图象与 的图象有两个不同的交点，y a =()1e x y x -=- ，()'2e x y x -=-∴当时， ， 单调递减； 2x <'0<y ()1e xy x -=-时， ， 单调递增，2x >'0>y ()1e x y x -=-∴时，y 取得最小值 ，2x =2e --又当时，，1x >0y <函数图象如下：∴当 时，的图象与 的图象有两个不同的交点，2e 0a --<<y a =()1e x y x -=-结合选项可得实数a 的值可能是 ， ； 1-1-故选：BC ．三、填空题13．质点M 按规律做直线运动（位移单位：m ，时间单位：），则质点M 在时()()21s t t =-s 3s t =的瞬时速度为___________．【答案】4m /s 【分析】对进行求导，再将的值代入，即可得答案.()()21s t t =-3t =【详解】因为，所以，所以， ()()21s t t =-()()21s t t '=-()34s '=所以质点在时的瞬时速度为.M 3t s =4m /s 故答案为：.4m /s14．若“”是的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为_______________． m a >【答案】0【分析】先由集合与充分必要的关系得到是的真子集，从而利用数轴法得到23m m ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭{}m m a >，由此得解. 23<a【详解】因为“”是的必要不充分条件， m a >所以是的真子集， ≥{}m m a >， 23m ≥所以是的真子集， 23m m ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭{}m m a >所以， 23<a 所以实数a 能取的最大整数为.0故答案为：.015．过抛物线M ：焦点的直线交抛物线M 于A ，B 两点，若线段AB 的中点P 到M 的准线216y x =的距离等于9，则__________．AB =【答案】18【分析】利用中点坐标公式与点线距离公式求得，再利用抛物线的焦半径公式求解即可．12x x +【详解】因为抛物线M ：，所以记抛物线M 的焦点为F ，抛物线准线方程为，216y x =M 4x =-设，，，则， ()11,A x y ()22,B x y 120,0x x >>1212,22x x y y P ++⎛⎫ ⎪⎝⎭所以点P 到M 的准线的距离为， 12492x x ++=所以，1210x x +=由抛物线定义知：，，14AF x =+24BF x =+则12818AB AF BF x x =+=++=故答案为：．1816．如图，在直三棱柱的侧面展开图中，B ，C 是线段AD 的三等分点，且111ABC A B C -AD =．若该三棱柱的外接球O 的表面积为12π，则_______________．1AA =【答案】【分析】根据正三棱柱得性质，确定外接球的球心，利用球的表面积公式以及勾股定理，可得答案.【详解】由该三棱柱的外接球O 的表面积为12π，设外接球得半径为，则，解得r 24π12πr =，r 由题意，取上下底面三角形得中心，分别为，得中点即为外接圆圆心，作图如下：,E F EF O则，平面，，OC r ==EF ⊥ABC 12EF AA OF ==在等边中，， ABC A 2sin 6013CF BC =⋅⋅=在中，，Rt OFC △OF ==12AA OF ==故答案为：四、解答题17．在中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知．ABC A ()5cos 3cos cos a A c B b C =+(1)求；tan A (2)若，且的面积为4，求的周长．5c =ABC A ABC A 【答案】(1)43(2)7【分析】（1）根据正弦定理及题中条件，可得，从而化简整理，结()5sin cos 3sin 3sin A A B C A =+=合三角函数的基本关系式即可得解．（2）由的面积为4，结合（1）中结论，可得，结合余弦定理，可得ABC A 2b =a =求的周长．ABC A 【详解】（1）由及正弦定理得， ()5cos 3cos cos a A c B b C =+，()()5sin cos 3sin cos sin cos 3sin 3sin A A C B B C B C A =+=+=又，则，∴， 0πA <<sin 0A >3cos 5A =∴，∴. 4sin 5A ==si ta 4s n n co 3A A A ==（2）∵的面积为，∴. ABC A 14sin 54225b bc A =⨯⨯=2b =由余弦定理得，∴22232cos 42520175a b c bc A =+-=+-⨯=a故的周长为ABC A 257+=+18．某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分是7．(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；(2)现在要从第6小组的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知该组学生a 、b 的成绩均很优秀，求两人至少有1人入选的概率．【答案】(1)人36(2)1121【分析】（1）根据频率分布直方图求出第小组的频率，即可求出总人数，继而求出这次铅球测试6成绩合格的人；（2）记第6小组的学生分别为，一一列出所有的基本事件，并找出其中至少有,,,,,,a b c d e f g ,a b 1人入选的基本事件，从而得解．【详解】（1）依题意，第6小组的频率为，()10.040.100.140.280.300.14-++++=所以此次测试总人数为（人）， 7500.14=又第4、5、6组成绩均合格，所以这次铅球测试成绩合格的人数为（人）.()0.280.300.145036⨯++=（2）记第6小组的学生分别为，,,,,,,a b c d e f g 则选出的2人所有可能的情况为,,,,,,ab ac ad ae af ag ，共21种，,,,,,,,,,bc bd be bf bg cd ce cf cg ,,,,,de df dg ef eg fg 其中至少有1人入选的情况有，共11种，,a b ,,,,,,ab ac ad ae af ag ,,,,bc bd be bf bg 所以两人至少有1人入选的概率为. ,a b 1121P =19．在公比为2的等比数列中，，，成等差数列.{}n a 2a 3a 44a -(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，求数列的前项和.log b a ={}a b n n T【答案】(1)2n n a =(2)12n n T n +=⋅【分析】（1）根据等比数列的通项公式，结合等差数列的性质进行求解即可；（2）运用错位相减法进行求解即可.【详解】（1）因为成等差数列，234,,4a a a -所以，23324111124222242a a a a a a a +-⇒⋅=⋅+⋅-⇒==因此；1222n n n a -=⋅=（2）由（1）可知：，2n n a =所以，则，2log 2n n n b ==11n b n +=+1(1)2n n n a b n +=+⋅所以①，23223242(1)2n n T n =⨯+⨯+⨯+++⨯ ②，234122232422(1)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯ ①-②得，，化简得，解得，2314(222)(1)2n n n T n +-=++++-+⨯ 11424(1)212n n n T n ++--=+-+⨯-12n n T n +=⋅20．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AD BD ，AB ＝2AD ，且PD ⊥底面⊥ABCD ．(1)证明：平面PBD ⊥平面PBC ；(2)若二面角P －BC －D 为，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值． π6【答案】(1)见解析【分析】（1）根据平行线的性质以及线面垂直的判定定理，结合线面垂直性质定理以及面面垂直性（2）由题意，建立空间直角坐标系，利用二面角的定义以及勾股定理，求得棱长，写出点的坐标，求得平面的法向量，根据计算公式，可得答案.【详解】（1）在平行四边形中，，，，ABCD //AD BC AD BD ⊥ BC BD ∴⊥平面，平面，， PD ⊥ ABCD BC ⊂ABCD PD BC ∴⊥，平面，平面，PD BD D ⋂= ,PD BD ⊂PDB BC ∴⊥PDB 平面，平面平面. BC ⊂ PBC ∴PBD ⊥PBC （2）由题意，建立空间直角坐标系，如下图所示：设，则，在中，，1AD =2AB =Rt △ABD BD ==平面，平面，，CB ⊥ PDB PB ⊂PDB CB PB ∴⊥，平面，平面，BD CB ⊥ PB ⊂PBC BD ⊂ABCD 在二面角的平面角，即， PBD ∴∠P BC D --π6PBD ∠=在中，， Rt PDB A sin 1PD BD PBD =÷∠=在平行四边形中，，ABCD 1AD BC ==则，，，，()1,0,0A ()B ()C -()0,0,1P ，，，()1,0,1AP =-()0,BP =()1,CP = 设平面的法向量为，PBC (),,n x y z =则，即，化简可得，00n BP n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00z x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩0x z =⎧⎪⎨=⎪⎩令，的一个法向量，1y=z =PBC (n =设与平面的夹角为，AP PBC θsin θ21．设椭圆C ：的离心率为，且与直线相切．()222210x y a b a b+=>>12y x =(1)求椭圆C 的方程；(2)若在y 轴上的截距为2的直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且直线OA ，OB 的斜率之和等于12，求直线AB 的方程．【答案】(1)22143x y +=(2) 22y x =-+【分析】（1）由离心率的值可得，，从而将椭圆的方程化为，将直线2a c =223b c =C 2222143x y c c+=可求出的值，由此得解；y x =Δ0=c （2）分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将AB AB 2y kx =+()11,A x y ()22,B x y 直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可求得的值，AB C k 从而得到直线的方程. AB 【详解】（1）由有，， 12c e a ==2a c =22223b a c c =-=则椭圆方程为，整理为：，2222143xy c c+=2223412x y c +=联立方程，消去得，2223412x y cy x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩y22728120x c ++-=故有，解得（负值舍去）． (()222828120c ∆=-⨯-=1c =故所求椭圆方程为：；22143x y +=（2）若直线垂直于轴，则、的斜率都不存在，不合乎题意. AB x OA OB 设直线的方程为，设点、，AB 2y kx =+()11,A x y ()22,B x y 联立， ()22222341640143y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒+++=⎨+=⎪⎩由或，()()22116163402k k k '∆=-+>⇒>12k <-所以，， 1221634k x x k +=-+122434x x k =+则， ()()()12211212121212222162226124OA OB kx x kx x x x y y kk k k k k x x x x x x ++++-+=+==+=+⋅=-=解得，故直线的方程为．2k =-AB 22y x =-+22．已知函数．()2ln 2f x x ax x ax =+-（1）若是函数的一个极值点，求的单调区间； 1x =()f x ()f x （2）若函数在区间上是增函数，求实数a 的取值范围．()f x ()1,+∞【答案】（1）的单调减区间为，单调增区间为（2）()f x ()0,1()1,+∞22e ,2⎡⎤-⎣⎦【分析】（1）根据是函数的一个极值点，得可求得a ，再分析的正负，得1x =()f x ()'10f =()'f x 的单调性；()f x （2）要使在上是增函数，则需对成立，分类讨论在()f x ()1,+∞()'2ln 0f x x a x a =+-≥1x >()'f x 的单调性，并且满足在的最小值大于或等于0，可求得范围.[)1,+∞()'f x [)1,+∞【详解】（1）的定义域为，．()f x ()0,∞+()'2ln 22ln f x x a x a a x a x a =++-=+-是的一个极值点， 1x = ()f x ，，()'120f a ∴=-=2a ∴=．()()'22ln 221ln f x x x x x ∴=+-=-+时，，，．01x <<Q 10x -<ln 0x <()'0f x ∴<时，，，．1x >Q 10x ->ln 0x >()'0f x ∴>的单调减区间为，单调增区间为．()f x \()0,1()1,+∞（2）在上是增函数，对成立，()f x ()1,+∞()'2ln 0f x x a x a ∴=+-≥1x >令，()()'2ln g x f x x a x a ==+-则，．()'220a x a g x x x+=+=>2a x >-，时，在上是增函数，只要，． 12a∴-≤2a ≥-()g x [)1,+∞()120g a =-≥22a ∴-≤≤当时，在上是减函数，在上是增函数，只要．2a <-()g x 1,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭02a g ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭即，，．ln 02a a a a ⎛⎫-+--≥ ⎪⎝⎭ln 22a ⎛⎫∴-≤ ⎪⎝⎭22e 2a ∴-≤<-综上a 的取值范围是．22e ,2⎡⎤-⎣⎦【点睛】本题考查函数的极值点就是导函数为零的点，利用导函数的正负研究原函数的单调性，和知原函数的单调性求参数的值的问题，解题时紧抓住导函数的正负反应了原函数的单调性的这一特点，属于难度题.。
云南高二下学期3月月考数学试题(解析版)
一、单选题1．已知全集，集合和（ ） {2,1,0,1,2}U =--{0,1,2}M =(){1,1},U N M N =-= ðA ． B ．C ．D ．{1}{}1-{2,0,2}-{2,1,0,1}--【答案】B【分析】根据集合补集、交集的定义进行求解即可.【详解】由题意知，， (){2,1},{1}U U M M N =--=- ðð故选：B2．（ ） (1i)(2i)++=A ． B ． 1i -13i +C ． D ．3i +33i +【答案】B【分析】直接利用复数的乘法计算得解.【详解】解：由题意. 2(1i)(2i)23i i 13i ++=++=+故选：B.3．河北定州中学数学建模社团开展劳动实习，学习加工制作糖果包装盒.现有一张边长为10的cm 正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成底面边长为6的正六棱柱无盖cm 包装盒，则此包装盒的体积为（ ）3cmA ．648B ．324C ．162D ．108【答案】B【分析】利用正六边形的性质求出正六棱柱的高，再根据棱柱的体积：即可求解.V S h =⋅底【详解】如图：由正六边形的每个内角为， 23π按虚线处折成底面边长为6的正六棱柱，即， cm 6AB =所以，即正六棱柱的高为1062,tan 602BE BF BE -====所以正六棱柱体积：.16663242V =⨯⨯⨯=故选：B4．已知正数，满足，则的最小值为（ ） a b 1a b +=19a b+A ．6 B ．12C ．16D ．20【答案】C 【解析】根据，展开利用基本不等式即可求解. ()1919a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭【详解】由正数，满足， a b 1a b +=则， ()19199191016b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时，取等号，3b a =13,44a b ==所以的最小值为16. 19a b+故选：C【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 5．两条直线，之间的距离为（ ） 32y x =64130x y -+=ABCD ．13【答案】B【分析】化简两条直线的方程，再利用平行线间的距离公式，即可得答案； 【详解】两条直线的方程分别为：，， 320xy -=133202x y -+=两条直线之间的距离， ∴d ==故选：B.【点睛】本题考查平行线间的距离公式，考查运算求解能力，求解时注意将直线方程的系数化,A B 成相同.6．已知，则的值为（ ）sin 4cos 0αα+=tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ． B ． C ．D ． 45-354535-【答案】D【分析】求出的值，利用两角和的正切公式可求得结果.tan α【详解】因为，则，因此，. sin 4cos 0αα+=tan 4α=-tan 1413tan 41tan 145πααα+-+⎛⎫+===- ⎪-+⎝⎭故选：D.7．设四边形为平行四边形，若点，满足，，ABCD M N 3,2BM MC DN NC == x N y M AB AD =+则（ ） A ．， B ．， 13x =-14y =14x =13y =C ．，D ．，13x =14y =-13x =14y =【答案】A【分析】根据向量的线性运算法则和平面向量的基本定理，得到，即可求解.1134MN AB AD =-+【详解】由题意，在四边形为平行四边形，若点，满足， ABCD M N 3,2BM MC DN NC ==可得，1134MN MC CN AB AD =+=-+又由，所以，.x N y M AB AD =+ 13x =-14y =故选：A ．8．已知函数在上是增函数，则的取值范围是（ ）()22()log 3f x x ax a =-+[2,)+∞a A ． B ． C ． D ．(,4]-∞(,2]-∞(4,4]-(4,2]-【答案】C【分析】若函数f （x ）=log 2（x 2﹣ax+3a ）在[2，+∞）上是增函数，则x 2﹣ax+3a ＞0且f （2）＞0，根据二次函数的单调性，我们可得到关于a 的不等式，解不等式即可得到a 的取值范围． 【详解】若函数f （x ）=log 2（x 2﹣ax+3a ）在[2，+∞）上是增函数， 则当x ∈[2，+∞）时，x 2﹣ax+3a ＞0且函数f （x ）=x 2﹣ax+3a 为增函数 即，f （2）=4+a ＞0 22a≤解得﹣4＜a≤4 故选C ．【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调区间，其中根据复合函数的单调性，构造关于a 的不等式，是解答本题的关键．二、多选题9．以下对概率的判断正确的是（ ）A ．在大量重复试验中，随机事件的概率是频率的稳定值B ．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为 23C ．甲、乙两人玩石头，剪刀，布的游戏，则玩一局甲不输的概率是13D ．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是 12【答案】ABD【解析】利用概率定义判断选项A 的正误，利用古典概型概率的计算判断选项BD 的正误，利用互斥事件的和事件的概率计算判断选项C 的正误即可.【详解】选项A 中，随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故正确； 选项B 中，从甲、乙、丙三人中任选两名代表，共有甲乙、乙丙、甲丙这3中取法，其中2中有甲，故甲被选中的概率为，故B 正确；23选项C 中，甲、乙两人玩石头，剪刀，布的游戏，玩一局，结果有三种：甲赢，甲输，两人一样（和局），且概率各为，故甲不输的概率为，故错误；13112333+=选项D 中，从三件正品、一件次品中随机取出两件，设 “取出的产品全是正品”为事件A ，则，故正确.232431()62C P A C ===故选：ABD.10．已知函数，则（ ）()2sin(3)6f x x π=-A ．的最大值是2B ．的最小正周期为()f x ()f x 3πC ．在上是增函数D ．的图像关于点对称 ()f x 06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()f x (0)6π，【答案】AC【分析】对A ，由函数的解析式即可求出函数的最大值，对B ，D 根据正弦函数的周期与对称中心公式，整体代入即可判断；对C ，先求出的单调递增区间，即可判断. ()f x 【详解】解：对A ，，()2sin(3)6f x x π=- 故当时，，故A 正确；sin(316x π-=max ()2sin(3)26f x x π=-=对B ，的最小正周期，故B 错误； ()f x 223T ππω==对C ，令，232,262k x k k z πππππ-+≤-≤+∈解得：， 222,9393k k x k z ππππ-+≤≤+∈故的单调递增区间为：， ()f x 222,,9393k k k z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦当时，的一个单调递增区间为：，0k =()f x 2,99ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故在上单调递增，故C 正确；()f x 06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，对D ，令，3,6x k k z ππ-=∈解得：， ,183k x k z ππ=+∈故的对称中心为：， ()f x ,0183k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭令， 6x π=即， ,6183k k z πππ=+∈解得：，13k z =∉故不是的对称中心，故D 错误. (0)6π()f x 故选：AC.11．已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） ()211a =--，，()345b = ，，A ．B()56a a b ⊥+C ．D ．在上的投影向量为 ()2//a b a +a b 3211052⎛⎫--- ⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】根据向量平行、垂直的坐标表示可判断AC ；直接求向量的模可判断B ；分别求出在a b上的投影和与同向的单位向量，然后根据投影向量的定义计算可判断D.b【详解】因为 56(10,5,5)(18,24,30)(8,19,35)a b +=--+=所以， (56)(2,1,1)(8,19,35)1619350a a b ⋅+=--⋅=--+=所以，A 正确；(56)a ab ⊥+因为，所以B 正确；5a == =，因为，所以与不平行，故C 错误；2(1,2,7)a b +=-211127--≠≠-2a b + a 在上的投影，与同向的单位向量为， a ba b b⋅==bb b = 所以在上的投影向量为，D 正确. a b 321(,,)1052=---故选：ABD12．为预防流感病毒，我校每天定时对教室进行喷洒消毒.当教室内每立方米药物含量超过0.25mg 时能有效杀灭病毒.已知教室内每立方米空气中的含药量（单位：mg ）随时间（单位：h ）的变y x 化情况如图所示：在药物释放过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为：y x y x （为常数），则下列说法正确的是（ ） ay x=aA ．当时， 00.2x ≤≤5y x =B ．当时， 0.2x >15y x=C ．教室内持续有效杀灭病毒时间为小时 45D ．喷洒药物3分钟后开始进行有效灭杀病毒 【答案】ABD【解析】A. 根据在药物释放过程中，与成正比,设,由过判断；B. 根据药物释放完y x y kx =()0.2,1毕后，与的函数关系式为：（为常数），由过判断；C. 由时，y x ay x=a ()0.2,100.2x ≤≤，当时，，分别计算出持续时间相加；D. 由时，50.25y x =>0.2x >10.255y x=>00.2x ≤≤计算判断.50.25y x =>【详解】A. 在药物释放过程中，与成正比,设,当， 时， ，所以y x y kx =0.2x =1y =5k =5y x =，故正确；B. 因为药物释放完毕后，与的函数关系式为：（为常数），当， ，所以y x ay x=a 0.2x =1y =，故正确； 15y x=C. 当时，，解得，持续时间为； 00.2x ≤≤50.25y x =>0.05x >0.20.050.15-=当时，，解得 ，持续时间为 ，所以总持续时间为0.2x >10.255y x=>0.8x <0.80.20.6-=，故错误；0.60.150.75+=D. 因为当时，，解得小时，即喷洒药物3分钟后开始进行有效灭00.2x ≤≤50.25y x =>0.05x >杀病毒，故正确； 故选：ABD三、填空题13．已知幂函数的图象过点（2），则___________()f x (9)f =【答案】13【分析】由幂函数所过的点求的解析式，进而求即可. ()f x (9)f【详解】由题设，若，则，()n f x x =2n =12n =-∴，故. 12()f x x -=121(9)93f -==故答案为：1314．计算：______ 2log 321lg 22log ln1162++++=【答案】12-【分析】利用对数的运算性质即可求解. 【详解】原式. ()1lg 211lg 5340lg 5lg 212222=+-++=+-=-故答案为：12-15．已知满足，求的最小值__. ,x y 30x y ++=()()2212x y ++-【答案】.8【分析】把的最小值转化为点到直线距离的平()()2212x y ++-()()2212x y ++-(1,2)-30x y ++=方，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由于表示点与直线上的点的距离的平方， ()()2212x y ++-(1,2)-转化的最小值为点到直线距离的平方， ()()2212x y ++-(1,2)-30x y ++=由点到直线的距离公式，可得d 所以的最小值为. 22(1)(2)x y -+-8故答案为：.816．如图，在圆柱O1 O2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1 O2 的体积为V1 ,球O 的体积为V2 ，则的值是_____ 12V V【答案】32【详解】设球半径为，则．故答案为． r 213223423V r r V r π⨯==π32点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．四、解答题17．已知内角的对边分别是，若，，. ABC ∆,,A B C ,,a b c 1cos 4B =2b =sin 2sinC A =（1）求；a （2）求的面积. ABC ∆【答案】（1）； 1a =（2【分析】（1）在中，由正弦定理得，再由余弦定理，列出方程，即可求解得值； ABC ∆2c a =a （2）由（1）求得，利用三角形的面积公式，即可求解三角形的面积． 2c =【详解】（1）在中，，，， ABC ∆1cos 4B =2b =sin 2sinC A =由正弦定理得，2c a =由余弦定理得， 22222212cos 422444b ac ac B a a a a a =+-=+-⋅⋅==解得或不合题意，舍去， 1a =1(a =-)（2）由（1）知，所以，2c a =2c =所以的面积为ABC ∆11sin 1222S ac B ==⨯⨯=【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．18．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况. 25（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情,,,,,A B C D E F 况如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.A 员工项目 ABCDEF 子女教育○○×○×○继续教育 × × ○ × ○ ○ 大病医疗 × × × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人 ○○×××○（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率. M M 【答案】（I ）6人，9人，10人； （II ）（i ）见解析；（ii ）. 1115【分析】（I ）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，结合样本容量求得结果；（II ）（I ）根据6人中随机抽取2人，将所有的结果一一列出； （ii ）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率. 【详解】（I ）由已知，老、中、青员工人数之比为， 6:9:10由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工， 因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人. （II ）（i ）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为,,,{}{}{}{}{},,,,,,,,,A B A C A D A E A F {}{}{}{},,,,,,,B C B D B E B F {}{}{},,,,,C D C E C F ,共15种；{}{}{},,,,,D E D F E F （ii ）由表格知，符合题意的所有可能结果为,,{}{}{}{},,,,,,,A B A D A E A F {}{}{},,,,,B D B E B F ,,共11种，{}{},,,C E C F {}{},,,D F E F 所以，事件M 发生的概率. 11()15P M =【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.19．在四棱锥P ﹣ABCD 中，△PAB 是边长为2的等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，BC ＝CD ＝1，PD（1）证明：AB⊥PD．（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1 3【解析】（1）根据勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质进行证明即可；（2）由AD2+BD2＝AB2，可得AD⊥BD，以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）证明：连结BD，∵在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝1，PD=∴BD＝AD，==∴AD2+PD2＝AP2，BD2+PD2＝PB2，∴AD⊥PD，BD⊥PD，∵AD∩BD＝D，∴PD⊥平面ABCD，∵AB⊂平面ABCD，∴AB⊥PD.（2）解：∵AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD，以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则A，0，0），B （0，0），C （，0），P （0，0），，（0，），（，）， PA =PB = PC=设平面ABP 的法向量（x ，y ，z ）， n = 则，取x ＝1，得（1，1，1）， 00n PA n PB⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩n= 设平面PBC 的法向量，()111,,m x y z = 则，取，得（﹣1，1，1）， 1111100m PB m PC y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩11z =m = 设二面角A ﹣PB ﹣C 的平面角为θ，则二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值为：cosθ. 13m n m n ⋅==⋅ 【点睛】本题考查了线面垂直判定定理和性质的应用，考查了利用空间向量求二面角问题，考查了推理论证能力和数学运算能力.20．已知函数是定义在上的偶函数，当时，．现已画出函数在y ()f x R 0x ≤2()2f x x x =+()f x 轴左侧的图像，如图所示．(1)画出函数在y 轴右侧的图像，并写出函数在上的单调增区间；()f x ()f x R (2)求函数在上的解析式．()f x R (3)结合图像分别直接写出：当m 为何值时，关于x 的方程有2个实根？3个实根？4()0f x m +=个实根？0个实根？【答案】(1)图象见详解，单调增区间为和()1,0-()1,+∞(2) 222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩(3)时，关于x 的方程有3个实根；或时，有2个实根；时，0m =()0f x m +=0m <1m =01m <<有4个实根；时，有0个实根.1m >【分析】（1）由函数是偶函数可得函数的图象关于y 轴对称，进而可画出图象，得到单调递增区间. （2）由即可求出时函数的解析式。
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云南省曲靖市数学高二下学期文数3月月考试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2019高一上·桐城月考) 2019年10月1日上午，喜悦的豪情在北京天安门广场倾情绽放，新中国以一场盛大阅兵庆祝70岁生日，同时文都桐城也以自己的方式庆祝祖国七十华诞，此时发生在桐城的下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（）
A . 出租车车费与出租车行驶的里程
B . 商品房销售总价与商品房建筑面积
C . 铁块的体积与铁块的质量
D . 人的身高与体重
2. （2分） (2015高二下·沈丘期中) i是虚数单位， =（）
A . 1+2i
B . ﹣1﹣2i
C . 1﹣2i
D . ﹣1+2i
3. （2分）某自动化仪表公司组织结构如表，其中采购部的直接领导是（）
A . 副总经理（甲）
B . 副总经理（乙）
C . 总经理
D . 董事会
4. （2分）用反证法证明一个命题时，下列说法正确的是（）
A . 将结论与条件同时否定，推出矛盾
B . 肯定条件，否定结论，推出矛盾
C . 将被否定的结论当条件，经过推理得出结论只与原题条件矛盾，才是反证支的正确运用
D . 将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件
5. （2分） (2019高二下·宁夏月考) “因为对数函数y=logax是减函数（大前提），而y=log2x是对数函数（小前提），所以y=log2x是减函数（结论）”.上面推理是（）
A . 大前提错，导致结论错．
B . 小前提错，导致结论错
C . 推理形式错，导致结论错．
D . 大前提和小前提都错，导致结论错．
6. （2分）下列表述正确的是
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.
A . ①②③
B . ②③④
C . ②④⑤
D . ①③⑤
7. （2分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程，表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数
据的值为（）
A . 75
B . 62
C . 68
D . 81
8. （2分）“ ”是“ ”成立的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
9. （2分） (2019高二下·宁夏月考) 给出以下四个说法：
①残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小
②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好；
③在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加个单位；
④对分类变量与，若它们的随机变量的观测值越小，则判断“ 与有关系”的把握程度越大．
其中正确的说法是
A . ①④
B . ②④
C . ①③
D . ②③
10. （2分）对变量x,y进行回归分析时,依据得到的4个不同的回归模型画出残差图,则下列模型拟合精度最高的是（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）(2017·山东模拟) 观察下列各式：55=3 125，56=15 625，57=78 125，…，则52017的末四位数字为（）
A . 3 125
B . 5 625
C . 8 125
D . 0 625
12. （2分） (2018高一下·南阳期中) 小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6 :30至7 :30之间把报纸送到小明家，小明离开家去上学的时间在早上7 :00至8 :30之间，问小明在离开家前能得到报纸（称为事件 )的概率是多少（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2020高二下·芮城月考) 小明每天起床后要做如下事情：洗漱5分钟，收拾床褥4分钟，听广播15分钟，吃早饭8分钟.要完成这些事情，小明要花费的最少时间为________．
14. （1分） (2017高二下·中山月考) 已知复数满足，则 ________．
15. （1分）“不能被2整除的整数是奇数，35不能被2整除，所以35奇数．”把此演绎推理写成“三段论”的形式．
大前提：________，
小前提：________，
结论：________．
16. （1分） (2016高二下·黄冈期末) 二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2 ，三维测度（体积）V= πr3；四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3 ，则猜想其四维测度W=________．
三、解答题 (共6题；共55分)
17. （15分） (2019高二下·宁夏月考) 实数取什么数值时，复数分别是：
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
（4）表示复数的点在复平面的第四象限？
18. （5分）已知非零向量，且，求证： .
19. （5分）计算题。
a1=2×（1﹣），
a2=2×（1﹣）（1﹣），
a3=2×（1﹣）（1﹣）（1﹣），
a4=2×（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣），
，…，
an=2×（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣），
（1）求出a1，a2，a3，a4；
（2）猜测an=2×（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）的取值并且用数学归纳法证明．
20. （15分）(2018·绵阳模拟) 十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国.根据环保部门对某河流的每年污水排放量（单位：吨）的历史统计数据，得到如下频率分布表：
将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立.
（Ⅰ）求在未来3年里，至多1年污水排放量的概率；
（Ⅱ）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当时，没有影响；当时，
经济损失为10万元；当时，经济损失为60万元.为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元；
方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；
方案三：不采取措施.
试比较上述三种文案，哪种方案好，并请说明理由.
21. （5分）已知函数．
（1）
证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；
（2）
用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．
22. （10分）(2018·大新模拟) 随着“北京八分钟”在韩国平昌冬奥会惊艳亮相，冬奥会正式进入了北京周期，全社会对冬奥会的热情空前高涨.
（1）为迎接冬奥会，某社区积极推动冬奥会项目在社区青少年中的普及，并统计了近五年来本社区冬奥项目青少年爱好者的人数（单位：人）与时间（单位：年），列表如下：
依据表格给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明(计算结果精确到0.01).
(若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
附：相关系数公式，参考数据 .
（2）某冰雪运动用品专营店为吸引广大冰雪爱好者，特推出两种促销方案.
方案一:每满600元可减100元；
方案二:金额超过600元可抽奖三次，每次中奖的概率同为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折. v
两位顾客都购买了1050元的产品，并且都选择第二种优惠方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率；
②如果你打算购买1000元的冰雪运动用品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案.
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、
17-2、
17-3、
17-4、
18-1、
19-1、
19-2、20-1、
21-1、21-2、22-1、
22-2、。