【教案】 圆周角与圆心角、弧的关系
圆周角与圆心角、弧的关系
一、知识讲解：
1．圆周角与圆心角的的概念：
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2．在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。
3．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。
4．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。
5．圆的内接四边形对角之和是180度。
6．弧的度数就是圆心角的度数。
解题思路：
1．已知圆周角，可以利用圆周角求出圆心角
2．已知圆心角，可以利用圆心角求出圆周角
3．已知直径和弧度，可以求出圆周角与圆心角
1.圆周角与圆心角的定义
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
注意圆周角定义的两个基本特征：
(1)顶点在圆上；
(2)两边都和圆相交。
二、教学内容
【1】圆心角：顶点在圆心的角。
利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个基本特征：
练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．
【2
一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。
已知：⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，
求证：∠BAC= 1/2∠BOC.
分析：通过图形的演示指导学生进一步去寻找圆心O与∠BAC的关系
本题有三种情况：
（1）圆心O在∠BAC的一边上 O
（2）圆心O在∠BAC的内部
（3）圆心O在∠BAC的外部 B D C
●如果圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角
形的性质即可证明
●如果圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将这个角转化为上述
情况的两个角的和或差即可
证明:
圆心O在∠BAC的一条边上 A
OA=OC==>∠C=∠BAC
∠BOC=∠BAC+∠C O
==>∠BAC=1/2∠BOC. B C
【3】圆周角与圆心角的关系
（1）．在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。
（2）．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。
（3）．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。
（4）．圆的内接四边形对角之和是180度。
（5）．弧的度数就是圆心角的度数。
三、精讲精练
（一）选择、填空题：
1．在⊙O中，同弦所对的圆周角（）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．都不对
2．如图，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数是（）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
3．下列说法正确的是（）
A．顶点在圆上的角是圆周角
B．两边都和圆相交的角是圆周角
C．圆心角是圆周角的2倍
D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半
4．下列说法错误的是（）
A．等弧所对圆周角相等 B．同弧所对圆周角相等
C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等． D．同圆中，等弦所对的圆周角相等
5．如图4，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD=25°，则∠AOD= ．
6．如图5，⊙O直径MN⊥AB于P，∠BMN=30°，则∠AON= ．
7.⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（）．
A、30°
B、150°
C、30°或150°
D、60°
8.△ABC中，∠B＝90°，以BC为直径作圆交AC于E，若BC=12，AB=12，则
的度数为（）．
A、60°
B、80°
C、100°
D、120°
9.如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，D是AB上一点，AB与CD交于E点，则图中60°的角共有( )个．
A、3
B、4
C、5
D、6
10.如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=25°，则∠A的度数为（）
A、70°
B、65°
C、60°
D、50°
11.圆内接三角形三个内角所对的弧长为3:4:5，那么这个三角形
内角的度数分别为__________．
（二）解答题
1．如图，以△ABC的BC边为直径的半圆交AB于D，交AC于E，过E点作EF⊥BC，垂足为F，且BF：FC=5：1，AB=8，AE=2，求EC 的长．
2．如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？
3.如图，OA、OB、OC都是圆O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：∠ACB=2∠BAC
4. 如图，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E．（1）求证：△DOE是等边三角形；（2）如图3-3-14，若∠A=60°，AB≠AC，则①中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由？
5. 如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长．
6. 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于D，AD=9cm，DB=4cm，求CD和AC的长．
7.如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．
（1）求证：AC⊥OD；
（2）求OD的长；
（3）若2sinA－1=0，求⊙O的直径．
8.四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BC=b ，AB=AC=AD=a ，如图3-3-15，求BD 的长．
9.如图1，AB 是半⊙O 的直径，过A 、B 两点作半⊙O 的弦，当两弦交点恰好落在半⊙O 上C 点时，则有AC ·AC ＋BC ·BC=AB 2．
（1）如图2，若两弦交于点P 在半⊙O 内，则AP ·AC ＋BP ·BD=AB 2是否成立？请说明理由．
（2）如图3，若两弦AC 、BD 的延长线交于P 点，则AB 2= ．参照（1）填写
相应结论，并证明你填写结论的正确性．
10．如图8，⊙O 中，两条弦AB ⊥BC ，AB=6，BC=8，求⊙O 的半径．
11．如图9，AB 是⊙O 的直径，FB 交⊙O 于点G ，FD ⊥AB ，垂足为D ，FD 交AG 于E ．求证：EF ·DE=AE ·EG ．
12．如图，AB 是半圆的直径，AC 为弦，OD ⊥AB ，交AC 于点D ，垂足为O ，⊙O 的半径为4，OD=3，求CD 的长．
13．如图，⊙O 的弦AD ⊥BC ，垂足为E ，∠BAD=∠α，∠CAD=∠β，且sin α=5
3
，
cos β=3
1
，AC=2，求（1）EC 的长；（2）AD 的长．
14
（1）求证：
（2）当D 为15ABCD 对角线AC 、BD 交于点（1（2）已知
（3）在（2）的条件下，求弦AB 的长．
16．如图，已知AB 是O 的直径，AC 是弦，过点O 作OD AC ⊥于D ，连结BC ． （1）求证：1
2
OD BC =
； （2）若40BAC =∠，求ABC 的度数．
四、小结：
1、圆周角与圆心角的概念
2、圆心角与圆周角的大小关系
【教案】 圆周角与圆心角、弧的关系
圆周角与圆心角、弧的关系 一、知识讲解： 1．圆周角与圆心角的的概念： 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2．在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。 3．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。 4．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。 5．圆的内接四边形对角之和是180度。 6．弧的度数就是圆心角的度数。 解题思路： 1．已知圆周角，可以利用圆周角求出圆心角 2．已知圆心角，可以利用圆心角求出圆周角 3．已知直径和弧度，可以求出圆周角与圆心角 1.圆周角与圆心角的定义 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 注意圆周角定义的两个基本特征： (1)顶点在圆上； (2)两边都和圆相交。 二、教学内容 【1】圆心角：顶点在圆心的角。 利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个基本特征： 练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．
【2 一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。 已知：⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC， 求证：∠BAC= 1/2∠BOC. 分析：通过图形的演示指导学生进一步去寻找圆心O与∠BAC的关系 本题有三种情况： （1）圆心O在∠BAC的一边上 O （2）圆心O在∠BAC的内部 （3）圆心O在∠BAC的外部 B D C ●如果圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角 形的性质即可证明 ●如果圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将这个角转化为上述 情况的两个角的和或差即可 证明: 圆心O在∠BAC的一条边上 A OA=OC==>∠C=∠BAC ∠BOC=∠BAC+∠C O ==>∠BAC=1/2∠BOC. B C 【3】圆周角与圆心角的关系 （1）．在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。
圆周角和圆心角的关系—知识讲解(提高)
圆周角和圆心角的关系—知识解说（提升） 【学习目标】 1．理解圆周角的观点，认识圆周角与圆心角之间的关系； 2．理解圆周角定理及推论； 3．娴熟掌握圆周角的定理及其推理的灵巧运用；经过察看、比较、剖析圆周角与圆心角的关系，发展 学生合情推理能力和演绎推理能力． 【重点梳理】 重点一、圆周角 1.圆周角定义： 像图中∠ AEB、∠ ADB、∠ ACB这样的角，它们的极点在圆上，而且两边都与圆订交的角叫做圆周角． 2.圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半． 3.圆周角定理的推论： 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 推论 2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 重点解说： (1)圆周角一定知足两个条件：①极点在圆上；②角的两边都和圆订交. (2)圆周角定理建立的前提条件是在同圆或等圆中. （3）圆心与圆周角存在三种地点关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周 角的外面．（以下列图） 重点二、圆内接四边形 1.圆内接四边形定义： 四边形的四个极点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
2.圆内接四边形性质： 圆内接四边形的对角互补 . 如图，四边形 ABCD是⊙ O的内接四边形，则∠ A+∠ C=180°，∠ B+∠ D=180° . B A C O D 重点解说：当四边形的四个极点不一样时在一个圆上时，四边形的对角是不互补. 【典型例题】 种类一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1.已知：以下图，⊙ O中弦 AB＝ CD．求证： AD＝ BC． 【思路点拨】 此题主假如考察弧、弦、圆心角之间的关系，要证AD＝ BC，只要证AD BC 或证∠AOD＝∠BOC即可． 【答案与分析】 证法一：如图①，∵AB ＝ CD，∴AB CD ． ∴AB BD CD BD ，即AD BC ， ∴AD ＝ BC．
同弧对应的圆周角和圆心角的关系
同弧对应的圆周角和圆心角的关系 1. 弧与圆周角的关系 在圆的周长上任意取一弧，做一点作为一圆周角的顶点，这样的圆周角叫做弧所对圆周角，记做∠A。这个圆周角∠A的度数等于这个弧所对圆周角的圆心角的度数。 2. 圆心角的定义 圆心角是指圆周上的一点和圆心连接起来形成的角。圆心角的度数等于这个圆周角所对圆周角的度数。 3. 圆周角和圆心角的关系 任意一段圆周上的弧所对的圆周角，都对应着一个圆心角。而且这两个角的度数是相等的。 4. 推论 由于圆周上的弧和它所对的圆周角以及它所对的圆心角是一一对应的关系，所以当我们已知一个弧所对的圆周角的度数时，也就同时确定了它所对的圆心角的度数。 5. 实例分析 如果我们已知一个弧所对的圆周角的度数为60度，那么根据同弧对应的圆周角和圆心角的关系，我们就可以确定这个弧所对的圆心角的度
数也为60度。 6. 应用 在实际问题解决过程中，我们可以利用同弧对应的圆周角和圆心角的关系，通过已知的圆周角来求解对应的圆心角，进而解决相关问题。 总结：同弧对应的圆周角和圆心角的关系是圆的基本性质之一，是在圆的相关问题中常常会遇到的一个重要概念。掌握了这一性质，可以帮助我们更加深入地理解圆的性质和圆的相关定理，同时也有助于我们更好地解决与圆相关的实际问题。同弧对应的圆周角和圆心角的关系是在圆的几何性质中非常重要的一部分，它们之间的通联和规律在数学和几何学中具有广泛的应用。接下来我们将深入探讨同弧对应的圆周角和圆心角的关系，并通过一些实例和推论来进一步加深我们的理解。 7. 弧长和角度的关系 在研究同弧对应的圆周角和圆心角的关系时，我们还需要了解弧的长度和角度之间的关系。根据弧长的定义，圆的周长等于360°，因此我们可以得出一个推论：一周的弧长所对的圆周角为360°。这就是说，一周的弧长所对的圆心角也为360°。 8. 圆心角的性质 除了与同弧对应的圆周角相等外，圆心角还具有以下性质：
圆心角、圆周角、弦、弧的关系
1 圆的基本性质 考点一、圆的相关概念 （1）圆的定义 圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。 （2）圆的几何表示 以点O 为圆心的圆记作“⊙O ”，读作“圆O ” 考点二、弦、弧等与圆有关的定义 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AC ） （2）直径：经过圆心的弦叫做直径。（如图中的AB ）直径等于半径的2倍。 （3）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （4）弧、优弧、劣弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示，以A ，B 为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示） 考点三、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 考点四、圆的对称性 （1）圆的轴对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 （2）圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
2 考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 （1）圆心角：顶点在圆心，角的两边和圆相交的角叫做圆心角。 （2）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。 （3）弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相 等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 题型一：垂径定理（连结半径形成直角三角形，利用勾股定理求线段长度） 【例1】如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD ，点O 是CD 的圆心，•其中CD=600m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径。 分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 题型二：利用弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系（连接半径证明三角形全等） 【例2】如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N • 在⊙O 上。 （1）求证：AM =BN ； （2）若C 、D 分别为OA 、OB 中点，则AM MN NB ==成立吗？ B A
2020-2021学年九年级数学(说课稿)圆周角与圆心角、弧的关系
2020-2021学年 圆周角与圆心角、弧的关系 一、说教材 1、教材的地位与作用： 本课内容是在学生已经学习圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的基础上进行研究的。通过本课的学习，一方面可以巩固圆心角与弧的关系定理，另一方面也是今后学习圆的性质、球的性质的重要基础，在教材中处于承上启下的重要位置。另外，通过对圆周角定理的探讨，培养学生严谨的思维品质，同时教会学生从特殊到一般和分类讨论的思维方法，因此，这节课无论在知识上，还是在方法上，都起着十分重要的作用。 2、教学重点与难点： 重点：同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系定理的发现与论证。难点：同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系的论证。 二、说目标 1、认知目标：使学生掌握圆周角的概念、同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系，能准确运用圆周角定理进行简单的证明和计算。 2、能力目标：培养学生观察、分析、发现、归纳的能力，以及从特殊到一般，化一般为特殊的化归能力。 3、情感目标：在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系得发现、论证、反思的过程中，和探究学习过程中培养学生之间合作意识以达到同学之间的互帮补助的同学情谊和集体荣誉感以及增强学生自信心，以及体现我校高效课堂理念。 三、说教法 1、对比教学法、启发式教学法 2、合作探究法 3、直观教学法 四、说教学流程 （一）创设情境导入新知 设计意图：由生活实践来创设情境，让学生感受数学与生活的联系。由具体的生活实例到数学的建模体现了数学来源与实际生活，同时数学服务与实际生活。即直观又新颖。同时有效地激发了学生学习的兴趣， （二）活动（辩一辩） 设计题图：通过圆心角定义导入圆周角定义，采用对比教学法，学生能很快地进入主题，
初二数学圆周角与圆心角关系详解
初二数学圆周角与圆心角关系详解圆周角和圆心角是初中数学中重要的概念，它们在几何图形的研究中起着非常关键的作用。在本文中，我们将详细讨论圆周角与圆心角之间的关系。 一、圆周角的定义 圆周角是指以圆心为顶点的角，其两边为相交于圆上任意两点的弧所对应的角。通常用字母表示圆周角。 二、圆心角的定义 圆心角是指以圆心为顶点的角，其两边分别与圆上某两点相交，且两边和两弧的夹角相等。通常用字母表示圆心角。 三、圆周角与圆心角的关系 1. 角的度量关系 圆周角的度量单位是弧度，圆心角的度量单位是角度。圆周角的度量值等于对应弧长的长度除以圆的半径，而圆心角则是直接使用角度来表示。 2. 圆周角的度数与弧度之间的关系 圆周角的度数等于对应弧长的长度除以圆的半径，再乘以180°。而圆周角的弧度数等于对应弧长的长度除以圆的半径。 例如，圆周角的度数为60°，则其弧度数为π/3弧度。
3. 圆周角与圆心角的夹角关系 当一个圆周角所对应的弧等于另一个圆心角所对应的弧时，这两个角的夹角就是90°。换句话说，这两个角是直角。 4. 圆周角与圆心角的相等关系 当两个圆周角对应的弧相等时，这两个圆周角相等。同理，当两个圆心角对应的弧相等时，这两个圆心角相等。 5. 圆心角平分弦的关系 当圆心角平分一个弦时，该弦的两个端点与圆心所对应的圆心角的度数相等。 综上所述，圆周角和圆心角在几何图形中有着密切的关系。通过对圆周角和圆心角的研究，我们可以更好地理解和应用于圆相关的数学概念和问题。 结论 圆周角和圆心角是初中数学中重要的概念，它们在几何图形中具有重要的作用。通过深入了解圆周角和圆心角的定义及其关系，我们可以更好地解决与圆相关的数学问题。希望本文能够帮助初中生更好地理解和应用圆周角和圆心角的知识。
《圆周角和圆心角的关系》说课稿
《圆周角和圆心角的关系》说课稿 《圆周角和圆心角的关系》说课稿 “圆周角和圆心角的关系”是义务教育课程标准实验教科书北师大版九年级数学下册第三章第三节的内容，共两个课时，下面我从第一个课时的设计进行说明. 一、教材分析 本课是在学习了圆的各种概念和圆心角后进而要学习的圆的又一个重要的性质，它在推理、论证和计算中应用比较广泛，是本章重点内容之一。 1、本节知识点 （1）圆周角的概念 （2）圆周角的定理 2、教学目标 （1）理解并掌握圆周角的概念； （2）掌握圆周角定理，并能熟练地运用它们进行论证和计算； （3）通过圆周角定理的证明，使学生了解分情况证明数学命题的思想和方法。 教学重点： 圆周角定理。 教学难点： 认识圆周角定理需要分三种情况逐一证明的必要性。 （重点与难点的突破将在教学过程中详细说明） 二、本节教材安排 本节共分两个课时，第一课时主要研究圆周角和圆心角的关系，第二课时研究圆周角定理的几个推论，并解决一些简单问题。今天我向大家汇报的是第一课时的设计。 三、教学方法 数学教学是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程，因此，我认为教法与学法是密不可分的。本节主要采取探究合作、启发
引导的教学方法，多媒体的运用，激发了学生探究合作的积极性，为教师的启发引导提供了生动的素材，使学生获得知识，形成技能。 四、教学步骤 （一）、旧知回放，探索新知（圆周角的概念的突破） 1、出示课件，演示将圆心角的顶点由圆心拖至圆上，请同学们仿照圆心角的概念给形成的新角起名字，学生很容易的就会命名为圆周角。 2、引导学生进行讨论，规范圆周角的概念。 （设计意：让学生学好基础知识、基本概念，识别其内容反映出来的数学思想和方法，培养学生的基本技能、分析问题和解决问题的能力，使学生通过自己的观察与探索，发现、理解并掌握圆周角的定义。） 特别说明：本节的引入我采用了动态演示的方法，从学生已知的圆心角出发，引申到这节课要学的圆周角，便于学生在已有的知识基础上掌握所学，符合学生的认知规律．本节教材中给出的引例是一个生动而实际的例子，但我并没有采用它，是因为这个例子映射的是＂同弧所对的圆周角相等＂的知识点，它要引出的是第二课时的内容．本着活用教材原则，在深入挖掘教材之后，我觉得这个例子放在第一课时并不太合适． 3、巩固练习，看谁最棒（请同学们判断各形的角是否是圆周角，并说明理由。） （设计意：巩固圆周角概念，明确圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上；两边都和圆相交。） （二）、探究合作，攻克重难点（圆周角定理的突破） 1、动手画画，争当赢家。（请你画出弧AB所对的圆心角和圆周角。） （设计意：通过这种具有探索性与挑战性的活动，培养学生思考、合作交流的能力，渗透化归思想，初步认识圆周角和圆心角这三种位置关系。）特别说明：若学生不能准确地归纳出圆周角和圆心角这三种位置关系，可采用演示动态课件的方法，在教师的启发下达成这一
圆心角、弧、弦、圆周角
圆心角、弧、弦、圆周角 学习要求： 1、理解并初步掌握弧、弦、圆心角的相互对应的关系，会证明两条弦等、两条弧等，两个圆心角等； 2、掌握圆周角定理及推论，能在圆中熟练地进行角的相互转化，从而通过解直角三角形或利用相似的 知识求相关的线段长或证明比例线段。 内容分析： 1、圆心角、弧、弦的关系 在同圆或等圆中，若两个圆心角相等，则它们所对的两条弧、两条弦也分别对应相等； 在同圆或等圆中，若两条弧相等，则它们所对的两个圆心角、两条弦也分别对应相等； 在同圆或等圆中，若两条弦相等，则它们所对的两个圆心角、所对的两条优弧、两条劣弧也分别对应相等。 2、圆周角 （1）定义：顶点在圆上，角的两边都与圆相交的角。 （2）定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论1：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 推论3：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于它的内对角。 3、学好本单元内容的两个关键： （1）同弧或等弧是沟通圆周角之间、圆心角与圆周角之间联系的桥梁，利用同弧或等弧进行圆周角之 间的相互转化是解决问题的关键； （2）通过作弦心距或直径将一般的圆周角转化到特殊的直角三角形中，是解决问题的关键。 例题分析： 1、已知，如图，⊙O是的外接圆，∠A=60°，BC=12，求⊙O的半径
的长. 解法一：过O作OD⊥BC于D，连接OB. 则BD=BC=6，∠BOD=∠BOC. ∵∠A=∠BOC，∴∠BOD=∠A=60° 在△BOD中，∠BDO=90°， ∴BO= ∴⊙O的半径的长为 解法二：作直径BE，连接CE. 则∠BCE=90°. 又∠A=∠E=60° ∴在△BCE中，BE= ∴⊙O的半径的长为. 【小结】在圆中，常常作弦心距或直径，将圆周角转化到直角三角形中，通过解直角三角形从而解决问题。两种解法中的基本图形同学们要牢记。 2、已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，M是弧AC上一点，延长DC、AM交于F， 求证：∠FMC=∠AMD.
弧、弦、圆心角、圆周角--知识讲解(基础)
弧、弦、圆心角、圆周角--知识讲解（基础） 责编：康红梅 【学习目标】 1.了解圆心角、圆周角的概念； 2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题； 3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它 两组量对应相等，及其它们在解题中的应用． 【要点梳理】 要点一、弧、弦、圆心角的关系 1.圆心角定义 如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 2.定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.推论： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 要点诠释： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 要点二、圆周角 1.圆周角定义： 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2.圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3.圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
4.圆内接四边形： （1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系： 在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。 *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。 【典型例题】 类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1.（2016•台湾）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若=150°，∠A=65°，∠D=60°，则的度数为何？（） A．25 B．40 C．50 D．55 【思路点拨】连接OB，OC，由半径相等得到三角形OAB，三角形OBC，三角形OCD都为等腰三角形，根据∠A=65°，∠D=60°，求出∠1与∠2的度数，根据的度数确定出∠AOD度数，进而求出∠3的度数，即可确定出的度数． 【答案】B 【解析】 解：连接OB、OC， ∵OA=OB=OC=OD， ∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形， ∵∠A=65°，∠D=60°， ∴∠1=180°﹣2∠A=180°﹣2×65°=50°，∠2=180°﹣2∠D=180°﹣2×60°=60°， ∵=150°， ∴∠AOD=150°， ∴∠3=∠AOD﹣∠1﹣∠2=150°﹣50°﹣60°=40°， 则=40°． 故选B
圆周角和圆心角的关系优秀教案
《圆周角和圆心角的关系（1）》教学设计 学情分析： 学生的知识技能基础：学生在上一节课的内容中已经掌握了圆心角 的定义及圆心角的性质，掌握了在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两 条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。初步了解研究问题的方法，如观察、猜测、验证、推理等。 学生的活动基础：本班的学生在以前的教学中学生已经经历了很多 合作学习的过程，具有丰富的自主探究、合作学习的经验，具备一定的 合作探究的能力。 教学目标： 知识技能： 1.理解圆周角的定义，掌握圆周角定理。 2.会用圆周角定理解决有关问题。 过程目标： 1.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想。 2.体会分类、归纳等数学思想方法。 情感目标： 通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索问题的能力和方法。 教学重难点：
重点：圆周角概念及圆周角定理。 难点：认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性。 教学课时：1课时 教学过程： 一、情景创设，激发兴趣 1.在射门游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置8对球门AC的张角（/ABC）有关.当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成的三个张角/ABC，/ADC，/AEC。这三个角的大小有什么关系？ 图3-13 【学情预设：大多数学生靠猜测得出结论：三个角相等。】 【设计意图：情景创设设置了一个有趣的活动情景，激发学生的求知欲，并借此引出圆周角的概念。】 二、合作交流，探索新知 活动一：概念生成 1、观察右图的三个张角，它们有什么特点?
【设计意图：通过学生自己观察发现、归纳圆心角的特征。】 2、概念：观察如图中的/ABC , ZADC , /A改，可以发现，它 们的顶点都在圆上，两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角，叫做圆周角。 活动二：探究圆周角与圆心角的关系 1、如图，/AOB = 80。. ⑴请你画出几个"力所对的圆周角，这几个圆周角 有什么关系？ ⑵这些圆周角与圆心角Z AOB的大小有什么关系？与同伴交流。 【学情预设：学生画出的圆周角有以下三种情况：并且不难得出 教师追问：（3）对于第一种情况，有办法不通过测量算出它的角度吗？ 【设计意图：引导学生画出分三种情况，培养分类讨论的意识，并为后面定理证明的分类讨论作铺垫。】 2、改变/AOB的度数，结论还成立吗？（学生操作，收集数据）
《圆周角和圆心角的关系》教案
《圆周角和圆心角的关系》教案.docx 3.3圆周角和圆心角的关系知识目标：经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，理解圆周角的概念及其相关性质德育目标：体会分类、归纳等数学思想方法能力目标：提高分类、归纳的数学能力教学重点和难点重点：圆周角和圆心角的关系难点：圆周角和圆心角的关系教学过程设计 一、从学生原有的认知结构提出问题上一节课，我们学习了：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等。那么，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角有什么关系这节课，我们研究圆周角和圆心角的关系。 二、师生共同研究形成概念 1、圆心角与弧的关系我们把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1的角。因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份。我们把每一份这样的弧叫做1的弧。所以,圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。巩固练习：若一条弧是70则它所对的圆心角是若一个圆周角等于80,则它所对的弧等于 2、圆周角与圆心角通过射门游戏引入圆周角的概念。提出这一问啥在引起学生思考，为本节活动埋下伏笔。AO圆周角：角的顶点在圆上，两边是圆的两锵圆心角：角的顶点是圆心，两边是圆的两条半径A分析：通过此例，让学生理解好圆周角的定义。 4、讲解例题例2下列图形中，哪些图形中的圆心角/BOC和圆周角/A 是同分析：通过此例，让学生理解好什么是同一条弧所对的啰心和圆
周角。 5、同弧或等弧所对的圆周角和圆心角的关系SOE议一议书本P101议一议D可放手让学生自己观察动手操作验证思考，老师作适当提点。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半学生动手画图验证圆周角定理的几个推论在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。直径所对的圆周角是直角；90。的圆周角所对的弦 6、总结方法B在这里要帮学生方法，以利于学生解决圆的一些证明的题目。议一议书本P106议一议鼓励学生自觉地总结研究图形时所使用的方法，如度量与证明、分类与转化，以及类比等。做一做书本P107做一做是一个有实际背景的问题，解决这一问题不仅要用到圆周角定理的推论，而且还要应用反证法及分类的思想。 7、讲解例题例3如图，AB是的直径，BD是的弦，延长BD到C,使CA=AB。BD与CD的大小有什么关系为什么分析：此例是“直径所对的圆周角是直角线合一”定理的综合应用。 3、随堂练习 1、书本P107随堂练习 2、练习册P49 4、小结一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。 5、作业书本P104习题 3.42
2020春北师版九年级数学下册 第3章【学案】 圆周角与圆心角、弧的关系
圆周角与圆心角、弧的关系 【学习目标】1、了解圆周角的概念.； 2、理解圆周角定理的证明。 【学习重点】圆周角概念和圆周角定理； 【学习难点】圆周角定理的三种情况证明，圆周角定理的应用 课前小测：1、⊙O 的半径为4cm ，线段OA ＝17cm ，则点A 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．A 点在圆外 B ．A 点在⊙O 上 C ．A 点在⊙O 内 D ．不 确定 2、抛物线()212 +-=x y 的对称轴方程是 3、在⊙O 中，点C 是弧AB 的中点，∠A=50°，则∠BOC 等于 度． 4、计算：︒-︒45sin 260tan 2= 自主学习：（阅读书本） 一、探索一：我们发现1： 2： 像这样的角叫圆周角 二探索二：判断下列各个图形是不是圆周角： 三．探索三：１.如图，BC 所对的圆心角有多少个？BC 所对的圆周角有多少个？请在图中画出BC 所对的圆心角和圆周角，并猜测BC 所对的圆心角与圆周角的关系。 o C C O C O B B B 二、探索四：探索圆周角定理：探究:同一弧所对的圆周角和圆心角的大小有何 关系?
(1)考虑一种特殊情况：圆心在∠BAC 的一边上 (2) 圆心在∠BAC (3) 圆心在∠BAC 的 通过上述讨论发现：＿一条弧所对的圆周角等于＿＿＿＿ 的圆心角的 ＿＿＿＿。
学以致用： （1）、如图，在⊙O 中，∠ABC=50°，则∠AOC 等于（ ） A 、50°； B 、80°； C 、90°； D 、100° 如图，在○O 中，点A,B,C 是○O 上的三点 ∠BOC =50°∠BAC = 变式一：如图∠BAC =40°，则∠BOC = 变式二：如图∠BAC =35°，则∠OBC= （1） （2） （3） A （3）：已知⊙O 中弦AB 的等于半径，求弦AB 所对的圆心角和圆周角的度数。 （4）、牛刀小试： OA 、OB 、OC 都是⊙O 的半径，∠AOB=2∠BOC ，求证：∠ACB=2∠BAC 小结：1：圆周角的定义： 2：圆周角定理： 3：圆周角定理证明的方法主要使用了哪些思想方法？ 分层演练： （A 层）：1）、求圆中角X 的度数
2022秋九年级数学上册 第2章 圆2.4 圆周角 1圆周角和圆心角、弧的关系教学设计(新版)苏科版
玻璃 甲(O) A B 乙圆周角的定理 教学目标 (一)知识与技能 1、理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用； 2、准确地运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算。 (二)过程与方法 1、通过观察、比拟、分析圆周角与圆心角的关系开展学生合情推理和演绎推理的能力。 2、通过观察图形，提高学生的识图的能力 3、通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生探究问题的兴趣。 (三)情感与价值观 1、经过探索圆周角定理的过程，开展学生的数学思考能力。 2、通过积极引导，帮助学生有意识主动探究，并能在探究中获得成功的体验。 教学重点 圆周角定理、圆周角定理的推导及运用它们解题． 教学难点 1． 认识圆周角定理需要分三种情况逐一证明的必要性。 2． 推论的灵活应用以及辅助线的添加 教学突破 让学生学会分类讨论、转换化归是教学突破的关键 教学准备 教师准备：制作课件，精选习题 学生准备：复习有关知识，预习本节课内容，制作圆形纸片 教学过程 活动1： 创设情景，引入概念 师：课件〔出示圆柱形海洋馆图片〕 右图是圆柱形海洋馆的俯视图．海洋馆的前侧延伸到海洋里，并用玻璃隔开，人们站在海洋馆内部，透过其中的圆弧形玻璃窗可以观看到窗外的海洋动物． 如图是圆柱形的海洋馆横截面的示意图， AB ⌒表示圆弧形玻璃窗．同学甲站在圆心O 的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C ，丙、丁分别站在其他靠墙的位置D 和E ，
师：同学甲的视角∠AOB的顶点在圆心处，我们称这样的角为圆心角．同学乙的视角∠ACB、同学丙的视角∠A DB和同学丁的视角∠A EB不同于圆心角，是与圆有关的另一类角，我们称这类角为圆周角． 师：提出问题 问题1：观察∠ACB、∠A DB和∠A EB的边和顶点与圆的位置有什么共同特点？ 问题2：∠ACB、∠A DB和∠A EB与∠AOB有什么区别？ 问题3：∠ACB、∠A DB和∠A EB有哪些共同点？ 〔教师引导学生进行探究，并关注以下问题〕 1、问题的出示是否引起学生的兴趣 2、学生是否理解示意图 3、学生是否理解圆周角的定义 4、学生是否清楚了要探究的数学问题 生：这三个角的共同点有两个：①顶点都在圆周上；②两边都与圆相交． 师：评价并鼓励学生的总结给出肯定，我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 〔教师板书圆周角定义，并强调定义的两个要点，学生在学案上写出圆周角的定义．〕设计意图：从生活中的实例入手，让学生经历观察、分析，抽象出图形的共同属性，得出圆周角定义，理解圆周角概念的本质． 跟踪练习：请同学们根据定义答复下面问题：在以下与圆有关的角中，哪些是圆周角？哪些不是，为什么？
《圆周角与圆心角关系》说课稿
《圆周角与圆心角关系》说课稿 《圆周角与圆心角关系》说课稿1 下面我从教材分析、教法学法分析、教学过程分析、设计说明四个方面来谈谈我是如何分析教材和设计教学过程的。 教材分析 教材的地位和作用 本课是在学习了圆心角后进而要学习的圆的又一个重要的性质，它在推理、论证和计算中应用比较广泛，是圆这章的重点内容之一。 依学情定目标 我们面对的是已具备一定知识储备和一定认知能力的个性鲜明的学生，他们有较强的自我发展意识，根据新课程标准的学段目标要求，结合学生实际情况制订以下三个方面的教学目标： 1）知识目标：了解圆周角和圆心角的关系，有机渗透“由特殊到一般”思想、“分类”思想、“化归”思想。 2）能力目标：引导学生能主动地通过：实验、观察、猜想、验证“圆周角和圆心角的关系”，培养学生的合情推理能力、实践能力和创新精神，从而提高数学素养。 3）情感目标：创设生活情境激发学生对数学的“好奇心、求知欲”，营造“民主、和谐”的课堂氛围，让学生在愉快的学习中不断获得成功的体验，培养学生以严谨求实的态度思考数学。 3、教学重点、难点
重点：经历探索“圆周角和圆心角的关系”的过程，了解“圆周角和圆心角的关系” 难点：认识圆周角定理需分三种情况逐一证明的必要性。 教法、学法分析 数学教学是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程，因此，我认为教法和学法是密不可分的。本课采用以探究式教学法为主，发现法、分组交流合作法、启发式教学法等多种方法相结合，以学生的活动为主线，突出重点突破难点，发展学生的数学素养。注重数学与生活的联系，引导学生用数学的眼光思考问题、发现规律、验证猜想；注重学生的个性差异，因材施教，分层教学；为了转变以往学生只是认真听讲、机械记忆、练习巩固的被动学习方式，以探究式学习和有意义接受式学习为指导，引导学生在动手实践、自主探索、合作交流活动中发现新知、发展能力，充分发挥学生的主体作用。教师运用多元的评价对学生适时、有度的激励，帮助学生认识自我，建立自信，以“我要学”的主人翁姿态投入学习，不仅“学会”，而且“会学”、“乐学”。 教学过程分析 1、创设情境，导入新课 新课标指出“对数学的认识应处处着眼于人的发展和现实生活之间的密切联系”。根据这一理念和九年级学生的年龄特点、心理发展规律，联系生活中喜闻乐见的话题，创设有一定挑战性的问题情境，目的在于激发学生的探索激情和求知欲望。 欣赏一段精彩的足球视频。 学生依据自已在体育课上踢球的经验，思考：球员射中球门的难易程度与什么有关？
弧、弦、圆心角、圆周角—知识讲解
弧、弦、圆心角、圆周角一知识讲解(提高) 责编：常春芳 【学习目标】 1・了解圆心角、圆周角的槪念； 2.理解圆周角泄理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题； 3.掌握在同圆或等圆中，三组疑：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及 其它们在解题中的应用. 【要点梳理】 知识点一、弧、弦、圆心角的关系 1•圆心角定义 如图所示，ZAOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角. 2.定理； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 3推论： 在同圆或等圆中，如果两条孤相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等. 要点诠释： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征. (2)注意泄理中不能忽视"同圆或等圆”这一前提. 知识点二、圆周角 1.圆周角定义： 像图中ZAEB、ZADB、ZACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 2.圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. 3.圆周角定理的推论： 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 要点诠释：
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上：②角的两边都和圆相交.
（2）圆周角左理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 4. 圆内接四边形： （1） 泄义：圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形. （2） 性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）. 5. 弦、弧、圆心角、弦心距的关系： 在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何疑之间是相互关联的，即它们中间只要有一组疑 相等，（例如圆心角相等），那么其它各组量也分别相等（即相对应的弦、弦心距以及弦所对的呱也分别 相等）. *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等. 【典型例题】 证法一：如图①，••• AB=CD, ••• AB = CD. :.AB-BD = CD-BD,即 AD = BC. :.AD=BC ・ 证法二：如图②，连OA 、OB 、OC 、0D, V AB=CD, :. ZAOB = ZCOD ・ ••• ZAOB 一 ZDOB = ZCOD- ZDOB, 即 ZAOD= ZBOC, ••• AD=BC ・ 【点评】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而 图中没有已知的等 弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理.本题主要是考査弧、弦、圆 心角之间的关系，要证AD = BC,只需证AD = BC 或iiEZAOD=ZBOC 即可. 举一反三： 【变式】如图所示，已知AB 是00的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM 丄AB, DN 丄AB. 求证：AC = BD ・ 类型一、圆心角.弧.弦之间的关系及应用 【答案与解析】