【教案】 圆周角与圆心角、弧的关系
圆周角和圆心角的关系教案
圆周角和圆心角的关系教案教案：圆周角和圆心角的关系教学目标：1.理解圆周角和圆心角的定义；2.掌握圆周角和圆心角的关系；3.运用所学知识解决实际问题。
教学准备：1.教材：《数学必修二》；2.教具：投影仪、计算器。
教学过程：Step 1：导入新知1.讲解圆周角和圆心角的概念。
圆周角：圆上的两条弧所对的角叫做圆周角。
圆心角：由圆心射出的两条弧所对的角叫做圆心角。
2.提问学生：“在圆上，两条弧所对的角是否相等？”3.引导学生发现，根据圆周角的定义，圆周角的度数等于弧所对的圆心角的一半。
Step 2：讲解圆周角和圆心角的关系1.通过投影仪展示有关圆周角和圆心角的图形，并示范解题方法。
2.教师讲解定理：“在同一个圆或等圆中，所对圆心角相等的圆周角也相等；所对圆周角相等的圆心角也相等。
”Step 3：练习1.完成教材《数学必修二》的相关习题。
2.制定小组练习题，提高学生之间的合作学习能力。
Step 4：运用1.学生进行一些实际问题的解答，如“一个园丁想在花园中心种一圈花，他决定每两株花之间的夹角是圆心角45°，他一共要种多少株花？”引导学生运用圆周角和圆心角的关系解题。
2.学生自主完成其他实际问题的解答。
Step 5：总结1.归纳总结圆周角和圆心角的关系，明确圆周角等于所对圆心角的一半。
2.提问巩固所学内容。
教学扩展：1.学生之间进行小组竞赛，比赛谁能最快解出题目中的圆周角和圆心角的关系。
2.学生利用计算器综合运用所学知识解决实际问题。
九年级上册数学教案《圆周角与圆心角的关系》
九年级上册数学教案《圆周角与圆心角的关系》教材分析《圆周角》这节课是人教版九年级上册第二十四章第一节第四部分的内容，是在学生学习了圆、弧、弦、圆心角等概念和相关知识的基础上出现的。
圆周角与圆心角的关系，在圆的有关说理、作图、计算中，应用比较广泛。
通过对圆周角定理的探讨，培养学生严谨的思维品质。
同时，教会学生从特殊到一般的分类讨论的思维方法。
因此，本节课无论在知识上，还是方法上，都起着十分重要的作用。
所以这一节课既是对前面所学知识的延续，又是对后面研究圆与其它平面图形的桥梁。
学情分析初三学生已经具备一定的独立思考和探索能力，学生既能在探索过程中条理清晰地阐述自己的观点，又能在倾听别人意见的过程中，逐渐完善自己的想法。
因此，本节课设计了一系列探究活动，给学生提供探索与交流的空间，体现知识的形成过程。
由于学生有了自主意识及参与度的提高，因此，这节课可以给学生充分的时间讨论交流。
教学目标1、理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征。
2、经历探索圆周角与圆心角及其对弧关系的过程，了解并证明圆周角定理，发展合情推理和演绎推理的能力。
3、能用圆周角定理，进行计算及证明。
教学重点探索圆周角和圆心角的关系。
教学难点感悟圆周角和圆心角定理，证明过程中的分类、转化的数学思想。
教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法教学过程一、创设情境如图，运动员在球门前画了一个圆，进行无人防守的射门训练。
点B对球门AC的张角与点D对球门AC的张角，哪个张角大？师：要研究这个问题，我们先研究∠ABC、∠ADC、∠AEC。
观察这几个角，你发现了什么？学生经过观察，发现几个角的顶点都在圆上，角两边都与圆相交。
圆周角定义：顶点在圆上，两边分别与圆还有一个交点，像这样的角，叫做圆周角。
二、探究新知如图，连接AO，BO，得到圆心角∠AOB。
可以发现，∠ACB与∠AOB对着同̂，分别测量图中AB̂所对的圆周角∠ACB和圆心角∠AOB的度数，它们一条弧AB之间存在什么关系呢？我们来研究这个问题。
圆周角和圆心角的关系教案
圆周角和圆心角的关系教案教案目标：1. 理解和描述圆周角和圆心角的概念；2. 掌握圆周角和圆心角之间的关系；3. 能够解决与圆周角和圆心角相关的问题。
教学步骤：I. 引入（约5分钟）- 利用生活中的例子引起学生对圆周角和圆心角的注意，例如车轮、钟表等。
- 引导学生思考圆周角和圆心角的定义和特点。
II. 讲解圆周角和圆心角的概念（约10分钟）- 通过示意图解释圆周角和圆心角的定义，并介绍角度的度量单位。
- 强调圆周角是指相邻两条弧所对应的角，圆心角是指以圆心为顶点的角。
III. 圆周角和圆心角的关系（约15分钟）- 阐述圆周角和圆心角之间的关系，即圆周角的度数是圆心角的二倍。
- 使用具体案例和图形进行说明，让学生理解这一关系。
IV. 解决问题（约15分钟）- 给学生一些练习题，让他们应用所学的知识解决问题。
- 引导学生逐步解决问题，并给予必要的提示和指导。
- 鼓励学生主动思考和讨论，提高解决问题的能力。
V. 总结（约5分钟）- 和学生一起总结本节课所学的内容，检查是否达到了教学目标。
- 强调圆周角和圆心角之间的关系对圆的几何性质的重要性。
VI. 拓展活动（约10分钟）- 给学生一些拓展问题，让他们运用所学的知识进行探究和进一步思考。
- 鼓励学生在小组内互相讨论和合作，提出自己的观点和解决方法。
VII. 课堂作业（约5分钟）- 布置一些课后作业，包括练习题和思考题，巩固和拓展所学的内容。
- 强调作业的重要性，并鼓励学生按时完成和提交。
备注：以上教案的时间安排仅供参考，请根据实际情况做适当调整。
（教案完）。
3.4圆周角与圆心角的关系(教案)
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“3.4圆周角与圆心角的关系”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算圆周上角度的情况？”比如，在制作一个圆形的桌面时，如何确定桌面边缘的角度。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索圆周角与圆心角的奥秘。
教学内容具体包括：
a.圆周角定理：圆周角等于角等于其所对圆弧的一半。
c.推论：同弧所对的圆周角相等，圆心角相等。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观和空间想象能力，通过观察和操作，使学生在探究圆周角与圆心角的关系过程中，形成对几何图形的认识和理解。
2.提升学生的逻辑推理和数学论证能力，引导学生运用严密的逻辑推理方法证明圆周角与圆心角的关系，培养其数学思维能力。
b.圆周角定理及推论：使学生掌握圆周角定理及其推论，并能运用这些定理解决相关问题。
c.证明方法：培养学生运用严密的逻辑推理和几何论证方法证明几何定理的能力。
举例解释：
-在讲解圆周角与圆心角的概念时，教师可以通过实物演示和图示，使学生直观地理解两者之间的关系。
-对于圆周角定理及推论的讲解，教师应通过具体例题，让学生在实际操作中体会定理的应用，加深对定理的理解。
在学生小组讨论环节，整体效果较好，学生们能够提出自己的观点并与其他同学交流。但在引导与启发环节，我感觉自己提问的技巧还有待提高。有些问题可能过于简单，没有充分激发学生的思考。未来，我将努力提高提问质量，引导学生深入探讨问题。
中学数学《弧线与圆心角》教案设计
中学数学《弧线与圆心角》教案设计第一章：导入1.1 教学目标让学生了解弧线和圆心角的基本概念。
引导学生通过观察和思考，发现弧线和圆心角之间的关系。
1.2 教学内容介绍弧线的定义和特点。
介绍圆心角的定义和特点。
通过实例让学生理解弧线和圆心角之间的关系。
1.3 教学方法使用多媒体演示和实物模型，帮助学生直观地理解弧线和圆心角的概念。
引导学生进行观察和思考，发现弧线和圆心角之间的关系。
1.4 教学评估通过学生对弧线和圆心角概念的理解程度，评估学生对这部分知识的学习情况。
第二章：弧线的长度2.1 教学目标让学生掌握弧长公式，并能够运用到实际问题中。
2.2 教学内容介绍弧长公式的推导过程。
通过实例让学生运用弧长公式解决实际问题。
2.3 教学方法使用多媒体演示和实物模型，帮助学生理解弧长公式的推导过程。
引导学生进行实际问题的解决，巩固弧长公式的运用。
2.4 教学评估通过学生对弧长公式的理解和运用情况，评估学生对这部分知识的学习情况。
第三章：圆心角的大小3.1 教学目标让学生了解圆心角的大小与所对弧长的关系。
3.2 教学内容介绍圆心角的大小与所对弧长的关系。
通过实例让学生观察和理解圆心角大小与所对弧长的关系。
3.3 教学方法使用多媒体演示和实物模型，帮助学生直观地理解圆心角大小与所对弧长的关系。
引导学生进行观察和思考，发现圆心角大小与所对弧长的关系。
3.4 教学评估通过学生对圆心角大小与所对弧长的关系的理解和运用情况，评估学生对这部分知识的学习情况。
第四章：圆周角定理4.1 教学目标让学生掌握圆周角定理，并能够运用到实际问题中。
4.2 教学内容介绍圆周角定理的定义和证明过程。
通过实例让学生运用圆周角定理解决实际问题。
使用多媒体演示和实物模型，帮助学生理解圆周角定理的证明过程。
引导学生进行实际问题的解决，巩固圆周角定理的运用。
4.4 教学评估通过学生对圆周角定理的理解和运用情况，评估学生对这部分知识的学习情况。
【教学设计】圆周角和圆心角、弧的关系 (2)
圆周角和圆心角、弧的关系教学设计思想本节在探索圆周角和圆心角的关系的过程中，渗透了分类讨论的思想。
在探究活动中，学生体会分类讨论点必要性和方法。
本节课遵循“以教师为主导，以学生为主体”的教学原则，以“发展学生的思维”为主线。
教学过程中，通过设问进行师生之间，学生之间的交流，根据学生反馈的信息，教师对出现的问题及时加以校正。
最后通过练习及时反馈学生对知识掌握的情况，通过小结进一步使学生明确本节课的教学目标。
教学目标知识与技能：1．能说出圆心角、圆周角的概念；2．明确圆心角、圆周角的关系，直径所对圆周角的特征，并能灵活应用解决有关问题。
过程与方法：通过操作、探究，发现圆心角与弦的对等关系，圆心角与圆周角的关系，体验探索过程。
情感态度价值观：体会从“特殊到一般”的数学思想方法，及在解决问题中体会与他人合作交流的重要性，养成合作学习的习惯。
教学重难点重点：圆心角和圆心角的性质，圆心角和圆周角的关系难点：探究圆心角和圆心角相关性质的过程教学方法1．采用引导探究法，体现“教为主导，学为主体”的教学原则。
2．学法指导：通过教师的“教”导出学生动脑、动口、动手的“学”，使学生由“学会”向“会学”过渡，力争体现“教是为了不教“的原则。
教学媒体多媒体课时安排2课时教学过程设计第一课时一、创设情境，引入新课通过上一节的学习我们知道圆既是轴对称图形又是中心对称图形，那么我利用圆的旋转不变性，将⊙O绕圆心O旋转任意角度α后，出现一个角∠AOB，请同学们观察一下，这个角有什么特点？如图 (如有条件可电脑闪动显示图形．)在学生观察的基础上，由学生说出这个角的特点：顶点在圆心上．在此基础上，教师给出圆心角的定义，并板书．顶点在圆心的角叫做圆心角．再进一步观察，是∠AOB所对的弧，连结AB，弦AB既是圆心角∠AOB也是所对的弦.这节课我们就来研究圆心角与它所对的弧、弦之间的关系．二、一起探究1．请同学们自己画一个圆心角∠AOB，再在同一圆中画出与∠AOB相等的另一个圆心角∠COD，再作出它们所对的弦AB，CD。
同弧对应的圆周角和圆心角的关系
同弧对应的圆周角和圆心角的关系1. 弧与圆周角的关系在圆的周长上任意取一弧，做一点作为一圆周角的顶点，这样的圆周角叫做弧所对圆周角，记做∠A。
这个圆周角∠A的度数等于这个弧所对圆周角的圆心角的度数。
2. 圆心角的定义圆心角是指圆周上的一点和圆心连接起来形成的角。
圆心角的度数等于这个圆周角所对圆周角的度数。
3. 圆周角和圆心角的关系任意一段圆周上的弧所对的圆周角，都对应着一个圆心角。
而且这两个角的度数是相等的。
4. 推论由于圆周上的弧和它所对的圆周角以及它所对的圆心角是一一对应的关系，所以当我们已知一个弧所对的圆周角的度数时，也就同时确定了它所对的圆心角的度数。
5. 实例分析如果我们已知一个弧所对的圆周角的度数为60度，那么根据同弧对应的圆周角和圆心角的关系，我们就可以确定这个弧所对的圆心角的度数也为60度。
6. 应用在实际问题解决过程中，我们可以利用同弧对应的圆周角和圆心角的关系，通过已知的圆周角来求解对应的圆心角，进而解决相关问题。
总结：同弧对应的圆周角和圆心角的关系是圆的基本性质之一，是在圆的相关问题中常常会遇到的一个重要概念。
掌握了这一性质，可以帮助我们更加深入地理解圆的性质和圆的相关定理，同时也有助于我们更好地解决与圆相关的实际问题。
同弧对应的圆周角和圆心角的关系是在圆的几何性质中非常重要的一部分，它们之间的通联和规律在数学和几何学中具有广泛的应用。
接下来我们将深入探讨同弧对应的圆周角和圆心角的关系，并通过一些实例和推论来进一步加深我们的理解。
7. 弧长和角度的关系在研究同弧对应的圆周角和圆心角的关系时，我们还需要了解弧的长度和角度之间的关系。
根据弧长的定义，圆的周长等于360°，因此我们可以得出一个推论：一周的弧长所对的圆周角为360°。
这就是说，一周的弧长所对的圆心角也为360°。
8. 圆心角的性质除了与同弧对应的圆周角相等外，圆心角还具有以下性质：- 圆心角相等的弧所对的圆周角也相等；- 圆心角所对的圆弧长度相等；- 圆心角相等的弧所对的圆弧长度相等。
人教版九年级数学上册课件：第24章圆24.1.4 圆周角和圆心角、弧的关系(共20张PPT)
我们来分析第（1）种情况，如图（1），圆心 O在∠BAC的一条边上.
知2－讲
O A B O O C C A A C C A 1 2 B O C .
对于第（2）（3）种情况，可以通过添加辅助线（图 （2）（3）），将它们转化为第（1）种情况.从而得 到相同的结论（请你自己完成证明）.
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
知1－练
1 (中考·柳州)下列四个图中，∠x为圆周角的是( C)
（来自《典中点》）
知1－练
2 如图所示，图中的圆周角共有___4___个，其中A⌒B 所对的圆周角是_∠__C__与_∠__D_____，C⌒D所对的圆周角 是_∠__A_与__∠__B___．
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圆周角与圆心角、弧的关系
一、知识讲解：
1．圆周角与圆心角的的概念：
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2．在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。
3．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。
4．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。
5．圆的内接四边形对角之和是180度。
6．弧的度数就是圆心角的度数。
解题思路：
1．已知圆周角，可以利用圆周角求出圆心角
2．已知圆心角，可以利用圆心角求出圆周角
3．已知直径和弧度，可以求出圆周角与圆心角
1.圆周角与圆心角的定义
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
注意圆周角定义的两个基本特征：
(1)顶点在圆上；
(2)两边都和圆相交。
二、教学内容
【1】圆心角：顶点在圆心的角。
利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个基本特征：
练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．
【2
一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。
已知：⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，
求证：∠BAC= 1/2∠BOC.
分析：通过图形的演示指导学生进一步去寻找圆心O与∠BAC的关系
本题有三种情况：
（1）圆心O在∠BAC的一边上 O
（2）圆心O在∠BAC的内部
（3）圆心O在∠BAC的外部 B D C
●如果圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角
形的性质即可证明
●如果圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将这个角转化为上述
情况的两个角的和或差即可
证明:
圆心O在∠BAC的一条边上 A
OA=OC==>∠C=∠BAC
∠BOC=∠BAC+∠C O
==>∠BAC=1/2∠BOC. B C
【3】圆周角与圆心角的关系
（1）．在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。
（2）．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。
（3）．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。
（4）．圆的内接四边形对角之和是180度。
（5）．弧的度数就是圆心角的度数。
三、精讲精练
（一）选择、填空题：
1．在⊙O中，同弦所对的圆周角（）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．都不对
2．如图，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数是（）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
3．下列说法正确的是（）
A．顶点在圆上的角是圆周角
B．两边都和圆相交的角是圆周角
C．圆心角是圆周角的2倍
D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半
4．下列说法错误的是（）
A．等弧所对圆周角相等 B．同弧所对圆周角相等
C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等． D．同圆中，等弦所对的圆周角相等
5．如图4，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD=25°，则∠AOD= ．
6．如图5，⊙O直径MN⊥AB于P，∠BMN=30°，则∠AON= ．
7.⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（）．
A、30°
B、150°
C、30°或150°
D、60°
8.△ABC中，∠B＝90°，以BC为直径作圆交AC于E，若BC=12，AB=12，则
的度数为（）．
A、60°
B、80°
C、100°
D、120°
9.如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，D是AB上一点，AB与CD交于E点，则图中60°的角共有( )个．
A、3
B、4
C、5
D、6
10.如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=25°，则∠A的度数为（）
A、70°
B、65°
C、60°
D、50°
11.圆内接三角形三个内角所对的弧长为3:4:5，那么这个三角形
内角的度数分别为__________．
（二）解答题
1．如图，以△ABC的BC边为直径的半圆交AB于D，交AC于E，过E点作EF⊥BC，垂足为F，且BF：FC=5：1，AB=8，AE=2，求EC 的长．
2．如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？
3.如图，OA、OB、OC都是圆O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：∠ACB=2∠BAC
4. 如图，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E．（1）求证：△DOE是等边三角形；（2）如图3-3-14，若∠A=60°，AB≠AC，则①中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由？
5. 如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长．
6. 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于D，AD=9cm，DB=4cm，求CD和AC的长．
7.如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．
（1）求证：AC⊥OD；
（2）求OD的长；
（3）若2sinA－1=0，求⊙O的直径．
8.四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BC=b ，AB=AC=AD=a ，如图3-3-15，求BD 的长．
9.如图1，AB 是半⊙O 的直径，过A 、B 两点作半⊙O 的弦，当两弦交点恰好落在半⊙O 上C 点时，则有AC ·AC ＋BC ·BC=AB 2．
（1）如图2，若两弦交于点P 在半⊙O 内，则AP ·AC ＋BP ·BD=AB 2是否成立？请说明理由．
（2）如图3，若两弦AC 、BD 的延长线交于P 点，则AB 2= ．参照（1）填写
相应结论，并证明你填写结论的正确性．
10．如图8，⊙O 中，两条弦AB ⊥BC ，AB=6，BC=8，求⊙O 的半径．
11．如图9，AB 是⊙O 的直径，FB 交⊙O 于点G ，FD ⊥AB ，垂足为D ，FD 交AG 于E ．求证：EF ·DE=AE ·EG ．
12．如图，AB 是半圆的直径，AC 为弦，OD ⊥AB ，交AC 于点D ，垂足为O ，⊙O 的半径为4，OD=3，求CD 的长．
13．如图，⊙O 的弦AD ⊥BC ，垂足为E ，∠BAD=∠α，∠CAD=∠β，且sin α=5
3
，
cos β=3
1
，AC=2，求（1）EC 的长；（2）AD 的长．
14
（1）求证：
（2）当D 为15ABCD 对角线AC 、BD 交于点（1（2）已知
（3）在（2）的条件下，求弦AB 的长．
16．如图，已知AB 是O 的直径，AC 是弦，过点O 作OD AC ⊥于D ，连结BC ． （1）求证：1
2
OD BC =
； （2）若40BAC =∠，求ABC 的度数．
四、小结：
1、圆周角与圆心角的概念
2、圆心角与圆周角的大小关系。