考研数学等价无穷小代换
考研数学(数学二)模拟试卷283(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷283(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．已知f(x)在x=0某邻域内连续，且f(0)=0，，则在点x=0处f(x)( )．A．不可导B．可导但f’(x)≠0C．取得极大值D．取得极小值正确答案：D解析：利用等价无穷小的代换求得f(x)．由于x→0时，1-cos～1/2x2，所以令f(x)=x2，则f(x)符合原题设条件，而f(x)在x=0处可导f’(0)=0，取极小值．则(A)、(B)、(C)均不正确，选(D)．2．曲线y=e1/x2arctan的渐近线有( )．A．1条B．2条C．3条D．4条正确答案：B解析：因故y=π/4是曲线的水平渐近线，又故x=0是曲线的垂直渐近线．故应选(B)．3．设函数f(x)在[a，b]上有定义，在开区间(a，b)内可导，则( )．A．当f(a).f(b)＜0时，存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0B．对任何ξ∈(a，b)，有C．当f(a)=f(b)时，存在ξ∈(a，b)，使f’(ξ)=0D．存在ξ∈(a，b)，使f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)正确答案：B解析：由于f(x)在(a，b)内可导，ξ∈(a，b)则f(x)在ξ点可导，因而在ξ点连续，故所以应选(B)．4．设f(x)=，则f(x)在点x=1处的( )．A．左、右导数都存在B．左导数存在，但右导数不存在C．左导数不存在，但右导数存在D．左、右导数都不存在正确答案：B解析：由左、右导数的定义知所以f_’(1)=2，但f+’(1)不存在．故应选(B)．5．设函数f(x)在(-∞，+∞)上连续，则d∫f(x)dx等于( )．A．f(x)B．f(x)dxC．f(x)+CD．f’(x)dx正确答案：B解析：因，故应选(B)．6．设函数，其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：由题设可得7．设n阶方程A=(a1，a2，…，an)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，γn)，记向量组(Ⅰ)：a1，a2，…，an(Ⅱ)：β1，β2，…，βn，(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γn，如果向量组(Ⅲ)线性相关，则( )．A．向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)都线性相关B．向量组(Ⅰ)线性相关C．向量组(Ⅱ)线性相关D．向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)中至少有一个线性相关正确答案：D解析：因为向量组(Ⅲ)线性相关，所以矩阵AB不可逆，即｜AB｜=｜A｜｜B｜=0．因此｜A｜、B｜中至少有一个为0，即A与B中至少有一个不可逆，亦即向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)中至少有一个线性相关，所以选(D)．8．设A是n阶矩阵，且A的行列式｜A｜=0，则A( )．A．必有一列元素全为0B．必有两列元素对应成比例C．必有一列向量是其余列向量的线性组合D．任一列向量是其余列向量的线性组合正确答案：C解析：本题考查｜A｜=0的充分必要条件，而选项(A)、(B)、(D)都是充分不必要条件．以3阶矩阵为例，若A=，条件(A)、(B)均不成立，但｜A｜=0．若A=，则｜A｜=0，但第3列并不是其余两列的线性组合，可见(D)不正确．这样，用排除法可知应选(C)．填空题9．设，其中f可导，且f’(0)≠0，则dy/dx｜t=0=__________．正确答案：3解析：10．函数y=x+2cosx在上的最大值为__________．正确答案：解析：先求出[0，π/2]内的驻点，再将驻点的函数值与端点的函数值比较即可得最值．因为y’=1-2sinx，令y’=0，得[0，π/2]内的驻点x=π/6．又y(0)=2，11．设函数z=z(x，y)由方程F(x-az，y-bz)=0所给出，其中F(u，v)任意可微，则=_________．正确答案：1解析：因故12．=_________．正确答案：π/12解析：13．y=2x的麦克劳林公式中xn项的系数是_________．正确答案：解析：由题设，根据麦克劳林公式，xn的系数为14．设，已知Aa与a线性相关，则a=_________．正确答案：-1解析：，由于Aa与a线性相关，则存在数k≠0 使Aa=ka，即a=ka，2a+3=k，3a+4=k三式同时成立．解此关于a，k的方程组可得a=-1，k=1．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2006年考研数学一真题与答案
2006年考研数学一真题一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。
）(1)。
【答案】2。
【解析】等价无穷小代换：当时，所以综上所述，本题正确答案是2。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较(2)微分方程的通解为__________。
【答案】，为任意常数。
【解析】原式等价于（两边积分）即，为任意常数综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程(3)设是锥面的下侧，则。
【答案】。
【解析】设，取上侧，则而所以综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算(4)点(2,1,0)到平面的距离。
【答案】。
【解析】点到平面的距离公式：其中为点的坐标，为平面方程所以综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—向量代数和空间解析几何—点到平面和点到直线的距离(5)设矩阵，为二阶单位矩阵，矩阵满足，则___________。
【答案】2。
【解析】因为，所以。
综上所述，本题正确答案是。
【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质线性代数—矩阵—矩阵的线性运算(6)设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则___________。
【答案】。
【解析】本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简单函数的分布。
事件又根据相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出综上所述，本题正确答案是。
【考点】概率论—多维随机变量的分布—二维随机变量的分布二、选择题（7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(7)设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则(A) (B)(C) (D)【答案】A。
【解析】【方法一】由函数单调上升且凹，根据和的几何意义，得如下所示的图由图可得【方法二】由凹曲线的性质，得，于是，即综上所述，本题正确答案是A。
考研高数中求极限的几种特殊方法
考研高数中求极限的几种特殊方法在数学分析中，极限是研究函数的重要工具。
通过极限，我们可以研究函数的性质，进行函数的计算，以及解决与函数相关的问题。
求函数极限的方法有很多种，以下是几种常见的方法。
对于一些简单的初等函数，我们可以直接根据函数的定义代入特定的x值来求得极限。
例如，求lim (x→2) (x-2)，我们可以直接代入x=2，得到极限为0。
当函数在某一点处的极限存在时，如果从该点趋近的数列是无穷小量，则此函数在该点处的极限就等于该数列的极限。
例如，求lim (x→0) (1/x)，我们可以令x=1/t，当t→∞时，x→0，而t=1/x趋近于无穷小量，所以lim (x→0) (1/x) = lim (t→∞) (t) = ∞。
洛必达法则是求未定式极限的重要方法。
如果一个极限的形式是0/0或者∞/∞，那么我们可以通过对函数同时取微分的方式来找到极限的值。
例如，求lim (x→+∞) (x^2+3)/(2x^2+1)，分子分母同时求导，得到lim (x→+∞) (2x/4x) = lim (x→+∞) (1/2) = 1/2。
对于一些复杂的函数，我们可以通过泰勒展开的方式将其表示为无限多项多项式之和的形式。
通过选取适当的x值，我们可以使得多项式的和尽可能接近真实的函数值。
例如，求lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x，我们可以使用泰勒展开得到lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x = lim (x→0) m(1+x)^(m-1) = m。
夹逼定理是一种通过构造两个有界序列来找到一个数列的极限的方法。
如果一个数列的项可以划分为三部分，而每一部分都分别被两个有界序列所夹逼，那么这个数列的极限就等于这两个有界序列的极限的平均值。
例如，求lim (n→∞) (n!/(n^n))^(1/n)，令a_n=(n!/(n^n))^(1/n)，则a_n ≤ a_{n+1}且a_n ≥ a_{n-1}，因此由夹逼定理可知lim a_n=lim a_{n+1}=lim a_{n-1}=1。
考研数学三(填空题)高频考点模拟试卷55(题后含答案及解析)
考研数学三（填空题）高频考点模拟试卷55(题后含答案及解析) 题型有：1.1．正确答案：解析：应用等价无穷小因子代换。
因为知识模块：微积分2．在一长为l的线段上的随机掷两点，使这个线段分成三段，则这三段能构成三角形的概率为_______．正确答案：解析：如图1建立坐标系，题目中的线段即线段Ol(图中)，随机掷的两点坐标分别为X和Y，由题意知X与Y独立同分布，均服从区间(0，1)上的均匀分布，(X，Y)的概率密度为所得到的3段线段长分别为min(X，Y)，｜X—Y｜，l－max(X，Y)，而(这3段能构成三角形}{这3段中任2段长度之和＞}{这3段中任一段长度都＜} 故P{这3段能构成三角形} ＝P{min(X，Y)＜，｜X －Y｜＜，l－max(X，Y)＜} ＝P{min(X，Y)＜，｜X－Y｜＜，l－max(X，Y)＜，X≥Y}＋P{min(X，Y)＜，｜X－Y｜＜，l－max(X，Y)＜，X＜Y} 其中G1与G2见图2中阴影部分．知识模块：概率论与数理统计3．设f(x，y)满足＝2，f(x，0)＝1，f’y(x，0)＝x，则f(x，y)＝______．正确答案：y2＋xy＋1解析：由＝2y＋φ1(x)，因为f’y(x，0)＝x，所以φ1(x)＝x，即＝2y＋x，再由＝2y＋x得f(x，y)＝y2＋xy＋φ2(x)，因为f(x，0)＝1，所以φ2(x)＝1，故f(x，y)＝y2＋xy＋1．知识模块：微积分4．设z＝f(x，y)是由e2yz＋x＋y2＋z＝确定的函数，则＝______．正确答案：解析：将代入e2yz＋x＋y2＋z＝中得x＝0，e2yz＋x＋y2＋z＝两边求微分得2e2yz(zdy＋ydz)＋dx＋2ydy＋dz＝0，将x＝，y＝，z＝0代入得知识模块：微积分5．已知X的概率密度f(x)=，aX+b～N(0，1)(a＞0)，则常数A=________，a=________，b=________。
考研数学二知识点总结3篇
考研数学二知识点总结3篇考研数学二知识点总结3篇学习需要具备逆境和挑战的锻炼精神，能够从困难和挫折中成长和进步。
学习需要立足当下，同时注重长远规划和发展，具备未来感和战略眼光。
下面就让小编给大家带来考研数学二知识点总结，希望大家喜欢!考研数学二知识点总结1高数第一章函数、极限、连续等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒展开式求函数的极限函数连续的概念、函数间断点的类型判断函数连续性与间断点的类型第二章一元函数微分学导数的定义、可导与连续之间的关系按定义求一点处的导数，可导与连续的关系函数的单调性、函数的极值讨论函数的单调性、极值闭区间上连续函数的性质、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理微分中值定理及其应用第三章一元函数积分学积分上限的函数及其导数变限积分求导问题有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的积分计算被积函数为有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的不定积分和定积分第四章多元函数微积分学隐函数、偏导数、全微分的存在性以及它们之间的因果关系函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连续性的讨论与它们之间的因果关系二重积分的概念、性质及计算二重积分的计算及应用第五章常微分方程一阶线性微分方程、齐次方程，微分方程的简单应用用微分方程解决一些应用问题线性代数第一章行列式行列式的运算计算抽象矩阵的行列式第二章矩阵矩阵的运算求矩阵高次幂等矩阵的初等变换、初等矩阵与初等变换有关的命题第三章向量向量组的线性相关及无关的有关性质及判别法向量组的线性相关性线性组合与线性表示判定向量能否由向量组线性表示第四章线性方程组齐次线性方程组的基础解系和通解的求法求齐次线性方程组的基础解系、通解第五章矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵特征值和特征向量的性质，化为相似对角阵的方法有关实对称矩阵的问题相似变换、相似矩阵的概念及性质相似矩阵的判定及逆问题第六章二次型二次型的概念求二次型的矩阵和秩合同变换与合同矩阵的概念判定合同矩阵考研数学二知识点总结2一、高等数学同济六版高等数学中除了第七章微分方程考带号的伯努利方程外，其余带号的都不考;所有“近似”的问题都不考;第四章不定积分不考积分表的使用;不考第八章空间解析几何与向量代数;第九章第五节不考方程组的情形;到第十章二重积分、重积分的应用为止，后面不考了;二、线性代数数学二用的教材是同济五版线性代数，1-5章：行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换及其方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型;三、数学二不考概率与数理统计研究典型题型对于数二的同学来说，需要做大量的试题。
2011考研数学一真题和答案解析
2010年考研数学一真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)极限lll l →∞[l 2(l −l )(l +l )]l=(A)1 (B)l (C)l l −l (D)l l −l 【考点】C 。
【解析】 【方法一】这是一个“1∞”型极限lll l →∞[l 2(l −l )(l +l )]l =lll l →∞{[1+(l −l )l +ll (l −l )(l +l )](l −l )(l +l )(l −l )l +ll }(l −l )l +ll(l −l )(l +l )l =l l −l【方法二】 原式=lll l →∞llll l 2(l −l )(l +l )而lll l →∞lll l 2(l −l )(l +l )=lll l →∞lll (1+(l −l )l +ll(l −l )(l +l ))=lll l →∞l ∙(l −l )l +ll(l −l )(l +l ) (等价无穷小代换)=l −l则lll l →∞[l 2(l −l )(l +l )]l=l l −l【方法三】对于“1∞”型极限可利用基本结论：若llll (l )=0, llll (l )=0,且llll (l )l (l )=l则ll l (1+l (l ))l (l )=l l ,求极限由于lll l →∞l (l )l (l )=lll l →∞l 2−(l −l )(l +l )(l −l )(l +l )∙l =llll →∞(l −l )l 2+lll (l −l )(l +l )=l −l则lll l →∞[l 2(l −l )(l +l )]l =l l −l【方法四】lll l →∞[l 2(l −l )(l +l )]l=lll l →∞[(l −l )(l +l )l 2]−l=lll l →∞(1−l l )−l ∙lll l →∞(1+l l )−l=l l ∙l −l=l l −l综上所述，本题正确答案是C 。
考研数学-专题4 无穷小量阶的比较
(k
f −
(x) 1) x k
−2
=
2
lim
x→0
(k
f ′(x) −1)(k − 2)xk
−3
= 2 f ′(0) ≠ 0 (k −1)(k − 2)
(k = 3)
故选（C）. 【解 2】排除法
【例 5】(2013 年 2,3) 当 x → 0 时,1 − cos x ⋅ cos 2x ⋅ cos3x 与 axn 为等价无穷小,求 n 与 a
（D） k = 3,c = −4.
5
【解 4】（代入法）
【例 4】(1996 年 1,2)设 f (x) 有连续导数, f (0) = 0 , f ′(0) ≠ 0 ,
∫ F(x) =
x
(
x2
−
t
2
)
f
(t)dt
,且当
x
→
0
时,
F
′(x)
与
x
k
为同阶无穷小,则
k
等于（
）
0
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
7
⎧
⎪⎪⎪⎨b1 ⎪ ⎪ ⎪⎩
+ −
a 3
a=0 a =0 2
=k
故 a = −1,b = − 1 , k = − 1 .
2
3
【解 2】
【例 7】(2020 年 3)
已知 a,b 为常数，若 (1+
1 )n n
−
e
与
b na
在 n → ∞ 时是等价无穷小，求
a, b.
(1+ 1 )n 【解 1】1 = lim n
2006年考研数学一真题及解析
x 2 + y 2 (0 ≤ z ≤ 1) 的下侧，则
∫∫ xdydz + 2 ydzdx + 3(z − 1)dx dy = 2π .
Σ
【分析】 本题 Σ 不是封闭曲面， 首先想到加一曲面 Σ1 ： ⎨
⎧z =1 ， 取上侧， 使 Σ + Σ1 2 2 ⎩x + y ≤1
构成封闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计 算即可. 【详解】 设 Σ1 ： z = 1( x + y ≤ 1) ，取上侧，则
未定式极限的求解利用等价无穷小代换即可本题为分析lim详解lim本方程为可分离变量型先分离变量然后两边积分即可分析原方程等价为详解两边积分得lnlndzdydydx构成封闭曲面然后利用高斯公式转化为三重积分再用球面或柱面坐标进行计
2006 年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析 一、填空题：1－6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.
2 2
∫∫ xdydz + 2 ydzdx + 3(z − 1)dx dy
Σ
=
而
∫∫
Σ+ Σ1
xdydz + 2 ydzdx + 3( z − 1)dx dy − ∫∫ x dy dz + 2 y dz dx + 3(z − 1)dx dy .
Σ1 2π 1 1
∫∫
Σ+ Σ1 Σ1
xdydz + 2 ydzdx + 3( z −1)dx dy ＝ ∫∫∫ 6dv = 6 ∫0 dθ ∫0 rdr ∫r dz = 2π ，
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考研数学等价无穷小代换
更多技巧尽在考研数学（/u/2461250915）每周至少更新两次
众所周知，考研数学里面一部分题目需要求极限，大多数同学处理这类问题的方法是洛必达法则，但是，运用洛必达法则运算量大，运算步骤繁琐，因而也就容易出错，稍有不慎，则会算错，尤其对于选择填空题，一旦算错，一分也没有，而且，洛必达法则需要的时间也较多，如果一味的使用洛必达法则，则有可能浪费大量的时间，得不偿失。
这里介绍一些求极限等问题的特殊技巧，基本上可以涵盖所有的求极限题目，因为，我们所学的初等函数有五类，反三角函数，对数函数，幂函数，三角函数，指数函数，简称反对幂三指，以下是这五类函数的无穷小代换。
以下x均趋近于0
常见代换：x~sin x~tan x~arctan x~arcsin x
幂函数代换：(1+x)λ~λx+1 λ可以取整数也可以取分数
指数函数代换：e x ~x + 1 a x ~ lna·x + 1
对数代换：ln(1+x) ~ x log a(1+x) ~ x/lna
差代换：1.二次的：1－cos x ~ x2/2 x－ln(1+x) ~ x2/2
2三次的：(1)三角的：x －sin x ~ x3/6 tan x －x ~ x3/3 tan x －sin x ~ x3/2
(2)反三角的：arcsin x －x ~ x3/6 x －arctan x ~ x3/3
arcsin x －arctan x ~x3/2
下面来举几个例子简单的说一下这些技巧怎么用
例如：求：当x→0时，lim(arcsin x－arctan x)/ x3的值。
当求这个极限的值的时候，如果用洛必达法则，计算量则会很大，这里不再赘述运用洛必达法则如何求解，只介绍如何使用上述技巧。
lim(arcsin x－arctan x)/ x3=lim(1/2 x3)/ x3=1/2
大家可以自己做一下洛必达法则的方法，对比一下两者之间的差别。
需要注意的是，等价无穷小的运用往往不止一次，只要发现运用洛必达法则运算困难，则可以尝试等价无穷小代换。