差函数的等价无穷小替换
等价无穷小替换_极限的计算
无穷小 极限的简单计算一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。
下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈000x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→nn n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。
显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如0l i m =-∞→x x e ， +∞=+∞→xx e lim ，所以xe 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大，则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()x f 1为无穷大。
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()()(),x x x f x A f x A x α®=?+其中)(x α是自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中的无穷小.证：（必要性）设0lim (),x x f x A ®=令()(),x f x A α=-则有0lim ()0,x x x α®=).()(x A x f α+=∴（充分性）设()(),f x A x α=+其中()x α是当0x x ®时的无穷小，则lim ()lim(())x x xx f x A x α =+ )(lim 0x A x x α→+= .A =【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）0()(),().f x x f x A x α»给出了函数在附近的近似表达式误差为 3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如nn 1,,∞→ .11不是无穷小之和为个但n n 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 如：01)1(lim =-∞→n nn ，01sin lim 0=→xx x ，0sin 1lim =∞→x x x推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，2210,,,sin ,sinx x x x x x®当时都是无穷小，观察各极限： xx x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x xxx sin lim0→,1=;sin 大致相同与x x2201sinlimx x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义: 设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α¹(1)lim0,,();o ββαβαα==如果就说是比高阶的无穷小记作 ;),0(lim )2(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ≠=C Clim 1,~;ββααβα=特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作(3)lim(0,0),.kC C k k ββαα=?如果就说是的阶的无穷小例1 .tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →证：430tan 4lim x x x x →30)tan (lim 4xx x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x → 例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→ 解30sin tan limx x x x -→ )cos 1tan (lim 20x x x x x -⋅=→,21=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴ 2．常用等价无穷小:,0时当→x（1）x sin ～x ； （2）x arcsin ～x ； （3）x tan ～x ； （4）x arctan ～x ； （5）)1ln(x +～x ； （6）1-xe ～x（7）x cos 1-～22x （8）1)1(-+μx ～x μ （9）1xa -～ln a x *用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim=αβ ,0lim =-∴αβα),(αβαo =-即).(αβαo +=于是有 例如),(sin x o x x +=).(211cos 22x o x x +-= 3．等价无穷小替换定理：.lim lim ,lim ~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设 证：αβlim)lim(αααβββ'⋅''⋅'=αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''=例3 （1）.cos 12tan lim20xx x -→求； （2）1cos 1lim20--→x e x x 解: （1）.2~2tan ,21~cos 1,02x x x x x -→时当 故原极限202(2)lim 12x x x ®== 8（2）原极限=2lim 220xx x -→=21- 例4 .2sin sin tan lim30xxx x -→求错解: .~sin ,~tan ,0x x x x x 时当→30)2(limx xx x -=→原式=0正解: ,0时当→x ,2~2sin x x )cos 1(tan sin tan x x x x -=-,21~3x 故原极限33012lim (2)x xx ®=.161=【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
等价无穷小在计算函数极限中的应用
等价无穷小在计算函数极限中的应用
王洪涛
【期刊名称】《读写算（教研版）》
【年(卷),期】2014(000)005
【摘要】求函数极限的方法很多，等价无穷小代换法就是其中之一。
很多问题利用等价无穷小代换不仅能解决问题，而且显得非常简单。
本文结合具体例子，对等价无穷小代换法的应用作一探讨。
【总页数】1页(P203-203)
【作者】王洪涛
【作者单位】新乡职业技术学院河南新乡 453006
【正文语种】中文
【中图分类】G712
【相关文献】
1.等价无穷小在求函数极限中的应用
2.浅谈等价无穷小在求复合函数极限中的应用
3.等价无穷小在求函数极限中的应用刍议
4.几对差函数的等价无穷小量在求极限中的应用
5.等价无穷小量替换法在复合函数极限中的应用
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差函数的等价无穷小代换
差函数的等价无穷小代换当x→0时，sinx~x；tanx~x；arcsinx~x；arctanx~x；1-cosx~(1/2)*（x^2）；（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)；（e^x）-1~x；ln(1+x)~x；(1+bx)^a-1~abx；loga(1+x)~x/lna。
首先来看看什么是无穷小：无穷小就是以数零为音速的变量。
确切地说，当自变量x无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时，函数值f(x)与零无限接近，即f(x)=0(或f(x0)=0)，则称f(x)为当x→x0时的无穷小量。
比如，f(x)=(x－1)2就是当x→1时的无穷小量，f(n)=1/n就是当n→∞时的无穷小量，f(x)=sinx就是当x→0时的无穷小量。
特别必须表示的就是，切勿把不大的数与无穷小量混为一谈。
这里值得一提的是，无穷小是可以比较的：假设a、b都就是lim(x→x0)时的无穷小，如果lim b/a=0，就说b是比a高阶的无穷小，记作b=o（a）如果lim b/a=∞，就是说b就是比a低阶的无穷小。
比如b=1/x^2， a=1/x。
x-\ue无穷时，通俗的说，b时刻都比a更快地趋于0，所以称做是b高阶。
假如有c=1/x^10,那么c比a b都要高阶，因为c更快地趋于0了。
如果lim b/a^n=常数c≠0（k\ue0），就说道b就是关于a的n阶的无穷小， b和a^n就是同阶无穷小。
下面来介绍等价无穷小：从无穷小的比较里可以晓得，如果lim b/a^n=常数，就说道b就是a的n阶的无穷小，b和a^n就是同阶无穷小。
特定地，如果这个常数就是1，且n=1，即lim b/a=1，则表示a和b就是等价无穷小的关系，记作a～b等价无穷小在求极限时有重要应用，我们有如下定理：假设lim a～a'、b～b'则：lim a/b=lim a'/b'现在我们建议这个音速lim(x→0) sin(x)/(x+3)根据上述定理当x→0时 sin(x)～x (重要极限一) x+3～x+3 ，那么lim(x→0)sin(x)/(x+3)=lim(x→0) x/(x+3)=1等价无穷小就是无穷小之间的一种关系，所指的就是：在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的音速为1，则表示这两个无穷小就是等价的。
等价无穷小替换公式常用
等价无穷小替换公式常用关键信息项：1、等价无穷小的定义2、常见的等价无穷小替换公式3、适用条件和限制4、应用举例5、误差分析与注意事项11 等价无穷小的定义等价无穷小是指在某一极限过程中，两个函数的比值趋近于 1。
即当自变量趋近于某个值时，两个函数的差值相对于它们本身来说可以忽略不计。
111 例如，当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 是等价无穷小。
12 常见的等价无穷小替换公式以下是一些常见的等价无穷小替换公式，在满足一定条件下可以相互替换：当 x 趋近于 0 时：121 sin x ～ x122 tan x ～ x123 arcsin x ～ x124 arctan x ～ x125 ln(1 ＋ x) ～ x126 e^x 1 ～ x127 1 cos x ～（1/2)x^2128 （1 ＋ x)＾a 1 ～ ax （a 为常数）13 适用条件和限制等价无穷小替换公式并非在所有情况下都能随意使用，需要满足一定的条件。
131 替换的无穷小必须是在极限过程中趋于 0 的量。
132 只能在乘除法中进行等价无穷小的替换，在加减法中一般不能直接替换，除非经过特殊的处理和判断。
133 替换后的式子必须存在极限，且极限值应与原式子的极限值相同。
14 应用举例通过以下例子来说明等价无穷小替换公式的应用：例 1：求极限lim(x→0) （sin x ／ x)解：因为当x→0 时，sin x ～ x，所以lim(x→0) （sin x ／ x) ＝lim(x→0) （x ／ x) ＝ 1例 2：求极限lim(x→0) （tan x x) ／ x^3解：tan x x ＝（sin x ／ cos x) x ＝（sin x x cos x) ／ cos x当x→0 时，sin x x cos x 不能直接用等价无穷小替换。
通过泰勒展开：sin x ＝ x （1/6)x^3 ＋ o(x^3)，cos x ＝ 1 （1/2)x^2 ＋ o(x^2)则 x cos x ＝ x （1/2)x^3 ＋ o(x^3)所以 sin x x cos x ＝（1/2)x^3 ＋ o(x^3)因此lim(x→0) （tan x x) ／ x^3 ＝lim(x→0) （1/2)x^3 ／ x^3 ＝1/215 误差分析与注意事项在使用等价无穷小替换公式时，需要注意可能产生的误差。
等价无穷小替换及洛必达法则
例 4 求 lim x ln x ，其中 0 . x 0
在用洛必达法则求待定型时，应注意以下几点：
（1）在
0 0
或
待定型中，
lim
f (x) g ( x)
不存在，不能断言
lim
f (x) 不存在！例如 g(x)
6
lim
x
sin
x x
x
＝
1。但 lim x
(sin
x x
00, 求
lim
x0
f
( x).
8. 拆项，凑项求极限
例 21 求极限 lim e x cos x ；
x0
x
3
例 22
求极限
lim
3
sin
x
x
2
cos
1 x
x0
2x
【启发与讨论】
思考题
1：当
x
0
时，
y
1 x
sin
1 x
是无界变量吗？是无穷大吗？
解： (1)
取
x0
1 2k
＝
A
t
例 1 求 lim x x0 1 e2 x
例2
求极限
lim
x0
ex
(1 ln(1
2x)1/ 2 x2)
关于 待定型，也有类似的洛必达法则．
定理 若(1) f (x) ， g(x) 在 (a, a ) 可导且 g(x) 0 ，其中 0 ；
5
(2) lim f (x) ＝ lim g(x) ＝ ；
常用等价无穷小:当x 0时,
（1） sin x ～ x ；
等价无穷小替换定理本质及推广
等价无穷小替换定理本质及推广作者：窦慧来源：《教育教学论坛》2014年第30期摘要：通过等价无穷小的认知、分析，指出了等价无穷小替换定理的本质是将无穷小的基本初等函数替换为无穷小的幂函数，将等价无穷小替换定理由乘积推广到了和差运算，建立了新的定理。
关键词：基本初等无穷小；等价；初等无穷小；幂函数中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）30-0106-03文[1～7]给出了无穷小的定义、无穷小的阶以及等价无穷小替换定理的各种不同变形，讨论了等价无穷替换定理的各种应用。
本文说明了等价无穷小替换定理的本质——用幂函数等价替换初等无穷小，并在此基础上将等价无穷小替换定理的应用范围由乘法运算推广到和差运算。
一、初等无穷小的定义和性质众所周知，当x→0时sinx，arcsinx，tanx，arctanx，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）均为无穷小，而且与λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等价。
为了描述方便，作如下定义：定义称时sinx，arcsinx，tanx，arctanx，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）为当x→0时的基本初等无穷小。
性质1 x→0时的基本无穷小均与λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等价。
性质2 基本初等无穷小复合运算后所得的初等无穷小λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等价。
证设α（x）、f（x）均为x→0时的基本初等无穷小，且α（x）～λ1x■，f（x）～λ2x■（λ1·λ2≠0，m1>0，m2>0），则■■=■■·■=1即f（α（x））也为x→0时的初等无穷小，且f（α（x））～λ■λ■■x■，令λ=λ■λ■■，μ=m1m2，则f（α（x））～λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）。
即基本初等初等无穷小复合运算后所得的初等无穷小也与λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等价。
不常见的等价无穷小替换公式
不常见的等价无穷小替换公式在微积分中，等价无穷小替换公式是一种常见的用于求解极限的方法。
但是，除了常见的等价无穷小替换公式之外，还有一些不常见的等价无穷小替换公式。
本文将介绍其中一些不常见的等价无穷小替换公式，并探讨它们的应用。
我们来看一个不常见的等价无穷小替换公式：当 x 趋近于无穷大时，sin(x) 可以被替换为 x。
这个公式的推导可以通过泰勒展开式来进行。
根据泰勒展开式，sin(x) 可以表示为 x 减去 x 的三阶无穷小量。
因此，当 x 趋近于无穷大时，sin(x) 可以忽略 x 的三阶无穷小量，从而被替换为 x。
接下来，我们来看另一个不常见的等价无穷小替换公式：当 x 趋近于无穷大时，e^x 可以被替换为无穷大。
这个公式的推导可以通过极限的定义来进行。
根据极限的定义，当 x 趋近于无穷大时，e^x 可以表示为无穷大加上一个小于任意正实数的无穷小量。
因此，当x 趋近于无穷大时，e^x 可以被替换为无穷大。
除了上述两个不常见的等价无穷小替换公式之外，还有一些其他的不常见的等价无穷小替换公式。
例如，当 x 趋近于无穷大时，ln(x+1) 可以被替换为 x。
这个公式的推导可以通过泰勒展开式来进行。
根据泰勒展开式，ln(x+1) 可以表示为 x 减去 x 的平方的一半。
因此，当 x 趋近于无穷大时，ln(x+1) 可以忽略 x 的平方的一半，从而被替换为 x。
在实际应用中，不常见的等价无穷小替换公式可能会用于简化复杂的极限计算。
例如，在求解某个函数的极限时，如果可以将函数中的某个部分替换为无穷大或其他等价无穷小量，就可以简化计算过程。
这在计算机科学、物理学等领域中经常会遇到。
然而，需要注意的是，不常见的等价无穷小替换公式并不适用于所有情况。
在使用这些替换公式时，需要进行严格的推导和分析，确保替换后的结果与原始函数在极限意义下相等。
否则，可能会导致计算结果的误差或错误。
不常见的等价无穷小替换公式是一种在极限计算中使用的方法。
等价无穷小量代换法的应用技巧
sin3x％
x→x.
α'(x)x→.
1,故limI１
α
=.
,解因为sinx～x～tan＇
,故由定理2知,
x→x0α'11113xx33
I１
α
原式=lim(1+x)=(lim(1+x))=e.
x→0x→.
从而limI１
(或和)函数及几种未定式的极限问题
,给出了相
应的结论
,并通过算例说明理论的正确性和有效性。
〔关键词〕等价无穷小量;极限;未定式
众所周知
,极限是建立微积分理论的重要方
法,用等价无穷小量代换法求函数极限又是一种简
洁且有效的方法.在多种《数学分析》或《高等数
学》教材中只给出了函数中含有积商因子的相关结
(x)-tanx)cosxlimIn（
·2tanx
=
cosx=In2.
x→0
定理2设α(x)～α＝
(x).
β(x)～β＝
(x).
γ(x)～γ＝
(x＃
.
(x→x0＃
.
(i)若limα(x＃
=．
.
≠1＃
,且lim
x→x.
α=lim(I１
α-1+1)=1+limα'=
x→x0I１
α'x→x.
I１
α'x→x0I１
α＝
11参考文献
1,即
I１
α:
I１
α'
,于是
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差函数的等价无穷小替换
这里介绍一些求极限等问题的特殊技巧，基本上可以涵盖所有的求极限题目，因为，我们所学的初等函数有五类，反三角函数，对数函数，幂函数，三角函数，指数函数，简称反对幂三指，以下是这五类函数的无穷小代换。
以下x均趋近于0
常见代换：x～sin x～tan x～arctan x～arcsin x
幂函数代换：(1+x)λ～λx+1 λ可以取整数也可以取分数
指数函数代换：ex ～x + 1 ax ～lna ·x+ 1
对数代换：ln(1+x) ～x loga(1+x) ～x/lna
差代换：1.二次的：1－cos x ～x2/2 x－ln(1+x) ～x2/2
2三次的：(1)三角的：x －sin x ～x3/6 tan x －x ～x3/3
tan x －sin x ～x3/2
(2)反三角的：arcsin x －x ～x3/6 x －arctan x ～x3/3
arcsin x －arctan x ～x3/2
下面来举几个例子简单的说一下这些技巧怎么用
例如：求：当x→0时，lim(arcsin x－arctan x)/ x3的值。
当求这个极限的值的时候，如果用洛必达法则，计算量则会很大，这里不再赘述运用洛必达法则如何求解，只介绍如何使用上述技巧。
lim(arcsin x－arctan x)/ x3=lim(1/2 x3)/ x3=1/2
大家可以自己做一下洛必达法则的方法，对比一下两者之间的差别。
需要注意的是，等价无穷小的运用往往不止一次，只要发现运用洛必达法则运算困难，则可以尝试等价无穷小代换。