一元案例分析
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案例分析
【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行 ，其业务主要是进行基础设施建设、国家重 点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。 近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良 贷款额也有较大比例的提高，这给银行业务 的发展带来较大压力。为弄清楚不良贷款形 成的原因，希望利用银行业务的有关数据做 些定量分析，以便找出控制不良贷款的办法 。下面是该银行所属的 25 家分行 2011 年的 有关业务数据
注：例题的计算结果为1.9799
显著性检验
线性关系的检验
(例题分析)
1. 提出假设
H0： 1=0 不良贷款与贷款余额之间的线性关 系不显著 H1： 1 0 不良贷款与贷款余额之间的线性关 系显著
2. 计算检验统计量F
3. 确定显著性水平=0.05，并根据分子自由度1 和分母自由度25-2找出临界值F =4.28 4. 作出决策：若F>F ,拒绝H0，线性关系显著
【例】求出贷款余额为72.8亿元时，不良贷款 95% 的置信区间 ˆ 0 1.93 解：根据前面的计算结果，已知n=25， y sy=1.9799，t(25-2)=2.0687 置信区间为
1 (72.8 120.268) 2 2.96 2.0687 1.9799 1 25 154933.5744
0 100 200 300 400
û ¿ ´ î Ó à ¶ î
案例-练习
为了了解某公司的进出口额与利润总额的 关系，以便能从预定的进出口额规模去 预测下一年度的利润总额，今收集了 1995-2011年16年的数据如下表。
某公司 1995-2011 年进出口总额和利润总额表 年份 进 出 口 总额 1995 38.98 1996 40.12 1997 50.47 1998 61.52 1999 85.41 2000 110.53 2001 113.04 2003 170.81 利 润 总额 4.56 6.23 7.25 10.25 26.08 18.09 21.35 58.03 年份 进 出 口 总额 2004 178.45 2005 200.96 2006 236.13 2007 341.63 2008 364.24 2009 464.72 2010 514.96 2011 658.45 利润总 额 44.68 50.48 57.56 66.06 72.04 76.64 94.72 112.80
散点图
(例题分析)
散点图
(例题分析)
14 12
14 12
不良贷款
不良贷款
10 8 6 4 2 0 0 100 200 300 400 贷款余额 不良贷款与贷款余额的散点图
14 12
10 8 6 4 2 0 0 10 20 30 累计应收贷款 不良贷款与累计应收贷款的散点图
14 12
不良贷款
8 6 4 2 0 0 10 20 30 40 贷款项目个数
ˆ 0 6.1366 2.2766 y
贷款余额为 72.8 亿元的那个分行，以95%把握程 度 ， 其 不 良 贷 款 的 预 测 区 间 在 -2.2766 亿 元 到 6.1366亿元之间 。
标准化残差图
(例题分析)
4 3
î Ð ² ¯ ² ¼ » ±× ê
2 1 0 -1 -2
» Á ² ¼ ´ û î ¿ ¶ Ô ´ û î ¿ Ó à ¶ î » Ø ¹ é µ Ä ê × ± ¼ » ¯ ² Ð î ² Í ¼
SPSS FOR WINDOWS 实现过程
步骤： 1.定义变量x，y，并输入数据； 2.绘制散点图——考察该公司的进出口额和 利润总额的关系； 选择Graphs Scatter...
来自百度文库
3.相关分析：计算相关系数并进行假设检验 选择Analyze Correlate Bivariate... 目的：通过变量x与y的相关系数和P值（Sig.） ，说明x与y之间是否存在显著相关 。
一元线性回归模型
估计的回归方程
(estimated regression equation)
1. 总体回归参数 0 和 1 是未知的，必需利用样本数 据去估计 ˆ 和 ˆ 代替回归方程中的未知参 2. 用样本统计量 0 1 数 0和 1 ，就得到了估计的回归方程 3. 一元线性回归中估计的回归方程为
不良贷款
10
10 8 6 4 2 0 0 50 100 150 200 固定资产投资额
不良贷款与贷款项目个数的散点图
不良贷款与固定资产投资额的散点图
用EXCEL计算相关系数
选择EXCEL中统计函数CORREL 或 PEARSON函数可以计算两组数据的相关 系数。 其语法为CORREL（ARRAY1, ARRAY2） 。 ARRAY1, ARRAY2是两个变量的数据 区域。
估计标准误差
(standard error of estimate)
1. 实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根 2. 反映实际观察值在回归直线周围的分散状况 3. 对误差项 的标准差 的估计，是在排除了 x 对 y 的线性影响后，y随机波动大小的一个估计量 4. 反映用估计的回归方程预测y时预测误差的大小 5. 计算公式为
线性关系的检验
(方差分析表)
Excel 输出的方差分析表
回归系数的检验
(例题分析)
对例题的回归系数进行显著性检验(＝0.05) 1. 提出假设 H0：1 = 0 H1：1 0 2. 计算检验的统计量
3. t=7.533515>t=2.201，拒绝H0，表明不 良贷款与贷款余额之间有线性关系
Y Y t
2
^
( n2)
S XY
1 (X0 X ) 1 2 n (Xi X )
2
回归系数的检验
(例题分析)
P 值的应用
P=0.000000<=0.05，拒绝原假设，不良贷款 与贷款余额之间有线性关系。
Excel输出的部分回归结果
§10.3
利用回归方程进行 估计和预测
一. 点估计 二. 区间估计
利用回归方程进行估计和预测
1. 根据自变量 x 的取值估计或预测因变量 y 的取值 2. 估计或预测的类型
ˆ和 ˆ 根据最小二乘法的要求，可得求解 的公 0 1 式如下
估计方程的求法
(例题分析)
【例】求不良贷款对贷款余额的回归方程
回归方程为：y = -0.8295 + 0.037895 x
ˆ =0.037895 表示，贷款余额每增加 回归系数 1 1亿元，不良贷款平均增加0.037895亿元.
回归直线的拟合优度
判定系数r2
(例题分析)
【例】计算不良贷款对贷款余额回归的判定系数，并解 释其意义
SSR 222.4860 R 0.7116 71.16% SST 312.6504
2
判定系数的实际意义是：在不良贷款取值的变差中 ，有71.16%可以由不良贷款与贷款余额之间的线性 关系来解释，或者说，在不良贷款取值的变动中， 有71.16%是由贷款余额所决定的。也就是说，不良 贷款取值的差异有2/3以上是由贷款余额决定的。可 见不良贷款与贷款余额之间有较强的线性关系
用Excel进行回归分析
第1步：选择“工具”下拉菜单 第2步：选择“数据分析”选项 第3步：在分析工具中选择“回归”，然后选择“确 定” 第4步：当对话框出现时
在“Y值输入区域”方框内键入Y的数据区域 在“X值输入区域”方框内键入X的数据区域 在“置信度”选项中给出所需的数值
在“输出选项”中选择输出区域 在“残差”分析选项中选择所需的选项 用Excel进行回归分析
在前面的例子中，假如我们要估计贷款余 额为 100 亿元时，所有分行不良贷款的平 均值，就是平均值的点估计 。根据估计的 回归方程得
E ( y0 ) 0.8295 0.037895 100 2.96(亿元)
y 的个别值的点估计
利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一 个给定值 x0 ，求出因变量 y 的一个个别 值的估计值 y ˆ 0，就是个别值的点估计
（2）绘制回归图 1）选择 Graphs interactive Scatterplot... 2）定义变量：将变量x和y放入纵轴和横轴 ，在Fit界面的Method中选择Regression 3）点击OK。 5.预测
点估计：
Y a bx
Y Y Z S XY
2 ^
^
置信区间估计：1） 2）
点估计 y 的平均值的点估计 y 的个别值的点估计 区间估计 y 的平均值的置信区间估计 y 的个别值的预测区间估计
点估计
y 的平均值的点估计
利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一 个给定值 x0 ，求出因变量 y 的平均值的 一个估计值E(y0) ，就是平均值的点估计
估计方程的求法
(例题分析)
不良贷款对贷款余额回归方程的图示
14 12 10
î û ¿ ¼ ´ » Á ²
8 6 4 2 0 -2 0 100 200 300 400 û ¿ ´ î Ó à ¶ î
» Á ² ¼ ´ û ¿ î ¶ Ô ´ û ¿ î Ó à ¶ î µ Ä » Ø ¹ é Ö ±Ï ß
ˆ ˆx ˆ y 0 1
ˆ 是直线 ˆ 是估计的回归直线在 y 轴上的截距， 其中： 1 0 ˆ 是 y 的估计 的斜率，它表示对于一个给定的 x 的值，y 值，也表示 x 每变动一个单位时， y 的平均变动值
参数的最小二乘估计
最小二乘法
ˆ 的计算公式) ˆ 和 ( 0 1
3. 根据显著性水平＝0.05，查t分布表得t(n-2)=2.0687
由于 t=7.5344>t(25-2)=2.0687 ，拒绝 H0 ，不良 贷款与贷款余额之间存在着显著的正线性相关关 系
相关系数的显著性检验
(例题分析)
各相关系数检验的统计量
回归分析与相关分析的区别
1. 相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回 归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地 位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化 2. 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量； 回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可 以是随机变量，也可以是非随机的确定变量 3. 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密 切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制
1 (100 120.268) 2 2.96 2.0687 1.9799 25 154933.5744
2.1141 E ( y0 ) 3.8059
当贷款余额为100亿元时，以95%把握程度，不良贷 款的平均值在2.1141亿元到3.8059亿元之间。
预测区间估计
(例题分析)
比如，如果我们只是想知道贷款余额为 72.8亿元的那个分行(这里是编号为10的那 个分行 ) 的不良贷款是多少，则属于个别值 的点估计 。根据估计的回归方程得
ˆ 0 0.8295 0.037895 72.8 1.93(亿元) y
区间估计
置信区间估计
(例题分析)
【例】求出贷款余额为100亿元时，不良贷款95% 的置信区间 ˆ 0 2.96 y 解：根据前面的计算结果，已知n=25， sy=1.9799，t(25-2)=2.0687 置信区间为
相关系数
(例题分析)
用Excel计算相关系数
相关系数的显著性检验
相关系数的显著性检验
(例题分析)
对不良贷款与贷款余额之间的相关系数进行显著性检 (0.05) 1. 提出假设：H0： ；H1： 0 2. 计算检验的统计量
25 2 t 0.8436 7.5344 2 1 0.8436
【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行 ，其业务主要是进行基础设施建设、国家重 点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。 近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良 贷款额也有较大比例的提高，这给银行业务 的发展带来较大压力。为弄清楚不良贷款形 成的原因，希望利用银行业务的有关数据做 些定量分析，以便找出控制不良贷款的办法 。下面是该银行所属的 25 家分行 2011 年的 有关业务数据
注：例题的计算结果为1.9799
显著性检验
线性关系的检验
(例题分析)
1. 提出假设
H0： 1=0 不良贷款与贷款余额之间的线性关 系不显著 H1： 1 0 不良贷款与贷款余额之间的线性关 系显著
2. 计算检验统计量F
3. 确定显著性水平=0.05，并根据分子自由度1 和分母自由度25-2找出临界值F =4.28 4. 作出决策：若F>F ,拒绝H0，线性关系显著
【例】求出贷款余额为72.8亿元时，不良贷款 95% 的置信区间 ˆ 0 1.93 解：根据前面的计算结果，已知n=25， y sy=1.9799，t(25-2)=2.0687 置信区间为
1 (72.8 120.268) 2 2.96 2.0687 1.9799 1 25 154933.5744
0 100 200 300 400
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案例-练习
为了了解某公司的进出口额与利润总额的 关系，以便能从预定的进出口额规模去 预测下一年度的利润总额，今收集了 1995-2011年16年的数据如下表。
某公司 1995-2011 年进出口总额和利润总额表 年份 进 出 口 总额 1995 38.98 1996 40.12 1997 50.47 1998 61.52 1999 85.41 2000 110.53 2001 113.04 2003 170.81 利 润 总额 4.56 6.23 7.25 10.25 26.08 18.09 21.35 58.03 年份 进 出 口 总额 2004 178.45 2005 200.96 2006 236.13 2007 341.63 2008 364.24 2009 464.72 2010 514.96 2011 658.45 利润总 额 44.68 50.48 57.56 66.06 72.04 76.64 94.72 112.80
散点图
(例题分析)
散点图
(例题分析)
14 12
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不良贷款
不良贷款
10 8 6 4 2 0 0 100 200 300 400 贷款余额 不良贷款与贷款余额的散点图
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10 8 6 4 2 0 0 10 20 30 累计应收贷款 不良贷款与累计应收贷款的散点图
14 12
不良贷款
8 6 4 2 0 0 10 20 30 40 贷款项目个数
ˆ 0 6.1366 2.2766 y
贷款余额为 72.8 亿元的那个分行，以95%把握程 度 ， 其 不 良 贷 款 的 预 测 区 间 在 -2.2766 亿 元 到 6.1366亿元之间 。
标准化残差图
(例题分析)
4 3
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2 1 0 -1 -2
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SPSS FOR WINDOWS 实现过程
步骤： 1.定义变量x，y，并输入数据； 2.绘制散点图——考察该公司的进出口额和 利润总额的关系； 选择Graphs Scatter...
来自百度文库
3.相关分析：计算相关系数并进行假设检验 选择Analyze Correlate Bivariate... 目的：通过变量x与y的相关系数和P值（Sig.） ，说明x与y之间是否存在显著相关 。
一元线性回归模型
估计的回归方程
(estimated regression equation)
1. 总体回归参数 0 和 1 是未知的，必需利用样本数 据去估计 ˆ 和 ˆ 代替回归方程中的未知参 2. 用样本统计量 0 1 数 0和 1 ，就得到了估计的回归方程 3. 一元线性回归中估计的回归方程为
不良贷款
10
10 8 6 4 2 0 0 50 100 150 200 固定资产投资额
不良贷款与贷款项目个数的散点图
不良贷款与固定资产投资额的散点图
用EXCEL计算相关系数
选择EXCEL中统计函数CORREL 或 PEARSON函数可以计算两组数据的相关 系数。 其语法为CORREL（ARRAY1, ARRAY2） 。 ARRAY1, ARRAY2是两个变量的数据 区域。
估计标准误差
(standard error of estimate)
1. 实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根 2. 反映实际观察值在回归直线周围的分散状况 3. 对误差项 的标准差 的估计，是在排除了 x 对 y 的线性影响后，y随机波动大小的一个估计量 4. 反映用估计的回归方程预测y时预测误差的大小 5. 计算公式为
线性关系的检验
(方差分析表)
Excel 输出的方差分析表
回归系数的检验
(例题分析)
对例题的回归系数进行显著性检验(＝0.05) 1. 提出假设 H0：1 = 0 H1：1 0 2. 计算检验的统计量
3. t=7.533515>t=2.201，拒绝H0，表明不 良贷款与贷款余额之间有线性关系
Y Y t
2
^
( n2)
S XY
1 (X0 X ) 1 2 n (Xi X )
2
回归系数的检验
(例题分析)
P 值的应用
P=0.000000<=0.05，拒绝原假设，不良贷款 与贷款余额之间有线性关系。
Excel输出的部分回归结果
§10.3
利用回归方程进行 估计和预测
一. 点估计 二. 区间估计
利用回归方程进行估计和预测
1. 根据自变量 x 的取值估计或预测因变量 y 的取值 2. 估计或预测的类型
ˆ和 ˆ 根据最小二乘法的要求，可得求解 的公 0 1 式如下
估计方程的求法
(例题分析)
【例】求不良贷款对贷款余额的回归方程
回归方程为：y = -0.8295 + 0.037895 x
ˆ =0.037895 表示，贷款余额每增加 回归系数 1 1亿元，不良贷款平均增加0.037895亿元.
回归直线的拟合优度
判定系数r2
(例题分析)
【例】计算不良贷款对贷款余额回归的判定系数，并解 释其意义
SSR 222.4860 R 0.7116 71.16% SST 312.6504
2
判定系数的实际意义是：在不良贷款取值的变差中 ，有71.16%可以由不良贷款与贷款余额之间的线性 关系来解释，或者说，在不良贷款取值的变动中， 有71.16%是由贷款余额所决定的。也就是说，不良 贷款取值的差异有2/3以上是由贷款余额决定的。可 见不良贷款与贷款余额之间有较强的线性关系
用Excel进行回归分析
第1步：选择“工具”下拉菜单 第2步：选择“数据分析”选项 第3步：在分析工具中选择“回归”，然后选择“确 定” 第4步：当对话框出现时
在“Y值输入区域”方框内键入Y的数据区域 在“X值输入区域”方框内键入X的数据区域 在“置信度”选项中给出所需的数值
在“输出选项”中选择输出区域 在“残差”分析选项中选择所需的选项 用Excel进行回归分析
在前面的例子中，假如我们要估计贷款余 额为 100 亿元时，所有分行不良贷款的平 均值，就是平均值的点估计 。根据估计的 回归方程得
E ( y0 ) 0.8295 0.037895 100 2.96(亿元)
y 的个别值的点估计
利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一 个给定值 x0 ，求出因变量 y 的一个个别 值的估计值 y ˆ 0，就是个别值的点估计
（2）绘制回归图 1）选择 Graphs interactive Scatterplot... 2）定义变量：将变量x和y放入纵轴和横轴 ，在Fit界面的Method中选择Regression 3）点击OK。 5.预测
点估计：
Y a bx
Y Y Z S XY
2 ^
^
置信区间估计：1） 2）
点估计 y 的平均值的点估计 y 的个别值的点估计 区间估计 y 的平均值的置信区间估计 y 的个别值的预测区间估计
点估计
y 的平均值的点估计
利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一 个给定值 x0 ，求出因变量 y 的平均值的 一个估计值E(y0) ，就是平均值的点估计
估计方程的求法
(例题分析)
不良贷款对贷款余额回归方程的图示
14 12 10
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8 6 4 2 0 -2 0 100 200 300 400 û ¿ ´ î Ó à ¶ î
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ˆ ˆx ˆ y 0 1
ˆ 是直线 ˆ 是估计的回归直线在 y 轴上的截距， 其中： 1 0 ˆ 是 y 的估计 的斜率，它表示对于一个给定的 x 的值，y 值，也表示 x 每变动一个单位时， y 的平均变动值
参数的最小二乘估计
最小二乘法
ˆ 的计算公式) ˆ 和 ( 0 1
3. 根据显著性水平＝0.05，查t分布表得t(n-2)=2.0687
由于 t=7.5344>t(25-2)=2.0687 ，拒绝 H0 ，不良 贷款与贷款余额之间存在着显著的正线性相关关 系
相关系数的显著性检验
(例题分析)
各相关系数检验的统计量
回归分析与相关分析的区别
1. 相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回 归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地 位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化 2. 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量； 回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可 以是随机变量，也可以是非随机的确定变量 3. 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密 切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制
1 (100 120.268) 2 2.96 2.0687 1.9799 25 154933.5744
2.1141 E ( y0 ) 3.8059
当贷款余额为100亿元时，以95%把握程度，不良贷 款的平均值在2.1141亿元到3.8059亿元之间。
预测区间估计
(例题分析)
比如，如果我们只是想知道贷款余额为 72.8亿元的那个分行(这里是编号为10的那 个分行 ) 的不良贷款是多少，则属于个别值 的点估计 。根据估计的回归方程得
ˆ 0 0.8295 0.037895 72.8 1.93(亿元) y
区间估计
置信区间估计
(例题分析)
【例】求出贷款余额为100亿元时，不良贷款95% 的置信区间 ˆ 0 2.96 y 解：根据前面的计算结果，已知n=25， sy=1.9799，t(25-2)=2.0687 置信区间为
相关系数
(例题分析)
用Excel计算相关系数
相关系数的显著性检验
相关系数的显著性检验
(例题分析)
对不良贷款与贷款余额之间的相关系数进行显著性检 (0.05) 1. 提出假设：H0： ；H1： 0 2. 计算检验的统计量
25 2 t 0.8436 7.5344 2 1 0.8436