势函数
热力学基础中的热力学势函数
热力学基础中的热力学势函数热力学势函数是热力学研究中的重要工具，它通过数学表达方式来描述系统的性质和变化规律。
在热力学基础中，热力学势函数的概念与使用方法是必须掌握的。
本文将介绍热力学势函数的定义、特点以及常见的势函数类型。
一、热力学势函数的定义热力学势函数是描述热力学体系平衡状态的函数，它与系统的状态变量有关。
根据热力学第一定律，系统的内能是一个重要的状态量，因此，内能的变化可以作为定义热力学势函数的出发点。
二、热力学势函数的特点1. 对于闭系，热力学势函数是一个关于系统内能和其他状态变量的函数。
2. 对于恒温恒容系统，热力学势函数是一个关于熵和体积的函数。
3. 对于恒温恒压系统，热力学势函数是一个关于焓和熵的函数。
4. 热力学势函数是一个广延量，它与系统的大小有关。
三、常见的热力学势函数类型1. 内能（U）：内能是最基本的热力学势函数，它与系统的温度、体积以及组分数相关。
2. 焓（H）：焓是在恒压条件下的热力学势函数，它与系统的温度、压力、体积以及组分数相关。
3. 自由能（F）：自由能是在恒温恒容条件下的热力学势函数，它与系统的温度、体积以及组分数相关。
4. 吉布斯自由能（G）：吉布斯自由能是在恒温恒压条件下的热力学势函数，它与系统的温度、压力、体积以及组分数相关。
四、热力学势函数的应用1. 研究平衡条件：通过分析热力学势函数的极值，可以确定系统的平衡状态以及平衡条件。
2. 计算热力学性质：通过对热力学势函数的微分关系，可以计算得到系统的热力学性质，如熵变、焓变等。
3. 预测化学反应的方向：根据热力学势函数的变化趋势，可以判断化学反应的方向和可逆性。
4. 优化工业过程：利用热力学势函数的最小值原理，可以优化工业过程中的能量转化和利用。
五、结语热力学势函数是热力学基础中的重要概念和工具，在研究和应用中有着广泛的应用。
通过对热力学势函数的定义、特点和应用进行了解，可以更好地理解和分析热力学体系的平衡状态和性质。
eam势函数
eam势函数
eam势函数作为分子动力学模拟中常见的能量函数，通常被用于表尔逊(Buckingham)相互作用之间分子的模拟计算。
这是因为它能够有效地反映各种原子间的不同相互作用。
其原理很简单，是通过对原子或原子对之间的距离和原子类型进行描述，然后用势函数来表示能量。
注意，只有当势函数的参数是通过实验测定的，才能够准确地反映实际原子间的作用。
eam势函数的基本形式可以表示为：
E =ijσ(rij) +ijρ(rij) +ijε(rij)
其中，σ，ρ，ε分别表示两个原子间的形状相似性，数量相似性和能量相似性。
rij是两个原子间的距离，假设它们之间的距离在一定的范围内。
同时，ε的参数值受原子之间的相互作用影响，并且会根据其特性进行识别。
eam势函数可以用来模拟电荷迁移、结构形成和溶剂作用等结构变化过程，以及材料本质性质及性能参数的研究。
它也可以用来研究分子电荷和能量之间的联系，进而研究离子溶解过程中的化学反应机理。
此外，eam势函数也可以用于金属表面形貌研究、结构识别等技术领域，进一步提高分析精度。
eam势函数有许多优点，它可以非常容易的分离出复杂的能量函数，从而节省计算时间，提高计算效率，减少计算误差。
此外，eam 势函数也可以实现多尺度模拟，从而更好的研究分子间的相互作用。
此外，eam势函数的参数也很容易取得，使得它可以更快的收敛。
总的来说，eam势函数是一个非常有用的工具，可以应用于很多领域。
它有着更少的参数，更快的收敛，更低的误差，更好的精度，能更好地模拟原子间的相互作用，以及多尺度模拟的能力，使得它在分子动力学模拟中得到了普遍的应用。
1-6 势函数流函数
V
V V
v u 0 x y D u v 0 x y
无辐散涡旋流，产生涡旋部分
无旋辐散流，引起散度部分
பைடு நூலகம்
V V , V 0 V V , V 0
二、流函数
引入流体散度的概念之后，可将流体运动分为：
无辐散流 流体运动
V 0
V 0
辐散流
考虑二维无辐散流动，即满足：
u u x , y, t , v v x , y, t
w0
u / x v / y 0
则流线方程为：
dx dy u v vdx udy 0
d x, y, t vdx udy 0
d x, y, t vdx udy 0
u ,v y x
V k
流函数与流线的关系？
流函数与流线的关系
d x, y, t vdx udy 0
积分
x, y, t C
，位势梯度小，相应的 流速小。
势函数和散度的关系
u v w D x y z
V
D
2
2 2 2 2 其中， 为三维拉普拉斯算子 2 2 x y z 2 那么，如果给定D，通过求解泊松（Poisson）方程，即
可求得势函数；已知u、v、w，先计算D，再解泊松方 程，得φ；已知φ，求导计算即可获得u、v、w 。
③形变张量的概念。
§6速度势函数和流函数 ①势函数的定义、表示流体运动的方法； ②流函数的定义、表示流体运动的方法； ③速度势函数、流函数表示二维流动。
热力学的热力学势函数
热力学的热力学势函数热力学是研究物质的宏观性质和状态变化规律的学科，而热力学势函数是热力学理论中的重要概念之一。
本文将对热力学势函数进行详细介绍，包括它的定义、性质和应用。
一、热力学势函数的定义热力学势函数是描述热力学系统平衡态的宏观性质的函数。
在热力学中，常用的热力学势函数有内能（U）、焓（H）、自由能（F）和吉布斯函数（G）。
1. 内能（U）：内能是描述系统总能量的函数，它包括系统的热能和势能。
内能的变化可以通过热量传递和做功来表征。
2. 焓（H）：焓是内能和压力的乘积，它描述了在等压条件下系统的热能变化。
3. 自由能（F）：自由能是系统做非功的最大可能能量，它等于系统的内能减去温度与熵的乘积。
4. 吉布斯函数（G）：吉布斯函数是系统能够做非功和无位移的最大可能能量，它等于系统的内能减去温度与熵的乘积，再加上对外界所做的功。
二、热力学势函数的性质热力学势函数具有一些重要的性质，这些性质使其在热力学理论中起到了重要的作用。
1. 可微性：热力学势函数是可微的，可以根据系统的状态变化求取其微分。
2. 可加性：热力学势函数具有可加性，即多个系统的热力学势函数之和等于总系统的热力学势函数。
3. 极值性：热力学势函数在平衡态时取极值，这使得热力学势函数可以作为热力学过程中的判据。
4. 上凸性：热力学势函数具有上凸性，即它的二阶导数大于等于零，这对于热力学稳定性的判断是重要的。
三、热力学势函数的应用热力学势函数在实际应用中具有广泛的用途，其主要应用如下：1. 判据函数：通过判断热力学势函数的变化可以判断系统的平衡态和稳定性。
2. 热力学关系：热力学势函数之间存在一系列的关系，如吉布斯-亥姆霍兹方程、亥姆霍兹方程等，可以用于热力学计算。
3. 热力学过程分析：根据热力学势函数的变化可以分析热力学过程中的能量转化和熵增减。
4. 工程应用：热力学势函数在工程领域有广泛的应用，如在能源系统中的热力学性能分析、化学反应动力学等方面。
流函数和势函数公式
流函数和势函数公式流体力学中的流函数可以用来描述流体的速度场。
速度场表示流体在空间中各点的速度分布情况。
对于无旋的流动，可以引入流函数，流函数可以唯一地确定流线。
流线是流体在给定时刻通过各点的轨迹线。
在无旋的流动中，速度场可以通过流函数的梯度得到。
流函数可以按照如下公式定义：ψ=ψ(x,y,z)其中，ψ是流函数，表示速度场在其中一截面上的流函数值，(x,y,z)是该截面上的坐标。
流函数满足拉普拉斯方程：∇²ψ=0其中，∇²是拉普拉斯算子，表示流函数对坐标的二阶混合偏导数的和，等于零表示流函数满足拉普拉斯方程。
流函数的物理意义是流线沿着这个函数的等值线的方向运动。
通过给定流函数值，可以确定流线的轨迹。
势函数是流体力学中另一个重要的数学工具。
势函数用来描述无旋的流动场中的速度场。
对于无旋的流动，速度场可以通过势函数的梯度得到。
势函数可以按照如下公式定义：φ=φ(x,y,z)其中，φ是势函数，表示速度场在其中一截面上的势函数值，(x,y,z)是该截面上的坐标。
势函数满足亥姆霍兹方程：∇²φ=0势函数的物理意义是速度场是势函数的梯度。
通过给定势函数值，可以确定速度场的分布情况。
流函数和势函数是流体力学中流动的描述工具。
通过流函数和势函数，可以方便地描述流体的流动和速度场。
流函数适用于无旋流动，通过流函数的梯度可以得到速度场。
势函数适用于无旋流动，通过势函数的梯度可以得到速度场。
流函数和势函数是相互对偶的工具，二者之间有一个互逆的关系。
在实际应用中，流函数和势函数在求解流体问题中起着重要的作用。
通过流函数和势函数，可以方便地计算速度场和流线，从而解决各种涉及流体流动的问题。
总结起来，流函数和势函数是流体力学中用来描述流动的两个重要的数学工具。
流函数用来描述无旋流动的速度场，势函数用来描述无旋流动场中的速度场。
二者分别满足拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程。
流函数和势函数在解决流体流动问题中具有重要的作用。
势函数解读
势函数
对于简单对势，仅只考虑两 个原子之间的直接作用，并 在其半径相当于四个原子大 小的某一球体内求和；在现 代多体势中，近邻原子密度 的影响还将以附加的吸引力 表示。根据所采用的作用势 和粒子数，通过分子动力学 优化得到的计算机编码可以 在个人计算机、微型计算机 以及主机上使用，已能处理 的粒子数达到108～109个。
尽管经典对势的引入使得我们在处理108个粒子的原子论 问题时有了较快的运算速度，但是经典对势存在着一些严 重的缺点。 例如，如果每个原子的结合能准确给出，则空位形成能就 不能准确知道；反之亦然。 此外，经典对势的主要缺点还表现在，其用于金属柯西偏 差的模拟预测时给出了不恰当的结果。 为了描述立方系金属的线性各向异性弹性性质，我们需要 知道三个常数：C1111(C11)， C1122(C12)和C2323(C44)。
7.2 经验性对势模型和弱赝势模型
在不考虑由目标原子与其他较远的原子之间相互使用引起 的任何深层内聚力项的情况下，经典对势可完全确定系统 的总能量。假定把原子看作质点，若只考虑原子与其最近 邻原子之间的“有心”相互作用，则任何原子对之间的相 互作用只依赖于其间距。这就意味着，上述作用势最重要 的特点，就是径向对称性，亦即其大小与目标原子周围其 他原子的方位角没有关系。势函数所需要的参数可以通过 拟合材料性质求得，这在实验上是容易做到的。因此，经 典对势可以写成： 1 N N Etot ij rij (7.1) 2 i 1 j j 1i
7.1 原子间作用势模型
原子之间的结合力决定着材料的结构及其内秉力学和电磁 特性。在固体物理和键合化学领域，普遍认为有四种不同 的原子间结合键，亦即金属键、离子键、共价键和范德瓦 耳斯键。除了一些特殊情况诸如石墨中近邻{0002}面的聚 合，范德瓦耳斯力是非常弱的，并且在材料模拟研究中常 常可以忽略不计。范氏力对内聚力的贡献，一般要比其他 类型的键小一个量级以上。其余三种键可以分成两类；第 一类是电子退定域为巡游电子态而形成大的分子轨道(金 属键和共价键)；另一类键是指电子从一个离子转移到另 一个离子(离子键)。
势函数法——精选推荐
势函数法势函数主要⽤于确定分类⾯，其思想来源于物理。
1 势函数法基本思想假设要划分属于两种类别\omega_1和\omega_2的模式样本，这些样本可看成是分布在n维模式空间中的点x_k。
把属于\omega_1的点⽐拟为某种能源点，在点上，电位达到峰值。
随着与该点距离的增⼤，电位分布迅速减⼩，即把样本x_k附近空间x点上的电位分布，看成是⼀个势函数K(x, x_k)。
对于属于\omega_1的样本集群，其附近空间会形成⼀个"⾼地"，这些样本点所处的位置就是"⼭头"。
同理，⽤电位的⼏何分布来看待属于\omega_2的模式样本，在其附近空间就形成"凹地"。
只要在两类电位分布之间选择合适的等⾼线，就可以认为是模式分类的判别函数。
2. 判别函数的产⽣模式分类的判别函数可由分布在模式空间中的许多样本向量\{x_k,k=1,2,\cdots \text{且},x_k\in \omega_1\cup w_2\}的势函数产⽣。
任意⼀个样本所产⽣的势函数以K(x,x_k)表征，则判别函数d(x)可由势函数序列K(x, x_1),K(x,x_2),\cdots来构成，序列中的这些势函数相应于在训练过程中输⼊机器的训练模式样本x_1,x_2,\cdots。
在训练状态，模式样本逐个输⼊分类器，分类器就连续计算相应的势函数，在第k步迭代时的积累位势决定于在该步前所有的单独势函数的累加。
以K(x)表⽰积累位势函数，若加⼊的训练样本x_{k+1}是错误分类，则积累函数需要修改，若是正确分类，则不变。
3.判别函数产⽣逐步分析设初始势函数K_0(x) = 0第⼀步：加⼊第⼀个训练样本x_1，则有{K_1}(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {K(x,{x_1})}&{{\rm{if}}\;{x_1} \in {\omega _1}}\\ { - K(x,{x_1})}&{{\rm{if}}\;{x_1} \in {\omega _2}}\end{array}} \right.这⾥第⼀步积累势函数K_1(x)描述了加⼊第⼀个样本时的边界划分。
122《高等渗流力学》—势函数部分
y xa
y , θ 2 = arctg x+a
y y y y ' arctg = arctg x a x + a = C 0 θ 1 θ 2 = arctg xa x+a y2 1+ (x a )(x + a )
直角 坐标
y y x a x + a = C '' 0 y2 1+ (x a )(x + a )
4,无限大地层等产量一源一汇的渗流场
红色—流线 蓝色—等势线 X轴 —流线 Y轴 —等势线
6,等势线方程
( x a)2 + y 2 rB = = C0 为任意常数 令 2 2 rA ( x + a) + y
( x a ) + y C0 [( x + a ) + y ] = 0
2 2 2 2 2
1 + C02 2 2aC0 2 2 (x ) +y =( ) 2 2 1 C0 1 C0
x0
R
圆的方程……
6,等势线方程
1 + C02 2 2aC0 2 2 (x ) +y =( ) 2 2 1 C0 1 C0
x0
R
C0 = 1时,x0 → ∞, R → ∞, rA = rB
同理,可得流线方程为
整理
x +y
2 2
2a C0
''
y a2 = 0
配方,整理
a 2 x + y '' C0
2
'' 2 a 1 + C0 = '' C0
2
它是一个圆心都在y轴上的圆族方程,其圆心坐标为:
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(7.4)
式中，CM1、α和r0均是可调参数。对于模拟离子系统、富 勒烯(C60)体系以及范德瓦耳斯键占优势(例如分子晶体)的 情况，经典对势是很适合的。
7.2 经验性对势模型和弱赝势模型
第二类对势就是在平均原子密度恒定的情况下，描述组态 改变所引起的能量变化，而不是系统的总能量。 采用比较通用的方程式，可将总能量Etot表示为：
势函数
势函数
势函数是描述原子（分子）间相互作用的函数。原子间的 相互作用控制着原子间的相互作用行为，从根本上决定材 料的所有性质，这种作用具体由势函数来描述。在分子动 力学模拟中，势函数的选取对模拟的结果起着决定性的作 用。 构成势函数的基础是原子之间的相互作用，一般可由两个 或多个原子之间的相对位置来定量确定出相互作用势，其 中可以包括一系列参数诸如电荷、离子极化率、局域原子 密度等。在每一个基本计算步，其作用力可由目标原子在 截断半径以内与其周围其他原子之间的相互作用势的导数 求出。
7.3 各向同性多体对泛函势
这类近似势模型的主要形式有： 二次矩， 有效介质理论， 嵌入原子模型， 凝胶模型 Finni s-sinclair模型 。 这一类模型也被统称为对泛函方法。
7.3 各向同性多体对泛函势
对于系统在绝对零度时的总能量Etot来说．在这些模型中 具有如下的泛函形式：
7.2 经验性对势模型和弱赝势模型
这些弹性常数是势关于空间坐标的2阶导数。
C1122 C2323 dU d 2U 2 d d 2
(7.6)
对于对势的第一类型，即方程式(7．1)，可以得到柯西关 系(Cauchy relation) C1122＝C2323。 然而，对于第二类对势，即方程式(7．5)，其柯西关系通 常是不易得到的。 同时，对于范德瓦耳斯固体和离子晶体常可以满足柯西关 系，而对于立方系金属则通常是不满足的。
7.2 经验性对势模型和弱赝势模型
对立方系金属在取各向同性极限时 C1122-C2323=C2323/2≠0 对于六角和三角系金属，其柯西关系为 C1133=C2323和3C1212=C1111 存在于金属晶体弹性常数之间的柯西偏差，当且仅当所用 模型附加有晶格常数小于其平衡值的边界条件，才能得到 与实验值相符合的结果。第二类对势所描述的经典经验性 原子间作用力，在其中引入了赝势，并且含有较大的与平 均密度相关的贡献。然而，对模拟晶格缺陷来说，这种均 匀密度假说通常是不正确的。
7.2 经验性对势模型和弱赝势模型
勒纳德-琼斯(Lennard-Jones)势包含有两部分： 即经验性吸引作用项，它描述了在长距离起支配作用的范 德瓦耳斯键； 经验性排斥作用项，它描述了原子核的库仑相互作用和在 短距离起支配作用的由电子不相容规则引起的泡利排斥作 用。 CLJ 1 CLJ 2 ij rij n m (7.3) rij rij
尽管经典对势的引入使得我们在处理108个粒子的原子论 问题时有了较快的运算速度，但是经典对势存在着一些严 重的缺点。 例如，如果每个原子的结合能准确给出，则空位形成能就 不能准确知道；反之亦然。 此外，经典对势的主要缺点还表现在，其用于金属柯西偏 差的模拟预测时给出了不恰当的结果。 为了描述立方系金属的线性各向异性弹性性质，我们需要 知道三个常数：C1111(C11)， C1122(C12)和C2323(C44)。
7.3 各向同性s-Sinclair势中，嵌入函数F是一个平方根。 这是由电子态密度的紧束缚简化模型推出来的。 在嵌入原子方法及其相似的近似方法中，嵌入函数可由嵌 入原子能量导出，其嵌入原子被埋入局域电子密度为ρi的 均匀自由电子气中。 不论哪种情况，嵌入函数都是ρi 的负值凹型函数。
在近自由电子模型中的电子 真实波函数（实线）和赝势 波函数（虚线）
7.2 经验性对势模型和弱赝势模型
这些经典势大多数是用于基本结构方面的模拟，例如单一 晶格缺陷及其动力学。因为这些势具有简单的数学结构， 可以需要考虑大量的。通过对满壳层单原子气体(例如Ar 或He)全面地表征可进一步弄清楚包含于经典对势中的经 验项的物理含义(泡利排斥，偶极-偶极吸引)。 对势有两种类型：第一类称为经典对势，它描述了系统的 总能量，但没有包括深一层的内聚力项；第二类叫做各向 同性弱赝势，它描述了由于结构变化引起的系统能量的改 变，其中包含有深一层的内聚力项。
7.3 各向同性多体对泛函势
各种各向同性多体或简单的对泛函势是一类改进完善的经 验或半经验势。这些模型中的大多数都具有这样一个原则： 原子内聚能主要由该原子所在格座处的局域电于密度决 定。局域电子密度来自于目标原子格座的近邻原子的负 献。 减聚能主要由反映静电排斥作用的对势贡献来解释。 各向同性多体势既可用于研究那些更严格的方法所难以处 理的复杂系统，也可用于不太依赖于能量关系细节的那些 普通性质的研究。
7.1 原子间作用势模型
应当强调指出，建立合理的公式化势模型不仅是分子动力 学方法的需要，而且在迈氏蒙特卡罗和集团变分等模拟方 法中其重要性也在日益增加。
7.2 经验性对势模型和弱赝势模型
在20世纪50年代到80年代，大多数分子动力学模拟都是采 用经验性径向对称势描述原子之间的相互作用。在这些早 期的经典势函数中，原子与其近邻之间的相互作用能和作 用力是按一对一对的贡献求和给出的，其中没有包含另外 的内聚力赝势的贡献。在上述经验势函数表达式出现的各 参数可通过将该经验势与材料内秉参数(例如弹性常数、 晶体结构、结合能、堆垛层错能和晶格参数)及大块体材 料性质的拟合获得。基本的势函数通常为多少带有任意性 的指数形式或较高次多项式形式。
大多数取为所谓的12-6形式，即n＝12，m＝6。其中的常 数CLJ1＝4εζn。和CLJ2＝4εζm ，这里ε和ζ均是可调参数。
7.2经验性对势模型和弱赝势模型
莫尔斯(Morse)给出了类似地表述：
ij rij CM1 exp 2 rij r0 2 exp rij r0
7.2 经验性对势模型和弱赝势模型
这些经典对势都是径向对称的。所以，它们不能反映键的 方向特性。然而，键的方向性对于模拟过渡金属晶格缺陷 动力学是必不可少的。研究表明，近费米能级d电子的存 在将破坏这种简单模型的径向对称性。对于金属，其中提 供内聚力的最外层s和p电子，由于弱离子赝势将在布里渊 区边界形成小带隙的自由电子能带，从而比过渡金属更容 易达到各向同性极限。
7.1 原子间作用势模型
金属键、共价键及离子键三种主要键型是对实际系统的唯 象简化，因为在实际系统普遏存在着混合结合键。例如， 对子大多数过渡金属来说，方向性共价键与金属键形成互 补。任何定量成键理论都应该包括那些与原子结合在一起 的价电子的非经典特性。预测计算原子之间的结合键，必 须求解多体(约1023个粒子)问题的薛定谔方程。要实现这 一方法是非常困难的。因此，人们提出了各种不同的原子 间作用势近似模型，这些模型或多或少都带唯象的痕迹。
势函数
对于简单对势，仅只考虑两 个原子之间的直接作用，并 在其半径相当于四个原子大 小的某一球体内求和；在现 代多体势中，近邻原子密度 的影响还将以附加的吸引力 表示。根据所采用的作用势 和粒子数，通过分子动力学 优化得到的计算机编码可以 在个人计算机、微型计算机 以及主机上使用，已能处理 的粒子数达到108～109个。
费米-狄拉克分布
波色-爱因斯坦分布
波尔兹曼分布
当ε << KT时，古典粒子分布介于波色分布与费米分布之间。 当ε >> KT时，波色分布与费米分布趋近于波兹曼分布。
7.1 原子间作用势模型
有了势的概念，只要提供充足可靠的计算机设备，研究者 就可以实现106～108个原子的纳米尺度分子动力学模拟。 当然，上述讨论仍不能给出完全意义上的材料介观尺度模 拟，因为在介观尺度要包含1023个原子。但是，它是揭示 原子作用机理和本征结构特性最为可行的方法。这一结论 可以通过在较大尺度上建立和求解连续体介观模型而被具 体化。 已用于晶格缺陷的模拟的原子间作用势包括：通用的径向 对称经验对相互作用；非径向对称键，它在有关的过渡金 属晶格缺陷的模拟中很有用；更为基本的近似方法诸如半 经验紧束缚近似，能给出与真实原子轨道相同的角动量以 及局域密度泛函理论。
7.2 经验性对势模型和弱赝势模型
在不考虑由目标原子与其他较远的原子之间相互使用引起 的任何深层内聚力项的情况下，经典对势可完全确定系统 的总能量。假定把原子看作质点，若只考虑原子与其最近 邻原子之间的“有心”相互作用，则任何原子对之间的相 互作用只依赖于其间距。这就意味着，上述作用势最重要 的特点，就是径向对称性，亦即其大小与目标原子周围其 他原子的方位角没有关系。势函数所需要的参数可以通过 拟合材料性质求得，这在实验上是容易做到的。因此，经 典对势可以写成： 1 N N Etot ij rij (7.1) 2 i 1 j j 1i
i
j 1i
r
N ij
(7.8)
7.3 各向同性多体对泛函势
上式可解释为近邻原子的球对称(电子)电荷密度φ决定了在 第i个原于核处的电荷。嵌入原子方法和Finnis-Sinchair近 似在金属粒子内聚力的紧束缚理论中是等价的。 各向同性多体势只有很相似的应用特性，并且几乎就像经 典对势那样可以直接近行计算。就早期的径向对称多体势 而言，其主要局限性在于没有考虑键的方向性。因此，对 过渡金属键中的共价键贡献(d轨道)无法予以恰当地描述。 各向同性多体势的主要优点表现在：其中包含了与原子配 位数相关的键合强度的近似变化。对原子之间形成的键来 说，随着原子配位数的变大，其各个键的强度将减弱而键 长在增加。