流体力学 第八章 绕流运动

第八章绕流运动一、应用背景1、问题的广泛存在性：在自然界和工程实际中，存在着大量的流体绕物体的流动问题（绕流问题），如：飞机在空气中的飞行、河水流过桥墩、大型建筑物周围的空气流动、植物护岸（消浪，船行波），粉尘颗粒在空气中的飞扬和沉降，水处理中固体颗粒污染物在水中的运动。

（一种：流体运动；另外一种：物体运动），我们研究，将坐标系固结于物体上，将物体看成静止的，讨论流体相对于物体的运动。

2、问题的复杂性上一章的内容中可以看出，流体力学的问题可以归结为求解在一定边界条件和初始条件下偏微分方程组的求解。

但描述液体运动的方程式非常复杂的：一方面，是方程的非线性性质，造成方程求解的困难；另一方面，复杂的边界条件和初始条件都给求解流体力学造成了很多麻烦。

迄今为止，只有很少数的问题得到了解决。

平面泊萧叶流动，圆管coutte流动等等。

而我们所要解决的绕流问题正是有着非常复杂的边界条件。

3、问题的简化及其合理性流体力学对此的简化则是，简化原方程，建立研究理想液体的势流理论。

实际液体满足势流运动的条件：粘性不占主导地位，或者粘性还没有开始起作用。

正例：远离边界层的流体绕流运动、地下水运动、波浪运动、物体落入静止水体中，水的运动规律研究。

反例：研究阻力规律、能量损失、内能转换等等。

圆柱绕流（经典之一）半无限长平板绕流（经典之二）分成两个区域：一个区域是远离边界的地方，此区域剪切作用不明显，而且流体惯性力的影响远远大于粘性力的影响（理想液体）（引导n-s方程）；另一个是靠近边界的地方（附面层，粘性底层），此区域有很强烈的剪切作用，粘性力的影响超强，据现代流体力学的研究表明，此区域是产生湍流的重要区域，有强烈的剪切涡结构，但此区域只有非常薄的厚度。

此区域对绕流物体的阻力、能量耗损、扩散、传热传质都产生重要影响。

4、本章的主要研究内容（1） 外部：理想液体，（简化方法，求解方式）、（2） 内部：附面层理论，（简化方法，求解方式，求解内容，现象描述） （3） 两者的衔接。

第一节 无旋流动在理想流体方程的推导中，我们知道欧拉方程和连续性方程的求解，分别给出了液体运动的4个独立条件，即求解4个未知数，流速的三个方向分量和压强。

当流动为无旋时，就是流动场中各点的旋转角速度等于零的运动，即为无旋流动。

在无旋流动中，旋转角速度=0，即：旋转角速度各分量=0，在三个坐标轴上的分别投影，得到三个条件：021=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=z u yu y zx ω 021=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=x u z u z x x ω021=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=y u x u x yx ω 满足柯西条件，即：zu yu y z ∂∂=∂∂xu zu z x ∂∂=∂∂yu xu x y ∂∂=∂∂那么根据全微分理论，上面三个等式是某空间位置函数()z y x ,,ϕ存在的必要和充分条件。

使得：xu x ∂∂=ϕ yu y ∂∂=ϕ zu z ∂∂=ϕ （1）那么，dz u dy u dx u dz zdy ydx xd z y x ++=∂∂+∂∂+∂∂=ϕϕϕϕ这时，若0=++=dz u dy u dx u d z y x ϕ，就有，C d L==⎰ϕϕ那么，0=++dz u dy u dx u z y x 所代表的就是等势线。

0=⋅s d u将（1）代入连续性方程后，得到：222222=∂∂+∂∂+∂∂zyxϕϕϕ （拉普拉斯方程，ϕ是一调和函数） （2）此方程结合边界条件可求解，得到流速势函数之后，可根据势函数和流速的关系求得流速。

在代入欧拉的积分方程：()t F up t=+++∂∂22ρπϕ（3）（理想液体的三个方向上的动力学方程推求得到），就可以得到任一点的动水压强p 。

（2）（3）方程的求解效果就和欧拉方程和连续性方程联合求解的效果一样。

配上初始条件和边界条件，就可以求得整个流场的情况（ϕ和p ）。

对于流速势函数任意方向s上的方向导数，根据方向导数的定义：()()()z s zy s y x s x s,cos ,cos ,cos∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ϕϕϕϕ ()()()z s u y s u x s u z y x ,c o s ,c o s ,c o s++= ()s u s u u ==,c o s根据汤姆逊关于漩涡守恒定理所引申出的推论，内部不存在摩擦力的理想液体才能不能创造漩涡和消灭漩涡。

那么，水流和气体从静止状态过渡到运动状态（理想流体），就可以继续保持无旋状态。

例子：通风车间用抽风的方法使工作区出现风速；飞机在静止的空气中飞行等情况。

但在某些情况下，就必须将水流和气体考虑成有旋的。

例子：利用风管通过送风口向通风地区送风。

——气体射流（后面介绍）我们考虑的气体或水体属于低速流动，低速流动的时候通常不考虑气体的压缩性，满足不可压缩流体的连续性方程（拉普拉斯方程），所以对于气体的高速流动情况，——一元气体动力学基础（后面介绍） 例：判断 22yx y u x +-=22yx x u y +=，0=z u 的流动是否是无旋流动，如是，试求其势函数。

021=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=zu y u y zx ω 021=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=x u z u z xy ω 021=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=y u xu x y z ω 那么，流速存在流速势函数。

（00,y x ）()y x ,⇒，跟路径无关。

()()⎰⎰⎰+++-=++==y x y x Lz y x Ldyyx x dx yx ydz u dy u dx u d ,,222200ϕϕ。

第二节 平面无旋流动一、平面流动中流函数及其物理意义 对于二维流动，满足连续性方程0=∂∂+∂∂yu xu y x考虑到⎰⎰⎰∂∂-∂∂=+DLdxdyyP xQ Qdy Pdx其中，xu P y ∂∂-==-ψ yu Q x ∂∂==ψ()⎰⎰+-=∂∂+∂∂=LLx y dy u dx u dy ydx xy x ψψψ,当液体无旋情况下，021212222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=y x y u x u x y z ψψω 满足拉普拉斯方称，也是一调和函数。

ψd dy u dx u n d u dq x y =+-=⋅=物理意义：流线上流函数之差，等于通过流线间的流量。

从上可以看出：0==+-ψd dy u dx u x y 所代表的是等流函数线。

而在平面流动中，流线的微分方程：yxu dy u dx =化成：0=-dx u dy u y x （等流函数线即流线） 二、平面问题流函数和势函数的关系在无旋，且满足连续性方程的条件下，既可以用势函数来解决问题也可以用流函数来解决问题。

两者都是调和函数，满足拉普拉斯方程。

只不过， 势函数：无旋——》连续性方程（laplace 方程）流函数：连续性方程——》无旋（laplace 方程）两者的关系是通过流速来实现的，流速是他们俩关系的桥梁，即：yu xx ∂∂==∂∂ψϕxu yy ∂∂-==∂∂ψϕ等流线方程为 0=+-dy u dx u x y 等势线方程为 0=+dy u dx u y xyx u u dxdy -=ψxy u u dxdy =ϕ两者正交流函数和势函数满足柯西-黎曼方程（共轭调和函数），若已知其中一个，就可以求得另外一个。

对于流函数和势函数的求解，可以用复变函数的方法求解，对于复杂的边界条件要采用保角变换，变到边界简单的计算域中进行求解（复杂情况），不做仔细介绍。

下面要介绍的是利用复变函数中的奇点法求解势流问题。

第三节 几种简单的平面无旋流动一、均匀直线流动 a u x = b u y =那么存在势函数， by ax bdy adx dy u dx u y x +=+=+=⎰⎰ϕ流函数， bx ay bdx ady dx u dy u y x -=-=-=⎰⎰ψ （一般形式） 当流动平行于y 轴时，0=x u ，此时，by =ϕ，bx -=ψ 当流动平行于x 轴时，0=y u ，此时，ax =ϕ，ay =ψ 二、源流和汇流单宽流量的定义：n d u q⋅= 含义：流速和单宽横截面积的乘积。

那么，对于设想流体从通过o 点垂直于平面的直线，沿极半径r 均匀地四散流出，这种流动称为源流。

流量Q 称为源流强度。

那么，可知， rQ u r π2=0=θu （极坐标）rQ rd dr r Q rd u dr u r ln 202πθπθϕθ=⋅+=+=⎰⎰θπθπθψθ202Q dr rd rQdr u rd u r =+=-=⎰⎰如果，考虑到极坐标与直角坐标之间的变换关系，就可以得到直角坐标系下的流函数和势函数的表达式。

可以看出，源流流线为从源点向外发射出的射线，而等势线则为同心圆周簇。

当流体反向流动时，即流体从四方向向某汇合点集中，则这种流动称为汇流。

那么此时，这两个函数变号。

三、环流设流场内各流体质点绕原点o 作流速为rC u =θ（c 为待定常数）作圆周运动，因此流线为同心圆簇，而等势线为自原点o 发出的射线簇，那么这种流动就称为环流。

rC u =θ 0=r uπθπθ220C dr u rd u r =+=Γ⎰⎰π2Γ=C得到， ru πθ2Γ= 0=r u按照上面介绍的方法进行积分，就可以得到流函数和势函数的表达式：rln 2πψΓ-= θπϕ2Γ=说明：环流的流速与矢径的大小成反比。

环流是圆周流动，但除了原点之外，各流体质点均无旋转角速度。

四、直角内的流动()22y x a -=ϕ 的流速为 a x xu x 2=∂∂=ϕay yu y 2-=∂∂=ϕ积分后就可以得到， a x y 2=ψ当0=ψ时，0=x 和0=y ，说明坐标轴就是流线，称为零流线。

坐标原点的流速为零，称为驻点。

固体边界线可以看成一条流线，所以，若将流场中的某一流线换成固体边界线，并不破坏原来的流场。

1、x,y 轴的正值部分作为边界，直角内的流动；2、x 轴全部作为边界。

θcos r x = θs i n r y =θψ2sin 2ar = θϕ2c o s 2ar = （直角内的流动）对于更加一般的情况，当零流线分别为0=θ和αθ=时，其两函数分别为：απθψαπsinar = απθϕαπcosar =讨论，当045=α和0225时液体的流动情况。

当0180225>=α时，∞→=∂∂=-→→→απθαπϕαπcos1limlimlimarru r r r r第四节 势流叠加势函数的连续性条件满足laplace 方程，这个方程是一线性方程，线性方程的典型特点就是满足叠加性原理。

设有两势流1ϕ和2ϕ，他们都满足laplace 方程，那么就有：0212212=∂∂+∂∂yxϕϕ222222=∂∂+∂∂yxϕϕ那么两势函数之和21ϕϕϕ+=也满足拉普拉斯方程。