流函数势函数-第一章
流函数和势函数公式
流函数和势函数公式流函数与势函数是描述流体运动的两个重要概念，在流体力学中被广泛应用。
本文将介绍流函数和势函数的基本概念、性质以及求解方法。
1.流函数的概念和性质流函数是描述在二维定常流动中，各个流线上速度矢量的旋转情况的函数。
对于二维流动，假设流体流动的速度场为V(x,y)，则流函数Ψ(x,y)定义为：V=∇Ψ=(∂Ψ/∂x,∂Ψ/∂y)其中，∇Ψ是流函数Ψ的梯度向量。
流函数的性质如下：1)斜率定理：沿着流线的方向，流函数的局部斜率等于流体的速度分量。
2)流线定理：流线上的流函数值保持不变，即Ψ为常数。
3)流函数的连续性：在空间中的流函数是连续的，除非在相应的流体内有边界。
4)流函数的耗散性：流函数对时间是线性的，即流函数在时间方向上是耗散的。
2.势函数的概念和性质势函数是描述流体在无旋力场中流动时所具备的性质的函数。
无旋力场是指速度场的旋度等于零。
对于二维流动，假设流体流动的速度场为V(x,y)，则势函数φ(x,y)定义为：V=∇φ=(∂φ/∂x,∂φ/∂y)其中，∇φ是势函数φ的梯度向量。
势函数的性质如下：1)势函数的梯度向量是速度向量。
2)势流是不可压缩的，即∇·V=0。
3)势函数满足拉普拉斯方程，即∇²φ=0。
4)由于速度场的旋度等于零，势函数是无旋的。
3.流函数和势函数的关系在二维流动中，流函数和势函数之间存在一种特殊的关系，称为流函数-势函数耦合关系。
根据流函数和势函数的定义，可以得到流函数和势函数的关系：Ψ = ∫(∂φ/∂y)dx + f(y)φ = ∫(∂Ψ/∂x)dy + g(x)其中，f(y)和g(x)是任意常数函数。
根据流函数-势函数耦合关系可以求解流体的速度场，并且满足连续性方程和运动方程。
4.求解流函数和势函数的方法求解流函数和势函数的方法有多种，常用的方法有分离变量法、解析法和数值法。
4.1分离变量法分离变量法是将流函数和势函数分解为各自的变量函数，并通过解偏微分方程的边值问题来确定这些变量函数。
流函数和势函数公式(一)
流函数和势函数公式(一)资深创作者列举流函数和势函数公式的相关公式，并进行例解释。
流函数公式二维空间中的流函数公式在二维空间中，流函数用于描述流体的运动状态。
对于二维流动，在直角坐标系下，流函数的公式可以表示为：ψ = ∫(Vx dy - Vy dx)其中，Vx和Vy分别表示流体在x和y方向的速度分量。
ψ表示流函数。
举例：假设在二维平面内，某个点(x, y)的速度分量分别为Vx = x*y和Vy = x^2。
那么该点处的流函数可以计算如下：ψ = ∫(x*y dy - x^2 dx)三维空间中的流函数公式在三维空间中，流函数的公式稍有不同。
在直角坐标系下，流函数可以表示为：ψ = ∫(Vx dy dz - Vy dx dz + Vz dx dy)其中，Vx、Vy和Vz分别表示流体在x、y和z方向的速度分量。
ψ表示流函数。
Vx = x^2，Vy = y^2和Vz = z^2。
那么该点处的流函数可以计算如下：ψ = ∫(x^2 dy dz - y^2 dx dz + z^2 dx dy)势函数公式二维空间中的势函数公式在二维空间中，势函数用于描述流体的势能分布。
对于二维流动，在直角坐标系下，势函数的公式可以表示为：φ = ∫(Vx dx + Vy dy)其中，Vx和Vy分别表示流体在x和y方向的速度分量。
φ表示势函数。
举例：假设在二维平面内，某个点(x, y)的速度分量分别为Vx = 2x和Vy = 3y。
那么该点处的势函数可以计算如下：φ = ∫(2x dx + 3y dy)三维空间中的势函数公式在三维空间中，势函数的公式稍有不同。
在直角坐标系下，势函数可以表示为：φ = ∫(Vx dx + Vy dy + Vz dz)其中，Vx、Vy和Vz分别表示流体在x、y和z方向的速度分量。
φ表示势函数。
Vx = x^2，Vy = y^2和Vz = z^2。
那么该点处的势函数可以计算如下：φ = ∫(x^2 dx + y^2 dy + z^2 dz)总结：•流函数公式和势函数公式分别用于描述流体的运动状态和势能分布。
南信大流体力学第一章4讲
是某一函数全微分的充分必要条件为
∂v ∂y = ∂(− u ) ∂x 。该充要条件又恰好满足上述无辐散流条件，
即(1-75)式可改写成某一函数 ψ
( x, y , t )
的全微分，即
dψ ( x , y , t ) = v ( x, y , t )dx − u ( x , y , t )dy = 0
(1-94)
另外，有流函数和速度势函数后，还可以引入复速度势 的概念。对于定常无旋无辐散条件，可组成一个复速度势函数
F ( z ) (简称复势)如下：
F ( z ) = ϕ ( x, y ) + iψ ( x, y )
− dF dz = u − iv
(1-95)
(1-104)
四、流动的分类 1.一般流动； 2.无旋流动； 3.无辐散流动； 4.纯平移流动； 5.拉普拉斯流动； 6.无形变流动； 7.声振动流动； 8.流体无运动或流体静力学。
对于某确定时刻t，取速度势函数等于某常数值，即
(1-70)
ϕ ( x, y , z , t )
=常数
(1-71)
则上式所表达的空间几何图象为一空间曲面，称作 等势函数面――等位势面。
根据梯度的定义可知，速度矢与等势面相垂直，且从高位势 流向低位势，等势面彼此紧密之处流速值越大；等位势面彼此疏 远之处，流速值越小。然后对上述速度场取散度，即
1 ∂v ∂u ωz = − = 0 ,即 2 ∂x ∂y
∂v ∂u − =0 ∂x ∂y
,将
u = −
∂ψ ∂ψ ,v = ∂y ∂x
在势流条件下，流函数 代入上式，整理得 满足拉普拉斯方程，为调和函数。
ψ
∂ 2ψ ∂ 2ψ + = 0 2 2 ∂x ∂y
流函数与势函数
一、流函数流函数概念的提出是仅对不可压缩流体的平面流动而言的。
所谓平面流动是指流场中各点的流速都平行于某一固定平面，并且各物理量在此平面的垂直方向上没有变化。
由不可压缩流体的平面流动的连续方程得平面流动的流线微分方程为式(1)是式(2)成为某一函数的全微分的必要且充分的条件，即于是很显然，在流线上dψ=0或ψ=C。
每条流线对应一个常数值，所以称函数ψ为流函数。
对于不可压缩流体的平面流动，用极坐标表示的连续方程、流函数的微分和速度分量分别为：流函数具有明确的物理意义：平面流动中两条流线间单位厚度通过的体积流量等于两条流线上的流函数常数之差。
在流函数ψ的定义中，为保证流函数变化值dψ与流量增量值dq v 同号，规定绕B点逆时针方向穿过曲线AB的流量为正，反之为负，这是指通过z方向为单位高度的柱面的体积流量。
里的流量qv通过A点的流线的流函数值ψ1，通过B点的流线的流函数值ψ2，则通过AB柱面的体积流量为在引出流函数这个概念时，既没有涉及流体是粘性的还是非粘性的，也没有涉及流体是有旋的还是无旋的。
所以，无论是理想流体还是粘性流体，无论是有旋流动还是无旋流动，只要是不可压缩流体的平面流动，就存在流函数，对于xoy平面内的无旋流动，有 z=0，即：也可得即不可压缩流体的平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，也是调和函数。
对于极坐标系，该满足拉普拉斯方程为二、速度势函数对于无粘性（理想）流体的无旋流动而言，由斯托克斯定理可知，沿流场中任意封闭周线的速度线积分，即速度环量均为零。
对于无旋流动，该封闭周线所包围的速度环量为零，有对于理想流体无旋流动，从参考点A到另一点B的速度线积分与点A 至点B的路径无关，上式中ds表示连接点A与点B的任意微元曲线。
也就是说，速度线积分仅仅取决于B点相对于A点的位置，具有单值势函数的特征。
由无旋流动的充要条件可知即：上式是成为某一函数的全微分的必要且充分条件。
函数成为速度势函数，简称速度势。
流函数与势函数.docx
一、流函数流函数概念的提出是仅对不可压缩流体的平面流动而言的。
所谓平面流动是指流场中各点的流速都平行于某一固定平面，并且各物理量在此平面的垂直方向上没有变化。
由不可压缩流体的平面流动的连续方程得du dv--- =—―dx dy平面流动的流线微分方程为吗一血" ⑵式(1)是式(2)成为某一函数的全微分的必要且充分的条件，即于是很显然，在流线上(1屮二0或屮二C。
每条流线对应一个常数值, 所以称函数屮为流函数。
对于不可压缩流体的平面流动，用极坐标表示的连续方程、流函数的微分和速度分量分别为:(1)dr dddy/流函数具有明确的物固愿契：平面流动中两条流线间单位厚度通过的体积流量等于两条流线上的流函数常数之差。
在流函数屮的定义中，为保证流函数变化值（1屮与流量增量值dq、同号，规定绕B点逆时针方向穿过曲线AB的流量为正，反之为负，这里的流量4,.是指通过z方向为单位高度的柱面的体积流量。
通过A点的流线的流函数值屮1 ,通过B点的流线的流函数值屮2 ，则通过AB柱面的体积流量为¥ r w 辛q v = \V -dZ = J \u cos(n7 x) +v cos(再y)](SA A["字 + v(-务问二j (T -vdx)AB\(1屮=屮2_屮\A在引出流函数这个概念时，既没有涉及流体是粘性的还是非粘性的，也 没有涉及流体是有旋的还是无旋的。
所以，无论是理想流体还是粘性流 体，无论是有旋流动还是无旋流动，只要是不可压缩流体的平面流动, 就存在流函数，dv du .----- —=0对于xoy 平面内的无旋流动，有CO Z =0,即：去Oy口2 才屮 d 2i// 门VV=—r + —r=0也可得dx创即不可压缩流体的平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，也是调和 函数。
对于极坐标系，该满足拉普拉斯方程为d 2u/ 1 du/ 1 d 2u/ c+ -- +——^=0 dr 2 r dr r 2 d02二、速度势函数屮】对于无粘性（理想）流体的无旋流动而言，由斯托克斯定理可知， 沿流场中任意封闭周线的速度线积分，即速度环量均为零。
流函数势函数
(1)无旋条件：
或
<=> ( 2). Vx dx V y dy Vz dz在 流 场 中 与 积 分 路 径 关 无; <=> ( 3).Vx dx V y dy Vz dz是 某 函 数 的 全 微 分 . 即有：
d Vx dx V y dy Vz dz;Vx ,V y ,Vz ,Vs x y z s
称为势函数。 总之，无旋流和有势流是等价的。
2015-6-8
6.1.2 平面流的流函数ψ
(1)
<=> ( 2). V y dx Vx dy在 流 场 中 与 积 分 路 径 关 无; <=> ( 3). V y dx Vx dy是 某 函 数 的 全 微 分 . 称为流函数。
2015-6-8
Vy
2.两点流函数值之差6 .1 .4 势函数方程和流函数方程——拉普拉斯方程
2015-6-8
6 .1 .5 等势线和等流线的正交性
2015-6-8
y
即有： d V dx V dy;V ,V y x x y
x
适用条件：二维连续流动，有旋流/无旋流均适用。 6.1.3 流函数ψ的性质 1. 等流函数线就是流线
Vx 若 C d V y dx Vx dy 0 为流线 dy dx
流函数势函数-第一章
0
对于无旋流动，必定存在一个函数 x, y, z, t 满足如：
V
或 V grad
无旋流动，其速度矢总可以用函数 的梯度来表示，把函数 x, y, z, t 叫做速度的（位）势函数，可以用这个函数来表 示无旋流动的流场。 通常将无旋流动称为有势流动或势流。
u
A
A
Q dy dx Q B A 或 A y x 表明:经过两点为端点的任何曲线的流体通量，决定于该 两点的流函数差，而与曲线的长度和形状无关。
B
用流函数可以来方便地表征无辐散场的流体通量。
曲线法向方向的单位矢量定义为：
dl n k dl 而： dl i dx j dy
A
B
Chen Haishan NIM NUIST
,v y x 引用流函数，并考虑： dl n k (dyi dxj ) / dl dl B B Q V n dl Vndl
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（3）表征流体涡度
v u 由涡度的定义 x y ，可得到用流函数来表
示的涡度表达式：
2 2 2 2 x y
可见，对流函数取拉普拉斯运算即可得到流体的涡度。 同样，求解流函数的方法为： （1）已知涡度，直接求解泊松（Poisson）方程； （2）已知速度场，先求出涡度，然后求解泊松方程。
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④ 势函数的求解 u v w D 假如流体的散度为： x y z 根据势函数的定义有： 2 D
2 2 2 其中， 2 2 2 2 为三维拉普拉斯算子。 x y z
流体力学2011-第一章作业讲解4
Vy dy dx V C x
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等势线和等流函数线在点(x,y ) 的斜率乘积
dy dy Vx V y 1 dx dx V y Vx C C
u ,v x y
u ,v y x
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方法二： 等势函数线是指
C
的曲线 ，沿等势线 ， d 0
即
d dx dyVx dxVy dy0 x y
d dx dy(V )dx(V )dy0 x y x y
u ,v y x
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流函数和势函数都是调和函数（满足二维拉普拉斯方程)
2 2 2 2 y x 2 2 x 2 y 2 D
2 2 2 2 0 y x 2 2 2 0 2 y x
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习题1-6-2 请问是否存在既满足无辐散条件又满足无 旋条件的流动？如存在，请举例说明。 解： 满足无辐散条件又满足无旋条件，即：
V 0
V 0
u at, v 0, w 0
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由上式，可得到等势线在流场中任意点(x,y)的斜率
dy Vx dx V C y
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等流函数是指 C 的曲线，即流线，沿等流函数， d 0 即
d dx dy Vy dxVx dy0 x y
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曲线法向方向的单位矢量定义为：
dl n k dl 而： dl i dx j dy
A
B
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u ,v y x 引用流函数，并考虑： dl n k (dyi dxj ) / dl dl B B Q V n dl Vndl
V V V
① ②
①无辐散涡旋流 ②无旋辐散流
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V V V V
V 0 V 0
V k V
根据格林积分公式（平面曲线积分与路径无关的条件）可 知，满足无辐散条件下:
vdx udy 0
d x, y, t v x, y, t dx u x, y, t dy 0
,v 流速与该函数满足： u y x
矢量形式：
V k
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（3）表征流体涡度
v u 由涡度的定义 x y ，可得到用流函数来表
示的涡度表达式：
2 2 2 2 x y
可见，对流函数取拉普拉斯运算即可得到流体的涡度。 同样，求解流函数的方法为： （1）已知涡度，直接求解泊松（Poisson）方程； （2）已知速度场，先求出涡度，然后求解泊松方程。
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求解势函数的具体方法（仅考虑二维的情况）： （1）如已知D，直接求解泊松（Poisson）方程，可得势函数。 （2）如已知速度场，可以先求出D，然后再求解泊松方 程，最终得到势函数。
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二、速度流函数
①定义及存在条件 引入流体散度的概念之后，可将流体运动分为： 流体运动 无辐散流
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②引入势函数的优点 流速矢描述流体运动 需要给定三个变量 含有三个变量； 刻画流体的运动情况。
V ui vj wk
而引进了势函数后：
u ,v ,w x y z
只要一个变量（势函数）就可以来描述流体运动，
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习题1-6-3 请证明无辐散的平面无旋流动：（1）流函 数和势函数都是调和函数（满足二维拉普拉斯方程) （2）等势函数线和等流函数线正交。
dx / u dy / v ； 习题1-6-4 平面流动的流线方程为： 由流函数全微分 d vdx udy ； 当取 常值时，也可以得到 dx / u dy / v 试问两式是否等价？请说明理由？
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积分以上的全微分形式，可以得到：
x, y, t =常数
对某一固定的时刻：一空间曲线－－流线方程积分曲线。 流速与该函数的关系－－－曲线的切线方向与流速矢 的方向是相吻合的。
上式所描述的曲线就是流线，当然，它也是函数 的等 值线。
将以上引进的函数 称之为流函数，而流线也就是等流函 数线。
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④ 势函数的求解 u v w D 假如流体的散度为： x y z 根据势函数的定义有： 2 D
2 2 2 其中， 2 2 2 2 为三维拉普拉斯算子。 x y z
可以看出，如果给定D，通过求解泊松（Poisson）方 程，即可求得势函数。
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本节总结
§6速度势函数和流函数 （概念、理解）
①速度势函数的定义、存在条件、表示流体运动的方法；
②流函数的定义、存在条件、表示流体运动的方法； ③速度势函数、流函数表示二维流动。
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三、二维流动
一般二维流动，既不满足无旋条件，也不满足无辐 散条件，流动是有旋有辐散的。此时，其涡度和散度均 不为零，即满足： v u x y 0 u v D x y 0
无旋流动 流体运动
涡旋流动
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据矢量分析知识，任意一函数的梯度，取旋度恒等于零：
0
对于无旋流动，必定存在一个函数 x, y, z, t 满足如：
V
或 V grad
无旋流动，其速度矢总可以用函数 的梯度来表示，把函数 x, y, z, t 叫做速度的（位）势函数，可以用这个函数来表 示无旋流动的流场。 通常将无旋流动称为有势流动或势流。
V 0
辐散流
V 0
考虑二维无辐散流动，即满足：
u u x , y, t , v v x , y, t u / x v / y 0
其流线方程为： dx dy 或vdx udy 0 u v
w0
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A
A
Q dy dx Q B A 或 A y x 表明:经过两点为端点的任何曲线的流体通量，决定于该 两点的流函数差，而与曲线的长度和形状无关。
B
用流函数可以来方便地表征无辐散场的流体通量。
2 2 2 2 y x 2 2 x 2 y 2 D
V k
u y x v x y
上式为大气动力学中广泛采用的形式。
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大大地减少了描写流体运动所需的变量，简化了问题。
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③用势函数来描述流体运动 对于某一固定时刻
x, y, z, t =常数
为一空间曲面，称为等势函数面或者等位势面。 上式取不同常数 不同的等位势面 等位势面族。
由流速场与势函数的关系可知：V
课 后习 题
习题1-6-1 已知二维流速场为：
u ax by u (2a x ) y ① ② 2 2 v cx dy v b ( x y )
分别求势函数和流函数存在的条件。
习题1-6-2 请问是否存在既满足无辐散条件又满足无 旋条件的流动？如存在，请举例说明。
流速矢与等位势面相垂直，由高位势流向低位势，等位势 面紧密处，位势梯度大，相应的流速大；等位势面稀疏处 ，位势梯度小，相应的流速小。
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例1-6-1 已知流体作无旋运动，对应的等势函数线分布如 0 < 1 < 2 ）的，请判断并在图 图所示（其中， 中标出A、B两处流体速度的方向，并比较A、B 两处流速的大小。
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第六节 速度势函数和流函数
速度势函数 速度流函数 二维流动的表示
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一、速度势函数
① 定义（速度势函数的引入及存在条件）
如果在流体域内涡度为零，即: V 0
无旋流动；
否则，则称之为涡旋流动： V 0
Chen Haishan NIM NUIST ②引入流函数的优点
（1）减少表征流动的变量
（2）表征流体通量 在流体中任取一条有向曲线A 流体自右侧向左侧的通量Q： B B
B，顺着该有向曲线
Q V n dl Vndl
A
A 流速在曲线法向方向上的分量