数学：任意角和弧度制必修
《任意角和弧度制》教案
《任意角和弧度制》教案篇一：人教A版高中数学必修四1.1《任意角和弧度制》1.1 《任意角和弧度制》教案【教学目的】1.理解任意角的概念.2.学会建立直角坐标系讨论任意角，推断象限角，掌握终边一样角的集合的书写.3.理解弧度制，能进展弧度与角度的换算.4.认识弧长公式，能进展简单应用.对弧长公式只要求理解，会进展简单应用，不必在应用方面加深.5.理解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、处理征询题. 【导入新课】复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系提出征询题：1．初中所学角的概念.2．实际生活中出现一系列关于角的征询题. 3.初中的角是如何度量的？度量单位是什么？4.1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？5.角的范围是什么？如何分类的？新授课阶段一、角的定义与范围的扩大1．角的定义：一条射线绕着它的端点O，从起始位置OA旋转到终止位置OB，构成一个角?，点O是角的顶点，射线OA,OB分别是角?的终边、始边. 说明：在不引起混淆的前提下，“角?”或“??”能够简记为?．2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转构成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转构成的角叫做负角；零角：假设一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角. 说明：零角的始边和终边重合. 3．象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负轴重合，那么（1）象限角：假设角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 例如：30?,390?,?330?都是第一象限角；300?,?60?是第四象限角.（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.例如：90?,180?,270?等等.说明：角的始边“与x轴的非负半轴重合”不能说成是“与x轴的正半轴重合”.由于x轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线.4．终边一样的角的集合：由特别角30看出：所有与30角终边一样的角，连同30角本身在内，都能够写成30?k?360??????k?Z?的方式；反之，所有形如30??k?360??k?Z?的角都与30?角的终边一样.从而得出一般规律：所有与角?终边一样的角，连同角?在内，可构成一个集合S|?k?360?,k?Z?，即：任一与角?终边一样的角，都能够表示成角?与整数个周角的和. 说明：终边一样的角不一定相等，相等的角终边一定一样.例1在0与360范围内，找出与以下各角终边一样的角，并推断它们是第几象限角？（1）?120；（2）640；（3）?95012?.?????解：（1）?120?240?360，因而，与?120角终边一样的角是240，它是第三象限角；（2）640?280?360，因而，与640角终边一样的角是280角，它是第四象限角；（3）?95012??12948??3?360，??????????因而，?95012?角终边一样的角是12948?角，它是第二象限角.??例2 假设??k?360??1575?,k?Z，试推断角?所在象限. 解：∵??k?360??1575?(k?5)?360??225?, (k?5)?Z ∴?与225终边一样，因而，?在第三象限.?例3 写出以下各边一样的角的集合S，并把S中适宜不等式?360720?的元素? 写出来：（1）60；（2）?21；（3）36314?．?????解：（1）S??|??60?k?360,k?Z，??S中适宜?360720?的元素是60??1?360300?,60??0?360??60?,?60??1?360??420.??（2）S??|21?k?360,k?Z，??S中适宜?360720?的元素是?21??0?36021?,?21??1?360??339?,?21??2?260??699???（3）S??|??36314??k?360,k?ZS中适宜?360720?的元素是363?14??2?360356?46?, 363?14??1?360??3?14?,?363?14??0?360??363?14.例4 写出第一象限角的集合M．分析：（1）在360内第一象限角可表示为090；（2）与0,90终边一样的角分别为0?k?360,90?k?360,(k?Z)；（3）第一象限角的集合确实是夹在这两个终边一样的角中间的角的集合，我们表示为：?????????M|k?360?90??k?360?,k?Z?．学生讨论，归纳出第二、三、四象限角的集合的表示法：P|90??k?360?180??k?360?,k?Z?；N|90??k?360?180??k?360?,k?Z?；Q|270??k?360?360??k?360?,k?Z?．说明：区间角的集合的表示不唯一.例5写出y??x(x?0)所夹区域内的角的集合.??解：当?终边落在y?x(x?0)上时，角的集合为?|??45?k?360,k?Z；????当?终边落在y??x(x?0)上时，角的集合为?|45?k?360,k?Z；??因而，按逆时针方向旋转有集合：S??|?45?k?36045?k?360,k?Z．??二、弧度制与弧长公式1.角度制与弧度制的换算：∵360?=2?（rad），∴180?=? rad. ∴1?=?180rad?0.01745rad.??180 1rad?57.30?5718.oSl2．弧长公式：l?r?. 由公式：?ln?r?l?r??.比公式l?简单. r180lR，其中l是扇形弧长，R是圆的半径. 2弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积3．扇形面积公式S?留意几点：1．今后在详细运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”能够省略，如：3表示3rad ，sin?表示?rad角的正弦；2．一些特别角的度数与弧度数的对应值应该记住：3．应确立如下的概念：角的概念推行之后，不管用角度制仍然弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系.任意角的集合实数集R例6 把以下各角从度化为弧度：(1)252?；（2）1115；(3) 30；(4)67?30. 解：(1)/71? （2）0.0625? (3) ? (4) 0.375? 56变式练习：把以下各角从度化为弧度：(1)22o30′；（2）-210o；(3)1200o. 解：(1) ?；（2）? 18720?；(3)?. 63例7 把以下各角从弧度化为度：（1）?；(2) 3.5；(3) 2；(4)35?. 4解：（1）108 o；(2)200.5o；(3)114.6o；(4)45o. 变式练习：把以下各角从弧度化为度：（1）?4?3?；（2）-；（3）.12310解：（1）15 o；（2）-240o；（3）54o.例8 知扇形的周长为8cm，圆心角?为2rad，，求该扇形的面积. 解：由于2R+2R=8,因而R=2,S=4. 课堂小结1．弧度制的定义；2．弧度制与角度制的转换与区别；3．牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵敏运用；篇二：(教案3)1.1任意角和弧度制1.1.1任意角教学目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边一样的角”的含义。
必修4-1.1-任意角和弧度制PPT课件
正半轴。
➢角的终边落在第几象限，就说这个角是第几 象限的角（包含第一、 二、三、 四象限角）
➢角的终边落在哪坐标轴上，就说这个角是 哪坐标轴上角（包含x,y正负半轴上的角）
.
7
2．象限角和坐标轴上角
终边
终边
y
x
o
始边
终边
终边 是第一象限角
是 第 二 象 限 角 是 第 三 象 限 角 是 第 四 象 限 角
１.{β| β=k∙1800 ，k∈Z} {β| β=kπ ，k∈Z}
２.{β| β=k∙900 ，k∈Z}
{β| β=k∙
2
，k∈Z}
3.{β| k ∙ <β<2kπ
3600 +
<β<k∙ 3600+900 ，k∈Z}
，k∈Z}
={β| β=900+（2K+1）1800 ，K∈Z} ={β| β=900+1800 的奇数倍}
.
11
所以 终边落在ｙ轴上的角的集合为
S=S1∪S2 ={β| β=900+1800 的偶数倍} ∪{β| β=900+1800 的奇数倍} ={β| β=900+1800 的整数倍} ={β| β=900+K∙1800 ，K∈Z}
现状生活中：体操、跳水、滑冰、 转体720度的高难度动作,直体后空 翻转体900度及以上的旋转 时钟的时针、分针转动和调准时间 时顺时针、逆时针拨转角度 主从动轮转动角 车的轮子的转动角 风车,风扇叶片等转动
.
4
思考：这些旋转形成的角该如何表示和区分?
引入新的角定义:
定义2:平面内一条射线绕着端点从一个位 置旋转到另一个位置所成的图形.射线OA、 OB分别是角的始边和终边，端点O为角的 顶点。
高中数学 1.1 任意角和弧度知识表格素材 新人教版必修4
弧 度
0
6
4
Байду номын сангаас 3
2
2 3
3
5
4
6
π
3.弧度制与角度制的区别与联系
区别
①单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以 “度”为度量单位； ②定义不同.
不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个 联系
与圆的半径大小无关的定值.“弧度”与“度”之间可以相
互转化.
4.弧度制与角度制下弧长公式和扇形面积公式的比较
单位制 公式
弧度制
角度制
弧长公式
l ·r（0< 2）
l nr (0 n<360) 180
扇形面积公式
S 1l r 2
S nr2 (0 n<360) 360
1.角度制与弧度制的换算
角度化弧度 360°=2π rad 180°=π rad
1 rad 0.017 45 rad 180
弧度化角度 2π rad=360° π rad=180°
1 rad (180) 57.30
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
高中数学必修四任意角与弧度制知识点汇总
任意角与弧度制 知识梳理:一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。
注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转”（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
例1、若13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。
（0,45） （180,270）2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
可以将角分为正角、零角和负角。
正角：按照逆时针方向转定的角。
零角：没有发生任何旋转的角。
负角：按照顺时针方向旋转的角。
例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960（2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 3π ．3、 “象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。
角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。
例1、30? ；390? ；?330?是第 象限角 300? ； ?60?是第 象限角585? ； 1180?是第 象限角 ?2000?是第 象限角。
例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= ④ （填序号）.①{小于90°的角} ②{0°～90°的角}③ {第一象限的角}④以上都不对（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ）A ．B=A∩CB ．B∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=C例3、写出各个象限角的集合：例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α 的终边所在位置.解 ∵α是第二象限的角，∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜2α＜k ·180°+90°（k ∈Z ）， 当k=2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜2α＜n ·360°+90°； 当k=2n+1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜2α＜n ·360°+270°. ∴2α是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜3α＜90°+k ·120°. ①当k=3m(m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜3α＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3α的终边在第一象限. ②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜3α＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故3α的终边在第三象限. ③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜3α＜330°+m ·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第四象限. 综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与)(Z k k ∈个周角的和。
1.1_任意角与弧度制
(3)
990 15 （ 3） 360 89 45 是第一象限角
990 15的角与89 45的角终边相同，
RTX3:
如何判断一个给定角所在象限？
只需把它们写成:k 360 (0 360 ) 即可
k 180 120 (k Z ) 2
是第二或第四象限角 2
变：判断 2是第几象限角呢?
课堂练习：
1.一角为30°，其终边按逆时针方向旋转 三周后的 角度数为＿＿＿＿，若按顺时针方向旋转呢？ 2.在0度到360度范围内，找出与下列各角终边相同 的角，并分别判断它们是哪个象限的角？ ① -55º ② 395º8′ ③ 1563º
( 3 )角 的 终 边 在 坐 标 轴 上 , 就 说 这 个 角 不 属 于 任 何 象 限.
RTX2:
锐角是第几象限的角？第一象限的角都是锐角吗？ 直角和钝角呢？小于90°的角是锐角吗？
锐角是第一象限角 直角不是象限角 第一象限的角不都是锐角 钝角是第二象限角
小于90°的角不都是锐角
集体探究学习活动2
第二象限的角表示为
{|k360+90<<k360+180，（kZ）}
第三象限的角表示为
{|k3，（kZ）}
第四象限的角表示为
{|k360+270<<k360+360，（kZ）} 或{|k36090<<k360，（kZ）}
( 2 )范 围 都 在 : 0 0 ~ 3 6 0 0.
实际使用中的角 :既要知道旋转量,又要知道旋 转 方 向.
集体探究学习活动1
1.任意角的概念是什么？ 2.角是怎样分类的？
高一数学必修任意角和弧度制
高一数学必修4任意角和弧度制第一课时 1.1.1 任意角教学要求：理解任意大小地角正角、负角和零角,掌握终边相同地角、象限角、区间角、终边在坐标轴上地角.教学重点：理解概念,掌握终边相同角地表示法.教学难点：理解角地任意大小.教学过程：一、复习准备：1.提问：初中所学地角是如何定义？角地范围？（角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成地图形；0°～360°）2.讨论：实际生活中是否有些角度超出初中所学地范围？ → 说明研究推广角概念地必要性（钟表；体操,如转体720°；自行车车轮；螺丝扳手）二、讲授新课：1.教学角地概念：① 定义正角、负角、零角：按逆时针方向旋转所形成地角叫正角,按顺时针方向旋转所形成地角叫负角,未作任何旋转所形成地角叫零角.② 讨论：推广后角地大小情况怎样？ （包括任意大小地正角、负角和零角） ③ 示意几个旋转例子,写出角地度数.④ 如何将角放入坐标系中？→定义第几象限地角.（概念：角地顶点与原点重合,角地始边与x 轴地非负半轴重合. 那么,角地终边（除端点外）在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. ）⑤ 练习：试在坐标系中表示300°、390°、－330°角,并判别在第几象限？ ⑥ 讨论：角地终边在坐标轴上,属于哪一个象限？结论：如果角地终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角. 口答：锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.⑦ 讨论：与60°终边相同地角有哪些？都可以用什么代数式表示？与α终边相同地角如何表示？⑧ 结论：与α角终边相同地角,都可用式子k ×360°＋α表示,k ∈Z ,写成集合呢？ ⑨ 讨论：给定顶点、终边、始边地角有多少个？注意：终边相同地角不一定相等；但相等地角,终边一定相同；终边相同地角有无数多个,它们相差360°地整数倍2.教学例题：① 出示例1：在0°～360°间,找出下列终边相同角：－150°、1040°、－940°. （讨论计算方法：除以360求正余数 →试练→订正）② 出示例2：写出与下列终边相同地角地集合,并写出－720°～360°间角. 120°、－270°、1020°（讨论计算方法：直接写,分析k 地取值 →试练→订正）③ 讨论：上面如何求k 地值？ （解不等式法）④ 练习：写出终边在x 轴上地角地集合,y 轴上呢？坐标轴上呢？第一象限呢？ ⑤ 出示例3：写出终边直线在y =x 上地角地集合S , 并把S 中适合不等式360720α︒-≤<︒地元素β写出来. （师生共练→小结）3. 小结：角地推广；象限角地定义；终边相同角地表示；终边落在坐标轴时等；区间角表示.三、巩固练习：1. 写出终边在第一象限地角地集合？第二象限呢？第三象限呢？第四象限呢？直线y =-x 呢？2. 作业：书P6 练习 3 ③④、4、5题.第二课时：1.1.2 弧度制（一）教学要求：掌握弧度制地定义,学会弧度制与角度制互化,并进而建立角地集合与实数集R 一一对应关系地概念.教学重点：掌握换算.教学难点：理解弧度意义.教学过程：一、复习准备：1. 写出终边在x 轴上角地集合 .2. 写出终边在y 轴上角地集合 .3. 写出终边在第三象限角地集合 .4. 写出终边在第一、三象限角地集合 .5. 什么叫1°地角？计算扇形弧长地公式是怎样地？二、讲授新课：1. 教学弧度地意义：① 如图：∠AOB 所对弧长分别为L 、L ’,半径分别为r 、r ’,求证：l r ＝''l r . ② 讨论：l r 是否为定值？其值与什么有关系？→结论：l r ＝180n π=定值. ③ 讨论：l r 在什么情况下为值为1？l r是否可以作为角地度量？ ④ 定义：长度等于半径长地弧所对地圆心角叫1弧度地角. 用rad 表示,读作弧度. ⑤ 计算弧度：180°、360°→ 思考：－360°等于多少弧度？⑥ 探究：完成书P7 表1.1-1后,讨论：半径为r 地圆心角α所对弧长为l ,则α弧度数=？⑦ 规定：正角地弧度数是一个正数,负角地弧度数是一个负数,零角地弧度数是0. 半径为r 地圆心角α所对弧长为l ,则α弧度数地绝对值为|α|＝l r. 用弧度作单位来度量角地制度叫弧度制.⑧ 讨论：由弧度数地定义可以得到计算弧长地公式怎样？⑨ 讨论：1度等于多少弧度？1弧度等于多少度？→度表示与弧度表示有啥不同？ －720°地圆心角、弧长、弧度如何看？2 .教学例题：①出示例1：角度与弧度互化：6730' ；35rad π.分析：如何依据换算公式？（抓住：180︒=π rad ） → 如何设计算法？→ 计算器操作： 模式选择 MODE MODE 1(2)；输入数据；功能键SHIFT DRG 1(2)=② 练习：角度与弧度互化：0°；30°；45°；3π；2π；120°；135°；150°；54π ③ 讨论：引入弧度制地意义？（在角地集合与实数地集合之间建立一种一一对应地关系）④ 练习：用弧度制表示下列角地集合：终边在x 轴上； 终边在y 轴上.3. 小结：弧度数定义；换算公式（180︒=π rad ）；弧度制与角度制互化.三、巩固练习：1. 教材P10 练习1、2题.2. 用弧度制表示下列角地集合：终边在直线y =x ； 终边在第二象限； 终边在第一象限.3. 作业：教材P11 5、7、8题.第三课时：1.1.2 弧度制（二）教学要求：更进一步理解弧度地意义,能熟练地进行弧度与角度地换算. 掌握弧长公式,能用弧度表示终边相同地角、象限角和终边在坐标轴上地角. 掌握并运用弧度制表示地弧长公式、扇形面积公式教学重点：掌握扇形弧长公式、面积公式.教学难点：理解弧度制表示.教学过程：一、复习准备：1. 提问：什么叫1弧度地角？1度等于多少弧度？1弧度等于多少度？扇形弧长公式？2. 弧度与角度互换：－43π、310π、－210°、75° 3. 口答下列特殊角地弧度数：0°、30°、45°、60°、90°、120°、135°、…二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例：用弧度制推导：S 扇＝12LR ；212S R α=扇. 分析：先求1弧度扇形地面积（12ππR 2）→再求弧长为L 、半径为R 地扇形面积？ 方法二：根据扇形弧长公式、面积公式,结合换算公式转换.② 练习：扇形半径为45,圆心角为120°,用弧度制求弧长、面积. ③ 出示例：计算sin 3π、tan1.5、cos 4π （口答方法→共练→小结：换算为角度；计算器求）② 练习：求6π、4π、3π地正弦、余弦、正切. 2. 练习：①. 用弧度制写出与下列终边相同地角,并求0～2π间地角.193π、－675° ② 用弧度制表示终边在x 轴上角地集合、终边在y 轴上角地集合？终边在第三象限角地集合？③ 讨论：α＝k ×360°＋3π与β＝2k π＋30°是否正确？ ④ α与－94π地终边相同,且－2π<α<2π,则α＝ . ⑤ 已知扇形AOB 地周长是6cm ,该扇形地中心角是1弧度,求该扇形地面积.解法：设扇形地半径为r ,弧长为l ,列方程组而求.3. 小结：扇形弧长公式、面积公式；弧度制地运用；计算器使用.三、巩固练习：1. 时间经过2小时30分,时针和分针各转了多少弧度？2. 一扇形地中心角是54°,它地半径为20cm ,求扇形地周长和面积.3. 已知角α和角β地差为10°,角α和角β地和是10弧度,则α、β地弧度数分别是 .4. 作业：教材P10 练习4、5、6题.。
高中数学5.1任意角和弧度制
高中数学5.1 任意角和弧度制一、概述高中数学中，三角函数是一个重要内容。
而在学习三角函数之前，我们需要先了解一些基本概念，比如任意角和弧度制。
本文将围绕着这两个概念展开讲解，帮助读者更好地理解和掌握这些内容。
二、任意角的概念1. 任意角是指不限制在0°到360°之间的角。
在平面直角坐标系中，任意角可以被表示为一个终边落在坐标轴上的角。
这意味着任意角可以包括整个360°的范围。
2. 我们通常用θ来表示任意角，其实任意角可以被表示为θ＝360k ＋α，其中k是整数，α是小于360°的正角，它是唯一的。
三、弧度制的概念1. 弧度制是另一种角度的度量方式，它是以圆的半径长为单位进行度量的。
一个圆的全周长为2πr，所以一个圆的一周等于2π弧度。
2. 我们知道360°等于2π弧度，所以1°等于π/180弧度。
角度和弧度之间可以通过π进行转换。
3. 弧度制适合用于求解圆的性质问题，因为它更直接地与圆的半径有关，可以简化很多计算，并且更具有普适性。
四、任意角与弧度的转换1. 已知一个角的度数，求其对应的弧度。
我们可以根据1°等于π/180弧度的关系，进行计算转换。
30°对应的弧度是30°×π/180=π/6弧度。
2. 已知一个角的弧度，求其对应的度数。
同样可以根据π弧度等于180°进行转换计算。
π/3弧度对应的度数是π/3÷π×180°=60°。
五、扩展知识1. 在解决某些三角函数的问题时，可能会遇到弧度制和角度制混用的情况。
在这种情况下，我们需要先将角度统一转换为弧度，然后再进行计算。
2. 在高等数学中，弧度制被广泛应用于导数、积分和微分等计算中。
了解弧度制可以为后续高等数学的学习奠定坚实基础。
六、总结任意角和弧度制是高中数学中一个基础而重要的知识点，它为后续学习三角函数和高等数学打下了基础。
数学人教A版必修第一册5.1.2弧度制课件
144 6
l
,
120 5
r
96
6 180
(
) ( )
5
课堂小结
本节课你学会了哪些主要内容？
知识点:(1)弧度制的概念.
(2)弧度与角度的相互转化.
(3)掌握特殊角的度数与弧度数的对应关系.
(4)扇形的弧长与面积的计算.
方法归纳：由特殊到一般、数学运算.
易错点：弧度与角度混用.
（2）1弧度的角：____________________________；
（3）记法：弧度的单位符号是rad，读作弧度
注：弧度单位可省略，角度单位不能省略.
半径为1的圆
（4）单位圆：____________；
∠AOB 即为1弧度的角
概念生成
（5）弧度的计算：在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，
第五章
三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.1.2 弧度制
学习目标
学习
目标
一
理解弧度制
二
理解1弧度的角及弧度的定义
三
掌握角度与弧度的换算公式，能进行角度
与弧度的换算，熟记特殊角的度数对应的
弧度数.
复习回顾
请说说角的概念是怎样扩大的？
角的概念
(0°～360°)
放在坐标系中
看终边的位置
0°～360°
的角不够用
心角对对弧的长度。
n R 60
( mm )
简析： 角度制下： 60 n 60, l
180
180
3
弧度制下： 60
3
, l R
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三角函数
１．１任意角和弧度制
一、 教学目标：
（１）推广角的概念、引入大于360︒
角和负角； （２）理解并掌握正角、负角、零角的定义；
（３）理解任意角以及象限角的概念；
（４）掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；
二、教学重、难点
重点：理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.
难点：终边相同的角的表示.
三、学法与教学用具
之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.
教学用具:电脑、投影机、三角板
四、教学设想
【创设情境】
思考:你的手表慢了５分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了１．２５
小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？
[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒
~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.
【探究新知】
１．初中时，我们已学习了0360︒︒
~角的概念，它是如何定义的呢？ [展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图１．１—１，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点
O 叫做叫α的顶点.
２．如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒” （即转体２周），“转体1080︒”（即转体３周）等,都是遇到大于360︒
的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒
的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题？又该如何区分和表示这些角呢？
[展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角（positive angle ）,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角（negative angle ）.如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角（zero angle ）.
[展示课件]如教材图１．１．３（１）中的角是一个正角,它等于750︒
；图１．１．３（２）中，正角210α︒=，负角150,660βγ︒︒
=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle ）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α.
３．在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.
角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。
那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角（quadrant angle ）.如教材图１．１—４中的30︒角、210︒-角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.
４．[展示投影]练习:
（１）（口答）锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？再分别就直角、钝角来回答这两个问题.
（２）（回答）今天是星期三那么7()k k Z ∈天后的那一天是星期几？ 7()k k Z ∈天前的那一天是星期几？１00天后的那一天是星期几？
５．探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线OB （如图１．１—５）,以它为终边的角是否唯一？如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系？请结合４．（２）口答加以分析.
[展示课件]不难发现,在教材图１．１—５中,如果32︒
-的终边是OB ,那么328,392︒︒-角的终边都是OB ,而328321360︒︒︒=-+⨯,39232(1)360︒︒︒-=-+-⨯.
设{|32360,}S k k Z ββ︒︒==-+⋅∈,则328,392︒︒-角都是S 的元素,32︒-角也是S
的元素.因此,所有与32︒-角终边相同的角,连同32︒
-角在内,都是集合S 的元素；反过来，集合S 的任一元素显然与32︒
-角终边相同. 一般地,我们有:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合
{|360,}S k k Z ββα︒==+⋅∈,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
6．[展示投影]例题讲评
例１． 例１在0360︒︒
~范围内，找出与95012'︒－角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：0360︒︒－是指0360β︒︒
≤<） 例２．写出终边在y 轴上的角的集合.
例３．写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α︒
-≤ 720︒<的元素β写出来.
7．[展示投影]练习
教材第３、４、５题.
注意：（１）k Z ∈；（２）α是任意角（正角、负角、零角）；（３）终边相同的角
不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍.
8．学习小结
(1)你知道角是如何推广的吗？
(2)象限角是如何定义的呢？
(3)你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗？会写终边落在x轴、y轴、直
线y x=上的角的集合.
五、评价设计
１．作业：习题１．１A组第１,２,３题．
２．多举出一些日常生活中的“大于360︒的角和负角”的例子，熟练掌握他们的表示，进一步理解具有相同终边的角的特点．。