博弈论(2)

第一章完全信息静态博弈博弈论的基本概念及战略式表述纳什均衡纳什均衡应用举例混合战略纳什均衡纳什均衡的存在性与多重性第一节博弈论的基本概念与战略式表述博弈论的基本概念与战略式表述博弈论（game theory ）是研究决策主体的行为发生直接相互作用时候的决策以及这种决策的均衡问题。

博弈的战略式表述：G={N,(S i )i ∈N ,(U i )i ∈N }有三个基本要素：（1）参与人（players ）i ∈N={1,2,…,n}；（2）战略（strategies ）,s i ∈S i (战略空间)；（3）支付（payoffs ）,u i =u i (s -i ,s i )。

均衡与均衡结果均衡战略（坦白，坦白）均衡支付（-6，-6）第二节纳什均衡占优战略均衡重复剔除的占优战略均衡纳什均衡完全信息静态博弈的几点特性同时出招，出招一次；知道博弈结构与游戏规则（共同知识）； 不管是否沟通过，无法做出有约束力的承诺（非合作）一、占优战略均衡占优战略：不管对手战略为何，该参与人可找到一最佳战略。

定义：在博弈G={N,(S i )i ∈N ,(U i )i ∈N }中，如果对所有的参与人i,s i *是它的占优战略，那么所有参与人选择的战略组合（s 1*,…,s n *）成为该对策的占优战略均衡。

“囚犯困境”的扩展两个寡头企业选择产量公共产品的供给军备竞赛经济改革结论：一种制度安排，要发生效力。

必须是一种纳什均衡；否则，制度安排便不能成立。

案例2：智猪博弈猪圈里圈两头猪，一头大猪，一头小猪。

猪圈的一头有一个猪食槽，另一头安装一个按钮，控制着猪食的供应。

按一下按钮会有10个单位的猪食进槽，但谁按按钮谁就要付出2个单位的成本。

若大猪先到，大猪吃到9个单位，小猪只能吃1个单位；若同时到，大猪吃7个单位，小猪吃3个单位；若小猪先到，大猪吃6个单位，小猪吃4个单位。

支付如表。

智猪博弈的扩展股份公司承担监督经理职能的大股东与小股东股票市场上炒股票的大户与小户市场中大企业与小企业在研发、广告上的博弈公共产品的提供（富户与穷户）改革中不同利益分配对改革的推动二、重复剔除的占优战略均衡 绝对劣势战略：s i 是一绝对劣势战略当且仅当存在另一战略s i ’∈S i 使得u i (s i ,s -i )< u i (s i ’,s -i ) 对所有s -i ∈S -i 均成立。

（s i ’未必是优势战略）重复剔除的占优战略均衡：逐次删去绝对劣势战略得到唯一的占优战略。

三、纳什均衡定义：指一战略组合有以下特性：当参与人持此战略后，任一参与人均无诱因偏离这一均衡；s*=(s 1*,…,s n *)=(s i *,s -i *)是一纳什均衡，当且仅当对所有参与人而言，u i (s i *,s -i *)≥u i (s i ’,s -i *)对所有s i ’∈S i 均成立。

简单而言，当s 1*是对s 2*的最适反应，s 2*也是s 1*的最适反应时，（s 1*,s 2*）就是二人博弈的纳什均衡。

命题1：纳什均衡在占优战略重复剔除解法中不会被剔除 命题2：重复剔除的严格占优战略均衡一定是纳什均衡。

第三节纳什均衡应用举例古诺（Cournot）寡头模型沙滩卖冰豪泰林（Hotelling）价格竞争模型公共地的悲剧一、古诺寡头模型特点：存在两家厂商；同时行动确定产量。

通过预测另一家厂商的产量来选择自己的利润最大化产量，寻求预测均衡。

厂商1表示为：max p(y 1+y 2e )y 1-c(y 1)，得出y 1=f 1(y 2e )，同理得出y 2=f 2(y 1e )，称为反应函数，两条曲线的交点为古诺模型的解。

y1例题：古诺模型的解假设p=a-(y1+y2)，C1=y1c，C2=y2c则根据利润最大化的一阶条件分别得到反应函数y 1=f1(y2)=(a-y2-c)/2，y 2=f2(y1)=(a-y1-c)/2，求出均衡产量为（1/3(a-c)，1/3(a-c)），为纳什均衡，均衡利润为（1/9(a-c)2，1/9(a-c)2）古诺模型的解：与垄断市场的比较假设为一垄断企业，则有：Max π=y(a-y-c), 得到垄断企业的最优产量y=1/2(a-c) <y 1+y 2=2/3(a-c)垄断利润为π=1/4(a-c)2 >2/9(a-c)2 寡头竞争的总产量大于垄断产量的原因在于每个企业在选择自己的最优产量时，只考虑对本企业利润的影响，而忽视对另一个企业的外部负效应。

三、豪泰林模型寡头企业竞争战略是价格伯川德（Bertrand）模型：产品同质，均衡价格等于边际成本，类似于完全竞争市场均衡。

豪泰林（Hotelling）模型：存在产品差异，均衡价格不等于边际成本，垄断性提高豪泰林模型：以空间上差异为例根据两个商店的利润函数，π1=(p 1-c)x, π2=(p 2-c)(1-x)选择使利润最大化的价格，得到一阶条件，求得p 1*=p 2*=c+t，均衡利润π1=π2=t/2旅行成本越高，产品差异越大，均衡价格从而均衡利润也越高。

原因：随着旅行成本上升，不同商店出售的产品之间的替代性下降，每个商店对附近的消费者的垄断能力加强， 当旅行成本为零时，不同商店的产品之间具有完全的替代性，则为伯川德均衡结果。

四、公共地的悲剧生物学家和生态学家哈丁（Garrett Harden）在《科学》（1968年，第162卷）发表《公地的悲剧》。

考虑一块对所有的人都开放的牧场，在着的制度下，可以预期，每一个放牧的人都会在公地上放牧尽可能多的牲口。

增加一头牲口既有正效用，也有负效用。

正效用是牲口的销售收入，增加一头为+1负效用使每增加一头带来的过度放牧的损失，每一个放牧着承担-1/n放牧者合理的决策是增加牲口，直至马瘦毛长，公地毁灭。

四、公共地的悲剧资源没有排他性产权：草地放牧、公海捕鱼、小煤窑的过度开发；另一类是人们向其中排放废物的公地。

草地放牧：n个农民，每个拥有羊的数量为g i，G=Σg i，v(G)代表每只羊的价值，与草地上放牧的总数G相关，饲养量增加到一定程度，随着数量继续增加，羊的价值会下降，即v’(G)<0农民的利润函数πi=g i v(Σg j)-g i c最优化的一阶条件：∂πi/∂g i=v(G)+g i v’(G)-c=0增加一只羊有正效应（羊的价值）、负效应（新增羊使之前所有羊的价值下降）个人边际成本小于社会边际成本，个人最优决定的饲养总量大于社会最优决定的饲养总量“斗鸡博弈”的扩展夫妻间吵架警察与游行队伍公共产品的供给（两富户修路）第四节混合战略纳什均衡混合战略（mixed strategies）定义：σ*=(σ1*,…,σn *)=(σi *,σ-i *)是一纳什混合战略均衡，当且仅当对所有参与人而言，σi *是σ-i *的最适反应，u i (σi *,σ-i *)≥u i (σI ’,σ-i *)，对所有σi ’∈Σi 成立)。

持混合战略的前提是在均衡时两种战略的报酬会相等，是预期支付最大化的推导结果。

掷硬币的分析给定参与人1（q,1-q），参与人2的支付是：q+(-1)(1-q)（正面）=(-1)q+(1-q)（反面）; 给定参与人2（p,1-p），参与人1的支付为：p(-1)+(1-p)（正面）=p+(-1)(1-p)（反面）； 求得（1/2，1/2）是纳什混合战略均衡如果两种战略报酬不相等，那么就变为纯战略（pure strategies）了。

混合战略均衡的博弈原则两博弈方不能让对方知道或猜到自己的选择，因而必须在决策时利用随机性；两博弈方选择每种策略的概率一定要恰好使对方无机可乘，即让对方无法通过针对性地倾向某一策略而在博弈中占上风。

例：在掷硬币的博弈中，参与人1选正面、反面的概率q,1-q，一定要使参与人2选正面的和反面的期望得益相等。

单纯战略与混合战略的定义G={N,S,U}是一个战略式有限博弈，参与人i 的战略空间S中的任一元素s i 称为i的一个单纯战略（pure strategy）；定义在S i 上的一个概率分布函数p i (s i )代表了一个混合战略（mixed strategy）——这个战略的内容是：参与人i以概率p i (s i j )选择单纯战略s i j ，而Σp i (s i j )=1。

单纯战略是混合战略的特例，因为任一单纯战略s i 都可以理解为i以概率1选择s i ，以0概率选取其他所有单纯战略。

引入混合战略，参与人的目标需要修改为“最大化自己的期望支付”Selton：小偷和守卫的博弈一小偷欲偷窃有一守卫看守的仓库，如果小偷偷窃时守卫在睡觉，则小偷就能得手，偷得价值为V的赃物；如果小偷偷窃时守卫没有睡觉，则小偷就会被抓住。

设小偷被抓后要坐牢，负效用为-P，守卫睡觉而未遭偷窃有S的正效用，因睡觉被窃要被解雇，其负效用为-D。

而如果小偷不偷，则他既无得也无失，守卫不睡意味着出一份力挣一分钱，他也没有得失。

（守卫睡的概率）齐威王田忌赛马古代齐威王与大将田忌赛马，田忌的谋士孙膑运用计谋帮助田忌以弱胜强。

比赛规则：田忌与齐威王各出三匹马，一对一比赛三场，每一场的输方要赔1000斤铜给赢方。

双方的马按实力都可以分为上、中、下，但齐威王的上、中、下均优于田忌的上、中、下。

实际上，田忌的上马、中马要优于齐威王的中马、下马。

比赛结果：田忌连输三场；后孙膑建议，以上对中、以中对下、以下对上，结果以2：1赢得比赛。

齐威王田忌赛马前述为单方面运用策略的故事，如果齐威王预料到田忌的做法，必然会改变各匹马出场的次序。

本博弈中博弈双方的利益是完全对立的，是严格竞争的零和博弈，不会有纯策略纳什均衡，必然是一个混合策略均衡。

假设齐威王采取六种战略的概率分别为p a,p b,p c,p d,p e,p f（加总为1）,则田忌采取六种战略的期望得益相等，则得出齐威王与田忌均以1/6的相同概率随机选择各自的六个纯策略，构成本博弈唯一的混合策略纳什均衡。

齐威王田忌赛马在上述混合策略下，齐威王的期望得益为1/6（3+1+1+1+1-1）=1；田忌的期望得益为1/6（1-3-1-1-1-1）=-1，即多次进行这样的赛马，齐威王平均每次能赢田忌1000斤铜，这是因为齐威王三匹马的总体实力略胜田忌三匹马总体实力的缘故混合策略反应函数将博弈方的策略空间扩展到包括混合策略，将纳什均衡扩展到包括混合策略纳什均衡以后，求纳什均衡反应函数的分析方法也可以扩展到求混合策略纳什均衡。

反应函数即一博弈方对另一博弈方每种可能的决策内容的最佳反映决策构成的函数。

在纯策略的范畴内，反应函数是各博弈方选择的纯策略对其他博弈方纯策略的反应。

在混合策略的范畴内，博弈方的决策内容为选择概率分布，反应函数就是一方对另一方的概率分布的反应。