一次函数课题学习——选择方案

《课题学习选择方案》教学设计
内蒙古呼和浩特市第三十五中学郭峻嵘
、内容和内容解析
1．内容
用函数思想解决方案选择问题—选择哪种上网收费方式省钱？
2．内容解析
本课是在学习了函数概念、一次函数有关知识后，通过学生熟悉的宽带上网收费方式的选择，
让学生经历体会费用随时间的变化关系是一次函数的关系，确定实际数据整理成函数的模
型，即建立了数学模型，从而利用函数图像求数学模型的解，还可以比较几个一次函数的变
化率来解决方案选择问题，实现利用数学知识解决实际问题的方法．本课是明确给出多种
方案，要求选择使问题解决最优的一种．
综上所述，本节课教学的重点是：应用一次函数模型解决方案选择问题．
二、目标和目标解析
1．目标
（1）会用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想；
（2）能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法；
（3）能进行解决问题过程的反思，总结解决问题的方法．
2．目标解析
目标（1）要求能根据问题情景建立一次函数模型，并可以比较几个一次函数的变化率，应
用一次函数的性质和图像解决问题，从而感受到函数模型的应用价值．
目标（2）要求能从不同的角度感知问题中的数量关系，对实际问题中的数量关系既可以用
函数的图像表示，也可以用方程和不等式表示，构建不同的模型，用不同的方法解决问题．目标（3）要求在解决问题中，能适时调整思路，解决问题后，能对解决问题步骤、程序和
方法进行总结提炼．
三、教学问题诊断分析
八年级学生已经学会了用方程和不等式来解决生活中的简单的实际问题，但是用综合应用能
力有待加强。

特别是由于本节内容具有较强的实际背景，分析实际背景中所包含的变量及其
对应关系较复杂，分析起来显的理不清头绪，易迷失解决问题的方向，时间一长就不愿意去
尝试了．在这方面要给他们创造机会，降低问题的坡度，使他们不难成功，体验成功的乐趣，激发学习兴趣．本课内容是学生熟悉的宽带上网收费方式的选择，如何选择，用什么方法
选择很重要，特别是如何从数学的角度去分析．
本课教学的难点是：分析实际问题背景中所包含的变量和对应关系建立函数模型，解决实际问题，从而使选择方案优化．
四、教学过程
1．创设情境，提出问题
做一件事情，有时有不同的实施方案，比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划，是
非常必要的。

应用数学的知识和方法对各种方案进行比较分析，可以帮助我们清楚地认识各
种方案，作出合理的选择。

问题：你能说说生活中需要选择方案的例子吗？
师生活动：学生各抒已见，引出如何选择上网收费方式的问题
设计意图：通过这一环节，让学生体会到选择方案问题在生活中普遍存在，对各种方案运用数学方法作出分析，理性选择最佳方案是必要的，具有现实意义。

2．实例分析，规划思路
在选择方案时，怎样从数学角度进行分析，这就涉及变量的问题，常会用到函数．请看下面问题：
例 1 某医药公司要把药品运往外地，现有两种运输方式可供选择，方式一：使用快递公
司的邮车运输，装卸收费400元，另外每千米再加收4元；方式二：使用铁路运输公司的火车运输，装卸收费820元，另外每千米再加收2元。

（1）请分别写出邮车、火车运输的总费用y1（元），y2（元）与运输路程x（千米）之间的函数关系式；
（2）你认为选用哪种运输方式较好？为什么？
问题1：“选择哪种运输方式”的依据是什么？
师生活动：学生讨论得出需要知道两种运输方式的费用分别是多少，费用最少的就是最佳方案．
设计意图：让学生明确问题的目标．
问题2：两种运输费用的大小关系是否确定？
学生活动：不确定，分三种关系。

设计意图：让学生明确问题的目标．
解：（1）邮车运输y1=4x+400
火车运输y2=2x+820
（2）当y1=y2时，即4x+400=2x+820, 解得x=210，
所以当运输路程等于210千米时，y1=y2，两种运输方式一样
当y1<y2时，即4x+400<2x+820, 解得x<210,
所以当运输路程小于210千米时，y1<y2，选择邮车运输较好；
当y1>y2时，即4x+400>2x+820, 解得x>210,
所以当运输路程大于210千米时，y1>y2，选择火车运输较好。

例2：怎样选取上网收费方式？下表给出A、B、C三种上宽带网的收费方式收费方式月使用费/元包时上网时间/h 超时费/（元．min）
A 30 25 0．05
B 50 50 0．05
C 120 不限时
选取哪种方式能节省上网费？
问题1：“选择哪种方式上网”的依据是什么？
师生活动：学生讨论得出需要知道三种方式的上网费分别是多少，费用最少的就是最佳方案．设计意图：让学生明确问题的目标．
问题2：哪种方式上网费是会变化的？哪种不变？
师生活动：学生讨论得出方式A、B会变化；方式C不变．
追问1：方式C上网费是多少钱？
追问2：方式A、B中，上网费由哪些部分组成的？
师生活动：老师引导学生分析得出：
（1）当上网时间不超过规定时间时，上网费用=月使用费；
（2）当上网时间超过规定时间时，上网费用=月使用费+超时费．
追问4：影响方式A、B上网费用的因素是什么？
师生活动：学生独立思考得出上网时间是影响上网费用的因素．
问题3：你能用适当的方法表示出方式A的上网费用吗？
师生活动：学生小组讨论得出结论．
方式A：当上网时间不超过25h时，上网费＝30元；
当上网时间超过25h时，上网费＝30+超时费
即上网费＝30+0．05×60×（上网时间－25）
追问1：设上网时间为t h，上网费用为y元，你能用数学关系式表达y与t的关系吗？
师生活动：老师引导，注意时间单位统一，得出结论：当0≤t≤25时，y＝30；
当t＞25时，y＝30+0．05×60（t－25）即y＝3t－45
故
问题4：类比方式A，你能用数学关系式表示出方式B中上网费用y与上网时间t的关系吗？师生活动：学生思考后，小组讨论，得出结论，老师适时引导评价．
设计意图：让学生从粗到细的感知问题的整体结构和数量关系，感知上网费用随上网时间的
变化而变化，并把这两个变量作为研究对象，教师引导学生最终把问题转化为一次函数问题．3．建立模型，解决问题
问题4：你能把上面的问题描述为函数问题吗？
师生活动：学生讨论后建立函数模型，把实际问题转化为函数问题．
设上网时间为t h，方式A上网费用为元，方式B上网费用为元，方式C上网费用为
元，则；；，比较、、的大小．
设计意图：让学生在感知问题、分析问题基础上建立一次函数模型，把实际问题转化为一次函数的问题．
追问1：用什么方法比较函数、、的大小呢？
师生活动：学生独立思考．有的学生会提出用不等式或方程考虑当t满足什么条件时，＞，＝，＜，分组讨论后，学生会发现由于、是分段函数，用不等式比
较麻烦，此时教师引导学生借助函数图象来分析问题．
由函数图象可知：
（1）当时，函数、的图像有一个交点，求出此
交点的横坐标，即＝时，3t-45=50，解方程，得；
（2）当时，函数的图像在函数图像的下方，
即＜时，方式A比方式B省钱；
（3）当时，函数的图像在函数图像的上方，即＞，方式B比方式A省
钱；
（4）当时，函数、的图像有一个交点，求出此交点的横坐标，即＝时，3t-100＝120，解方程，得t＝；
（5）当t＞时，函数的图像在函数图像的上方，即＞，方式C比方式B
省钱．
设计意图：上述分段函数问题，需要在画出函数图象观察函数图象的基础上对上网时间进行
分段讨论，让学生感受函数图象与方程、不等式数形结合的方法．
问题5：上述比较函数值大小结果的实际意义是什么？
师生活动：教师引导学生解释上述结果的实际意义．
当上网时间不超过31小时40分钟时，选择方式A最省钱；
当上网时间为31小时40分钟至73小时20分钟时，选择方案B最省钱；
当上网时间超过73小时20分钟时，选择方案C最省钱．
设计意图：让学生解释函数模型中解的实际意义，从而解决实际问题．
4．小结
用一次函数解决实际问题的基本思路：
（1）明确问题的目标；
（2）发现问题中数量之间的关系；
（3）找出问题中变量之间的函数关系；
（4）函数问题的解的实际意义．
设计意图：提高学生反思过程的针对性，展示函数的应用价值，突出建立数学模型的思想方
法和实际意义．
五、目标检测设计
如图，、分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y元（费用＝灯的售价+电费）与使用时间（小时）的函数图象，若两种灯的使用寿命都为2000小时，照明效果一样．
（1）根据图象分别求出、的解析式；
（2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？
（3）某用户计划照明2500小时，现在购买了一个白炽灯和一个节能灯，请你为该用户设计一个最省钱的用灯方法．
设计意图：评价学生利用一次函数模型解决方案选择问题的水平．。