一元一次方程和解二元一次方程组的解法汇总
一元一次方程与二元一次方程组
6．(2013 年浙江绍兴)我国古代数学名著《孙子算经》中有 这样一题，今有鸡兔同笼，上有 35 头，下有 94 足，问鸡兔各 几何？此题的答案是：鸡有 23 只，兔有 12 只．现在小敏将此 题改编为：今有鸡兔同笼，上有 33 头，下有 88 足，问鸡兔各 几何？则此时的答案是：鸡有__2_2___只，兔有__1_1___只．
问 A、B 两种树苗每株分别是多少元？
解：设 A 种树苗每株 x 元，B 中树苗每株 y 元，
由题意，得
x－y＝2， x＋2y＝20，
解得
x＝8， y＝6.
答：A 种树苗每株 8 元，B 种树苗每株 6 元．
4．二元一次方程(组)． (1)二元一次方程：含有__两__个__未知数，并且未知数的项的 次数都是___1___的整式方程． (2)二元一次方程组：含有两个未知数的两个_一__次___方程所 组成的一组方程． (3)二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的 _公__共__解___．
考点2 解一元一次方程和二元一次方程组 1．解一元一次方程的步骤． (1)_去__分__母___；(2)去括号；(3)___移__项____；(4)_合__并__同__类__项___； (5)未知数的系数化为 1. 2．二元一次方程组的解法． 解二元一次方程组的关键是消元，有 __代__入____ 消元法和 __加__减__消元法两种．
一元一次方程与二元一次方程 组
第1讲 方程与方程组
第 1 课时 一元一次方程与二元一次方程组
1．能够根据具体问题中的数量关系列出方程． 2．会解一元一次方程及简单的二元一次方程组． 3．能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
考点1 方程(组)的有关概念 1．等式的基本性质． (1)若a＝b，则a±m＝b±___m___(m为代数式)．(2)m为实数，
一元一次方程及二元一次方程组
2、(09齐齐哈尔)一宾馆有二人间、三人间、四人间三种 客房供游客租住, 某旅行团20人准备同时租用这三种客房 共7间,如果每个房间都住满, 租房方案有 ( C ) A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种 解:设租二人间x间, 租三人间y间, 则四人间客房7-x-y. 依题意得:
x＝2， 已知 是二元一次方程组 y＝1
mx＋ny＝8， 的解，则 2m－n 的算术平方根为( nx－my＝1
C )
A．±2
B. 2
C．2
D．4
类型之三
一元一次方程的解法
0.3x＋0.5 2x－1 例2：[2011·滨州] 依据下列解方程 ＝ 的过 0.2 3 程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号 内填写变形依据．
14、(09达州) 将一种浓度为15℅的溶液30㎏, 配制成浓度不低于20℅的同种溶液, 则至少 10 ㎏. 需要浓度为35℅的该种溶液______ 解：设35%溶液为x则得：
35%x+30×15%=（x+30）×20% 解得x=10kg，故至少需要35%的溶液 10kg．
练习：P15 第8题 P16 第9题
列方程解应用题：
1.审题 2.设元
3.列方程
4.解方程
5.检验
6.答
一元一次方程应用题的类型：
1.数字问题(包括日历) 2.体积（面积）变化 3.打折销售问题
4.行程问题
5.工程问题
6.储蓄问题
7.和、差、倍、分问题
顺水航行速度=静水速度+水流速度 逆水航行速度=静水速度-水流速度
六年级一元一次方程二元一次方程组的解法及应用
学生编号学生姓名授课教师辅导学科六年级数学教材版本上教课题名称一元一次方程、二元一次方程组的应用课时进度总第（）课时授课时间5月26日教学目标1.熟练掌握一元一次不等式和一元一次方程的解法和应用；2.会解二元一次方程组；能够熟练的运用二元一次方程组解决实际问题；3.使学生掌握三元一次方程、三元一次方程组和它的解的含义；重点难点1.二元一次方程组和三元一次方程组的解题技巧；2.根据应用题的题意列出二元一次方程组。
同步教学内容及授课步骤一、一知识梳理1.列二元一次方程组解应用题的步骤①弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如x、y）表示题目中的两个未知数；②找出能够表示应用题全部含意的两个相等关系；③根据两个相等关系列出代数式，从而列出两个方程并组成方程组；④解这个二元一次方程组，求出未知数的值；⑤检查所得结果的正确性及合理性；⑥写出答案．2.设未知数的几种常见方法（1）设直接未知数：即题目里要求的未知量是什么，就把它设做方程里的未知数，并且求几个设几个．（2）设间接未知数：即设的不是所求量．有些应用题，若设直接未知数，则所列的方程比较复杂；若改设间接未知数，则能列出既简单又易解的方程．（3）少设未知数：有些应用题，要求两个或更多个未知数，但根据各未知数之间的关系，只需设一个或少数几个未知数就可以求解．（4）多设未知数：有些应用题，不仅要设直接未知数，而且要增设辅助未知数，但这些辅助未知数本身并不需要求出，它们的作用只是为了帮助列方程，同时为了求出真正的未知数．3.应用题常见的几种类型：（1）行程问题：①基本量之间的关系：路程＝速度×时间②解题时一般应画线段示意图。
（2）工程问题①基本量之间的关系：工作量＝工作效率×工作时间甲、乙合做的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率②解题时，若工作总量是抽象的，通常把它设为单位1。
（3）浓度问题①基本量之间的关系：溶液＝溶质＋溶剂（指体积或质量）溶液的浓度＝溶质溶液×100%②解题时应注意配制前后溶液中的不变量和变化量分别是什么？（4）利润问题：①有关量的关系：利润＝售价－进价利润率＝售价进价进价-×100%利息＝本金×利率×期数1. 已知zy x zy x 26=-=+)0(≠xyz ，则z y x ::= ；2. 解方程组：⎩⎨⎧=++=20233:2:1::z y x z y x3. 解方程组： 435:4:3)(:)(:)(-=-+=+++z y x x z z y y x4. ⎪⎩⎪⎨⎧=++==355:4:3:2:z y x z y y x【拓展题】方程组⎩⎨⎧-=--=+322m y x m y x 的解满足32=+y x ，求m 的值.解法指导 把m 看作已知字母.求出的x 与y 的值是含有m 的式子，再把求出的x 与y 的值代入32=+y x ，得到关于m 的一元一次方程，再求出m 的值；也可以把这三个方程组成三元一次方程组，求出m 的值.【典型例题5】六年级（2）班去春游，全班分成若干个小组进行活动，其中女同学分成2组，第一组人数的2倍比第二组人数多4人；如果从第二组调2人到第一组，那么两个小组的人数相等，求女同学的第一组、第二组人数分别是多少人？解法指导 设第一组的人数是x 人，第二组的人数是y 人.根据“第一组人数的2倍比第二组多4人”列出第一个方程，“第二组调2人到第一组，那么两个小组的人数相等”列出第二个方程.【基础习题限时训练】1. 西部山区某县响应国家“退耕还林”号召，将该县一部分耕地改还为林地。
(word完整版)二元一次方程组解法详解
一、二元一次方程组解法总结1、二元一次方程组解法的基本思想二元一次方程组中有两个未知数,如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程,就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少,逐一简化的思想方法,叫做消元思想。
即二元一次方程组形如：ax=b（a，b为已知数)的方程。
2、代入消元法由方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.3、用代入消元法解二元一次方程组的步骤（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。
(2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3)解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.4、加减消元法两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法,简称加减法.5、加减消元法解二元一次方程组的一般步骤(1）把一个方程或者两个方程的两边乘以适当的数，使方程组的两个方程中一个未知数的系数互为相反数或相等；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值;（4）把求得的未知数的值代入到原方程组中的系数比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值;（5)把求出的未知数的值写成的形式。
6、二元一次方程组解的情况若二元一次方程组（a1,a2，b1，b2，c1，c2均为不等于0的已知数），则（1）当时，这个方程组只有唯一解;（2）当时，这个方程组无解;（3）当时，这个方程组有无穷多个解.二、重难点知识归纳二元一次方程组的解的理解,二元一次方程组的解法,运用有关概念解决相关数学问题．三、典型例题讲解例1、(1）下列方程中是二元一次方程的有( ）①②③④mn＋m=7 ⑤x＋y=6A．1个B．2个C．3个D．4个（2)在方程(k2－4）x2＋(2－k)x＋（k＋1)y＋3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k的值为（）A．2 B．－2 C．±2D．以上都不对分析：一个方程是否是二元一次方程，必须看它是否满足或使它满足三个条件:①含有两个未知数；②未知数项的次数为1；③整式方程．解答：（1）∵方程①③不是整式方程，∴它们不是二元一次方程．∵mn的次数为2，∴方程④不是二元一次方程．∵方程②⑤满足二元一次方程的三个条件,∴方程②⑤是二元一次方程．故此题应选择B．（2)∵方程(k2－4）x2＋(2－k）x＋（k＋1)y＋3k=0是二元一次方程,∴它应满足条件：k2－4=0且2－k≠0且k＋1≠0，解得k=±2且k≠2且k≠－1．∴k=－2．例2、在方程3x－ay=0中,如果是它的一个解,那么a的值为_____．．由于方程的解必使方程左右两边的值相等，所以只需将代入方程中,解关于a的一次方程即可．解答：∵是方程3x－ay=0的一个解,∴3×3－a·2=0，例3、甲、乙两人同时解方程组乙因抄错c，解得求a、b、c 的值．将正确的解代入方程组中可直接求出c的值，但不能求a、b的值．错误解有什么作用呢？方程组的解应满足每一个方程，因此正确解满足ax＋by=2，错误的解同样能满足方程ax＋by=2,那么就可以建立a、b的方程组，于是a、b、c的值均可求出．解答:都是方程①的解．又∵是方程②的解，∴c＋3=－2，∴c=－5．故a、b、c的值分别为例4、解下列方程组.(1）先将①化简为3y=4x＋5，再代入②即可消去y，从而求出x的值。
人教版九年级数学第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理
第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理第5讲一次方程(组)第6讲一元二次方程第7讲分式方程三、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组)知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.2.不等式的基本性质性质1：若a＞b,则a±c>b±c；性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，ac>bc；性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，ac<bc.牢记不等式性质3，注意变号.如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230mmx++>是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a 的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小，小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.。
二元一次方程组的解法(加减消元法)
例题讲解
例3. 3x + 4y=16 (1) 5x－6y=33 (2)
解: (1)*3,得: 9x+12y=48, (3)
(2)*2得:10x-12y=66 (4) (3)+(4),得19x=114
x=6 把x=6代入（1）得：3*6+4y=16
y=-1/2 x=6
所以,原方程组的解是: y=－1/2
运用训练
解方程组 5x+2y=25 3x+4y=15
总结：1，加减消元法的特征是 什么？
2，加减消元法的思路是什么？ 3，会选哲适当的方法解二元一
次方程组？
课后作业：p98，第3题。
再见
祝同学们心情愉快
8.2 二元一次方程组的解法
（加减法）
用代入消元法二元一次方程组 x + y=10 (1) 2x + y=16 (2)
总结：数学思想方法：
代入消元法
二元一次方程组
代 入 消 元
一元一次方程
合作探究
x y 10 (1) 2x y 16 (2) 观察方程组中方程(1)与方程(2)我们 可以发现什么？
合作提示
通过把两个方程相加或相减消去一个未知数 ，从而转化为解一元一次方程。方程组的这 解法叫做加减消元法，简称加减法。
计算下列各式的值：
（1）3X—3X= （2）2y+(-2y)= （3）4Y—4Y= （4）6X+（-6X)=
(5)3X – (-2X)= (6)2Y -（5Y)=
数学思想方法：加减消元法
运用训练Βιβλιοθήκη x+2y=91.已知方程组
两个方程左右两边
x-2y= -1
各类方程组的解法
各类方程组的解法 The pony was revised in January 2021一、一元一次方程步骤：系数化整、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1。
1、系数化整：分子分母带有小数或分数的系数化成整数，方法是分子分母同时乘一个数使得系数变成整数；2、去分母：将包含的分母去掉，方法是等式两边同时乘所有分母的最小公倍数；3、去括号：根据去括号法则将括号去掉；4、移项：过等号要变号，将含未知数的放等号左边，常数放等号右边；5、合并同类项：根据合并同类项法则将同类项合并：6、系数化1：将未知数的系数化成1，方法是等式两边同时除以未知数的系数。
注：不一定严格按照步骤，例如移项的同时可以合并同类项，a(A)=b（a、b是已知数，A是含未知数的一次二项式）型方程可以先将括号前的系数化成1，第5步系数为1时省略1且第6步不需要写。
二、二元一次方程（组）一个二元一次方程有无数个解，它表示平面内一条直线，直线上每个点的坐标都是方程的解。
由两个二元一次方程联立成的二元一次方程组代表空间内两条直线，其公共点坐标就是方程组的解。
当然，若两直线平行则方程组无解，若两直线重合则方程组有无数个解。
当方程组形式复杂时先根据一元一次方程的解法化简成一般形式，然后求解。
1、代入消元法：⑴将任意一个方程变形成“y=带x的式子”或者“x=带y的式子”的形式，代入另一个方程，变成一个一元一次方程；⑵解一元一次方程；⑶将解代入任意一个原方程解出另一个未知数的值，并写出解。
2、加减消元法：⑴方程两边同时乘一个合适的数使得有同一个未知数的系数的绝对值相等（若已有系数的绝对值相等则这一步跳过）；⑵两个方程左右加或减变成一元一次方程（系数相等用减，系数互为相反数用加）；⑶解一元一次方程；⑷将解代入任意一个方程解出另一个未知数的值，并写出解。
3、图像解法：根据图像与方程的关系，在同一个平面直角坐标系中画出两个方程代表的直线，找出公共点的横坐标与纵坐标（不推荐此方法，因为当解为分数时看不出，这只能表示一种关系）。
一元一次方程,二元一次方程组,一元二次方程知识讲解
一元一次方程，二元一次方程组，一元二次方程教学目的1. 回顾已学过的关于方程（组）与方程的解的概念掌握方程的一些特点以及常规考点，特别是一元二次方程和二元一次方程组的解题技巧和容易犯错的地方，巩固关于一元二次方程和二元一次方程组的解的应用的问题解决方法。
重难点1. 二元一次方程组，一元二次方程的应用在做关于应用题的时候要会理清各个量之间的关系，并运用存在的关系建立方程 教学过程一．一次方程与一次方程组1.方程（组）与方程的解的概念（1）方程：含有未知数的等式叫做方程（2）方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
（3）一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式的方程叫做一元一次方程;它的标准形式是ax+b=0(a ≠0)。
（4）二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是一次的整式方程叫做二元一次方程，它的基本形式是ax+by=0(a ≠0, b ≠0)。
（5）二元一次方程组：几个一次方程组成的含有两个未知数的一组方程叫做二元一次方程组。
（6）二元一次方程组的解：方程组里每个方程的公共解叫做二元一次方程组的解2.解方程的依据等式的性质：（1） 等式的两边都加上或者减去同一个整式，得到的结果仍是等式（2） 等式的两边都乘或除以同一个不为零的数或整式，所得结果仍是等式2. 方程或方程组的解法与步骤（1） 解一元一次方程的一般步骤：①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤未知数的系数化为一（2） 解二元一次方程组的基本思路：通过消元使其转化为一元一次方程来解，通常的消元法有代入法和加减法。
3. 列方程（组）解应用题的一般步骤（1） 审题，特别注意关键的字和词的意义，弄清相关数量关系，已知什么，求什么；（2） 设未知数（注意单位的同意）；（3） 根据相灯关系列出方程（组）；（4） 解方程（组），并检验；（5） 写出答案（包括单位名称）。
注意：列方程（组）解应用题的关键是：确定等量关系。
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解一元一次方程与二元一次方程的解法
解一元一次方程练习题
类型一系数化1
① 3x = - 2 ②– 2x = 5 ③– 4 x = - 3 ④ x＝ -
类型二直接移项
（1）8 x＝2 x－7 （2）6＝8＋2 x （3）a－1＝5＋2a; （4）5x＋2＝7x＋8 （5）x＋2＝7x＋8 （6） 3y－2＝y＋1＋6y.
（7）13+8x=8+13x （8） a－1＝5＋2a; （9）2y＋3＝11－6y 类型三去括号
11 x+3=5(2 x－1) 4 x－3(20－ x)=3 3－2(x+1)=2(x－3)
3（x－2）－1＝x－（2 x－1） 2(x－2)－(4x－1)=3(1－x)
类型四分数系数型
x －8=1 x－1－2x＝－1
x－3＝5x＋
1－ x＝x＋
0.3x＋1.2－2x＝1.2－2.7x. 1＋ x＝3－ x
类型五去分母型
2x－13 = x+22 +1
＝
＝－1
类型六列简单的一元一次方程
1、当取何值时：
（1）与＋3的值相等？（2）比的值大1？
（3）若y1＝2 x＋3，y2＝5 x－，且y1＝6y2，那么x的值是多少？
（4）x为何值时，代数式与互为相反数
（5）已知 x＝是方程 5m＋12 x＝＋x 的解，求关于x的方程m x＋2＝ m（1－2 x）的解。
5.当 取何值时, 的值比 的值大4?、
解二元一次方程组
用适当的方法解下列方程 （1）⎩⎨
⎧=--=-7
441156y x y x （2）⎩⎨
⎧-=+-=-5
3412911y x y x
解： 解：
检验： 检验： （3）⎩⎨
⎧=+-=-q
p q p 451332 （4）⎩⎨
⎧=+=-5
24753y x y x
解： 解：
检验： 检验：
（5）⎩⎨
⎧=+=-9
24523n m n m （6）⎩⎨
⎧=+=+a
y x a y x 343525( 其中a 为
常数)
解： 解：
检验： 检验：
（7）⎪⎩⎪⎨⎧=-=+2.03.05.05
23151y x y x （8）⎪⎩⎪⎨⎧=+--=++-57326
231732623y x y x y
x y x
解： 解：
检验： 检验：
（9）⎪⎩⎪⎨
⎧=+-+=-+-0
4235
132
423512y x y x （10）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=
+1
323
2
41y x x y
解： 解：
检验： 检验：
（11）⎪⎩
⎪⎨
⎧=
+=-21
321
32y x y
x （12）⎪⎩⎪⎨
⎧=-=+2
3432
13
32y x y x
解： 解：
检验： 检验：
．
1．关于y x 、的方程3623-=+k y kx ，对于任何k 的值都有相同的解，试求它的解。
2. 已知方程组⎩
⎨⎧=+=+c y ax y x 27
，试确定c a 、的值，使方程组：
（1）有一个解；（2）有无数解；（3）没有解
3．在解方程组16,19
ax by bx ay +=⎧⎨
+=⎩时，小明把方程①抄错了，从而得到错解1,7.
x y =⎧⎨
=⎩，而小亮却
把方程②抄错了，得到错解2,4.
x y =-⎧⎨=⎩，你能求出正确答案吗？原方程组到底是怎样的？。