2002年全国初中数学竞赛历年竞赛试题及参考答案
历届(第1-23届)希望杯数学竞赛初一七年级真题及答案
“希望杯”全国数学竞赛（第1-23届）初一年级/七年级第一/二试题目录1.希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题......................003-0052.希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题......................010-0123.希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。
-0204.希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。
-0265.希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。
-0326.希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。
-0407.希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。
-0508.希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。
-0589.希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。
-06610.希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题..... 0错误!未定义书签。
-07311.希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题..... 0错误!未定义书签。
-080 12希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题..... 0错误!未定义书签。
-08713.希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题..... 0错误!未定义书签。
-09814.希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。
-10515.希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题....... 错误!未定义书签。
-11316.希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。
-12017.希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题....... 错误!未定义书签。
2002年四川省初中数学竞赛
2 x -3 a a322 4 34中 等 数 学2002 年四川省初中数学竞赛一、选择题(满分 36 分 ,每小题 6 分)5. 如果等腰梯形的下底与对角线长都是 10 厘1. 若 x < 1 , 则| ( ) .+ (2 - x ) 2 | 等于 米 ,上底与梯形的高相等 ,则上底的长是( ) 厘米. (A ) 5 2 (B ) 6 2 (C ) 5 (D ) 6(A ) 1 (B ) 3 - 2 x (C ) 2 x - 3 (D ) - 2 2. 如图 1 , 一个长为 10 米的梯子斜靠在墙上 ,梯子6. 关于 x 的两个方程 x 2+ 4 mx + 4 m 2 + 2 m + 3 = 0 , x 2 + (2 m + 1) x + m 2 = 0 中至少有一个方程有实根. 则 m 的取值范围是( ) .的顶端距地面的垂直距离为 8 米. 如果梯子的顶端下滑 1 米 ,那么 ,梯子底端的滑(A ) - 32 (C ) - 1 < m < - 1 4< m < 1 (B ) m ≤- 3 或 m ≥- 1(D ) m ≤- 3 或 m ≥1动距离() . (A) 等于 1 米4 2 2 2二、填空题(满分 54 分 ,每小题 9 分)(B) 大于 1 米 图 11. 如果 y = + + 2 , 则 2 x + y =(C) 小于 1 米(D ) 不能确定.3. 设 a 、b 都是正实数且1 么 ,b 的值为( ) .+ 1 b - 1 = 0. a - b2. 设 a 是一个无理数 ,且 a 、b 满足 ab + a - b = 1. 则 b = .3. 在一长 8 米、宽 6 米的花园中欲挖一面积为 24 米2的矩形水池 ,且使四边所留走道的宽度相同. 则 (A ) 1 + 5 (B ) 1 - 5 (C ) - 1 + 5 (D ) - 1 - 5该矩形水池的周长应是 米.2 2 2 2 4. 如图 2 , D 、E 分别是 △ABC 的 AC 、AB 边上的4. 若 x 1 、x 2 是方程 x 2 + 2 x - k = 0 的两个不等的点 , BD 、CE 相交于点 O . 若 S △OCD = 2 , S△OB E = 3 , 实数根 ,则 x 2 + x 2 - 2 是() . S = 4 ,那么 , S = .12△OBC四边形ADOE(A ) 正数(B ) 零(C ) 负数(D ) 不大于零的数14. 84. 5. 如图 3 , 立方体的每个面上都写着一个自然数 ,并且相对两个面所写二数之和相等. 若 10 的对面于是 ,当 m = 2时 , x 2 + x 2 取得最小值 ,且最小若 A 、C 种同一种植物 ,则 A 、C 有 4 ×1 种栽种法 , B 、D 都有 3 种栽种法 ,共有 4 ×3 ×3 = 36 种栽种方案 ;值为 2 × 3 3 2 24 - 31 2+ 7 = 8. 8 9若 A 、C 种不同的植物 ,则有 4 ×3 种种法 , B 、D 都有 2 种栽种法 ,一共有 4 ×3 ×2 ×2 = 48 种栽种法.三、15. (1) 可买 5 打或 4 打加 9 本 ,前者需付款 3100 ×5 = 15100 (元) ,后者只需付款 3100 ×4 + 013 ×9 = 14170 (元) . 故该班集体去买时 ,最少需付 14170 元.(2) 227 = 12 ×18 + 11 , 可买 19 打或 18 打加 11 本 ,前者需付款 2170 ×19 = 51130 ( 元) , 后者需付款 2170 ×18 + 013 ×11 = 51190 ( 元) , 比前者还要多付 0160 元. 故该年级集体去买 ,最少需付 51130 元.17. 1连结 BD 即可证明.(2) 大小关系是 ( AC + BC ) 2≥AB 2 + 4 CD 2 .如图 11 ,作 EB ⊥AB , EB = 2 CD . 应用 ( 1) 的结论 , 易证. 18. 设原来篮子 A 中有弹珠 x 个 ,则篮子 B 中有弹图 11 16. 由题意知方程有实根 ,Δ ≥0.有 - 24 m + 16 ≥0 , 则 m ≤2.又由根与系数关系 ,得 珠(25 - x ) 个. 又记原来 A 中弹珠号码数的平均数为 a , B 中弹珠号码数的平均数为 b . 则由题意得ax + (25 - x ) b = 1 + 2 + + 25 = 325 ,ax - 15 - a = 1 , 2 23 27 x - 1 4 x 1 + x 2 = 2 4- m+ 8 . b (25 - x ) + 15 12 3 3 2 26 - x - b = 4 .∵m ≤3 , ∴4 - m ≥4 - 3> 0. 从而 ,x = 9.( x - 1) 2 3 - 2 x 那2≥3 -m 4 3 - 2 .4 3即原来篮子 A 中有9 个弹珠.(江苏省海门中学汤文卿提供)由题设有 10 + a = 12 + b = 15 + c . 故 c = 2. 于是 a = 7 , b = 5. 6. 11< m ≤18. 图 2 图 3写的是质数 a ,12 的对面写的是质数 b ,15 的对面写的是质数 c ,则 a 2 + b 2 + c 2 - ab - ac - bc = .6. △ABC 的一边长为 5 ,另外两个边长恰是方程 2 x 2 - 12 x + m = 0 的两个根. 则 m 的取值范围是.三、(20 分) 某公司生产电脑 ,1997 年平均每台生产成本为 5 000 元 ,并以纯利润20 %标定出厂价. 1998 年开始 ,公司加强管理和技术改造 ,从而生产成本逐 年降低 ,2001 年每台电脑出厂价仅是 1997 年出厂价的80 % ,但公司却得到50 %的纯利润. 求以 1997 年生产成本为基数 ,1997 年至 2001 年生产成本平均每年降低的百分数(精确到 0101) . (计算时 : 2 = 11414 , 3 = 11732 , 5 = 21236. ) 2 三、1997 年出厂价为 5 000 (1 + 20 %) = 6 000 (元) . 设 2001 年每台电脑生产成本为 x 元. 则 x (1 + 50 %) = 6 000 ×80 %. 解得 x = 3 200 (元) . 又设每年生产成本降低 y . 则 (1 - y ) 4 ×5 000 = 3 200. 解得 y = 1 - ≈1 - ≈11 %.5 21236 答 :略. 四、如图 6 ,连结 OA 、OB 、 OC ,则 PA = PD ·PO= PB ·PC .于是 , B 、C 、O 、D 四点共圆. 有2 2 22∑则 ① ∴ ②BDCD即 = +2002 年第 4 期 35四、(20 分) 如图 4 , P 是 ⊙O 外一点 , PA 与 ⊙O 切于 A , PBC 是 ⊙O 的割线 , AD ⊥ PO 于 D . 求证 :P B ∶BD = PC ∶CD .五、( 20 分) 将最小的 31 个自然数分成 A 、B 两组 , 10 在 A 组中. 如果把 10 从 A 组移到 B 组中 , 则 A 组中各数 图 4的算术平均数增加 1, B 组中各数的算术平均数也增加 1. 问 A 组中原有多少个数 ?△PCD ∽ △POB .PC = PO = PO. 图 6CD OB OC又 ∵△POC ∽ △PBD , PO = PB .OC BD 由式 ①、②,有 PB =PC.五、设 A 组中有 k + 1 个数 x 0 , x 1 ,, x k ,其中 x 0 = 10. B 组中有 30 - k 个数 x k + 1 , x k + 2 ,, x 30 . 依题意有x ++ x10 + x + + x12参 考 答 案1k=k 1k + 1+ 2,一、1. (B ) 2. (B )10 + x k + 1 + + x 30 = x k + 1 + + x 30 + 1 .3. (C ) .由题设可得a +b = 1 ,ab a - b31 - k x 1 + + x k 10 1k ( k + 1) k + 1 230 - k 2 , 即 a 2 - b 2 = ab . 有 a - b= 1.x k + 1 + + x 30 = 10 - 1 .bab- 1 + 5(30 - k ) (31 - k ) 31 - k 2k 2 + 21 k解得 a=2(负值舍去) . 于是 , x 1 ++ x k =2,①4. (A )5. (D )6. (B )二 、1. 5 2. - 1 3. 204. 39. 5x k + 1 ++ x 30 =30但 x i = 486 , i = 1- 330 + 41 k - k 22.②如 图 5 , 设 S △AOD = x ,S △AOE = y . 则有因而由式 ①, ②得 - 330 + 62 k = 2 ×486 = 972.则 k = 21.x = 2 , y = 3 .故 A 组中原有 22 个数.3 + y5. 19.4 2 + x 4 图 5(四川大学数学学院 唐贤江 提供)k。
2002年全国初中数学竞赛试卷参考答案与试题解析
2002年全国初中数学竞赛试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1．（5分）设a＜b＜0，a2+b2=4ab，则的值为（）A．B．C．2D．3解答：解：∵a2+b2=4ab，∴a2+b2+2ab=（a+b）2=6ab①∴a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2=2ab②，得=∵a＜b＜0，∴ab＞0，a+b＜0，a﹣b＜0，∴==3，∴=．故选A．2．（5分）已知a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006，则多项式a+b+c﹣ab﹣bc﹣ac的值为（）解答：解：由题意可知a﹣b=﹣1，b﹣c=﹣1，a﹣c=﹣2，所求式=（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），=[（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）]，=[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，=[（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]，=3．故选D．3．（5分）如图，点E，F分别是矩形ABCD的边AB，BC的中点，连AF，CE，设AF，CE交于点G，则等于（）．B．C．D．∵E、F分别为AB、CB的中点，∴EF为△ABC的中位线，即EF=AC，EF∥AC，∴BN=MN=BM，△EFG∽△CAG，∴QG：PG=1：2，又PQ=MN，∴PG=PQ=MN=MB，又△AGC与△ABC都为AC为底边，∴S△AGC：S△ABC=1：3，则S四边形AGCD=S△AGC+S△ACD=（+）S矩形ABCD△=S矩形ABCD．故选D．4．（5分）设a、b、c为实数，，则x、y、z 中，至少有一个值（）5．（5分）设关于x的方程ax+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a 的取值范围是（）．B．C．D．解答：解：∵方程有两个不相等的实数根，则△＞0，∴（a+2）2﹣4a×9a=﹣35a2+4a+4＞0，解得﹣＜a＜，∵x1+x2=﹣，x1x2=9，又∵x1＜1＜x2，∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，即9++1＜0，解得＜a＜0，最后a的取值范围为：＜a＜0．故选D．6．（5分）A1A2A3…A9是一个正九边形，A1A2=a，A1A3=b，则A1A5等于（）．B．C．D解答：解：如图所示正九边形的内角为140°．在A1A5连接线上取一点P．使A1P=a．连接A1A3，∵△A2A1A3是等腰三角形，而∠A1A2A3=140°．∴∠A2A1A3=20°．连接A3A5，△A1A3A5也是等腰三角形．而∠A1A3A5=140°﹣20°﹣20°=100°．连接A2P，∴∠A3A1A5=40°．∴∠A2A1A5=60°，可知△A1A2P是正三角形．∴∠A1PA2=60°．△A2A3P是等腰三角形．而∠A3A2P=140°﹣60°=80°，∴∠A2A3P=∠A2PA3=50°，∠A5A3P=140°﹣50°﹣20°=70°，∠A5PA3=180°﹣60°﹣50°=70°，∴△A3A5P是等腰三角形，而A5P=A3A5=A1A3=b，∴A1A5=A1P+PA5=a+b．故选D．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）2228．（5分）已知a、b为抛物线y=（x﹣c）（x﹣c﹣d）﹣2与x轴交点的横坐标，a＜b，则|a﹣c|+|c﹣b|的值为b﹣a ．解答：解：当x=c时，y=﹣2＜0，由图可知，a＜c＜b，则|a﹣c|+|c﹣b|=c﹣a+b﹣c=b﹣a．故答案为b﹣a．分）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，点P是△ABC内的一点，使得∠APB=∠BPC=∠CPA，且PA=8，PC=6，则PB= 4．解答：解：由题意∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，设∠PBC=α，∠ABC=60°则∠ABP=60°﹣α，∴∠BAP=∠PBC=α，∴△ABP∽△BCP，∴，BP2=AP•PC，∴．故答案是：4．10．（5分）如图，大圆O的直径AB=acm，分别以OA、OB为直径作⊙O1、⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4，这些圆互相内切或外切，则四边形O1O2O3O4的面积为a2cm2．解答：解：由题意知：O1O4=O4O2=O2O3=O3O1，∴四边形O1O3O2O4是菱形，∴O1O2⊥O3O4，∵大圆O的直径AB=acm，∴O1O2=，设小圆半径为x，则在Rt△O1OO3中，（a）2+（a﹣x）2=（a+x）2，解得：x=a，∴菱形的面积=2S O1O2O3=×a×（a﹣a）]=a2．故答案为：a2．解答：根据题意得：（1），解方程得：n=﹣2，故答案为4个．12．（5分）某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，降价幅度不得超过d%，若用p 表示d，则d= ．解答：解：设成本价是1，则（1+p%）（1﹣d%）=1．1﹣d%=，d%=1﹣d%=，∴d=．三、解答题（共3小题，满分60分）13．（20分）某项工程，如果由甲、乙两队承包，2天完成，需180000元；由乙、丙两队承包，3天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，2天完成，需付160000元．现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？解答：解：设甲、乙、丙单独承包各需x、y、z天完成．则，解得再设甲、乙、丙单独工作一天，各需付u、v、w元，则，解得于是，由甲队单独承包，费用是45500×4=182000（元）．由乙队单独承包，费用是29500×6=177000（元）．14．（20分）如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB=CD=EF，且对角线AD、BE、CF相交于一点Q，设AD与CF 的交点为P．求证：（1）；（2）．解答：证明：（1）连AE，∵AB=CD=EF，∴弧AB=弧CD=弧EF，∴∠AEB=∠CED，∴∠QED=∠BEC+∠CED=∠BEC+∠AEB=∠AEC，又∵∠QDE=∠ACE，∴△QDE∽△ACE，∴=；（2）∵弧CD=弧EF，∴DE∥CF，∴=，∠CQD=∠QDE，∵∠QED对BD弧，∠ADC对AC弧，而DC弧=AB弧，∴∠QED=∠ADC，∴△QDC∽△DEQ，∴=，即QC=，∴==，由（1）的结论=得，===．15．（20分）如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax+bx+c的值都是平方数（即整数的平方），证明：（1）2a，2b，c都是整数；（2）a，b，c都是整数，并且c是平方数；（3）反过来，如（2）成立，是否对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数？。
2002年全国初中数学联合竞赛
2002年全国初中数学联合竞赛
佚名
【期刊名称】《《中等数学》》
【年(卷),期】2002(000)004
【摘要】说明 :试卷设有A卷、B卷、C卷三种水平 ,其中A卷较为基础 ,B卷中等 ,C卷稍高 ,供各省市选择 .它们的差异是在第二试的最后两大题的配置上 .第一试一、选择题 (满分 4 2分 ,每小题 7分 )
【总页数】3页(P25-27)
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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2002年全国初中数学竞赛试题参考答案
2002年全国初中数学竞赛试题参考答案
张劲松
【期刊名称】《小学语文》
【年(卷),期】2002(000)021
【摘要】
【总页数】4页(P28-31)
【作者】张劲松
【作者单位】中国教育学会中学数学教学专业委员会秘书处
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
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历年初中数学竞赛真题库含答案
1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35． 答（ ）２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10； （B ）12；（C ） 16； （D ）18．答（ ）３． 方程012=--x x 的解是（A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±． 答（ ）４．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ．答（ ）５． 若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（ ）６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１．答（ ）７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．答（ ）８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21； 答（ ）（C ）c > 2； （D ）c = 2．答（ ）二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ． ２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+ac b 32 ．3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ．４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．第二试x + y ， x － y ， x y ， yx 四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．求证：BF＝AF＋CF三、将正方形ABCD分割为2n个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定.3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是 (A)21S S > (B)21S S =(C)21S S < (D)不确定 答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD ,︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3(C)2:5 (D)3:10答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则x x x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N.1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是(A )Ⅰ,Ⅱ都对 (B )Ⅰ对,Ⅱ错 (C )Ⅰ错,Ⅱ对. (D )Ⅰ,Ⅱ都错.3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论:Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值;Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值.其中正确的是(A )Ⅰ (B )Ⅱ (C )Ⅲ (D )Ⅳ4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++.;;;;52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B )53124x x x x x >>>>;(C )52413x x x x x >>>>; (D )24135x x x x x >>>>.5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A )等于4 (B )小于4 (C )大于5 (D )等于56.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角,则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22- (B)22 (C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n ,p ,那么m :n :p 等于 (A)c b a 1:1:1; (B)c b a :: (C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin .答( )8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+答( )二.填空题1. 当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________. 2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________. 第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不小于0B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4B．等于5C．等于6D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。
2002年第14届“五羊杯”全国初中数学竞赛试题及详解(圣才出品)
2002年第14届“五羊杯”全国初中数学竞赛试题及详解一、选择题（每小题5分，共50分）1．用数字3、4、5、6排列成2个自然数A 、B ，使A B ⨯的积最大，那么A B ⨯=（）。
A．6453⨯B．6435⨯C．5436⨯D．6354⨯【来源】2002年第14届“五羊杯”全国初中数学竞赛初中一年级【答案】D【解析】分别计算A、B、C、D 四个选项中的值：64533392⨯=，64353215⨯=，54363258⨯=，63543402⨯=．显然3402是这四个值中的最大值，由排除法可知3402即为所求。
故正确的答案选D。
2．2002的不大于100的正约数有（）。
A．10个B．9个C．8个D．11个【来源】2002年第14届“五羊杯”全国初中数学竞赛初中一年级【答案】A【解析】将2002分解因数得2002271113=⨯⨯⨯，故它的不大于100的约数是1、2、7、11、13、27⨯、211⨯、213⨯、711⨯、713⨯，共10个。
故正确的答案选A。
3．在1，2，3， ，100中，不能被2整除也不能被5整除的所有整数的乘积的个位数字是（）。
A．7B．1C．3D．9【来源】2002年第14届“五羊杯”全国初中数学竞赛初中一年级【答案】B【解析】分析题意可知，不能被2整除的整数的个位数字为1、3、5、7、9，不能被5整除的整数的个位数字为1、2、3、4、6、7、8、9．因此，既不能被2整除又不能被5整除的整数的个位数字为1、3、7、9．在1，2，3， ，100中满足题意的整数为：1，3，7，9，11，13，17，19 ，91，93，97，99．它们的乘积为13791113171991939799⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 。
又13791113171991939799⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 的个位数字，等于101010379⨯⨯的个位数字，等于1052181⨯的个位数字，等于1。
故正确的答案选B。
4．观察如下分数：197，296，395，494， ，953，962，971．其中是真分数又是既约分数（最简分数）的有（）。
2002年全国初中数学竞赛试题及解析
2002年全国初中数学竞赛试题及解析一、选择题1．设a ＜b ＜0，a 2＋b 2＝4ab ，则ba ba -+的值为【 】 A 、3 B 、6 C 、2 D 、32．已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值为【 】A 、0B 、1C 、2D 、33．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则A B C DA G C D S S 矩形四边形等于【 】 A 、65 B 、54 C 、43 D 、32ABC DEF G4．设a 、b 、c 为实数，x ＝a 2－2b ＋3π，y ＝b 2－2c ＋3π，z ＝c 2－2a ＋3π，则x 、y 、z 中至少有一个值【 】A 、大于0B 、等于0C 、不大于0D 、小于0 5．设关于x 的方程ax 2＋(a ＋2)x ＋9a ＝0，有两个不等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是【 】 A 、72-＜a ＜52 B 、a ＞52 C 、a ＜72- D 、112-＜a ＜06．A 1A 2A 3…A 9是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于【 】 A 、22b a + B 、22b ab a ++ C 、()b a +21D 、a ＋b 二、填空题7．设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝2的两个实数根，则(x 1－2x 2)(x 2－2x 1)的最大值为 。
8．已知a 、b 为抛物线y ＝(x －c)(x －c －d)－2与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，则b c c a -+-的值为 。
9．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝ 。
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2 002年全国初中数学竞赛试题一、选择题1．设a ＜b ＜0，a 2＋b 2＝4ab ，则ba ba -+的值为【 】 A 、3 B 、6 C 、2 D 、32．已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值为【 】A 、0B 、1C 、2D 、33．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则A B C DA G C D S S 矩形四边形等于【 】 A 、65 B 、54 C 、43 D 、32 ABC DEF G4．设a 、b 、c 为实数，x ＝a 2－2b ＋3π，y ＝b 2－2c ＋3π，z ＝c 2－2a ＋3π，则x 、y 、z 中至少有一个值【 】A 、大于0B 、等于0C 、不大于0D 、小于0 5．设关于x 的方程ax 2＋(a ＋2)x ＋9a ＝0，有两个不等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是【 】 A 、72-＜a ＜52 B 、a ＞52 C 、a ＜72- D 、112-＜a ＜06．A 1A 2A 3…A 9是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于【 】 A 、22b a + B 、22b ab a ++ C 、()b a +21D 、a ＋b 二、填空题7．设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝2的两个实数根，则(x 1－2x 2)(x 2－2x 1)的最大值为 。
8．已知a 、b 为抛物线y ＝(x －c)(x －c －d)－2与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，则b c c a -+-的值为 。
9．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝ 。
ABCP10．如图，大圆O 的直径AB ＝acm ，分别以OA 、OB 为直径作⊙O 1、⊙O 2，并在⊙O 与⊙O 1和⊙O 2的空隙间作两个等圆⊙O 3和⊙O 4，这些圆互相内切或外切，则四边形O 1O 2O 3O 4的面积为 cm 2。
A B11．满足(n 2－n －1)n ＋2＝1的整数n 有 个。
12．某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d 可以用p 表示为 。
三、解答题13．某项工程，如果由甲、乙两队承包，522天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，433天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，762天完成，需付160000元。
现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？14．如图，圆内接六边形ABCDEF 满足AB ＝CD ＝EF ，且对角线AD 、BE 、CF 交于一点Q ，设AD 与CE 的交点为P 。
(1)求证：EC AC ED QD =（2）求证：22CEAC PE CP = ABCD EFPQ16．如果对一切x 的整数值，x 的二次三项式ax 2＋bx ＋c 的值都是平方数（即整数的平方）。
证明：（1）2a 、2b 、c 都是整数；（2）a 、b 、c 都是整数，并且c 是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x 的整数值，x 的二次三项式ax 2＋bx ＋c 的值都是平方数？2002年全国初中数学竞赛试题一、 选择题（每小题5分，共30分） 1. 设a ＜b ＜0，a 2＋b 2＝4ab ，则ba ba -+的值为（ ）。
A 、3 B 、6 C 、2 D 、3答案：A.由题意:>0，且2⎪⎭⎫ ⎝⎛-+b a b a == =3。
2.已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值为( )。
A 、0B 、1C 、2D 、3ABC DEF G答案：原式= [(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]= [1+1+4]=3。
3. 如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则A B C DA G C D S S 矩形四边形等于( )。
A 、65B 、54C 、43D 、32答案：设S 矩形ABCD =1。
因为E 、F 是矩形ABCD 中边AB 、BC 的中点，所以S ΔGCF =S ΔGBF ，设为x ；S ΔGAE =S ΔGBE ，设为y 。
则,得2x+2y= .所以S 四边形AGCD = .从而S 四边形AGCD ∶S 矩形ABCD =2∶3. 4.设a 、b 、c 为实数，x ＝a 2－2b ＋3π，y ＝b 2－2c ＋3π，z ＝c 2－2a ＋3π，则x 、y 、z中至少有一个值( )。
A 、大于0B 、等于0C 、不大于0D 、小于0答案：由题意:x+y+z=a 2+b 2+c 2-2a-2b-2c+π=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+π-3>0,所以x 、y 、z 中至少有一 个大于0.5.设关于x 的方程ax 2＋(a ＋2)x ＋9a ＝0，有两个不等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是( )。
A 、72-＜a ＜52 B 、a ＞52 C 、a ＜72- D 、112-＜a ＜0答案：由题知:(x 1-1)(x 2-1)<0, 即x 1x 2-(x 1+x 2)+1<0,代入韦达定理并整理得<0,可知选(A).ABCP6.A 1A 2A 3…A 9是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于( )。
A 、22b a +B 、22b ab a ++C 、()b a +21D 、a ＋b答案：.延长A 1A 2和A 5A 4相交于P,连结A 2A 4.易证:ΔPA 1A 5和ΔPA 2A 4均为正Δ,且PA 2=A 2A 4=A 1A 3=b 。
所以A 1A 5=PA 1=a+b.二、 填空题（每小题5分，共30分） 7.设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝2的两个实数根，则(x 1－2x 2)(x 2－2x 1)的最大值为 。
答案：由Δ=(a-2)2+4>0知a 为一切实数.由韦达定理,得原式=9x 1x 2-2(x 1+x 2)2=-2a 2+9a-18≤- .8.已知a 、b 为抛物线y ＝(x －c)(x －c －d)－2与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，则b c c a -+-的值为 。
答案：由题知:(a-c)(a-c-d)-2=0, (b-c)(b-c-d)-2=0.所以a-c 和b-c 是方程t(t-d)-2=0(即t 2-dt-2=0)的两实根.所以(a-c)(b-c)= -2<0.而a<b,即a-c<b-c.所以a-c<0,b-c>0.所以原式=b-a.9. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝ 。
答案：易证:ΔPAB ∽ΔBCP,所以=,得PB=410. 如图，大圆O 的直径AB ＝acm ，分别以OA 、OB 为直径作⊙O 1、⊙O 2，并在⊙O 与⊙O 1和A⊙O 2的空隙间作两个等圆⊙O 3和⊙O 4，这些圆互相内切或外切，则四边形O 1O 2O 3O 4的面积为 cm 2。
答案：设⊙O 3的半径为x,则O 1O 3= +x ，O 1O= ,O 3O= - x. 所以( +x)2=( )2+（ - x ）2,解得x= ,易得菱形O 1O 3O 2O 4的面积为a 2.11. 满足(n 2－n －1)n ＋2＝1的整数n 有 个。
答案：由题设得n 2-n-1=±1,有5个根:0,1,-1,2.和-212. 某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d 可以用p 表示为 。
答案：设成本为a,则a(1+p%)(1-d%)=a,得d=.三、 解答题（每小题20分，共60分） 13. 某项工程，如果由甲、乙两队承包，522天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，433天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，762天完成，需付160000元。
现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？答案：设单独完成,甲、乙、丙各需a 、b 、c 天.则解得a=4, b=6, c=10（c>7,舍去).又设每天付给甲、乙、丙的费用分别为x 、y 、z(元),则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+160000)(720150000)(315180000)(512x z z y y x解得x=45500, y=29500, 所以甲4天完成的总费用为182000元, 乙6天完成的总费用为177000元, 所以由乙承包.14. 如图，圆内接六边形ABCDEF 满足AB ＝CD ＝EF ，且对角线AD 、BE 、CF 交于一点Q ，设AD 与CE 的交点为P 。
(1)求证：EC AC ED QD =（2）求证：22CE ACPE CP =答案：(1)易证∠3=∠4,所以∠AEC=∠DEQ,而∠ACE=∠2, 所以ΔACE ∽ΔQDE.可得结论成立. (2)分析:易证∠6=∠4,所以FC ∥ED,所以=所以只需证 = ,由(1)有 = 。
所以只需证= ,即QD 2=CQ ×EQ.ABCDEFPQ这只需证ΔCQD∽ΔEQD.而由题设有∠7=∠3+∠5=∠4+∠5,由(1)有∠9=∠EAC,而∠EAC=∠8==∠QCD,所以可证得ΔCQD∽ΔEQD.15.如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数（即整数的平方）。
证明：（1）2a、2b、c都是整数；（2）a、b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x的整数值，x 的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数？答案：(1)由题设知,可分别令x=0、-1、1，得则有c=m2,2a=n2+k2,2b=n2-k2均为整数. (其中m、n、k为整数)(2)假设2b为奇数2t+1(t为整数).取x=4得 16a+4b+m2=h2(h为整数).因 2a为整数,从而16a可被4整除.所以16a+4b=16a+4t+2 除以4余2.所以16a+4b为偶数. ①又因为 16a+4b=(h+m)(h-m).若h、m的奇偶性不同,则16a+4b=(h+m)(h-m)为奇数,这与①矛盾.若h、m的奇偶性相同,则16a+4b=(h+m)(h-m)能被4整除,从而2b为偶数,这与假设矛盾. 所以假设不成立,即2b应为偶数,从而b为整数.所以a=k2+b-c为整数.反之,若a、b、c都是整数,且c是平方数,则对一切x的整数值,x的二次三项式ax2+bx+c的值不一定是平方数.例如:取a=b=x=c=1,则ax2+bx+c=3,不是平方数.。