2005年考研数学一真题及答案

2005年考研数学一真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分。

答案写在题中横线上）(1)曲线y=x22x+1的斜渐近线方程为。

【答案】y=12x−14【解析】a=limx→∞yx=limx→∞x2(2x+1)x=12b=limx→∞(y−ax)=limx→∞(x22x+1−12x)=limx→∞−x2(2x+1)=−14所以斜渐近线方程为y=12x−14。

综上所述，本题正确答案是y=12x−14。

【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(2)微分方程xy′+2y=xlnx满足y(1)=−19的解为。

【答案】y=13xlnx−19x【解析】原方程等价于y′+2yx=lnx 所以通解为y=e−∫2x dx[∫lnx∙e∫2x dx dx+C]=1x2∙[∫x2lnx+C]=13xlnx−19x+C1x2将y(1)=−19代入可得C=0综上所述，本题正确答案是y =13xlnx −19x 。

【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程 (3)设函数u (x,y,z )=1+x 26+y 212+z 218,单位向量n =√3{1,1,1}，则ðu ðn |(1,2,3)= 。

【答案】√33。

【解析】 因为 ðu ðx=x 3,ðu ðy =y 6,ðu ðz =z9所以ðuðn |(1,2,3)=13∙√3+13∙√3+13∙√3=√33综上所述，本题正确答案是√33。

【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度 (4)设Ω是由锥面z =√x 2+y 2与半球面z =√R 2−x 2−y 2围成的空间区域，Σ是Ω的整个边界的外侧，则∬xdydz +ydzdx +Σzdxdy = 。

【答案】2π(1−√22)R 3。

【解析】∬xdydz +ydzdx +zdxdy = Σ∭3dxdydz Ω=3∫ρ2dρ∫sinφdφπ40R 0∫dθ=2π2π(1−√22)R 3综上所述，本题正确答案是2π(1−√22)R 3。

【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算(5)设α1,α2,α3均为三维列向量，记矩阵A =(α1,α2,α3),B=(α1+α2+α3,α1+2α2+4α3,α1+3α2+9α3)如果|A|=1，那么|B|= 。

【答案】2。

【解析】【方法一】|B|=|α1+α2+α3,α1+2α2+4α3,α1+3α2+9α3| =|α1+α2+α3,α2+3α3,α2+5α3|=|α1+α2+α3,α2+3α3,2α3|=2|α1+α2+α3,α2+3α3,α3|=2|α1+α2+α3,α2,α3|=2|α1,α2,α3|=2|A|=2【方法二】由于B=(α1,α2,α3)[111123149]= A[111123149]两列取行列式，并用行列式乘法公式，所以|B|=|A||111123149|=2|A|=2综上所述，本题正确答案是2。

【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质，行列式按行(列)展开定理(6)从数1,2,3,4中任取一个数，记为X，再从1,2,⋯,X中任一个数，记为Y,则P{Y=2}= 。

【答案】1348。

【解析】【方法一】先求出(X,Y)的概率分布，因为X 是等可能的取1,2,3,4，故(X,Y)关于X 的边缘分布必有P {X =i }=14,i =1,2,3,4,而Y 只从1,2,⋯,X中抽取，又是等可能抽取1,2,⋯,X 的概率为14X所以P {X =i,Y =j }={0,j >i 1,j ≤i 即：所以P {Y =2}=18+112+116=1348【方法二】P {Y =2}=∑P {X =i }P {Y =2|X =i }4i=1 =∑14P {Y =2|X =i }4i=1=14×(0+12+13+14)=1348综上所述，本题正确答案是1348。

【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

） (7)设函数f (x )=lim n→∞√1+|x|3n n,则f(x)y xy=−x31y=x3(A)处处可导(B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点(D)恰有三个不可导点【答案】C。

【解析】由limn→∞√a1n+a2n+⋯+a m nn={a i}1≤i≤mmax(ai>0)知f(x)=limn→∞√1+|x|3nn=ma x{1,|x|3}={1,|x|≤1 |x|3,|x|>1由y=f(x)的表达式和其图像可知f(x)在x=±1处不可导，在其余点均可导。

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，"M⇔N"表示M的充分必要条件是N，则必有(A)F(x)是偶函数⇔ f(x)是奇函数(B)F(x)是奇函数⇔ f(x)是偶函数(C)F(x)是周期函数⇔ f(x)是周期函数(D)F(x)是单调函数⇔ f(x)是单调函数【答案】A 。

【解析】 【方法一】若F(x)是偶函数，由导函数的一个基本结论“可导的偶函数其导函数为奇函数”，反之，若f(x)为奇函数，则∫f(t)dt x0为偶函数，f(x)的任意一个原函数可表示为F (x )=∫f(t)dt x0+C 则F (x )是偶函数，故应选A 。

【方法二】排除法：取f (x )=cosx +1,F (x )=sinx +x +1，显然f (x )连续，F ′(x )=f(x),且f(x)是偶函数，周期函数。

但F (x )不是奇函数(F(0)≠0),也不是周期函数，排除B 和C 选项。

若取f (x )=x,F (x )=12x 2,排除D ，故应选A 。

综上所述，本题正确答案是A 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—原函数和不定积分的概念，积分上限的函数及其导数(9)设函数u (x,y )=φ(x,y )+φ(x −y )+∫ψ(t)dt x+yx−y,其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有 (A)ð2u ðx 2=−ð2u ðy 2(B)ð2u ðx 2=ð2u ðy 2(C)ð2u ðxðy=ð2u ðy 2(D)ð2u ðxðy=ð2u ðx 2【答案】B 。

【解析】ðuðx=φ′(x+y)+φ′(x−y)+ψ(x+y)−ψ(x−y),ðuðy=φ′(x+y)−φ′(x−y)+ψ(x+y)+ψ(x−y)ð2uðx2=φ′′(x+y)+φ′′(x−y)+ψ′(x+y)−ψ′(x−y) ð2uðxðy=φ′′(x+y)−φ′′(x−y)+ψ′(x+y)+ψ′(x−y) ð2uðy2=φ′′(x+y)+φ′′(x−y)+ψ′(x+y)−ψ′(x−y)可见有ð2uðx2=ð2uðy2综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—多元函数微积分学—多元函数的偏导数和全微分(10)设有三元方程xy−zlny+e zx=1,根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y)(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y)(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y)(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z)【答案】D。

【解析】F(x,y,z)=xy−zlny+e zx−1则F′x=y+e zx z ,F′y=x−zy,F′z=−lny+e zx x 且F′x(0,1,1)=2,F′y(0,1,1)=−1,F′z(0,1,1)=0由此可确定的隐函数为x=x(y,z)和y=y(x,z)综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—多元函数微分学—隐函数的求导法 (11)设λ1,λ2是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1,α2，则α1,A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是 (A) λ1≠0 (B) λ2≠0 (C) λ1=0 (D) λ2=0 【答案】B 。

【解析】 【方法一】设k 1α1+k 2 A (α1+α2)=0即有(k 1+k 2λ1)α1+k 2λ2α2=0 ①由于特征值不同特征向量线性无关，所以α1,α2线性无关，由①可得{k 1+k 2λ1=0k 2λ2=0α1,A(α1+α2)线性无关⇔{k 1=0k 2=0⇔(2)只有零解⇔|1λ10λ2|≠0⇔λ2≠0 【方法二】因为(α1,A(α1+α2))=(α1,λ1α1+λ2α2)= (α1,α2)[1λ10λ2] 那么α1,A(α1+α2)线性无关⇔r(α1,A (α1+α2)=2 由于α1,α2线性无关，则α1,A(α1+α2)线性无关⇔r [1λ10λ2]=2⇔λ2≠0综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系(12)设A 为n(n ≥2)阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, A ∗,B ∗分别为A,B 的伴随矩阵，则 (A)交换A ∗的第一列和第二列得B ∗ (B)交换A ∗的第一行和第二行得B ∗ (C)交换A ∗的第一列和第二列得−B ∗ (D)交换A ∗的第一行和第二行得−B ∗ 【答案】C 。

【解析】设A 为3阶矩阵，因为A 作初等行变换得到B ，所以有 [010100001]A =B ⇒ B −1=A −1[010100001]−1=A −1[010100001] 从而B ∗|B|=A ∗|A|[010100001]又因为|A |=−|B|,故A ∗[010100001]=B ∗即交换A ∗的第一列和第二列得−B ∗ 综上所述，本题正确答案是C 。

【考点】线性代数—矩阵—矩阵的初等变换 (13)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为已知随机事件{X=0}和{X+Y=1}相互独立，则(A)a=0.2,b=0.3 (B)a=0.4,b=0.1(C)a=0.3,b=0.2 (D)a=0.1,b=0.4【答案】B。