圆的轴对称性(二)

5.2圆的对称性（2） 2012、10、31 主备人：陈根涛 班级 姓名

一、 学习目标

1．知识与技能：圆的对称性垂径定理及其逆定理，运用垂径定理及其逆定理进行有关

的计算和证明.

2．过程与方法： 经历探索圆的对称性及其相关性质的过程，进一步体会和理解研究

几何图形的各种方法.

3．情感态度与价值观： 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严

谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动谨慎精神.

学习重点：垂径定理及其逆定理.

学习难点：垂径定理及其逆定理的证明.

二、 知识准备

学生自学p 113-p 114页内容完成下列填空

1、 圆是_________________图形,其对称轴为_________________.圆有 对称轴。

2、 如图,在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD ⊥AB ，垂足为E ．

则有AE=_____，

_____= ，

____= ．

3、 ⊙O 直径为8，弦AB ＝4 2 ，则∠AOB ＝＿＿＿＿＿。

4、 ⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是

（ ） A ．3≤OM ≤5 B ．4≤OM ≤5 C ．3＜OM ＜5 D ．4＜OM ＜5

三、学习内容

问题一、圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?

（你是用什么方法解决上述问题的?大家互相讨论一下．）

操作：①在圆形纸片上任画一条直径；

②沿直径将圆形纸片折叠，你发现了什么？

结论：

问题二、按下面的步骤做一做:

1．在一张纸上任意画一个⊙O ，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重

合．

2．得到一条折痕CD ．

3．在⊙O 上任取一点A ，过点A 作CD 折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M 是

两条折痕的交点，即垂足．

4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B ，如右图．

（一）、在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧? 为什么呢?

（AM ＝BM ，AC ＝BC ，AD =BD ，因为折痕AM 与BM 互相重合，A 点与B 点重

合．） （二）、你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）

（三）．在上述操作过程中，你会得出什么结论?

A O

B

C D

M A O B C D M

在这里注意：①条件中的 “弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所

对的劣弧、优弦．

（四）例题讲解

例 1 （1） 如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB

交小圆于点C 、D ，AC 与BD 相等吗？为什么？

（2）若AB=12 cm,OP ⊥AB ，你能求出圆环的面积么？

例 2 如图，已知：在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3。

⑴求的半径； ⑵若点P 是AB 上的一动点，试求OP 的范围。

例 3 如图，∠C=90°，⊙C 与AB 相交于点D ，AC=5， CB=12，则AD=_____ 。

四、知识梳理

1．利用圆的轴对称性研究了垂径定理．

2．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题

五、达标检测

1、 如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O

的半径 ．

2、 圆内一弦与直径相交成30°，且分直径为1cm 和5cm ，则圆心到这条弦的距离

为_____

3、 过⊙O 内一点P ，最长的弦为10cm ，最短的弦长为8cm ，则OP 的长为 .

4、已知点P 是半径为5的⊙Ο内一定点，且PO=4，则过点P 的所有弦中，弦长为整数值

的弦有 条.

5、一个点到圆的最大距离为11cm ，最小距离为5cm,则圆的半径为( )

(A)16cm 或6cm, (B)3cm 或8cm (C)3cm （D ）8cm

6、⊙O 中，弦AB 垂直平分半径OC ，则弦AB 所对的圆周角的度数 。

7、已知⊙O 过正方形ABCD 顶点A 、B ，且与CD 相切，若正方形边长为2 ，则圆的半径

为 （ ） A 、34 B 、45 C 、2

5 D 、1 7、在半径为5的圆中,弦AB ∥CD,AB=6,CD=8,试求AB 和CD 的距离.

8如图，BD 为⊙O 的直径，AB AC =，AD 交BC 于E ，2AE =，4ED =．

（1）求证：ABE ADB △∽△． （2）求AB 长