2020版高考数学人教版理科一轮复习 选修4 选4-4-2 (1)
又点P的坐标(x，y)满足xy＝ ＝－ tPcos2α＋，tPsinα，
所以点P的轨迹的参数方程是
x＝ 22sin2α，
y＝－
22－
2 2 cos2α
(α为参数，π4<α<34π)．
本题通过参数法建立了点P的轨迹方程，有时求曲线的参数方程 也可通过相关点法求解.
已知直线l的参数方程为
线C的直角坐标方程为x2＋y2＝1，将
x＝tcosφ， y＝－2＋tsinφ
＝1，得t2－4tsinφ＋3＝0(*)，
由16sin2φ－12>0，得|sinφ|> 23，又0≤φ<π，
∴φ的取值范围是π3，23π.
代入x2＋y2
(2)设P1(t1cosφ，－2＋t1sinφ)，P2(t2cosφ，－2＋t2sinφ)，由(1)
(θ为参数)
3．圆锥曲线的参数方程 椭圆xa22＋by22＝1的参数方程为
抛物线y2＝2px的参数方程为xy＝＝22pptt2， (t为参数)
3．若直线
x＝1－2t， y＝2＋3t
＝___－__6____.
(t为参数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k
解析：直线xy＝ ＝12－ ＋23tt， (t为参数)的斜率为－32， 所以－32×－4k＝－1，k＝－6.
解析：由
x＝sinθ， y＝cos2θ－1
2x2(－1≤x≤1)．
(θ为参数)消去参数θ得y＝－
2．椭圆C的参数方程为
x＝5cosφ， y＝3sinφ
(φ为参数)，过左焦点F1的直
18
线l与C相交于A，B，则|AB|min＝____5____.
解析：由
x＝5cosφ， y＝3sinφ
(2019·福州市模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C：
x＝tcosα， y)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直
线l：ρcos(θ－π4)＝ 2. (1)若l与曲线C没有公共点，求t的取值范围；
(2)若曲线C上存在点到l的距离的最大值为 26＋ 2，求t的值．
2 2 m.
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)若曲线C1与曲线C2有公共点，求实数m的取值范围．
【解】 (1)由曲线C1的参数方程为
x＝ 3sinα－cosα， y＝3－2 3sinαcosα－2cos2α
(α为参数)，
可得其直角坐标方程为y＝x2(－2≤x≤2)，
(φ为参数)得，
x2 25
＋
y2 9
＝1，当AB
⊥x轴时，|AB|有最小值．
∴|AB|min＝2×95＝158.
知识点二
常见曲线的参数方程的一般形式
1．经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为
设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P→0P的数量． 2．圆的参数方程
x＝a＋rcosθ， y＝b＋rsinθ
课堂探究·深度剖析
课堂升华 强技提能
考向一
参数方程与普通方程的互化
【例1】 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
x＝ 3sinα－cosα， y＝3－2 3sinαcosα－2cos2α
(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ－π4＝
4．椭圆x－312＋y＋522＝1的参数方程是
___y_x＝＝ ___－1_＋_2_＋_3_c_o5_s_sθi_n，_θ___(_θ_为__参__数__)__．
解析：设x－31＝cosθ，y＋52＝sinθ， 则yx＝＝－1＋2＋3co5ssθin，θ (θ为参数)，即为所求的参数方程．
中的(*)可知，
t1＋t2 2
＝2sinφ，∴可得P1P2中点的轨迹方程为
x＝sin2φ， y＝－1－cos2φ
(φ为参数，π3<φ<23π)．故线段P1P2中点轨迹的参
数方程为
x＝sin2φ， y＝－1－cos2φ
φ为参数，π3<φ<23π.
考向三
利用直线的参数方程求长度
x＋4y－3＝0， 联立得方程组x92＋y2＝1，
解得xy＝ ＝30， 或xy＝ ＝22－4522. 15， 所以C与l交点坐标是(3,0)和－2215，2245.
(2)直线l的一般方程是x＋4y－4－a＝0.
设曲线C上点P(3cosθ，sinθ)，则点P到直线l距离d＝
⊙O交于A，B两点． (1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
【解】 (1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝π2时，l与⊙O交于两点．
当α≠π2时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－ 2.
l与⊙O交于两点当且仅当|
2 1＋k2
|<1，解得k<－1或k>1，即
α∈(4π，π2)或α∈(π2，34π)．
x＝2－3t， y＝－1＋2t
(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|.
解：(1)由ρsin2θ＝4cosθ， 可得ρ2sin2θ＝4ρcosθ， ∴曲线C的直角坐标方程为y2＝4x. (2)将直线l的参数方程代入y2＝4x，整理得4t2＋8t－7＝0， ∴t1＋t2＝－2，t1t2＝－74， ∴|AB|＝ －32＋22×|t1－t2| ＝ 13× t1＋t22－4t1t2 ＝ 13× 4＋7＝ 143.
考向四
利用椭圆参数求最值
【例4】 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
x＝3cosθ， y＝sinθ
(θ为参数)，直线l的参数方程为xy＝＝a1＋－4t t，
(t为参数)．
(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；
(2)若C上的点到l距离的最大值为 17，求a.
【解】 (1)当a＝－1时，直线l的方程为x＋4y－3＝0. 曲线C的标准方程是x92＋y2＝1.
将下列参数方程化成普通方程．
x＝t2－1， (1)y＝t2＋1
(t为参数)；
x＝cosθ， (2)y＝sinθ
(θ为参数，θ∈[π2，π])．
解：(1)消去参数t，得y＝x＋2，由于t2≥0，∴普通方程为y
＝x＋2(x≥－1)，表示一条射线．
(2)消去参数θ，得x2＋y2＝1，由于θ∈[
【例3】 已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ.以极点为平面直角 坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的
参数方程是yx＝＝t1s＋inαtcosα， (t为参数)． (1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝
选修4-4
坐标系与参数方程
第二节 参数方程
知识梳理·自主学 课堂探究·深度剖析
习 课时作业
知识梳理·自主学习
课前热身 稳固根基
知识点一,
参数方程的概念
在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x，y都是某
个变量的函数
x＝ft， y＝gt，
并且对于t的每个允许值，由方程组所确定的
综上，α的取值范围是(4π，34π)．
(2)l的参数方程为yx＝＝－tcosα2， ＋tsinα (t为参数，π4<α<34π)．
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝
tA＋tB 2
，且
tA，tB满足t2－2 2tsinα＋1＝0.
于是tA＋tB＝2 2sinα，tP＝ 2sinα.
若M1，M2是l的两点，其对应参数分别为t1，t2，则有以下结论： (1)|M1M2|＝|t1－t2|.
(2)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝
t1＋t2 2
，中点M到
定点M0的距离|MM0|＝|t|＝t1＋2 t2. (3)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.
代入曲线C的方程得(tcosα－1)2＋
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
则tt11＋ t2＝t2－ ＝23c. osα， ∴|AB|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2 ＝ 4cos2α＋12＝ 14， ∴4cos2α＝2，cosα＝± 22，α＝π4或34π.
(2019·西安八校联考)以平面直角坐标系的坐标原点O为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的参数方程为
243t2＝1，
即7t2＋16t＝0，解得t1＝0，t2＝－176，
所以|AB|＝|t1－t2|＝176.
1．参数方程化普通方程 (1)常用技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等． (2)等价性：保证参数方程化为普通方程的等价性，不扩大或缩小 取值范围． 2．直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意 义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离．
点M(x，y)都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变量 x，y的变量t是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点 的坐标间关系的方程叫做普通方程．
1．曲线C的参数方程为
x＝sinθ， y＝cos2θ－1
(θ为参数)，则曲线C的普通
方程为__y_＝__－___2_x_2(_－__1_≤__x_≤___1_) __．
x＝tcosφ， y＝－2＋tsinφ
(t为参数，0≤φ<π)，以坐
标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标
方程为ρ＝1，直线l与C交于不同的两点P1，P2. (1)求φ的取值范围；
(2)以φ为参数，求线段P1P2中点轨迹的参数方程．
解：(1)曲线C的极坐标方程为ρ＝1，根据ρ2＝x2＋y2可得曲
高考数学一轮复习课件选4-4-2
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
3．若曲线 C
x＝1＋cos2θ， 的参数方程为 2 y＝sin θ
(θ 为参数)，
则曲线 C 上的点的轨迹是( A．直线 x＋2y－2＝0 B．以(2,0)为端点的射线 C．圆(x－1)2＋y2＝1
)
D．以(2,0)和(0,1)为端点的线段
答案 D
叫做
曲线 C 的参数方程，变量 t 是参数．
第9页
选修4－4
坐标系与参数方程
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
2．圆锥曲线的参数方程 (1)圆心为(a，b)，半径为 r 的圆的参数方程为
x＝a＋rcosθ， (θ 为参数)． y＝b＋rsinθ ____________________________
x＝ft， 的函数 y＝gt.
第8页
选修4－4
坐标系与参数方程
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
反过来，对于 t
x＝ft， 的每个允许值，由函数式 y＝gt， x＝ft， 上，那么方程 y＝gt，
所
确定的点 P(x，y)都在曲线 C
x2 y2 (2)椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的参数方程为 a b
x＝acosθ， y＝bsinθ
(θ 为参数)
______________________．
第10页
选修4－4
坐标系与参数方程
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
x2 y 2 (3)双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的参数方程为 a b a x＝ ， cos θ (θ 为参数) y＝ tan θ_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . _ _ _ _b _ __ (4)抛物线 数)．
2020版高考人教A版理科数学一轮复习文档：选修4-4 第二节 参 数 方 程 Word版含答案
姓名，年级：时间：第二节参数方程2019考纲考题考情1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：错误!①并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y）都在这条曲线上,那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程,t叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
2．直线的参数方程过定点P0(x0，y0）且倾斜角为α的直线的参数方程为错误!(t为参数)，则参数t的几何意义是有向线段错误!的数量。
3．圆的参数方程圆心为(a，b），半径为r，以圆心为顶点且与x轴同向的射线，按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径形成的角α为参数的圆的参数方程为错误!(α为参数)α∈[0，2π）.4．椭圆的参数方程以椭圆的离心角θ为参数，椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的参数方程为错误!（θ为参数），θ∈［0,2π）.1．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t）的值域,即x和y的取值范围。
2．直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为:|t｜是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0）的距离。
一、走进教材1．（选修4－4P26T4改编）在平面直角坐标系中，曲线C：错误!(t为参数）的普通方程为________。
解析消去t，得x－y＝1,即x－y－1＝0。
答案x－y－1＝02．(选修4－4P37例2改编)在平面直角坐标系xOy 中,若直线l：错误!(t为参数）过椭圆C：错误!（φ为参数）的右顶点，求常数a的值。
解直线l的普通方程为x－y－a＝0,椭圆C的普通方程为错误!＋错误!＝1，所以椭圆C的右顶点坐标为（3，0)，若直线l过(3，0)，则3－a＝0，所以a＝3.二、走出误区微提醒：①不注意互化的等价性致误；②直线参数方程中参数t的几何意义不清致误；③交点坐标计算出错致错。
2020版高考数学人教版理科一轮复习 选修4 选4-4-2 (2)
4．(选修4－5P20T7)不等式3≤|5－2x|<9的解集为(
A．[－2,1)∪[4,7)
B．(－2,1]∪(4,7]
C．(－2，－1]∪[4,7)
D．(－2,1]∪[4,7)
D)
解析：由题意得||22xx－ －55||<≥93，， 即 － 2x－9<52≥x－3或5<29x，－5≤－3， 解得－ x≥24<或x<x7≤，1， 不等式的解集为(－2，1]∪[4,7)．
考向二 含绝对值不等式的解法 方向1 “零点”讨论法解不等式 【例2】 解下列不等式． (1)|2x＋1|－2|x－1|>0； (2)|x＋3|－|2x－1|<2x＋1.
【解】 (1)法1：原不等式可化为|2x＋1|>2|x－1|，
两边平方得4x2＋4x＋1>4(x2－2x＋1)，
解得x>14，
.
(2)①当x<－3时， 原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)<2x＋1， 解得x<10，∴x<－3. ②当－3≤x≤12时， 原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<2x＋1， 解得x<－25，∴－3≤x<－25.
③当x>12时，
原不等式化为(x＋3)＋(1－2x)<2x＋1，
解得x>2，∴x>2.
综上可知，若函数f(x)的图象与x轴无交点，则实数a的取值
范围为[1,2)．
温馨 提 示
请 做：课时作业 73
PPT文稿 （点击进入）
仅当_(_a_－__b__)(_b_－___c_)≥___0__时，等号成立．
1．判断正误
(1)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立．( × ) (2)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．( × )
人教版高中数学选修高考总复习·4-4-2参数方程ppt课件
到直线 l 的距离为
d＝|2cos
θ＋2sin 5
θ－4|
＝ 154－2 2sinθ＋π4.
所以当 sinθ＋π4＝1 时，d 有最小值，
此时 sin θ＝sinθ＋π4－4π
＝sinθ＋π4cosπ4－cosθ＋π4sinπ4＝ 22，
……………………………………………………………………………4
所以直线 l 的平面直角坐标方程为 3x＋3y－2 3＝0.…………5
又圆 C 的圆心坐标为(2，－ 3)，半径为 r＝2，………………6
圆心到直线 l 的距离 d＝|2
3－3 3－2 3＋9
3|＝32<r，
故直线 l 与圆 C 相交. ……………………………………………7
(1)设 P 为线段 MN 的中点，求直线 OP 的平面直角坐标方程；
(2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系．
【思路导析】 (1)将M、N两点的极坐标化为直角坐标，进而 出点P的直角坐标，由此可得直线OP的平面直角坐标方程．
(2)将直线l与圆C的方程都化为平面直角坐标方程再去判断位 关系．
【规范解答】 (1)由题意知，M，N 的平面直角坐标分别为
解析：化射线的极坐标方程为普通方程，代入曲线方程求 t 值．
射线
θ＝4π的普通方程为
x＝t＋1， y＝x(x≥0)，代入y＝t－12，
得 t2－3t＝0，解得 t＝0 或 t＝3.
当 t＝0 时，x＝1，y＝1，即 A(1,1)；
当 t＝3 时，x＝4，y＝4，即 B(4,4)．
所以 AB 的中点坐标为52，52. 答案：52，52
x＝3cos θ， 令y＝sin θ，
∴x＋2 3y＝3cos θ＋2 3sin φ
2020版一轮数学：选修4-4(2)参数方
由|AB|＝
10得
cos2α＝38，tan
α＝±
15 3.
所以 l 的斜率为
315或－
15 3.
栏目导航
35
[规律方法] 处理极坐标、参数方程综合问题的方法 1涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分 别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特 点，确定选择何种方程. 2数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义， 或者利用 ρ 和 θ 的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.
栏目导航
28
[解] (1)由曲线 C：x＝co1s θ， (θ 为参数)， y＝tan θ
可得曲线 C 的普通方程是 x2－y2＝1.
当
α＝π3时，直线
l
的参数方程为x＝3＋12t，
y＝
3 2t
(t 为参数)，
栏目导航
29
代入曲线 C 的普通方程，得 t2－6t－16＝0，
(t 为参数)．
24
栏目导航
(2)把直线
l
的参数方程x＝1＋ 23t， y＝2＋12t
代入 x2＋y2＝16，
得1＋
23t2＋2＋12t2＝16，t2＋(
3＋2)t－11＝0，
所以 t1t2＝－11，
由参数方程的几何意义，|PA|·|PB|＝
|t1t2|＝11.
栏目导航
8
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的
打“×”)
(1)参数方程xy＝＝fgtt， 中的 x，y 都是参数 t 的函数．(
)
(2) 过 M0(x0 ， y0) ， 倾 斜 角 为 α 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为
2020年高考红对勾一轮复习理科数学人教版创新方案课件选修4-4-1
大一轮复习 ·高三数学理科 ·创新方案
进入导航
选修4－4 第1节
第15页
系列丛书
1.极坐标方程与直角坐标方程的互化 (1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式 x＝ρcosθ 及 y＝ρsinθ 直 接代入直角坐标方程并化简即可． (2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如 ρcosθ， ρsinθ，ρ2 的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同 除以)ρ 及方程两边平方是常用的变形技巧．
平面上的曲线 y＝f(x)在变换 φ：xy′′＝＝λμxyλμ＞＞00， 的作用下的变换
方程的求法是将xy＝＝xy′′μλ ，
代入 y＝f(x)，得y′μ ＝fx′λ ，整理之后得
到 y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．
大一轮复习 ·高三数学理科 ·创新方案
大一轮复习 ·高三数学理科 ·创新方案
进入导航
选修4－4 第1节
第14页
系列丛书
解：(1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程：x2＋(y－1)2＝a2.C1 是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．
将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 C1 的普通方程中，得到 C1 的极 坐标方程为 ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.
换xy′′＝＝1213xy，
后的图形．
(1)5x＋2y＝0；(2)x2＋y2＝1.
大一轮复习 ·高三数学理科 ·创新方案
进入导航
选修4－4 第1节
第6页
系列丛书
解：伸缩变换yx′′＝＝3211yx，，
则xy＝＝23xy′′，，
(1)若 5x＋2y＝0，则 5(2x′)＋2(3y′)＝0，
即 x′2＋y′2＝1. 因此椭圆x42＋y2＝1 经伸缩变换后得到的曲线方程是 x2＋y2＝
2020届一轮复习（理）通用版选修4-4-2参数方程学案
第二节参数方程1.曲线的参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F (x ，y )＝0叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数. (2)普通方程化参数方程：如果x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，则得曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).参数方程与普通方程互化的注意点(1)在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性. (2)普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.3.直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程轨迹 普通方程 参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎝⎛⎭⎫α≠π2，点斜式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数) 椭圆 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) [熟记常用结论]经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).若A ，B 为直线l 上的两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22； (2)|PM |＝|t 0|＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数.( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M 的数量.( )(3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆.( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、选填题1.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y ＝2x 上B.在直线y ＝－2x 上C.在直线y ＝x －1上D.在直线y ＝x ＋1上解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上.2.若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)相切，则实数m 的值为( )A.－4或6B.－6或4C.－1或9D.－9或1解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)，得直线l ：2x ＋y －1＝0，由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)，得曲线C ：x 2＋(y －m )2＝5，因为直线l 与曲线C 相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|m －1|22＋12＝5，解得m ＝－4或m ＝6.故选A.3.在平面直角坐标系中，若曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，则其普通方程为____________.解析：依题意，消去参数可得x －2＝y －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝04.已知两曲线的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，则它们的交点坐标为________.解析：消去参数θ得普通方程为x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1)，表示椭圆的一部分.消去参数t 得普通方程为y 2＝45x ，表示抛物线，联立两方程，可知两曲线有一个交点，解得交点坐标为⎝⎛⎭⎫1，255.答案：⎝⎛⎭⎫1，255 5.曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为____________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)消去参数θ，得y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1).答案：y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)考点一 参数方程与普通方程的互化 [基础自学过关][题组练透]1.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数).(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围. 解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.即实数a 的取值范围为[－25，2 5 ].2.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)，设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45，当s ＝2时，d min ＝455. 因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.[名师微点]将参数方程化为普通方程消参的3种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数. (2)利用三角恒等式消去参数.(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.[提醒] 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.考点二 参数方程的应用 [师生共研过关][典例精析](2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点.(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程. [解] (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点.当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点需满足21＋k 2＜1， 解得k ＜－1或k ＞1， 即α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4或α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎫t 为参数，π4＜α＜3π4.设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎫α为参数，π4＜α＜3π4.[解题技法]一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程，设曲线上点的坐标，将问题转化为三角恒等变换问题解决，使解题过程简单明了.[过关训练]已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值.解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用 [师生共研过关][典例精析](2019·柳州模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6. (1)求曲线C 的极坐标方程以及曲线D 的直角坐标方程；(2)若过点A ⎝⎛⎭⎫22，π4(极坐标)且倾斜角为π3的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，弦MN 的中点为P ，求|AP ||AM |·|AN |的值.[解] (1)由题意可得曲线C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 的普通方程可得，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2 θ4＝1，即ρ2＝364＋5sin 2θ.因为曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6， 所以ρ2＝4ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ， 又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2＝364＋5sin 2θ，曲线D 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0.(2)由点A ⎝⎛⎭⎫22，π4，得⎩⎨⎧x ＝22cos π4＝2，y ＝22sin π4＝2，所以A (2,2).因为直线l 过点A (2,2)且倾斜角为π3，所以直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos π3，y ＝2＋t sin π3(t 为参数)，代入x 29＋y 24＝1可得，314t 2＋(8＋183)t ＋16＝0， 设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－32＋72331，t 1t 2＝6431，所以|AP ||AM |·|AN |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22|t 1t 2|＝4＋9316.[解题技法]参数方程与极坐标方程综合问题的解题策略(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.[过关训练](2018·合肥质检)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 过点 P (1,0)且与曲线C 交于A ，B 两点，若|PA |＋|PB |＝5，求直线l 的倾斜角α.解：(1)由ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝2(cos θ＋sin θ)⇒ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y ⇒(x －1)2＋(y －1)2＝2，故曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)由条件可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入圆的方程，有t 2－2t sin α－1＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2sin α， t 1t 2＝－1，|PA |＋|PB |＝|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4sin 2α＋4＝5，解得sin α＝12或sin α＝－12(舍去)，故α＝π6或5π6.[课时跟踪检测]1.设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数). (1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围. 解：(1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)， 所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率k ＝52.(2)由圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)，得圆C 的圆心是C (1，－1)，半径为2.由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，得直线l 的普通方程为y －4＝k (x －3)(斜率存在)， 即kx －y ＋4－3k ＝0.当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径， 即|5－2k |k 2＋1＜2，解得k ＞2120.即直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎫2120，＋∞. 2.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率.解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tanα·x ＋2－tan α；当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.3.(2019·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0).(1)求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点P (－2,0)，若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值.解：(1)由ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0)两边同乘以ρ得， 曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax (a ＞0).由直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，消去t ，得直线l 的普通方程为x －y ＋2＝0.(2)将⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t代入y 2＝2ax ，得t 2－22at ＋8a ＝0，由Δ＞0得a ＞4，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝22a ，t 1t 2＝8a ， ∵|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，∴|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|，∴(22a )2－4×8a ＝8a ，∴a ＝5.4.(2019·青岛调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数).以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|P Q |的最小值及此时P 的直角坐标. 解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α).因为C 2是直线，所以|P Q |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. 5.(2018·辽宁五校联合体模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数).在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若射线l ：y ＝kx (x ≥0)分别交C 1，C 2于A ，B 两点(A ，B 异于原点)，当k ∈(1，3]时，求|OA |·|OB |的取值范围.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α，可得(x －1)2＋y 2＝cos 2α＋sin 2α＝1，即C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.方程ρcos 2θ＝sin θ可化为ρ2cos 2θ＝ρsin θ (*)，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式，可得x 2＝y ， 所以C 2的直角坐标方程为x 2＝y . (2)因为A ，B 异于原点，所以联立⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋y 2＝1，y ＝kx ，可得A ⎝⎛⎭⎫2k 2＋1，2k k 2＋1；联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2，可得B (k ，k 2). 故|OA |·|OB |＝1＋k 2·2k 2＋1·1＋k 2·|k |＝2|k |.又k ∈(1，3]，所以|OA |·|OB |∈(2,23].6.(2019·惠州调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－35t ，y ＝－2＋45t (t 为参数).以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ＝tan θ.(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2交于A ，B 两点，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－π4，求1|PA |＋1|PB |的值. 解：(1)由曲线C 1的参数方程消去参数t 可得，曲线C 1的普通方程为4x ＋3y －2＝0. 由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，曲线C 2的直角坐标方程为y ＝x 2.(2)由点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－π4，可得点P 的直角坐标为(2，－2)，∴点P 在曲线C 1上.将曲线C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝2－35t ，y ＝－2＋45t (t 为参数)代入y ＝x 2，得9t 2－80t ＋150＝0，设t 1，t 2是点A ，B 对应的参数， 则t 1＋t 2＝809，t 1t 2＝503＞0.∴1|PA |＋1|PB |＝|PA |＋|PB ||PA |·|PB |＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝815. 7.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且l 过点A ，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数).(1)求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值；(2)过点B (－1,1)且与直线l 平行的直线l 1与曲线C 1交于M ，N 两点，求|BM |·|BN |的值. 解：(1)由直线l 过点A ，得2cos ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝a ，故a ＝2，则易得直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.由点到直线的距离公式，得曲线C 1上的点到直线l 的距离d ＝|2cos α＋3sin α－2|2＝|7sin (α＋φ)－2|2，⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝233，∴d max ＝7＋22＝14＋222.即曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值为14＋222. (2)由(1)知直线l 的倾斜角为3π4， 则直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos 3π4，y ＝1＋t sin 3π4(t 为参数).易知曲线C 1的普通方程为x 24＋y 23＝1.把直线l 1的参数方程代入曲线C 1的普通方程， 得72t 2＋72t －5＝0， 设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－107， 根据参数t 的几何意义可知|BM |·|BN |＝|t 1t 2|＝107. 8.(2019·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32t ，y ＝m ＋12t (t为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6，直线l 与圆C 交于A ，B 两点. (1)若OA ⊥OB ，求直线l 的普通方程；(2)设P (3，1)是直线l 上的点，若|AB |＝λ|PC |，求λ的值.解：(1)消去参数t ，得直线l 的普通方程为x ＋3y ＝3＋3m ，将圆C 的极坐标方程ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6的两边同时乘ρ， 得ρ2＝43ρcos θ＋4ρsin θ，则圆C 的直角坐标方程为(x －23)2＋(y －2)2＝16，所以圆C 的圆心C (23，2)，半径为4，且经过原点O ，数形结合得，若OA ⊥OB ，则直线l 经过圆心C ，即23＋3×2＝3＋3m ，解得m ＝3， 即直线l 的普通方程为x ＋3y －43＝0. (2)由P (3，1)是直线l 上的点，得m ＝1，此时直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)，代入到圆C 的方程(x －23)2＋(y －2)2＝16中，得t 2＋2t －12＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－12，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4＋48＝213， 又|PC |＝2，|AB |＝λ|PC |，所以λ＝13.。
高考总复习 数学选修4-4-2
选考部分
数学
高考总复习人教A版 · (理)
x＝3＋4t 4．直线 y＝4－5t
(t为参数)的斜率为________．
选考部分
数学
高考总复习人教A版 · (理)
π x2 5．已知经过点M(－1,1)，倾斜角为 的直线l和椭圆 4 4 y2 ＋ 2 ＝1交于A，B两点，求线段AB的长度及点M(－1,1)到 A，B两点的距离之积．
选考部分
数学
高考总复习人教A版 · (理)
15 (2)∵中点M所对应的参数为tM＝ ，将此值代入直线的 16 标准参数方程(*)，则 3 15 41 x＝2＋5×16＝16 M点的坐标为 y＝4×15＝3 5 16 4 41 3 即M(16，4)． (3)|AB|＝|t2－t1|＝ t1＋t22－4t1t2 5 ＝ 73. 8
选考部分
数学
高考总复习人教A版 · (理)
2．常见曲线的参数方程的一般形式 (1)经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为
x＝x ＋tcosα 0 y＝y0＋tsinα
(t为参数) P0P 的数
设P是直线上的任一点，则t表示有向线段 量． (2)圆的参数方程
x＝rcosθ y＝rsinθ
选考部分
数学
高考总复习人教A版 · (理)
x2 y2 【例 3】 如图所示， 已知点 M 是椭圆a2＋b2＝1(a>b>0) 上在第一象限的点，A(a,0)和 B(0，b)是椭圆的两个顶点， O 为原点，求四边形 MAOB 的面积的最大值． 思路分析：本题可利用椭圆的参数方程，把面积的最
大值问题转化为三角函数的最值问题．
(θ为参数)
选考部分
高中数学理人教A版一轮参考课件：选修4-4-2 参数方程
主干梳理
要点梳理
考点自测
4.椭圆的参数方程 ������ = ������cos������, 是 ������ = bsin������ (φ 是参数),规定参数 φ 的取值范围是[0,2π). (2)若中心不在原点,而在点 M0(x0,y0),相应的椭圆的参数方程为 ������ = ������0 + acos������, 0≤t<2π. ������ = ������0 + bsin������,
第2讲 参数方程
考纲解读
1.了解参数方程,了解参数的意义. 2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.
主干梳理
要点梳理
考点自测
1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某 x = f(t), 个变数 t 的函数 (*)并且对于 t 的每一个允许值,由方程组(*)所确 y = g(t), 定的点 M(x,y)都在这条曲线上,那么方程(*)就叫做这条曲线的参数方程,联 系变数 x,y 的变数 t 叫做参变数,简称参数. 2.直线的参数方程 (1)过点 M0(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为 x = x0 + t������������������α, (t 为参数). y = y0 + t������������������α (2)参数的几何意义 直线的参数方程中参数 t 的几何意义是参数 t 的绝对值表示 t 所对应 的点 M 到定点 M0 的距离.当M0 M与 e(直线的单位方向向量)同向时,t 取正 数;当������0 M与 e 反向时,t 取负数;当点 M 与点 M0 重合时,t 为零.
������2 (1)中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 2 ������
高考一轮作业：选修4-4-2参数方程(含答案)
时间：45分钟 满分：100分 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得分：________ 一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2018·皖南八校联考)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )A ．(1，π2)B ．(1，－π2) C ．(1,0)D ．(1，π)解析：该圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋(y ＋1)2＝1，故圆心的直角坐标为(0，－1)，化为极坐标为(1，π2)，故选B. 答案：B2．(2018·安庆市重点中学联考)在极坐标系中，点(2，π3)与圆ρ＝2cos θ的圆心之间的距离为( ) A ．2 B.4＋π29C.1＋π29D. 3解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos π3＝1y ＝ρsin θ＝2sin π3＝3可知，点(2，π3)的直角坐标为(1，3)．圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心(1,0)与点(1，3)之间的距离为 3.答案：D3．(2018·淮南市、淮水市二模)已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t ＋b (t 为参数，b 为实数)，若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b ＝( )A. 2 B ．－ 2 C ．0D ．± 2解析：将曲线C 和直线l 的参数方程分别化为普通方程为x 2＋y 2＝4和y ＝x ＋b ，依题意，若要使圆上有3个点到直线l 的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1，即可，得到|b|2＝1，解得b ＝± 2.答案：D4．(2018·莱州模拟)若曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos2θy ＝sin 2θ(θ为参数)，则曲线C 上的点的轨迹是( )A ．直线x ＋2y －2＝0B ．以(2,0)为端点的射线C ．圆(x －1)2＋y 2＝1D ．以(2,0)和(0,1)为端点的线段 答案：D5．(2018·江西红色六校联考)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sin θy ＝5cos θ表示的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．过原点的直线D ．圆心在原点的圆解析：化为直角坐标方程x 216＋y225＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆，选B.答案：B6．(2018·北京东城期末)若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t(t 为参数)，则直线l 的倾斜角的余弦值为( )A ．－45B ．－35C.35D.45解析：由题意知，直线l 的普通方程为4x ＋3y －10＝0.设l 的倾斜角为θ，则tan θ＝－43.由1cos θ＝1＋tan 2θ知cos 2θ＝925.∵π2<θ<π，∴cos θ＝－35，故选B.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．(2018·重庆)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝t3(t 为参数)相交于A 、B 两点，则|AB|＝________.解析：直线的普通方程为x ＝4，代入曲线的参数方程得t ＝±2，当t ＝2时，x ＝4，y ＝8；当t ＝－2时，x ＝4，y ＝－8，即有A(4,8)，B(4，－8)，于是|AB|＝8－(－8)＝16.答案：168．(2018·陕西)(坐标系与参数方程选做题)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为__________________．解析：圆的标准方程为(x －12)2＋y 2＝14，直径OA ＝1，如图，设圆上一点P(x ，y)，连接AP ，过点P 作PB ⊥x 轴，垂足为点B ， ∵在Rt △AOP 中，OP ＝OA·cos θ＝cos θ， ∴在Rt △BOP 中，x ＝OB ＝OP·cos θ＝cos 2θ，y ＝BP ＝OP·sin θ＝sin θcos θ，当点P(x ，y)在x 轴上时也适合，所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ.(θ为参数)答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ.(θ为参数)9．(2018·湖北)(选修4－4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φ，y ＝bsin φ(φ为参数，a ＞b ＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π4)＝22m(m 为非零常数)与ρ＝b.若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．解析：由题意知，椭圆C 的普通方程为x 2a 2＋y2b 2＝1，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝m ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝b 2，设椭圆C 的半焦距为c ，则根据题意可知，|m|＝c ，|m|2＝b ，所以有c ＝2b ，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝c b 2＋c2＝63. 答案：6310．(2018·大庆模拟)圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋4cos θy ＝－2＋4sin θ(θ为参数)的圆心坐标为________，和圆C 关于直线x－y ＝0对称的圆C′的普通方程是________．解析：将圆C 的方程化为普通方程得 (x －3)2＋(y ＋2)2＝16.∴其圆心坐标为(3，－2)，关于直线x －y ＝0对称的点为(－2,3)，圆C′的方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝16. 答案：(3，－2) (x ＋2)2＋(y －3)2＝16三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤) 11．(2018·辽宁)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos(θ－π4)＝2 2.(Ⅰ)求C 1与C 2交点的极坐标；(Ⅱ)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解：(Ⅰ)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋－2＝4，x ＋y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为(4，π2)，(22，π4)． 注：极坐标系下点的表示不唯一．(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， 由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧b2＝1，－ab2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.12．(2018·课标全国Ⅱ)选修4－4：坐标系与参数方程已知动点P ，Q 在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cost ，y ＝2sint (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ 的中点．(Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程；(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解：(Ⅰ)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2αy ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(Ⅱ)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点． 13．(2018·课标全国Ⅰ)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cost ，y ＝5＋5sint ，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(Ⅰ)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(Ⅱ)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(Ⅰ)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (Ⅱ)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(2，π4)，(2，π2)．。