云南省昆明市2018届高三教学质量检查(二统)数学(理)试题及答案解析

昆明市2018届高三复习教学质量检测理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知a ，b R ∈，复数21ia bi i+=+，则a b +=（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．2-2.设集合{2,1,0,1,2}A =--，2{|20}B x x x =+-≤，则AB =（ ）A ．{0,1,2}B ．{2,1,0}--C ．{1,0,1}-D ．{2,1,0,1}-- 3.若点55(sin,cos )66ππ在角α的终边上，则sin α=（ ）A ．12 C ．． 12-4.“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.下图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图.根据该走势图，下列结论正确的是（ ）A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差 D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值 5.一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于（ ）A ．26.已知直线:l y m +与圆22:(3)6C x y +-=相交于A ，B 两点，若120ACB ∠=︒，则实数m 的值为（ ）A ．33．3+3-C.9或3- D ．8或2-7.执行下面的程序框图，如果输入1a =，1b =，则输出的S =（ ）A ．7B ．20 C.22 D ．548.若直线(01)x a a π=<<与函数tan y x =的图像无公共点，则不等式tan 2x a ≥的解集为（ ） A ．{|,}62x k x k k Z ππππ+≤<+∈ B ．{|,}42x k x k k Z ππππ+≤<+∈ C. {|,}32x k x k k Z ππππ+≤<+∈ D ．{|,}44x k x k k Z ππππ-≤≤+∈9.已知函数24,1()ln 1,1x x a x f x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩，若方程()2f x =有两个解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．(,2]-∞ C. (,5)-∞ D ．(,5]-∞10.已知F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点，经过原点的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若||2||PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．13 B ．12C. 3 D．211.已知函数2()2ln xe f x k x kx x=+-，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ）A ． 2(,]4e -∞ B ．(,]2e -∞ C. (0,2] D ．[2,)+∞12.定义“有增有减”数列{}n a 如下：*t N ∃∈，满足1t t a a +<，且*s N ∃∈，满足1S S a a +>.已知“有增有减”数列{}n a 共4项，若{,,}(1,2,3,4)i a x y z i ∈=，且x y z <<，则数列{}n a 共有（ ）A ．64个B ．57个 C.56个 D ．54个 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量a ，b 满足a b ⊥，||1a =，|2|22a b +=，则||b = ．14.已知变量x ，y 满足3040240x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则3z x y =+的最大值为 ．15.在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若1cos 4C =，3c =，且cos cos a bA B=，则ABC △的面积等于 ．16.如图，等腰PAB △所在平面为α，PA PB ⊥，4AB =，点C ，D 分别为PA ，AB 的中点，点G 为CD 的中点.平面α内经过点G 的直线l 将PAB △分成两部分，把点P 所在的部分沿直线l 翻折，使点P 到达点'P （'P ∉平面α）.若点'P 在平面α内的射影H 恰好在翻折前的线段AB 上，则线段'P H 的长度的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{}n a 中，13a =，{}n a 的前n 项和n S 满足：21n n S a n +=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足：(1)2n an n b =-+，求{}n b 的前n 项和n T .18.在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x 和y ，制成下图，其中“*”表示甲村贫困户，“+”表示乙村贫困户.若00.6x <<，则认定该户为“绝对贫困户”，若0.60.8x ≤≤，则认定该户为“相对贫困户”，若0.81x <≤，则认定该户为“低收入户”；若100y ≥，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”.（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率； （2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用ξ表示所选3户中乙村的户数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标y 的方差的大小（只需写出结论）. 19. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，M 是AB 的中点.（1）证明：1//BC 平面1MCA ；（2）若BMC △是正三角形，且1AB BC =，求直线AB 与平面1MCA 所成角的正弦值. 20. 设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l .已知以F 为圆心，半径为4的圆与l 交于A 、B 两点，E 是该圆与抛物线C 的一个交点，90EAB ∠=︒.（1）求p 的值；（2）已知点P 的纵坐标为1-且在C 上，Q 、R 是C 上异于点P 的另两点，且满足直线PQ 和直线PR 的斜率之和为1-，试问直线QR 是否经过一定点，若是，求出定点的坐标，否则，请说明理由.21. 已知函数23()(4cos 1)x f x e x x x x α=+++，()(1)x g x e m x =-+. （1）当1m ≥时，求函数()g x 的极值； （2）若72a ≥-，证明：当(0,1)x ∈时，()1f x x >+. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的方程为224x y +=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2cos21ρθ=. （1）求圆O 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知M ，N 是曲线C 与x 轴的两个交点，点P 为圆O 上的任意一点，证明：22||||PM PN +为定值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1|f x x =-.（1）解不等式(2)(4)6f x f x ++≥；（2）若a 、b R ∈，||1a <，||1b <，证明：()(1)f ab f a b >-+.试卷答案一、选择题1-5:ADCDD 6-10:ABBCC 11、12：AD 二、填空题16. 3(0,]2三、解答题17.解：（1）由21n n S a n +=+①，得2111(1)n n S a n +++=++② 则②-①得21n a n =+.当13a =时满足上式， 所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =+. （2）由（1）得21(1)2n n n b +=-+， 所以12n n T b b b =+++2[(1)(1)(1)]n =-+-++-+3521(222)n ++++3(1)[1(1)]2(14)1(1)14n n -⨯--⨯-=+---(1)18(41)23n n--=+-. 18.解：（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户， 所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为50.150P == （2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，ξ的可能值为0，1，2，3.从而36310201(0)1206C P C ξ====，1246310601(1)1202C C P C ξ====，2146310363(2)12010C C P C ξ====，3431041(3)12030C P C ξ====.所以ξ的分布列为：故ξ的数学期望113112()0123 1.262103010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==. （3）这100户中甲村指标y 的方差大于乙村指标y 的方差.19.解：（1）连接1AC ，设1AC 与1AC 的交点为N ，则N 为1AC 的中点，连接MN ，又M 是AB 的中点，所以1//MN BC .又MN ⊂平面1MCA ，1BC ⊂/平面1MCA ，所以1//BC 平面1MCA .（2）M 是AB 的中点，BMC 是正三角形，则60ABC ︒∠=，30BAC ︒∠=，90ACB ︒∠=，设1BC =，则1AC CC ==1CC 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴建立空间直角坐标系.则(0,1,0)B，A，1A，1(0,2M，(0,1,AB =，1(0,2CM =，1(3,0,CA =.设(,,)n x y z =是平面1MCA 的法向量，则10n CM n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可取平面1MCA 的法向量为(1,3,1)n =-，则 |cos ,|AB n 〈〉=||155||||AB n AB n ⋅=，所以直线AB 与平面1MCA .20.解：（1）由题意及抛物线定义，||||||4AF EF AE ===，AEF 为边长为4的正三角形，设准线l 与x 轴交于点D ，11||||4222AD p AE ===⨯=. （2）设直线QR 的方程为x my t =+，点11(,)Q x y ，22(,)R x y . 由24x my t y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my t --=，则216160m t ∆=+>，124y y m +=，124y y t ⋅=-. 又点P 在抛物线C 上，则11221144p P PQ P P y y y y k y y x x --==--11441P y y y ==+-，同理可得241PR k y =-. 因为1PQ PR k k +=-，所以124411y y +=--1212124()8()1y y y y y y +--++1681441m t m -==---+，解得734t m =-.由21616073417(1)344m t t m m m ⎧⎪∆=+>⎪⎪=-⎨⎪⎪≠⨯-+-⎪⎩，解得71(,)(,1)(1,)22m ∈-∞-⋃⋃+∞. 所以直线QR 的方程为7(3)4x m y =+-，则直线QR 过定点7(,3)4--. 21.解：（1）()xg x e m '=-，由()0g x '=得ln x m =. 由ln x m >得()0g x '>，ln x m <得()0g x '<，所以函数()g x 只有极小值(ln )(ln 1)ln g m m m m m m =-+=-.（2）不等式等价于3214cos 1x x x ax x x e++++>，由（1）得：1xe x ≥+， 所以22(1)x e x ≥+，所以2111xx e x +<+，(0,1)x ∈， 321(4cos 1)x x x ax x x e ++++->31(4cos 1)1x ax x x x +++-+34cos 1x x ax x x x =++++21(4cos )1x x x a x =++++令21()4cos 1h x x x a x =++++，则21()24sin (1)h x x x x '=--+， 令()24sin I x x x =-,则()24cos 2(12cos )I x x x '=-=-, 当(0,1)x ∈时，1cos cos1cos32x π>>=，所以12cos 0x -<，所以()0I x '<，所以()I x 在(0,1)上为减函数，所以()(0)0I x I <=，则()0h x '<，所以()h x 在(0,1)上为减函数，因此，3()(1)4cos12h x h a >=++，因为4cos14cos 23π>=，而72a ≥-， 所以34cos102a ++>，所以()0h x >，而(0,1)x ∈，所以()1f x x >+. 22.解：（1）圆O 的参数方程为2cos 2cos x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数），由2cos21ρθ=得：222(cossin )1ρθθ-=，即2222cos sin 1ρθρθ-=，所以曲线C 的直角坐标方程为221x y -=.（2）由（1）知(1,0)M -，(1,0)N ，可设(2cos ,2sin )P αα，所以22||||PM PN +=2222(2cos 1)(2sin )(2cos 1)(2sin )αααα+++-+54cos 54cos 10αα=++-=所以22||||PM PN +为定值10.23.解：（1）由(2)(4)6f x f x ++≥得：|21||3|6x x -++≥， 当3x <-时，2136x x -+--≥，解得3x <-；当132x -≤≤时，2136x x -+++≥，解得32x -≤≤-； 当12x >时，2136x x -++≥，解得43x ≥；综上，不等式的解集为4{|2}3x x ≤-≥或.（2）证明：()(1)|1||f ab f a b ab a b >-+⇔->-， 因为||1a <，||1b <，即21a <，21b <， 所以22|1|||ab a b ---=2222212a b ab a ab b -+-+-=22221a b a b --+=22(1)(1)0a b -->，所以22|1|||ab a b ->-，即|1|||ab a b ->-，所以原不等式成立.。