第3课时 二次根式的加减
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2.7 二次根式(第3课时)北师大版数学八年级上册教学课件
（2）
12 3 1 3
1 解：(1) 10
10
4 (2) 3
3
(3) 10
1．化简：
（1） 3 3 75
（3） 2 12 48
（5）
3 2 23
随堂练习
（2） （4）
12 1 2
2 50 32 9
解：(1)-2 3
(2)2 3- 2
2
(3) 0
(4) 4 2 (5) 5 6
3
6
随堂练习
第二章实数
7.二次根式（3）
学习目标
1 ．巩固对二次根式的四则混合运算的掌握； 2 ．学会应用整式的运算法则进行二次根式的运算.
复习巩固
1 ．同类项定义①：所含字母相同，②相同字母次数相同
2 ．化简8： 2 =2
1；8 3 2=
；
12
32 4 2=
2； 2 =
.
探究新知
同类二次根式 一个二次根式，化简为最简二次根式后，如果被开方 数相同，称它们为同类二次根式.
（1） (2 3 2)(3 6 2)
（2） 3 2(2 12 4 1 3 48)
8
解： （1） 16 2 4 6
（2）48 6 6
随堂练习
4 ．问题解决 如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形的面积， 你有哪些方法，与同伴交流． （1）直接求法．
（2）间接求法．
随堂练习
（1）直接求法．
探究新知
二次根式的加减运算 二次根式加减运算步骤： (1)把各个二次根式化成最简二次根式； (2)把各个同类二次根式合并（系数相加减）.
二次根式的加减运算
计算： ①
48
3；② 5
《二次根式的加减》_完美课件
第三步的依据是：合并同类项．
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例2 计算：
讲授新课
（1）（ 2+3）（ 2-5） ；（2）（ 5+ 3）（ 5- 3）．
解：（2）（ 5+ 3）（ 5- 3）=（ 5）2 -（ 3）2
= 5-3= 2 ．
思考1：（2）中，每一步的依据是什么？
（2）先算除，再化简，若有相同的二次根 式进行合并，把所有的二次根式化成最简二次根式．
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讲授新课
例2 计算： （1）（ 2+3）（ 2-5） ；（2）（ 5+ 3）（ 5- 3）．
8+ 18=2 2+3 2 =（2+3） 2=5 2
化为最简 二次根式
用分配 律合并
整式 加减
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讲授新课
二次根 式性质
分配律
整式加 减法则
8+ 18=2 2+3 2 =（2+3） 2=5 2
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讲授新课
算式 8+ 18与算式 3 2- 2 有什么相同点与不同
点？ 请化简算式
8+
18 ，并说出每一步化简的理由.
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二次根式的加减法课件
02 二次根式的化简
合并同类二次根式
合并同类二次根式的方法是将具有相同底数的二次根式进行合并，将其系数相加减。 合并同类二次根式时，需要注意根式下的表达式是否相同，以确保合并的正确性。
合并同类二次根式可以简化表达式，使其更易于计算和理解。
二次根式的系数化 简
二次根式的系数化简是指将二次 根式前的系数进行简化，使其更
在日常生活中的应用
二次根式在解决几何问题时经常出现， 如计算图形的面积、周长等。
在解决实际问题时，如计算平均数、 标准差等，也需要用到二次根式的加 减法。
在物理学中的应用
在解决物理问题时，如计算力的合成 与分解、加速度等，也需要用到二次 根式的加减法。
04 二次根式的混合 运算
二次根式与有理数的混合运算
容易进行计算。
化简二次根式的系数时，可以通 过因式分解、提取公因数等方法
进行简化。
化简后的二次根式更易于计算， 也可以更好地理解其数学意义。
二次根式的分母化 简
二次根式的分母化简是指将二 次根式中的分母进行简化，使 其更容易进行计算。
化简二次根式的分母时，需要 注意分母不能为零，并且要确 保化简后的分母有意义。
二次根式的加减法课件
目录
• 二次根式的加减法概述 • 二次根式的化简 • 二次根式的加减运算 • 二次根式的混合运算 • 习题与解答
01 二次根式的加减 法概述
二次根式的定义与性质
总结词
理解二次根式的定义和性质是进行加减法运算的基础。
详细描述
二次根式是指形如√a（a≥0）的数学表达式，其中“√”表示平方根运算。二次根式具有非负性，即被开方数必 须是非负数。此外，二次根式还具有非负数的性质，即当a≥0时，√a≥0。
二次根式的加减
_________；
2
（3）10 2 + (3 8 − 7 2) =9_______；
4 3−6 2
（4）5 12 − 3 8 + 2 27 = __________.
随堂训练
8.若最简根式
2+1
3 − 2 与 3 可以合并，求 的值.
2 + 1 = 2,
解：积为（2+3） 2=5 2（2 ）.
2 2+3 2= （2+3） 2
也可由分配律得出：
2 2+3 2= （2+3） 2= 5 2.
新课导入
议一议
问题2：如果两个正方形的面积分别是18和8，那么大正
方形的边长比小正方形的边长大多少？
此问题需要计算 18 − 8，但由于 18， 8不是最简二次根式，先把它们
上面提到的3 2与2 2， 18与 8都是同类二次根式.
同类二次根式可以像同类项那样进行合并.
知识讲解
思考： 观察新课导入两个问题的计算过程，你能总结出二次根式
加减计算的过程吗？
二次根式的加减
一般地，二次根式相加减，先把各个二次根式分别化成最简二次根
式，然后再将同类二次根式分别合并.有括号时，要先去括号.
1
1
＝ 48 − 4
−3
+ 4 0.5
8
3
＝2 11 − 3 11 − 11 2
2
3
2
＝4 3 − 4 ×
−3×
+4×
4
3
2
＝ − 11 − 11 2.
＝4 3 − 2 − 3 + 2 2
＝3 3 + 2.
随堂训练
2
（3）10 2 + (3 8 − 7 2) =9_______；
4 3−6 2
（4）5 12 − 3 8 + 2 27 = __________.
随堂训练
8.若最简根式
2+1
3 − 2 与 3 可以合并，求 的值.
2 + 1 = 2,
解：积为（2+3） 2=5 2（2 ）.
2 2+3 2= （2+3） 2
也可由分配律得出：
2 2+3 2= （2+3） 2= 5 2.
新课导入
议一议
问题2：如果两个正方形的面积分别是18和8，那么大正
方形的边长比小正方形的边长大多少？
此问题需要计算 18 − 8，但由于 18， 8不是最简二次根式，先把它们
上面提到的3 2与2 2， 18与 8都是同类二次根式.
同类二次根式可以像同类项那样进行合并.
知识讲解
思考： 观察新课导入两个问题的计算过程，你能总结出二次根式
加减计算的过程吗？
二次根式的加减
一般地，二次根式相加减，先把各个二次根式分别化成最简二次根
式，然后再将同类二次根式分别合并.有括号时，要先去括号.
1
1
＝ 48 − 4
−3
+ 4 0.5
8
3
＝2 11 − 3 11 − 11 2
2
3
2
＝4 3 − 4 ×
−3×
+4×
4
3
2
＝ − 11 − 11 2.
＝4 3 − 2 − 3 + 2 2
＝3 3 + 2.
随堂训练
《二次根式的加减》课件
VS
详细描述
在进行二次根式的加减运算时，有时需要 对二次根式进行合并或简化。学生在合并 或简化过程中，容易出错，导致计算结果 错误。例如，将$sqrt{5} + sqrt{2}$错误 地合并为$sqrt{7}$，或将$sqrt{4} sqrt{9}$错误地简化为$3 - 2$。
PART 05
练习与巩固
2023 WORK SUMMARY
《二次根式的加减》 ppt课件
REPORTING
目录
• 二次根式的加减概述 • 二次根式的加减运算方法 • 二次根式的加减运算实例 • 二次根式的加减易错点解析 • 练习与巩固
PART 01
二次根式的加减概述
二次根式的加减定义
定义
二次根式的加减运算是指将具有 相同被开方数的二次根式进行合 并或分离的过程。
计算
$(sqrt{5} + 2sqrt{2})(sqrt{5} 2sqrt{2})$
计算
$(sqrt{3} + sqrt{2})^{2}$
计算
$(sqrt{5} - sqrt{3})^{2}$
综合练习题
解方程
$3sqrt{2}x = 4sqrt{3}x$
解方程
$(sqrt{3} + sqrt{2})x = 5$
THANKS
感谢观看
REPORTING
解方程
$(sqrt{5} - sqrt{3})x^{2} - (sqrt{5} + sqrt{3})x = 0$
解方程组
${begin{array}{l}sqrt{2}x - sqrt{6}y = 4 sqrt{3}x + sqrt{5}y = 7 end{array}$
《二次根式的加减》课件PPT3
16.3 二次根式的加减
• 学习目标： 1．探索二次根式加减运算的方法和步骤； 2．会进行二次根式的加减运算．
• 重点：应用分配律进行二次根式的加减运 算． 难点：准确计算，化简二次根式。
一、新课引入
1、化简下列二次根式：
（1） 80 =_4__5__；（2）45 =_3__5_；
（3）9a =_3__a__；（4） 25a =_5__a__.
减
＝（ 3 + 5 ) a （ 分配 律）
法 则
＝8 a
（合并）
研读课文
练一练 计算
二 (1)2 7 6 7 (2) 80 20 5
次 解：（1）2 7 6 7
根 式
2 6 7
的
4 7
加
(2) 80 20 5
减 法
4 52 5 5
则
(4 2 1) 5
3 5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
研读课文
例2 计算
计算 (1) 2 12 6 1 3 48
2、猜想：
4 5 －3 5 ＝ _5_ ；3 a ＋ 5 a ＝8 _a_ .
二、研读课文
认真阅读课本第12页的内容，完成下面练习并体 验知识点的形成过程.
问题 现有一块长为7.5dm、宽为5dm的木板，能 否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积 分别是8d㎡和18d㎡的正方形木板？
解：因为小正方形木板的边长分别 为 8dm和 18dm， 所以木板够宽.我们只需考虑木板是否够长.
四、强化训练
计算
（1） 18 32 2
解：原式= 3 2 4 2 2
0
（2） 75 54 96 108 解：原式=5 3 3 6 4 6 6 3
3 6
• 学习目标： 1．探索二次根式加减运算的方法和步骤； 2．会进行二次根式的加减运算．
• 重点：应用分配律进行二次根式的加减运 算． 难点：准确计算，化简二次根式。
一、新课引入
1、化简下列二次根式：
（1） 80 =_4__5__；（2）45 =_3__5_；
（3）9a =_3__a__；（4） 25a =_5__a__.
减
＝（ 3 + 5 ) a （ 分配 律）
法 则
＝8 a
（合并）
研读课文
练一练 计算
二 (1)2 7 6 7 (2) 80 20 5
次 解：（1）2 7 6 7
根 式
2 6 7
的
4 7
加
(2) 80 20 5
减 法
4 52 5 5
则
(4 2 1) 5
3 5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
研读课文
例2 计算
计算 (1) 2 12 6 1 3 48
2、猜想：
4 5 －3 5 ＝ _5_ ；3 a ＋ 5 a ＝8 _a_ .
二、研读课文
认真阅读课本第12页的内容，完成下面练习并体 验知识点的形成过程.
问题 现有一块长为7.5dm、宽为5dm的木板，能 否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积 分别是8d㎡和18d㎡的正方形木板？
解：因为小正方形木板的边长分别 为 8dm和 18dm， 所以木板够宽.我们只需考虑木板是否够长.
四、强化训练
计算
（1） 18 32 2
解：原式= 3 2 4 2 2
0
（2） 75 54 96 108 解：原式=5 3 3 6 4 6 6 3
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人教版《二次根式的加减》PPT精美课件初中数学ppt
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
知识回顾
二次根式的除法法则： a a （a≥0，b>0）. bb
拓展： a b c d (a c) b d (b 0, d 0,c 0)
a b c a b c(a 0,b 0,c 0)
知识回顾
二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，可以先将二次
1
3
4x
x3
x
4
23 33
3
3
第一组被开方数都是3
2x xx
x
2
第二组被开方数都是x
新知探究
知识点1：可以合并的二次根式
可以合并的二次根式：将二次根式化成最简二次根式，若 二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
D.
（1）
（2）
A. 18 8 7 2 93
B. 8 18 4 9 5 2
C. 2 2 2 2 33
D. 1 3 2 3 2
C.
随堂练习
3.计算： （1）2 7 6 7
解：（1）
（2） 80 20 5
课堂小结
二 次 根 式 的 加 减
合并二 次根式
条件：被开方数相同. 运算：分配律的逆向运算.
所以 2 2 3 2 5 2<7.5.
可以用这块木板截出面 积为8dm2 和18dm2的两 5dm 个正方形.8dm2
8dm2 18dm2
新知探究
知识点2：二次根式的加减
二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，可以先将二次 根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行 合并.
（1）化成最简二次根式后，被开方数不同的二次根式 不能合并； （2）对于不能合并的二次根式，一定不要漏写，要保 持不变，它们也是结果的一部分.
知识回顾
二次根式的除法法则： a a （a≥0，b>0）. bb
拓展： a b c d (a c) b d (b 0, d 0,c 0)
a b c a b c(a 0,b 0,c 0)
知识回顾
二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，可以先将二次
1
3
4x
x3
x
4
23 33
3
3
第一组被开方数都是3
2x xx
x
2
第二组被开方数都是x
新知探究
知识点1：可以合并的二次根式
可以合并的二次根式：将二次根式化成最简二次根式，若 二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
D.
（1）
（2）
A. 18 8 7 2 93
B. 8 18 4 9 5 2
C. 2 2 2 2 33
D. 1 3 2 3 2
C.
随堂练习
3.计算： （1）2 7 6 7
解：（1）
（2） 80 20 5
课堂小结
二 次 根 式 的 加 减
合并二 次根式
条件：被开方数相同. 运算：分配律的逆向运算.
所以 2 2 3 2 5 2<7.5.
可以用这块木板截出面 积为8dm2 和18dm2的两 5dm 个正方形.8dm2
8dm2 18dm2
新知探究
知识点2：二次根式的加减
二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，可以先将二次 根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行 合并.
（1）化成最简二次根式后，被开方数不同的二次根式 不能合并； （2）对于不能合并的二次根式，一定不要漏写，要保 持不变，它们也是结果的一部分.
《二次根式的加减》二次根式PPT优秀课件3
●聚焦主题合作探究
探究点一 二次根式加减运算法则
活动一：阅读教材第14页，相互交流思考 下列问题 ：
（1）问题中的列式计算应该如何计算？ （2）在计算时每一步的理论依据是什么 ？能够合并的二次根式有什么特征？
【小组讨论1】
（1）用语言归纳出计算的每一步； （2）二次根式的合并需要注意些什么？
●当堂检测反馈矫正
【答案】
●课后作业测评：
• 上交作业：教科书第17页第1,2题 ．
• 课后作业：“学生用书”的“课后评价 案”部分．
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
励志学习的名言警句 1、在强者的眼中，没有最好，只有更好。 2、成功是努力的结晶，只有努力才会有成功。 3、只有一条路不能选择——那就是放弃的路；只有一条路不能拒绝——那就是成长的路。 4、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。 5、生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。 6、忍别人所不能忍的痛，吃别人所别人所不能吃的苦，是为了收获得不到的收获。 7、没有天生的信心，只有不断培养的信心。 8、成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。 9、自己打败自己的远远多于比别人打败的。 10、当一个小小的心念变成行为时，便能成了习惯，从而形成性格，而性格就决定你一生的成败。 11、忍耐力较诸脑力，尤胜一筹。 12、高峰只对攀登它而不是仰望它的人来说才有真正意义。 13、你可以这样理解impossible（不可能）——I'm possible（我是可能的）。 14、自己打败自己是最可悲的失败，自己战胜自己是最可贵的胜利。 15、你可以选择这样的三心二意：信心恒心决心；创意乐意。 16、成功与不成功之间有时距离很短——只要后者再向前几步。 17、呈概率分布，关键是你能不能坚持到成功开始呈现的那一刻。 18、书是易事，思索是难事，但两者缺一，便全无用处 19、动是成功的阶梯，行动越多，登得越高。 20、天比昨天好，就是希望。 21、力的人影响别人，没能力的人，受人影响。 22、做的事情总找得出时间和机会； 23、要自卑，你不比别人笨。不要自满，别人不比你笨。 24、面对机遇，不犹豫；面对抉择，不彷徨；面对决战，不惧怕！ 25、个人先从自己的内心开始奋斗，他就是个有价值的人。 26、超越自己，向自己挑战，向弱项挑战，向懒惰挑战，向陋习挑战。 27、不必每分钟都学习，但求学习中每分钟都有收获。 28、取时间就是争取成功，提高效率就是提高分数。 29、紧张而有序，效率是关键。 30、永远不要以粗心为借口原谅自己。
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解：(1)因为最简二次根式 2a＋b与a－1 3a－4能够合并， 所以a－1＝2，2a＋b＝3a－4， 解得a＝3，b＝－1. (2)因为a＝3，b＝－1，
所以a＝2＋b2－2 ＝ 32＋－12 －2＝2 2.
返回
题型 3 二次根式的加减在求代数式值中的应用
18．已知x＝ 5 －1，y＝ 5 ＋1，求代数式x2＋xy＋y2 的值． 解：因为x＝ 5 －1，y＝ 5 ＋1， 所以x＋y＝2 5 ，xy＝4. 所以x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝20－4＝16. 返回
A. Bab.
bC.
4
a
a2bD2.
1 ab
6．若最简二次根式 4 10－2m 与 m＋4 可以进行合并，
则m的值为( D )
A．－1 B．0C．1 D．2
返回
知识点 2 二次根式的加减
7．合并化简后的被开方数相同的二次根式与合并同类项
类似，把根号外的因数(式)___相__加___，根指数和被开
方数___不__变___．
题型 4
二次根式的加减在确定整数 部分、小数部分中的应用
19．已知7＋ 5 和7－ 5 的小数部分分别为a，b，试求 代数式ab－a＋4b－3的值． 解：因为 5 的整数部分为2， 所以7＋ 5 ＝9＋a，7－ 5 ＝4＋b， 即a＝－2＋ 5 ，b＝3－ 5 .
所以ab－a＋4b－3＝(－2＋ 5 )(3－ 5 )－(－2＋ 5 ) ＋4(3－ 5 )－3＝－11＋5 5 ＋2－ 5 ＋12－4 5 － 3＝0.
原式 ＝1＋2 2－ 2－1＝ 2；
(3) 5 x＋ 1 x＋2x 1；
24
x
原式 ＝5 x＋1 x＋2 x＝ 29 x；
4
4
(4) 1 200－2 0.08－4 0.5＋ 2 72
10
5
原式 ＝ 2－ 2 2－2 2＋12 2＝ 2.
5
5
返回
题型 2 被开方数相同的二次根式在求字母值中的应用
17．已知最简二次根式 2a＋b与a－1 3a－4 能够合并． 求：(1)a，b的值； (2) a2＋b2－2 的值．
A. 6 B.
9
C. 12 D.
3
2
返回
3．(中考•龙岩)与－ 5 能合并的是( C )
A.
10 B.
15
C.
20 D.
25
4．(中考•凉山州)下列根式中，不能与
A. B. 1 3
C. 3 3
D. 2 3
3 合并的是( C ) 12
返回
5．下列根式中，化成最简二次根式后不能与 ab (a>0，
b>0)合并的是( C )
返回
数形结合思想
2
20．已知a，b，c满足 a－ 8 ＋ b－5＋ c－3 2 ＝0. (1) 求a，b，c的值． (2) 以a，b，c为三边长能否构成三角形？若能构成三
角形，请说明理由并求出其周长；若不能构成三
角形，请说明理由．
【思路点拨】(1)若几个非负数的和为零，则这几个
非负数必同时为零；(2)根据三角形三边之间的关系
C． 2 3＋10 2
D． 4 3＋5 2或2 3＋10 2
返回
题型 1 二次根式的加减在计算中的应用
16．计算：
(1)
1 2
12－3
1＋ 3
2 ；
原＝式1 (＝312＋
2 3－3 2 )；
3＋ 3
2
＝
1 2
2
3－
3＋
2
2
(2)(中考•茂名) －1 ＋ 2016 8－|－ 2 |－(－3.14)0；
其步骤为：先将二次根式化成_____最__简__二__次__根__式_，再将
_______被__开__方__数__相_的同二次根式进行合并．
返回
8．(中考•桂林)计算 3 5－2 5的结果是( A )
A. B．5
2 C5． 3 5D．6
9．(中考•东营)下列运算正确的是( B )
A．(x－y)2＝x2－y2
3
C.
3
D.
3
3－ 2
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14．下列说法正确的是( D ) A．两个无理数的和一定是无理数 B．两个无理数的差一定是无理数 C．两个无理数的积一定是无理数 D．一个有理数与一个无理数的和一定是无理数
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15．等腰三角形的两条边长分别为 2 3 和 5 2 ，则这个
三角形的周长为( C )
A． 4 3＋5 2 B． 2 3＋5 2
xy2 1 ＝2xy( y 0) 2y
C． 2 x＋3 y＝5 xy(x 0，y 0)
D．(xy3)2＝x2y6
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12．(中考•营口)化简 27＋ 3－ 2
C．－
2D．3 2 3
13．计算 4 1＋3 1－ 8 的结果是( B ) 23
A.
3＋ 2 B.
B．
| 3－2 |＝2－ 3
C．
8－ 3＝ 5 D．－(－a＋1)＝a＋1
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10．(中考•枣庄)下列计算，正确的是( D )
A. 8－ 2B＝. 6
1－2 ＝－3
2
2
C. 3 8＝2 2 D.
1 2
－1
＝2
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11．(中考•广州)下列计算正确的是( D )
A．
x2 y2
＝
x y
(
y
0)
B．
进行判断．
解：(1)因为
2
a－ 8 0，b－5 0，c－3
2 0，
2
a－ 8 ＋ b－5＋ c－3 2 ＝0，
所以a－ 8＝0，b－5＝0，c－3 2＝0. 所以a＝ 8＝2 2，b＝5，c＝3 2.
(2)能．理由如下： 因为a＜c＜b， a＋c＝2 2＋3 2＝5 2，b＝5， 所以a＋c＞b. 又b－c＝5－3 2＜a＝2 2， 所以能构成三角形，其周长为a＋c＋b＝5 2 ＋5.
第二章 实数
2.7 二次根式 第3课时 二次根式的加减
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知识点 1 被开方数相同的最简二次根式
1．将二次根式化成__最__简__二__次__根__式__，如果被开方数相同，
那么这样的二次根式可以合并．
2．在下列二次根式中，与 3 能合并的是( C )
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