二次函数的最值问题举例(附练习、答案)

二次函数的最值问题举例（附练习、答案） 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a

=-处取得最大值2

44ac b a

-，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．

【例1】当22x -≤≤时，求函数2

23y x x =--的最大值和最小值．

分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．

解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =．

【例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．

解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-．

由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．

根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：

【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．

解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象．

可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值．

所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-．

【例4】当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置． 解：函数21522

y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时： 当x t =时，2min 1522

y t t =

--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时： 当1x =时，2min 1511322

y =

⨯--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：

当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-．

综上所述：2213,0

23,0115,12

2t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩

在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：

【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．

(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；

(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元，

那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又1623m x =-． 2 (30)(1623)32524860,3054y x x x x x ∴=--=-+-≤≤

(2) 由(1)知对称轴为42x =，位于x 的范围内，另抛物线开口向下 ∴当42x =时，2max 342252424860432y =-⨯+⨯-=

∴当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．

A 组

1．抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点．

2．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．

3．求下列二次函数的最值：

(1) 2245y x x =-+；

(2) (1)(2)y x x =-+． 4．求二次函数2235y x x =-+在22x -≤≤上的最大值和最小值，并求对应的x 的值．

5．对于函数2243y x x =+-，当0x ≤时，求y 的取值范围．

6．求函数3y =-

7．已知关于x 的函数22(21)1y x t x t =+++-，当t 取何值时，y 的最小值为0？

B 组

1．已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上．

(1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值； (2) 当a 为实数时，求函数的最大值．

2．函数223y x x =++在0m x ≤≤上的最大值为3，最小值为2，求m 的取值范围．

3．设0a >，当11x -≤≤时，函数2

1y x ax b =--++的最小值是4-，最大值是0，求,a b 的值．

4．已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值．

5．求关于x 的二次函数221y x tx =-+在11x -≤≤上的最大值(t 为常数)．

第五讲 二次函数的最值问题答案

A 组

1．4 14或2，32

2．2

216

l m 3．(1) 有最小值3，无最大值；(2) 有最大值

94，无最小值． 4．当34x =时，min 318

y =；当2x =-时，max 19y =． 5．5y ≥-

6．当56x =时，min 36y =-；当23

x =或1时，max 3y =． 7．当54

t =-

时，min 0y =． B 组

1．(1) 当1x =时，min 1y =；当5x =-时，max 37y =．

(2) 当0a ≥时，max 2710y a =+；当0a <时，max 2710y a =-．

2．21m -≤≤-．

3．2,2a b ==-．

4．14

a =-或1a =-． 5．当0t ≤时，max 22y t =-，此时1x =；当0t >时，max 22y t =+，此时1x =-．