2018届重庆中考复习：二次函数相关的最值问题练习(含答案)
二次函数相关的最值问题2例1.如图，抛物线y = —x —4x+ 5与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点. 求直线AC的解析式及顶点D的坐标；若Q为抛物线对称轴上一动点，连接QA QC求|QA—QC|的最大值及此时点Q的坐标;(3)连接CD点P是直线AC上方抛物线上一动点(不与点A、C重合)，过P作PE//x轴交直线AC于点E,作PF//CD交直线AC于点F,当线段PE+ PF取最大值时，求点P的坐标及线段EF的长；⑷在⑶K,连接0L3问的条件下，将KH求线段(5)在⑶+ P' E'+ E 问的条件下，将线段PE沿着直线B取最小值时点E'的坐标.针对训练2 1 .如图，直线y= kx + b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A( —4, 0)、B(0 , 3)，抛物线y=—x + 2x + 1与y 轴交于点C.⑴求直线y = kx + b的解析式；(2) 若点P(x , y)是抛物线y = —x2+ 2x+ 1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x 的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；(3) 若点E在抛物线y = —x2+ 2x + 1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+ EF的最小值.2 .如图①，已知抛物线y =—身x2+ ^3~x + 3与x轴交于A, B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD过点D作DH Lx轴于点H,过点A作AEL AC 交DH的延长线于点E.⑴求线段DE的长度；(2)如图②，试在线段AE上找一点F,在线段DE上找一点P,且点M为线段PF上方抛物线上的一点，求当△ CPF的周长最小时，△ MPF面积的最大值是多少.① ②3.如图，对称轴为直线x= 2的抛物线经过A( —1, 0) , C(0, 5)两点，与x轴另一交点为B.已知M(0, 1), E(a，0)，F(a + 1, 0)，点P是第一象限内的抛物线上的动点.(1)求此抛物线的解析式；4. 已知，如图，二次函数y = ax2+ 2ax—3a(a丰0)图象的顶点为H,与x轴交于A B两点(B点在A点右侧)，点H B关于直线I : y = #x + 3对称.(1) 求A、B两点坐标，并证明点A在直线I上；(2) 求二次函数的解析式；(3) 过点B作直线BK// AH交直线I于点K, M N分别为直线AH和直线I上的两个动点，连接HN NM MK求HW NW MK和的最小值.1 2 l5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= —2X + 2x + 3与x轴交于A, B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,连接BC,过点A作AD// BC交y轴于点D.⑴求平行线AD BC之间的距离；(2)点P为线段BC上方抛物线上的一动点，当△ PCB的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到直线BC上点M处，再沿垂直于直线BC的方向运动到直线AD上的点N处，最后沿适当的路径运动到点B处停止•当点Q的运动路径最短时，求点Q经过的最短路径的长.6. 如图，抛物线y= —fx2—9x + 3 3交x轴于A B两点，交y轴于点C,点Q为顶点，点D为点C关于对称轴的对称点.⑴求点D的坐标和tan / ABC的值；(2)若点P是抛物线上位于点B D之间的一个动点(不与B D重合)，在直线BC上有一动点E,在x 轴上有一动点F.当四边形ABPD的面积最大时，一动点G从点P出发以每秒1个单位的速度沿iE^F的G 路径运动到点F,再沿线段FA以每秒2个单位的速度运动到在运动过程中所用时间最少？二次函数相关的最值问题答案2 2 2例 1.解：(1) T y = —x —4x + 5 =—(x + 4x) + 5 =—(x+ 2) + 9, •- D( —2, 9).当x = 0 时，y = 5,二qo , 5).当y = 0 时，X1= 1, x = —5,「. A—5, 0), B(1 , 0),• y AC= x + 5;(2)因为点Q在抛物线对称轴上，由抛物线对称性知QA= QB由C(0 , 5)和政1 , 0)可求得y BC=—5x + 5 ,根据三角形三边关系可知，当点Q, C, B三点共线时，| QE—QC最大，即| QA- QC最大，可求直线y BC=—5x+ 5与抛物线对称轴交点Q为(—2 , 15),此时| QA- QC最大值=BC= 26.解：(3)过P作PQ// y轴，交AC于Q 再作FML PQ于M如图①,直线AC y= x + 5，设P(t , —t2—4t + 5) , Qt, t + 5),• PQ= ( —t2—4t + 5) —(t + 5) = —t2—5t.•••/ PEF=Z CAO= 45°,「. PE= PQ=—t2—5t ,1■/ PF/ CD • k cD=—2 = k pF, • tan / MP= 2，设FM= n = MQ 贝卩PM= 2n, PQ= 3n, PF= 5n,即PF=^PQ • PE^ PF= (3 + 5)n= (1 +£)PQ•••当PQ最大时，P曰PF取最大值，而PQ=—t2—5t = PE=—t + 2 + 25,P曰PF取最大值,此时P - 2354，EF= 2PM k(4)如图②：在⑶ 问的条件下, 5 35 -2盲，••• H—2，8［，作H关于y轴的对称点H,作O关于抛物线对称轴对称点O,所以0( —4, 0)，H 2，8，连接0H,贝U 0H长即为0』LK+ KH的最小值,直线0H: y = 16 64 —x亠13 十13,•直线0H与抛物线对称轴交点即为L点的位置，此时0L+ LK+ KH的最小值=0H= 討17;(5)在(3)问的条件下,P，E= PE= 25,⑵ 过点P 作PH L AB 于点H 过点H 作x 轴的平行线 MN 分别过点 A P 作MN 的垂线段，垂足分别为 M N⑶ 抛物线的对称轴为直线 x = 1,作点C 关于直线x = 1的对称点 C ，过点C'作C F 丄AB 于F .过点F 作JK// x 轴，分别过点 A 、C'作AJ L JK 于点J , C K 丄JK 于点K 则C (2 , 1).3 设 F (m 4m 1 3),•/ C F L AB •••/ AFJ+Z C FK= 90°,T C K 丄 JK ,「./ C'+/ C' FK= 90 ° ,•••/ C ，=Z AFJ,vZ J = Z K = 90°,.山 AF4A FC K37m* 3 , c 4 m * 4 82 — m =3 ,解得 m=亦或 m=- 4(不符合题意，舍去).；m * 2414,••<' (2 , 1)，• FC = £1 C 曰EF 的最小值=C F =質5在线段PE 平移过程中，PE 即P' E'长度不变,D f将DP 沿P' E'向右平移 PE 的长即 单位，得到D E',如图③,则四边形D' DP E'为平行四边形， 故 DP = D' E',要使得 DP * P' E'+ E'B 最小，即 DP * E'B 最小, 即要使D' E'* E'B 最小，当D',E', B 三点共线时，D' E ' * E'B 最小， 设D' B 与直线AC 交于点E 〃.门7 、3636 由题意知D , 9，直线BD : y =-\ 101 ，即点E'的坐标为（灰 ， 23••• E 〃 23， 针对训练：1. 解: 4216 23" 13'216 _2?)'/ f ,么 0B(1) •••直线 y = kx * b 经过 A - 4 , 0)、B (0 , 3), 3 k = 4，34•- y =4X * 3.••厂 4k * b = 0，解得]b = 3，[b = 3.3 33设 H (m 4m * 3)，贝U M — 4, 3) , N (x , 4m * 3), P (x , - x 2+ 2x + 1).•/ PHLABPHN-Z AHI = 90° ,••• AM L MN MA *Z AHI = 90° .• Z MA ==Z PHN T Z AM =Z PN = 90° , •△ AMH^A HNP ••• MA/ y 轴，•△ MA HA OBANH PN PH• △ OBA^ NHP •H B 32(；m * 3)- (- x * 2x * 1)x - m 4d :5.A 4 2 8 57整理得：d = x - x*;，所以当x=：时，d 取最小值，此时 5 5 119 只8,丽).>X>?=-^+2^+1• AJ _ _J^ • F T CK • F (285,NE；O2.解：(1)对于抛物线 y =—fx 2 + + 3,令 x = 0,得 y = ^3,g 卩 qo ,西),D 2，护), • DH= 3, 令 y = 0,即一+ - x + 3 = 0，得 X 1=— 1 , X 2= 3 ,• A — 1, 0), B (3 , 0), v AE! AC EH! AH • △ AC®A EAH•匹O 即二=i AH EH 3 EH解得：EH= 3 ,则 DE= 2 3;⑵如图②，找点 C 关于DE 的对称点N(4，羽)，找点C 关于AE 的对称点G — 2，—护), 连接GN 交AE 于点F ,交DE 于点P ,即G F 、P N 四点共线时，△ CPF 的周长=CF F PF + CP= GF F PF + PN 最小， 直线GN 的解析式：y =f x —电3;直线 AE 的解析式：y =过点M 作y 轴的平行线交 FH 于点Q 设点 Mm — fm + ^y^m F 3), 则 Qm fm-1x/3 2 V 3 4 \[3&MF = S ^MQF + S ^MQ = ~MQ< 2= MQ =—〒m + wm+ ~3^2 3 3 3 1 1•••对称轴为直线 m = 2,而O w 寸2,抛物线开口向下，• m= *时，△ MPF 的面积有最大值，为 —12*--3.解：(1) T 对称轴为直线 x = 2,「.设抛物线解析式为 9m+ k=0 解得 P=— J • y =— (x — 2)2 +9=— x 2+ 4x + 5.4m + k = 5 ,k = 9 ,2 ••• M 0 , 1) , C (0 , 5), △ PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，•••点P 的纵坐标为3.令y =— x 2 + 4x + 5= 3,解得x = 2± . 6. v 点P 在第一象限，二P (2 +'. 6, 3). 四边形PMEF 勺四条边中，PM EF 长度固定，因此只要 MB PF 最小，则四边形 PMEF 勺周长最小. 如图，将点M 向右平移1个单位长度(EF 的长度)，得M (1 , 1); 作点M 关于x 轴的对称点M ,则M (1 , — 1);连接P 皿与x 轴交于F 点，此时 MEF PF = PM 最小.设直线PM 的解析式为y = mx+ n ,将P (2 + 6, 3) , M (1 , — 1)代入得：联立得：F (0,P (2 ,-fx —电3;直线DE 的解析式：x = 2.D 〒N将 A ( — 1 , 0) , C (0 , 5)代入得: < 2)；5.解：⑴令 y = 0,即一夕2+〔 2x + 3= 0,解得：x i =— 2, X 2 = 3 厶 2,• A — 2, 0) , B (3 .2, 0) ,••当 x = 0 时，y = 3 , • C (0 , 3),在 Rt △ BOC 中, BO= 3 2 , CO= 3, • BC = 3 3 ,:(2+&) n = 3 ,n =— 1,46 — 4 4 6+ 1解得：m =, n = ----- :5 54 \IQ — 44 \[Q + 1• y =^^x —^^.当y = 0时，解得x =」+^. • H 亠6+5, 0).• a + 1=¥, • a =亍.• a =¥时, 4 4 4四边形PME 周长最小.y八c\AjO E ；/FM224.解：(1)依题意，得 ax + 2ax — 3a = 0(a z 0),解得 刘=—3 , X 2= 1 , • B 点在A 点右侧，二A 点坐标为(一3 , 0), B 点坐标为(1 , 0), 证明：••直线l : y =£x + 3 , 当 x =— 3 时，y =f x ( — 3) + 3= 0，•点 A 在直线 I 上. ⑵过顶点H 作HCL AB 交AB 于 C 点， ••点H 、B 关于过A 点的直线l : y = -3-x + 3对称，• AH = AB= 4 , 又••点H 为抛物线顶点，则点 H 在抛物线对称轴上， • AHh BHh AB= 4.在 Rt △ ACH 中, 由勾股定理得 c* ,A H — A C = 2 3, •顶点 H ( — 1 , 2 3), 代入二次函数解析式，解得 a =— -2，•二次函数解析式为 y =— -^x 2— 3x +宁(3)直线AH 的解析式为y = 3x + 3 "3, 直线BK 的解析式为y = .3x — ,3, 由+ ,3,x = 3, 解得1 厂 旳=2羽, y = ,3x — 3 , 即 K (3 , 2 3),贝U ••点H 、B 关于直线 过点K 作KDL x 轴于D,作点K 关于直线AH 的对称点Q 连接QK 交 直线AH 于E , 则 KE= KD= 2 3 , QM= MK QE= EK = 2 3 , AE ± QK • BW MK 的最小值是 BQ 即BQ 的长是HN^ NW MK 的最小值， • BK// AH BK(=Z HE = 90° , 由勾股定理得 QB= 8, • HN^ NW MK 的最小值为8.B2 4, AK 对称，••• HN^ MN 的最小值是MB y/\BD x5 )，••• sin / CB =务.因为 AD// BC •- sin Z BA*sin Z CB&-33.3 过 B 作 BHL AD 于点 H, • sin Z BAD=磐 飞3 , • BH= 6; AB 3 3•平行线AD BC 间的距离为4 品 ⑵过P 作PQ/ y 轴，交BC 于点Q, 设 P (m , — 1m i + 2n u 3), •••直线 BC y =— #x + 3, • Qn - #n u 3), 1 •- S\ PCB = 2 • PQ ・(X B — X C )=当m= —2-时，S\ CPB 最大，此时，R ”3.2-2m +才 3 ■ 2 15厂，T )- m ), 取点B 关于AD 的对称点B',将B'沿B' B 方向平移4■竿3个单位长度得B'',此时B''与点代5子,3—3）重合. 连接HP 交BC 于点M 点M 即为所求. •••（ PMF NW BN 最小=PH+ M = 5937+^V 6 6.解：⑴令一#x 2— |x + 3 3= 0，解得 x i =— 4 3 X 2= 3 ,• A — 4 3, 0) , 0 3, 0),在y =—予2-条+ 3 3中，令x = 0,则y = 3 3, • C (0 , 3 3) , • OC= 3 3, BO= 3, 亠〜 OC 在 Rt △ COE 中, • tan Z AB(= 3, OB由y =— -^x 2 — 4x + 3 3知，对称轴直线为 x =— 3 2" •••点 D( — 3 .3, 3 3);3 y = —4x +⑵ 由耳3 , 0) , Q — 3 3 , 3 3)可得直线BD 解析式 过P 作PK 1 x 轴交BD 于点K ,设P (m —子用—9m+ 3 3),贝U K ( m S 四边形 ABPD = S\ ABD + S A PBD , S A ABD 是定值, • S 四边形 ABPD 最大时, 即 S A PBD 最大. ci3 2 厂 27 S A PBD = 2( X B — X D )( y p — yR =—尹―3 pnu-^ , 3 33—严于),当 m=— 2a =— .3时，S A PBD 最大，此时点 P 坐标为（—.3 , 9 2 3）- 作点 P （-& ,呼 ）关于直线 BC 的对称点 P'（—计,24 ；3以A 为顶点，在x 轴下方作Z BAF 30 ° , 过P'作直线AT 的垂线分别交BC x 轴于点E 、F , 此时，点G 在运动过程中所用时间最少，一 小24点F 坐标为（一布—, 0） •5 )，。
中考数学《二次函数的最值》专项练习题及答案
中考数学《二次函数的最值》专项练习题及答案一、单选题1．定义：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“守望函数”，这对点称为“守望点”.例如：点P(2，4)在函数y =x 2上，点 Q(−2，−4)在函数y =−2x −8上，点P 与点Q 关于原点对称，此时函数y =x 2和y =−2x −8互为“守望函数”，点P 与点Q 则为一对“守望点”.已知函数y =x 2+2x 和y =4x +n −2022互为“守望函数”，则n 的最大值为（ ） A ．2020B ．2022C ．2023D ．40842．已知二次函数y=ax 2+2ax+3a 2+3（其中x 是自变量），当x ≥2时，y 随x 的增大而增大，且-2≤x ≤1时，y 的最大值为9，则a 的值为（ ） A ．1或B ．- 或C ．D ．13．已知二次函数y =ax 2+bx −1（a ，b 是常数，a ≠0）的图象经过A(2，1)，B(4，3)，C(4，−1)三个点中的其中两个点.平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y =x −1上，则平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的（ ） A ．最大值为-1B ．最小值为-1C ．最大值为−12D ．最小值为−124．二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数且a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 y125﹣3﹣4﹣35121）二次函数y=ax 2+bx+c 有最小值，最小值为﹣3；2）当 −12<x <2 时，y ＜0；3）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧．则其中正确结论的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．05．已知二次函数 y =−(x −ℎ)2+4 （h 为常数），在自变量 x 的值满足 1≤x ≤4的情况下，与其对应的函数值 y 的最大值为0，则 h 的值为（ ） A ．和B ． 和C ．和D ． 和6．经过点A （m ，n ），点B （m ﹣4，n ）的抛物线y ＝x 2+2cx+c 与x 轴有两个公共点，与y 轴的交点在x 轴的上方，则当m ＞﹣12时，n 的取值范围是（ ）A ．14<n <4B ．12<n <2C ．18<n <8D ．14<n <27．二次函数y ＝x 2＋2x －5有A ．最大值－5B ．最小值－5C ．最大值－6D ．最小值－68．①4的算术平方根是±2；②√2与-√8是同类二次根式；③点P （2，3）关于原点对称的点的坐标是（-2，-3）； ④抛物线y=-12（x-3）2+1的顶点坐标是（3，1）．其中正确的是( ) A ．①②④B ．①③C ．②④D ．②③④9．童装专卖店销售一种童装，已知这种童装每天所获得的利润y （元）与童装的销售单价x （元）之间满足关系式y=－x 2+50x+500，则要想每天获得最大利润，单价需为（ ）． A ．25元B ．20元C ．30元D ．40元10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的y 与x 的部分对应值如表：x ﹣5 ﹣4 ﹣2 0 2 y6﹣6﹣468，y 1），点（8，y 2）在二次函数图象上，则y 1＜y 2；④方程ax 2＋bx ＋c ＝﹣5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的是（ ） A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④11．已知抛物线y=-2（x-3）2+5，则此抛物线（ ）A ．开口向下，对称轴为直线x=-3B ．顶点坐标为（-3，5）C ．最小值为5D ．当x ＞3时y 随x 的增大而减小12．如果抛物线 y =x 2−6x +c −2 的顶点到 x 轴的距离是3，那么 c 的值等于（ ）A ．8B ．14C ．8或14D ．-8或-14二、填空题13．二次函数y=2x 2﹣1，∵a= ，∴函数有最 值．14．公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s （m ）与时间t （s ）的函数关系式为s=20t-5t 2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行 m 才能停下来．15．已知二次函数y ＝ 12x ²＋2若自变量x 的取值范围是－1≤x ≤2，则函数y 的取值范围是 ．16．函数y =x 2−2x(0≤x ≤3)有最大值，也有最小值，则最小值是 . 17．若二次函数y ＝－x 2－4x ＋k 的最大值是9，则k ＝ ．18．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的范围是．三、综合题19．某农作物的生长率p与温度t ( C∘ )有如下关系：如图，当10≤t≤25 时可近似用函数p=150t−15刻画；当25≤t≤37 时可近似用函数p=−1160(t−ℎ)2+0.4刻画．（1）求ℎ的值．（2）按照经验，该作物提前上市的天数m (天)与生长率p满足函数关系，部分数据如下：生长率p0.20.250.30.35提前上市的天数m（天）051015②请用含t的代数式表示m③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在大棚恒温20℃时每天的成本为100元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20≤t≤25时的成本为200元/天，但若加温到25＜t≤37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天，问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由。
初中数学二次函数的最值问题--练习题+答案
初中数学二次函数的最值问题--练习题+答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a=-处取得最大值244ac b a-，无最小值． 【例1】当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =．【例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-．由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象．可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值．所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-．【例4】当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数21522y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时： 当x t =时，2min 1522y t t =--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时：当1x =时，2min 1511322y =⨯--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-．综上所述：2213,023,0115,122t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元，那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又1623m x =-．2 (30)(1623)32524860,3054y x x x x x ∴=--=-+-≤≤(2) 由(1)知对称轴为42x =，位于x 的范围内，另抛物线开口向下 ∴当42x =时，2max 342252424860432y =-⨯+⨯-=∴当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．练习A 组1．抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点．2．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．3．求下列二次函数的最值：(1) 2245y x x =-+； (2) (1)(2)y x x =-+．4．求二次函数2235y x x =-+在22x -≤≤上的最大值和最小值，并求对应的x 的值．5．对于函数2243y x x =+-，当0x ≤时，求y 的取值范围．6．求函数3y =7．已知关于x 的函数22(21)1y x t x t =+++-，当t 取何值时，y 的最小值为0？B 组1．已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上．(1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值；(2) 当a 为实数时，求函数的最大值．2．函数223y x x =++在0m x ≤≤上的最大值为3，最小值为2，求m 的取值范围．3．设0a >，当11x -≤≤时，函数21y x ax b =--++的最小值是4-，最大值是0，求,a b 的值．4．已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值．5．求关于x 的二次函数221y x tx =-+在11x -≤≤上的最大值(t 为常数)．答案解析A 组1．4 14或2，322．2216l m 3．(1) 有最小值3，无最大值；(2) 有最大值94，无最小值． 4．当34x =时，min 318y =；当2x =-时，max 19y =．5．5y ≥- 6．当56x =时，min 3y =-23x =或1时，max 3y =． 7．当54t =-时，min 0y =． B 组1．(1) 当1x =时，min 1y =；当5x =-时，max 37y =．(2) 当0a ≥时，max 2710y a =+；当0a <时，max 2710y a =-．2．21m -≤≤-． 3．2,2a b ==-．4．14a=-或1a=-．5．当0t≤时，max22y t=-，此时1x=；当0t>时，max 22y t=+，此时1x=-．。
中考数学《二次函数的最值》专项练习及答案
中考数学《二次函数的最值》专项练习及答案一、单选题1．如果抛物线y=x2−6x+c−2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（）A．8B．14C．8或14D．-8或-142．已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且-2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（）A．1或B．- 或C．D．13．如图，已知点A（12，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O 两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D.当OD＝AD＝8时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．5B．2√7C．8D．64．二次函数y=x2﹣2x﹣3，当m﹣2≤x≤m时的最大值为5，则m的值可能为（）A．0或6B．4或﹣2C．0或4D．6或﹣25．我们定义一种新函数：形如y=|ax2+bx+c|（a≠0，b2−4ac>0）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2−2x−3|的图象（如图所示），并写出下列结论：①图象与坐标轴的交点为（−1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x=1；③当−1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x=−1或x=3时，函数的最小值是0；⑤当x= 1时，函数的最大值是4，⑥若点P（a，b）在该图象上，则当b＝2时，可以找到4个不同的点P.其中正确结论的个数是（）A．6B．5C．4D．36．关于二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表，下列说法正确的是（）x…﹣3﹣201…y…7﹣2﹣27…(0，2)．图象的对称轴是直线x=1 C．y的最小值为-5D．图象与x轴有且只有一个交点7．二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表：x…－5－4－3－2－10…y…40－2－204…A．抛物线的开口向下B．当x＞－3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是－2D．抛物线的对称轴是直线x＝－528．下列对抛物线y=−2（x−4）2+9性质的描写中，正确的是（）A．开口向上B．对称轴是直线x＝9C．顶点坐标是（﹣4，9）D．函数y有最大值9．二次函数y＝（x﹣m）2﹣m2﹣1有最小值﹣4，则实数m的值可能是（）A．﹣B．﹣3C．D．410．y=a(x−x1)(x−x2)+t(a>0)，点(x0，y0)是函数图象上任意一点，()<−a4(x1−x2)2A．若t<0，则y>−a4(x1−x2)2B．若t≥0，则y≤−a4(x1−x2)2C．若t<0，则y≥−a4(x1−x2)2D．若t≥0，则y11．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数y的最小值为5，则h的值是（）A．﹣1B．﹣1或5C．5D．﹣512．关于二次函数y=-x2+2x的最值，下列叙述正确的是()A．当x=2时，y有最小值0B．当x=2时，y有最大值0C．当x=1时，y有最小值1D．当x=1时，y有最大值1二、填空题13．如图，有长为24米的篱笆，一边利用墙（墙的最大可用长度为3米），围成一个由两个长方形组成的花圃，当花圃的边AB为米时，围成的花圃面积最大，最大面积为平方米．14．抛物线的y=（x﹣3）2﹣2的最小值为．15．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y=60t−62，飞机着陆至停下来共滑.5t16．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的图象过点A(3,0)，对称轴为直线x=1，给出以下结论：①abc<0；②3a+c=0；③ax2+bx≤a+ b；④若M(−0.5,y1)、N(3.5,y2)为函数图象上的两点，则y1<y2.其中正确的有.（填写序号即可）17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如表：下列结论：①a＞0；②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根.其中，正确结论的序号是（把所有正确结论的序号都填上）x﹣5﹣4﹣202y60﹣6﹣461825元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为元时，该服装店平均每天的销售利润最大．三、综合题19．已知二次函数y=−x2+4x+c.（1）该二次函数图象的对称轴是直线.（2）当4≤x≤6时，y的最大值是－3，求此二次函数解析式.20．已知函数y=-x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．21．在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，如图1，再在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，底面为矩形EFGH，如图2．设小正方形的边长为x厘米．（1）当矩形纸板ABCD的一边长为90厘米时，求纸盒的侧面积的最大值；（2）当EH：EF＝7：2，且侧面积与底面积之比为9：7时，求x的值．22．已知二次函数y=x2+bx+2b（b为常数）．（1）若图象过（2，8），求函数的表达式．（2）在（1）的条件下，当−2≤x≤2时，求函数的最大值和最小值．（3）若函数图象不经过第三象限，求b的取值范围23．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0，6)，B(6，0)，C(−2，0)，点P 是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值，面积最大值是多少？（3）已知抛物线的顶点为点D．点M是x轴上的一个动点，当点M的坐标为多少时，△ADM的周长最小？最小值是多少？24．如图，抛物线y=x2+bx−c与x轴交A(−1,0)、B(3,0)两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求抛物线及直线AC的函数表达式；（2）若P点是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于F点，求线段PF长度的最大值．参考答案1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】D8．【答案】D9．【答案】A10．【答案】D11．【答案】B12．【答案】D13．【答案】7；2114．【答案】﹣215．【答案】750m16．【答案】①②③17．【答案】①③④18．【答案】2219．【答案】（1）x=2（2）y=−x2+4x−320．【答案】（1）解：把（0，－3），（－6，－3）代入y＝−x2+bx+c 得b＝－6，c=－3（2）解：∵y＝−x2−6x−3＝−(x+3)2+6又∵－4≤x≤0∴当x＝－3时，y有最大值为6．（3）解：①当－3＜m≤0时当x＝0时，y有最小值为－3当x＝m时，y有最大值为−m2−6m−3∴−m2−6m−3+(－3)＝2∴m＝－2或m＝－4（舍去）．②当m≤－3时当x ＝－3时y 有最大值为6 ∵y 的最大值与最小值之和为2 ∴y 最小值为－4 ∴−(m +3)2+6 =－4∴m ＝ −3−√10 或m ＝ −3+√10 （舍去）． 综上所述，m ＝－2或 −3−√10 ．21．【答案】（1）解：S 侧＝2[x(90－2x)＋x(40－2x)] ＝－8x 2＋260x＝－8(x － 654 )2＋ 42252．∵－8＜0，∴当x ＝ 654 时，S 侧最大＝ 42252（2）解：设EF ＝2m ，则EH ＝7m则侧面积为2(7mx ＋2mx)＝18mx ，底面积为7m·2m ＝14m 由题意，得18mx ：14m ＝9：7，∴m ＝x ． 则AD ＝7x ＋2x ＝9x ，AB ＝2x ＋2x ＝4x 由4x·9x ＝3600，且x ＞0 ∴x ＝1022．【答案】（1）解：∵图象经过点（2，8）∴8=4+2b +2b 解得b =1．∴此函数解析式为y =x 2+x +2．（2）解：y =x 2+x +2=(x +12)2+74．∵抛物线的开口向上∴当−2≤x ≤−12，y 随x 的增大而减小∴当x =−12时，y 的最小值为74当−12≤x ≤2时，y 随x 的增大而增大∴当x =2时y 的最大值为(2+12)2+74=8答：最小值74，最大值8．（3）解：∵图象不经过第三象限，且开口向上 ∴2b ≥0，即b ≥0∴对称轴直线x =−b2≤0，在y 轴左侧∴图象必在x 轴上方（包括x 轴）∴△=b2−8b≤0∴0≤b≤8．23．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0，6)，B(6，0)∴{c=636a+6b+c=0 4a−2b+c=0∴{c=6a=−12b=2∴抛物线的解析式为：y=−12x2+2x+6（2）解：设P点坐标为(x0，y0)∵点P是线段AB上方抛物线上的一个动点，A(0，6)∴0<x0<6过P点作x轴的垂线，与x轴交于点H，如图∵S四边形AOBP =S△PAB+S△AOB=S梯形AOHP+S△PHB∴12(6+y0)x0+12(6−x0)y0=S△PAB+12×6×6可得S△PAB=3x0+3y0−18∵y0=−12x02+2x0+6∴S△PAB=3x0+3(−12x02+2x0+6)−18，得∴S△PAB=−32x02+9x0=−32(x0−3)2+272∴当x0=3时，S△PAB面积最大为272（3）解：做出点A关于x轴的对称点A′，则A′(0，−6)，设M点坐标为M(x1，0)根据对称性及两点间线段最短可知，当M 点刚好位于A ′D 与x 轴交点时，△ADM 的周长最小 ，且L △ADM =A ′D +AD∵ 抛物线解析式为y =−12x 2+2x +6=−12(x −2)2+8∴ D 点坐标为(2，8)设直线A ′D 解析式为y =kx +b∵A ′(0，−6)，D(2，8) ，代入直线解析式得 {b =−68=2k +b ，得{b =−6k =7∴直线A ′D 解析式为y =7x −6 M 点为直线A ′D 与x 轴交点，则7x 1−6=0 ，得x 1=67∴M(67，0)∵ A ′(0，−6)，A(0，6)∴L △ADM =A ′D +AD =√(0−2)2+(−6−8)2+√(0−2)2+(6−8)2=√4+196+√8=10√2+2√2=12√2∴当M 点坐标为M(67，0)时，△ADM 周长最小，最小值为12√2 24．【答案】（1）解：将A （﹣1，0），B （3，0）代入 y =x 2+bx −c得b=﹣2，c=3； ∴y =x 2−2x −3 ．将C 点的横坐标x=2代入 y =x 2−2x −3 得y=-3 ∴C （2，-3）；∴直线AC 的函数解析式是y=﹣x ﹣1（2）解：设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2）则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2−2x−3）；∵P点在E点的上方，PE=（﹣x﹣1）﹣（y=x2−2x−3）= −x2+x+2∴当x= 12时，PE的最大值为94。
二次函数的最值问题(中考题)(含答案)
典型中考题（有关二次函数的最值）屠园实验 周前猛一、选择题1． 已知二次函数y=a （x-1）2+b 有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关( )A. a<bB.a=b C a>b D 不能确定答案：C2．当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4，则实数m 的值为（ ）A 、-74 B 、 C 、 2或 D 2或或- 74答案：C∵当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4， ∴二次函数在－2≤x≤l 上可能的取值是x=－2或x=1或x=m.当x=－2时，由 y=-（x-m ）2+m 2+1解得m= - 74 ，2765y x 416⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭此时，它在－2≤x≤l 的最大值是6516，与题意不符. 当x=1时，由y=-（x-m ）2+m 2+1解得m=2，此时y=-（x-2）2+5，它在－2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符.当x= m 时，由 4=-（x-m ）2+m 2+1解得m=当m=它在－2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符；当，2≤x≤l 在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符.综上所述，实数m 的值为2或. 故选C ．3． 已知0≤x≤12，那么函数y=-2x 2+8x-6的最大值是（ ） A -10.5 B.2 C . -2.5 D. -6答案：C解：∵y=-2x2+8x-6=-2（x-2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而增大．又∵0≤x≤12，∴当x=12时，y取最大值，y最大=-2（12-2）2+2=-2.5．故选：C．4、已知关于x的函数.下列结论：①存在函数，其图像经过（1,0）点；②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。
真确的个数是（）A,1个B、2个 C 3个D、4个答案：B分析：①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；③根据二次函数的增减性，即可作出判断；④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断.解：①真，将（1，0）代入可得：2k-（4k+1）-k+1=0，解得：k=0．运用方程思想；②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法；③假，如k=1，b5-=2a4，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法；④真，当k=0时，函数无最大、最小值；k≠0时，y最=224ac-b24k+1=-4a8k，∴当k＞0时，有最小值，最小值为负；当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想．二、填空题：1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB 上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是答案：122、已知直角三角形两直角边的和等于8，两直角边各为时，这个直角三角形的面积最大，最大面积是答案：4、4，8解：设直角三角形得一直角边为x，则，另一边长为8-x；设其面积为S.∴S= x·(8-x)(0<x<8). 配方得S=- (x2-8x)=- (x-4)2+8∴当x=4时，S最大=8.及两直角边长都为4时，此直角三角形的面积最大，最大面积为8.-≤≤的最大值与最小值分别是3、函数y=2（0x4）答案：2,0最小值为0，当4x-x2最大，即x=2最大为4，所以，当x=0时，y最大值为2，当x=2时，y取最小值为04、已知二次函数y=x2+2x+a （0≤x≤1）的最大值是3，那么a的值为答案：0解：二次函数y=x 2+2x+a 对称轴为x=-1，当0≤x ≤1时y 随x 的增大而增大，当x=1时最大值为3，代入y=x 2+2x+a 得a=0.5、如图，在△ABC 中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB 、AC 上分别取点D 、E ，使线段DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，则这样线段的最小长度 ．三、解答题：1某产品第一季度每件成本为50元，第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率为x⑴ 请用含x 的代数式表示第二季度每件产品的成本；⑵ 如果第三季度该产品每件成本比第一季度少9.5元，试求x 的值⑶ 该产品第二季度每件的销售价为60元，第三季度每件的销售价比第二季度有所下降，若下降的百分率与第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率相同，且第三季度每件产品的销售价不低于48元，设第三季度每件产品获得的利润为y 元，试求y 与x 的函数关系式，并利用函数图象与性质求y 的最大值（注：利润=销售价-成本）解：（1）()x -150 ⑵()5.9501502-=-x 解得1.0=x （3）(),48160≥-x 解得2.0≤x 而0 x ，∴2.00≤x而()()2150160x x y ---=＝1040502++-x x＝()184.0502+--x ∵当4.0≤x 时，利用二次函数的增减性，y 随x 的增大而增大，而2.00≤x ， ∴当2.0=x 时，y 最大值＝18（元）说明：当自变量取值范围为体体实数时，二次函数在抛物线顶点取得最值，而当自变量取值范围为某一区间时，二次函数的最值应注意下列两种情形：若抛物线顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值。
最全二次函数区间的最值问题(中考数学必考题型)
二次函数的最值问题二次函数的最值问题，是每年中考的必考题，也是考试难点，经常出现在压轴题的位置，解决二次函数的最值问题，特别是含参数的二次函数，一定要考虑二次函数的三个要素：开口方向，对称轴，自变量的取值范围，对于二次函数能够分析出三要素，二次函数的问题就迎刃而解了。
例1.对于二次函数342+-=x x y（1）求它的最小值和最大值.（2）当1≤x ≤4时，求它的最小值和最大值.（3）当-2≤x ≤1时，求它的最小值和最大值.（4）二次函数的最值与哪些因素有关？对于给定的范围，最值可能出现在哪些位置？练习1.二次函数y ＝x 2+2x ﹣5有（ ）A ．最大值﹣5B ．最小值﹣5C ．最大值﹣6D ．最小值﹣6练习2.在二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3中，当0≤x ≤3时，y 的最大值和最小值分别是（ ）A ．0，﹣4B ．0，﹣3C ．﹣3，﹣4D ．0，0练习3若抛物线y ＝﹣x 2+4x +k 的最大值为3，则k ＝ ．练习4（多元消参，利用平方的性质确定自变量的取值范围）若实数a 、b 满足a +b 2＝2，则a 2+5b 2的最小值为 ．练习5如图，P 是抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3在第四象限的一点，过点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为A 、B ，求四边形OAPB 周长的最大值及点P 的横坐标练习6．（回归教材）如图，一张正方形纸板的边长为8cm ，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形（图中阴影部分）．设AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝x （cm ），阴影部分的面积为y （cm 2）．（1）求y 关于x 的函数解析式并写出x 的取值范围；（2）当x 取何值时，阴影部分的面积最大，最大面积是多少．一、对开口方向（二次项前面系数）进行讨论例2.当 41≤≤x 时，二次函数a ax ax y 342+-= 的最大值等于6．求二次项系数a 的值练习1已知二次函数y ＝mx 2+2mx ﹣1（m ＞0）的最小值为﹣5，则m 的值为（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．4练习2已知二次函数y ＝mx 2+（m 2﹣3）x +1，当x ＝﹣1时，y 取得最大值，则m ＝ ． 练习3已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，求m 的值二、对二次函数的对称轴的位置进行讨论例3.当 12≤≤x -时，二次函数a ax x y 342+-= 的最小值等于-1．求a 的值．变式1当﹣2≤x ≤1时，二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1有最大值4，求实数m 的值．变式2当﹣1≤x ≤1时，函数y ＝﹣x 2﹣2mx +2n +1的最小值是﹣4，最大值是0，求m 、n 的值．三、对二次函数的x 取值范围进行讨论例4.当 2+≤≤a x a 时，二次函数a x x y 342+-= 的最大值等于-6．求a 的值．练习1.当a ﹣1≤x ≤a 时，函数y ＝x 2﹣2x +1的最小值为1，求a 的值．练习2.若t ≤x ≤t +2时，二次函数y ＝2x 2+4x +1的最大值为31，求t 的值练习3.已知二次函数y ＝﹣x 2+6x ﹣5．当t ≤x ≤t +3时，函数的最大值为m ，最小值为n ，若m ﹣n ＝3，求t 的值．练习4.设a ，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b ]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．求函数y ＝x 2﹣4x ﹣4在区间[t ﹣2，t ﹣1]（t 为任意实数）上的最小值y min 的解析式．练习5.若关于x 的函数y ，当t ﹣≤x ≤t +时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数h ＝，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”．若函数y ＝﹣x 2+4x +k ，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数“h 的最小值．若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．拓展：C 2的解析式为：y ＝a （x +2）2﹣3（a ＞0），当a ﹣4≤x ≤a ﹣2时，C 2的最大值与最小值的差为2a ，求a 的值．作业：1.矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是2.若实数x ，y 满足x +y 2＝3，设s ＝x 2+8y 2，则s 的取值范围是 ．3.已知二次函数y ＝ax 2+4x +a ﹣1的最小值为2，则a 的值为 ．4.已知实数满足x 2+3x ﹣y ﹣3＝0，则x +y 的最小值是 ．5.若二次函数y ＝﹣x 2+mx 在﹣2≤x ≤1时的最大值为5，则m 的值为6.当a ≤x ≤a +1时，函数y ＝x 2﹣2x +1的最小值为1，则a 的值为7.已知二次函数y =122+-ax ax ，当30≤≤x 时，y 的最大值为2，则a 的值为8.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，则P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经过多少秒钟，使△PBQ 的面积最大．9.设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．若二次函数y＝x2﹣x﹣是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．10．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．（1）b＝；（2）若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是．11.已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m的最小值．12.已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围．（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好，求m，n的值．。
中考数学总复习《二次函数的最值》练习题及答案
中考数学总复习《二次函数的最值》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．已知二次函数y=a（x+2）2+3（a＜0）的图象如图所示，则以下结论：①当x＞﹣2时，y随x的增大而增大；②不论a为任何负数，该二次函数的最大值总是3；③当a=﹣1时，抛物线必过原点；④该抛物线和x轴总有两个公共点．其中正确结论是（）A．①②B．②③C．②④D．①④2．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，求m的最大值() A．-3B．3C．-6D．93．设实数x＞0，y＞0，且x＋y－2x2y2＝4，则1x+1y的最小值为()A．4 √2B．3 √2C．2 √2D．√24．如图，一条抛物线（形状一定）与x轴相交于E、F两点（点E在点F左侧），其顶点P在线段AB上移动．若点A、B的坐标分别为(−2，−3)、(4，−3)，点E的横坐标的最小值为-5，则点F的横坐标的最大值为（）A．6B．7C．8D．95．如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿A−B−C方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E做FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC=y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是25，则矩形ABCD的面积是()A．235B．254C．6D．56．已知0≤x≤32，则函数y=x2+x+1（）A．有最小值34，但无最大值B．有最小值34，有最大值1C．有最小值1，有最大值194D．无最小值，也无最大值7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如表：x﹣5﹣4﹣202y60﹣6﹣46；③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax2＋bx＋c＝﹣5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④8．已知二次函数y=ax2−2ax+a+2(a≠0)，若−1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为（）A．1B．-1C．±1D．无法确定9．如图，已知二次函数的图象（0≤x≤1+2 √2）.关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最小值﹣2，无最大值B．有最小值﹣2，有最大值﹣1.5C．有最小值﹣2，有最大值2D．有最小值﹣1.5，有最大值210．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12BC=2点D是AB上一动点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，BE，当△BED面积最大时，AD的长为（）A．2B．√5C．25√5D．4√5511．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是（）A．﹣4或72B．﹣2 √3或72C．﹣4 或2 √3D．﹣2 √3或2 √3 12．若二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值是2，则a的值为（）A．4B．－1C．3D．4或－1二、填空题13．二次函数y=x2−2x+3的最小值是．14．当实数a满足2≤a≤5时，且代数式−a2+2ab−b2取最大值－1时，则b的值为．15．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x-2-1012y04664从上表可知，下列说法中正确的是．)①抛物线与x轴的一个交点为(3，0)；②函数y=ax2+bx+c的最大值为6；②抛物线的对称轴是直线x=12；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．16．二次函数y=﹣x2﹣4x+k的最大值是9，则k=．17．已知关于x的函数y=−x2−ax+1，当0≤x≤3时函数有最大值5，则a=．18．已知关于x的二次函数y＝x2－2ax＋3，当1≤x≤3时，函数有最小值2a，则a的值为.三、综合题19．已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点(0，3a)，对称轴为x=1.（1）试用含a的代数式表示b、c.（2）当抛物线过点(2，3)时，求此抛物线的解析式.（3）求当b(c+6)取得最大值时的抛物线的顶点坐标.20．如图，正方形ABCD的边长为4，点G，H分别是BC、CD边上的点，直线GH与AB、AD的延长线相交于点E，F，连接AG、AH．（1）当BG=2，DH=3时，则GH：HF=，∠AGH=°；（2）若BG=3，DH=1，求DF、EG的长；（3）设BG=x，DH=y，若∠ABG∠∠FDH，求y与x之间的函数关系式，并求出y的取值范围．21．如图，抛物线y=12x2−32x−2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点M是线段BC下方抛物线上的任意一点，点M的横坐标为m，过点M画MN∠x轴于点N，交BC于点P.（1）填空：A（，），C（，）；（2）探究∠ABC的外接圆圆心的位置，并求出圆心的坐标；（3）探究当m取何值时线段PM的长度取得最大值，最大值为多少？22．某商品现在的售价为每件50元，每天可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，请你帮助分析，当每件商品涨价多少元时，可使每天的销售利润最大，最大利润是多少？设每件商品涨价x元，每天售出商品的利润为y元．（1）根据题意，填写下表：每件售价（元）505152……50+x每天售出商品的数量（件）200190……每天售出商品的利润（元）20002090……23．已知，一个铝合金窗框如图所示，所使用的铝合金材料长度为18m．设AB长为xm，窗户的总面积为Sm2．（1）求S关于x的函数表达式．（2）若AB的长不能低于2m，且AB＜BC，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．24．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+ 12（m2+1）=0有实数根．（1）求m的值；（2）先作y=x2﹣（m+1）x+ 12（m2+1）的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；（3）在（2）的条件下，当直线y=2x+n（n≥m）与变化后的图象有公共点时，求n2﹣4n的最大值和最小值．参考答案1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】C12．【答案】A13．【答案】214．【答案】1或615．【答案】①③④16．【答案】517．【答案】-418．【答案】119．【答案】（1）解：∵抛物线与y轴交于点(0，3a)∴c=3a∵对称轴为x=1∴x=−b2a=1∴b=−2a（2）解：∵抛物线过点(2，3)∴3=a×22+2(−2a)+3a∴a=1∴b=−2a=−2，c=3a=3∴抛物线为y=x2−2x+3（3）解：∵b(c+6)=−2a(3a+6)=−6a2−12a=−6(a+1)2+6∴当a=−1时，b(c+6)的最大值为6；∴抛物线y=−x2+2x−3=−(x−1)2−2故抛物线的顶点坐标为(1，−2)20．【答案】（1）1：3；90（2）解：∵正方形ABCD的边长为4，BG=3，DH=1∴CG=1，CH=3∵CG∠DF，CH∠BE∴∠CGH∠∠BGE∠∠DFH∴GCHC=BGBE=DFDH，即13=3BE=DF1解得BE=9，DF= 1 3∴Rt∠BEG中，EG= √BG2+BE2= √32+92=3 √10（3）解：∵正方形ABCD的边长为4，BG=x，DH=y ∴CG=4﹣x，CH=4﹣y由（1）可得，∠FDH∠∠GCH，而∠ABG∠∠FDH∴∠ABG∠∠GCH∴ABGC=BGCH，即44−x=x4−y∴y与x之间的函数关系式为：y= 14x2﹣x+4∵44−x=x4−y∴4﹣y= x(4−x)4=﹣14x2+x∴当x=﹣12×(−14)=2时，4﹣y有最大值，且最大值为﹣14×4+2=1∴0＜4﹣y≤1解得3≤y＜4．21．【答案】（1）-1；0；0；-2（2）解：|OA|=1，|OC|=2，|OB|=4∠AOC=∠COB=90°∴OAOC=OCOB=12∴∠AOC∠∠COB∴∠ACO=∠OBC∠ACO+∠OCB=90°∠OBC+∠OCB=90°=∠ACB∴Rt∠ACB的外接圆圆心为AB的中点∵A（-1，0）B（4，0）∴圆心的坐标（ 32，0 ）.（3）解：C （0，-2），B （4，0） 又∵直线BC 解析式y =12x −2 p(m ，12m −2) ，M （m ， 12m 2−32m −2 ）PM=（ 12m −2 ）-（ 12m 2−32m −2 ）PM =−12m 2+2m =−12(m −2)2+2 当m=2时，PM 最大值=2.22．【答案】（1）180；200﹣10x ；2160；（200﹣10x ）（10+x ）（2）解：y ＝（200﹣10x ）（10+x ）＝﹣10x 2+100x+2000＝﹣10（x ﹣5）2+2250 ∴当x ＝5时，y 取得最大值，此时y ＝2250即y ＝﹣10x 2+100x+2000，当每件商品涨价5元时，可使每天的销售利润最大，最大利润是2250元23．【答案】（1）解：∵AB=xm ，铝合金材料长为18m∴AD=BC=18−3x 2∴S ＝x·18−3x2＝−32x 2+9x即S 与x 的函数表达式为：S ＝−32x 2+9x.（2）解：由题意得：2≤x ＜18−3x 2解得：2≤x ＜3.6∵S ＝−32x 2+9x ＝−32（x -3）2+272∵−32＜0，对称轴是直线x ＝3，且2≤x ＜3.6∴当x ＝3时，S 取得最大值，此时S ＝272当x ＝2时，S 取得最小值，此时S ＝−32（2-3）2+272＝12答：窗户总面积S 的最大值272m 2，最小值是12m 2．24．【答案】（1）解：对于一元二次方程x 2﹣（m+1）x+ 12（m 2+1）=0∠=（m+1）2﹣2（m 2+1）=﹣m 2+2m ﹣1=﹣（m ﹣1）2 ∵方程有实数根∴﹣（m﹣1）2≥0∴m=1．（2）解：由（1）可知y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2图象如图所示：平移后的解析式为y=﹣（x+2）2+2=﹣x2﹣4x﹣2．（3）解：由{y=2x+ny=−x2−4x−2消去y得到x2+6x+n+2=0由题意∠≥0∴36﹣4n﹣8≥0∴n≤7∵n≤m，m=1∴1≤n≤7令y′=n2﹣4n=（n﹣2）2﹣4∴n=2时，y′的值最小，最小值为﹣4n=7时，y′的值最大，最大值为21∴n2﹣4n的最大值为21，最小值为﹣4．。
重庆中考二次函数最值复习
3. ③已知点 M（-2，3），连接 CM ，DM ，CD，求 S△CDM 的最大值及此时点 D 的坐标：
④过点 B 作 BE ∥ AC 交抛物线于点 E ，连接 AD，CD，AD 交直线 BE 于点 F ，求 S△CDF 的最大值 及此时点 D 的坐标：
AB= x1 - x2 = x2 - x1
例 1、如图 1，抛物线 y=-2x2+4x+6 与 x 轴交与点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C， （1）点 A 坐标为 ， ，点 B ， ，点 C , ；直线 BC 的解析式； （2）如图 1 在直线 BC 上方的抛物线上有一点 P，过点 P 作 Y 轴的平行线交 BC 于点 Q，求线段 PQ 长的最大值，并求此时点 P 的坐标：
（1）连接 AD，CD. ①已知 S△ACD = S△ABC ，求点 D 的坐标：
②已知 S△ACD : S△ABC = 2：3，求点 D 的坐标；
③已 知 点 M（ -2 ，3 ），连 接 CM ，DM ，CD ，已 知 S△CDM : S△ABC = 1 ：2 ，求 点 D 的 坐 标 ：
（2）过点 B 作 BE ∥ AC 交抛物线于点 E，连接 AD，CD，AD 交直线 BE 于点 F。
y
C
D
F H
G
AE
B
x
二次函数第二问解题模型
1. 例 1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y = ax2 + bx + c 分别交 x 轴于 A（-4，0），B（-1，0），交 y 轴于点 C（0，4）. （1）求抛物线的解析式； （2）点 D 为抛物线上位于直线 AC 下方的一个动点 .
二次函数的最值问题举例附练习测试参考答案
二次函数的最值问题举例附练习测试参考答案 The pony was revised in January 2021二次函数的最值问题举例（附练习、答案） 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a=-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a=-处取得最大值244ac b a -，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．【例1】当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =． 12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．【例2】当解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-．由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象．可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值．所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-．【例4】当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数21522y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1)当对称轴在所给范围左侧．即1t >时： 当x t =时，2min 1522y t t =--； (2)当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时：当1x =时，2min 1511322y =⨯--=-； (3)当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-．综上所述：2213,023,0115,122t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适最大销售利润为多少解：(1)由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元，那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又1623m x =-．(2)由(1)知对称轴为42x =，位于x 的范围内，另抛物线开口向下∴当42x =时，2max 342252424860432y =-⨯+⨯-=∴当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．A 组1．抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m =_____时，图象的顶点在y 轴上；当m =_____时，图象的顶点在x 轴上；当m =_____时，图象过原点．2．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为________．3．求下列二次函数的最值：(1)2245y x x =-+； (2)(1)(2)y x x =-+．4．求二次函数2235y x x =-+在22x -≤≤上的最大值和最小值，并求对应的x 的值．5．对于函数2243y x x =+-，当0x ≤时，求y 的取值范围．6．求函数3y =-7．已知关于x 的函数22(21)1y x t x t =+++-，当t 取何值时，y 的最小值为0？B 组1．已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上．(1)当1a =-时，求函数的最大值和最小值；(2)当a 为实数时，求函数的最大值． 2．函数223y x x =++在0m x ≤≤上的最大值为3，最小值为2，求m 的取值范围．3．设0a >，当11x -≤≤时，函数21y x ax b =--++的最小值是4-，最大值是0，求,a b的值．4．已知函数221y x ax=++在12x-≤≤上的最大值为4，求a的值．5．求关于x的二次函数221y x tx=-+在11x-≤≤上的最大值(t为常数)．第五讲二次函数的最值问题答案A组1．414或2，3 22．22 16lm3．(1)有最小值3，无最大值；(2)有最大值94，无最小值．4．当34x=时，min318y=；当2x=-时，max19y=．5．5y≥-6．当56x=时，min3y=-23x=或1时，max3y=．7．当54t=-时，miny=．B组1．(1)当1x=时，min 1y=；当5x=-时，max 37y=．(2)当0a≥时，max 2710y a=+；当0a<时，max 2710y a=-．2．21m-≤≤-．3．2,2a b==-．4．14a=-或1a=-．5．当0t≤时，max 22y t=-，此时1x=；当0t>时，max 22y t=+，此时1x=-．。
中考数学题型专项训练：二次函数与最值问题（含答案）
二次函数与最值问题1.如图,二次函数y =－x 2＋2(m －2)x ＋3的图象与x 、y 轴交于A 、B 、C 三点,其中A (3,0),抛物线的顶点为D . (Ⅰ)求m 的值及顶点D 的坐标;(Ⅱ)当a ≤x ≤b 时,函数y 的最小值为74,最大值为4,求a ,b 应满足的条件;(Ⅲ)在y 轴右侧的抛物线上是否存在点P ,使得△PDC 是等腰三角形如果存在,求出符合条件的点P 的坐标;如果不存在,请说明理由.解:(Ⅰ)把A (3,0)代入y =－x 2＋2(m －2)x ＋3,得－9＋6(m －2)＋3=0, 解得m =3,则二次函数为y =－x 2＋2x ＋3,∵y=－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4, ∴顶点D 的坐标为(1,4);(Ⅱ)把y=74代入y=－x2＋2x＋3中,得74=－x2＋2x＋3,解得x1=－12,x2=25,又∵函数y的最大值为4,顶点D的坐标为(1,4), 结合图象知－12≤a≤1.当a=－12时,1≤b≤25,当－12＜a≤1时,b=25;(Ⅲ)存在点P,使得△PDC是等腰三角形, 当x=0时,y=3,∴点C 坐标为(0,3).当△PDC 是等腰三角形时,分三种情况: ①如解图①,当DC =DP 时,由抛物线的对称性知由抛物线的对称性知::点P 与点C 关于抛物线的对称轴x =1对称,∴点P 坐标为(2,3);②如解图②,当PC =PD 时,则线段CD 的垂直平分线l 与抛物线的交点即为所求的点P ,过点D 作x 轴的平行线交y 轴于点H ,过点P 作PM ⊥y 轴于点M ,PN ⊥DH 的延长线于点N , ∵HD =HC =1,PC =PD ,∴HP 是线段CD 的垂直平分线. ∵HD =HC ,HP ⊥CD , ∴HP 平分∠MHN ,∵PM ⊥y 轴于点M ,PN ⊥HD 的延长线于点N , ∴PM =PN .设P (m ,－m 2＋2m ＋3), 则m =4－(－m 2＋2m ＋3),解得m =253±, ∴点P 的坐标为(253－,255＋)(解图中未标记此点)或(253＋,255－);③如解图③,当CD =CP 时,点P 在y 轴左侧,不符合题意.综上所述,所求点P 的坐标为(2,3)或(253－,255＋)或(253＋,255－).图① 图② 图③ 第1题解图2.已知抛物线y =ax 2＋bx ＋c (a <0)过(m ,b ),(m ＋1,a )两点,(Ⅰ)若m =1,c =1,求抛物线的解析式;(Ⅱ)若b ≥a ,求m 的取值范围;(Ⅲ)当b ≥a ,m ＜0时,二次函数y =ax 2＋bx ＋c 有最大值－2,求a 的最大值. 解:(Ⅰ)∵m =1,c =1,∴抛物线的解析式为y =ax 2＋bx ＋1(a <0)过(1,b ),(2,a )两点,∴1421a b ba b a ++=ìí++=î, 解得11a b =-ìí=î,∴抛物线的解析式为y =－x 2＋x ＋1; (Ⅱ)依题意得22am bm c b a m b m c a ì++=ïí①,由②－①得b=－am,∵b≥a,∴－am≥a,∵a＜0,∴m≥－1;(Ⅲ) 由(Ⅱ)得b=－am,代入①得am2－am2＋c=b,∴c=b=－am,∵b≥a,m＜0,∴－1≤m＜0,∵二次函数y=ax2＋bx＋c有最大值－2,∴244ac ba-=－2,∴8a=m2＋4m,∴8a = (m ＋2)2－4, ∵－1≤m ＜0,∴－3≤(m ＋2)2－4＜0,∴a ≤－83,∴a 的最大值为－83.3.平面直角坐标系xOy 中,抛物线y =mx 2－2m 2x ＋2交y 轴于A 点,交直线x =4于B 点.(Ⅰ)求抛物线的对称轴(用含m 的代数式表示); (Ⅱ)若AB ∥x 轴,求抛物线的解析式;(Ⅲ)若抛物线在A ,B 之间的部分任取一点P (x p ,y p ),一定满足y p ≤2,求m 的取值范围.解:(Ⅰ)由抛物线的对称轴公式可得x =2ba －=222m m--=m ,∴抛物线的对称轴为直线x=m;(Ⅱ)当x=0时,y=mx2－2m2x＋2=2,∴点A(0,2).∵AB∥x轴,且点B在直线x=4上,∴点B(4,2),抛物线的对称轴为直线x=2,∴m=2,∴抛物线的解析式为y=2x2－8x＋2;(Ⅲ)当m＞0时,如解图①,∵A(0,2),∴要使0≤x p≤4时,始终满足y p≤2,只需使抛物线y=mx2－2m2x＋2的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧.∴m≥2;当m＜0时,如解图②,m ＜0时,y p ≤2恒成立.综上所述,m 的取值范围为m ＜0或m ≥2.第3题解图4.已知抛物线y =ax 2＋bx ＋c 的顶点为(2,5),且与y 轴交于点C (0,1).(Ⅰ)求抛物线的表达式;(Ⅱ)若－1≤x ≤3,试求y 的取值范围;(Ⅲ)若M (n 2－4n ＋6,y 1)和N (－n 2＋n ＋74,y 2)是抛物线上的不重合的两点,试判断y 1与y 2的大小,并说明理由.解:(Ⅰ)∵抛物线y =ax 2＋bx ＋c 的顶点为(2,5),∴设抛物线的表达式为:y=a(x－2)2＋5, 把(0,1)代入得:a(0－2)2＋5=1,a=－1,∴抛物线的表达式为:y=－(x－2)2＋5=－x2＋4x ＋1;(Ⅱ)∵抛物线的顶点为(2,5),a=－1,对称轴为直线x =2,且－1≤x ≤3,∴当x=－1时,y有最小值,最小值为y=－(－1－2)2＋5=－4,当x=2时,y有最大值,最大值为y=5,∴y的取值范围是－4≤y≤5;(Ⅲ)∵n 2－4n＋6=(n－2)2＋2≥2,2,－－n2＋n＋74=－(n－12)2＋2≤2,∴点M在抛物线对称轴右侧,点N在抛物线对称轴左侧,∵N(－n2＋n＋74,y2),∴点N关于对称轴对称的点坐标为(n 2－n＋94,y2), ∵在抛物线对称轴右侧,y随x的增大而减小,∴①当n2－4n＋6＞n2－n＋94时,即n＜45时,y1＜y 2;②当n2－4n＋6=n2－n＋94时,即n=45时,y1=y2;③当n2－4n＋6＜n2－n＋94时,即n＞45时,y1＞y2.5.已知抛物线y=ax2＋bx＋c与直线y=mx＋n 相交于两点,这两点的坐标分别是(0,－12)和(m－b, m2－mb ＋n),其中 a,b,c,m,n为实数,且a,m不为0.(Ⅰ)求c的值;(Ⅱ)求证:抛物线y=ax2＋bx＋c与x 轴有两个交点; (Ⅲ)当－1≤x≤1时,设抛物线y=ax2＋bx＋c上与x轴距离最大的点为P(x0,y0),求这时|y0|的最小值.解:(Ⅰ)把点(0,－12)代入抛物线,得:c=－12;(Ⅱ)把点(0,－12)代入直线得:n=－12.把点(m－b,m2－mb＋n)代入抛物线,得: a(m－b)2＋b(m－b)＋c =m2－mb＋n∵c=n=－1 2,∴a(m－b)2＋b(m－b)=m2－mb,am2－2abm＋ab2＋bm－b2－m2＋mb=0, (a －1)m2－(a－1)1)•2•2bm＋(a －1)b2=0, (a－1)(m2－2bm＋b2)=0,(a－1)(m－b)2=0,若m －b =0,则(m －b ,m 2－mb ＋n )与(0,－12)重合,与题意不合, ∴a =1,∵抛物线y =ax 2＋bx ＋c=x 2＋bx －12,b 2－4ac =b 2－4×(－12)=b 2＋2＞0, ∴抛物线y =ax 2＋bx ＋c 与x 轴有两个交点;(Ⅲ)y =x 2＋bx －12,顶点(－2b ,－12－24b ),设抛物线y =x 2＋bx －12在x 轴上方与x 轴距离最大的点的纵坐标为H ,在x 轴下方与x 轴距离最大的点的纵坐标为h , ①当－2b ＜－1时,即b ＞2时,在x 轴上方与x 轴距离最大的点是(1,y 0),∴|H |=y 0=12＋b ＞52,在x 轴下方与x 轴距离最大的点是(－1,y 0),∴|h |=|y 0|=|12－b |=b －12＞32,∴|H |＞|h |,∴这时|y 0|的最小值大于52,②当－1≤－2b≤0时,即0≤b ≤2时,在x 轴上方与x 轴距离最大的点是(1,y 0),∴|H |=y 0=12＋b ≥12,当b =0时等号成立, 在x 轴下方与x 轴距离最大的点是(－2b ,－12－24b ),∴|h |=|－1－2b |=2+2b ≥1,当b =0时等号成立,∴这时|y 0|的最小值等于12, ③当0＜－2b≤1,即－2≤b ＜0时,在x 轴上方与x 轴距离最大的点是(－1,y 0), ∴|H |=y 0=|1＋(－1)b －12|=|12－b |=12－b ＞12,在x 轴下方与x 轴距离最大的点是(－2b ,－12－24b ), ∴|h |=|y 0|=|－12－24b |=2+24b ＞12,∴这时|y 0|的最小值大于12;④当1＜－2b时,即b ＜－2时,在x 轴上方与x 轴距离最大的点是(－1,y 0),∴|H|=12－b＞52,在x轴下方与x轴距离最大的点是(1,y0),∴|h|=|12＋b|=－(b＋12)＞32,∴|H|＞|h|,∴这时|y0|的最小值大于52,综上所述:当b=0,x0=0时,这时|y0|取最小值为12.6.在平面直角坐标系中,直线l:y=x＋3与x轴交于点A,抛物线C:y=x2＋mx＋n的图象经过点A.(Ⅰ)当m=4时,求n的值;(Ⅱ)设m=－2,当－3≤x≤0时,求二次函数y=x2＋mx＋n 的最小值;(Ⅲ)当－3≤x≤0时,若二次函数y=x2＋mx＋n时的最小值为－4,求m 、n 的值. 解:(Ⅰ)当y =x ＋3=0时,x =－3, ∴点A 的坐标为(－3,0).∵二次函数y =x 2＋mx ＋n 的图象经过点A , ∴0=9－3m ＋n ,即n =3m －9, ∴当m =4时,n =3m －9=3; (Ⅱ)抛物线的对称轴为直线x =－2m,当m =－2时,对称轴为x =1,n =3m －9=－15, ∴当－3≤x ≤0时,y 随x 的增大而减小,∴当x =0时,二次函数y =x 2＋mx ＋n 取得最小值,最小值为－15.(Ⅲ)①当对称轴－2m≤－3,即m ≥6时,在－3≤x ≤0范围内,y 随x 的增大而增大,当x =－3时,y 取得最小值0,不符合题意;②当－3＜－2m ＜0,即0＜m ＜6时,在－3≤x ≤0范围内,x =－2m 时,y取得最小值442m n -,∵二次函数最小值为－4, ∴244n m n -=493=0m n --+ìïíïî, 解得:2 3m n -ìíî＝＝或1021m n ìíî＝＝(舍去), ∴m =2,n =－3; ③当－2m ≥0,即m ≤0时,在－3≤x ≤0范围内,y 随x 的增大而减小,当x =0时,y 取最小值,即n =－4, ∴4930n m n --+ìïíïî＝＝,解得:53m＝4nì-ïíïî＝(舍去).综上所述:m=2,n=－3.7.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2－2x＋c(c为常数)的对称轴为x=1.(Ⅰ)当c=－3时,点(x1,y1)在抛物线y=x2－2x＋c上,求y1的最小值;(Ⅱ)若抛物线与x轴有两个交点,点A在点B左侧,且OA=12OB,求抛物线的解析式;(Ⅲ)当－1＜x＜0时,抛物线与x轴有且只有一个公共点,求c的取值范围.解:(Ⅰ)当c=－3时,抛物线为y=x 2－2x－3,∴抛物线开口向上,有最小值,∴y最小值=244ac ba-=2()(4324)1´´---=－4,∴y1的最小值为－4;(Ⅱ)抛物线与x轴有两个交点,①当点A、B都在原点的右侧时,如解图①,设A(m,0),∵OA=12OB,∴B(2m,0),∵二次函数y =x2－2x＋c的对称轴为x=1,由抛物线的对称性得1－m=2m－1,解得m=2 3,∴A(23,0),∵点A在抛物线y=x2－2x＋c上,∴0=49－43＋c,解得c=89,此时抛物线的解析式为y=x2－2x＋89;②当点A在原点的左侧,点B在原点的右侧时,如解图②, 设A(－n,0),∵OA=12OB,且点A 、B在原点的两侧,∴B(2n,0),由抛物线的对称性得n＋1=2n －1,解得n=2,∴A(－2,0),∵点A在抛物线y =x2－2x＋c上,∴0=4＋4＋c,解得c=－8,此时抛物线的解析式为y=x2－2x－8,综上,抛物线的解析式为y=x 2－2x＋89或y=x2－2x－8;(Ⅲ)∵抛物线y =x2－2x＋c与x轴有公共点,∴对于方程x2－2x＋c=0,判别式b2－4ac=4－4c≥0, ∴c≤1.当x=－1时,y=3＋c;当x=0时,y=c,∵抛物线的对称轴为x=1,且当－1＜x＜0时,抛物线与x 轴有且只有一个公共点,∴3＋c＞0且c＜0,解得－3＜c＜0,综上,当－1＜x＜0时,抛物线与x轴有且只有一个公共点时,c的取值范围为－3＜c＜0.第7题解图8.已知抛物线 y=(m－1)x2＋(m－2)x－1与x轴交于A、B 两点.(Ⅰ)求m的取值范围;(Ⅱ)若m ＜0,且点A 在点B 的左侧,OA :OB =3:1,试确定抛物线的解析式;(Ⅲ)设(Ⅱ)中抛物线与y 轴的交点为C ,过点C 作直线l ∥x 轴,将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l 翻折,抛物线的其余部分保持不变,得到一个新图象.当直线y ＝－x ＋b 与新图象只有一个公共点P (x 0,y 0)且 y 0≥－5时,求b 的取值范围.解:(Ⅰ)∵抛物线y =(m －1)x 2＋(m －2)x －1与x 轴交于A 、B 两点,∴()210241)0(m m m -¹-+î-ìí＞①②, 由①得m ≠1≠1, , 由②得m ≠0≠0,, ∴m 的取值范围是m ≠0且m ≠1;≠1;(Ⅱ)∵点A 、B 是抛物线y =(m －1)x 2＋(m －2)x －1与x轴的交点,∴令y=0,即 (m－1)x2＋(m－2)x－1=0.解得 x1=－1,x2＝11m -.∵m＜0,∴−1＜11m-＜0.∵点A在点B左侧,∴点A的坐标为(－1,0),点B的坐标为(11m-,0).∴OA=1,OB=11m-. ∵OA:OB=3:1,∴11m-＝31.∴m＝－2.∴抛物线的解析式为y＝－3x2−4x−1.(Ⅲ)∵点C 是抛物线y ＝－3x 2−4x −1与y 轴的交点,∴点C 的坐标为(0,－1).依题意翻折后的图象如解图所示.令y =－5,即－3x 2−4x −1＝－ 5. 解得x 1=32,x 2=－2.∴新图象经过点D (－2,－5). 当直线y ＝－x ＋b 经过D 点时,可得b =－7. 当直线y ＝－x ＋b 经过C 点时,可得b =－1.当直线y ＝－x ＋b (b ＞−1)与函数y ＝－3x 2−4x −1的图象仅有一个公共点P (x 0,y 0)时,得－x 0＋b ＝－3x 02−4x 0−1.整理得 3x 02＋3x 0＋b ＋1＝0.由32－12(b ＋1)=－12b －3=0,得b ＝−14.结合图象可知,符合题意的b 的取值范围为－7≤b ＜－1或b＞−1.4第8题解图9.如图,已知c＜0,抛物线y=x2＋bx＋c与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点(x2＞x1),与y轴交于点C.(Ⅰ)若x2=1,BC=5,求函数y=x2＋bx＋c的最小值;(Ⅱ)过点A作AP⊥BC,垂足为P(点P在线段BC上),AP 交y轴于点M.若OA=2,求抛物线y=x2＋bx＋c顶点的纵OM坐标随横坐标变化的函数解析式,并直接写出自变量的取值范围.第9题图 解:(Ⅰ)∵x2=1, ∴OB=1,∵BC=5,∴OC=22BC OB-=2,∴C(0,－2),把B(1,0),C(0,－2)代入y=x2＋bx＋c,得:0=1＋b－2, 解得:b=1,∴抛物线的解析式为:y=x2＋x－2.转化为y=(x＋12)2－94;∴函数y =x 2＋bx ＋c 的最小值为－94;(Ⅱ)∵∠OAM ＋∠OBC =90°=90°,,∠OCB ＋∠OBC =90°=90°, , ∴∠OAM =∠OCB ,又∵∠AOM =∠BOC =90°=90°, , ∴△AOM ∽△COB , ∴OAOC OM OB ＝, ∴OC =OA OM•OB =2OB ,∵c ＜0,x 2＞0,∴－c =2x 2,即x 2=－2c .∵x 22＋bx 2＋c =0,将x 2=－2c 代入化简得:c =2b －4.抛物线的解析式为:y =x 2＋bx ＋c ,其顶点坐标为(－2b ,244c b -). 令x =－2b,则b =－2x .y =244c b -=c －24b =2b －4－24b =－4x －4－x 2,满足点P 在线段BC 上的x 最小取值,使P 、C 、M 重合, 此时C (0,c ),B (－2c ,0),A (2c ,0),根据根与系数的关系,对于x 2＋bx ＋c =0, －b =－2c ＋2c =32c , 由c =2b －4,解得c =－1, 所以b =－32c =32,x =－2b=－34;所以自变量x 的取值范围x ≥－34∴顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式为:y =－x 2－4x －4(x ≥－3).。
初中数学二次函数最值练习题(附答案)
初中数学二次函数最值练习题一、单选题1.二次函数245y x x -=+的最小值是( ) A.1-B.1C.3D.52.在平面直角坐标系中,对于二次函数2(2)1y x =-+,下列说法中错误的是( ) A.y 的最小值为1B.图象顶点坐标为(2,1),对称轴为直线2x =C.当2x <时,y 的值随x 值的增大而增大,当2x ≥时,y 的值随x 值的增大而减小D.它的图象可以由2y x =的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到3.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价每降价1元，其日销量就增加1个，为了获取每日最大利润，则应降价( ) A.5元 B. 10元 C. 15元 D.20元4.当1a x a ≤≤+时，函数221y x x =-+的最小值为1，则a 的值为（ ） A.-1 B.2 C.0或2 D.-1或2 5.当21x -≤≤时，二次函数22()1y x m m =--++有最大值4，则实数m 的值为（ ）A.74-或74- 6.已知二次函数2()1y x h =-+(h 为常数),在自变量x 的值满足13x 的情况下,与其对应的函数值y 的最小值为5,则h 的值为( )A.1或-5B.-1或5C.1或-3D.1或37.某二次函数,当自变量x 满足04x 时,对应的函数值y 满足02y ,则这个函数不可能是( ) A.21(2)2y x =- B.242y x x =-+ C.21(2)22y x =--+ D.2114y x x =-++ 8.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28 m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD (篱笆只围,AB BC 两边),设m AB x =.若在点P 处有一棵树与墙,CD AD的距离分别是15 m 和6 m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),则花园面积S 的最大值为( )A.2193mB.2194mC.2195mD.2196m9.已知二次函数22233y ax ax a =+++（其中x 是自变量），当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，且21x -≤≤时，y 的最大值为9，则a 的值为（ ）A.1或-2B. D.110.已知二次函数2()y x h =--（h 为常数），当自变量x 的值满足25x ≤≤时，与其对应的函数值y 的最大值为1-，则h 的值为( ) A.3或6 B.1或6C.1或3D.4或6二、解答题11.2a b+≤(0,0)a b >>，当且仅当a b =时，等号成立，其中我们把2a b+叫作正数a b 、,a b 的几何平均数，其意义是两个正数的算术平均数不小于其几何平均数。