2020重庆中考数学25题二次函数专题练习
2020年重庆中考二次函数最值专题训练(含答案)
2020年重庆中考二次函数最值专题训练类型一、线段的最值问题【例1】（2019•铜仁市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0）、C（4，0），BC ⊥x轴于点C，且AC＝BC，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点E是线段AB上一动点（不与A、B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；解：∵A（﹣1，0）、C（4，0），∴OA＝1，OC＝4，∴AC＝5，∵BC⊥x轴于点C，且AC＝BC，∴B（4，5），将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：b＝﹣2，c＝﹣3．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+1，∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣），∴当t＝时，EF的最大值为，∴点E的坐标为（）．【例2】（2019•贺州）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1，0），且OA＝OC ＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．（1）求A，C两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．解：（1）OA＝OC＝4OB＝4，故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；（2）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝﹣4，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣4；（3）直线CA过点C，设其函数表达式为：y＝kx﹣4，将点A坐标代入上式并解得：k＝1，故直线CA的表达式为：y＝x﹣4，过点P作y轴的平行线交AC于点H，∵OA＝OC＝4，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∵PH∥y轴，∴∠PHD＝∠OCA＝45°，设点P（x，x2﹣3x﹣4），则点H（x，x﹣4），PD＝HP sin∠PFD＝（x﹣4﹣x2+3x+4）＝﹣x2+2x，∵＜0，∴PD有最大值，当x＝2时，其最大值为2，此时点P（2，﹣6）． 【例3】（2019•覃塘区三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，若点F在线段OC上，且OF＝OA，经入过点F的直线在第一象限内与抛物线交于点D，与线段BC交于点E，求的最大值；（3）如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当∠QCO＝∠PBC时，请直接写出点Q的坐标．解：（1）函数的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，则点C（0，3）；（2）过点D作y轴的平行线交BC于点N，将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：函数BC表达式为：y＝﹣x+3， OF＝OA＝1，则点F（0，1），CF＝2，设点D（x，﹣x2+2x+3），则点N（x，﹣x+3），∵DN∥CF，∴＝＝（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝﹣x2+x，∵﹣0，则有最大值，此时x＝，的最大值为；（3）连接PC，点P坐标（1，4），则PC＝，PB＝，BC＝，则△PBC为直角三角形，tan∠PBC＝＝，过点Q作QH⊥y轴于点H，设点Q（x，﹣x2+2x+3），则tan∠HCQ＝tan＝，解得：x＝0或5或﹣1（舍去0），故点Q（﹣1，0）或（5，﹣12）．【练习】1、（2019•河南模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）交x轴于A，B（1，0）两点，交y轴于点C，一次函数y＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F （1）求抛物线的解析式；（2）若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E的坐标；若没有，请说明理由；解：（1）将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴点A的坐标为（﹣3，0）．设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）， ∴y＝a（x+3）（x﹣1）．∵点C的坐标为（0，﹣1），∴﹣3a＝﹣1，得a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣1；（2）设点E的坐标为（m，m+3），线段EF的长度为y，则点F的坐标为（m，m2+m﹣1）∴y＝（m+3）﹣（m2+m﹣1）＝﹣m2+m+4即y＝（m﹣）2+，此时点E的坐标为（，）；2、（2019•安阳二模）如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点B，C，点A在x轴负半轴上，且OA＝OB，抛物线y＝ax2+bx+4经过A，B，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，设点P的横坐标为m，过点P作PD⊥BC，垂足为D，用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD的最大值．解：（1）由y＝﹣x+4，当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝4，∴B（4，0），C（0，4），∴OB＝4，∴OA＝OB＝2，∴A（﹣2，0），把A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2+bx+4中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）∵点P在二次函数y＝﹣x2+x+4图象上且横坐标为m，∴P（m，﹣m2+m+4），过P作PF∥y轴，交BC于F，则F（m，﹣m+4），∴PF＝﹣m2+2m，∵PD⊥AB于点D，∴在Rt△OBC中，OB＝OC＝4，∴∠OCB＝45°，∵PF∥y轴，∴∠PFD＝∠OCB＝45°，∴PD＝PF•sin∠PFD＝（﹣m2+2m）＝﹣（m﹣2）2+，∵0＜m＜4，﹣＜0，∴当m＝2时，PD最大，最大值为．3、（2019•仁寿县模拟）在平面直角坐标系XOY中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（8，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C是抛物线与y轴的交点，连接BC，设点P是抛物线上在第一象限内的点，PD⊥BC，垂足为点D．是否存在点P，使线段PD的长度最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；解：（1）把A（﹣2，0），B（8，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c，，解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；（2）由（1）知C（0，4），∵B（8，0），将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，如图1，过P作PG⊥x轴于G，PG交BC于E，Rt△BOC中，OC＝4，OB＝8，∴BC＝4，在Rt△PDE中，PD＝PE•sin∠PED＝PE•sin∠OCB＝PE，∴当线段PE最长时，PD的长最大，设P（t，﹣t2+t+4），则E（t，﹣t+4），∴PE＝PG﹣EG＝﹣t2+t+4+t﹣4＝﹣（t﹣4）2+4，（0＜t＜8），当t＝4时，PE有最大值是4，此时P（4，6），∴PD═，即当P（4，6）时，PD的长度最大，最大值是；4、（2019•邓州市一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A（﹣2，0），B（8，0），连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）点D是直线BC上方抛物线上的一点，过点D作DE⊥BC，垂足为E，求线段DE的长度最大时，点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P（异于点A，B，C），使S△P AC＝S△PBC？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把A（﹣2，0），B（8，.0）分别代入y＝ax2+bx+4中得∴抛物线的解析式为y＝，令x＝0，得y＝4．∴点C的坐标为（0，4）；（2）如图1，过点D作DF∥y轴，交BC于点F，则∠DFE＝∠BCO．∵C＝（0，4），B（8，0），∴OC＝4，OB＝8，在Rt△OBC中，BC＝，∴sin∠BCO＝，∴在Rt△DEF中，DE＝DF・sin∠DFE＝DF•sin∠BCO＝，设直线BC的解析式为y＝kx+t，把B（8，0），C（0，4）分别代入，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝， 设D（m，，则F（m，）∴DF＝，∴DE＝，∵，∴当m＝4时，DE的值最大，最大值为，此时点D的坐标为（4，.6）；（3）存在点P，使S△P AC＝S△PBC，过点C与AB平行的直线交抛物线于P，∵CP∥AB，∴点A、B到CP的距离相等，∴△P AC、△PBC的面积相等，∵C（0，4），把y＝4代入y＝，解得x＝0或x＝6，∴P（6，4），∴使S△P AC＝S△PBC的点P的坐标为（6，4）．类型二、线段和的最值问题【例4】（2019•广安）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：，故直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，将点A、D的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；（2）直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，则直线l与x轴的夹角为45°，即：则PE＝PE，设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点F（x，﹣x﹣1），PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18，∵﹣2＜0，故PE+PF有最大值，当x＝2时，其最大值为18；【例5】（2019•资阳）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+P A的最小值；解：（1）将点B的坐标为（4，m）代入y＝﹣x+，m＝﹣4+＝﹣，∴B的坐标为（4，﹣），将A（3，2），B（4，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，解得b＝1，c＝，∴抛物线的解析式y＝；（2）设D（m，），则E（m，﹣m+），DE＝（）﹣（﹣m+）＝＝﹣（m﹣2）2+2， ∴当m＝2时，DE有最大值为2，此时D（2，），作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P．PD+PA＝PD+PA'＝A'D，此时PD+PA最小，∵A（3，2），∴A'（﹣1，2），A'D＝＝，即PD+PA的最小值为；类型三、线段差或线段差的绝对值的最值问题【例6】（2019•零陵区一模）如图，已知抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，6）．（1）求抛物线y的函数表达式及点B的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P使PB﹣PC的值最大？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由；解：（1）函数过点C，则其表达式为：y＝ax2﹣4x+6，将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣2， 故抛物线的表达式为：y＝﹣2x2﹣4x+6…①，令y＝0，则x＝1或﹣3，过点B（1，0）；（2）存在，理由：连接BC并延长交函数对称轴于点P，此时，PB﹣PC的值最大，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，故直线BC的表达式为：y＝﹣6x+6， 当x＝﹣1时，y＝12，故点P（﹣1，12）；【例7】（2019•安顺）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；解：（1）①将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式是y＝x2+x+3；（2）将直线y＝x+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x＝0或﹣4，∵A（0，3），∴B（﹣4，1）①当点B、C、M三点不共线时，|MB﹣MC|＜BC②当点B、C、M三点共线时，|MB﹣MC|＝BC∴当点、C、M三点共线时，|MB﹣MC|取最大值，即为BC的长，过点B作x轴于点E，在Rt△BEC中，由勾股定理得BC＝＝，∴|MB﹣MC|取最大值为；【练习】如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于C点．（1）求直线BC的解析式；（2）若点P是直线BC上方抛物线上的一点，当△PBC面积的值最大时，在y轴上找一点D，使得|AD ﹣PD|值最大，请求出D点的坐标和|AD﹣PD|的最大值；解：（1）抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于C点， 令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），令y＝0，则，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝1或﹣3，∴B（﹣3，0），A（1，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（﹣3，0），C（0，3）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝x+3；（2）设P（x，﹣x2﹣2x+3），∵OB＝3＝OC，∴S四边形OBPC＝S△PDB+S梯形PDOC＝（x+3）（﹣x2﹣2x+3）+×（﹣x）（﹣x2﹣2x+3+3）＝﹣x2﹣3x+ ∴S△PBC＝S四边形OBPC﹣S△BOC＝﹣x2﹣3x+﹣×3×3＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+1）2+∴当x＝﹣1时，△PBC面积的值最大，∴P（﹣1，4），∵抛物线的顶点为（﹣1，4），∴P点是抛物线的顶点，∴PB＝P A，要使|AD﹣PD|值最大，则点P、D、B三点在一条直线上，∴设直线PB：y＝mx+n（m≠0），则，解得，∴直线PB：y＝2x+6．当x＝0时，y＝6，则点D的坐标是（0，6）．此时，|AD﹣PD|的最大值为：；类型四、三角形或四边形面积最值问题【例8】（2019•黄埔区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），点B（1，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式：（2）若点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，且点P的横坐标为t，连接PA、PC、AC．①求△ACP的面积S关于t的函数关系式．②求△ACP的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），点B（1，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）①设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+3，过点P作PQ∥y轴交直线AC于点Q，设P（t，﹣t2﹣2t+3），Q（t，t+3），∴PQ＝﹣t2﹣2t+3﹣t﹣3＝﹣t2﹣3t，∴S＝S△PQC+S△PQA＝＝＝﹣．②∵S＝﹣，∴t＝﹣时，△ACP的面积最大，最大值是，此时P点坐标为（﹣，）．【例9】（2019•东营）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标； （3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣4；（2）如图1，连接OP，设点P（x，），其中﹣4＜x＜0，四边形ABPC的面积为S，由题意得C（0，﹣4），∴S＝S△AOC+S△OCP+S△OBP＝+，＝4﹣2x﹣x2﹣2x+8，＝﹣x2﹣4x+12，＝﹣（x+2）2+16．∵﹣1＜0，开口向下，S有最大值，∴当x＝﹣2时，四边形ABPC的面积最大，此时，y＝﹣4，即P（﹣2，﹣4）．因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为（﹣2，﹣4）．（3），∴顶点M（﹣1，﹣）．如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．设直线AM的解析式为y＝kx+b，且过点A（2，0），M（﹣1，﹣），∴，∴直线AM的解析式为y＝﹣3．在Rt△AOC中，＝2．∵D为AC的中点，∴，∵△ADE∽△AOC，∴，∴，∴AE＝5，∴OE＝AE﹣AO＝5﹣2＝3，∴E（﹣3，0），由图可知D（1，﹣2）设直线DE的函数解析式为y＝mx+n，∴，解得：，∴直线DE的解析式为y＝﹣﹣．∴，解得：，∴G（）．类型五、三角形周长的最值问题【例10】（2019•宜城市模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1）， ∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点Q的坐标为（﹣2，0），∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，∴S△APC＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．∵﹣＜0，∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）．（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，∴点N的坐标为（0，3）．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，∴MN＝CM，∴AM+MN＝AM+MC＝AC，∴此时△ANM周长取最小值．当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），∴AC＝＝3，AN＝＝，∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+．【练习】1、（2018秋•潮南区期末）如图，已知抛物线y＝x2+3x﹣8的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B 的右侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．解：（1）对于抛物线y＝x2+3x﹣8，令y＝0，得到x2+3x﹣8＝0，解得x＝﹣8或2，∴B（﹣8，0），A（2，0），令x＝0，得到y＝﹣8，∴A（2，0），B（﹣8，0），C（0，﹣8）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣8．（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N．设F（m，m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8）∴S△FBC＝S△FNB+S△FNC＝•FN×8＝4FN＝4[（﹣m﹣8）﹣（m2+3m﹣8）]＝﹣2m2﹣16m＝﹣2（m+4）2+32，∴当m＝﹣4时，△FBC的面积有最大值，此时F（﹣4，﹣12），∵抛物线的对称轴x＝﹣3，点B关于对称轴的对称点是A，连接AF交对称轴于P，此时△BFP的周长最小，设直线AF的解析式为y＝ax+b，则有，解得，∴直线AF的解析式为y＝2x﹣4， ∴P（﹣3，﹣10），∴点F的坐标和点P的坐标分别是F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）．（3）如图2中，∵B（﹣8，0），F（﹣4，﹣12），∴BF＝＝4，①当FQ1＝FB时，Q1（0，0）或（0，﹣24）（虽然FB＝FQ，但是B、F、Q三点一线应该舍去）．②当BF＝BQ时，易知Q2（0，﹣4），Q3（0，4）．③当Q4B＝Q4F时，设Q4（0，m），则有82+m2＝42+（m+12）2，解得m＝﹣4，∴Q4（0，﹣4），∴Q点坐标为（0，0）或（0，4）或（0，﹣4）或（0，﹣4）．2、（2019•昆山市一模）如图，抛物线y＝ax2﹣3ax+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，其中A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是线段BC上方抛物线上一动点（不与B，C重合），过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交BC 于点E，作PF⊥直线BC于点F，设点P的横坐标为x，△PEF的周长记为l，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值及此时点P的坐标；（3）点H是直线AC上一点，该抛物线的对称轴上一动点G，连接OG，GH，则两线段OG，GH的长度之和的最小值等于 ，此时点G的坐标为 （，） （直接写出答案．）解：（1）将A、C代入解析式，可得c＝3，a＝ ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3（2）设P（m，﹣m2+m+3）， 直线BC的解析式为y＝x+3 点E（m，m+3）∴PE＝﹣m2+m+3+m﹣3＝﹣m2+3m∵△OBC∽△PEF ∴＝ ， ∴l＝﹣m2+m当m＝2时L的最大值为，点P坐标为（2，）（3）如图，作点O关于对称轴的对称点Q（3，0），作QH⊥AC交对称轴于G∵△AOC∽△ABH ∴＝ ∴＝ ∴QH＝∵△GMQ∽△ACO ∴＝ ∴＝ ∴GM＝∴G（，）3、（2019•齐齐哈尔）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为 （，﹣5） ．（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；（4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵OA＝2，OC＝6 ∴A（﹣2，0），C（0，﹣6）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A、C ∴解得： ∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣6 （2）∵当y＝0时，x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝3∴B（3，0），抛物线对称轴为直线x＝∵点D在直线x＝上，点A、B关于直线x＝对称∴x D＝，AD＝BD∴当点B、D、C在同一直线上时，C△ACD＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC最小设直线BC解析式为y＝kx﹣6 ∴3k﹣6＝0，解得：k＝2 ∴直线BC：y＝2x﹣6∴y D＝2×﹣6＝﹣5 ∴D（，﹣5）（3）过点E作EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F设E（t，t2﹣t﹣6）（0＜t＜3），则F（t，2t﹣6）∴EF＝2t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+3t∴S△BCE＝S△BEF+S△CEF＝EF•BG+EF•OG＝EF（BG+OG）＝EF•OB＝×3（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+∴当t＝时，△BCE面积最大∴y E＝（）2﹣﹣6＝﹣∴点E坐标为（，﹣）时，△BCE面积最大，最大值为．（4）存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形．∵A（﹣2，0），C（0，﹣6） ∴AC＝①若AC为菱形的边长，如图3，则MN∥AC且，MN＝AC＝2∴N1（﹣2，2），N2（﹣2，﹣2），N3（2，0）②若AC为菱形的对角线，如图4，则AN4∥CM4，AN4＝CN4设N4（﹣2，n） ∴﹣n＝ 解得：n＝﹣ ∴N4（﹣2，﹣）综上所述，点N坐标为（﹣2，2），（﹣2，﹣2），（2，0），（﹣2，﹣）．类型六、四边形周长的最值问题【例11】（2019•顺庆区校级自主招生）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，4），交x轴于A，B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H使D，G，H，F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G，H的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线顶点为（1，4）∴设顶点式y＝a（x﹣1）2+4∵点B（3，0）在抛物线上∴a（3﹣1）2+4＝0 解得：a＝﹣1∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3（2）x轴上存在点H使D，G，H，F四点所围成的四边形周长最小．如图，作点F关于x轴对称的对称点F'，连接EF'∵x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3 ∴D（0，3）∵当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0 解得：x1＝﹣1，x2＝3 ∴A（﹣1，0）∵点E在抛物线上且横坐标为2 ∴y E＝﹣22+2×2+3＝3 ∴E（2，3）∴点D、E关于对称轴对称 ∴DG＝EG设直线AE解析式为y＝kx+e ∴解得： ∴直线AE：y＝x+1 ∴F（0，1） ∴F'（0，﹣1），HF＝HF'，DF＝3﹣1＝2∴C四边形DGHF＝DF+DG+GH+FH＝DF+EG+GH+F'H∴当点E、G、H、F'在同一直线上时，C四边形DGHF＝DF+EF'最小∵EF'＝∴C四边形DGHF＝2+2设直线EF'解析式为y＝mx﹣1∴2m﹣1＝3∴m＝2∴直线EF'：y＝2x﹣1当y＝0时，解得x＝∴H（，0）当x＝1时，y＝2﹣1＝1∴G（1，1）∴四边形DGHF周长最小值为2+2，点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）．【练习】1、（2019•深圳）如图抛物线经y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．解：（1）∵OB＝OC，∴点B（3，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；（2）ACDE的周长＝AC+DE+CD+AE，其中AC＝、DE＝1是常数，故CD+AE最小时，周长最小，取点C关于函数对称点C（2，3），则CD＝C′D，取点A′（﹣1，1），则A′D＝AE，故：CD+AE＝A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE＝A′D+DC′最小，周长也最小，四边形ACDE的周长的最小值＝AC+DE+CD+AE＝+A′D+DC′＝+A′C′＝+；（3）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（y C﹣y P）：AE×（y C﹣y P）＝BE：AE，则BE：AE，＝3：5或5：3，则AE＝或，即：点E的坐标为（，0）或（，0），将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+3，解得：k＝﹣6或﹣2，故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3…②联立①②并解得：x＝4或8（不合题意值已舍去），故点P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）．2、（2017•日照模拟）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2．（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求△ACE面积的最大值；（3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）令y＝0，解得x1＝﹣1或x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝﹣3，∴C（2，﹣3），∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1，（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3），∵P点在E点的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2，∴当x＝时，PE的最大值＝，△ACE的面积最大值＝PE[2﹣（﹣1）]＝PE＝，（3）D点关于PE的对称点为点C（2，﹣3），点Q（0，﹣1）点关于x轴的对称点为K（0，1）， 连接CK交直线PE于M点，交x轴于N点，可求直线CK的解析式为y＝﹣2x+1，此时四边形DMNQ 的周长最小，最小值＝|CM|+QD＝2+2，求得M（1，﹣1），N（，0）．3、（2017秋•南岸区校级期中）如图1，抛物线y＝x2﹣x﹣3，与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点A的直线与抛物线在第一象限的交点M的横坐标为，直线AM与y 轴交于点D，连接BC、AC．（1）求直线AD和BC的解折式；（2）如图2，E为直线BC下方的抛物线上一点，当△BCE的面积最大时，一线段FG＝4（点F在G的左侧）在直线AM上移动，顺次连接B、E、F、G四点构成四边形BEFG，请求出当四边形BEFG 的周长最小时点F的坐标；解：（1）在抛物线y＝中，令x＝0，得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），令y＝0，得，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），令x＝，得y＝＝，∴M（，），设直线AD的解析式为y＝k1x+b1，将A（﹣1，0），M（，）代入得， 解得，∴直线AD的解析式为y＝x+1．设直线BC的解析式为y＝k2x+b2，将B（4，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3；（2）如图2，过点E作EH∥y轴交BC于H，设E（t，），H（t，），∴HE＝＝∴＝＝＝∵＜0，∴当t＝2时，S△BCE的最大值＝6，此时E（2，），作点B关于直线y＝x+1的对称点B1，连接B1G，过点F作B2F∥B1G，且B2F＝B1G，∴B1（﹣1，5）， ∵FG＝4，且FG在直线y＝x+1上，∴F可以看作是G向左平移4个单位，向下平移4个单位后的对应点，∴B2（﹣5，1），当B2、F、E三点在同一直线上时，BEFG周长最小，设直线B2E解析式为y＝mx+n，将B2（﹣5，1），E（2，）分别代入，得，解得，∴直线B2E解析式为y＝，联立方程组，解得．∴F（，）．类型七、线段与系数线段的和差最值问题【例12】（2018•南岸区模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x﹣与x 轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的对称轴和直线AC的解析式；（2）P为直线AC下方抛物线上（不与A、C重合）的一动点，PB交AC于D，当取得最大值时，M为y轴上一动点，N为抛物线对称轴上一动点且MN⊥y轴，求PM+MN+AN的最小值；解：（1）﹣＝﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，令x＝0，y＝﹣，∴C（0，﹣），令y＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），B（0，﹣1），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则解得∴AC的解析式为y＝﹣x﹣．（2）过点P作y轴的平行线交AC于点H，过点B作y轴的平行线交y轴于点Q，当x＝1时，y＝﹣，∴BQ＝，设点P的坐标为（m，），则点H（m，﹣），∴PH＝﹣﹣（）＝﹣，∵△PHD∽△BDQ，∴，∴＝﹣，此时点P（﹣，﹣），过点P作y轴的对称点P′，则P′（，﹣），将点A向右平移一个单位得到点A′，则点A ′（﹣2，0），连接A′P′，与y轴的交点即为点M，过M作x轴的平行线，与对称轴的交点即为点N，设直线A′P′的解析式为y＝kx+b，，解得，∴y＝﹣x﹣，∴M（0，﹣），N（﹣1，﹣），A′P′＝＝，∴PM+MN+AN的最小值为：1+．【例13】已知二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象和x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过直线BC的下抛物线上与动点P作PQ∥AC交线段BC于点Q，再过P点作PE⊥x轴于点E，交BC于点D； （1）求直线AC的解析式；（2）求△PQD周长的最大值；（3）当△PQD的周长最大时，在y轴上有两个动点M，N（M在N的上方），且MN＝1，求PN+MN+AM 的最小值．解：（1）对于二次函数y＝x2﹣x﹣2，令x＝0得y＝﹣2，令y＝0，得x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或2， ∴A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2．（2）∵B（2，0），C（0，﹣2），∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，OB＝OC＝2，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PE⊥x轴，∴∠DEB＝90°，∴∠EDB＝∠QDP＝∠EBD＝45°，∵PQ∥AC，∴∠PQC＝∠ACQ，∴∠PQD，∠PDQ是定值，∴PD最长时，△PDQ的最长最大，设P（m，m2﹣m﹣2），则D（m，m﹣2），∴PD＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣1）2+1，∵﹣1＜0，∴m＝1时，PD的值最大，PD最大值为1，此时P（1，﹣2），D（1，﹣1），∴直线PQ的解析式为y＝﹣2x，由，解得，∴Q（，﹣），∴PD＝1，PQ＝，DQ＝ ∴△PDQ的最长的最大值为1++．（3）如图2中，作PP′∥y轴，使得PP′＝MN＝1，连接AP′交y轴于M，此时PN+NM+AM的值最小．由（2）可知P （1，﹣2），∴P ′（1，﹣1），∵A （﹣1，0），∴直线AP ′的解析式为y ＝﹣x ﹣，∴M （0，﹣），N （0，﹣），∴AM ＝＝，PN ＝＝，∴AM +MN +PN 的最小值为+1．【例14】如图，抛物线2142y x x =+-与x 轴交于A 、B （A 在B 的左侧)，与y 轴交于点C ，抛物上的点E 的横坐标为3，过点E 作直线1l ∥x 轴。
重庆市合川区第一中学2020年中考九年级数学典型压轴题专练：二次函数(包含答案)
重庆市合川区第一中学2020 年中考九年级数学典型压轴题专练：二次函数1、已知二次函数y=ax 2﹣ 2ax+c （ a＞ 0）的图象与 x 轴的负半轴和正半轴分别交于A、 B 两点，与 y 轴交于点C，它的极点为P，直线 CP与过点 B 且垂直于x 轴的直线交于点D，且CP： PD=2： 3（1）求 A、 B 两点的坐标；（2）若 tan ∠ PDB= ，求这个二次函数的关系式．2、已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象与y 轴交于点C（ 0，﹣ 6），与 x 轴的一个交点坐标是 A （﹣ 2， 0）．（1）求二次函数的分析式，并写出极点 D 的坐标；（2）将二次函数的图象沿x 轴向左平移个单位长度，当y ＜ 0 时，求 x 的取值范围．3、如图，已知抛物线y= ﹣ x2+mx+3与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于点C，点 B 的坐标为（3， 0）（1）求 m的值及抛物线的极点坐标．（2）点 P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P 的坐标．4、如图，抛物线y=ax 2+bx﹣ 3（ a≠ 0）的极点为E，该抛物线与x 轴交于 A、 B 两点，与y 轴交于点C，且 BO=OC=3AO，直线 y=﹣x+1 与 y 轴交于点D．（1）求抛物线的分析式；（2）证明：△ DBO∽△ EBC；（3）在抛物线的对称轴上能否存在点 P，使△ PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出切合条件的 P 点坐标，若不存在，请说明原因．5、课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，假如制作窗框的资料总长为6m，怎样设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m 时，透光面积最大值约为 1.05m2．我们假如改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形构成的矩形，如图2，资料总长仍为6m，利用图3，解答以下问题：（1）若 AB为 1m，求此时窗户的透光面积？（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请经过计算说明．6、正方形OABC的边长为 4，对角线订交于点P，抛物线L 经过 O、 P、 A 三点，点E 是正方形内的抛物线上的动点．（1）成立适合的平面直角坐标系，①直接写出 O、P、 A 三点坐标；②求抛物线 L 的分析式；（2）求△ OAE与△ OCE面积之和的最大值．[ 根源 :]7、如图，抛物线y=ax 2+bx﹣ 5（ a≠ 0）与x 轴交于点A（﹣ 5， 0）和点B（3， 0），与y 轴交于点 C．（1）求该抛物线的分析式；（2）若点 E 为 x 轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE=S△ABC时，求点 E 的坐标；（3）在（ 2）的条件下，抛物线上能否存在点P，使∠BAP=∠ CAE？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明原因．8、如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c（ a≠ 0）经过 A（﹣ 1，0）、B（ 3，0）、C（ 0，﹣ 3）三点，直线 l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A、点 B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；l 上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出全部切合条件的点M （3）点M也是直线的坐标．9、如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+1 经过点A（ 4，﹣ 3），极点为点B，点 P 为抛物线上的一个动点，l 是过点（0，2）且垂直于y 轴的直线，过P 作PH⊥ l ，垂足为 H，连结PO．（1）求抛物线的分析式，并写出其极点 B 的坐标；（2）①当P 点运动到 A 点处时，计算： PO= ，PH= ，由此发现，PO PH（填“＞” 、“＜”或“=”）；②当 P 点在抛物线上运动时，猜想PO与 PH有什么数目关系，并证明你的猜想；（3）如图 2，设点 C（ 1，﹣ 2），问能否存在点 P，使得以 P，O，H为极点的三角形与△ ABC 相像？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明原因．10 、如图，已知抛物线与 x 轴交于 A（﹣ 1 ， 0 ）， B（ 4 ， 0 ），与 y 轴交于 C （ 0 ，﹣ 2 ）．（1 ）求抛物线的解析式；（2 ） H 是 C 关于 x 轴的对称点， P 是抛物线上的一点，当△ PBH 与△ AOC 相似时，求符合条件的 P 点的坐标（求出两点即可）；（3 ）过点 C 作 CD∥ AB， CD 交抛物线于点 D，点 M 是线段 CD 上的一动点，作直线 MN 与线段 AC 交于点 N，与 x 轴交于点 E，且∠ BME=∠ BDC，当 CN 的值最大时，求点 E 的坐标．11、如图，对称轴为直线 x=2 的抛物线 y=x 2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C，且点A 的坐标为（﹣ 1， 0）（1）求抛物线的分析式；（2）直接写出 B、 C 两点的坐标；（3）求过 O， B， C 三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）注：二次函数y=ax2+bx+c （ a≠ 0）的极点坐标为（﹣，）12、在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图搁置，点A、C 的坐标分别是（0，4）、（﹣1， 0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，获得平行四边形A′B′ OC′．（1）若抛物线经过点C、 A、A′，求此抛物线的分析式；（2）点 M时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在哪处时，△ AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；（3）若 P 为抛物线上一动点，N 为 x 轴上的一动点，点Q坐标为（ 1， 0），当 P、N、 B、 Q 构成平行四边形时，求点P 的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N 的坐标．13、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax2+bx+2 过 B（﹣ 2， 6）， C（ 2， 2）两点．（1）试求抛物线的分析式；（2）记抛物线极点为 D，求△ BCD的面积；（3）若直线 y=﹣x 向上平移 b 个单位所得的直线与抛物线段BDC（包含端点B、 C）部分有两个交点，求 b 的取值范围．14、如图 1（注：与图 2 完整同样），二次函数y= x2+bx+c 的图象与x 轴交于 A（ 3，0），B （﹣ 1， 0）两点，与y 轴交于点C．（1）求该二次函数的分析式；（2）设该抛物线的极点为 D，求△ ACD的面积（请在图 1 中探究）；（3）若点 P， Q同时从 A 点出发，都以每秒 1 个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点抵达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到 t 秒时，△ APQ沿 PQ所在的直线翻折，点 A 恰巧落在抛物线上 E 点处，请直接判断此时四边形 APEQ的形状，并求出 E 点坐标（请在图 2 中探究）．15、如图，矩形的边 OA在 x 轴上，边 OC在 y 轴上，点 B 的坐标为（ 10， 8），沿直线 OD 折叠矩形，使点 A 正好落在 BC上的 E 处， E 点坐标为（ 6，8），抛物线 y=ax2+bx+c 经过 O、A、 E 三点．（1）求此抛物线的分析式；（2）求 AD 的长；（3）点 P 是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P 的坐标．16、如图，抛物线 L： y=ax 2+bx+c 与 x 轴交于 A、 B（ 3， 0）两点（ A 在 B 的左边），与 y 轴交于点 C（ 0， 3），已知对称轴 x=1．（1）求抛物线L 的分析式；（2）将抛物线L 向下平移h 个单位长度，使平移后所得抛物线的极点落在△OBC内（包含△OBC的界限），求 h 的取值范围；（3）设点 P 是抛物线L 上任一点，点Q在直线 l ：x=﹣ 3 上，△ PBQ可否成为以点P 为直角极点的等腰直角三角形？若能，求出切合条件的点P 的坐标；若不可以，请说明原因．参照答案 :1、解：（ 1）过点 P 作 PE⊥ x 轴于点 E，∵y=ax 2﹣ 2ax+c ，∴该二次函数的对称轴为： x=1，∴O E=1∵OC∥ BD，∴CP： PD=OE：EB，∴OE： EB=2： 3，∴E B= ，∴O B=OE+EB=，∴B（，0）∵A 与 B 对于直线x=1 对称，∴A（﹣，0）；（2）过点 C 作 CF⊥ BD于点 F，交 PE于点 G，令 x=1 代入 y=ax 2﹣2ax+c ，∴y=c ﹣ a，令 x=0 代入 y=ax 2﹣2ax+c ，∴y=c∴P G=a，∵CF=OB= ，∴t an ∠ PDB= ，∴F D=2，∵PG∥ BD∴△ CPG∽△ CDF，∴= =∴PG= ，∴a=，∴y= x2﹣ x+c ，把 A（﹣，0）代入y=x2﹣x+c， [ 根源 : ]∴解得： c=﹣ 1，∴该二次函数分析式为：y= x2﹣x﹣ 1．2、解：（ 1）∵把 C（ 0，﹣ 6）代入抛物线的分析式得：C=﹣6，把 A（﹣ 2，0）代入 y=x 2+bx ﹣6得： b=﹣ 1，∴抛物线的分析式为 y=x 2﹣ x﹣6．∴y= （ x﹣）2﹣．∴抛物线的极点坐标D（，﹣）．（2）二次函数的图形沿x 轴向左平移个单位长度得：y=（ x+2）2﹣．令 y=0 得：（ x+2）2﹣=0，解得： x1=，x2=﹣．∵a＞ 0，∴当 y＜ 0 时， x 的取值范围是﹣＜x＜．3、解：（ 1）把点 B 的坐标为（ 3， 0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得： 0=﹣ 32 +3m+3，解得： m=2，∴y= ﹣ x2+2x+3=﹣（ x﹣ 1）2+4，∴极点坐标为：（ 1， 4）．（2）连结 BC交抛物线对称轴 l 于点 P，则此时 PA+PC的值最小，设直线 BC的分析式为： y=kx+b ，∵点 C（ 0， 3），点 B（ 3，0），∴，解得：，∴直线 BC的分析式为：y= ﹣x+3，当x=1 时， y=﹣1+3=2，∴当 PA+PC的值最小时，求点P 的坐标为：（1， 2）．4、解：（ 1）∵抛物线y=ax2 +bx﹣ 3，∴c= ﹣ 3，∴C（ 0，﹣ 3），∴O C=3，∵BO=OC=3AO，∴BO=3， AO=1，∴B（ 3， 0）， A（﹣ 1， 0），∵该抛物线与x 轴交于 A、 B 两点，∴，∴，∴抛物线分析式为y=x 2﹣ 2x﹣3，（2）由（ 1）知，抛物线分析式为 y=x2 ﹣2x﹣ 3=（ x﹣ 1）2﹣4，∴E（ 1，﹣ 4），∵B（ 3， 0）， A（﹣ 1， 0）， C（ 0，﹣3），∴BC=3 ， BE=2 ，CE= ，∵直线 y=﹣ x+1 与 y 轴交于点 D，∴D（ 0， 1），∵B（ 3， 0），∴O D=1， OB=3，BD=，∴，，，∴，∴△ BCE∽△ BDO，（3）存在，原因：设P（ 1，m），∵B（ 3， 0）， C（ 0，﹣ 3），∴BC=3，PB=，PC=，∵△ PBC是等腰三角形，①当 PB=PC时，∴=，∴m=﹣ 1，∴P（ 1，﹣ 1），②当 PB=BC时，∴3=，∴m=±，∴P（ 1，）或P（1，﹣），③当 PC=BC时，∴3 = ，∴m=﹣ 3±，∴P（ 1，﹣ 3+ ）或 P（ 1，﹣ 3﹣），∴切合条件的P点坐标为 P（ 1，﹣ 1）或 P（ 1，）或 P（ 1，﹣）或 P（ 1，﹣ 3+ ）或 P（ 1，﹣ 3﹣）5、解：（ 1）由已知可得： AD= ，则 S=1×2 m，（2）设 AB=xm，则 AD=3﹣m，∵，∴，设窗户面积为S，由已知得：，当 x= m时，且 x= m在的范围内，，∴与课本中的例题比较，此刻窗户透光面积的最大值变大．6、解：（ 1）以 O点为原点，线段OA所在的直线为x 轴，线段OC所在的直线为y 轴成立直角坐标系，以下图．①∵正方形OABC的边长为 4，对角线订交于点P，∴点 O的坐标为（ 0， 0），点 A 的坐标为（ 4， 0），点 P 的坐标为（ 2，2）．②设抛物线L 的分析式为y=ax 2+bx+c ，∵抛物线L 经过 O、 P、 A 三点，∴有，解得：，∴抛物线L 的分析式为y=﹣+2x．（2）∵点 E 是正方形内的抛物线上的动点，∴设点 E 的坐标为（ m，﹣+2m）（ 0 ＜ m＜ 4），∴S +S = OA?y + 2 2OC?x =﹣m+4m+2m=﹣（ m﹣ 3） +9，△ OAE OCE E E∴当 m=3时，△ OAE与△ OCE面积之和最大，最大值为9．7、解：（1）把 A、 B 两点坐标代入分析式可得，解得，∴抛物线分析式为y= x2+x﹣ 5；2（2）在 y= x + x﹣ 5 中，令 x=0 可得 y=﹣ 5，∴C（ 0，﹣ 5），∵S△ABE=S△ABC，且 E 点在 x 轴下方，∴E 点纵坐标和 C 点纵坐标同样，当 y=﹣ 5 时，代入可得x2+ x=﹣ 5，解得 x=﹣ 2 或 x=0（舍去）， [ 根源 : ] ∴E 点坐标为（﹣2，﹣ 5）；（3）假定存在知足条件的 P 点，其坐标为（ m， m2+ m﹣ 5），如图，连结 AP、CE、 AE，过 E 作 ED⊥ AC于点 D，过 P作 PQ⊥ x 轴于点 Q，则 AQ=AO+OQ=5+m，PQ=| m2+m﹣ 5| ，在 Rt △ AOC中， OA=OC=5，则 AC=5，∠ ACO=∠ DCE=45°，由（ 2）可得 EC=2，在 Rt △ EDC中，可得 DE=DC=，∴AD=AC﹣ DC=5﹣=4，当∠ BAP=∠ CAE时，则△ EDA∽△ PQA，∴=，即=，∴2（ 5+m）或2m+ m﹣5= m+ m﹣ 5=﹣（5+m），当2m﹣5= （ 5+m）时，整理可得2或 m=﹣ 5（与 A 点重合，m+ 4m﹣ 5m﹣ 75=0，解得 m=舍去），当2m﹣5=﹣（ 5+m）时，整理可得2或 m=﹣ 5（与 A 点重合，m+ 4m+11m﹣ 45=0，解得 m=舍去），8、解：（ 1）将 A（﹣ 1， 0）、B（ 3， 0）、 C（ 0，﹣ 3）代入抛物线y=ax2 +bx+c 中，得：，解得：故抛物线的分析式：y=x2﹣ 2x﹣3．（2）当 P 点在 x 轴上， P，A，B 三点在一条直线上时，点P 到点 A、点 B的距离之和最短，此时 x=﹣=1，故 P（ 1， 0）；（3）以下图：抛物线的对称轴为：x=﹣=1，设 M（ 1， m），已知 A（﹣ 1， 0）、C（ 0，﹣3），则：22222 2MA=m+4，MC=（ 3+m） +1=m+6m+10， AC=10；2 2①若 MA=MC，则 MA=MC，得：2 2m+4=m+6m+10，解得： m=﹣ 1，2 2②若 MA=AC，则 MA=AC，得：2m+4=10，得： m=±；2 2③若 MC=AC，则 MC=AC，得：2m+6m+10=10，得： m1=0，m2=﹣ 6；当 m=﹣ 6 时， M、 A、 C 三点共线，构不可三角形，不合题意，故舍去；综上可知，切合条件的M点，且坐标为M（1，）（1，﹣）（1，﹣1）（1，0）．9、（ 1）解：∵抛物线y=ax2 +1 经过点 A（ 4，﹣ 3），∴﹣ 3=16a+1，∴a=﹣， [ 根源 : 学 , 科 , 网 Z,X,X,K]∴抛物线分析式为y=﹣x2+1，极点 B（ 0， 1）．（2）①当 P 点运动到 A 点处时，∵ PO=5， PH=5，∴PO=PH，故答案分别为 5， 5， =．②结论： PO=PH．原因：设点 P 坐标（ m，﹣ m2+1），∵PH=2﹣（﹣m2+1） =m2+1PO=2 = m+1，∴PO=PH．（3）∵ BC==，AC==，AB==4 ∴BC=AC，∵PO=PH，又∵以 P， O， H为极点的三角形与△ABC相像，∴PH与 BC， PO与 AC是对应边，∴=，设点P（m，﹣m2+1），∴=，解得 m=± 1，∴点 P 坐标（ 1，）或（﹣1，）．10 、解：（ 1 ）∵抛物线与 x 轴交于 A（﹣ 1， 0）， B（ 4 ， 0），∴设抛物线的解析式为： y=a （ x+1 ）（ x ﹣ 4 ），把（ 0 ，﹣ 2 ）代入 y=a （ x+1 ）（ x ﹣ 4 ），∴a= ，∴抛物线的解析式为： y= x 2﹣x ﹣ 2 ；（2 ）当△ PBH 与△ AOC 相似时，∴ △ AOC 是直角三角形，∴ △ PBH 也是直角三角形，由题意知： H（ 0 ，2 ），∴ OH=2，∵ A（﹣ 1 ， 0 ）， B（ 4 ，0 ），∴ OA=1， OB=4 ，∴∵ ∠ AOH=∠ BOH，∴ △ AOH∽ △ BOH，∴ ∠ AHO=∠ HBO，∴ ∠ AHO+∠ BHO=∠ HBO+∠ BHO=90 °，∴ ∠ AHB=90 °，设直线 AH 的解析式为： y=kx+b，把A（﹣ 1 ， 0 ）和 H（ 0 ， 2 ）代入 y=kx+b ，∴，∴ 解得，∴直线 AH 的解析式为： y=2x+2，联立，解得： x=1或x=﹣8，当x= ﹣ 1 时，y=0 ，当x=8 时，y=18∴ P 的坐标为（﹣ 1 ， 0 ）或（ 8， 18 ）（ 3 ）过点 M 作 MF⊥ x 轴于点 F，设点 E 的坐标为（ n ， 0 ）， M 的坐标为（ m， 0 ），∵ ∠ BME=∠ BDC，∴ ∠ EMC+∠ BME=∠ BDC+∠ MBD，∴ ∠ EMC=∠ MBD，∵CD∥ x 轴，∴ D 的纵坐标为﹣ 2 ，令 y= ﹣ 2 代入 y= x 2﹣x ﹣ 2 ，∴ x=0或x=3，∴ D（ 3，﹣ 2 ），∵ B（ 4， 0），∴由勾股定理可求得： BD=，∵ M（ m， 0），∴MD=3﹣ m， CM=m（ 0 ≤ m≤ 3 ）∴由抛物线的对称性可知：∠ NCM=∠ BDC，∴△ NCM∽ △ MDB，∴，∴，∴ CN= =﹣（ m﹣）2+ ，∴当 m= 时， CN 可取得最大值，∴此时 M 的坐标为（，﹣ 2 ），∴ MF=2， BF= ， MD=∴由勾股定理可求得： MB= ，∵E（ n， 0），∴ EB=4 ﹣ n，∵CD∥ x 轴，∴ ∠ NMC=∠ BEM，∠ EBM=∠ BMD，∴ △ EMB∽ △ BDM，∴，∴MB2 =MD? EB，∴= ×（ 4 ﹣ n ），∴n= ﹣，∴ E 的坐标为（﹣， 0 ）．11、解：（ 1）由 A（﹣ 1， 0），对称轴为 x=2，可得，解得，∴抛物线分析式为y=x 2﹣ 4x﹣5；（2）由 A 点坐标为（﹣ 1，0），且对称轴方程为 x=2，可知 AB=6，∴OB=5，∴B 点坐标为（ 5， 0），∵y=x 2﹣ 4x﹣ 5，∴C 点坐标为（ 0，﹣ 5）；（3）如图，连结BC，则△ OBC是直角三角形，∴过 O、 B、 C 三点的圆的直径是线段BC的长度，在Rt △ OBC中， OB=OC=5，∴BC=5 ，∴圆的半径为，∴圆的面积为π（）2=π．12、解：（ 1）∵平行四边形 ABOC绕点 O顺时针旋转 90°，获得平行四边形 A′ B′OC′，且点 A 的坐标是（ 0， 4），∴点 A′的坐标为：（ 4， 0），∵点 A、 C的坐标分别是（0， 4）、（﹣ 1， 0），抛物线经过点C、 A、 A′，设抛物线的分析式为：y=ax2+bx+c，∴，解得：，∴此抛物线的分析式为：y=﹣ x2+3x+4；（2）连结 AA′，设直线AA′的分析式为：y=kx+b ，∴，解得：，∴直线 AA′的分析式为：y=﹣ x+4，设点 M的坐标为：（ x，﹣ x2+3x+4），则S△AMA′= × 4×[ ﹣ x2+3x+4﹣（﹣ x+4） ]= ﹣ 2x2+8x=﹣2（ x﹣ 2）2+8，S△AMA′ =8，∴当 x=2 时，△ AMA′的面积最大，最大值∴M的坐标为：（2， 6）；（3）设点 P 的坐标为（ x，﹣ x2+3x+4），当 P， N， B， Q构成平行四边形时，∵平行四边形 ABOC中，点 A、 C的坐标分别是（ 0， 4）、（﹣ 1， 0），∴点 B 的坐标为（ 1， 4），∵点 Q坐标为（ 1， 0）， P 为抛物线上一动点， N为 x 轴上的一动点，①当 BQ为边时， PN∥ BQ， PN=BQ，∵BQ=4，∴﹣ x2+3x+4= ± 4，当﹣ x2+3x+4=4 时，解得： x1=0， x2=3，∴P1（ 0， 4）， P2（ 3，4）；2 ﹣ 4 时，解得： x = ， x = ，当﹣ x +3x+4=3 2∴P3（，﹣ 4）， P4（，﹣ 4）；②当 PQ为对角线时， BP∥ QN， BP=QN，此时 P 与 P ， P 重合；1 2综上可得：点P 的坐标为： P1（ 0， 4）， P2（ 3，4）， P3（，﹣ 4）， P4（，﹣4）；如图 2，当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为：（0， 0）或（ 3， 0）．13、解：（ 1）由题意解得，∴抛物线分析式为y=x2﹣ x+2．（2）∵ y= x2﹣ x+2= （ x﹣1）2+ ．∴极点坐标（1，），∵直线 BC为 y=﹣ x+4，∴对称轴与BC的交点 H（ 1， 3），∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=?3+?1=3．（3）由消去y获得x2﹣x+4﹣2b=0，当△ =0 时，直线与抛物线相切，1﹣ 4（ 4﹣2b） =0，∴b= ，当直线 y=﹣x+b 经过点 C 时， b=3，当直线 y=﹣x+b 经过点 B 时， b=5，∵直线 y=﹣x 向上平移 b 个单位所得的直线与抛物线段BDC（包含端点B、C）部分有两个交点，∴＜b≤ 3．[ 根源 : ZXXK]14、解：（ 1）∵二次函数y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（ 3， 0）， B（﹣ 1， 0），∴，解得：，∴y= x2﹣ x﹣ 4；（2）过点 D 作 DM⊥ y 轴于点 M，∵y= x2﹣x﹣ 4=（x﹣1）2﹣，∴点 D（ 1，﹣）、点C（0，﹣4），则S△ACD=S 梯形AOMD﹣ S△CDM﹣ S△AOC= ×（ 1+3）×﹣×（﹣4）× 1﹣× 3× 4=4；（3）四边形APEQ为菱形， E 点坐标为（﹣，﹣）．原因以下如图 2， E 点对于 PQ与 A 点对称，过点Q作， QF⊥ AP于 F，∵A P=AQ=t， AP=EP， AQ=EQ∴A P=AQ=QE=EP，∴四边形 AQEP为菱形，∵FQ∥ OC，∴== ，∴==∴AF= t ， FQ= t ?∴Q（ 3﹣t ，﹣t ），∵E Q=AP=t，∴E（ 3﹣t ﹣ t ，﹣t ），∵E 在二次函数y= x2﹣x﹣ 4 上，∴﹣t=（3﹣t ）2﹣（3﹣t ）﹣ 4，∴t=，或t=0（与A重合，舍去），∴E（﹣，﹣）．15、解：（ 1）∵四边形ABCD是矩形， B（ 10， 8），∴A（ 10， 0），又抛物线经过A、 E、 O三点，把点的坐标代入抛物线分析式可得，解得，∴抛物线的分析式为y=﹣x2+x；（2）由题意可知： AD=DE，BE=10﹣ 6=4， AB=8，设AD=x，则 ED=x， BD=AB﹣ AD=8﹣ x，在 Rt △ BDE中，由勾股定理可知2 2 2 2 2 2，解得 x=5，ED=EB+BD，即 x =4 +（ 8﹣ x）∴AD=5；（3）∵ y=﹣∴其对称轴为x2+x=5，x，∵A、 O两点对于对称轴对称，∴PA=PO，当P、 O、 D 三点在一条直线上时， PA+PD=PO+PD=OD，此时△ PAD的周长最小，如图，连结 OD交对称轴于点 P，则该点即为知足条件的点 P，由（ 2）可知 D点的坐标为（10， 5），设直线 OD分析式为y=kx ，把 D 点坐标代入可得5=10k，解得 k=，∴直线 OD分析式为y= x，令x=5，可得 y= ，∴P 点坐标为（ 5，）．16、解：（ 1）∵抛物线的对称轴x=1， B（3， 0），∴A（﹣ 1， 0）∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点 C（ 0，3）∴当 x=0 时， c=3．又∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点 A（﹣ 1， 0）， B（ 3， 0）∴，∴∴抛物线的分析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）∵C（0，3），B（3，0），∴直线BC分析式为y= ﹣x+3，∵y= ﹣ x2+2x+3=﹣（ x﹣ 1）2+4，∴极点坐标为（ 1， 4）∵对于直线BC：y=﹣ x+1，当 x=1 时， y=2；将抛物线L 向下平移h 个单位长度， [ 根源 : 学 * 科*网 ]∴当 h=2 时，抛物线极点落在BC上；当 h=4 时，抛物线极点落在OB上，∴将抛物线L 向下平移h 个单位长度，使平移后所得抛物线的极点落在△的界限），OBC内（包含△OBC则 2≤ h≤ 4；（3）设 P（ m，﹣ m2+2m+3）， Q（﹣ 3， n），①当 P 点在 x 轴上方时，过 P 点作 PM垂直于 y 轴，交 y 轴与 M点，过 B 点作 BN垂直于 MP 的延伸线于 N 点，以下图：∵B（ 3， 0），∵△ PBQ是以点 P 为直角极点的等腰直角三角形，∴∠ BPQ=90°， BP=PQ，则∠ PMQ=∠ BNP=90°，∠ MPQ=∠ NBP，在△ PQM和△ BPN中，，∴△ PQM≌△ BPN（ AAS），∴PM=BN，∵PM=BN=﹣ m2+2m+3，依据 B 点坐标可得PN=3﹣m，且 PM+PN=6，重庆市合川区第一中学2020年中考九年级数学典型压轴题专练：二次函数(包含答案)2∴﹣ m+2m+3+3﹣ m=6，解得： m=1或 m=0，∴P（ 1， 4）或 P（ 0， 3）．②当 P 点在 x 轴下方时，过 P 点作 PM垂直于 l 于 M点，过 B 点作 BN垂直于 MP的延伸线与N 点，同理可得△ PQM≌△ BPN，∴PM=BN，2∴PM=6﹣（ 3﹣m） =3+m， BN=m﹣2m﹣ 3，2则 3+m=m﹣ 2m﹣ 3，解得 m=或．∴P（，）或（，）．综上可得，切合条件的点P 的坐标是（ 1，4），（ 0，3），（，）和（，）．。
中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案
中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案一、选择题1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y=x2+1x B．y=12x(x-1) C．y=-2x-1 D．y=x(x2+1)．2．抛物线y=(x−2)2−3的顶点坐标是（）A．(2，−3)B．(−2，3)C．(2，3)D．(−2，−3)3．把抛物线y=5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y=5(x−2)2+3B．y=5(x+2)2−3C．y=5(x+2)2+3D．y=5(x−2)2−34．函数y＝ax2与y＝﹣ax+b的图象可能是（）A． B． C． D．5．函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k<3 B．k<3且k≠0 C．k≤3且k≠0 D．k≤36．若A（−5，y1），B（1，y2），C（2，y3）为二次函数y=x2+2x+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1<y2<y3B．y2<y3<y1C．y2<y1<y3D．y3<y1<y27．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①b＞0；②当x＞0，y随着x 的增大而增大；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（）A．21元B．22元C．23元D．24元二、填空题9．将二次函数y＝x2－2x化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为10．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标是（－1，0），（3，0），则此抛物线的对称轴是直线．11．将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是.12．飞机着陆后滑行的距离y （单位：m）关于滑行时间t （单位：s）的函数解析式是y=60t-65t2，从飞机着陆至停下来共滑行米．13．已知如图：抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+n相交于点A(−52，74)、B(0，3)两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＜kx+n的解集是三、解答题14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx−7的图象与二次函数y2=2x2+bx+c的图象交于A(1，−5)、B(3，t)两点.（1）求y1与y2的函数关系式；（2）直接写出当y1<y2时，x的取值范围；（3）点C为一次函数y1图象上一点，点C的横坐标为n，若将点C向右平移2个单位，再向上平移4个单位后刚好落在二次函数y2的图象上，求n的值.15．某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为60（元/件）.在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系，进行了市场调查，部分信息如表：销售价格x（元/件）80 90 100 110日销售量y（件）240 220 200 180（1）若y与x之间满足一次函数关系，请直接写出函数的解析式（不用写自变量x的取值范围）；（2）若该公司想每天获利8000元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？（3）为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款10元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大？（利润用w表示）16．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线：l：y=−x−1与y轴交于点C，与抛物线y=−x2+bx+c的另一个交点为D(5，−6)，已知P点为抛物线y=−x2+bx+c上一动．点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的动点，以NC为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的M点坐标．17．如图是北京冬奥会举办前张家口某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=−18x2+32x+32近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=−14x2+bx+c 运动．（1）当小张滑到离A处的水平距离为8米时，其滑行高度为10米，求出b，c的值；（2）在(1)的条件下，当小张滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为是5米？2（3）若小张滑行到坡顶正上方，且与坡顶距离不低于4米，求b的取值范围．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A(4，0)、B(−3，0)两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）如图①，点D是x轴下方抛物线上的动点，且不与点C重合．设点D的横坐标为m，以O、A、C、D 为顶点的四边形面积为S，求S与m之间的函数关系式．（3）如图②，连结BC，点M为线段AB上一点，点N为线段BC上一点，且BM=CN=n，直接写出当n为何值时△BMN为等腰三角形．参考答案 1．B 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B 7．B 8．B9．y =(x −1)2−1 10．x ＝1 11．a ＜5 12．75013．x <−52或x >014．（1）解：把点A(1，−5)代入y 1=kx −7得−5=k −7 ∴y 1=2x −7；把点B(3，t)代入y 1=2x −7中，得t =−1 ∴A(1，−5)把点A 、B 分别代入y 2=2x 2+bx +c 中，得{−2=2+b +c−1=18+3b +c 解得{b =−6c =−1∴y 2=2x 2−6x −1； （2）x <1或x >3（3）解：∵点C 为一次函数y 1图象上一点，∴C(n ，2n −7)将点C 向右平移2个单位，再向上平移4个单位后得到点C ′(n +2，2n −3) 把C ′代入y 2=2x 2−6x −1，得2n −3=2(n +2)2−6(n +2)−1 解得n =±1 所以n 的值为1或-1 15．（1）y=-2x+400（2）解：由题意，得：(x −60)(−2x +400)=8000解得x 1=100，x 2=160 ∵公司尽可能多让利给顾客 ∴应定价100元（3）解：由题意，得w =(x −60−10)(−2x +400)=−2x 2+540x −28000 =−2(x −135)2+8450∵−2<0∴当x =135时，w 有最大值，最大值为8450. 答：当一件衣服定为135元时，才能使每天获利最大. 16．（1）解：∵直线l ：y =−x −1过点A∴A(−1，0)又∵D(5，−6)将点A ，D 的坐标代入抛物线表达式可得：{−1−b +c =0−25+5b +c =−6 解得{b =3c =4．∴抛物线的解析式为：y =−x 2+3x +4． （2）解：如图设点P(x ，−x 2+3x +4) ∵PE ∥x 轴，PF ∥y 轴则E(x 2−3x −5，−x 2+3x +4)，F(x ，−x −1) ∵点P 在直线l 上方的抛物线上∴−1<x <5∴PE =|x −(x 2−3x −5)|=−x 2+4x +5，PF =|−x 2+3x +4−(−x −1)|=−x 2+4x +5 ∴PE +PF =2(−x 2+4x +5)=−2(x −2)2+18． ∴当x =2时，PE +PF 取得最大值，最大值为18．（3）符合条件的M 点有三个：M 1(4，−5)，M 2(2+√14，−3−√14)， M 3(2−√14，−3+√14)． 17．（1）解：由题意可知抛物线C 2：y=−14x 2+bx+c 过点(0， 4)和(8， 10) 将其代入得：{4=c10=−14×82+8b +c解得 ∴b=114，c=4（2）解：由(1)可得抛物线Cq 解析式为： y=−14x 2+114x+4设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为52米，依题意得： −14m 2+114m +4−(−18m 2+32m +32)=52解得： m 1=10，m 2=0(舍)故运动员运动的水平距离为10米时，运动员与小山坡的竖直距离为为52米． （3）解：∵抛物线C 2经过点(0， 4) ∴c=4抛物线C 1： y=−18x 2+32x +32=−18(x −6)2+6 当x=6时，运动员到达坡项 即−14×62+6b+4≥4+6． ∴b ≥15618．（1）解：把A(4，0)、B(−3，0)代入y =ax 2+bx −4中 得{16a +4b −4=09a −3b −4=0解得{a =13b =−13∴这条抛物线所对应的函数表达式为y =13x 2−13x −4． （2）解：当x =0时y =−4∴C(0，−4)当−3<m <0时S =S △ODC +S △OAC =12×4×(−m)+12×4×4=−2m +8当0<m <4时S =S △ODC +S △OAD =12×4×m +12×4×(−13m 2+13m +4)=−23m 2+83m +8． （3）解：n =52，n =2511，n =3011．。
重庆中考二次函数相关的最值问题(含答案)
二次函数相关的最值问题例1. 如图，抛物线y＝－x2－4x＋5与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．(1)求直线AC的解析式及顶点D的坐标；(2)若Q为抛物线对称轴上一动点，连接QA、QC，求|QA－QC|的最大值及此时点Q的坐标；(3)连接CD，点P是直线AC上方抛物线上一动点(不与点A、C重合)，过P作PE∥x轴交直线AC于点E，作PF∥CD交直线AC于点F，当线段PE＋PF取最大值时，求点P的坐标及线段EF的长；(4)在(3)问的条件下，将P 向下平移34个单位得到点H ，在抛物线对称轴上找一点L ，在y 轴上找一点K ，连接OL ，LK ，KH ，求线段OL ＋LK ＋KH 的最小值，并求出此时点L(5)在(3)问的条件下，将线段PE 沿着直线AC 的方向平移得到线段P′E′，连接DP′，BE ′，求DP′＋P′E′＋E′B 取最小值时点E′的坐标．针对训练1．如图，直线y＝kx＋b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(－4，0)、B(0，3)，抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C.(1)求直线y＝kx＋b的解析式；(2)若点P(x，y)是抛物线y＝－x2＋2x＋1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x 的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；(3)若点E在抛物线y＝－x2＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE＋EF的最小值．2．如图①，已知抛物线y＝－33x2＋2 33x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC 交DH的延长线于点E.(1)求线段DE的长度；(2)如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为线段PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少．3．如图，对称轴为直线x＝2的抛物线经过A(－1，0)，C(0，5)两点，与x轴另一交点为B.已知M(0，1)，E(a，0)，F(a＋1，0)，点P是第一象限内的抛物线上的动点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？说明理由．4．已知，如图，二次函数y＝ax2＋2ax－3a(a≠0)图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点(B点在A点右侧)，点H，B关于直线l：y＝33x＋3对称．(1)求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；(2)求二次函数的解析式；(3)过点B作直线BK∥AH交直线l于点K，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN＋NM＋MK和的最小值．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－12x 2＋2x ＋3与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，连接BC ，过点A 作AD∥BC 交y 轴于点D.(1)求平行线AD 、BC 之间的距离；(2)点P 为线段BC 上方抛物线上的一动点，当△PCB 的面积最大时，Q 从点P 出发，先沿适当的路径运动到直线BC 上点M 处，再沿垂直于直线BC 的方向运动到直线AD 上的点N 处，最后沿适当的路径运动到点B 处停止．当点Q 的运动路径最短时，求点Q 经过的最短路径的长．6．如图，抛物线y＝－34x2－94x＋3 3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点Q为顶点，点D为点C关于对称轴的对称点．(1)求点D的坐标和tan∠ABC的值；(2)若点P是抛物线上位于点B、D之间的一个动点(不与B、D重合)，在直线BC上有一动点E，在x 轴上有一动点F.当四边形ABPD的面积最大时，一动点G从点P出发以每秒1个单位的速度沿P→E→F的路径运动到点F，再沿线段FA以每秒2个单位的速度运动到A点后停止，当点F的坐标是多少时，动点G 在运动过程中所用时间最少？二次函数相关的最值问题答案例1. 解：(1)∵y ＝－x 2－4x ＋5＝－(x 2＋4x )＋5＝－(x ＋2)2＋9，∴D (－2，9)．当x ＝0时，y ＝5，∴C (0，5)．当y ＝0时，x 1＝1，x 2＝－5，∴A (－5，0)，B (1，0)，∴y AC ＝x ＋5；(2)因为点Q 在抛物线对称轴上，由抛物线对称性知QA ＝QB ，由C (0，5)和B (1，0)可求得y BC ＝－5x ＋5，根据三角形三边关系可知，当点Q ，C ，B 三点共线时，|QB －QC |最大，即|QA －QC |最大，可求直线y BC ＝－5x ＋5与抛物线对称轴交点Q 为(－2，15)，此时|QA －QC |最大值＝BC ＝26.解：(3)过P 作PQ ∥y 轴，交AC 于Q ，再作FM ⊥PQ 于M ，如图①，直线AC ：y ＝x ＋5，设P (t ，－t 2－4t ＋5)，Q (t ，t ＋5)，∴PQ ＝(－t 2－4t ＋5)－(t ＋5)＝－t 2－5t .∵∠PEF ＝∠CAO ＝45°，∴PE ＝PQ ＝－t 2－5t ，∵PF ∥CD ，∴k CD ＝－2＝k PF ，∴tan ∠MPF ＝12， 设FM ＝n ＝MQ ，则PM ＝2n ，PQ ＝3n ，PF ＝5n ，即PF ＝53PQ ，∴PE ＋PF ＝(3＋5)n ＝(1＋53)PQ ， ∴当PQ 最大时，PE ＋PF 取最大值，而PQ ＝－t 2－5t ＝PE ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋522＋254， 当t ＝－52时，PE ＋PF 取最大值， 此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，354，EF ＝2PM ＝25 26. (4)如图②：在(3)问的条件下，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，354， ∴H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，8，作H 关于y 轴的对称点H 1， 作O 关于抛物线对称轴对称点O 1，所以O 1(－4，0)，H 1⎝ ⎛⎭⎪⎫52，8， 连接O 1H 1，则O 1H 1长即为OL ＋LK ＋KH 的最小值，直线O 1H 1：y ＝1613x ＋6413， ∴直线O 1H 1与抛物线对称轴交点即为L 点的位置，此时L ⎝⎛⎪⎫－2，3213OL ＋LK ＋KH 的最小值＝O1H 1＝5217；(5)在(3)问的条件下，P ′E ′＝PE 25在线段PE 平移过程中，PE 即P′E′长度不变，将DP′沿P′E′向右平移PE 的长即254个单位，得到D′E′，如图③， 则四边形D′DP′E′为平行四边形，故DP′＝D′E′，要使得DP′＋P′E′＋E′B 最小，即DP′＋E′B 最小，即要使D′E′＋E′B 最小，当D′，E ′，B 三点共线时，D ′E ′＋E′B 最小，设D′B 与直线AC 交于点E″.由题意知D′⎝ ⎛⎭⎪⎫174，9，直线BD′：y ＝3613x －3613， ∴E ″⎝ ⎛⎭⎪⎫10123，21623，即点E ′的坐标为(10123，21623)． 针对训练：1. 解：(1)∵直线y ＝kx ＋b 经过A (－4，0)、B (0，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝34，b ＝3.∴y ＝34x ＋3.(2)过点P 作PH ⊥AB 于点H ，过点H 作x 轴的平行线MN ，分别过点A 、P 作MN 的垂线段，垂足分别为M 、N .设H (m ，34m ＋3)，则M (－4，34m ＋3)，N (x ，34m ＋3)，P (x ，－x 2＋2x ＋1)． ∵PH ⊥AB ，∴∠PHN ＋∠AHM ＝90°，∵AM ⊥MN ，∴∠MAH ＋∠AHM ＝90°.∴∠MAH ＝∠PHN ，∵∠AMH ＝∠PNH ＝90°，∴△AMH ∽△HNP .∵MA ∥y 轴，∴△MAH ∽△OBA .∴△OBA ∽△NHP .∴NH 3＝PN 4＝PH 5. ∴x －m 3＝（34m ＋3）－（－x 2＋2x ＋1）4＝d 5. 整理得：d ＝45x 2－x ＋85，所以当x ＝58时，d 取最小值，此时P (58，11964)．(3)抛物线的对称轴为直线x ＝1，作点C 关于直线x ＝1的对称点C ′，过点C ′作C ′F ⊥AB 于F .过点F 作JK ∥x 轴，分别过点A 、C ′作AJ ⊥JK 于点J ，C ′K ⊥JK 于点K ，则C ′(2，1)．设F (m ，34m ＋3)， ∵C ′F ⊥AB ，∴∠AFJ ＋∠C ′FK ＝90°，∵C ′K ⊥JK ，∴∠C ′＋∠C ′FK ＝90°，∴∠C ′＝∠AFJ ，∵∠J ＝∠K ＝90°，∴△AFJ ∽△FC ′K .∴AJ FK ＝JF C ′K ，∴34m ＋32－m ＝m ＋434m ＋2，解得m ＝825或m ＝－4(不符合题意，舍去)∴F (825，8125)，∵C ′(2，1)，∴FC ′＝145. 142. 解：(1)对于抛物线y ＝－33x 2＋2 33x ＋3， 令x ＝0，得y ＝3，即C (0，3)，D (2，3)，∴DH ＝3，令y ＝0，即－33x 2＋2 33x ＋3＝0，得x 1＝－1，x 2＝3， ∴A (－1，0)，B (3，0)，∵AE ⊥AC ，EH ⊥AH ，∴△ACO ∽△EAH ，∴OC AH ＝OA EH ，即33＝1EH ，解得：EH ＝3，则DE ＝2 3；(2)如图②，找点C 关于DE 的对称点N (4，3)，找点C 关于AE 的对称点G (－2，－3)，连接GN ，交AE 于点F ，交DE 于点P ，即G 、F 、P 、N 四点共线时，△CPF 的周长＝CF ＋PF ＋CP ＝GF ＋PF ＋PN 最小，直线GN 的解析式：y ＝33x －33；直线AE 的解析式：y ＝－33x －33；直线DE 的解析式：x ＝2.联立得：F (0，－33)，P (2，33)， 过点M 作y 轴的平行线交FH 于点Q ，设点M (m ，－33m 2＋2 33m ＋3)， 则Q (m ，33m －33)(0≤m ≤2)； ∴S △MFP ＝S △MQF ＋S △MQP ＝12MQ ×2＝MQ ＝－33m 2＋33m ＋4 33， ∵对称轴为直线m ＝12，而0≤12≤2，抛物线开口向下， ∴m ＝12时，△MPF 的面积有最大值，为17 312.3. 解：(1)∵对称轴为直线x ＝2，∴设抛物线解析式为y ＝m ′(x －2)2＋k .将A (－1，0)，C (0，5)代入得：⎩⎪⎨⎪⎧9m ′＋k ＝0，4m ′＋k ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ′＝－1，k ＝9，∴y ＝－(x －2)2＋9＝－x 2＋4x ＋5.(2)∵M (0，1)，C (0，5)，△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，∴点P 的纵坐标为3.令y ＝－x 2＋4x ＋5＝3，解得x ＝2±6.∵点P 在第一象限，∴P (2＋6，3)．四边形PMEF 的四条边中，PM 、EF 长度固定，因此只要ME ＋PF 最小，则四边形PMEF 的周长最小． 如图，将点M 向右平移1个单位长度(EF 的长度)，得M 1(1，1)；作点M 1关于x 轴的对称点M 2，则M 2(1，－1)；连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME ＋PF ＝PM 2最小．设直线PM 2的解析式为y ＝mx ＋n ，将P (2＋6，3)，M 2(1，－1)代入得：⎩⎨⎧（2＋6）m ＋n ＝3，m ＋n ＝－1，解得：m ＝4 6－45，n ＝－4 6＋15， ∴y ＝4 6－45x －4 6＋15. 当y ＝0时，解得x ＝6＋54.∴F (6＋54，0)． ∵a ＋1＝6＋54，∴a ＝6＋14.∴a ＝6＋14时， 四边形PMEF 周长最小．4. 解：(1)依题意，得ax 2＋2ax －3a ＝0(a ≠0)，解得x 1＝－3，x 2＝1，∵B 点在A 点右侧，∴A 点坐标为(－3，0)，B 点坐标为(1，0)，证明：∵直线l ：y ＝33x ＋3， 当x ＝－3时，y ＝33×(－3)＋3＝0，∴点A 在直线l 上．(2)过顶点H 作HC ⊥AB 交AB 于C 点，∵点H 、B 关于过A 点的直线l ：y ＝33x ＋3对称，∴AH ＝AB ＝4， 又∵点H 为抛物线顶点，则点H 在抛物线对称轴上，∴AH ＝BH ＝AB ＝4.在Rt △ACH 中，由勾股定理得CH ＝AH 2－AC 2＝2 3，∴顶点H (－1，2 3)，代入二次函数解析式，解得a ＝－32，∴二次函数解析式为y ＝－32x 2－3x ＋3 32.(3)直线AH 的解析式为y ＝3x ＋3 3，直线BK 的解析式为y ＝3x －3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋3，y ＝3x －3，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2 3， 即K (3，2 3)，则BK ＝4，∵点H 、B 关于直线AK 对称，∴HN ＋MN 的最小值是MB ，过点K 作KD ⊥x 轴于D ，作点K 关于直线AH 的对称点Q ，连接QK ，交直线AH 于E ，则KE ＝KD ＝2 3，QM ＝MK ，QE ＝EK ＝2 3，AE ⊥QK ，∴BM ＋MK 的最小值是BQ ，即BQ 的长是HN ＋NM ＋MK 的最小值，∵BK ∥AH ，∴∠BKQ ＝∠HEQ ＝90°， 由勾股定理得QB ＝8，∴HN ＋NM ＋MK 的最小值为8.5. 解：(1)令y ＝0，即－12x 2＋2x ＋3＝0， 解得：x 1＝－2，x 2＝3 2，∴A (－2，0)，B (3 2，0)，∵当x ＝0时，y ＝3，∴C (0，3)， 在Rt △BOC 中，BO ＝3 2，CO ＝3，∴BC ＝3 3，∴sin ∠CBO ＝CO BC ＝33. 因为AD ∥BC ，∴sin ∠BAD ＝sin ∠CBO ＝33. 过B 作BH ⊥AD 于点H ，∴sin ∠BAD ＝BH AB ＝33，∴BH ＝4 63； ∴平行线AD 、BC 间的距离为43 6. (2)过P 作PQ ∥y 轴，交BC 于点Q ，设P (m ，－12m 2＋2m ＋3)，∵直线BC ：y ＝－22x ＋3，∴Q (m ，－22m ＋3)， ∴S △PCB ＝12·PQ ·(x B －x C )＝3 22(－12m 2＋3 22m )， 当m ＝3 22时，S △CPB 最大，此时，P (3 22，154)． 取点B 关于AD 的对称点B ′，将B ′沿B ′B 方向平移4 63个单位长度得B ′′，此时B ′′与点H (5 23，－83)重合． 连接HP ，交BC 于点M ，点M 即为所求．∴(PM ＋NM ＋BN )最小＝PH ＋MN ＝593712＋4 63.6. 解：(1)令－34x 2－94x ＋3 3＝0，解得x 1＝－4 3，x 2＝3，∴A (－4 3，0)，B (3，0)， 在y ＝－34x 2－94x ＋3 3中，令x ＝0，则y ＝3 3， ∴C (0，3 3)，∴OC ＝3 3，BO ＝3，在Rt △COB 中，∴tan ∠ABC ＝OC OB＝3，由y ＝－34x 2－94x ＋3 3知，对称轴直线为x ＝－3 32，∴点D (－3 3，3 3)；(2)由B (3，0)，D (－3 3，3 3)可得直线BD 解析式：y ＝－34x ＋3 34， 过P 作PK ⊥x 轴交BD 于点K ，设P (m ，－34m 2－94m ＋3 3)，则K (m ，－34m ＋3 34)， S 四边形ABPD ＝S △ABD ＋S △PBD ，S △ABD 是定值，∴S 四边形ABPD 最大时，即S △PBD 最大． S △PBD ＝12(x B －x D )(y P －y K )＝－32m 2－3 3m ＋272， 当m ＝－b 2a ＝－3时，S △PBD 最大，此时点P 坐标为(－3，9 32)． 作点P (－3，9 32)关于直线BC 的对称点P ′(－310，24 35)， 以A 为顶点，在x 轴下方作∠BAT ＝30°，过P ′作直线AT 的垂线分别交BC 、x 轴于点E 、F ，此时，点G 在运动过程中所用时间最少，3 10－245，0)．点F坐标为(－。
2020年重庆中考26题二次函数综合
二次函数二次函数压轴题总结：（凡解析几何问题，均是以几何性质探路，代数书写竣工。
） 已知、 y=322--x x （以下几种分类的函数解析式就是这个）1、和最小，差最大 在对称轴上找一点P ，使得PB+PC 的和最小，求出P 点坐标 在对称轴上找一点P ，使得PB-PC 的差最大，求出P 点坐标解决方案：识别模型，A 、若为过河问题模型，根据“异侧和最小，同侧差最大，根据问题同侧异侧相互转化”；B 、若有绝对值符号或不隶属于过河问题，可将问题形式平方，构建函数，转化为求函数最值问题（若表达式中含有根式等形式，可考虑用换元法求最值）。
2、求面积最大 连接AC,在第四象限抛物线上找一点P ，使得ACP ∆面积最大，求出P 坐标解决方案：熟悉基本图形的面积公式【或根据拼图思想，采用割补法求面积（注意不重不漏）。
】，根据问题，灵活选择面积公式，务必使表达式简单，变量的最值好求，讲变量的最值问题转化为：”定值+变量的最值“3、讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ∆为直角三角形，求出P 坐标或者在抛物线上求点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形．解决方案：此类问题是分类讨论思想能力的考察，由于直角三角形的”直角边“”和“斜边”不确定而展开讨论。
在不忘三角形满足三边关系的条件下，勿忘“等腰直角三角形”。
4、讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ∆为等腰三角形，求出P 坐标 解决方案：分析同上4，在能组成△的大前提下，根据谁作为腰，谁作为底边展开讨论。
5、讨论平行四边形 1、点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以B ，A ，F ，E 四点为顶点的四 边形为平行四边形，求点F 的坐标解决方案：从平行四边形的性质入手，已知三点求另外一点，分析其位置情况（分别以3点中任一已知两点的线段为平行四边形的边或其对角线来展开所有的情况的讨论）。
6、相似三角形 问抛物线上是否存在一动点D ，使得△ABD ∽△ABC 。
重庆中考二次函数的综合题22-40题
二次函数的综合题22、如图，抛物线y=21x 2+bx+c 与直线y=kx+m 交于A （4,2）B （0，-1）. ⑴ 求抛物线与直线的解析式；⑵ 设点C 为抛物线的顶点，求△ABC 的面积；⑶ 若点D 是直线l 下方抛物线上的一个动点，点D 的横坐标为m ，求△ABD 的最大面积及求此时点D 的坐标.23、已知抛物线y=-x 2+bx+c 过点A （4,0）、B （1,3），顶点为C. ⑴ 求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； ⑵ 求△ABC 的面积；⑶ 记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P （m ，n ）在第四象限，点P 关于直线l 对称的点为E ，点E 关于x 轴的对称点为点F ，若四边形OFAP 的面积为20，求点P 的坐标.24、如图，已知抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）经过A （-1，0），B （4，0），C （0，2）三点.⑴ 求这条抛物线的解析式；⑵ E 为抛物线上的动点，当以A 、B 、E 为顶点的三角形与△COB 相似时，求点E 的坐标； ⑶ 若将直线BC 平移，使其经过点A ，且与抛物线相交于点D ，连接BD ，求∠BDA 的度数.25、如图，抛物线322--=x x y 与x 轴交于点A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点. ⑴ 求B 、C 、D 三点的坐标；⑵ 连接BC 、BD 、CD ，若点P 为抛物线上一动点，设点P 的横坐标为m ，当△B C D△P B CS S =时，求m 的值（点P 不与点D 重合）；⑶ 连接AC ，将△AOC 沿x 轴正方向平移，设移动距离为a ，当点A 和点B 重合时，停止运动，设运动过程中△AOC 与△BOC 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与a 之间的函数关系式，并写出相应的自变量a 的取值范围.26、如图⑴，抛物线52++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线AC 的解析式为5+=x y ，抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，点D （-2，-3）在对称轴上.⑴ 求抛物线的解析式；⑵ 如图⑴，若点M 是线段OE 上一点（点M 不与点O 、E 重合），过点M 作MN ⊥x 轴，交抛物线于点N ，记点N 关于抛物线的对称轴的对称点为点F ，点P 是线段MN 上一点，且满足MN=4MP ，连接FN 、FP ，作QP ⊥PF 交x 轴于点Q ，且满足PF=PQ ，求点Q 的坐标；⑶ 如图⑵，过点B 作BK ⊥x 轴交直线AC 于点K ，连接DK 、AD ，点H 是DK 的中点，点G 是线段AK 上任意一点，将△DGH 沿GH 翻折得△D ¹GH ，求当KG 为何值时，△D ¹GH 与△KGH 重叠部分的面积是△DGK 面积的41.图⑴ 图⑵备用图27、如图，二次函数y=ax 2+bx （a≠0）的图象经过点A （1，4），对称轴是直线x=-23 ，线段AD 平行于x 轴，交抛物线于点D ．在y 轴上取一点C （0，2），直线AC 交抛物线于点B ，连结OA ，OB ，OD ，BD ． （1）求该二次函数的解析式；（2）求点B 坐标和坐标平面内使△EOD ∽△AOB 的点E 的坐标；（3）设点F 是BD 的中点，点P 是线段DO 上的动点，问PD 为何值时，将△BPF 沿边PF 翻折，使△BPF 与△DPF 重叠部分的面积是△BDP 的面积的41？28、如图，二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于A （-1，0）、B （3，0），与y 轴交于C （0，-3），顶点为D.连接BC 、BD 、AC 、CD.将△AOC 绕点O 逆时针旋转90°得△MOB.⑴ 求抛物线的解析式及直线BD 的解析式；⑵ ① 操作一：动点P 从点M 出发到x 轴上的点N ，又到抛物线的对称轴上的点Q ，再回到y 轴上的点C ，当四边形MNQC 的周长最小时，则四边形MNQC 的最小周长为 ，此时，tan ∠OMN=② 操作二：将△AOC 旋转过程中，A 的对应点1A ，点C 的对应点1C ，当 O 1A ⊥AC 时，求直线O 1C 与抛物线的交点的坐标；⑶ 将△BOM 沿y 轴的负半轴以每秒1个单位的速度平移，当BM 过点D 时停止平移，设平移的时间为t 秒，△BOM 与△BCD 的重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式及相应的t 的取值范围29、如图⑴，抛物线52++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线AC 的解析式为5+=x y ，抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，点D （-2，-3）在对称轴上.（1）求此抛物线的解析式；（2）如图（1），若点M 是线段OE 上一点（点M 不与点O 、E 重合），过点M 作MN轴，交抛物线于点N ，记点N 关于抛物线对称轴的对称点为点F ，点P 是线段MN 上一点，且满足MN=4MP ，连接FN 、FP ，作QP PF 交轴于点Q ，且满足PF=PQ ，求点Q 的坐标；（3）如图（2），过点B 作BK轴交直线AC 于点K ，连接DK 、AD ，点H 是DK 的中点，点G 是线段AK 上任意一点，将DGH 沿GH 边翻折得，求当KG为何值时，与重叠部分的面积是DGK 面积的.30、已知如图，抛物线33122+--=x x y 与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，点D 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x 轴相交于点E.⑴ 如图① 点F 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，过点F 作FG ∥x 轴，交直线AC 与点G ，求线段FG 的最大值；⑵ 如图② 点P 为x 轴下方、对称轴左侧抛物线上的一点，连接PA ，以线段PA 为边作等腰直角三角形PAQ ，当点Q 在抛物线对称轴上时，求点P 的坐标；⑶ 如图③ 将线段AB 绕点A 顺时针旋转30°，与y 轴相交于点M ，连接BM.点S 是线段AM 的中点，连接OS ，得△OSM.若点N 是线段BM 上一动点，连接SN ，将△SMN 绕点S 逆时针旋转60°得到△SOT ，延长TO 交BM 于点K.若△KTM 的面积等于△ABM 的面积的121，求线段MN 的长.31、如图1，已知抛物线c bx x y ++=23经过点A （3，0），点B （-1，0），与y 轴负半轴交于点C ，连接BC 、AC ⑴ 求抛物线的解析式；⑵ 在抛物线上是否存在点P ，使得以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形的面积等于△ABC 的面积的23倍？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. ⑶ 如图2，直线BC 与抛物线的对称轴交于点K ，将直线AC 绕点C 按顺时针方向旋转°α，旋转中直线A ´C 与抛物线的另一个交点为M.求在旋转过程中△MCK 为等腰三角形时点M 的坐标.32、已知，抛物线33163310332+-=x x y 与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C.⑴ 设抛物线的顶点为P ，点M 为抛物线BP 之间的一动点，求四边形ABMP 面积的最大值； ⑵ 把△APB 翻折，使点P 落在线段AB 上（不与A 、B 重合），记作P ´,折痕为EF ，设 AP ´=x ，PE=y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；⑶ 当点P ´在线段AB 上运动但不与A 、B 重合时，能否使△BFP ´为直角三角形？若能，请求出此时点P ´的坐标；若不能，请你说明理由.33、如图，若二次函数363632--=x x y 的图象与x 轴交于点A 、B 两点，与直线x y 3=交于C 、D 两点，抛物线的顶点为E.⑴ 若点F 在y 轴正半轴上，且使得△AEF 的面积为235，求点F 的坐标； ⑵ 点M 为线段CD 上一点，过点M 作MN ∥x 轴，交抛物线对称轴右侧部分于点N ，当线段MN 的长度取得最大值时，求tan ∠MAB 的值⑶ 如图② 点G 在直线x y 3=上，其横坐标与B 点的横坐标相同.点A 关于直线x y 3=的对称点A ´（此时点A ´会落在抛物线上),连接AA ´，交直线x y 3=于点H ，连接AG 、A ´G.已知点P 在线段AG 上，点Q 在线段A ´G 上，且AP=2GQ ，连接PQ 、QH 、PH ，若将△APH 和△A ´QH 分别沿PH 、QH 翻折，恰好使得翻折后A 点和A ´点的对称点都落在直线PQ 上，求此时线段AP 的长.34、如图，抛物线42-+=bx ax y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴是直线x=25，直线421-=x y 经过B 、C 两点. ⑴ 求抛物线的解析式；⑵ 若在对称轴右侧的抛物线上有一点P ，过点P 作PD ⊥直线BC ，垂足为D ，当∠PBD=∠ACO 时，求出点P 的坐标；⑶ 如图2，过点C 作CE ∥x 轴交抛物线于点E ，连接AE ，点F 是线段CE 上的动点，过点F 作FG ⊥x 轴，交AE 于H ，垂足为点G ，将△EFH 沿直线AE 翻折，得到△EMH ，连接GM.是否存在这样的点F ，使△GHM 是等腰三角形？若存在，求出对应的EF 的长度；若不存在，请说明理由35、已知抛物线c bx x y ++-=23与x 轴交于点A （1，0）、B （3，0），与y 轴相交于点C ，抛物线的顶点为D.⑴ 求b 、c 的值及顶点D 的坐标；⑵ 如图1，点E 是线段BC 上的一点，且BC=3BE ，点F （0，m ）是y 轴正半轴上一点，连接BF 、EF ，EF 交线段OB 于点G ，OF ：OG=2：3，求△FEB 的面积；⑶ 如图2，P 为线段BC 上一动点，连接DP ，将△DBP 绕点D 顺时针旋转60°得△DB ´P ´，（点B 的对应点是B ´，点P 的对应点是P ´），DP ´交y 轴于点M ，N 为MP ´的中点，连接PP ´、NO ，延长NO 交BC 于点Q ，连接QP ´，若△PP ´Q 的面积是△BOC 面积的91，求线段BP 的长.36、如图①所示，抛物线c bx ax y ++=2过A 、D 、C 三点，其中D （0，32）、C （6，32），已知CB ⊥AB ，AD ⊥DB ，点P 是边BC 上的动点（点P 不与点B 、C 重合）， 过点P 作直线PQ ∥BD ，交CD 边于点Q ，再把△PQC 沿着直线PQ 对折，点C 的对应点为R.⑴ 求抛物线的解析式及R 落在BD 上时CP 的长；⑵ 当点R 刚好落在线段AB 上时，如图②，若此时将△所得的点R 在线段AB 上移动，问在移动过程中是否存在某一时刻，使得△ADR 为等腰三角形？若存在，求出AR 的长度；若不存在，请说明理由；⑶ 当点R 落在BD 上时（如图③），点M 为BC 边上一动点，连接QM ，将△CQM 绕点Q 顺时针旋转60°，得到△RQH.延长HR 交直线CB 于点K.若△HMK 的面积等于23.求CM 的长.37、如图，二次函数322--=x x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为D.⑴ 点E （2213+，m ）是抛物线上的一点，求∠AOE 的度数； ⑵ 动点P 在线段OB 上以每秒1个单位的速度从O 点出发向B 点运动，同时动点Q 在线段BC 上以每秒2个单位的速度从C 点向B 点运动，设运动时间为t ，求△OPQ 面积的最大值和对应的时间t 的值；⑶ 当△OPQ 面积最大时，直线PQ 与抛物线在第四象限相交于点N ，在直线AN 上有一动点M ，M 点关于x 轴的对称点为M ₁，M 关于y 轴的对称点为M ₂，是否存在M 点使 △D M M 21为直角三角形？若存在，求出M 点的坐标，若不存在，请说明理由.38、如图，抛物线3332332-+=x x y 交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C. ⑴ 求抛物线的对称轴及△ABC 的面积；⑵ 如图1，已知点Q （0，3），点P 是直线AC 下方抛物线上的一动点，连接PQ 交直线AC 于点K ，连接BQ 、BK.当点P 使得△BQK 周长最小时，请求出△BQK 周长的最小值和此时点P 的坐标；⑶ 如图2，线段AC 水平向右移动的线段FE （点A 的对应点是F ，点C 的对应点E ），将△ACF 沿CF 翻折得△CFA ´，连接A ´E ，是否存在点F ，使得△CEA ´是直角三角形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由39、已知，如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，-4），C 为y 轴负半轴上一点，且OC=AB ，抛物线c bx x y ++=22的图象经过A 、C 两点. ⑴ 求此抛物线的解析式；⑵ 将∠OAB 的顶点A 沿AB 平移，在平移过程中，保持∠OAB 的大小不变，顶点A 记为A 1，一边AB 记为A 1B ₁，A 1与B 重合时停止平移.A 1B 1与y 轴交于点D.当△A 1OD 是以A 1D 为腰的等腰三角形时，求点A 1的坐标；⑶ 在⑵问的条件下，直线A 1B 1与x 轴交于点E ，P 为⑴中抛物线上一动点，直线PA 1交x 轴于点G ，在直线EB 1下方的抛物线上是否存在一点P ，使得△PDA 1与△GEA 1的面积之比为()221+：1.若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由.40、如图，在平面直角坐标系xoy 中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，且AB=3，BC=23，直线323-=x y 经过点C ，交y 轴于点G.⑴ 求C 、D 的坐标；⑵ 已知抛物线顶点在323-=x y 上，且经过点C 、D ，若抛物线于y 轴交于点M ，连接MC ，设点Q 是线段下方此抛物线上一点，当点Q 运动到什么位置时，△MCQ 的面积最大？求出此时点Q 的坐标和面积的最大值.⑶ 将⑵中抛物线沿着直线323-=x y 平移，平移后的抛物线交y 轴于点F ，顶点为E （顶点在y 轴右侧），平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG 为等腰三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.。
中考数学《二次函数》专项练习题及答案
中考数学《二次函数》专项练习题及答案一、单选题1．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b；⑤3a+c＜0．其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个2．对于抛物线y=−13(x−5)2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（5，3）B．开口向上，顶点坐标（5，3）C．开口向下，顶点坐标（－5，3）D．开口向上，顶点坐标（－5，3）3．向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的？()A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒4．已知二次函数y=x2−4x+2，当自变量x取值在−2≤x≤5范围内时，下列说法正确的是（）A．有最大值14，最小值－2B．有最大值14，最小值7C．有最大值7，最小值－2D．有最大值14，最小值25．如图，二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=1，则下列说法正确的有()①abc<0，②2a+b=0，③a−b+c>0，④若4a+2b+c>0．A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④6．在平面直角坐标系中，对于点 P(x ，y) 和 Q(x ，y′) ，给出如下定义：若 y′={y +1 (x ≥0)−y (x <0)，则称点 Q 为点 P 的“亲密点”.例如：点 (1，2) 的“亲密点”为点 (1，3) ，点 (−1，3) 的“亲密点”为点 (−1，−3) .若点 P 在函数 y =x 2−2x −3 的图象上.则其“亲密点” Q 的纵坐标 y′ 关于 x 的函数图象大致正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．对于二次函数 y =2(x −1)2−3 ，下列说法正确的是（ ）A ．图象开口向下B ．图象和y 轴交点的纵坐标为-3C ．x <1 时，y 随x 的增大而减小D ．图象的对称轴是直线 x =−18．抛物线 y =−3x 2+12x −3 的顶点坐标是（ ）A ．（2，9）B ．（2，-9）C ．（-2，9）D ．（-2，-9）9．如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点（0，﹣2），与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，且﹣1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论正确的是（ ）A ．a ＜0B ．a ﹣b+c ＜0C ．−b 2a>1D ．4ac ﹣b 2＜﹣8a10．已知抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)交x 轴于点A(1，0)，B(3，0).P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上两个点.若|x 1−2|>|x 2−2|>1，则下列结论一定正确的是（ ） A ．y 1<y 2B ．y 1>y 2C ．|y 1|<|y 2|D ．|y 1|>|y 2|11．二次函数y＝x2－1的图象可由下列哪个函数图象向右平移2个单位，向下平移2个单位得到（）A．y=(x−2)2+1B．y=(x+2)2+1C．y=(x−2)2−3D．y=(x+2)2+312．如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF△BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题13．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2 √3个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴左侧的图象上，则点C的坐标为．14．将y=x2的向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得的解析式是．15．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，则平均每次降价的百分率是.16．如果抛物线y=x2﹣6x+c的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于．17．不等式x2+ax+b≥0（a≠0）的解集为全体实数，假设f（x）=x2+ax+b，若关于x的不等式f（x）＜c的解集为m＜x＜m+6，则实数c的值为．18．用16m长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，设围成长方形的生物园的长为x m，则围成长方形的生物的面积S（单位：m2）与x的函数表达式是．（不要求写自变量x的取值范围）三、综合题19．鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？20．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜5050≤x≤90售价（元/件）x+4090每天销量（件）200﹣2x（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．21．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=−12x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD.（1）求此抛物线的解析式.（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积.22．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2﹣4x+2m﹣1与x轴交于点A，B.（点A在点B的左侧）（1）求m的取值范围；（2）当m取最大整数时，求点A、点B的坐标.23．我市某电器商场代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现，在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货商规定这种空气净化器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）若某月空气净化器售价降低30元，则该月可售出多少台？（2）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式，并求出售价x的范围．（3）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润w（元）最大，最大利润是多少？24．一家超市，经销一种地方特色产品，每千克成本为50元.这种产品在不同季节销量与单价满足一次函数变化关系.下表是其中不同4个月内一天的销量y（kg）与单价x（元/kg）的对应值.单价x（元/kg）55606570销量y（kg）70605040（2）平均每天获得600元销售利润的季节，顾客利益也较大，销售单价是多少？（3）当销售单价为多少时，一天的销售利润最大？最大利润是多少？参考答案1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】D 10．【答案】D 11．【答案】B 12．【答案】D13．【答案】（1﹣ √7 ，﹣3） 14．【答案】y=（x ﹣3）2+5 15．【答案】10% 16．【答案】c=6或12 17．【答案】918．【答案】S =−x 2+8x19．【答案】（1）解：依题意有：y=10x+160；（2）解：依题意有：W=（80﹣50﹣x ）（10x+160）=﹣10（x ﹣7）2+5290，∵-10＜0且x 为偶数，故当x=6或x=8时，即故当销售单价定为74或72元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元； （3）解：依题意有：﹣10（x ﹣7）2+5290≥5200，解得4≤x≤10，则200≤y≤260，200×50=10000（元）．答：他至少要准备10000元进货成本．20．【答案】（1）解：当1≤x ＜50时，y=（200-2x ）（x+40-30）=-2x 2+180x+2000当50≤x≤90时y=（200-2x ）（90-30）=-120x+12000综上所述：y= {−2x 2+180x +2000(1≤x <50)−120x +12000(50≤x ≤90)（2）解：当1≤x ＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45 当x=45时，y 最大=-2×452+180×45+2000=6050 当50≤x≤90时，y 随x 的增大而减小当x=50时，y最大=6000综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元（3）解：当1≤x＜50时，y=-2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤50，因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天；当50≤x≤90时，y=-120x+12000≥4800，解得x≤60因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元；21．【答案】（1）解：由已知得：C(0, 4)，B(4, 4)把B与C坐标代入y=−12x2+bx+c得：{4b+c=12c=4解得：b=2则解析式为y=−12x2+2x+4；（2）解：∵y=−12x2+2x+4=−12(x−2)2+6∴抛物线顶点坐标为(2, 6)则S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=12×4×4+12×4×2=8+4=12. 22．【答案】（1）解：根据题意得△=（-4）2-4（2m-1）＞0解得m＜5 2；（2）解：m的最大整数为2抛物线解析式为y=x2-4x+3当y=0时，x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3所以A（1，0），B（3，0）.23．【答案】（1）解：由题意得：200+30×5=350（台）答：该月可售出350台（2）解：由题意得：y=200+5(400−x)=−5x+2200由供货商对售价和销售量的规定得：{x≥330y≥450，即{x≥330−5x+2200≥450解得：330≤x≤350答：所求的函数关系式为y=−5x+2200，售价x的范围为330≤x≤350（3）解：由题意和（2）可得：w=(x−200)(−5x+2200)整理得：w=−5(x−320)2+72000由二次函数的性质可知：当330≤x≤350时，w随x的增大而减小则当x=330时，w取得最大值，最大值为w=−5×(330−320)2+72000=71500（元）答：当售价定为330元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润最大，最大利润是71500元24．【答案】（1）解：设y＝kx＋b，由题意得：{55k+b＝70 60k+b＝60解得{k＝−2 b＝180∴y（kg）与x（元/kg）之间的函数关系式为y＝﹣2x＋180.（2）解：由题意得：（x﹣50）（﹣2x＋180）＝600整理，得x2﹣140x＋4800＝0解得x1＝60，x2＝80∵顾客利益也较大∴x＝60∴平均每天获得600元销售利润的季节，顾客利益也较大，销售单价是60元/千克.（3）解：一天的销售利润为：w＝（x﹣50）（﹣2x＋180）＝﹣2x2＋280x﹣9000＝﹣2（x﹣70）2＋800∴当x＝70时，w最大＝800.∴当销售单价为70元/kg时，一天的销售利润最大，最大利润是800元。
重庆育才初2020级人教版初三上数学二次函数解答题压轴24题专项训练(无答案)
1．（本题12分）已知如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(－1，0)、B(3，0)(1)求b、c的值MN (2)如图，点D与点C关于点O对称，过点B的直线交y轴于点N，交抛物线于另一点M．若∠DBM＝∠ACO，求NB 的值(3)如图，在(2)的条件下，点P是y轴上一点，连PM、PB分别交抛物线于点E、F，探究EF与MB的位置关系，并说明理由2．（本题12分）如图1，抛物线m1：y＝x2－3x－4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴相交于C点(1)如图1，求抛物线m1的顶点D的坐标(2)如图2，把抛物线m1以1个单位长度/秒的速度向左平移到抛物线m2，同时△ABC以2个单位长度/秒的速度向下平移得到△A1B1C1，设平移的时间为t秒①若抛物线m2与y轴相交于E点，是否存在这样的t，使得A1E⊥EB1，若存在，求出t值；若不存在，说明理由②当抛物线m2的顶点D1落在△A1B1C1之内时，求t的取值范围3．（本题12分）已知抛物线()1312:221--+--=m m x m x y C （1）证明：不论m 为何值，抛物线图象的顶点M 均在某一直线l 的图象上，求此直线l 的函数解析式；（2）当2=m 时，点P 为抛物线上一点，且︒=∠90MOP ，求点P 的坐标；（3）将（2）中的抛物线1C 沿x 轴翻折再向上平移1个单位向右平移n 个单位得抛物线2C ，设抛物线2C 的顶点为N ，抛物线2C 与x 轴相交于点B A ,（A 在B 的左边），且AM ∥BN ，求n 的值；4．（本题10分）如图，抛物线y ＝ax 2－3ax －2与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，连AC 、BC ，∠ABC ＝∠ACO(1)求抛物线的解析式(2)设P 为线段OB 上一点，过P 作PN ∥BC 交OC 于N ，设线PN 为y ＝kx ＋m ，将△PON 沿PN 折叠，得△PNM ，点M 恰好落在第四象限的抛物线上，求m 的值(3)CE 平分∠ACB 交抛物线的对称轴于E ，连AE ，在抛物线上是否存在点P ，使∠APC ＞∠AEC ，若存在，求出点P 的横坐标x p 的取值范围，若不存在，请说明理由5．（本题12分）如图，直线y＝kx＋b（b＜0）与抛物线y＝ax2相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，抛物线y＝ax2经过点(4，－2)(1)求出a的值(2)若x1·OB－y2·OA＝0，求b的值(3)将抛物线向右平移一个单位，再向上平移n的单位．若在第一象限的抛物线上存在这样的不同的两点M、N，使得M、N关于直线y＝x对称，求n的取值范围6．（本小题满分12分）212y x bx c=-++与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点M为顶点，连接OM．若y与x的部分对应值如下表所示：x…-103…y (03)20…（1）（3分）求此抛物线的解析式；（2）（4分）如图1，C为线段OM上一点，过C作x轴的平行线交线段BM于点D，以CD为边向上作正方形CDEF，CF、DE分别交此抛物线于P、Q两点，是否存在这样的点C，使得正方形CDEF的面积和周长恰好被直线PQ平分？若存在，求C点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）（5分）如图2，平移此抛物线使其顶点为坐标原点，P（0，－1）为y轴上一点，E为抛物线上y轴左侧的一个动点，从E点发出的光线沿EP方向经过y轴上反射后与此抛物线交于另一点F，则当E点位置变化时，直线EF 是否经过某个定点，如果是，请求出此定点的坐标，不是则说明理由．图1图27.（本题10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数m x y +=45（m 为常数）的图象与x 轴交于点A (－3，0)，与y 轴交于点C ，以直线x ＝1为对称轴的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 为常数，且a ≠0）经过A 、C 两点，并与x 轴的正半轴交于点B(1)求m 的值及抛物线的函数表达式(2)是否存在抛物线上一动点Q ，使得△ACQ 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q 的横坐标；若存在，请说明理由(3)若P 是抛物线对称轴上一动点，且使△ACP 周长最小，过点P 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于M 1(x 1，y 1)，M 2(x 2，y 2)两点，试问2121M M P M P M ∙是否为定值，如果是，请求出结果，如果不是请说明理由8．（本题12分）已知：抛物线y ＝x 2－2mx ＋m 2－2m 和直线y ＝－2x 相交于A 、B （A 在B 的左边），抛物线与x 轴相交于C 、D （C 在D 的左边）(1)当m ＝1时，求A 、B 两点坐标(2)设△BCD 的外接圆与y 轴于E 、F ，当CD ＝EF 时，求m 的值(3)当m 变化时，抛物线上是否一定存在点P ，使得△PAB 是以AB 为斜边的直角三角形？若存在，请求出△PAB 的面积；若不存在，请说明理由9．（本题10分）如图1，抛物线y＝－x2＋6x与x轴交于O、A两点，点P在抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与抛物线的对称轴交于点Q(1)这条抛物线的对称轴是：直线__________，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是__________度(2)若S△POQ∶S△P AQ＝1∶2，求此时的点P坐标(3)如图2，点M(1，5)在抛物线上，以点M为直角顶点作Rt△MEF，且E、F均在抛物线上，则所有满足条件的直线EF必然经过定点N，求点N坐标10.(本题12分)已知抛物线()2211:1414C y x a x a a =--+---交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），顶点为C.（1）求证：不论a 为何实数值，顶点C 总在同一条直线上；（2）若90ACB ∠=，求此时抛物线1C 的解析式；（3）在（2）的条件下，将抛物线1C 沿y 轴负方向平移2个单位得到抛物线2C ，直线21y kx k =-+交抛物线2C 于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），交抛物线2C 的对称轴于点N ，(),3E M x ，若MN=ME ，求NF NE 的值。