聚类分析模糊聚类分析
模糊聚类分析
模糊聚类分析模糊聚类分析，也被称为模糊聚类或者软聚类，是一种数据分析的方法。
与传统的硬聚类不同，模糊聚类可以将每个观测对象划分到不同的聚类中心，从而更好地反映对象与聚类中心之间的相似性。
模糊聚类的思想源于模糊集理论，该理论引入了概率的概念，使得划定边界变得模糊化。
在传统的硬聚类方法中，每个对象只能属于一个聚类，而在模糊聚类中，每个对象的隶属度被划分为一个实数，表示对象属于每个聚类的程度。
模糊聚类的基本原理是通过最小化目标函数来优化聚类结果。
常见的目标函数包括模糊熵和模糊轮廓系数。
模糊熵用于衡量聚类的混乱程度，值越小表示聚类更好。
模糊轮廓系数则用于评价每个对象的聚类紧密度和分离度，系数范围为[-1, 1]，越接近1表示聚类结果越好。
模糊聚类的算法有多种，其中最常用的是模糊C均值（FCM）算法。
FCM算法首先随机初始化聚类中心，然后迭代更新对象的隶属度和聚类中心，直到满足终止条件。
在更新过程中，对象的隶属度和聚类中心根据距离度量进行调整。
模糊聚类在各个应用领域都有广泛的应用。
例如，在市场细分中，模糊聚类可以根据消费者的购买偏好将其划分为不同的细分市场，有助于制定更准确的营销策略。
在医学影像分析中，模糊聚类可以帮助医生根据患者的病情将其归类为不同的疾病类型，有助于做出更准确的诊断。
当然，模糊聚类也存在一些问题和挑战。
首先，模糊聚类的计算复杂度高，特别是在处理大规模数据时。
其次，模糊聚类对初始参数的敏感性较高，不同的初始化可能导致不同的聚类结果。
此外，模糊聚类的结果通常难以解释和理解，需要结合领域知识进行进一步分析。
为了克服这些问题，研究者们一直在不断改进模糊聚类算法。
例如，一些研究探索了基于深度学习的模糊聚类方法，利用神经网络来提高聚类的准确性和效率。
此外，还有一些研究致力于开发新的目标函数和距离度量方法，以更好地满足实际问题的需求。
综上所述，模糊聚类是一种基于模糊集理论的数据分析方法，可以更好地刻画对象之间的相似性。
模糊聚类分析方法
模糊聚类分析方法聚类分析是将事物根据一定的特征，并按某种特定要求或规律分类的方法。
由于聚类分析的对象必定是尚未分类的群体，而且现实的分类问题往往带有模糊性，对带有模糊特征的事物进行聚类分析，分类过程中不是仅仅考虑事物之间有无关系，而是考虑事物之间关系的深浅程度，显然用模糊数学的方法处理更为自然，因此称为模糊聚类分析。
一、模糊聚类分析的一般步骤1、第一步：数据标准化[9]（1） 数据矩阵设论域12{,,,}n U x x x = 为被分类对象，每个对象又有m 个指标表示其性状，即12{,,,}i i i im x x x x = (1,2,,i n = ， 于是，得到原始数据矩阵为111212122212m m n n nm x x xx x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。
其中nm x 表示第n 个分类对象的第m 个指标的原始数据。
（2） 数据标准化在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲，为了使不同的量纲也能进行比较，通常需要对数据做适当的变换。
但是，即使这样，得到的数据也不一定在区间[0,1]上。
因此，这里说的数据标准化，就是要根据模糊矩阵的要求，将数据压缩到区间[0,1]上。
通常有以下几种变换： ① 平移·标准差变换i k kikk x x x s -'= (1,2,,;1,2,i n k m ==其中 11nk i k i x x n==∑，k s =经过变换后，每个变量的均值为0，标准差为1，且消除了量纲的影响。
但是，再用得到的ikx '还不一定在区间[0,1]上。
② 平移·极差变换111m i n {}m a x {}m i n {}i k i ki nikikiki ni nx x x x x ≤≤≤≤≤≤''-''=''-，(1,2,,)k m =显然有01ikx ''≤≤，而且也消除了量纲的影响。
模糊聚类分析ppt课件
k 1
1 2
m k 1
(
xik
x jk )
m
( xik x jk )
rij
k 1 m
xik .x jk
k 1
5. 求模糊等价矩阵
用上述方法建立起来的模糊矩阵 R ，一般说来只 满足自反性和对称性，不一定满足传递性，即 R 不一 定是模糊等价关系，需要将 R改造成模糊等价矩阵R，
然后再在适当的阈值上进行截取，便可得所需分类。
根据需要可同时选择不同准则分别进行聚类分析，然后 通过综合取交的方法，以做到兼顾多目标，使分类结果更科学。
3、建立数据矩阵
设论域U { x1, x2 ,, xn }为被分类对象， 每个对象又由m 个指标表示其性状：
xi { xi1, xi2 ,, xim } (i 1,2,, n) 则得到原始数据矩阵为 X ( xij )nm .
1, 2,..., m
构造下列形式的F统计量，
r
i
2
ni x x /(r 1)
F i1 r ni
xij
i
x
2
/(n r)
i1 jn1
x x 其中， 为 i x x
m
i
(xk
xk )2
i
与
的距离， xij x i
i 为第
k 1
类中样本
xij 与
i
x 的距离。
F 统计量分子表征类与类之间的距离， 分母表示类内样本间距离，因此 F 值越大，说
改造的方法是将 R 自乘得 R R R2，再自 乘 R2 R2 R4 ，如此继续下去，得 R8 , R16 ……，至某 一步出现 R2k Rk 为止。则 Rk便是一个模糊等价关系。 这个方法是由所谓“传递闭包”理论而来，我们在此 拿来直接应用，不再作详细介绍。
模糊聚类的分析
模糊聚类的分析
模糊聚类是一种聚类分析的算法，它采用模糊的方法将数据点归类到不同的类别中，以减少聚类的误差。
模糊聚类是机器学习领域的一种流行的算法，它利用每个数据点的模糊属性来衡量其分布在不同类别中的相似度，使得它能够更加准确的进行聚类分析。
模糊聚类的基本原理是把数据点归类到不同的类别中，每个类别都有一系列模糊属性，每个数据点在不同类别中的分布由它们在每个属性上的值来决定。
模糊聚类的最终目标是找到类别与数据点之间的最佳拟合，从而得到最佳聚类结果。
模糊聚类的实现是通过计算每个数据点与每个类别的模糊相似
度来完成的，模糊相似度是基于数据点和每个类别的模糊属性，通过计算每个数据点与每个类别的模糊相似度，可以找到一个最佳的类别，把每个数据点归入该类别，这样就可以得到最优聚类结果。
模糊聚类方法可以用来解决多维数据集聚类分析的问题，它能够更准确的表示多维数据的特征，这使得它能够更准确的对数据进行聚类分析。
此外，模糊聚类方法还能够处理非均匀分布的数据，它能够有效的处理因类别数量和混乱的环境而难以聚类的数据。
模糊聚类的缺点主要在于它的计算速度较慢，因为它需要计算每个数据点与每个类别的模糊相似度，而这需要大量的计算，模糊聚类也无法用于对超大型数据集进行聚类分析，因为它的计算效率较低。
因此，模糊聚类是一种聚类分析算法，它利用模糊性来更准确的表示数据的特征，能够有效的处理多维和复杂的数据。
但是它的计算
效率较低，也不能用于对超大型数据集进行聚类分析，因此，在使用模糊聚类进行聚类分析时，需要考虑其效率和应用限制。
模糊聚类分析
模糊聚类分析壹、何谓聚类分析聚类分析是研究事物分类的一种多元分析方法。
在日常生活中，我们时常要把所接触到的事物（样本），按其性质、用途等进行分类，这种分类过程我们称为聚类分析。
（阙颂廉，民83）贰、聚类分析的应用模糊聚类分析是当前在模糊数学中应用最多的几个方法之一，可以将研究的样本进行合理的分类，如产品的分类就常常用聚类分析来进行，另聚类分析也可用来进行判别分析和预测（林杰斌等。
民76）。
所以，也被广泛地应用于天气预报、地震预测、地质探勘、运动员心理素质分类、河川水质污染程度等方面。
参、普通的等价关系在谈聚类分析之前，应先介绍相似关系和等价关系：一.自反性对任意Uu∈，都有Ru,u(∈，即集合中任一个元素u都)与自身有某相同性质的关系，则称R是自反关系，相对应的矩阵称为自反矩阵。
另数学表示意义为：A中的元素关于R具有”自反性”，即。
例：若U 为同一种族的集合，而集合中每一个人u ，皆与自身有同一种族之关系，这种性质则称为自反性。
二. 对称性如果ji ,R )u ,u (,R )u ,u(i j j i≠∈∈必有。
即u i 与u j 有存在某种关系，若将两个元素之位置对调，则即u j 与u i 也必有符合这层关系，则称R 有对称关系，相对应的矩阵为对称矩阵。
另数学表示意义为：A 中的元素关于R 具有”对称性”，即yRx xRy ,A y ,x 且若∈∀。
例：若甲和乙是同学关系，则乙和甲必也是同学关系，这种关系则称为对称性。
三. 传递性如果能由R)w u (R )w v (R )v u (∈∈∈，，推導出，及，。
即u与v 有存在某一关系，而v 与w 也有这同一种关系存在，则即u 与w 也必有符合这层关系存在，则称R 有传递关系，相对应的矩阵为传递矩阵。
另数学表示意义为：A 中的元素关于R 具有”传递性”，即。
例：若甲和乙是同一种族关系，而乙和丙也是同一种族关系，则甲和丙必有同一种族关系，这种则称为具有传递性关系。
模糊聚类分析
1 2 m
x11 x21 xm1
x12 x22 xm 2
x1n x2 n xmn
2 ．模糊聚类分析的一般步骤
实际问题中，不同的数据可能有不同的量 纲。为了使不同量纲的数据也能进行比较，需 要对数据进行适当的变换。根据模糊矩阵的要 求将数据压缩到区间 【0,1】。通常使用平移极差标准化： xik min{xik } 1im xik (k 1,2,, n) max{xik } min{xik }
取=0.8，得 ：
~ R0.8 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
X分为4类：｛X1,，X3｝，｛X2｝，｛X4 ｝， ｛ X5 ｝。
2 ．模糊聚类分析的一般步骤
取=0.5，得 ：
~ R0.5 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1
3 ．应用实例
通过聚类分析，该矿决定在房柱法的基础 上增加采矿费用的投入，采用无底柱上向干式 充填采矿法。
谢
谢！
模糊聚类分析步骤可以分为：数据标准化、建立 模糊相似矩阵、聚类
2 ．模糊聚类分析的一般步骤
2.1 数据标准化 设论域 X {x , x ,, x } 为被分类的对象，每个对像 又由n个指标表示其性状，即：xi (xi1, xi2 ,, xin ) (i 1,2,, m) 于是，得到原始数据矩阵为：
rij
m in (x
k 1
n
ik
, x jk )
1 2
(x
k 1
n
ik
模糊聚类分析
模糊聚类。
FCM(Fuzzy C-Means)算法是一种模糊聚类算法，属于软聚类，即一个样本点可以属于多个类。
与层次聚类、均值聚类和密度聚类不同，一个样本只能属于一个类，也可以不属于一个类。
模糊聚类引入了隶属度值的概念，即每个样本使用[0，1](相似概率或概率值)的隶属度值来确定其对每个聚类的隶属程度。
当您的成员资格值仅设置为0或1时，它实际上是K均值聚类。
同时，模糊聚类有一个约束条件，即每个聚类样本的隶属度值之和等于1。
聚类的思想是，一个簇中样本点之间的差异越小，簇之间的差异就越大。
模糊聚类中的C与K-Means中的K的含义相同，K指的是聚类的数量。
除了这个C之外，在模糊聚类中还有一个参数M。
其中，C用来控制聚类数，参数M用来控制算法的灵活性，这会影响聚类的准确性。
如果M太小，采样点的分布会分散，会产生很大的噪声(离群值)影响。
如果取值过大，样本点会密集分布，对主流偏斜度的样本点控制程度较弱。
通常，m的值是2(r中的默认值是2)。
模糊聚类算法通过迭代计算目标函数的最小值来判断算法的运行情况。
算法大致如下：1.随机生成c个聚类中心(或随机生成一些隶属度值)；
2.计算隶属度矩阵(或计算聚类中心)；
3.利用隶属度矩阵(或聚类中心)重新计算聚类中心(或隶属度矩阵)；
4.计算目标函数；
5.如果判断目标函数达到最小值或趋于不再有较大波动，则停止操作，确定最终聚类结果；否则，将重新计算隶属度矩阵(或聚类中心)。
模糊聚类分析
模糊聚类分析定义：根据具体的标准和性质对事物进行分类的方法称为聚类分析 根据模糊标准对事物进行分类的方法称为模糊聚类分析基本思想：根据分类对象之间的模糊相似程度来衡量相互的异同程度，进而实现模糊分类。
传统聚类分析VS 模糊聚类分析1. 传统聚类分析： 设有n 个对象12,,...nx x x，每个对象有m 种特性12,,...my y y。
1>首先对每个对象的特性进行数量化：用ijz代表第i 个对象的第j 个性质的数值。
则对象ix 的性质形成的一个向量()12,,...i i im z zz2>考察对象之间相近的程度：引入“欧式距离”和“夹角余弦”。
1欧式距离：设对象()()1212,,...,,,....i i im j j jm ijy x z zz z zz ==则欧式距离为：ijyx -=这与我们所熟知的向量的欧式距离是一样的!2夹角余弦：设α是对象ix和jy之间的夹角，0180α≤≤，则夹角余弦为：(),cos ijijy x yx α=其中：()11,...i j im jm ijy x z zz z =++ix=iy=有了这些基础认识之后，下面我们通过一个例子来说明传统聚类分析 设有5个对象125,,...x x x，不妨设每个对象只有一个性质，数量化后分别为1，2，4.5，6，8．现使用传统聚类法进行聚类。
1 欧式距离：5个对象，共有25c个欧式距离。
计算可得121x x-=133.5x x-= 145x x-= 157x x-= 232.5x x-= 244x x -= 256x x-=341.5x x-=35 3.5x x-=452x x-=根据聚类的思想，差异最小的对象属于一类 从而1x 和2x为一类，并记为1G2 将1G 看成新的对象，其特征值为1x 和2x 的平均值1.5。
此时对象为1345,,,G x x x 。
再次计算欧式距离。
可知34,x x之间的距离最小。
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一个好的划分的一般准则：
在同一个类内的对象间尽可能接近或相似(high intra-class similarity)； 不同类中的对象间尽可能远离或不同(low inter-class similarity) 。
2016/11/7 41
划分方法
为达到全局最优，基于划分的聚类会要求穷举所有可能的划分， 但实际中，绝大多数应用采用了以下两个比较流行的启发式方法：
2016/11/7
示例
表中给出10个顾客的购买信息，包括购买的商品的数量及 价格，根据此两个特征量，将顾客聚类成3类（购买大量的高 价产品；购买少量的高价产品；购买少量的低价产品）。
2016/11/7
示例
聚类是一个非常困难的事情，因为在一个n维样本空间中，数据 可以以不同的形状和大小揭示类。 如在二维欧几里得空间中，上面数据可以分类三个类也可以分 为四个类，类的数量的任意性是聚类过程中的主要问题。
2016/11/7 24
二元变量的相异度计算
差异矩阵法：
如果假设所有的二元变量有相同的权重，则可以得到一个两
行两列（2*2）的条件表。
2016/11/7 25
二元变量的相异度计算
其中： q表示在对象i和对象j中均取1的二值变量个数；
r表示在对象i取1但对象j中取0的二值变量个数；
s表示在对象i中取0而在对象j中取1的二值变量个数； t则表示在对象i和对象j中均取0的二值变量个数。 二值变量的总数为p，则：p=q+r+s+t。
2016/11/7 16
2. 区间标度变 量？
什么是区间标度变量
区间标度变量（间隔数值变量）：
基本呈直线比例的连续变量，如：重量、高度和温度等。
为什么标准化？
通常，选用的度量单位将直接影响聚类分析的结果，如：将
高度的度量单位由“米”变为“英尺”，或将重量的单位由“千克” 变为“英镑”，可能会产生非常不同的聚类结构。
2016/11/7 35
顺序变量的相异度
顺序变量的处理与区间标度变量非常类似，假设f是用于描述n 个对象的一组顺序变量之一，关于f的相异度计算如下：
接下来就可以用区间标度变量中所描述的任意一组距离度量方 法进行计算相异度。
2016/11/7 36
（3）比例数值变量
比例数值变量（比例标度型变量）：
2016/11/7 27
对称？不对称？
如果一个二值变量的两个取值的重要性不同等重要，则该二 元变量就是不对称的。如一个疾病disease的测试结果positive
或negative，显然这两个测试结果的重要性是不一样的：
通常将比较重要的输出结果，编码为1；而将另一结果编码 为0. 给定一个二元变量，如果认为取0值比取0值所表示的情况更 重要，则这样的二元变量被认为是单性的（好像只有一个状 态）。
这个过程不断重复，直到准则函数收敛。
2016/11/7 46
K-平均聚类算法
通常选择均方差作为收敛准则函数：
这个准则试图使得生成的结果尽可能地紧凑和独立：当结果簇是
密集的，且簇与簇之间区别明显时，算法的效果较好。
2016/11/7 47
K-平均聚类算法
算法的特点：
只适用于聚类均值有意义的场合，在某些应用中，如：数据集中
2016/11/7 54
K-中心点聚类算法
基本策略： 首先为每个簇随意选择一个代表对象，称为中心点，剩余
相似度的计算根据一个簇中对象的平均值（被看作簇的重
心）来进行。
2016/11/7 44
K-平均聚类算法
2016/11/7 45
K-平均聚类算法
算法的基本思想：
首先，随机的选择k个对象，每个对象初始的代表了一个簇的平
均值；
对剩余的每个对象，根据其与各个簇中心的距离，将它赋给最近 的簇；
然后重新计算每个簇的平均值。
一般，度量单位越小，变量可能的值域越大，对聚类结果的
影响也越大。因此，为避免对度量单位选择的依赖，数据应当
标准化。
2016/11/7 18
度量值的标准化
为了实现标准化，一种方法是将初始测量值转换为无单位变 量。给定一个属性变量f，可用如下公式对其进行标准化：
（1）计算平均的绝对偏差 sf 1 n (| x1 f m f | | x2 f m f | ... | xnf m f |)
2016/11/7 33
（1）符号变量
2016/11/7 34
（2）顺序变量
顺序变量（序数型变量）：
一个离散的顺序变量类似于符号变量，但不同的是顺序变量
的M个状态是以有意义的顺序进行排列的。
如专业等级是一个顺序变量，是按照助教、讲师、副教授和教授 的顺序排列的。
一个连续的顺序变量，值的相对位置要比它的实际数值有意 义的多，如某个比赛的相对排名（金牌、银牌和铜牌）可能比 实际得分更重要。
（1）划分方法；
（2）层次方法；
（3）基于密度的方法；
（4）基于网格的方法；
（5）基于模型的方法。
2016/11/7
划分方法
给定一个n个对象或元组的数据库，划分方法构建数据的k个划分， 每个划分表示一个聚簇（类），且 。同时满足如下条件：
（1）每个聚类内至少包含一个对象；
（2）每个对象必须属于且只属于一个聚类。 注意：在模糊划分计算中第二个要求可以放宽。
2016/11/7 12
（1）数据矩阵
数据矩阵： 是一个对象—属性结构，由n个对象组成，如：人；每个 对象利用p个属性加以描述，如：年龄、身高、体重等。数 据矩阵采用关系表形式或n*p矩阵来表示：
2016/11/7 13
（2）相异度矩阵
相异度矩阵（差异矩阵）： 是一个对象—对象结构，存放n个对象两两之间的近似性 （差异性），采用n*n的矩阵形式表示：
2016/11/7 38
10.4 基于划分的聚类方法
目前，在文献报道中有大量的聚类算法，算法的 选择主要取决于数据的类型、聚类的目的和应用。 如果聚类分析被用作描述或探索性的攻击，则可以 对同样的数据尝试多种算法，以发现数据可能揭示 的结果。
2016/11/7
主要的聚类分析方法
大体上，主要的聚类算法可以划分为如下几类：
包含符号属性时，直接应用k-means算法就有问题；
用户必须事先指定k的个数； 对噪声和孤立点数据敏感，少量的该类数据能够对聚类均值起到
很大的影响。
2016/11/7 48
示例
2016/11/7 49
示例
2016/11/7 50
示例
2016/11/7 51
示例
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2. k-中心点（kmediods）聚 类算法？
其中x1f, x2f,…,xnf是变量f的n个测量值；mf为变量f的 均值，即：
mf 1 n (x1 f x2 f ... xnf )
（2）计算标准化测量（z-score）：
.
2016/11/7 19
度量值的标准化
2016/11/7 20
度量值的标准化
2016/11/7 21
度量值的标准化
聚类(Clustering)：
聚类是一个将数据集划分为若干组（class）或类（cluster） 的过程，并使得同一个组内的数据对象具有较高的相似度； 而不同组中的数据对象是不相似的。 相似或不相似是基于数据描述属性的取值来确定的，通常 利用各数据对象间的距离来进行表示。
聚类分析尤其适合用来探讨样本间的相互关联关系从而对 一个样本结构做一个初步的评价。
2016/11/7
10.1 什么是聚类分析
聚类与分类的区别：
聚类是一 种无（教师）监督的学习方法。与分类不同，其 不依赖于事先确定的数据类别，以及标有数据类别的学习训 练样本集合。 因此，聚类是观察式学习，而不是示例式学习。
2016/11/7
10.1 什么是聚类分析
聚类分析的应用：
市场分析：帮助市场分析人员从客户基本库中发现不同的客户
2016/11/7 22
3. 二元变量？
什么是二元变量
二元变量（二值变量）：
一个二元变量只有两个状态：0或者1。其中0代表变量所表
示的状态不存在；1则代表相应的状态存在。
如：给定变量smoker，用以描述一个病人是否吸烟的情况，如用
smoker为1表示病人吸烟；若smoker为0表示病人不吸烟。
2016/11/7 29
示例
2016/11/7 30
示例
2016/11/7 31
4. 符号、顺序 和比例数值变量 ？
（1）符号变量
符号变量（标称变量）：
符号变量是二元变量的推广，可具有多于两个的状态值，如
颜色变量（红、橙、黄、绿、蓝等）。
设一个符号变量所取的状态个数为M，其中的状态可以用字 母、符号，或一个整数集合来表示，如1,2,…M。此处的整数仅 是为方便数据处理而采用的，并不代表任何的特定的顺序。
2016/11/7 14
（2）相异度矩阵
相异度矩阵（差异矩阵）：
所以，矩阵呈现出上三角或下三角的形式。
2016/11/7 15
注意：
数据矩阵通常称为双模（two-mode）矩阵：行和列分布表 示不同的实体；
相异度矩阵常被称为单模（one-mode）矩阵：行和列表示
同一实体。 许多聚类算法都是以相异度矩阵为基础计算的，所以如果数 据是以数据矩阵的形式给出的，则需要首先转换为相异度矩阵， 才可以利用聚类算法来处理。
2016/11/7 26
对称？不对称？
如果一个二值变量取0或1所表示的内容同等价值，且有相同 的权重，则该二元变量是对称的。如，属性“性别”，有两个
值“女性”和“男性”，两个取值都没有优先权 。