优化设计-最优化基础理论+对分法
1. 最优化技术的理论基础
1.4 Lagrange乘数法
在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，其
一般形式是在条件
限制下，求函数 的极值。
条件极值与无条件极值的区别：条件极值是限制在一个子流形上的
极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定 相等。
Title in here
对分法
1.8.1.2 对分法迭代步骤 已知 (t ) ， (t ) 表达式，终止限 ． (1)确定初始搜索区间 [a, b，要求 ] '(a) 0， '(b) 0 (2) 计算[a, b] 的中点 c 1 (a b) ． 2 a c ( c ) 0 (3) 若 ，则 ，转(4)； 若 (c) 0 ，则 t * c，转(5)； 若 (c) 0 ，则 b c ，转(4)． (4) 若| a b | ，则 t * 1 (a b) ，转(5)；否则转(2)． 2 * (5) 打印t ，停机．
然后用这条切线与横轴交点的横坐标t k 1作为根的新的近 似（如图）．它可由方程（4.4）在令 y 0 的解出来， 即 (t k )
t k 1 t k
(t k )
这就是Newton切线法迭代公式．
Newton切线法
1.8.2.2 Newton切线法迭代步骤 已知 (t ) ， (t ) 表达式，终止限 ． (1) 确定初始搜索区间 [a, b] ，要求 '(a) 0， '(b) 0 (2) 选定 t 0 ． (3) 计算t t0 '(t0 ) / "(t0 ) ． (4) 若| t t 0 | ，则 t 0 t ，转（3）；否则转（5）． (5) 打印t， (t ) ，停机．
者使最终迭代点与理论极小点之间的距离足够小时才终止迭 代．但是这在实际上是办不到的．因为对于一个待求的优化
问题，其理论极小点在哪里并不知道．所知道的只是通过迭 代计算获得的迭代点列，因此只能从点列所提供的信息来判
断是否应该终止迭Biblioteka ．1. 最优化技术的理论基础
对于无约束优化问题通常采用的迭代终止准则有以 下几种： ① 点距准则 ② 函数下降量准则 ③ 梯度准则 1.7 步长的确定 步长因子的选取有多种方法，如取步长为常数，但 这样选取的步长并不最好，如何选取最好步长呢？实际 计算通常采用一维搜索来确定最优步长． 1.8 常见的一维搜索方法有： § 对分法 § Newton切线法 § 黄金分割法 Title in § 抛物线插值法 here
开始
'(a) 0， '(b) 0
c=(a+b)/2
确定[a b],要求
(c) 0
N
对分
法计 算流 程图
T*=c t*=(a+b)/2 输出t* 结束 Y
Y a=c
(c) 0
N
b=c
Y
| a b |
N
对分法有关说明
对分法每次迭代都取区间的中点
a. 若这点的导数值小于零，说明的根位于右半区间中，因
1.8.1 对分法
1.8.1.1 对分法基本原理
• 求解一维最优化问题 min (t ) 一般可先确定它的一个有限 min (t ) ，然后通 搜索区间[a, b] ，把问题化为求解问题 a t b 过不断缩短区间的长度，最后求得最优解．
对分法
设 ：R1 R1 在已获得的搜索区间 [a, b] 内具有连续的一 阶导数．因为 (t )在[a, b] 上可微，故 (t ) 在[a, b] 上连续， 由此知 (t )在[a, b] 上有最小值． 令 (t ) 0 ，总可求得极小点 t * ．不妨设 (t ) 在(a, t * ) 上是单减函数；在 (t * , b) 上是单增函数．所以t (a, t * ) (t ) 0 时， (t ) 0 ，故 (a) 0 ；当 t (t * , b) 时， 亦即 (b) 0 ． 对分法的原理如图．
1. 最优化技术的理论基础
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1. 最优化技术的理论基础
1. 最优化技术的理论基础
1.5 最优化问题的迭代解法
在经典极值问题中，解析法虽然具有概念简明,计算精确等优点，
但因只能适用于简单或特殊问题的寻优,对于复杂的工程实际问题通常无
能为力，所以极少使用。
最优化问题的迭代算法是指：从某一选定的初始点出发，根据目标
at b
• 因为 (t ) 在 [a, b] 上可微，故 (t ) 在 [a, b] 上有最小值， 令 (t ) 0 ．
Newton切线法
下面不妨设在区间[a, b] 中经过 k 次迭代已求得方程 (t ) 0 的一个近似根 t k ．过 (t k , (t k )) 作曲线 y (t ) 的 切线 ,其方程是 y (tk ) (tk )(t tk ) 4.4
函数、约束函数在该点的某些信息，确定本次迭代的一个搜索方向和适 当的步长，从而到达一个新点，用式子表示即为
Title in here
1. 最优化技术的理论基础
1.6 计算终止准则 用迭代方法寻优时，其迭代过程总不能无限制地进行下
去，那么什么时候截断这种迭代呢？这就是迭代什么时候终
止的问题． 从理论上说，当然希望最终迭代点到达理论极小点，或
1.8.2 Newton切线法说明
这种方法一旦用好，收敛速度是很高的．如果初始点选得适当，通 常经过几次迭代就可以得到满足一般精度要求的结果.但是它也有缺点： 需要求二阶导数．如果在多维最优化问题的一维搜索中使用这种方法， 就要涉及Hesse矩阵，一般是难于求出的． 当曲线 y (t ) 在 [a, b] 上有较复杂的弯曲时，这种方法也往往失效．如 图 (a)所示迭代： t0 t1 t2 , 结果t 2 跳出 [a, b] .迭代或者发散，或者找到的根 并不是我们想要的结果． 即使曲线比较正常，在 [a, b] 中或者上凹或者下凹，初始点的选取也必 须适当．在图（b）的情况下，曲线上凹，应选点b作为初始点；而在图 （c）的情况下，曲线下凹，应选点a为初始点．否则都可能失败．
此去掉左半区间； b. 若中点导数值大于零，则去掉右半区间； c. 若中点导数值正好等于零，则该点就是极小点．
因为每次迭代都使原区间缩短一半，所以对分法又称 为二分法．
1.8.2 Newton切线法
1.8.2.1 Newton切线法基本原理
: R1 R1 在已获得的搜索区间[a, b] 内具有连续二阶 • 设 导数，求 min (t ) ．
1. 最优化技术的理论基础
1.3 极值理论
一元函数的极值问题
判断极值条件：设函数f(X)在点x0处具有二阶导数f"(x0)。 若f'(x0)<0，则f(x0)为函数的极大值；
若f‘(x0)>0，则f(x0)为函数的极小值。 二元函数极值
对于三元以上函数的极值通常采用二次全微分d
2
f ( P0 )判定
1.最优化技术的理论基础
1.1 最优化的起源 任何一项工程或一个产品的设计，都需要根据设计要求， 合理选择方案，确定各种参数，以期达到最佳的设计目标， 如重量轻、材料省、成本低、性能好、承载能力高等。优化 设计正是根据这样的客观需求而产生并发展起来的。 1.2 最优化的优点 优化设计的理论基础是数学规划，采用的工具是电子计算机。 因此它具有常规设计所不具有的优点。 能使各种设计参数自动向更优的方向进行调整，直至找到 一个尽可能完善的或最合适的设计方案。 在很短的时间能就可以分析一个设计方案，并判断方案的 优劣和是否可行，因此可以从大量的方案中选出更优的设计 Title in 方案。 here
开始
选定 t0,确定[a b],要 ' 求 ( a ) 0, (b) 0
Newton
切线法 计算流 程图
t t 0 ' ( t 0 ) / '' ( t 0 )
t t0
Y
N
t0 t
t * t0 , * (t0 )
t* , *
输出
结束
第1章优化设计概述
（3）设计约束条件：
（a）体积要求 （b）长度要求
太原工业学院机械工程系
1.2 机械优化设计的设计简例 设计变量：
x1 , x2 , x3
目标函数： min S x1 x2 2( x2 x3 x1 x3 ) 约束条件：
g1 x1 5 g 2 x2 0 g 3 x3 0 h1 x1 x2 x3 100
第三阶段 工程优化：近二十余年来，计算机技术的发展给解决复杂工 程优化问题提供了新的可能，非数学领域专家开发了一些工程优化方法， 能解决不少传统数学规划方法不能胜任的工程优化问题。在处理多目标工 程优化问题中，基于经验和直觉的方法得到了更多的应用。优化过程和方 法学研究，尤其是建模策略研究引起重视，开辟了提高工程优化效率的新 的途径。
1.2 机械优化设计的设计简例
无盖箱的优化设计
用一块边长为3cm的正方形薄板，在四角各裁去一个大小 相同的方块，做成一个无盖箱子。试确定如何裁剪可以做成的 箱子具有最大的容积。
分析：
（1）目标：裁剪高，箱子具有最大的容积。 （2）设计参数确定：裁剪小正方形的边长x ；
（3）设计约束条件：体积要求
设计目标：
2016/8/20
太原工业学院机械工程系
4. 优化方法
实际问题表达成的函数类型很多：
确定型、不确定型函数； 线形、非线形（二次、高次、超越）函数。
变量类型也很多：
连续、离散、随机变量等等。
产生很多的优化算法：
无约束优化、约束优化： 单目标函数优化、多目标函数优化； 连续变量优化、离散变量优化、随机变量优化。
（d）最小齿数要求
2016/8/20
太原工业学院机械工程系
现代设计方法---优化设计
E=2×105MPa。现要求在满足使用要求的条件下，试设计一个用
料最省的方案。
优化目标
用料最省
V 1 d 2L
4
d
F M
L
强度条件
max
FL 0.1d 3
w
M
0.2d 3
条件 刚度条件
f
FL3 3EJ
64FL3
3Ed 4
f
边界条件 L Lmin 8c14m
例3 设某车间生产A和B两种产品，每种产品各有两道工序，分 别由两台机器完成这两道工序，其工时列于表中。若每台机器每 周至多工作40小时。产品A的单价为200元，产品B的单价为500 元。问每周A、B产品应各生产多少件，可使总产值为最高。 （这是生产规划的最优化问题）
F —弹簧在负荷P作用下所产生的变形量
n —弹簧的有效圈数
d —弹簧材料的直径
G —弹簧材料的切变模量
3
• 根据上式，如己知或先预定 D2、n、d、G 各参数，通过多次试算、
修改，就有可能得到压簧刚度等于或接近于 的设P计参数。
• 刚度公式也可以写成一般的多元函数表达式，即
• 式中 代表性y能指f 标(xi ) ， 是i 设 1计,2参,量,，N分别代 表 、y 、 、 ，所以P xi 。
0 x L
x b
图1－2
这一优化设计问题是具有两个设计变 量(即x和α)的非线性规划问题。
13
例2：有一圆形等截面的销轴，一端固定，一端作用着集中载荷
F=1000N和扭矩M=100N·m。由于结构需要，轴的长度L不得小于
8cm，已知销轴材料的许用弯曲应力[σW]=120MPa，许用扭转切 应力[τ]=80MPa，允许挠度[f]=0.01cm，密度ρ=7.8t/m3，弹性模量
最优化理论与算法完整版课件 PPT
Bazaraa, J. J. Jarvis, John Wiley & Sons, Inc.,
1977.
组合最优化算法和复杂性
Combinatorial
Optimization 蔡茂诚、刘振宏
Algorithms and Complexity
清华大学出版社，1988 I运nc筹.,学19基82础/1手99册8
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
2021/4/9
• 算法
5
绪论---运筹学（Operations Research -
运筹学O方R）法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
2021/4/9
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费购买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
最优化理论与算法
2021/4/9
1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
2021/4/9
2
其他参考书目
最优化理论与算法
最优化理论与算法
最优化理论与算法是一门使用数学和统计分析工具来解决问题的学科。
它用于寻求系统最佳运行状态，并帮助系统达到最优性能。
它研究的
主要问题包括目标函数最大化或最小化，最优化问题的非线性性质，
以及对某些未知变量的极大或极小。
最优化理论和算法的种类繁多。
其中包括最小化法，最大化法，拉格
朗日乘数法，拟牛顿法，模拟退火法，遗传算法，蚁群算法，鲁棒优
化等等。
它们在很多领域中都有应用，如机器学习，金融保险，供应
链管理，交通路线规划，排队分析，测量定位等等。
例如，在机器学
习领域，拉格朗日乘数法和拟牛顿法用于求解最优超参数。
此外，在
金融保险领域，最优化理论和算法常常用于分析风险和收益、以及给
定投资者希望达到的目标所必需要承担的风险等。
最优化大在一些方法上求解适当的最佳参数，从而开发高性能算法。
它可以用来解决各种最优化问题，如局部最优化问题，全局最优化问题，非线性最优化问题，多目标最优化问题等。
最优化算法也可以用
来实施和评估各种经济模型，如产品管理、能源管理和风险管理。
总的来说，最优化理论和算法在许多重要领域都有着广泛的应用。
它
可以用来解决各种最优化问题，并为解决实际问题提供有效解决方案。
最优化设计 课后习题答案
最优化方法-习题解答张彦斌计算机学院2014年10月20日Contents1第一章最优化理论基础-P13习题1(1)、2(3)(4)、3、412第二章线搜索算法-P27习题2、4、643第三章最速下降法和牛顿法P41习题1，2，374第四章共轭梯度法P51习题1，3，6(1)105第五章拟牛顿法P73-2126第六章信赖域方法P86-8147第七章非线性最小二乘问题P98-1，2，6188第八章最优性条件P112-1，2,5,6239第九章罚函数法P132，1-(1)、2-(1)、3-(3),62610第十一章二次规划习题11P178-1（1），5291第一章最优化理论基础-P13习题1(1)、2(3)(4)、3、4 1.验证下列各集合是凸集:(1)S={(x1,x2)|2x1+x2≥1,x1−2x2≥1};需要验证：根据凸集的定义，对任意的x(x1,x2),y(y1,y2)∈S及任意的实数λ∈[0,1],都有λx+(1−λ)y∈S.即,(λx1+(1−λ)y1,λx2+(1−λ)y2)∈S证：由x(x1,x2),y(y1,y2)∈S得到，{2x1+x2≥1,x1−2x2≥12y1+y2≥1,y1−2y2≥1(1)1把(1)中的两个式子对应的左右两部分分别乘以λ和1−λ,然后再相加，即得λ(2x1+x2)+(1−λ)(2y1+y2)≥1,λ(x1−2x2)+(1−λ)(y1−2y2)≥1(2)合并同类项，2(λx1+(1−λ)y1)+(λx2+(1−λ)y2)≥1,(λx1+(1−λ)y1)−2(λx2+(1−λ)y2)≥1(3)证毕.2.判断下列函数为凸（凹）函数或严格凸（凹）函数：(3)f(x)=x21−2x1x2+x22+2x1+3x2首先二阶导数连续可微，根据定理1.5，f在凸集上是（I）凸函数的充分必要条件是∇2f(x)对一切x为半正定；（II）严格凸函数的充分条件是∇2f(x)对一切x为正定。
优化设计-最优化基础理论+对分法
1.8.2 Newton切线法说明
这种方法一旦用好，收敛速度是很高的．如果初始点选得适当，通 常经过几次迭代就可以得到满足一般精度要求的结果.但是它也有缺点： 需要求二阶导数．如果在多维最优化问题的一维搜索中使用这种方法， 就要涉及Hesse矩阵，一般是难于求出的． 当曲线 y (t ) 在 [a, b] 上有较复杂的弯曲时，这种方法也往往失效．如 图 (a)所示迭代： t0 t1 t2 , 结果t 2 跳出 [a, b] .迭代或者发散，或者找到的根 并不是我们想要的结果． 即使曲线比较正常，在 [a, b] 中或者上凹或者下凹，初始点的选取也必 须适当．在图（b）的情况下，曲线上凹，应选点b作为初始点；而在图 （c）的情况下，曲线下凹，应选点a为初始点．否则都可能失败．
1. 最优化技术的理论基础
1.3 极值理论
一元函数的极值问题
判断极值条件：设函数f(X)在点x0处具有二阶导数f"(x0)。 若f'(x0)<0，则f(x0)为函数的极大值；
若f‘(x0)>0，则f(x0)为函数的极小值。 二元函数极值
对于三元以上函数的极值通常采用二次全微分d
2
f ( P0 )判定
开始
选定 t0,确定[a b],要 ' 求 ( a ) 0, (b) 0
Newton
切线法 计算流 程图
t t 0 ' ( t 0 ) / '' ( t 0 )
t t0
Y
N
t0 t
t * t0 , * (t0 )
t* , *
输出
结束
函数、约束函数在该点的某些信息，确定本次迭代的一个搜索方向和适 当的步长，从而到达一个新点，用式子表示即为
现代设计理论与方法-优化设计.ppt
若只有选择和交叉，而没有变异，则无法在 初始基因组合以外的空间进行搜索，使进化过 程在早期就陷入局部解而进入终止过程，从而 影响解的质量。为了在尽可能大的空间中获得 质量较高的优化解，必须采用变异操作。
可见，这是一个三维非线形规划问题。为了
简化问题，可根据等式约束条件消去一个设计变
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量：
h = 3 /（ l ·w）
则该问题从原来的三维问题转化为二维问题。
4．建立数学模型的一般过程 1）分析设计问题，初步建立数学模型 即使是同一设计对象，如果设计目标和设计
条件不同，数学模型也会不同。因此，要首先弄 清问题的本质，明确要达到的目标和可能的条件， 选用或建立适当的数学、物理、力学模型来描述 问题
交叉体现了自然界中信息交换的思想。交叉 有单点交叉、多点交叉、还有一致交叉、顺序 交叉和周期交叉。单点交叉是最基本的方法， 应用较广。它是指染色体切断点有一处，例：
A:101100 1110 101100 0101
B : 001010 0101001010 1110
（3）变异 (Mutation Operator)
3．约束条件 1）概念 为产生一个可接受的设计，设计变量本身或
相互间应该遵循的限制条件，称为约束条件。
2）表示方法
约束条件一般可表示为设计变量的不等式约束函数 形式和等式约束函数形式，即
gi（χ）= gi（χ1，χ2，…，χn）≤0 或者 gi（χ）= gi（χ1，χ2，…，χn）≥0
优化设计第2章 优化设计
X [d l ]T [ x1 x2 ]T
目标函数的极小化： 约束条件：
1 1 min f ( X ) V d 2l x12 x2 0.785 x12 x2 4 4
g1 ( X ) 8.33l d 3 8.33x2 x13 0 g 2 ( X ) 6.25 d 3 6.25 x13 0
f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) 2
（2-8）
3 5 式中， 2 —— 给定的计算精度，一般可取 10 10 。
（３）函数梯度充分小准则 目标函数在迭代点的梯度已达到充分小，即
f ( X ( k 1) ) 3
（2-9）
3 —— 给定的计算精度，一般可取 103 。 式中，
这一迭代过程用数学式子表达，得数值迭代法的基本迭代格式为：
X ( k 1) X ( k ) ( K ) S ( k ) f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) gu ( X ( k 1) ) 0 (u 1, 2, , m) (k 0,1, 2, )
(k )
一维搜索方法一般分两步进行：
■ 首先在方向 S ( k ) 上确定一个包含函数极小点的初始区间，即
确定函数的搜索区间，该区间必须是单峰区间；
■ 然后采用缩小区间或插值逼近的方法得到最优步长，即求出
该搜索区间内的最优步长和一维极小点。 一维搜索方法主要有： 分数法 黄金分割法（0.618法） 二次插值 三次插值法等 本节介绍最常用的黄金分割法和二次插值法。
2.迭代计算的终止准则
目前，通常采用的迭代终止准则有以下几种：
● 点距足够小准则 ● 函数下降量足够小准则 ● 函数梯度充分小准则
最优化基础理论与方法
最优化基础理论与⽅法⽬录1．最优化的概念与分类 (2)2. 最优化问题的求解⽅法 (3)2.1线性规划求解 (3)2.1.1线性规划模型 (3)2.1.2线性规划求解⽅法 (3)2.1.3 线性规划算法未来研究⽅向 (3)2.2⾮线性规划求解 (4)2.2.1⼀维搜索 (4)2.2.2⽆约束法 (4)2.2.3约束法 (4)2.2.4凸规划 (5)2.2.5⼆次规划 (5)2.2.6⾮线性规划算法未来研究⽅向 (5)2.3组合规划求解⽅法 (5)2.3.1 整数规划 (5)2.3.2 ⽹络流规划 (7)2.4多⽬标规划求解⽅法 (7)2.4.1 基于⼀个单⽬标问题的⽅法 (7)2.4.2 基于多个单⽬标问题的⽅法 (8)2.4.3多⽬标规划未来的研究⽅向 (8)2.5动态规划算法 (8)2.5.1 逆推解法 (8)2.5.2 顺推解法 (9)2.5.3 动态规划算法的优点及研究⽅向 (9)2.6 全局优化算法 (9)2.6.1 外逼近与割平⾯算法 (9)2.6.2 凹性割⽅法 (9)2.6.3 分⽀定界法 (9)2.6.4 全局优化的研究⽅向 (9)2.7随机规划 (9)2.7.1 期望值算法 (10)2.7.2 机会约束算法 (10)2.7.3 相关机会规划算法 (10)2.7.4 智能优化 (10)2.8 最优化软件介绍 (11)3 最优化算法在电⼒系统中的应⽤及发展趋势 (12)3.1 电⼒系统的安全经济调度问题 (12)3.1.1电⼒系统的安全经济调度问题的介绍 (12)3.1.2电⼒系统的安全经济调度问题优化算法的发展趋势 (12)2. 最优化问题的求解⽅法最优化⽅法是近⼏⼗年形成的，它主要运⽤数学⽅法研究各种优化问题的优化途径及⽅案，为决策者提供科学决策的依据。
最优化⽅法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其⽣产经营活动。
最优化⽅法的⽬的在于针对所研究的系统，求得⼀个合理运⽤⼈⼒、物⼒和财⼒的最佳⽅案，发挥和提⾼系统的效能及效益，最终达到系统的最优⽬标。
第二章 优化设计
l 。这是一个合理选择 d 和 l
Fl w 0.1d 3
T 3 0.2d
②刚度条件：
挠度表达式
Fl 3 64 Fl 3 f f 3EJ 3Ed 4
③结构尺寸边界条件： l lmin 8 cm 将题意的有关已知数值代入，按优化数学模型的规范形式，可归纳为 如下数学模型：
3
例2-2 现用薄钢板制造一体积为5 m ，长度不小于4m的无上盖 的立方体货箱。要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱的长、 宽和高的尺寸。 解：分析可知，钢板的耗费量与货箱的表面积成正比。 设货箱的长、宽、高分别为 x1 , x2 , x3，货箱的表面积为S，则 该问题的物理表达式为： (1) 货箱的钢板耗费量（即货箱的表面积用料）最少：
设计变量：
X [ x1 x2 ]T
1 1 ) x2 x1
目标函数的极小化： min f ( X ) x1 x2 2( x1 x3 x2 x3 ) x1 x2 10(
约束条件：
g1 ( X ) 4 x1 0 g 2 ( X ) x2 0 h( X ) 5 x1 x2 x3 0
例2-3 某车间生产甲、乙两种产品。生产甲种产品每件需使用材 料9kg、3个工时、4kw电，可获利润60元。生产乙种产品每件需用材 料4kg、10个工时、5kw电，可获利120元。若每天能供应材料360kg， 有300个工时，能供200kw电。试确定两种产品每天的产量，以使每天 可能获得的利润最大。 解：这是一个生产计划问题，可归结为既满足各项生产条件，又 使每天所能获得的利润达到最大的优化设计问题。 设每天生产的甲、乙两种产品分别为 x1 , x2 件，每天获得的利润可 用函数 f ( x1 , x2 ) 表示，即