热力学与统计物理练习题

热力学与统计物理练习题一、填空题1、在范德瓦耳斯方程中， 是考虑分子之间的斥力而引进的改正项，是考虑到分子之间的Van22而引进的改正项。

2、在等压过程中，引进一个函数H 名为焓则其定义为，在此过程中焓的变化为，这正是等压过程中系统从外界吸收的热量。

3、所在工作于一定温度之间的热机，以的效率为最高，这是著名的。

4、一个系统的初态A 和终态B 给定后，积分与可逆过程的路径无关，克劳修斯根据这个性质引进一个态函数熵，它的定义是 ，其中A 和B 是系统的两个平衡态。

5、在热力学中引入了一个态函数有时把TS 叫做，由于F 是一个常用的函数，需要TS U F -=一个名词，可以把它叫做。

二、判断题1、系统的各宏观性质在长时间内不发生任何变化，这样的状态称为热力学平衡态。

（ ）2、温度是表征物体的冷热程度的，温度的引入和测量都是以热力学定律为基础的。

（ ）3、所谓第一类永动机，就是不需要能量而永远运动的机器。

（ ）4、自然界中不可逆过程是相互关联的，我们可以通过某种方法把两个不可逆过程联系起来。

（）5、对于处在非平衡的系统，可以根据熵的广延性质将整个系统的熵定义为处在局域平衡的各部分的熵之和。

（）三、计算题（一）已知厄密算符B A ˆ,ˆ，满足1ˆˆ22==B A，且0ˆˆˆˆ=+A B B A ，求1、在A 表象中算符Aˆ、B ˆ的矩阵表示； 2、在A 表象中算符Bˆ的本征值和本征函数；3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。

（二）线性谐振子在0=t 时处于状态线性谐振子在0=t 时处于状态)21exp(3231)0,(22x x x ααπαψ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=，其中μωα=，求1、在0=t 时体系能量的取值几率和平均值。

关高中规范2、0>t 时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值（三）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个?（四）将质量相同而温度分别为和的两杯水在等压下绝热的混合，求熵变。

T 1T2（五）试计算单原子分子的定压热容量与定容热容量之比。

四、问答题1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。

4、在一维情况下，求宇称算符Pˆ和坐标x 的共同本征函数。

5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量E 的测不准关系。

五、简述题1、简述理想气体卡诺循环四个过程，并说明其吸或放热的多少。

2、简述热力学第二定律的三种表述。

六、证明题1、证明1)()((-=∂∂∂∂∂∂VT T P T V PVT2、证明在理想气体在绝热过程中常量=PV γ3、求证绝热压缩系数与等温压缩系数之比等于定容热容量与定压热容量之比。

k S k T4、试利用固体热容量的爱因斯坦理论，证明（为爱因斯坦特征温度）。

)1()(223-=e eTCT EE Nk TVEθθθθE 练习题答案一、填空题1、nb ，吸收力2、VP U H ∆+∆=VP U H ∆+∆=∆3、可逆机，卡诺定理4、⎰BAT dQ ⎰=-BAA B TdQS S 5、束缚能 自由能二、判断1、√2、√3、×4、√5、√三、计算题（一）、1、由于1ˆ2=A，所以算符A ˆ的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ˆ的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符Aˆ的矩阵是：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001)(ˆA A设在A 表象中算符B ˆ的矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211)(ˆb b b b A B ，利用0ˆˆˆˆ=+A B B A 得：02211==b b ；由于1ˆ2=B ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b 10012212112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b b b b ，21121b b =∴；由于B ˆ是厄密算符，B Bˆˆ=+，∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0101212b b ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*12*12b b *12121b b =∴令δi e b =12，（δ为任意实常数）得B ˆ在A 表象中的矩阵表示式为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-00)(ˆδδi i e e A B 2、在A 表象中算符Bˆ的本征方程为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαλβαδδ00i i e e 即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαλαβδδi i e e ⇒ ⎩⎨⎧=-=+--00λβαβλαδδi i e e α和β不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 0=---λλδδi i ee ⇒ 012=-λ 1±=∴λ对1=λ有：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+121δϕi Be ，对1-=λ有：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-121δϕi B e 所以，在A 表象中算符Bˆ的本征值是1±，本征函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121δi e 和⎪⎪⎭⎫⎝⎛-121δi e 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符Bˆ在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1121δδi i e e S （二）、解：1、0=t 的情况：已知线谐振子的能量本征解为：ω )21(+=n E n )2,1,0( =n ，)()exp(!2)(22x H x n x n n n ααπαϕ-=当1,0=n 时有：)exp()(220x x απαϕ-=，)exp()(2)(221x x x ααπαϕ-=于是0=t 时的波函数可写成：)(32)(31)0,(10x x x ϕϕψ-=，容易验证它是归一化的波函数，于是0=t 时的能量取值几率为：31)0,21(0==ω E W ，32)0,23(1==ω E W ，能量取其他值的几率皆为零。

能量的平均值为：ω67323110=+=E E E 2、0>t 时体系波函数)23exp()(32)2exp()(31),(10t ix t i x t x ωϕωϕψ---=显然，哈密顿量为守恒量，它的取值几率和平均值不随时间改变，故0>t 时体系能量的取值几率和平均值与0=t 的结果完全相同。

（三）、解：由玻色子组成的全同粒子体系，体系的波函数应是对称函数。

以i q 表示第i )3,2,1(=i 个粒子的坐标，根据题设，体系可能的状态有以下四个：（1）)()()(312111)1(q q q s φφφϕ=；（2）)()()(322212)2(q q q sφφφϕ=（3）[)()()()()()()()()(311221312211322111)3(q q q q q q q q q C s φφφφφφφφφϕ++=； （4）=)4(s ϕ])()()()()()()()()([113222322112312212q q q q q q q q q C φφφφφφφφφ++（四）解：两杯水等压绝热混合后，终态温度以T 和P 为状态参量，两杯水的初态分别为221T T +（）和（）；终态为（，P ）。

据热力学基本方程，P T,1P T ,2221T T +TPdVdU dS +=在压强不变时PdVdU dH +=故TdTT dH dS C P ==积分后两杯水的熵变为⎰++==∆2121122ln11T T TT dTT T T C CS P P ⎰++==∆2221222ln 12T T TT dT T T T C C S PP总熵变等于两杯水熵变之和TT T T C S S P S 21221421ln)(+=∆+∆=∆（五）解：单原子分子只有平动，其能量)(21222p p p zyx m++=ω、管路敷设技术敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，气课件中调试资料试卷试验方案以及系统启动方案；对高中资料试卷技术，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料根据能量均分定理，在温度为T 时，单原子分子的平均能量为kT23=ω单原子分子理想气体的内能为NkT U 23=定容热容量为：C V NkC V 23=由热力学工式为可求得定容热容量C C C P V P Nk ,=-Nk C P 25=因此定压热容量与定容热容量之比为γ667.135===CC VP γ四、问答题一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。

2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。

3、全同玻色子的波函数是对称波函数。

两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为：[])()()()(2112212211q q q q S ϕϕϕϕφ+=4、宇称算符P ˆ和坐标x 的对易关系是：P x x P ˆ2],ˆ[-=，将其代入测不系知，只有当0ˆ=Px 时的状态才可能使Pˆ和x 同时具有确定值，由)()(x x -=δδ知，波函数)(x δ满足上述要求，所以)(x δ是算符Pˆ和x 的共同本征函数。

5、设Fˆ和G ˆ的对易关系k ˆi F ˆG ˆG ˆF ˆ=-，k 是一个算符或普通的数。

以F 、G 和k 依次表示F ˆ、G ˆ和k 在态ψ中的平均值，令 F F ˆFˆ-=∆，G G ˆG ˆ-=∆，则有4222k )G ˆ()F ˆ(≥⋅∆∆，这个关系式称为测不准关系。

时间t 和能量E 之间的测不准关系为：2≥∆⋅∆E t 五、简述1、答：（1）等温膨胀过程这个过程中气体吸收热量为：Q 1VV T QLn R 1211=（2）绝热膨胀过程这个过程中气体吸收热量为零（3）等温压缩过程此过程中气体放出热量为VV T QLn R 4322（4）绝热压缩过程此过程中气体吸收热量为02、简述热力学第二定律的三种表述（1）克氏表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其它变化。

（2）开氏表述：不可能人单一热源吸热使之完全变成有用功而不引起其变化。

（3）第二类永动机是不可能制成的。

六、证明题1-4题答案见教材。