高考数学专题： 函数大题零点问题突破

高考数学专题突破：函数大题中的零点问题

对于函数零点问题，其解题策略一般是转化为两个函数图象的交点． 对于两个函数的选择，有3种情况：一平一曲，一斜一曲，两曲（凸性一般要相反）．其中以一平一曲的情况最为常见．

分离参数法是处理零点问题的常见方法，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目直接考虑函数()f x 的图象与x 轴的交点情况，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目利用零点存在性定理并结合函数的单调性处理零点，其本质是选择一平一曲两个函数．

函数的凸性

1．下凸函数定义

设函数()f x 为定义在区间(),a b 上的函数，若对(),a b 上任意两点1x ，2x ，总有

()()121222f x f x x x f ++??≤ ???

，当且仅当12x x =时取等号，则称()f x 为(),a b 上的下凸函数．

2．上凸函数定义

设函数()f x 为定义在区间(),a b 上的函数，若对(),a b 上任意两点1x ，2x ，总有

()()121222f x f x x x f ++??≥ ???

，当且仅当12x x =时取等号，则称()f x 为(),a b 上的上凸函数．

3．下凸函数相关定理

定理：设函数()f x 为区间(),a b 上的可导函数，则()f x 为(),a b 上的下凸函数?()f x '为(),a b 上的

递增函数?()0f x ''≥且不在(),a b 的任一子区间上恒为零． 4．上凸函数相关定理

定理：设函数()f x 为区间(),a b 上的可导函数，则()f x 为(),a b 上的上凸函数?()f x '为(),a b 上的递减函数?()0f x ''≤且不在(),a b 的任一子区间上恒为零．

【例1】已知函数()()e ln x f x x m =-+．

（1）设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性； （2）当2m ≤时，证明：()0f x >． 【解析】（1）()1

e x

f x x m

'=-

+，由0x =是()f x 的极值点，可得()00f '=，解得1m =．于是()()e ln 1x f x x =-+，定义域为()1,-+∞，()1

e 1x

f x x '=-

+，则()()

2

1e 01x f x x ''=+>+，所以()f x '在()1,-+∞上递增，

又因为()00f '=，所以当10x -<<时()0f x '<，当0x >时()0f x '>，所以()f x 在()1,0-上递减，在()0,+∞上递增．

【证明】（2）法1：()f x 定义域为(),m -+∞，()1

e x

f x x m '=-

+，()()

2

1e 0x f x x m ''=+>+，于是()f x '在(),m -+∞上递增．又因为当x m +→-时，()f x '→-∞，当x →+∞时，()f x '→+∞，所以()0f x '=在

(),m -+∞上有唯一的实根0x ，当0m x x -<<时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x '>，所以()f x 在()

0,m x -上递减，在()0,x +∞上递增，所以当0x x =时，()f x 取得最小值．

由()00f x '=可得001

e 0x x m

-

=+，即()00ln x m x +=-，于是()()000000011

e ln 2x

f x x m x x m m m x m x m

=-+=

+=++-≥-++．当2m <时，()00f x >；当2m =时，等号成立的条件是01x =-，但显然()

11

e 012--

≠-+，所以等号不成立，即()00f x >．

综上所述，当2m ≤时，()()00f x f x ≥>．

法2：当2m ≤，(),x m ∈-+∞时，()()ln ln 2x m x +≤+，于是()()e ln 2x f x x ≥-+，所以只要证明

()()e ln 20x x x ?=-+>，()2,x ∈-+∞，就能证明当2m ≤时，()0f x >．

()1e 2x x x ?'=-

+，()()

2

1e 02x x x ?''=+>+，于是()x ?'在()2,-+∞上递增．又因为()1

110e ?'-=-<，()10102

?'=->，

所以()0x ?'=在()2,-+∞上有唯一的实根0x ，且()01,0x ∈-．当02x x -<<时，()0x ?'<，当0x x >时，()0x ?'>，所以()x ?在()02,x -上递减，在()0,x +∞上递增，所以当0x x =时，()x ?取得最小值．

由()00x ?'=可得001

e 02

x x -

=+，即()00ln 2x x +=-．于是()()()02

00000011

e ln 2022

x x x x x x x ?+=-+=+=>++，于是()()

00x x ??≥>． 综上所述，当2m ≤时，()0f x >．

法3：当2m ≤，(),x m ∈-+∞时，()()ln ln 2x m x +≤+，于是()()e ln 2x f x x ≥-+，所以只要证明

()e ln 20x x -+>（2x >-），就能证明当2m ≤时，()0f x >．

由ln 1x x ≤-（0x >）可得()ln 21x x +≤+（2x >-），又因为e 1x x ≥+（x ∈R ），且两个不等号不能同时成立，所以()e ln 2x x >+，即()e ln 20x x -+>（2x >-），所以当2m ≤时，()0f x >．

【例2】已知函数()()2e 2e x x f x a a x =+--． （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．

【解析】（1）()()()()

22e 2e 12e 1e 1x x x x f x a a a '=+--=+-，2e 10x +>． ①当0a ≤时，e 10x a -<，所以()0f x '<，所以()f x 在R 上递减． ②当0a >时，由()0f x '>可得1ln

x a >，由()0f x '<可得1ln x a <，所以()f x 在1,ln a ?

?-∞ ??

?上递减，

在1ln ,a ??

+∞ ???

上递增． （2）法1：①当0a ≤时，由（1）可知，()f x 在R 上递减，不可能有两个零点．

②当0a >时，()min 11ln 1ln f x f a a a ??

??==-+ ?????，令()()min

g a f x =????，则()2110g a a a '=+>，所以()g a 在()0,+∞上递增，而()10g =，所以当1a ≥时，()()min 0g a f x =??≥??，从而()f x 没有两个零点．

当01a <<时，1ln 0f a ??< ???，()22110e e e a a f -=++->，于是()f x 在11,ln a ?

?- ???上有1个零点；因为

()2

333333ln 1121ln 11ln 10f a a a a a a a a ??????????????-=-+----=---> ? ? ? ? ? ? ??

?????????????，且31ln 1ln a a ????

-> ? ?????，所以

()f x 在1ln ,a ??

+∞ ???

上有1个零点．

综上所述，a 的取值范围为()0,1．

法2：()2222e e 2e 0e e 2e e e x x

x

x

x

x

x x x a a x a a x a ++--=?+=+?=+．令()22e e e x x x

x g x +=+，则

()

()()()()

()

()()

()

222

2

222e 1e e 2e 2e e e 2e 1e 1e

e

e

e

x

x x x x x x x x x

x x

x x x g x ++-++++-'=

=-

++，令()e 1x h x x =+-，则

()e 10x h x '=+>，所以()h x 在R 上递增，

而()00h =，所以当0x <时，()0h x <，当0x >时，()0h x >， 于是当0x <时，()0g x '>，当0x >时，()0g x '<，所以()g x 在(),0-∞上递增，在()0,+∞上递减．()01g =，当x →-∞时，

()g x →-∞，当x →+∞时，()0g x +→．若()f x 有两个零点，则y a =与()g x 有两个交点，所以a 的取

值范围是()0,1．

法3：设e 0x t =>，则ln x t =，于是()22e 2e 02ln x x a a x at at t t +--=?+=+?

2

2ln t t a t t +=+，令()22ln t t G t t t +=+，则()()()()()222122ln 21t t t t t t G t t t ??++-++ ???'==+ ()()

()

2

2

211ln t t t t

t +-+-

+，令()1ln H t t t =-+，则()1

10H t t

'=+>，

所以()H t 在()0,+∞上递增，而()10H =，所以当01t <<时，

()0H t <，()0G t '>，当1t >时，()0H t >，()0G t '<，所以

()G t 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减．()11G =，当0t +→时，()G t →-∞，当t →+∞时，()0G t +→．若()f x 有两个零点，则y a =与()G t 有两个交点，所以a 的取值范围是()0,1．

法4：设e 0x t =>，则ln x t =，于是()22e 2e 02ln 0x x a a x at at t t +--=?+--=?

()ln 12t a t t +-=

．令()()12k t a t =+-，()ln t

t t

?=，则()f x 有两个零点等价于()y k t =与()y t ?=有两个交点．因为()2

1ln t

t t ?-'=，由()0t ?'>可得0e t <<，由()0t ?'<可得e t >，所以()t ?在()0,e 上递增，

在()e,+∞上递减，()1

e e ?=，当x →+∞时，()0t ?+→．()y k t =是斜率为a ，过定点()1,2A --的直线．

当()y k t =与()y t ?=相切的时候，设切点()00,P t y ，则有

()00

0002

ln 121ln t y t y a t t

a t ?=???

=+-??-?=??，消去a 和0y ，可得()000200

ln 1ln 12t t t t t -=+-， 即()()00021ln 10t t t ++-=，即00ln 10t t +-=．令()ln 1p t t t =+-，

显然()p t 是增函数，且()10p =，于是01t =，此时切点()1,0P ，斜率1a =．所以当()y k t =与()y t ?=有两个交点时，01a <<，所以a 的取值范围是()0,1．

法5：()()

20e e 2e x x x f x a x =?+=+，令()()

2e e x x M x a =+，()2e e x x m x =+，()2e x n x x =+，则

()f x 有两个零点?()M x 与()n x 的图象有两个不同交点．

()()002m n ==，所以两个函数图象有一个交点()0,2．令()()()2e e x x T x m x n x x =-=--，则

()()()22e e 12e 1e 1x x x x T x '=--=+-，由()0T x '>可得0x >，由()0T x '<可得0x <，于是()T x 在(),0-∞上递减，在

()0,+∞上递增，而()00T =，所以()()m x n x ≥，因此()m x 与()n x

相切于点()0,2，除切点外，()m x 的图象总在()n x 图象的上方．

由（1）可知，0a >．

当1a >时，将()m x 图象上每一点的横坐标固定不动，纵坐标变为原来的a 倍，就得到了()M x 的图象，此时()M x 与()n x 的图象没有交点．当1a =时，()m x 的图象就是()M x 的图象，此时()M x 与()n x 的图象只有1个交点．当01a <<时，将()m x 图象上每一点的横坐标固定不动，纵坐标变为原来的a 倍，就得到了()M x 的图象，此时()M x 与()n x 的图象有两个不同交点．

综上所述，a 的取值范围是()0,1．

法6：()()()

20e e 2e e 12e x x x x x x f x a x a =?+=+?+-=

，令()()e 12x

p x a =+-，()e

x x q x =，则()f x 有两个零点?()p x 与()q x 的图象有两个不同交点．

()1e

x x

q x -'=

，由()0q x '>可得1x <，由()0q x '<可得1x >，所以()q x 在(),1-∞上递增，在()1,+∞上递减，当x →+∞时，()0q x +→．

由（1）可知，0a >，所以()p x 是下凸函数，而()q x 是 上凸函数．当()p x 与()q x 相切时，设切点为()00,P x y ，则有

()

00

000000e 12e 1e e x

x x x y a x y x a ?=+-??

?

=??

-?=??

，消去a ，0y 可得()000

0021e 12e e x x x x x -+-=，即()()

0002e 1e 10x x x ++-=，即00e 10x x +-=．令()e 1x W x x =+-，显然()W x 是增函数，而()00W =，于是00x =，此时切点()0,0P ，

1a =．所以当()p x 与()q x 的图象有两个交点时，01a <<，所以a 的取值范围是()0,1．

【例3】设函数()2e ln x f x a x =-．

（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （2）证明：当0a >时，()2

2ln

f x a a a

≥+． 【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()22e x a

f x x

'=-

． ()f x '的零点的个数?22e x x a =的根的个数?()22e x g x x =与y a =在()0,+∞上的交点的个数．

因为()()2221e 0x g x x '=+>，所以()g x 在()0,+∞上递增，又因为()00g =，x →+∞时，()g x →+∞，所以当0a ≤时，()g x 与y a =没有交点，当0a >时，()g x 与y a =有一个交点．

综上所述，当0a ≤时，()f x '的零点个数为0，当0a >时，()f x '的零点个数为1．

【证明】（2）由（1）可知，()f x '在()0,+∞上有唯一的零点0x ，当00x x <<时，()0f x '<，当0

x x >时，()0f x '>，所以()f x 在()00,x 上递减，在()0,x +∞上递增，所以当0x x =时，()f x 取得最小值，且最小值为()0f x ．

因为0202e 0x a x -

=，所以020e 2x a x =

，00ln ln 22

a

x x =-，所以()02000000

2e ln ln 22ln 2ln 2222x a a a

a f x a x a x ax a a a x x a ??=-=

--=+-≥+ ???． 【例4】设函数设()21n n f x x x x =+++-L ，n ∈*N ，2n ≥． （1）求()2n f '；

（2）证明：()n f x 在20,3??

???

内有且仅有一个零点（记为n a ），且1120233n

n a ??<-< ???．

【解析】（1）因为()112n n f x x nx -'=+++L ，所以()121222n n f n -'=+?++?L …①．由

()2222222n n f n '=+?++?L …②，①-②，得()21212222n n n f n -'-=++++-?=L ()12212112

n

n n n n --?=---，所以()()2121n n f n '=-+． 【证明】（2）因为()010f =-<，22213322211121202

3339

13

n

n n f ????-?? ???????

??????=

-=-≥-=> ? ? ???

????-，由零点存

在性定理可知()n f x 在20,3??

???内至少存在一个零点．又因为()1120n n f x x nx -'=+++>L ，所以()n f x 在

20,3?? ???内递增，因此()n f x 在20,3??

???

内有且只有一个零点n a ． 由于()()111n n x x f x x

-=

--，所以()()

1101n

n n n n n

a a f a a -=

-=-，由此可得1

1122

n n n a a +=

+，即11122n n n

a a +-=．因为2

03n a <<，所以1

11120223n n n a ++??<< ???，所以1

111212022333n n

n n

a ++??

??

<<= ? ?????

，所以1120233n

n a ??

<-< ???

．

【例5】已知函数()e x f x =和()()ln g x x m =+，直线l ：y kx b =+过点()1,0P -且与曲线()y f x =相切．

（1）求切线l 的方程；

（2）若不等式()ln kx b x m +≥+恒成立，求m 的最大值；

（3）设()()()F x f x g x =-，若函数()F x 有唯一零点0x ，求证：0112

x -<<-．

【解析】（1）设直线l 与函数()f x 相切于点()

11,e x A x ，则切线方程为()111e e x x y x x -=-，即

1111e e e x x x y x x =-+，因为切线过点()1,0P -，所以11110e e e x x x x =--+，解得10x =，所以切线l 的方程为

1y x =+．

（2）设()()1ln h x x x m =+-+，()1

x m h x x m

+-'=

+．当(),1x m m ∈--时，()0h x '<，当()1,x m ∈-+∞时，()0h x '>，所以()h x 在1x m =-时取极小值，也是最小值．因此，要原不等式成立，则

()120h m m -=-≥，所以m 的最大值是2．

【证明】（3）由题设条件知，函数()1

e x F x x m

'=-

+（x m >-），令()()H x F x '=，则()()

2

1

e 0x H x x m '=+

>+，于是()H x 在(),m -+∞上单调递增．因为当x m +→-时，()F x '→-∞，当

x →+∞时，()F x '→+∞，所以()0F x '=有唯一的实根，设为1x ，则当()1,x m x ∈-时，()0F x '<，当

()1,x x ∈+∞时，()0F x '>，于是()F x 有唯一的极小值1x ，也是最小值．当x m +→-时，()F x →+∞，当x →+∞时，()F x →+∞．因此函数()F x 有唯一零点的充要条件是其最小值为0，即()00F x =（01x x =），

所以()00e ln 0x x m -+=，又因为001

e x x m

=

+，所以00e 0x x +=．设()e x x x ?=+，则()e 10x x ?'=+>，

所以()x ?在(),m -+∞上单调递增，又因为1

211

e 022?-??-=-> ???

，()1110e ?-=-<，由零点存在性定理可

知01

12

x -<<-．

【例6】设函数()2e 2ln x f x k x x x ??

=-+ ???

（k 为常数，e 2.71828=???是自然对数的底数）．

（1）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；

（2）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围．

【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()32e 2e 21x x x f x k x x

x -??

'=--+= ??? ()()

3

2e x x kx x --．当0k ≤时，e 0x kx ->，

所以当02x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>．所以()f x 的递减区间为()0,2，递增区间为()2,+∞．

（2）函数()f x 在()0,2内存在两个极值点()0f x '?=在()0,2内有两个不同的根． 法1：问题e 0x kx ?-=在()0,2内有两个不同的根．设()e x h x kx =-，则()e x h x k '=-． 当1k ≤时，()0h x '>，所以()h x 在()0,2上递增，所以()h x 在()0,2内不存在两个不同的根． 当1k >时，由()0h x '>可得ln x k >，由()0h x '<可得ln x k <，所以()h x 的最小值为

()()ln 1ln h k k k =-．e 0x

kx -=在()0,2内有两个不同的根()()()()2

0102e 20ln 1ln 0

0ln 2g g k g k k k k ?=>?=->???=-

，解得2e e 2k <<．

综上所述，k 的取值范围为2e e,2??

???

．

法2：问题e x k x ?=在()0,2内有两个不同的根y k ?=与()e x

g x x

=在()0,2内有两个不同的交点．

()()22

1e e e x

x x x x g x x x --'==，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>．()1e g =，()2

e 22

g =，当0x +→时，()g x →+∞．画出()g x 在()0,2内的图象，可知要使y k =与()g x 在()0,2内有两个不同的

交点，k 的取值范围为2e e,2??

???

．