苏州大学2001年数学分析试题解答

苏州大学2001年数学分析试题解答
[)[)[)1.(15)(),1lim ()(),2(),lim ()lim ()lim ()(,()2
,,,()()x x x x f x a f x f x a f x a f x f x f x A A M x M f x A x x M x x f x f x ε
δ→+∞
→+∞
→+∞
→+∞
+∞+∞+∞=>-<
'''''''''∀>-<-设在上连续
（）若存在且有极限，证明：在上一致连续
（）若在上一致连续,存在吗？回答并说明理由。

证明：（1）由于存在且有极限，设有限）
所以存在当时，有且则[)[][)[)()()2
2
(),()(),,lim ()lim x x f x A f x A f x M f x f x a a f x x ε
ε
ε→+∞
→∞
'''≤-+-<+
=+∞+∞+∞=从而在上一致连续，由在a,M 上一致连续所以在上一致连续（2）不一定。

例如：f(x)=x,显然f(x)在上一致连续但不存在
[][][][][][][][][]000
0000
2.(10),(,),,,(),(,),,(),()()()0,()()0
,,)0()f a b f a b a b x a b f x x a b f a b a b f a b f a a f b b
F a f a a F b f b b x a b x f x x ⊃∈=⊃<>=-<=->∈==设是上的连续函数，且证明：存在使得证明：令F(x)=f(x)-x,F(x)在上连续由于且在上连续则因此从而由连续函数的介值定理知，存在使得F(即
111
11111
3.(15)()11,1111,11
111ln )()x
n x a a x
n n x
n x x x
n n n S x n
a b a n n n n n
n
n n n
∞
=∞∞
==∞
=∞
∞∞
====+∞∀><+∞∀∈<>+∞'''==-∀∈∑
∑∑∑
∑∑∑证明函数在（，）内无穷可微证明：且a<b,x [a,b]因为而时，在[a,b]上收敛，从而在[a,b]上一致收敛由a,b 的任意性知，在（，）上一致收敛所以S(x)连续且可导
S (x)=(x 1212
1121ln ln (1)
ln ln 1(0),lim lim 0
1ln ()()1ln ()(1)ln ln x a n n a n k k x
n k x n n
a n n
n n
a n n
n n n n
S x S x n x n
n n αααααα++→∞→∞∞∞
+=∞
=≤>=+>==∈''+∞∀=-∀∈≤∑∑∑n=1(k)
[a,b],有令而收敛x [a,b]， 因此 收敛从而在[a,b]上一致收敛，由a,b 的任意性知，在（，）内连续可微
k>0,S x [a,b],有
1
(1)ln ()(1)11k
a k k
x n n
a n
n x n ∞
=>=-+∞+∞∑(k)用上所证，S 在（，）上一致收敛
从而S(x)在（，）内无穷可微
2222224.(10),02{,2222,0S
V
S I x dydz y dzdx z dxdy S z h h z h
S x dydz y dzdx z dxdy x y zdxdydz x y zdxdydz r h
θ--Ω
+=++=+≤≤+===Ω=+++=++=++≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1
22211S 求曲面积分其中为锥面z x y 在
部分的下侧。

22x y 解：令S 且方向向上，取向上为正则令S 他方向向外并且封闭，由高斯公式得
x=rc 令{y=rsin 2224
222242222224
4
4
,0222sin cos 2
2
2
h
r
S x y zdxdydz d dr r r zrdz h x dydz y dzdx z dxdy h dxdy h I x dydz y dzdx z dxdy x dydz y dzdx z dxdy h h h
π
θθππ
θθθππ
π
π-+Ω
≤≤++=++=
++===++-++=-
=
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1
1
1
1
S S S S os
211
012
02
12
12
211
5.(15)01()223
42cos ()14
()cos 3()0,(0)1141cos 3()16n n n n n n
f x dx a n xdx n f x n x n x f n x n n
πππππππ∞
=∞=∞=∞
===
===
+===+⇒=
∑
⎰⎰∑∑∑ 2
202在（，）上把f(x)=(x-1)展成余弦级数并且求解：把进行周期延拓（偶延拓）a (x-1)(x-1) 从而令则
2
11
2
11
1
6.(10)(,)(,)
11
{
211
12
{
1
(,)
x
x
y
f x y R dx f x y dy
x
x y x
y
y x
f x y dx
+
-+
-
-≤≤
+≤≤+
≤≤
-≤≤
⎰⎰
⎰21
设是上的连续函数，试交换累次积分的积分次序解：
从而
从而交换后的累次积分为dy
37.(15)(),(1)()(2)(1)()()())00
()0
21()2(0),,(3f x x bx c b c f x f x f x b
f x b b f x b f x
f c f c f
=++'+
'=+=⇒=
-≤≤==
00222
0设和为参数求出
有极值的充要条件
根据与的草图，求出有三个相异零点的充要条件解：(1)f
(x)=3x 要有极值,则f (x
3x 3x 即有极值的充要条件为（）由（）知道有极值，且极值点为
4,
3()6,0,(0,()0(0
240033420
33c f x x f f f x f f c c c b =''''''=><<><><-≤从而当有三个相异零点时，且即且即-
2
11
222
000
2
8.(10)()[01]
max(),[01]
()
()4
()1
1
()
()
()4
f x
M f x
dx m M
f x mM
dx dx
dx
f x
dx m M
f x mM
=∈
+
≤≤
≥=
≥
+
≤
⎰⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
11
00
11
00
11
00
设是，上的连续函数，f(x)>0,m=minf(x),
x，，证明：
1f(x)dx
证明：由希瓦兹不等式知
即f(x)dx
下证f(x)dx
由
11
00
11
00
11
00
()00()
(())(())
(),()0
()
,
()
()
()
1
4
()
()
f x m f x M
f x m M f x
F x F x
f x
mM
f x
mM
dx
f x
mM
dx dx
f x
mM dx dx
f x
dx
f x
>⇒<≤≤
--
=>
>
+≥
≥
⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
2
于
构造
展开有(M+m)>f(x)+两边积分
(M+m)dx f(x)+
即有(M+m)>f(x)
从而(M+m)f(x)
即有f(x)dx
2
()
4
m M
mM
+
≤
⎰⎰
11
00。