苏州大学2001年数学分析试题解答
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苏州大学2001年数学分析试题解答
[)[)[)1.(15)(),1lim ()(),2(),lim ()lim ()lim ()(,()2
,,,()()x x x x f x a f x f x a f x a f x f x f x A A M x M f x A x x M x x f x f x ε
δ→+∞
→+∞
→+∞
→+∞
+∞+∞+∞=>-<
'''''''''∀>-<-设在上连续
（）若存在且有极限，证明：在上一致连续
（）若在上一致连续,存在吗？回答并说明理由。
证明：（1）由于存在且有极限，设有限）
所以存在当时，有且则[)[][)[)()()2
2
(),()(),,lim ()lim x x f x A f x A f x M f x f x a a f x x ε
ε
ε→+∞
→∞
'''≤-+-<+
=+∞+∞+∞=从而在上一致连续，由在a,M 上一致连续所以在上一致连续（2）不一定。
例如：f(x)=x,显然f(x)在上一致连续但不存在
[][][][][][][][][]000
0000
2.(10),(,),,,(),(,),,(),()()()0,()()0
,,)0()f a b f a b a b x a b f x x a b f a b a b f a b f a a f b b
F a f a a F b f b b x a b x f x x ⊃∈=⊃<>=-<=->∈==设是上的连续函数，且证明：存在使得证明：令F(x)=f(x)-x,F(x)在上连续由于且在上连续则因此从而由连续函数的介值定理知，存在使得F(即
111
11111
3.(15)()11,1111,11
111ln )()x
n x a a x
n n x
n x x x
n n n S x n
a b a n n n n n
n
n n n
∞
=∞∞
==∞
=∞
∞∞
====+∞∀><+∞∀∈<>+∞'''==-∀∈∑
∑∑∑
∑∑∑证明函数在（，）内无穷可微证明：且a S (x)=(x 1212 1121ln ln (1) ln ln 1(0),lim lim 0 1ln ()()1ln ()(1)ln ln x a n n a n k k x n k x n n a n n n n a n n n n n n S x S x n x n n n αααααα++→∞→∞∞∞ +=∞ =≤>=+>==∈''+∞∀=-∀∈≤∑∑∑n=1(k) [a,b],有令而收敛x [a,b]， 因此 收敛从而在[a,b]上一致收敛，由a,b 的任意性知，在（，）内连续可微 k>0,S x [a,b],有 1 (1)ln ()(1)11k a k k x n n a n n x n ∞ =>=-+∞+∞∑(k)用上所证，S 在（，）上一致收敛 从而S(x)在（，）内无穷可微 2222224.(10),02{,2222,0S V S I x dydz y dzdx z dxdy S z h h z h S x dydz y dzdx z dxdy x y zdxdydz x y zdxdydz r h θ--Ω +=++=+≤≤+===Ω=+++=++=++≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1 22211S 求曲面积分其中为锥面z x y 在 部分的下侧。 22x y 解：令S 且方向向上，取向上为正则令S 他方向向外并且封闭，由高斯公式得 x=rc 令{y=rsin 2224 222242222224 4 4 ,0222sin cos 2 2 2 h r S x y zdxdydz d dr r r zrdz h x dydz y dzdx z dxdy h dxdy h I x dydz y dzdx z dxdy x dydz y dzdx z dxdy h h h π θθππ θθθππ π π-+Ω ≤≤++=++= ++===++-++=- = ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1 1 1 1 S S S S os 211 012 02 12 12 211 5.(15)01()223 42cos ()14 ()cos 3()0,(0)1141cos 3()16n n n n n n f x dx a n xdx n f x n x n x f n x n n πππππππ∞ =∞=∞=∞ === === +===+⇒= ∑ ⎰⎰∑∑∑ 2 202在（，）上把f(x)=(x-1)展成余弦级数并且求解：把进行周期延拓（偶延拓）a (x-1)(x-1) 从而令则