【北师大版】九年级数学下册导学案：3.5 确定圆的条件
3.5 确定圆的条件
目标导航
1、通过经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索，了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心，圆的内接三角形的概念，进一步体会解决数学问题的策略．
2、定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．定理中“不在同一直线”这个条件不可忽略，“确定”一词应理解为“有且只有” ．
3、通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形．只要三角形确定，那么它的外心和外接圆半径也随之确定了．
4．分析作圆的方法，实质是设法找圆心．过已知点作圆的问题，就是对圆心和半径的探讨． 基础过关
1．锐角三角形的外心在_______．如果一个三角形的外心在它的一边的中点上， 则该三角形是______．如果一个三角形的外心在它的外部，则该三角形是_____． 2．边长为6cm 的等边三角形的外接圆半径是________．
3．△ABC 的三边为2，3
O ，三条高的交点为H ，则OH 的长为_____． 4．三角形的外心是______的圆心，它是_______的交点，它到_______的距离相等． 5．已知⊙O 的直径为2，则⊙O 的内接正三角形的边长为_______．
6．如图，MN 所在的直线垂直平分线段AB ，利用这样的工具，最少使用________ 次就可以找到圆形工件的圆心．
7．下列条件，可以画出圆的是（ ） A ．已知圆心 B ．已知半径 C ．已知不在同一直线上的三点 D ．已知直径 8．三角形的外心是（ ）
A ．三条中线的交点
B ．三条边的中垂线的交点
C ．三条高的交点
D ．三条角平分线的交点 9．下列命题不正确的是（ ） A ．三点确定一个圆 B ．三角形的外接圆有且只有一个 C ．经过一点有无数个圆 D ．经过两点有无数个圆
10．一个三角形的外心在它的内部，则这个三角形一定是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．等边三角形 11．等腰直角三角形的外接圆半径等于（ ）
A ．腰长
B
倍 C
倍 D ．腰上的高
12．平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为（ ）
A ．1个或3个
B ．3个或4个
C ．1个或3个或4个
D ．1个或2个或3个或4个 13．如图，已知：线段AB 和一点C （点C 不在直线AB 上），求作：⊙O ，使它经过A 、B 、C 三点．（要求：尺规作图，不写法，保留作图痕迹）
B
A
6题图
14．如图，A 、B 、C 三点表示三个工厂，要建立一个供水站， 使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置（不写作法，尺规作图，保留作图痕迹）．
A
能力提升
15．如图，已知△ABC 的一个外角∠CAM =120°，AD 是∠CAM 的平分线，且AD 与△ABC 的外接圆交于F ，连接FB 、FC ，且FC 与AB 交于E ．
（1）判断△FBC 的形状，并说明理由．
（2）请给出一个能反映AB 、AC 和F A 的数量关系的一个等式，并说明你给出的等式成立．
D
E
F
C
M
B
A
16．要将如图所示的破圆轮残片复制完成，怎样确定这个圆轮残片的圆心和半径?（写出找圆心和半径的步骤）．
B
A
17．已知：AB是⊙O中长为4的弦，P是⊙O上一动点，cos∠APB=1
3
，问是否存在以A、
P、B为顶点的面积最大的三角形?若不存在，试说明理由；若存在，求出这个三角形的面积．
聚沙成塔
如图，在钝角△ABC中，AD⊥BC，垂足为D点，且AD与DC的长度为x2－7x＋12=0的两个根（AD<DC），⊙O为△ABC的外接圆，如果BD的长为6，求△ABC的外接圆⊙O 的面积．
O D
C
B
A。
九年级数学下册(北师大版)配套教学教案：3.5确定圆的条件
全新修订版教学设计（教案）九年级数学下册老师的必备资料家长的帮教助手学生的课堂再现北师大版3.5 确定圆的条件1．理解平面内确定一个圆的条件，掌握经过不在同一直线上三个点作圆的方法；(重点)2．理解三角形的外接圆、三角形外心等概念；(重点)3．利用三角形外心解决实际问题．(难点)一、情境导入经过一点可以作无数条直线．经过两点只能作一条直线．那么经过一点能作几个圆？经过两点、三点呢？二、合作探究探究点一：确定圆的条件【类型一】判断确定圆的条件下列关于确定一个圆的说法中，正确的是()A．三个点一定能确定一个圆B．以已知线段为半径能确定一个圆C．以已知线段为直径能确定一个圆D．菱形的四个顶点能确定一个圆解析：A.不在同一直线上的三点可确定一个圆，没有强调不在同一直线上，错误；B.以已知线段为半径能确定2个圆，分别以线段的两个端点为圆心，错误；C.以已知线段为直径能确定一个圆，此时圆心为线段的中点，半径为线段长度的一半，正确；D.菱形的四个顶点不一定能确定一个圆，错误．故选 C.方法总结：解答本题的关键是仔细分析各个选项能否满足确定一个圆的条件．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】经过不在同一直线上的三个点作一个圆已知：不在同一直线上的三个已知点A，B，C(如图)，求作：⊙O，使它经过点A，B，C.解析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出边AB、BC的垂直平分线并相交于点O，以O为圆心，以OA为半径，作出圆即可．解：(1)连接AB、BC；(2)分别作出线段AB、BC的垂直平分线DE、GF，两垂直平分线相交于点O，则点O就是所求作的⊙O的圆心；(3)以点O为圆心，OC长为半径作圆．则。
数学：3.4《确定圆的条件》课件(北师大版九年级下)
[单选,A1型题]患儿，2岁。体检发现胸骨左缘第2～3肋间闻及收缩期杂音，肺动脉瓣区第二音亢进，伴固定性分裂。该患儿的诊断是（）A.动脉导管未闭B.房间隔缺损C.室间隔缺损D.法洛四联症E.肺动脉瓣狭窄 [单选]关于刚性基础的说法正确的是()。A.基础大放脚应超过基础材料刚性角范围B.基础大放脚与基础材料刚性角一致C.基础宽度应超过基础材料刚性角范围D.基础深度应超过基础材料刚性角范围 [单选,A2型题]哪些具有统计学意义的研究结果较无统计学意义的研究结果被报告和发表的可能性更大，由此造成的偏倚称为（）A.报告偏倚B.测量偏倚C.发表偏倚D.选择偏倚E.信息偏倚 [单选,A2型题,A1/A2型题]癌与肉瘤的最主要区别是（）A.组织来源不同B.发生的年龄不同C.肿瘤内血管多少不同D.瘤细胞的分布方式不同E.转移的途径不同 [单选]（）最为重要，是化学工业的主要原料来源。A、矿产资源；B、水；C、空气；D、农业副产品。 [判断题]因重排混合物粘度大，故系统吹扫时采用蒸气吹扫。A.正确B.错误 [单选]四肢厥冷，神昏，面紫暗，脉沉迟，身热，胸腹灼热，口鼻气灼，口臭息粗，口渴引饮，小便短黄，舌红苔黄而干，脉有力，此为（）。A.真寒假热B.真热假寒C.表里虚热D.表里虚寒E.表寒里热 [单选,A1型题]患者男，28岁。右腰部被汽车撞伤4小时时，自觉右腰部疼痛，肉眼血尿，应首先考虑（）A.膀胱损伤B.肾损伤C.输尿管损伤D.尿道损伤E.肝破裂 [单选]因重大误解和显失公平等原因引起的无效是()。A.绝对无效B.相对无效C.法定无效D.约定无效 [单选]沙眼是由哪一种微生物所引起的传染性结膜角膜炎()A．细菌B．病毒C．立克次体D．螺旋体E．衣原体 [单选,A1型题]预防医学研究的对象是（）A.个体B.群体C.个体和确定的群体D.健康人E.病人 [单选]测定中性粒细胞的吞噬指数，常采用的方法是（）A.NBT还原试验B.杀菌试验C.斑蝥发泡法D.白色念珠菌吞噬试验E.中性粒细胞计数 [单选]下列选项中，属于催化裂化反应的是（）。A、烷烃脱氢生成烯烃B、烃类分解为甲烷和碳C、烯烃加氢D、烯烃叠合 [单选]MEN2的致病基因是（）。A.MEN1基因B.VHL基因C.RET基因D.NF1基因E.GNAS基因 [单选]行政行为是由行政机关和法律法规授权的组织代表国家行使行政权而作出的，以（）为后盾，能够直接产生法律效果，影响相对人的权利和义务。A.国家宪法B.国家强制力C.社会道德D.行政规程 [单选]目前测定中药中重金属及有害元素(铅、镉、汞、铜、砷)最常用的方法是A.紫外-可见分光光度法B.红外分光光度法C.原子吸收分光光度法D.薄层色谱扫描法E.高效液相色谱法 [单选]下列不属于计划执行中的监测和质量控制的内容是（）。A.建立完整的资料收集和保存体系B.建立专家小组，保证计划执行的质量C.正确评估计划执行者的技能D.项目执行人员的技能培训E.对经费开支的监测 [名词解释]自然选择 [填空题]ABS树脂耐候性差，这是由于其分子中丁二烯所含双键在（）作用下，易受氧化降解决定的。 [多选]关于自吸离心泵的说法正确的是（）。A.具有自吸能力的离心泵B.主要用于流量较大、扬程较高的城市给水C.适用于启动频繁的场合D.叶轮形状对称，不需要设置轴向力平衡装置 [单选]我国目前用抓斗挖槽的最小宽度为（）m。A.0.5；B.0.4；C.0.3；D.0.2。 [单选]一般电气设备铭牌上的电压和电流值的数值是（）。A.瞬时值；B.最大值；C.有效值；D.平均值。 [单选,A1型题]给予温热药引起的热证模型动物，其脑内神经递质的变化是（）A.去甲肾上腺素含量E.乙酰胆碱含量降低 [单选]Inmarsat卫星覆盖范围是（）。A.全球海域B.A3海区C.南北纬70º以内D.A和B [填空题]在公路中桩测量中碰到虚交时，应先解三角形，求出（）的位置，然后再根据普通交点的敷设方法，计算曲线各要素桩。 [单选]能将电压放大10000倍的放大器用电平表示其增益是（）。A、40dBB、60dBC、80dBD、100dB [单选]铁路平面无线调车A型号调车长台，操作过程中，任何时候按下红键1.5s或听到提示音后马上松开按键都能发（）。A.停车信号B.紧急停车信号C.呼叫信号D.减速信号 [单选,A2型题,A1/A2型题]护士长每周对病房急救物品完好情况进行检查，这种质量控制手段属于（）A.基础质量控制B.环节质量控制C.过程质量控制D.结果质量控制E.终末质量控制 [单选]大型运输机的最大使用正过载大约为（）。A.1-2B.5-6C.3-4D.7-8 [单选]男女双方晚婚的，除国家规定的婚假外，增加婚假（）日。A.10；B.14；C.30 [问答题,简答题]区间线路发生故障，如不知来车方向时如何防护？ [单选]建筑物的基本要素不包括（）。A.结构B.系统C.管理D.维护 [单选]强迫症包括强迫观念和（）。A．怪异观念B．强迫行为C．强迫洗手D．强迫恐惧 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列哪项不是溶血的实验诊断依据（）A.网织红细胞计数增高B.骨髓红系增生明显活跃C.间接胆红素升高D.尿胆原增高E.血清游离血红蛋白<40mg/L [单选,A2型题,A1/A2型题]下列情况属于中性粒细胞毒性变化的是（）Alder-Reilly畸形B.May-Hegglin畸形C.Pelger-Huet畸形Dohle小体E.Auer小体 [单选,A1型题]下列脏腑中与厌食最为相关的是（）。A.心与小肠B.脾胃C.肝胆D.肾与膀胱E.肺与大肠 [单选,A1型题]高压氧可用于治疗（）。A.新生儿颅骨骨髓炎B.放射性锁骨坏死C.口底蜂窝织炎D.唇痈E.结核 [判断题]采用顺序分配法分配辅助生产费用，其特点是受益少的先分配，受益多的后分配。先分配的辅助生产车间不负担后分配的辅助生产车间的费用。()A.正确B.错误 [单选]行李室考核制度规定：在航班到达时不及时到达行李发放现场。扣当月绩效工资的（）。A.10%B.15%C.5%D.20% [单选]关于类风湿结节的特点错误的是（）。A.直径数毫米至数厘米B.质硬C.有压痛D.常出现在关节伸侧受压部位的皮下组织E.对称性
《确定圆的条件》圆PPT教学课件-北师大版九年级数学下册
作图: 三角形三条边的垂直平分线的交点．
性质: 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．
判一判:
下列说法是否正确
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( √ ) (2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( × ) (3)经过三点一定可以确定一个圆( × )
√
(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( )
第三章 圆
确定圆的条件
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1．复习并巩固圆中的基本概念． 2．理解并掌握三点确定圆的条件并会应用． (重点) 3．理解并掌握三角形的外接圆及外心的概念．（难点）
导入新课
情境引入
假如旋转木马真如短片所说, 是中国发明的, 你能将旋转木马破碎的圆 形底座还原, 以帮助考古学家画进行深入的研究吗?
7．如图, 在平面直角坐标系xOy中, △ABC外接 圆的圆心坐标（是5,___2_）_____, 半径2 是5 ______.
8．已知正△ABC的边长为6, 那么能够完全覆盖这
个正△ABC的最小圆的半径是_2__3_____.
解析:如图, 能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆的半径就是△ABC外接
过一点可以作无数个圆 过两点可以作无数个圆
注意:同一直线 上的三个点不能 作圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆
概念 外心
经过三角形的三个顶点的圆叫做三 角形的外接圆
解:(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°, ∠DOA＝90°, ∴∠DAO＝30°;
(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积. (2)∵点D的坐标是(0, 3), ∴OD＝3． 在直角△AOD中, OA＝OD·tan∠ADO＝3 3, AD＝2OD＝6, ∴点A的坐标是(3 3 , 0). ∵∠AOD＝90°, ∴AD是圆的直径, ∴△AOB外接圆的面积是9π． 方法总结:图形中求三角形外接圆的面积时, 圆的直径(或半径)长度.
北师大版九年级数学下册第三章3.5确定圆的条件课件(共28张PPT)
判断：
1、经过三点一定可以作圆。（× ）
2、三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分 线的交点。（√ ）
3、三角形的外心到三边的距离相等。（× ）
4、等腰三角形的外心一定在这个三角形内。 （×）
1、某一个城市在一块空地新建了三个 居民小区，它们分别为A、B、C，且三个 小区不在同一直线上，要想规划一所中学，
书P125 练习
小结：
课后日记： 今天学了什么：___________ 今天的收获是:______________ 有不明白的地方吗？_______ 它是:_________________
A
如图：⊙O是△ABC的
外接圆， △ABC是⊙O
的内接三角形，点O是
O C △ABC的外心
B
外心是△ABC三条边的垂
直平分线的交点，它到三角
形的三个顶点的距离相等。
如图，请找出图中圆的圆 心，并写出你找圆心的方法?
A
O C
B
画出过以下三角形的顶点的圆
A
O ●
B
C
（图一）
A
O ●
┐
B
C
（图二）
A O ●
（1）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位 置和大小才唯一确定。
（2）经过一个已知点能作无数个圆！
（3）经过两个已知点A、B能作无数个圆！这 些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上。
（4）不在同一直线上的三个点确定一个圆。
（5）外接圆，外心的概念。
巩固新知 应用新知
2、如图,
一 根 5m 长 的 绳
于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.
老师期望:
作三角形的外接圆是必备基本技能,定要熟练掌握.
【精品教案】北师大版 九年级下册数学 圆周角和圆心角的关系 -教师版(基础)
圆周角和圆心角的关系【学习目标】1．理解圆周角的概念，了解圆周角与圆心角之间的关系；2．理解圆周角定理及推论；3．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．【要点梳理】要点一、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半．3.圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；推论2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）ODCBA要点二、圆内接四边形 1.圆内接四边形定义：四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.2.圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补.如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°.要点诠释：当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时，四边形的对角是不互补. 【典型例题】类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1.如图，在⊙O 中，，求∠A 的度数.【答案与解析】.【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的 弦也相等． 举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在劣弧AD 上，则∠BEC 等于( )A ．45°B ．60°C ．30°D ．55° 【答案】A.∵ AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∴ »»»»90AB BC CD DA ====°， ∴ ∠BEC ＝45°． 类型二、圆周角定理及应用2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?【思路点拨】根据圆周角的定义去判断，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.【答案与解析】(a)∠1顶点在⊙O 内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角； (b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角．(d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；(e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.【总结升华】紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角．3.（2015•台州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．【答案与解析】（1）解：∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=39°，∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；（2）证明：∵EC=BC，∴∠CEB=∠CBE，而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，∵∠BAE=∠CBD，∴∠1=∠2．【总结升华】本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？【思路点拨】BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连结AD，证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．【答案与解析】BD=CD.理由是：如图，连接AD∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB，∴BD=CD.【总结升华】解题的关键是正确作出辅助线.举一反三：【变式】（2015•安顺）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．2B． 4 C．4D．8【答案】C.提示：∵∠A=22.5°，DABCO∴∠BOC=2∠A=45°， ∵⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ， ∴CE=DE，△OCE 为等腰直角三角形， ∴CE=OC=2， ∴CD=2CE=4．故选：C ．类型三、圆内接四边形及应用5．圆内接四边形ABCD 的内角∠A ：∠B ：∠C=2:3:4，求∠D 的度数.【思路点拨】根据圆内接四边形的性质可求得四个角的比值，再根据四边形的内角和为360°，从而求得∠D 的度数. 【答案与解析】解：∵圆内接四边形的对角互补，∴ ∠A ：∠B ：∠C ：∠D=2:3:4：3 设∠A=2x ，则∠B=3x ，∠C=4x ，∠D=3x ， ∴2x+3x+4x+3x=360°， ∴x=30°. ∴∠D=90°.【总结升华】本题考查圆内接四边形的性质和四边形的内角和为360°的运用.BACDO举一反三：【变式】如图，⊙O中，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BOD=110°，则∠BCD的度数是（）.A.110°B.70°C.55°D.125°【答案】D.【巩固练习】一、选择题1．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连结DC，则∠AEB等于( )．A．70°B．90°C．110°D．120°（第1题图）（第2题图）2.如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（）．A．∠1>∠2>∠3 B．∠3>∠1>∠2 C．∠2>∠1>∠3 D．∠3>∠2>∠1 3．如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于( )．A．64°B．48°C．32°D．76°4．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于( )．A．37°B．74°C．54°D．64°（第3题图）（第4题图）（第5题图）5．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE 等于( )．A ．69°B ．42°C ．48°D ．38°6．（2015•酒泉）△ABC 为⊙O 的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC 的度数是（ ） A ．80° B ． 160° C ． 100° D ． 80°或100°二、填空题7.在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_ _________．8.（2015•镇江一模）在圆内接四边形ABCD 中，∠A，∠B，∠C 的度数之比为3：5：6，则∠D= .9．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于H ，BD∥OC，则∠B 的度数是 .10．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝BC ，∠BAC ＝30°，AD 为⊙O 的直径，AD ＝2，则BD ＝ .11．如图，已知⊙O 的直径MN ＝10，正方形ABCD 四个顶点分别在半径OM 、OP 和⊙O 上， 且∠POM ＝45°，则AB ＝ .（第11题图） （第12题图）12．如图，已知A 、B 、C 、D 、E 均在⊙O 上，且AC 为直径，则∠A+∠B+∠C=________度．ODABC（第10题图）三、解答题13. 如图所示，AB，AC是⊙O的弦，AD⊥BC于D，交⊙O于F，AE为⊙O的直径，试问两弦BE与CF的大小有何关系，说明理由．14．（2015•嵊州市一模）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠D=70°，求∠CAD的度数；（2）若AC=8，DE=2，求AB的长．15．如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，点D 与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】因为∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，所以∠D=∠A=50°，∠DBC=40°，∠ABD=60°-40°=20°，∠ACD=∠ABD=20°，∠AED=∠ACD+∠D=20°+50°=70°，∠AEB=180°-70°=110°.2.【答案】D；【解析】圆内角大于圆周角大于圆外角.3.【答案】A；【解析】∵弦AB∥CD，∠BAC=32°，∴∠C=∠A=32°，∠AOD=2∠C=64°.4.【答案】B；【解析】∠ACD=64°-27°=37°，∠AOD=2∠ACD=74°.5.【答案】A；【解析】∠BAD=12∠BOD=69°，由圆内接四边形的外角等于它的内对角得∠DCE=∠BAD=69°.6.【答案】D；【解析】如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°．∴∠ABC的度数是：80°或100°．故选D．二、填空题7．【答案】它们所对应的其余各组量也分别相等；8．【答案】80°；【解析】设每一份是x．则∠A=3x，∠B=5x，∠C=6x．根据圆内接四边形的对角互补，得∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，则3x+6x=180°，- 11 -解得x=20°．所以∠D=9x﹣5x=4x=80°．9．【答案】60°；10．【答案】3；11．【答案】；【解析】如图，设AB ＝x ，在Rt ⊿AOD 中: x²+（2x ）²＝5²， x ＝, 即 AB 的长＝.第11题 第12题12．【答案】90° ； 【解析】如图，连结AB 、BC ，则∠CAD + ∠EBD +•∠ACE=∠CBD +∠EBD +•∠ABE=∠ABC=90°.三、解答题13.【答案与解析】BE=CF ．理由：∵AE 为⊙O 的直径，AD ⊥BC ，∴∠ABE=90°=∠ADC ，又∠AEB=∠ACB ，∴∠BAE=∠CAF ，∴»»BECF ． ∴BE=CF ．14.【答案与解析】解：（1）∵OA=OD，∠D=70°，∴∠OAD=∠D=70°，∴∠AOD=180°﹣∠OAD﹣∠D=40°，∵AB是半圆O的直径，∴∠C=90°，∵OD∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，即OD⊥AC，∴=，∴∠CAD=∠AOD=20°；（2）∵AC=8，OE⊥AC，∴AE=AC=4，设OA=x，则OE=OD﹣DE=x﹣2，∵在Rt△OAE中，OE2+AE2=OA2，∴（x﹣2）2+42=x2，解得：x=5，∴OA=5，∴AB=2OA=10．15.【答案与解析】(1)如图，作OH⊥CD于H，利用梯形中位线易证OF=OE，OA=OB，所以AF=BE，AF+EF=BE+EF，即AE=BF．- 12 -- 13 -(2)四边形CDEF 的面积是定值.连结OC，则， 11()2O 6922S CF DE CD H CD =+⋅=⋅⋅⋅=⨯＝54(cm 2)．。
北师大版数学九年级下册3.5《确定圆的条件》教案
北师大版数学九年级下册3.5《确定圆的条件》教案一. 教材分析《确定圆的条件》这一节主要让学生掌握确定一个圆的条件，包括圆心坐标和半径，以及如何根据这些条件来确定一个圆。
同时，通过实例让学生理解圆的方程的意义和应用。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了坐标系和方程的基础知识，对几何图形也有一定的认识。
但是，对于圆的方程的理解可能还需要进一步的引导和培养。
三. 教学目标1.让学生掌握确定一个圆的条件，包括圆心坐标和半径。
2.让学生理解圆的方程的意义和应用。
3.培养学生的空间想象能力和问题解决能力。
四. 教学重难点1.圆的方程的意义的理解和应用。
2.如何引导学生从实际问题中抽象出圆的方程。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过实例引导学生理解圆的方程的意义和应用，然后通过练习让学生进一步巩固所学知识。
六. 教学准备1.准备相关的实例和练习题。
2.准备课件和黑板。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引导学生思考如何确定一个圆。
例如，给出一个圆的三个点，让学生思考如何确定这个圆。
2.呈现（15分钟）通过课件或者板书，呈现圆的方程。
解释圆的方程的意义，包括圆心坐标和半径。
让学生理解圆的方程是如何表示一个圆的。
3.操练（15分钟）让学生通过练习题来巩固对圆的方程的理解。
可以给出一些具体的圆的方程，让学生求解圆心坐标和半径，或者给出圆心坐标和半径，让学生写出对应的圆的方程。
4.巩固（10分钟）通过一些实际问题，让学生应用圆的方程来解决问题。
例如，给出一个圆的方程，让学生求解圆与直线的交点，或者求解圆的面积。
5.拓展（10分钟）可以让学生思考一些拓展问题，例如，如何确定一个圆的位置和大小，如何求解两个圆的交点等。
6.小结（5分钟）通过小结，让学生回顾所学知识，加深对圆的方程的理解。
7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的练习题，让学生在家里完成。
8.板书（5分钟）在黑板上写出圆的方程，以及解题的关键步骤。
2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章 3.5确定圆的条件 同步练习题(含答案)
2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章 3.5确定圆的条件同步练习题A组(基础题)1．如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )A．点P B．点Q C．点R D．点M2．在同一平面上有A，B，C三点，若经过A，B，C这三点画圆，则可画( )A．0个 B．1个C．0个或1个D．无数个3．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE相交于点F，则下列三角形中，外心不是点O的是( )A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE4．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( )A．第①块 B．第②块C．第③块D．第④块5．有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A的度数．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆⊙O，连接OB，OC，如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A ＝65°.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是( )A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°B．淇淇说的不对，∠A就得65°C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°D．两人都不对，∠A应有3个不同值6．若一个直角三角形的两条直角边长分别为7 cm 和24 cm ，则这个三角形的外接圆的直径长为_____cm.7．已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是_____．8．已知直线l ：y ＝x －4，点A(1，0)，点B(0，2)，设点P 为直线l 上一动点，则当点P 的坐标为_____时，过P ，A ，B 不能作出一个圆．9．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A ，B ，C ，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)若在△ABC 中，AB ＝8米，AC ＝6米，∠BAC ＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．B 组(中档题)10．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝5 cm.能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是_____11．(2020·成都树德中学二诊)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，CO 的延长线交AB 于点D.若BC ＝6，sin ∠BAC ＝35，则AC ＝_____，CD ＝_____12．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果DE ︵(可以是劣弧、优弧或半圆)上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE ︵为△ABC 的中内弧，例如，图中DE ︵是△ABC 其中的某一条中内弧．若在平面直角坐标系中，已知点F(0，4)，O(0，0)，H(4，0)，在△FOH 中，M ，N 分别是FO ，FH 的中点，则△FOH 的中内弧MN ︵所在圆的圆心P 的纵坐标m 的取值范围是_____13．如图，已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R.(1)求证：ACsinB＝2R；(2)若在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝3，求BC的长及sinC的值．14．已知：如图1，在△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与A，B，C重合的任意一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE.(1)求证：△ABD≌△CBE；(2)如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BECD的形状，并证明你的结论．C组(综合题)15．如图，在正方形ABCD中，AB＝42，E，F分别为BC，AD上的点，过点E，F的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分，过点A作AG⊥EF于点G，连接DG，则线段DG 的最小值为_____．参考答案2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章 3.5确定圆的条件同步练习题A组(基础题)1．如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(B)A．点P B．点Q C．点R D．点M2．在同一平面上有A，B，C三点，若经过A，B，C这三点画圆，则可画(C)A．0个 B．1个C．0个或1个D．无数个3．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE相交于点F，则下列三角形中，外心不是点O的是(B)A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE4．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(B)A．第①块 B．第②块C．第③块D．第④块5．有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A的度数．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆⊙O，连接OB，OC，如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A ＝65°.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是(A)A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°B．淇淇说的不对，∠A就得65°C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°D．两人都不对，∠A应有3个不同值6．若一个直角三角形的两条直角边长分别为7 cm和24 cm，则这个三角形的外接圆的直径长为25cm.7．已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是8．已知直线l：y＝x－4，点A(1，0)，点B(0，2)，设点P为直线l上一动点，则当点P的坐标为(2，－2)时，过P，A，B不能作出一个圆．9．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)若在△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．解：(1)用尺规作出AB，AC的垂直平分线，交于O点，以O为圆心，OA长为半径作出⊙O，⊙O即为花坛的位置，如图．(2)∵∠BAC＝90°，AB＝8米，AC＝6米，∴BC＝10米．∴△ABC外接圆的半径为5米．∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米．B组(中档题)10．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5 cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片311．(2020·成都树德中学二诊)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，CO 的延长线交AB于点D.若BC ＝6，sin ∠BAC ＝35，则AC CD ＝9013．12．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果DE ︵(可以是劣弧、优弧或半圆)上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE ︵为△ABC 的中内弧，例如，图中DE ︵是△ABC 其中的某一条中内弧．若在平面直角坐标系中，已知点F(0，4)，O(0，0)，H(4，0)，在△FOH 中，M ，N 分别是FO ，FH 的中点，则△FOH 的中内弧MN ︵所在圆的圆心P 的纵坐标m 的取值范围是m ≤1或m ≥2．13．如图，已知锐角△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R. (1)求证：ACsinB＝2R ；(2)若在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，AC ＝3，求BC 的长及sinC 的值．解：(1)证明：连接AO 并延长交⊙O 于点D ，连接CD ， ∵AD 为直径， ∴∠ACD ＝90°.在Rt △ACD 中，sin ∠ADC ＝AC AD ＝AC2R ，∵∠B ＝∠ADC ，∴sinB ＝AC2R .∴ACsinB＝2R. (2)由(1)知AC sinB ＝2R ，同理可得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC＝2R. ∴2R ＝3sin60°＝2.∴BC ＝2R ·sin ∠BAC ＝2sin45°＝ 2. 作CE ⊥AB ，垂足为E ， ∴BE ＝BC ·cosB ＝2cos60°＝22， AE ＝AC ·cos ∠BAC ＝3cos45°＝62. ∴AB ＝AE ＋BE ＝62＋22. ∴sin ∠ACB ＝AB 2R ＝6＋24.14．已知：如图1，在△ABC 中，BA ＝BC ，D 是平面内不与A ，B ，C 重合的任意一点，∠ABC ＝∠DBE ，BD ＝BE.(1)求证：△ABD ≌△CBE ；(2)如图2，当点D 是△ABC 的外接圆圆心时，请判断四边形BECD 的形状，并证明你的结论．解：(1)证明：∵∠ABC ＝∠DBE ， ∴∠ABD ＝∠CBE.又∵BA ＝BC ，BD ＝BE ， ∴△ABD ≌△CBE(SAS)． (2)四边形BECD 是菱形．证明：∵△ABD ≌△CBE ，∴AD ＝CE. ∵点D 是△ABC 的外接圆圆心， ∴AD ＝BD ＝CD.又∵BD ＝BE ，∴BD ＝BE ＝EC ＝CD. ∴四边形BECD 是菱形．C 组(综合题)15．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝42，E ，F 分别为BC ，AD 上的点，过点E ，F 的直线将正方形ABCD 的面积分为相等的两部分，过点A 作AG ⊥EF 于点G ，连接DG ，则线段DG的最小值为。
北师大版九年级数学下册第三章圆第5节确定圆的条件课堂练习
第三章圆第5节确定圆的条件课堂练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的（）A．三角形内B．三角形外C．斜边的中点D．不能确定2．如图所示，△ABC内接于△O，△C＝45°．AB＝4，则△O的半径为()A．22B．4C．23D．53．在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为()A．0B．1C．2D．0或1 4．有下列四个命题:△经过三个点一定可以作圆;△等弧所对的圆周角相等;△三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;△在同圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦.其中正确的有()A．0B．1C．2D．35．有一边长为23的正三角形，则它的外接圆的面积为（）A．23πB．43πC．4πD．12π6．A，B，C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则()A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆周上B．可以画一个圆，使A，B在圆周上，C在圆内C．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆外D．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆内7．用一根铁丝围成一个正方形，正方形的边长是4.71厘米，如果用这根铁丝围成一个圆，这个圆的直径是（）厘米？(π取3.14)A．6B．3C．60D．208．下列命题：①三角形的内心是三角形内切圆的圆心；②三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；③平分弦的直径垂直于这条弦；④平面上任意三点确定一个圆.⑤圆内接四边形的对角互补.其中，真命题有()．A．两个B．三个C．四个D．五个评卷人得分二、填空题9．已知三角形的边长分别为6，8，10，则它的外接圆的半径是___________．10．如图，O的半径为1，P是O外一点，2OP ，Q是O上的动点，线段PQ 的中点为M，连接OP、OM.则线段OM的最小值是__________．11．下面是“作出弧AB所在的圆”的尺规作图过程．已知：弧AB．求作：弧AB所在的圆．作法：如图，（1）在弧AB上任取三个点D，C，E；（2）连接DC，EC；（3）分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O．（4）以O为圆心，OC长为半径作圆，所以⊙O即为所求作的弧AB所在的圆．请回答：该尺规作图的依据是_____．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标是________，半径是________．13．以矩形ABCD的顶点A为圆心作A，要使B、C、D三点中至少有一点在A 内，且至少有一点在A外，如果12BC=，5CD=，则A的半径r的取值范围为________．14．已知正ABC的边长为6，那么能够完全覆盖这个正ABC的最小圆的半径是_____．15．如图，ABC与DEF均为等边三角形，△O是ABC的内切圆，同时也是DEF的外接圆．若AB=1cm，则DE=_____cm．16．如图，在△O中，弦BC=1，点A是圆上一点，且△BAC=30°，则△O的半径是．评卷人得分三、解答题17．尺规作图：已知△ABC，如图．（1）求作：△ABC的外接圆△O；（2）若AC＝4，△B＝30°，则△ABC的外接圆△O的半径为．18．（1）如图，已知AB、CD是大圆△O的弦，AB＝CD，M是AB的中点．连接OM，以O为圆心，OM为半径作小圆△O．判断CD与小圆△O的位置关系，并说明理由；（2）已知△O，线段MN，P是△O外一点．求作射线PQ，使PQ被△O截得的弦长等于MN．（不写作法，但保留作图痕迹）19．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD△BC，垂足为点F，△ABC的平分线交AD 于点E，连接BD，CD．(1)求证：BD＝CD；(2)请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．20．如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AC＝6，CB＝8，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求证：AC＝AE；（2）求△ACD外接圆的直径．参考答案：1．C【解析】【分析】垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心，由此可得出此交点在斜边中点．【详解】△直角三角形的外接圆圆心在斜边中点，△直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的斜边中点．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形外接圆的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.2．A【解析】【详解】试题解析：连接OA，OB．45,C∠=︒90AOB∴∠=︒，△在Rt AOB△中，2 2.OA OB==故选A.点睛:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半.3．D【解析】【详解】分析：分两种情况讨论：△A、B、C三个点共线，不能做圆；△A、B、C三个点不在同一条直线上，有且只有一个圆．解答：解：当A、B、C三个点共线，过A、B、C三个点不能作圆；当A、B、C不在同一条直线上，过A、B、C三个点的圆有且只有一个，即三角形的外接圆；故选D．4．C【解析】【分析】根据圆的认识、圆周角定理、三角形外心的性质对各小题进行逐一分析即可．【详解】解：△经过在同一条直线上的三个点不能作圆，只有三个点不在同一条直线上时才可以作圆，故本小题错误；△等弧所对的圆周角相等，符合圆周角定理，故本小题正确；△三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以到三角形各顶点的距离都相等，故本小题正确；△在同圆中，平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，故本小题错误．故选：C．【点睛】本题考查的是命题与定理，熟知圆的性质、圆周角定理、三角形外心的性质及其垂径定理的推论是解答此题的关键．5．C【解析】【详解】解：△正三角形的边长为3，可得其外接圆的半径为223cos3023︒÷⨯=，故其面积为4π故选C．【点睛】本题考查等边三角形的性质与运用，其三边相等，三个内角相等，均为60度．6．D【解析】【分析】由已知可得AB+BC=AC，故可知可以画一个圆，使A，C在圆上，B在圆内．【详解】△A，B，C是平面内的三点，AB=2，BC=3，AC=5，△AB+BC=AC，△可以画一个圆，使A，C在圆上，B在圆内．故选D．【点睛】本题主要考查确定圆的条件，正确确定A、B、C三点的位置关系是解决本题的关键．7．A【解析】【分析】根据正方形的周长与圆的周长公式即可列出方程进行求解.【详解】设圆的直径为d，依题意得4×4.71=3.14×d解得d=6，故选A.【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键根据题意找到等量关系进行求解.8．B【解析】【分析】根据三角形的内心△进行判断；根据三角形的外心对△进行判断；根据垂径定理对△进行判断；根据确定圆的条件△进行判断；根据圆内接四边形的性质对△进行判断；【详解】①三角形的内心是三角形内切圆的圆心；正确.②三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；正确.③平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦；故错误.④平面上不在同一条直线上的三点确定一个圆.故错误.⑤圆内接四边形的对角互补.正确.正确的有3个.故选B.【点睛】考查三角形的内心，外心，垂径定理等，比较基础.难度不大.9．5【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形，那么外接圆的半径等于斜边的一半，计算即可解答．根据直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，由勾股定理求得斜边，即可得出答案．【详解】△三角形的三条边长分别为6，8，10，62+82=102，△此三角形是以10为斜边的直角三角形，△这个三角形外接圆的半径为10÷2=5．故答案为5．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆；三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．10．0.5【解析】【分析】设OP与△O交于点N，连结MN，OQ，如图可判断MN为△POQ的中位线，则MN=1 2OQ=12，则点M在以N为圆心，12为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为12．【详解】解：设OP与△O交于点N，连结MN，OQ，如图，△OP=2，ON=1，△N是OP的中点，△M为PQ的中点，△MN为△POQ的中位线，△MN=12OQ=12×1=12，△点M在以N为圆心，12为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为12，△线段OM的最小值为0.5．故答案为0.5．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．11．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上．【解析】【分析】由中垂线的性质知OD=OC=OE，继而根据“平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上”可得．【详解】△分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O，△OD=OC=OE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），△点A、B、C、D、E在以O为圆心，OC长为半径的圆上（平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上），故答案为线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上．【点睛】本题主要考查作图﹣尺规作图，解题的关键是熟练掌握中垂线的性质和圆的概念．12．（5，2）25【解析】【分析】找出三角形两边的垂直平分线的交点即可确定三角形的外心，再利用勾股定理即可求出半径．【详解】△△ABC 外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，又△BC 与AB 的垂直平分线交于点(5,2)，△点(5,2)到三角形三个顶点距离相等，△(5,2)点是三角形的外接圆圆心.△△ABC 外接圆的半径为，224225+=.故答案为（5，2）；25.【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心.利用三角形两边的垂直平分线的交点确定△ABC 外接圆的圆心是解题的关键.13．513r <<【解析】【分析】先求出矩形对角线的长，然后由B 、C 、D 与△A 的位置，确定△A 的半径的取值范围．【详解】根据题意画出图形如下所示：△AB=CD=5，AD=BC=12，△AC=BD=22512+=13．△B 、C 、D 中至少有一个点在△A 内，且至少有一个点在△A 外，△点B 在△A 内，点C 在△A 外．△5＜r ＜13．故答案是：5＜r＜13．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．14．23【解析】【分析】能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆的半径是△ABC外接圆的半径，求出△ABC外接圆的半径即可解决问题．【详解】如图，那么能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆的半径就是△ABC外接圆的半径，设△O是△ABC的外接圆，连接OB，OC，作OE△BC于E，△△ABC是等边三角形，△△A=60°，△BOC=2△A=120°，△OB=OC，OE△BC，△△BOE=60°，BE=EC=3，△sin60°=BEOB，△OB=23考点：（1）三角形的外接圆与外心；（2）等边三角形的性质15．12．【解析】【详解】试题分析：设AB与△O相切于M，连接OB，OM，得到OM△AB，由△O是等边△ABC的内切圆和等边三角形的性质，求出圆的半径，连接OD，过O作ON△DE于N，由△O 是等边△DEF的外接圆．解直角三角形即可得到结论．试题解析：设AB与△O相切于M，连接OB，OM，△OM△AB，△△O是等边△ABC的内切圆△△ABO=30°，OA=OB，△BM=12AB=12，△OM=36，连接OD，过O作ON△DE于N，△△O是等边△DEF的外接圆．△OD=OM=36，△ODN=30°，△DN=14，△DE=2DN=12．考点：1．三角形的内切圆与内心；2．等边三角形的性质；3．三角形的外接圆与外心．16．1【解析】【分析】连接OB，OC，根据△BAC=30°可得△BOC=60°，则△OBC为等边三角形，则OB=BC=1，即可得圆的半径是1．【详解】如图，连接OB，OC，△△BAC=30°，△△BOC=2△BAC=60°．△OB=OC，△△BOC是等边三角形．△OB=BC=1．故答案为：1．17．（1）答案见解析；（2）4．【解析】【分析】（1）确定三角形的外接圆的圆心，根据其是三角形边的垂直平分线的交点进行确定即可；（2）连接OA，OC，先证明△AOC是等边三角形，从而得到圆的半径．【详解】解：（1）作法如下：△作线段AB的垂直平分线，△作线段BC的垂直平分线，△以两条垂直平分线的交点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆；（2）连接OA，OC，△△B＝30°，△△AOC＝60°，△OA＝OC，△△AOC是等边三角形，△AC＝4，△OA＝OC＝4，即圆的半径是4，故答案为4．【点睛】本题考查了尺规作三角形外接圆、圆中的计算问题，解题的关键是熟知“三角形边的垂直平分线的交点是三角形的外接圆的圆心”．18．（1）相切，证明见解析；（2）答案见解析【解析】【分析】（1）过点O作ON△CD，连接OA，OC，根据垂径定理及其推论可得△AMO=△ONC=90°，AM=CN，从而求证△AOM△△CON，从而判定CD与小圆O的位置关系；（2）在圆O上任取一点A，以A为圆心，MN为半径画弧，交圆O于点B，过点O 做AB的垂线，交AB于点C，然后以点O为圆心，OC为半径画圆，连接PO，取PO的中点D，以点D为圆心，OD为半径画圆，交以OC为半径的圆于点E，连接PE，交以OA为半径的圆于F,H两点，FH即为所求.【详解】解：（1）过点O作ON△CD，连接OA，OC△AB、CD是大圆△O的弦，AB＝CD，M是AB的中点，ON△CD△△AMO=△ONC=90°，AM=12AB,CN12CD，△AM=CN又△OA=OC△△AOM△△CON △ON=OM△CD与小圆O相切（2）如图FH即为所求【点睛】本题考查垂径定理及其推论，全等三角形的判定和性质，以及利用垂径定理作图，掌握相关知识灵活应用是本题的解题关键.19．（1）见解析（2）是【解析】【详解】试题分析：()1利用等弧对等弦即可证明．()2利用等弧所对的圆周角相等，BAD CBD∠=∠再等量代换得出DBE DEB∠=∠，从而证明DB DE DC==，所以B E C，，三点在以D为圆心，以DB为半径的圆.试题解析:(1)证明：△AD为直径，AD△BC，△由垂径定理得：.BD CD=△根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD=CD.(2)B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．理由：由(1)知：.BD CD=△△1=△2，又△△2=△3，△△1=△3，△△DBE =△3+△4，△DEB =△1+△5， △BE 是△ABC 的平分线，△△4=△5，△△DBE =△DEB ，△DB =DE .由(1)知：BD =CD△DB =DE =DC .△B ,E ,C 三点在以D 为圆心,以DB 为半径的圆上. 20．（1）见解析；（2）35【解析】【详解】试题分析：()1先根据：90ACB ∠=︒得出AD 为圆O 的直径，可得出ACB AED ∠=∠．再由AD 是ABC 中BAC ∠的平分线可知CAD EAD ∠=∠，由HL 得出ACD AED △≌△，根据全等三角形的性质可知=.AC AE ()2根据勾股定理求出AB 的长，设,CD DE x == 则8,DB BC CD x =-=-1064EB AB AE =-=-=，在Rt BED △中，根据勾股定理得出x 的值，再由ACD △ 是直角三角形即可得出AD 的长． （1）证明△90ACB ∠=︒，且ACB ∠为圆O 的圆周角， △AD 为圆O 的直径，90AED ∴∠=︒，.ACB AED ∴∠=∠又AD 是ABC 中BAC ∠的平分线, △CAD EAD ∠=∠CD DE ∴=，△.ACD AED ≌△=.AC AE（2）△ABC 为直角三角形，且6,8AC CB ==，△根据勾股定理得：10.AB =由()1得到90,AED ∠=︒ 则有90BED ∠=︒，设,CD DE x == 则8,DB BC CD x =-=-1064EB AB AE =-=-=，在Rt BED △中，根据勾股定理得：222BD BE ED =+， 即222(8)4x x ，-=+解得： 3.x =3CD ∴=，又6AC =，ACD △为直角三角形， △根据勾股定理得：222226345.AD AC CD =+=+= 3 5.AD =。
确定圆的条件 (教学设计) 九年级数学下册(北师大版)
3.5确定圆的条件教学设计（1）线段垂直平分线上的点有怎样的性质？（2）怎样用尺规作一条线段的垂直平分线多媒体出示垂直平分线的画法(3)构成圆的基本要素有哪些?车间工人要将一个如图所示的破损的圆盘复原，确定它的尺寸（圆盘的大小），你有办法吗？思考：那么过几点可以确定一个圆呢？探究2 过两点作圆作圆，使它经过已知点A，B.你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？探究3 过三点作圆问题1：经过同一直线上的A，B，C三点能作圆吗？问题2：作圆，使它经过已知点A，B，C(A，B，C 三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？归纳：不在同一条直线上的三点确定一个圆讨论：如果三个点在同一直线时可以作圆吗？为什么？当A，B，C三点在同一条直线上时，因为到A，B 两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B，C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，两条直线垂直于同一条直线，所以线段AB 的垂直平分线与线段BC的垂直平分线平行，没有交点，故没有一点到A，B，C三点的距离相等，不存在圆心，从而经过同一直线上的三点不能作圆，当A，B，C三点不在同一条直线上时，这两条垂直平分线的交点满足到A，B，C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．OA或OB或OC是半径．因为这两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，半径也唯一确定，所以只能作出一个满足条件的圆。
试一试：已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.由上可知，三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．这个三角形叫这个圆的内接三角形.外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，并说明它们外心的位置情况.1.以已知点O为圆心、线段a为半径作圆,可以作( )A.1个圆B.2个圆C.3个圆D.无数个圆2.下列语句正确的是( )A.直径是弦,弦是直径B.相等的圆心角所对的弦相等C.经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴D.三点确定一个圆3.三角形的外心具有的性质是（）A.到三边的距离相等.B.到三个顶点的距离相等.C.外心在三角形的外.D.外心在三角形内.4.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C 的度数是________．5.如图，△ABC的高AD、BE相交于点H，延长AD 交△ABC的外接圆于点G，连接BG．求证：HD=GD．。
北师大版初中九年级下册数学课件 《圆》
知1－练
4 下列图形中，四个顶点一定在同一个圆上的是( B ) A．菱形、平行四边形 B．矩形、正方形 C．正方形、菱形 D．矩形、平行四边形
知识点 2 与圆有关的概念
知2－讲
弦:连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦，
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
注意: 1.弦和直径都是线段. 2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是
(1)圆的两种定义中确定圆的条件是相同的，即圆心和 半径．两者缺一不可； (2)“点在圆上”和“圆过点”表示的意义都是：这个点在 圆周上． 特别提醒：圆是“圆周”，而非“圆面”．
知1－练
1 体育老师想利用一根3m长的绳子在操场上画一个 半径为3m的圆，你能帮他想想办法吗？
解：将绳子的一端A固定，然后拉紧绳子的另一端B，并绕
知2－练
2 【中考·杭州】如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆 周上(不与点A，C重合)，点D在AC的延长线上，连 接BD交⊙O于点E，若∠AOB＝3∠ADB，则(D ) A．DE＝EB B. DE2＝EB C. DE3＝DO D．DE＝OB
知2－练
3 【中考·潍坊】点A，C为半径是3的圆周上两点，点B ︵
A
B．F，G，H
C．G，H，E
D．H，E，F
知3－练
3 【中考·贵港】如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，
线段PQ的中点为M，连接OP，OM. 若⊙O的半径为2，OP＝4，
则线段OM的最小值是( )
A．0
B
B．1
C．2
D．3
知3－练
4 如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在
归纳
知1－导
1. 圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定 2. 点O的距离等于定长r的点的集合． 3. 确定一个圆的两个要素：圆心、半径.圆心确 4. 定圆的位置，半径确定圆的大小.