数学分析中求极限的方法总结
求极限的12种方法总结及例题
求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。
在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。
本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。
2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。
根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。
3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。
当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。
要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。
4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。
利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。
要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。
5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。
洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。
通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。
6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。
当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。
通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。
7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。
通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。
对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。
求函数的极限值的方法总结
求函数的极限值的方法总结在数学中，函数的极限值是指函数在某一特定区间上取得的最大值或最小值。
求解函数的极限值是数学分析中经常遇到的问题之一，下面将总结一些常用的方法来求解函数的极限值。
一、导数法对于给定的函数，可以通过求导数来判断函数在某一点附近的单调性和极值情况。
导数表示了函数在某一点处的变化率，通过求导数可以获得函数的驻点（导数为零的点）以及极值点。
一般来说，当函数从单调递增变为单调递减时，即导数由正变负，函数的极大值出现；当函数从单调递减变为单调递增时，即导数由负变正，函数的极小值出现。
所以，通过求导数可以找到函数的极值点，然后通过比较极值点和边界点的函数值，即可确定函数的极限值。
二、二阶导数法在某些特殊情况下，求函数的二阶导数可以提供更加准确的信息来确定函数的极限值。
当函数的二阶导数恒为正时，表示函数处于凸型，此时函数可能有极小值但没有极大值；当函数的二阶导数恒为负时，表示函数处于凹型，此时函数可能有极大值但没有极小值。
通过对二阶导数进行符号判断，可以帮助确定函数的极限值。
三、极限值存在性判定对于一些特殊的函数，通过判定函数的极限值是否存在可以快速确定函数的极限值。
当函数在某一区间上连续且存在最大最小值时，函数的极限值也会存在。
因此，可以通过求解函数在区间端点的函数值，并比较这些函数值来确定函数的极限值。
四、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种通过引入约束条件来求解极值的方法，特别适用于求解带有约束条件的函数的极值。
通过构造拉格朗日函数，将原始问题转化为无约束的极值问题，然后通过求解极值问题来确定函数的极限值。
五、切线法切线法是一种直观而有效的求解函数极值的方法。
通过观察函数图像，在极值附近找到一条切线，使得切线与函数图像的接触点的函数值最大或最小。
通过近似切线与函数图像的接触点，可以获得函数的极值的近似值。
六、数值法数值法是一种通过计算机进行数值逼近的方法来求解函数的极限值。
通过将函数离散化，并在离散点上进行计算，可以得到函数在这些离散点上的函数值，然后通过比较这些函数值来确定函数的极限值。
极限求值方法总结
极限求值方法总结极限是数学中一个重要的概念，也是数学分析的核心内容之一、在数学中，极限表示函数在特定点处的趋近情况，是函数性质的基础。
极限求值方法是一种通过运算和推理来确定极限值的技巧和策略，可以简化复杂的极限计算过程。
在极限求值过程中，常用的方法有以下几种：1.代数化简法：通过将含有极限的表达式进行代数化简，使其变得简单易计算。
例如，将分子和分母同时除以最高次幂的次数，或运用因式分解、化简等代数技巧进行化简。
2.夹逼定理：当要求函数f(x)在特定点a处的极限时，通过找到另外两个函数g(x)和h(x)，并满足g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，同时lim[g(x)]=lim[h(x)]=L（L为常数）时，可以利用夹逼定理得出f(x)的极限也为L。
3.分子有理化法：当极限中存在分母中有根号的情况时，可以通过有理化的方式将分母进行化简。
常见的有理化方式有平方差公式、差平方和公式、三角恒等式等，将根式形式转换为有理式，以便更好地求解。
4.变量代换法：当要求一些变量的极限时，通过变量代换可以使问题变得简单。
常见的变量代换方法有三角代换、对数代换、指数代换等。
通过合适的变量代换，可以使极限过程中的运算简化，并更容易求解。
5.洛必达法则：当计算极限时，通过洛必达法则可以求解一些不定型的极限。
当计算极限时遇到不定型0/0或者∞/∞时，可以对分子和分母同时求导，然后取极限，利用洛必达法则将原极限转化为可求解的形式。
6.级数展开法：对于一些复杂的函数或表达式，可以利用级数展开的方法进行近似求解。
例如，将函数展开为幂级数、泰勒级数等，然后通过截断级数来逼近函数的值，从而求得极限。
7.递推法：对于一些递推数列，可以通过递推的方式求解极限。
通过找出数列中的递推关系式，并利用极限的性质，可以得到递推数列的极限。
除了以上几种常用的极限求值方法，还有许多其他特殊的技巧和策略，根据不同的问题和情况可以选择合适的方法。
在求解极限过程中，一些数学技巧和推理能力的培养也是十分重要的。
求极限的计算方法总结
千里之行，始于足下。
求极限的计算方法总结极限是数学中重要的概念，它描述了函数在某一点无限接近于某个值的性质。
计算极限是数学分析中的基础内容，对于解决数学问题和理解函数的行为至关重要。
下面将总结一些计算极限的常见方法。
1.代入法：当极限的表达式中存在某个点的函数值不存在时，可以通过代入法来计算极限。
代入法即将极限的定义中与某些点不全都的部分进行代入，然后计算出相应的极限值。
2.分子分母有理化：当极限表达式中含有分数，且分母中有根式时，可以将分子分母有理化，即通过乘以分子分母的共轭形式，将根式消去。
3.利用无穷小量的性质：当极限表达式中存在无穷小量时，可以利用无穷小量的性质进行计算。
例如，常见的无穷小量的性质有：a.加减无穷小量仍旧是无穷小量；b.有界函数与无穷小量相乘仍旧是无穷小量；c.有限次幂无穷小量也是无穷小量等。
4.利用极限的四则运算法则：对于四则运算，极限也有相应的运算法则。
常见的极限运算法则有：a.加减法则：lim(f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x)b.乘法法则：lim(f(x) * g(x)) = lim f(x) * lim g(x)c.除法法则：lim(f(x) / g(x)) = lim f(x) / lim g(x)，其中lim g(x) ≠ 0d.复合函数法则：lim(f(g(x))) = lim f(g(x)), when lim g(x) exists第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
5.利用夹逼定理：当极限表达式无法直接计算时，可以利用夹逼定理进行计算。
夹逼定理规定了假如存在两个函数h(x)和i(x)，使得对于足够大的x，h(x) ≤ f(x) ≤i(x)，且lim h(x) = lim i(x) = L，则lim f(x)也等于L。
6.利用洛必达法则：洛必达法则可用于计算形如lim(f(x)/g(x))的不定型极限，其中f(x)和g(x)在极限点四周连续可导。
极限的求法总结
n2
11 lim (1 )
n2 n
1 2
.
例ln i m (1 133 15 ...4 n 1 2 1 )
拆 项 :4 n 2 1 1 ( 2 n 1 ) 1 ( 2 n 1 ) 1 2 (2 n 1 1 2 n 1 1 )
lim( 1 1 ... 1 )
n 13 35
4n2 1
x 0
x
e e e e. 11 lim 1x x 0 2x
x lim1x x 02x
lim 1 x 02(1x)
1 2
14. 将数列极限转化成函数极限求解
例：求极限
lim
n
n
sin
1 n
n2
【说明】这是 1 形式的极限，由于数列极限不能使用
解： 当0x1时，（积分不容易计算）
01xnssiinn33xx xn
故 01xnsin 3xd x1 xnd xxn 11, 01 sin 3x 0 n 10n 1
因为 lim0lim 1 0 x xn1
所以
lim 1xnsin3xdx0
x 01sin3x
10. 用等价无穷小量代换求极限
limx2( x2+93)3 x0 x2( x2+42) 2
9.利用夹逼准则（两边夹法）则求极限
说明：两边夹法则需要放大和缩小不等式，常用的方法 是都换成最大的和最小的。
例 求 li(m 11 1). n n 2 1 n 2 2 n 2 n
解
n1 1n, n 2 nn 2 1 n 2 nn 2 1
(n1,2,3,)
（1）证明
lim
n
xn
存在；
（2）求
lim
求极限的几种方法
求极限的几种方法在数学分析中，求极限是一种重要的技巧和方法，用于研究数列、函数的收敛性和特性。
对于求极限的方法，可以总结为以下几类：代入法、夹逼法、等价无穷小代换法、洛必达法则、泰勒展开精确到n次、换元法、分数分解法、递归关系法等。
一、代入法：代入法是求函数极限的最基本的方法之一，适用于绝大多数最简单的函数。
通过将自变量值代入函数中，得到具体的函数值，看函数的值是否有限并趋于确定的值，如果有限且趋于确定的值，则可以认为该函数极限存在，并等于该确定的值。
当然，代入法只是一种相对简单和直观的方法，并不适用于复杂函数的极限计算。
二、夹逼法：夹逼法也被称为迫敛法或挤压定理，适用于数列或函数的极限计算。
当数列或函数存在上、下界，且上、下界的极限都为所求极限时，可以通过夹逼法来证明所求极限的存在并求得。
三、等价无穷小代换法：等价无穷小代换法是一种常用的得到极限的方法之一，将一个复杂的极限问题转化成一个简单的等价无穷小求极限问题。
其主要思想是将原函数与理论已知的函数进行比较，找出它们之间的等价关系，进而得到原函数的极限。
常用的等价无穷小有：指数、对数、三角函数等。
四、洛必达法则：洛必达法则是求函数极限的常用方法之一，主要用于求解0/0型或∞/∞型的极限。
其基本思想是将函数的极限转化成求导数的极限。
通常情况下，通过不断使用洛必达法则，可以通过求多次极限最终得到函数的极限。
五、泰勒展开精确到n次：对于有限次求导的函数，可以使用泰勒展开式来近似估计函数极限。
泰勒展开式是用若干项之和来逼近一个函数的方法，通过将函数展开成多项式形式，可以在一定程度上表示出原函数的性质。
通常情况下，使用泰勒展开精确到n次可以更加准确地求得函数的极限。
六、换元法：换元法也称为特殊换元法，通过选择合适的换元变量，将原来复杂的极限问题转化成更加简单的极限计算问题。
常见的换元方法有：取代法、正弦替换法、余弦替换法、平方根替换法等。
七、分数分解法：分数分解法是一种常用的计算复杂函数极限的方法，通过将极限问题利用分式相除的形式，将复杂的极限表达式化简成多个简单函数之比的极限表达式，进而进行求解。
极限的求法总结
a xn
=
a 0 xn
a
即 {xn} 有下界， 由此得
xn+1 −
xn
=
1 2
(
xn
+
a xn
)
−
xn
=
a − xn2 2 xn
0
既
xn 单调下降，因此
lim
x→+
xn
存在。
（2）设
lim
x→+
xn
=
，由（1）
a 0
对递推公式两端取极限，得 = 1 ( + 2 ) 2
解得 = a （舍去负值），所以 = a.
=
a0
(
lim
x→x0
x)n
+
a1
(
lim
x→x0
x) n−1
++
an
= a0 x0n + a1 x0n−1 + + an = Pn (x0 ).
２
极限的求法总结
例3. lim x2 + 5x − 6 x→−1 3x2 + 2
商的法则(代入法)
方法总结： 多项式函数与分式函数(分母不为0)用 代入法求极限;
极限的求法总结
极限的求法总结
简介：求极限方法举例，列举21种 求极限的方法和相关问题
１
1.代入法求极限
极限的求法总结
例1.lim(x2 + x − 2) x→2
例2.设有多项式Pn (x) = a0 xn + a1xn−1 + ... + an ,
求
lim
x → x0
Pn
(
极限的求法总结
8.分子（母）有理化求极限
【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
例 求极限 lim ( x2 + 3 − x2 +1) x→+
lim (
x→+
x2 + 3 −
x2 +1) = lim ( x2 + 3 − x2 +1)( x2 + 3 +
x→+
x2 + 3 + x2 +1
= lim
− −
1) 1)
= lim x + 1 = 1 . x→1 x + 3 2
(消去零因子法)
4.无穷小因子分出法求极限
例
求
lim
x→
2x3 7x3
+ +
3x2 4x2
+ −
5 1
.
解
x
→
时,
分子,分母的极限都是无穷大.(
型
)
先用x3去除分子分母,分出无穷小,再求极限.
35
lim
x→
2x3 7x3
+ +
练习4
lim
x→
(2x
+1)4 (x −1)78 (x +1)82
=
lim
x→
x4
(2
+
1 x
)4
x 78
(1 −
x82
(1 +
)1 82
x
1 x
)78
= 24
= 16
5.先变形再求极限
(利用求和化简，拆项技巧，合并化简等)
例
求
1
lim(
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精心整理数学分析中求极限的方法总结1利用极限的四则运算法则和简单技巧极限的四则运算法则叙述如下： 定理1.1（1（2（3（4（5例1.例2.例3.已知()11112231n x n n =+++⨯⨯-⨯解：观察11=1122-⨯11=232-⨯因此得到()11112231n x n n=+++⨯⨯-⨯所以1lim lim 11n n n x n →∞→∞⎛⎫=-= ⎪⎝⎭2利用导数的定义求极限导数的定义：函数f(x)如果 存在，即的导数。
例3（2例5：xx x x 10)1()21(lim +-→解：为了利用极限e x xx =+→10)1(lim 故把原式括号内式子拆成两项，使得第一项为1，第二项和括号外的指数互为倒数进行配平。
xx x x 10)1()21(lim +-→=xx xx 10131(lim +-+→ =313310]131[(lim -+--+→=+-+e x x x x xx例6：20cos 1limx xx -→解：将分母变形后再化成“0/0”型所以例7:求4例8：x 解:因为复合函数arcsin 是初等函数,而x 1→是其定义区间内的点,所以极限值就等于该点处的函数值.因此例8：求xx sin ln lim 2π→解：复合函数x sin ln 在2π=x 处是连续的，所以在这点的极限值就等于该点处的函数值即有2sin ln sin ln lim 2ππ=→x x=1ln 2sinlim =π=05利用两个准则求极限。
（1）函数极限的迫敛性：若一正整数N,当n>N 时，有n n n x y z ≤≤且lim lim ,n n x x x z a →∞→∞==则有lim n x y a→∞=。
利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{}n y 和{}n z ，使得n n n y x z ≤≤。
例9（2）例12)2,n 。
试证数列解:由1x 即数列{令A x n n =∞→lim 对n n x x +=+61两边取极限，有A 260A -A -=解得A=3,或2A =-。
因为...)2,1(0=>n x n ，所以0A ≥，舍去2A =-,故lim 3n n x →∞=6利用洛必达法则求未定式的极限定义6.1：若当x a →（或x →∞）时，函数()f x 和()F x 都趋于零(或无穷大)，则极限)()(lim)(x F x f x ax ∞→→可能存在、也可能不存在，通常称为00型和∞∞型未定式。
例如：xxx tan lim 0→,(00型); bx ax x sin ln sin ln lim→,(∞∞型).定理存在(定义例10：x 并例11解：0→x 洛必达法则通常适用于以下类型：0⨯∞型：例12求lim (arctan )2x x x π→+∞-.解原式2221arctan 112lim lim lim 11111x x x x x x x xπ→+∞→+∞→+∞-+====+. ∞-∞型：例13求()2lim sec tan x x x π→-.解1sin 1sin sec tan cos cos cos x x x x x x x --=-=，0例解1∞例解0∞例解原式tan ln tan 01lim ln()tan ln 0lim lim x xxx e x xxx x e e e-+→++-→→===，而tan ~00lim(tan ln )lim(ln )0x x x x x x x x ++→→-−−−→-=，因此：原式=1.7.用泰勒展式来求极限用此法必须熟记基本初等函数的展开式,它将原来函数求极限的问题转化为求多项式或有理分式的极限问题。
对于和或差中的项不能用其等价无穷小代替的情形,有时可用项的泰勒展开式来代替该项,使运算十分简便。
例17：4202cos limx ex x x -→-解：因为 所以例18：)]11ln([lim 2x x x +-+∞→解：因为当x →+∞ 从而于是8..若要利定理8.1例19解：令f定理8.2例20：求n n nx !lim∞→令()f x x =,则有：例21：求212111(lim n n n n +++++∞→解：把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算计算定积分，为此作如下变形：不难看出，其中的和式是函数发x x f +=11)(在区间[]1,0上的一个积分和。
（这里所取的是等分分割，,1n x i =∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=n i n i n i i ,1ε（..2.1n i ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=），所以当然，也可把J 看作x x f 1)(=在[]2,1上的定积分，同样有9.例22：例23因为x 当0x →故lim 0→x 所以原式=0。
例24解：因为1sin 1x≤所以x 1sin 是有界函数故31xx +在x →∞时是无穷小量。
利用无穷小量与有界函数的乘积还是无穷小量。
所以011sin lim3=+∞→x x x x .10.利用等价无穷小的代换求极限利用等价无穷小代换求函数的极限时，一般只在以乘除形式出现时使用，若以和、差形式出现时，不要轻易代换，因为经此代换后，往往会改变无穷小之比的阶数，故此慎用为好。
常见等价无穷小量(0→x )x x x e x x x x~arctan ~arcsin ~1~)1ln(~tan ~sin -+等价无穷小有重要性质:设',~αα,分子,简化。
i 例25解：当x 例26换)11.给出一数列n u ,对应一个级数∑∞=1n nu 若能判定此级数收敛,则必有0lim =∞→n n u 。
由于判别级数收敛的方法较多,因而用这种方法判定一些以零为极限的数列极限较多方便。
例27：求极限)1,1(,!)1)...(1(lim -∈+--∞→x x n n a a a nn 解：设级数∑∞=+--0!)1)...(1(n nxn n a a a其中nnx n n a a a u !)1)...(1(+--= 由达朗贝尔判别法知级数收敛,再由级数收敛的必要条件0lim =∞→n n u 可知：例28：求极限n n n n n !2lim*∞→解：设n n n n n n u !2lim*=∞→=n lim ∞→所以故12.ε，如力。
例27：11lim 355=+-+∞→n n n n 证：任给0>ε要找N ,使N n >时，有即ε<+--11353n n n ， 显然，当n 较大时，如2≥n ，有=2134n , 因此要使ε<+--11353n n n 成立，当n>=2即则有>n 13.例28解：因为)(lim )(lim 11x f x f x x -+-→-→≠，所以f(x)在x=-1处的极限不存在。
利用该方法就极限时，只有当左右极限存在且相等是才能说明极限是存在的注：本例是a x f x f a x f x x x x x x ===-+→→→)(lim )(lim )(lim 000的直接应用。
14.利用微分中值定理和积分中值定理求极限例29：3sin 022lim x xx x -→解：因为 由微分中值定理2ln 2sin 22sin ε=--xx xx （ε介于x 与x sin 之间） 原式=30sin 0sin lim *sin 22lim x x x x x x x x x ---→→例15.数m 例=2121...2121...2111=++≥+++++n n n n n 因此，对于210=ε，对任意的N ，当n>N 时，取m=n 就有即变量n x 没有极限。
16.换元法求极限当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。
例321lim (1)xx x →-∞+. 解令x t =-，则原式=1lim 1t t t -→+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭1lim t t t t -→+∞-⎛⎫= ⎪⎝⎭111lim 1111t t t t -→+∞⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=e 例33:求11lim ln x x x x x →-解：令t 16.例解选。