高二数学课件 综合法和分析法
高二数学人选修课件第一章综合法和分析法
第二步，计算$f(x_1)$和$f(x_2)$的差，得到$f(x_1) - f(x_2) = (x_1^2 - 2x_1 + 2) (x_2^2 - 2x_2 + 2) = (x_1 - x_2)(x_1 +第三步，由于$x_1, x_2 in [1, +infty)$且$x_1 < x_2$，所以$x_1 - x_2 < 0$，同时$x_1 + x_2 - 2 > 0$。
第四步，再次对两边同时平方，得到 $42 > 40$。
第三步，对第二步的结论进行简化， 得到$sqrt{42} > 2sqrt{10}$。
因此，我们证明了$sqrt{6} - sqrt{5} > 2sqrt{2} - sqrt{7}$。
XX
REPORTING
2023 WORK SUMMARY
THANKS
综合法的优缺点
01
优点
02
逻辑性强：综合法遵循严格的逻辑推理，使得证明过程具 有严密性。
03
适用性广：综合法可以应用于各种数学领域，具有广泛的 适用性。
04
缺点
05
对已知条件依赖性强：综合法需要从已知条件出发进行推 导，若已知条件不足或不明确，则难以应用综合法。
06
创造性思维受限：综合法主要依赖于逻辑推理和运算，相 对于分析法而言，对创造性思维的发挥有所限制。
应用于解析几何
在解析几何中，分析法可 以帮助我们找到满足特定 条件的点、直线或曲线。
应用于数列与极限
分析法在数列与极限的求 解中也有广泛应用，可以 通过逐步推导找到数列的 通项公式或极限值。
分析法的优缺点
优点
分析法思路清晰，逻辑严密，可以逐步推导出问题的解决方 案。
1.5.2综合法和分析法课件人教新课标B版
1
1
-1
= −2.
∵f(1)=1 + 1 = 2,∴f(-1)=-f(1),则 f(x)是奇函数
答案:D
-4-
1.5.2 综合法和分析法
目标导航
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HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析 S随堂演练
IANLITOUXI
UITANGLIANXI
2.分析法
从需要证明的命题出发,分析使这个命题成立的充分条件,利用
已知的一些定理,逐步探索,最后到达命题所给出的条件(或者一个
已证明过的定理或一个明显的事实),这种证明方法称为分析法.
归纳总结
证明的起
方法
始步骤
综
基本不等式
合
或已经证明
法
过的不等式
分
要求证的不
析
等式
法
求证过程
证题方
求证目标
向
实施一系列的推出或等
∴(a2+b2)+(b2+c2)+(a2+c2)≥2ab+2bc+2ac,即
a2+b2+c2≥ab+bc+ac,这严重背离了原题的证明意图.
分析二:设f(a)=a2+b2+c2-2(ab+bc+ac),即f(a)=a2-2a(b+c)+b2+c22bc.
Δ=4(b+c)2-4(b2+c2-2bc)=16bc>0.
证明
4
sin x+
≥5,x∈
sin
π
2.2.1《综合法和分析法》区教研课课件
充分条件
思考6：上述证明方法叫做分析法. 一般 地，分析法的基本含义是什么？ 从所证结论出发，逐步寻求使它成立的 充分条件，直到归结为判定一个显然成 立的条件（已知条件、定义、公理、定 理、性质、法则等）为止.
分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”, 其基本思想是：由未知探需知，逐步推向 已知.
2
2
2
2
4abc
其左右两边的结构有什么特点？ 右边是3个数a，b，c的乘积的4倍，左边 为两项之和，其中每一项都是一个数与 另两个数的平方和之积.
思考2：利用哪个知识点可以沟通两个数 的平方和与这两个数的积的不等关系？
基本不等式 x + y
2 2
2xy
思考3：若已知a＞0，b＞0，如何利用不 等式性质证明
证明过程中我们要善于观察变形，合理利用已 知条件、定理、公式，把文字语言转化为符号 语言或者图形语言，由因导果！
探究（二）：分析法
回顾基本不等式： a + b 2 (a>0,b>0)的证明.
ab 证明 : 要证 2 ab ,
ab
只需证
a b 2 ab
只需证
只需证
a+b-2 ab 0
例1.已知 a, b, c 是不全相等的正数 bc a c a b a b c 求证： 3 a b c
(综合法)
R ∵a，b，c ，
符号语言
b a c a c b 与 ， 与 ， 与 均为正实数且不能同时相等， a b a c b c b a c a c b 2， ＋ 2 ， ＋ 2 ， 由重要不等式得： ＋ a b a c b c
2.2直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法(1)
【高中数学】综合法与分析法 、反证法
题型 用反证法证明“至多”，“至少”等存在性问题
π
π
若 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋ 2 ，b＝y2－2z＋ 3 ，c＝z2
π －2x＋ 6 ，求证：a，b，c 中至少有一个大于 0.
证明：假设 a，b，c 都不大于 0，即 a≤0，b≤0，c≤0，则 a＋b＋c
≤0.
而 a＋b＋c＝x2－2y＋π2 ＋y2－2z＋π3 ＋z2－2x＋π6 ＝(x－1)2＋(y －1)2＋(z－1)2＋π－3.
a（a－1） ，
所以 a＋1－ a＜ a－1－ aC 成等差数列，且角 A，B，C 的对 边分别为 a，b，c，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
证明：方法一 (分析综合法) 要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1 成立， 即证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c成立，
反证法证明时反设不全面致误.
【典例】 已知a，b，c是互不相等的非零实 数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋ 2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有 两个相异实根．
解析：假设三个方程都没有两个相异实根， 则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0. 相加有 a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0， 即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*) 由题意 a，b，c 互不相等，所以(*)式不能成立． 所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实 根．
即a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3，化简得a＋c b＋b＋a c＝1， 又需证 c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)， 即 c2＋a2＝b2＋ac. 又△ABC 的三个内角 A，B，C 成等数列，所以 B＝60°. 由余弦定理，得 cos B＝a2＋2ca2c－b2＝21. 所以 a2＋c2－b2＝ac，所以原命题成立．
综合法和分析法 课件
1．综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方 法，也是不等式证明中的基本方法．由于两者在证明思路 上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学 习，以便于对比研究两种思路方法的特点．
2．所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的 性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式．综合法 是“由因及果”．
分析：注意不等式左、右两端的差异，思考 如何脱去左端根号或如何去掉右端的分母
a＝ b1c＜121b＋1c，而1a＝bc.
证明：法一：因为 a，b，c 是不等正数，且 abc＝1，
所以 a＋ b＋ c＝
b1c＋
a1c＋
1 ab
＜121b＋1c＋121a＋1c＋121a＋1b＝1a＋1b＋1c.
法二：a，b，c 是不等正数，且 abc＝1，
设 x，y∈(0，＋∞)．求证： 12(x＋y)2＋14(x＋y)≥x y＋y x.
证明：原不等式⇔2(x＋y)2＋(x＋y)≥4x y＋4y x ⇔(x＋y)[2(x＋y)＋1]≥2 xy(2 x＋2 y)． ∵x＋y≥2 xy＞0， ∴只需证 2(x＋y)＋1≥2 x＋2 y. 即证(x＋14)＋(y＋14)≥ x＋ y.
2
只需证 2ab＋ma＋b ＜ c ， 即证 1＋2abm＋2m－aab＋b＜1＋mc ， 只需证 m2c－abc＜2mab＋m2(a＋b)成立， 只需证 m2[c－(a＋b)]＜ab(2m＋c)成立， ∵a，b，c 分别是△ABC 的三边长，∴a＋b＞c. 即 c－(a＋b)＜0，而 m2＞0， ∴m2[c－(a＋b)]＜0. 而 ab(2m＋c)＞0， ∴m2[c－(a＋b)]＜ab(2m＋c)成立． ∴原不等式成立．
(当且仅当 a＝b＝c＝13时，等式成立)
高中数学2.2.1 综合法和分析法
-16-
2.2.1 综合法与分析法
探究一
探究二
探究三
课前篇自主预习 课课堂堂篇篇探探究究学学习习 规范解答 当堂检测
综合法与分析法的综合应用 例3已知a、b、c是不全相等的正数,且0<x<1.
求证:logx������+2������+logx������+2 ������+logx������+2 ������<logxa+logxb+logxc. 分析:解答本题的关键是利用对数运算法则和对数函数性质将题 目转化成整式不等式证明.
①综合法的特点是从“已知”看“未知”,其逐步推理实际上是寻找
已知条件的必要条件.
②综合法从命题的条件出发,利用定义、公理、定理和运算法则,
通过演绎推理,一步一步完成命题的证明.
-3-
2.2.1 综合法与分析法
课前篇自主预习 课堂篇探究学习
【做一做 1】 命题“求证:tan θ+ta1n������ = sin22������”的证明过程“tan
-17-
2.2.1 综合法与分析法
课前篇自主预习 课课堂堂篇篇探探究究学学习习
探究一
探究二
探究三
规范解答 当堂检测
解:要证明 logx������+2������+logx������+2 ������+logx������+2 ������<logxa+logxb+logxc,
只需要证明 logx
①分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推
理实际上是寻找使结论成立的充分条件.
②分析法从命题的结论入手,寻求结论成立的条件,直至归结为
分析法与综合法
分析法与综合法一、分析法与综合法的定义1、定义所谓分析法，是指“执果索因”的思维方法，即从结论出发，不断地去寻找需知，直至达到已知事实为止的方法． 分析法的思维全貌可概括为下面形式： “结论需知1需知2…已知”．所谓综合法，是指“由因导果”的思维方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法．综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式： “已知可知1可知2…结论”．二 、例题赏析例1、已知：a b ∈R ，，且a b ≠，求证：3322a b a b ab +>+．证明一：（分析法）要证3322a b a b ab +>+， 即证22()()()a b a ab b ab a b +-+>+， 因为0a b +>，故只需证22a ab b ab -+>， 即证2220a ab b -+>， 即证2()0a b ->， 因为a b ≠，所以2()0a b ->成立， 所以3322a b a b ab +>+成立．证明二：（综合法）由a b ≠，知2()0a b ->，即2220a ab b -+>，则22a ab b ab -+>．又0a b +>，则22()()()a b a ab b ab a b +-+>+，即3322a b a b ab +>+．实际证题过程中，分析法与综合法往往是结合起来运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是比较少的．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚好相反，综合法居主导地位，而分析法伴随着它．特别是，对于那些较为复杂的数学命题，不论是从“已知”推向“未知”，或者是由“未知”靠拢“已知”，都有一个比较长的过程，单靠分析法或综合法显得较为困难．为保证探索方向准确及过程快捷，人们又常常把分析法与综合法两者并列起来使用，即常采取同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标．从已知到中间目标运用综合法思索，而由结论到中间目标运用分析法思索，以中间目标为桥梁沟通已知与结论，构建出证明的有效路径．上面所言的思维模式可概括为如下图所示：综合法与分析法是逻辑推理的思维方法，它对于培养思维的严谨性极为有用．把分析法与综合法两者并列起来进行思考，寻求问题的解答途径方式，就是人们通常所说的分析、综合法．下面举一具体例子加以说明：例2、若a b c ，，是不全相等的正数，求证：lg lg lg lg lg lg 222a b b c c aa b c +++++>++． 证明：要证lglg lg lg lg lg 222a b b c c aa b c +++++>++ 只需证lglg()222a b b c c aa b c +++>， 只需证222a b b c c aabc +++>． 但是，02a b ab +>≥，02b c bc +>≥，02c aca +>≥． 且上述三式中的等号不全成立，所以222a b b c c aabc +++>．因此lg lg lg lg lg lg 222a b b c c aa b c +++++>++． 注：这个证明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法．例3、例1 如图1，在四面体A VBC -中，60VA VB VC AVB AVC ==∠=∠=，，90BVC ∠=，求证：平面VBC ⊥平面ABC ．分析：要证面面垂直需通过线面垂直来实现，可是哪一条直线是我们所需要的与平面垂直的直线呢？ 我们假设两平面垂直已经知道，则根据两平面垂直的性质定理，在平面VBC 内作VD BC ⊥，则VD ⊥平面ABC ，所以VD 即为我们所要寻找的直线． 要证明VD ⊥平面ABC ，除了已知的VD BC ⊥之外，还需要在平面ABC 内找一条直线与VD 垂直，哪一条呢？ 假设已知知道VD ⊥平面ABC ，则VD 与平面ABC 内的任意直线均垂直，即必有VD AB VD AC ，⊥⊥，但这两个垂直的证明较难入手，还有其他的直线吗？连结AD 呢？假设已经知道VD ⊥平面ABC ，则必有VD AD ⊥．通过计算可得到90VDA ∠=，原题得证．证明：设BC 的中点为D ，连结VD AD ，，因为VB VC =，所以VD BC ⊥；设1VA VB VC ===，因为6090AVB AVC BVC ∠=∠=∠=，，所以2122AB AC BC VD AD =====，，，所以90VDA ∠=，即VD AD ⊥，又已知AD BC D =，所以VD ⊥平面ABC ，又VD ⊂平面VBC ，所以平面VBC ⊥平面ABC ．例4、如图2，在长方体1111ABCD A BC D -中， 证明：平面1A BD ∥平面11CB D ．分析：要证明两平面平行，需在一平面内寻找两条相交直线与另一平面平行．假设两平面平行已知，则一个平面内的任意直线均与另一个平面平行，所以有11A B A D BD ，，均与平面11CB D 平行，选择任意两条均可，不妨选择11A B A D ，．要想证明11A BA D ，与平面11CB D 平行，需在平面11CB D 内寻找两条直线分别与11A B A D ，平行，假设11A B A D ，与平面11CB D 平行已知，则根据线面平行的性质定理，过1A B 的平面11A BCD 与平面11CB D 相交所得的交线1CD 与1A B 平行；过1A D 的平面11A DCB 与平面11CB D 相交所得的交线1B C 与1A D 平行．11CD B C ，即为所要寻找的直线．从而易知11CD B C ，分别与11A BA D ，平行，原题得证． 证明：因为1111ABCD A BC D -为长方体，所以有11A D BC ∥，即四边形11A BCD 为平行四边形，从而有11AB CD ∥，又已知1A B ⊄平面111CB D CD ⊂，平面11CB D ，进而有1A B ∥平面11CB D ；同理有11A D BC ∥，从而有1AD ∥平面11CB D ；又已知111A B A D A =，所以有平面1A BD ∥平面11CB D ．从上面的两例可以看出，分析法的基本思路是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．同学们可以在学习过程中，沿着这样的解题思路，亲自体验一下分析法在立几证明中的妙用.例4、 设A 、B 、C 是双曲线xy=1上的三点，求证：△ABC 的垂心H 必在此双曲线上．分析：如图1－1，设H 的坐标为(x 0，y 0)，要证H 在此双曲线上，即证x 0y 0=1．而H 是两条高AH 与BH 的交点，因此需求直线AH 、BH 的方程，进而从所得方程组中设法推出x 0y 0=1．α，证明:如图1－1，由已知可设A、B、C的坐标分别为()β设点H的坐标为(x0，y0)，则由①式左乘②式右及①式右乘②式左，得化简可得x0y0(α-β)=α-β．∵ α≠β，∴x0y0=1．故H点必在双曲线xy=1上．解说:本证法的思考过程中，从分析法入手，得出证点H在双曲线xy=1上就是证x0y0=1．这为综合法证明此题指明了目标．在用综合法证明的过程中，牢牢抓住这个目标，去寻找x0、y0的关系式，用式子①与②相乘，巧妙地消去参数α、β、γ，得到x0y0=1．从而避免了解方程的麻烦，提高了解题速度．练习：1、设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是 （ ） A ．22- B ．335-C ．－3D ．27-2、．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（ ）Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形Ｃ．钝角三角形Ｄ．不确定3．观察式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，，则可归纳出式子为（ ） Ａ．22211111(2)2321n n n ++++<-≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n ++++<+≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n -++++<≥ Ｄ．22211121(2)2321n n n n ++++<+≥ 4、已知实数0≠a ，且函数)12()1()(2ax x a x f +-+=有最小值1-，则a =__________。
高中数学第二讲证明不等式的基本方法综合法与分析法
2。
2.2 分析法课堂导学三点剖析一，利用分析法证明不等式【例1】 (1)设a>b 〉0，求证：333b a b a ->-。
（2)已知0〈α〈π,证明2sin2α≤cot 2α，并指出等号成立的条件。
证明：（1）要证333b a b a ->-,∵a>b〉0，有3b a ->0， ∴需证（3b a -）3>(33b a -）3,展开得a —b 〉a —323b a +b ab -323， 即证明)(3333b a ab -〉0, 也就是证33b a ->0,在题设条件下这一不等式显然成立，∴原不等式成立.（2)要证2sin2α≤cot 2α,由0<α<π知sinα〉0，只需证2sinα·sin2α≤1+cosα,即证明4sin 2αcosα-（1+cosα）≤0,也就是证（1+cosα)[4（1—cosα）cosα-1］≤0，而1+cosα>0，于是只要证-4cos 2α+4cosα—1≤0,即—（2cosα—1）2≤0,就是(2cosα-1)2≥0,这是显然的。
∴2sin2α≤cot 2α,等号在2cosα=1,α=3π时取得。
各个击破类题演练1若a ，b,c 三数均大于1，且ab=10，求证:log a c+log b c≥4lgc.证明:由于a>1，b 〉1，要证log a c+log b c≥4lgc,需证b ca clg lg lg lg +≥4lgc,而lgc>0, 因此只要证b a lg 1lg 1+≥4,即证b a b a lg lg lg lg +≥4。
∵ab=10,有lga+lgb=1，于是只需证lga·lgb≤41, 而lga·lgb≤(2lg lg b a +)2=41。
∴不等式log a c+log b c≥4lgc 成立.变式提升1已知a>0,b 1—a 1>1，求证：ba ->+111。
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流程: Q Ü P1 P1 Ü P2 P2 Ü P3 …
显然成立的条件
应用举例
例1 已知a，b，c＞0，求证：
a3＋b3＋c3≥3abc.
例2
已知数列{an}满足
a1
1 2
,
an1 an2 an (n N * ) ,求证：
1 1 1 2
1 a1 1 a2
1 an
例3 已知a≥3，求证：
3 a -1- a < 3 a -2 - a -3
例4 在△ABC中，三个内角A，B，C的
对边分别为a，b，c，已知A，B，C成等
差数列，求证：
a
1 +b
+ b
1 +c
=
a
3 +b +c
例5 已知a2＋b2＋c2＝bc＋ca≤1.
作业：
P91习题2.2A组：2，3. B组：2，3.
综合法和分析法的应用 (习题课)
知识回顾
1.综合法的基本含义和思维流程分别 是什么？ 含义:利用已知条件和某些数学定义、公 理、定理、性质、法则等，经过一系列 的推理论证，最后推导出所证结论成立.
流程:
P Þ Q1 Q1 Þ Q2 Q2 Þ Q3 … Qn Þ Q
2.分析的基本含义和思维流程分别 是什么？ 含义:从所证结论出发，逐步寻求使它成 立的充分条件，直到归结为判定一个显 然成立的条件（已知条件、定义、公理、 定理、性质、法则等）为止.