综合法与分析法 课件
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1.5.2综合法和分析法课件人教新课标B版
D.取 x=-1,f(-1)=-1 +
1
1
-1
= −2.
∵f(1)=1 + 1 = 2,∴f(-1)=-f(1),则 f(x)是奇函数
答案:D
-4-
1.5.2 综合法和分析法
目标导航
Z 知识梳理 Z 重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析 S随堂演练
IANLITOUXI
UITANGLIANXI
2.分析法
从需要证明的命题出发,分析使这个命题成立的充分条件,利用
已知的一些定理,逐步探索,最后到达命题所给出的条件(或者一个
已证明过的定理或一个明显的事实),这种证明方法称为分析法.
归纳总结
证明的起
方法
始步骤
综
基本不等式
合
或已经证明
法
过的不等式
分
要求证的不
析
等式
法
求证过程
证题方
求证目标
向
实施一系列的推出或等
∴(a2+b2)+(b2+c2)+(a2+c2)≥2ab+2bc+2ac,即
a2+b2+c2≥ab+bc+ac,这严重背离了原题的证明意图.
分析二:设f(a)=a2+b2+c2-2(ab+bc+ac),即f(a)=a2-2a(b+c)+b2+c22bc.
Δ=4(b+c)2-4(b2+c2-2bc)=16bc>0.
证明
4
sin x+
≥5,x∈
sin
π
1
1
-1
= −2.
∵f(1)=1 + 1 = 2,∴f(-1)=-f(1),则 f(x)是奇函数
答案:D
-4-
1.5.2 综合法和分析法
目标导航
Z 知识梳理 Z 重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析 S随堂演练
IANLITOUXI
UITANGLIANXI
2.分析法
从需要证明的命题出发,分析使这个命题成立的充分条件,利用
已知的一些定理,逐步探索,最后到达命题所给出的条件(或者一个
已证明过的定理或一个明显的事实),这种证明方法称为分析法.
归纳总结
证明的起
方法
始步骤
综
基本不等式
合
或已经证明
法
过的不等式
分
要求证的不
析
等式
法
求证过程
证题方
求证目标
向
实施一系列的推出或等
∴(a2+b2)+(b2+c2)+(a2+c2)≥2ab+2bc+2ac,即
a2+b2+c2≥ab+bc+ac,这严重背离了原题的证明意图.
分析二:设f(a)=a2+b2+c2-2(ab+bc+ac),即f(a)=a2-2a(b+c)+b2+c22bc.
Δ=4(b+c)2-4(b2+c2-2bc)=16bc>0.
证明
4
sin x+
≥5,x∈
sin
π
1.2 综合法与分析法 课件1 (北师大选修2-2)
练习2:求证：
3- 2>
6- 5
练习3:设a,b为互不相等的正数，且a+b=1, 证明： 1 + 1 > 4
a b
变题： 已知 a, b, c R ，且 a b c 1
1 求证：(1)a b c ; 3 (2) a b c 3.
2 2 2
例2.如图，四棱锥 P ABCD 中，
2.分析法
从问题的结论出发，追溯导致结论的成 立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的 条件和已知条件吻合为止.
其推证过程为：
结论 已知条件
特点：
从“未知”看“需知”，逐步靠拢 “已知”
3.直接证明
直接从原命题的条件逐步推得命题成立.
（综合法和分析法是直接证明的两种基本方法）
注：直接证明的一般形式为：
2 2
证: 求
直接证明
π 1 例. 已知α, β≠ kπ+ (k Z),且 2 sinθ+ cosθ= 2sinα sinθcosθ= sin 2 β 1 - tan α 1 - tan β = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β)
2 2
证: 求
练习1:平行四边形ABCD中，AE⊥BD,垂足为E, CF⊥BD,垂足为F, 求证：AE=CF C D E F A B
PC 平面ABCD, PC 2,
在四边形 ABCD 中，点M 在PB上，
PB与平面ABC成 30 角.
CM // 面PAD; （1）求证：
面PAB 面PAD. （2）求证：
例3.已知数列 {an }的通项 an 为3,公差为1的等差数列.
2.2.1综合法与分析法课件人教新课标2
sinθ + cosθ = 2sinα （1） sinθgcosθ = sin2β （2）
1 - tan2α 1 - tan2β 求证 1 + tan2α = 2(1 + tan2β) .
证明：
因为（sin2θ + cos2θ）2 - 2sinθcosθ = 1,
所以将(1)(2)代入，可得
4sin2α - 2sin2β = 1. 另一方面要证
4.作业：89页1 2 3
练习.如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作 SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为 F,求证 AF⊥SC.
S
判断
F E
应该用综合法还
是分析法？
A
C
B
1 - 2sin2α = 1 (1 - 2sin2β)， 2
4sin2α - 2sin2β = 1.
由于上式与③相同，于是问题得证.
课堂小结
1.综合法的概念：
一般地，利用已知条件和某些数学定 义、公理、定理等,经过一系列的推理论证, 最后推导出所要证明的结论成立,这种证明 方法叫做综合法.
2.分析法的概念:
则综合法可用 框图表示如下：
P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 … Qn Q
例题1
在△ABC中，三个内角A、B、C对应的 边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列， a、b、c成等比数列，求证△ABC为等边三 角形．
分析
•将A，B，C成等差数列，转化为符号 语言就是2B=A+C；
•A，B，C为△ABC的内角，这是一个隐含 条件，即A+B+C=180°；
这就是另一种证 明方法——分析法.
一般地，从要证明的结论出发，逐 步寻求推证过程中，使每一步结论成立 的充分条件，直至最后，把要证明的结 论归结为判定一个明显成立的条件（已 知条件、定理、定义、公理等）为止， 这种证明的方法叫做分析法．
1 - tan2α 1 - tan2β 求证 1 + tan2α = 2(1 + tan2β) .
证明：
因为（sin2θ + cos2θ）2 - 2sinθcosθ = 1,
所以将(1)(2)代入，可得
4sin2α - 2sin2β = 1. 另一方面要证
4.作业：89页1 2 3
练习.如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作 SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为 F,求证 AF⊥SC.
S
判断
F E
应该用综合法还
是分析法？
A
C
B
1 - 2sin2α = 1 (1 - 2sin2β)， 2
4sin2α - 2sin2β = 1.
由于上式与③相同，于是问题得证.
课堂小结
1.综合法的概念：
一般地，利用已知条件和某些数学定 义、公理、定理等,经过一系列的推理论证, 最后推导出所要证明的结论成立,这种证明 方法叫做综合法.
2.分析法的概念:
则综合法可用 框图表示如下：
P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 … Qn Q
例题1
在△ABC中，三个内角A、B、C对应的 边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列， a、b、c成等比数列，求证△ABC为等边三 角形．
分析
•将A，B，C成等差数列，转化为符号 语言就是2B=A+C；
•A，B，C为△ABC的内角，这是一个隐含 条件，即A+B+C=180°；
这就是另一种证 明方法——分析法.
一般地，从要证明的结论出发，逐 步寻求推证过程中，使每一步结论成立 的充分条件，直至最后，把要证明的结 论归结为判定一个明显成立的条件（已 知条件、定理、定义、公理等）为止， 这种证明的方法叫做分析法．
5.3.2综合法与分析法(1) 课件(人教A版选修4-5)
2 2 2 2 2
例 7 已 知 a , b , c都 是 正 数 , 求 证 : a b c 3 abc , 并 指 出 等 号 成 立 的 条 件 .
3 3 3
5.3.2不等式的证明—综合法和分析法
从已知条件出发, 利用不等式的性质和定理 逐步下推, 推导出所要证明的不等式成立,这种证 明方法叫做综合法。 综合法的思路是“由因导果”. 证明不等式时，有时可以从要证明的不等 式出发，逐步上溯 , 寻求使它成立的充分条件， 直至最后,把要证明的不等式归结为判定条件是 否具备的问题。这种证明的方法叫做分析法。 分析法的思路是“执果索 因”. … A B 综合法： 条件 结论
天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 书 小 不 学 勤 径，学 徒 伤 悲 作 功！ 天 才 在 于 为 奋，努 力 才 能 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话 少 山 有 路 勤习，老 来 海 无 崖 苦成 舟
例1 已 知 a , b都 是 正 数 , 求 证 :
3 3
a b
2
b a
分析法： 结论
B
…
A
条件补Biblioteka 作业(1) 求 证: 1 x
2
1 y
2
2
1 z
2
1 xy
1 yz
1 zx
( 2 ) 求 证: a b ab a b 1
2
( 3 ) 已 知 a , b , c 为 不 全 相 等 的 正 数 , 且 abc 1 . 求证 : a b c 1 a 1 b 1 c
2.
2
例 2 设 a 0 , b 0 , 求 证 : a b a b ab
例 7 已 知 a , b , c都 是 正 数 , 求 证 : a b c 3 abc , 并 指 出 等 号 成 立 的 条 件 .
3 3 3
5.3.2不等式的证明—综合法和分析法
从已知条件出发, 利用不等式的性质和定理 逐步下推, 推导出所要证明的不等式成立,这种证 明方法叫做综合法。 综合法的思路是“由因导果”. 证明不等式时，有时可以从要证明的不等 式出发，逐步上溯 , 寻求使它成立的充分条件， 直至最后,把要证明的不等式归结为判定条件是 否具备的问题。这种证明的方法叫做分析法。 分析法的思路是“执果索 因”. … A B 综合法： 条件 结论
天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 书 小 不 学 勤 径，学 徒 伤 悲 作 功！ 天 才 在 于 为 奋，努 力 才 能 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话 少 山 有 路 勤习，老 来 海 无 崖 苦成 舟
例1 已 知 a , b都 是 正 数 , 求 证 :
3 3
a b
2
b a
分析法： 结论
B
…
A
条件补Biblioteka 作业(1) 求 证: 1 x
2
1 y
2
2
1 z
2
1 xy
1 yz
1 zx
( 2 ) 求 证: a b ab a b 1
2
( 3 ) 已 知 a , b , c 为 不 全 相 等 的 正 数 , 且 abc 1 . 求证 : a b c 1 a 1 b 1 c
2.
2
例 2 设 a 0 , b 0 , 求 证 : a b a b ab
综合法分析法PPT课件
例 3. 已 知 α ,β≠
k π+ π( k 2
Z),且
sinθ+ cosθ = 2sinα
sinθ cosθ = sin 2β
求 证:
1 - tan 2α = 1 - tan 2β . 1 + tan 2α 2(1 + tan 2β )
.
.
用P表示已知条件,定义,定理,公理等,用Q表 示要证的结论,则上述过程可用框图表示为:
A
C
B
因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
.
例3:设a,b,c为一个三角形的三边,且s2=2ab,
s = 1(a + b+c), 试证： s < 2a 2
解:欲证s<2a,只需证
s
s2 b
即证b<s,也即证 b 1 (a bc)
2
即证b<a+c
因为a,b,c为一个三角形的三边,所以 b<a+c成立.
b
ab
(a>0,b>0)的证明.
证明:要证;a
+ 2
b
ab
还原成综合法： 证明:
只需证;a+b2 ab
因为;( a b)2 0
只需证;a+b2 ab0 所以 a+b2 ab0
只需证;( a b)2 0
所以 a+b2 ab
因为;( a b)2 0成立
所以 a
+ 2
b
a b成立
所以
a+b 2
a b 成立
.
小结
1.在数学证明中，综合法和分析法是 两种最常用的数学方法，若从已知入手 能找到证明的途径，则用综合法，否则 用分析法.
综合法和分析法 课件
用分析法证明不等式 设 x≥1，y≥1，证明 x＋y＋x1y≤1x＋1y＋xy. 证明：由于 x≥1，y≥1， 要证 x＋y＋x1y≤1x＋1y＋xy， 只需证 xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
因为[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1] ＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)] ＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1) ＝(xy－1)(xy－x－y＋1) ＝(xy－1)(x－1)(y－1)， 因为 x≥1，y≥1， 所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0， 从而所要证明的不等式成立．
综合法与分析法
1．综合法
一般地，从_已__知__条__件___出发，利用定义、公理、定理、性质等， 经过一系列的__推__理__、__论__证__而得出__命__题__成立，这种证明方 法叫做综合法．综合法又叫__顺__推__证__法__或__由__因__导__果__法__．
2．分析法 证明命题时 ， 从 _要__证__的__结__论___出 发 ， 逐步寻求使它成立的 _充__分___条件，直到所需条件为_已__知___条件或一个__明__显__成__立__的
事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出 __要__证__的__命__题__成 立 ，这种证明方法叫做分析法．这是一种 _执__果__索__因___的思考和证明方法．
用综合法证明不等式 设 a>b>c>0，证明：2a2＋a1b＋a（a1－b）－10ac＋25c2 ≥4.
【证明】 因为 a>b>c>0， 所以 2a2＋a1b＋a（a1－b）－10ac＋25c2 ＝(a－5c)2＋a2－ab＋ab＋a1b＋a（a1－b） ＝(a－5c)2＋ab＋a1b＋a(a－b)＋a（a1－b） ≥0＋2＋2＝4， 当且仅当 2，c＝ 52时，等号成立．
第2讲不等式的基本方法-综合法与分析法课件人教新课标
∴3x2＋3y2＞2xy成立.
1
1
∴(x2＋y22) ＞(x3明不等式 例 3 设 a＞0，b＞0，且 a＋b＝1，求证 a＋1＋ b＋1≤ 6. 证明 要证 a＋1＋ b＋1≤ 6，
只需证( a＋1＋ b＋1)2≤6，
即证(a＋b)＋2＋2 ab＋a＋b＋1≤6.
A.1a＜1b
B.a＋1b＞b＋1a
√C.b＋1a＞a＋1b
D.ba＜ba＋ ＋11
解析 ∵a＜b＜0，∴ab＞0，∴aab＜abb＜0，即1b＜1a＜0.
∴a＋1b＜b＋1a.
1234
解析 答案
2.已知函数 f(x)＝12x，a＞0，b＞0，a≠b，A＝f a＋2 b，B＝f( ab)，C＝ 2ab
第二讲 证明不等式的基本方法
二 综合法与分析法
学习目标 1.理解综合法、分析法证明不等式的原理和思维特点. 2.掌握综合法、分析法证明不等式的方法和步骤. 3.会用综合法、分析法证明一些不等式.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点 综合法与分析法
思考1 在“推理与证明”中，学习过分析法、综合法，请回顾分析法、 综合法的基本特征. 答案 分析法是逆推证法或执果索因法，综合法是顺推证法或由因导 果法.
Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→ 得到一个明显成立的条件
题型探究
类型一 综合法证明不等式 例 1 已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1， 求证：a＋1a2＋b＋1b2≥225.
证明
反思与感悟 综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系， 为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系. 合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.
综合法和分析法 课件
综合法与分析法
1．综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方 法，也是不等式证明中的基本方法．由于两者在证明思路 上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学 习，以便于对比研究两种思路方法的特点．
2．所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的 性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式．综合法 是“由因及果”．
分析：注意不等式左、右两端的差异，思考 如何脱去左端根号或如何去掉右端的分母
a＝ b1c＜121b＋1c，而1a＝bc.
证明：法一：因为 a，b，c 是不等正数，且 abc＝1，
所以 a＋ b＋ c＝
b1c＋
a1c＋
1 ab
＜121b＋1c＋121a＋1c＋121a＋1b＝1a＋1b＋1c.
法二：a，b，c 是不等正数，且 abc＝1，
设 x，y∈(0，＋∞)．求证： 12(x＋y)2＋14(x＋y)≥x y＋y x.
证明：原不等式⇔2(x＋y)2＋(x＋y)≥4x y＋4y x ⇔(x＋y)[2(x＋y)＋1]≥2 xy(2 x＋2 y)． ∵x＋y≥2 xy＞0， ∴只需证 2(x＋y)＋1≥2 x＋2 y. 即证(x＋14)＋(y＋14)≥ x＋ y.
2
只需证 2ab＋ma＋b ＜ c ， 即证 1＋2abm＋2m－aab＋b＜1＋mc ， 只需证 m2c－abc＜2mab＋m2(a＋b)成立， 只需证 m2[c－(a＋b)]＜ab(2m＋c)成立， ∵a，b，c 分别是△ABC 的三边长，∴a＋b＞c. 即 c－(a＋b)＜0，而 m2＞0， ∴m2[c－(a＋b)]＜0. 而 ab(2m＋c)＞0， ∴m2[c－(a＋b)]＜ab(2m＋c)成立． ∴原不等式成立．
(当且仅当 a＝b＝c＝13时，等式成立)
1．综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方 法，也是不等式证明中的基本方法．由于两者在证明思路 上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学 习，以便于对比研究两种思路方法的特点．
2．所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的 性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式．综合法 是“由因及果”．
分析：注意不等式左、右两端的差异，思考 如何脱去左端根号或如何去掉右端的分母
a＝ b1c＜121b＋1c，而1a＝bc.
证明：法一：因为 a，b，c 是不等正数，且 abc＝1，
所以 a＋ b＋ c＝
b1c＋
a1c＋
1 ab
＜121b＋1c＋121a＋1c＋121a＋1b＝1a＋1b＋1c.
法二：a，b，c 是不等正数，且 abc＝1，
设 x，y∈(0，＋∞)．求证： 12(x＋y)2＋14(x＋y)≥x y＋y x.
证明：原不等式⇔2(x＋y)2＋(x＋y)≥4x y＋4y x ⇔(x＋y)[2(x＋y)＋1]≥2 xy(2 x＋2 y)． ∵x＋y≥2 xy＞0， ∴只需证 2(x＋y)＋1≥2 x＋2 y. 即证(x＋14)＋(y＋14)≥ x＋ y.
2
只需证 2ab＋ma＋b ＜ c ， 即证 1＋2abm＋2m－aab＋b＜1＋mc ， 只需证 m2c－abc＜2mab＋m2(a＋b)成立， 只需证 m2[c－(a＋b)]＜ab(2m＋c)成立， ∵a，b，c 分别是△ABC 的三边长，∴a＋b＞c. 即 c－(a＋b)＜0，而 m2＞0， ∴m2[c－(a＋b)]＜0. 而 ab(2m＋c)＞0， ∴m2[c－(a＋b)]＜ab(2m＋c)成立． ∴原不等式成立．
(当且仅当 a＝b＝c＝13时，等式成立)
【高中数学优质课件】推理与证明03综合法与分析法 课件(31张)
第3课时 综合法与分析法
• 预学3:用框图表示综合法与分析法的证明过 程
• (1)综合法可用框图表示:(用P表示已知条件， 已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证 明的结论)
• P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q • (2)若用Q表示所要证明的结论，分析法可用
框图表示: • Q⇐P1→P1⇐P2➝P2⇐P3→…→得到一个明
• 即证b2c2＋a2d2≥2abcd， • 只需证(bc－ad)2≥0. • 因为(bc－ad)2≥0显然成立， • 所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2成立.
No.1 middle school ，my love ！
第3课时 综合法与分析法
• (综合法)因为b2c2＋a2d2≥2abcd(当且仅当bc ＝ad时取等号)，
第3课时 综合法与分析法
No.1 middle school ，my love ！
第3课时 综合法与分析法
No.1 middle school ，my love ！
第3课时 综合法与分析法
• 变式训练3设a≥b>0，求证:3a3＋2b3≥3a2b＋ 2ab2.
• 【解析】(法一)综合法: • 3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2) • ＝3a2(a－b)＋2b2(b－a) • ＝(3a2－2b2)(a－b). • 因为a≥b>0，所以a－b≥0，3a2－2b2>0， • 所以(3a2－2b2)(a－b)≥0， • 所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2成立.
No.1 middle school ，my love ！
第3课时 综合法与分析法
• 分析法与综合法的关系 • (1)区别:综合法是“由因导果”，而分析法则
是“执果索因”，它们是截然相反的两种证 明方法.分析法便于我们去寻找思路，而综 合法便于过程的叙述，两种方法各有所长， 在解决具体问题时，结合起来运用效果会 更好.
• 预学3:用框图表示综合法与分析法的证明过 程
• (1)综合法可用框图表示:(用P表示已知条件， 已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证 明的结论)
• P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q • (2)若用Q表示所要证明的结论，分析法可用
框图表示: • Q⇐P1→P1⇐P2➝P2⇐P3→…→得到一个明
• 即证b2c2＋a2d2≥2abcd， • 只需证(bc－ad)2≥0. • 因为(bc－ad)2≥0显然成立， • 所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2成立.
No.1 middle school ，my love ！
第3课时 综合法与分析法
• (综合法)因为b2c2＋a2d2≥2abcd(当且仅当bc ＝ad时取等号)，
第3课时 综合法与分析法
No.1 middle school ，my love ！
第3课时 综合法与分析法
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第3课时 综合法与分析法
• 变式训练3设a≥b>0，求证:3a3＋2b3≥3a2b＋ 2ab2.
• 【解析】(法一)综合法: • 3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2) • ＝3a2(a－b)＋2b2(b－a) • ＝(3a2－2b2)(a－b). • 因为a≥b>0，所以a－b≥0，3a2－2b2>0， • 所以(3a2－2b2)(a－b)≥0， • 所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2成立.
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第3课时 综合法与分析法
• 分析法与综合法的关系 • (1)区别:综合法是“由因导果”，而分析法则
是“执果索因”，它们是截然相反的两种证 明方法.分析法便于我们去寻找思路，而综 合法便于过程的叙述，两种方法各有所长， 在解决具体问题时，结合起来运用效果会 更好.
2.2.1综合法和分析法PPT课件
()
❖ A．既不充分也不必要条件
❖ B．充要条件
❖ C．充分条件
❖ D．必要条件
❖ [答案] D
❖ [解析] ∵②⇒①，但①不一定推出②.故•18 应选D.
2．若 a，b，c∈R，且 ab＋bc＋ac＝1，则下列不等
式成立的是
()
A．a2＋b2＋c2≥2 B．(a＋b＋c)2≥3 C.1a＋1b＋1c≥2 3 D．abc(a＋b＋c)≤13 ❖ [答案] B
步反推，寻找使当前命题成立的充分条件，
即用分析法证明．
[证明] ∵a>0，b>0，要证
a＋ b
b≥ a
a＋
b成立，
只需证
a＋ b
ba2≥(
a＋
b)2 成立，
即证ab2＋ba2＋2 ab≥a＋b＋2 ab成立．
•5
即证a3a＋bb3≥a＋b.
也就是证(a＋b)(a2－ab＋b2)≥ab(a＋b)成立．
要证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c，
即证a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3，
也就是a＋c b＋b＋a c＝1，
❖ 只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
❖ 需证c2＋a2＝ac＋b2，
❖ 又△ABC三内角A、B、C成等差数列，故B
＝60°，
•11
❖ 由余弦定理，有 ❖ b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac， ❖ 故c2＋a2＝ac＋b2得证． ❖ 综合法： ❖ 证明：∵△ABC三内角A、B、C成等差数列， ❖ ∴B＝60°. ❖ 由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°， ❖ 得c2＋a2＝ac＋b2， ❖ 等式两边同时加上ab＋bc得 ❖ c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
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练习2:求证：
3- 2>
6- 5
练习3:设a,b为互不相等的正数，且a+b=1, 证明： 1 + 1 > 4
a b
变题： 已知 a, b, c R ，且 a b c 1
1 求证：(1)a b c ; 3 (2) a b c 3.
2 2 2
例2.如图，四棱锥 P ABCD 中，
2.分析法
从问题的结论出发，追溯导致结论的成 立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的 条件和已知条件吻合为止.
其推证过程为：
结论 已知条件
特点：
从“未知”看“需知”，逐步靠拢 “已知”
3.直接证明
直接从原命题的条件逐步推得命题成立.
（综合法和分析法是直接证明的两种基本方法）
注：直接证明的一般形式为：
数学：１．２《综合法与分析法》
综合法和分析法
复习
1.推 理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理）
三段论 （一般到特殊）
归纳
(特殊到一般）
类比 （特殊到特殊）
两种推理的作用?
合情推理为演绎推理确定了目标和方向 演绎推理为合情推理提供了前提且对猜想作出判决和证明
猜想需要推理
否定猜想?
肯定猜想?
本题条件 已知定义 ⇒ A⇒ B⇒ C ⇒ 本题结论 已知公理 已知定理
例1:如图，已知AB,CD相交于点O, △ACO≌△BDO,AE=BF, 求证：CE=DF C F E O D
A
B
4.分析法和综合法的优缺点：
分析法的优点： 解题方向明确，容易找到解题的思路和方法； 缺点：思路逆行，叙述较繁.
2 2
证: 求
直接证明
π 1 例. 已知α, β≠ kπ+ (k Z),且 2 sinθ+ cosθ= 2sinα sinθcosθ= sin 2 β 1 - tan α 1 - tan β = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β)
2 2
证: 求
练习1:平行四边形ABCD中，AE⊥BD,垂足为E, CF⊥BD,垂足为F, 求证：AE=CF C D E F A B
an 与 Sn 的解析式; (2)试比较Sn与 3nan (n∈N*),的大小.
(1)求
PC 平面ABCD, PC 2,
在四边形 ABCD 中，点M 在PB上，
PB与平面ABC成 30 角.
CM // 面PAD; （1）求证：
面PAB 面PAD. （2）求证：
例3.已知数列 {an }的通项 an 为3,公差为1的等差数列.
0(n∈N*),
2 n
它的前n项的和记为 Sn ,数列{S } 是首项
举反例
证明
回顾证明基本不等式：
a+b 2 ab a>0,b>0
直 接 证 明
1.综合法 从已知条件出发，以已知的定义、公理、 定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的 结论为止.
其推证过程为：
P Q1
Q1 Q 2
Q2 Q3
…
Qn Байду номын сангаасQ
特点： 从“已知”看“可知”，逐步推向“未知” （由因导果）
综合法的优点： 从条件推出结论，较简捷地解决问题； 缺点：不便于思考. 注：解题时，一般用分析法寻找解题 思路，再用综合法写解题过程
例2.已知 a 0, b 0 ，
a b a b 求证： b a
π 3 例. 已知α, β≠ kπ+ (k Z),且 2 sinθ+ cosθ= 2sinα sinθcosθ= sin 2 β 1 - tan α 1 - tan β = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β)