模糊聚类分析
模糊聚类分析
模糊聚类分析模糊聚类分析，也被称为模糊聚类或者软聚类，是一种数据分析的方法。
与传统的硬聚类不同，模糊聚类可以将每个观测对象划分到不同的聚类中心，从而更好地反映对象与聚类中心之间的相似性。
模糊聚类的思想源于模糊集理论，该理论引入了概率的概念，使得划定边界变得模糊化。
在传统的硬聚类方法中，每个对象只能属于一个聚类，而在模糊聚类中，每个对象的隶属度被划分为一个实数，表示对象属于每个聚类的程度。
模糊聚类的基本原理是通过最小化目标函数来优化聚类结果。
常见的目标函数包括模糊熵和模糊轮廓系数。
模糊熵用于衡量聚类的混乱程度，值越小表示聚类更好。
模糊轮廓系数则用于评价每个对象的聚类紧密度和分离度，系数范围为[-1, 1]，越接近1表示聚类结果越好。
模糊聚类的算法有多种，其中最常用的是模糊C均值（FCM）算法。
FCM算法首先随机初始化聚类中心，然后迭代更新对象的隶属度和聚类中心，直到满足终止条件。
在更新过程中，对象的隶属度和聚类中心根据距离度量进行调整。
模糊聚类在各个应用领域都有广泛的应用。
例如，在市场细分中，模糊聚类可以根据消费者的购买偏好将其划分为不同的细分市场，有助于制定更准确的营销策略。
在医学影像分析中，模糊聚类可以帮助医生根据患者的病情将其归类为不同的疾病类型，有助于做出更准确的诊断。
当然，模糊聚类也存在一些问题和挑战。
首先，模糊聚类的计算复杂度高，特别是在处理大规模数据时。
其次，模糊聚类对初始参数的敏感性较高，不同的初始化可能导致不同的聚类结果。
此外，模糊聚类的结果通常难以解释和理解，需要结合领域知识进行进一步分析。
为了克服这些问题，研究者们一直在不断改进模糊聚类算法。
例如，一些研究探索了基于深度学习的模糊聚类方法，利用神经网络来提高聚类的准确性和效率。
此外，还有一些研究致力于开发新的目标函数和距离度量方法，以更好地满足实际问题的需求。
综上所述，模糊聚类是一种基于模糊集理论的数据分析方法，可以更好地刻画对象之间的相似性。
模糊聚类的分析
模糊聚类的分析模糊聚类分析是一种在统计分析领域中的方法。
它的主要思想是将客观数据更好地分类和分析。
模糊聚类是一种简单的数据挖掘技术，它可以从客观数据中挖掘出有价值的信息，以帮助我们分析和探索数据。
模糊聚类分析的本质是根据相似度度量算法来确定数据点之间的相似性，并将它们聚类为一个或多个类别。
它可以用于更好地加深对数据挖掘结果的理解，分析和发现数据中的结构和关系。
模糊聚类的优点1、可以更好地发现数据挖掘的结果和有价值的信息。
2、可以用于分析和发现客观数据中的结构和关系。
3、可以很好地分析大数据集。
4、可以使数据分类更有效率。
模糊聚类的应用1、金融领域：模糊聚类可用于金融分析，如风险识别、客户分析、金融监管等，可以显著提高对金融市场的了解，并帮助金融市场制定更有效的策略。
2、医学领域：模糊聚类可以更好地理解大量的临床资料，并为医生提供更有效的诊断建议。
它还可以应用于医疗和病理图像分析，以有效管理和指导患者的治疗过程。
3、气象领域：模糊聚类可以有效地识别气象 sensor卫星数据中的关键结构和特征，并用于气象研究和气象预报中。
4、人工智能：模糊聚类可以作为机器学习算法的基础，用于建模不同环境和情景。
它还可以用于自然语言处理，提供更有意义的信息，例如情感分析。
模糊聚类的局限性1、模糊聚类的结果很大程度上取决于人为干预，且模糊聚类的结果可能会受到相似度测量的影响，这可能会导致结果的不稳定性。
2、除此之外，由于模糊聚类是基于数据预处理后的假设来实施的，所以对数据预处理的要求较高，对数据准备质量和格式有较高的要求，这也是模糊聚类的一大局限性。
模糊聚类的发展前景模糊聚类分析技术在各个领域的应用及其发展前景均越来越广泛。
模糊聚类技术在人工智能、机器学习、大数据和自动化领域等方面都有广泛的应用，而且随着 AI 、Bigdata术的发展，模糊聚类在预测建模、数据挖掘和自然语言处理等方面也都有了重要的应用。
此外，模糊聚类技术还可以应用于声学识别、计算机视觉和实时处理等领域，进一步拓展模糊聚类技术的应用前景。
模糊聚类分析
模糊聚类分析是一种数学方法，它使用模糊数学语言根据某些要求对事物进行描述和分类。
模糊聚类分析通常是指根据研究对象的属性构造模糊矩阵，并在此基础上根据一定隶属度确定聚类关系，即样本之间的模糊关系由样本的数量来确定。
模糊数学方法，以客观，准确地聚类。
聚类是将数据集划分为多个类或群集，以便每个类之间的数据差异应尽可能大，并且该类内的数据差异应尽可能小基本覆盖当涉及事物之间的模糊边界时，模糊聚类分析是一种根据某些要求对事物进行分类的数学方法。
聚类分析是数学统计中的一种多元分析方法是利用数学方法定量确定样品之间的关系，从而客观地分类类型。
事物之间的某些界限是精确的，而其他界限则是模糊的。
人群中人脸的相似度之间的界限是模糊的，多云和晴天之间的界限也是模糊的。
当聚类涉及事物之间的模糊界限时，应使用模糊聚类分析方法。
模糊聚类分析广泛应用于气象预报，地质，农业，林业等领域。
通常，聚类的事物称为样本，一组事物称为样本集。
模糊聚类分析有两种基本方法：系统聚类和逐步聚类。
基本方法基本流程（1）通过计算样本或变量之间的相似系数，建立模糊相似矩阵；（2）通过对模糊矩阵进行一系列综合变换，生成模糊等效矩阵。
（3）最后，根据不同的截获水平λ对模糊等效矩阵进行分类系统聚类方法系统聚类方法是一种基于模糊等价关系的模糊聚类分析方法。
在经典聚类分析方法中，经典等价关系可用于对样本集X进行聚类。
令R为X上的经典等价关系。
对于X中的两个元素x和Y，如果XRY或（x，y）∈R ，然后x和y，否则X和y不属于同一类。
[3]使用这种方法，分类的结果与α的值有关。
α的值越大，划分的类别越多。
当α小于某个值时，X中的所有样本将被归为一类。
该方法的优点是可以根据实际需要选择α值，以获得正确的分类。
系统聚类的步骤如下：①用数字描述样品的特性。
设要聚类的样本为x = {x1，xn}。
每个样本具有p个特征，记录为Xi =（Xi1，xip）；i = 1，2，…，N；XIP是描述样本Xi的第p个特征的编号。
模糊聚类分析方法
模糊聚类分析方法聚类分析是将事物根据一定的特征，并按某种特定要求或规律分类的方法。
由于聚类分析的对象必定是尚未分类的群体，而且现实的分类问题往往带有模糊性，对带有模糊特征的事物进行聚类分析，分类过程中不是仅仅考虑事物之间有无关系，而是考虑事物之间关系的深浅程度，显然用模糊数学的方法处理更为自然，因此称为模糊聚类分析。
一、模糊聚类分析的一般步骤1、第一步：数据标准化[9]（1） 数据矩阵设论域12{,,,}n U x x x = 为被分类对象，每个对象又有m 个指标表示其性状，即12{,,,}i i i im x x x x = (1,2,,i n = ， 于是，得到原始数据矩阵为111212122212m m n n nm x x xx x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。
其中nm x 表示第n 个分类对象的第m 个指标的原始数据。
（2） 数据标准化在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲，为了使不同的量纲也能进行比较，通常需要对数据做适当的变换。
但是，即使这样，得到的数据也不一定在区间[0,1]上。
因此，这里说的数据标准化，就是要根据模糊矩阵的要求，将数据压缩到区间[0,1]上。
通常有以下几种变换： ① 平移·标准差变换i k kikk x x x s -'= (1,2,,;1,2,i n k m ==其中 11nk i k i x x n==∑，k s =经过变换后，每个变量的均值为0，标准差为1，且消除了量纲的影响。
但是，再用得到的ikx '还不一定在区间[0,1]上。
② 平移·极差变换111m i n {}m a x {}m i n {}i k i ki nikikiki ni nx x x x x ≤≤≤≤≤≤''-''=''-，(1,2,,)k m =显然有01ikx ''≤≤，而且也消除了量纲的影响。
模糊聚类分析ppt课件
k 1
1 2
m k 1
(
xik
x jk )
m
( xik x jk )
rij
k 1 m
xik .x jk
k 1
5. 求模糊等价矩阵
用上述方法建立起来的模糊矩阵 R ，一般说来只 满足自反性和对称性，不一定满足传递性，即 R 不一 定是模糊等价关系，需要将 R改造成模糊等价矩阵R，
然后再在适当的阈值上进行截取，便可得所需分类。
根据需要可同时选择不同准则分别进行聚类分析，然后 通过综合取交的方法，以做到兼顾多目标，使分类结果更科学。
3、建立数据矩阵
设论域U { x1, x2 ,, xn }为被分类对象， 每个对象又由m 个指标表示其性状：
xi { xi1, xi2 ,, xim } (i 1,2,, n) 则得到原始数据矩阵为 X ( xij )nm .
1, 2,..., m
构造下列形式的F统计量，
r
i
2
ni x x /(r 1)
F i1 r ni
xij
i
x
2
/(n r)
i1 jn1
x x 其中， 为 i x x
m
i
(xk
xk )2
i
与
的距离， xij x i
i 为第
k 1
类中样本
xij 与
i
x 的距离。
F 统计量分子表征类与类之间的距离， 分母表示类内样本间距离，因此 F 值越大，说
改造的方法是将 R 自乘得 R R R2，再自 乘 R2 R2 R4 ，如此继续下去，得 R8 , R16 ……，至某 一步出现 R2k Rk 为止。则 Rk便是一个模糊等价关系。 这个方法是由所谓“传递闭包”理论而来，我们在此 拿来直接应用，不再作详细介绍。
模糊聚类的分析
模糊聚类的分析
模糊聚类是一种聚类分析的算法，它采用模糊的方法将数据点归类到不同的类别中，以减少聚类的误差。
模糊聚类是机器学习领域的一种流行的算法，它利用每个数据点的模糊属性来衡量其分布在不同类别中的相似度，使得它能够更加准确的进行聚类分析。
模糊聚类的基本原理是把数据点归类到不同的类别中，每个类别都有一系列模糊属性，每个数据点在不同类别中的分布由它们在每个属性上的值来决定。
模糊聚类的最终目标是找到类别与数据点之间的最佳拟合，从而得到最佳聚类结果。
模糊聚类的实现是通过计算每个数据点与每个类别的模糊相似
度来完成的，模糊相似度是基于数据点和每个类别的模糊属性，通过计算每个数据点与每个类别的模糊相似度，可以找到一个最佳的类别，把每个数据点归入该类别，这样就可以得到最优聚类结果。
模糊聚类方法可以用来解决多维数据集聚类分析的问题，它能够更准确的表示多维数据的特征，这使得它能够更准确的对数据进行聚类分析。
此外，模糊聚类方法还能够处理非均匀分布的数据，它能够有效的处理因类别数量和混乱的环境而难以聚类的数据。
模糊聚类的缺点主要在于它的计算速度较慢，因为它需要计算每个数据点与每个类别的模糊相似度，而这需要大量的计算，模糊聚类也无法用于对超大型数据集进行聚类分析，因为它的计算效率较低。
因此，模糊聚类是一种聚类分析算法，它利用模糊性来更准确的表示数据的特征，能够有效的处理多维和复杂的数据。
但是它的计算
效率较低，也不能用于对超大型数据集进行聚类分析，因此，在使用模糊聚类进行聚类分析时，需要考虑其效率和应用限制。
模糊聚类分析
模糊聚类分析壹、何谓聚类分析聚类分析是研究事物分类的一种多元分析方法。
在日常生活中，我们时常要把所接触到的事物（样本），按其性质、用途等进行分类，这种分类过程我们称为聚类分析。
（阙颂廉，民83）贰、聚类分析的应用模糊聚类分析是当前在模糊数学中应用最多的几个方法之一，可以将研究的样本进行合理的分类，如产品的分类就常常用聚类分析来进行，另聚类分析也可用来进行判别分析和预测（林杰斌等。
民76）。
所以，也被广泛地应用于天气预报、地震预测、地质探勘、运动员心理素质分类、河川水质污染程度等方面。
参、普通的等价关系在谈聚类分析之前，应先介绍相似关系和等价关系：一.自反性对任意Uu∈，都有Ru,u(∈，即集合中任一个元素u都)与自身有某相同性质的关系，则称R是自反关系，相对应的矩阵称为自反矩阵。
另数学表示意义为：A中的元素关于R具有”自反性”，即。
例：若U 为同一种族的集合，而集合中每一个人u ，皆与自身有同一种族之关系，这种性质则称为自反性。
二. 对称性如果ji ,R )u ,u (,R )u ,u(i j j i≠∈∈必有。
即u i 与u j 有存在某种关系，若将两个元素之位置对调，则即u j 与u i 也必有符合这层关系，则称R 有对称关系，相对应的矩阵为对称矩阵。
另数学表示意义为：A 中的元素关于R 具有”对称性”，即yRx xRy ,A y ,x 且若∈∀。
例：若甲和乙是同学关系，则乙和甲必也是同学关系，这种关系则称为对称性。
三. 传递性如果能由R)w u (R )w v (R )v u (∈∈∈，，推導出，及，。
即u与v 有存在某一关系，而v 与w 也有这同一种关系存在，则即u 与w 也必有符合这层关系存在，则称R 有传递关系，相对应的矩阵为传递矩阵。
另数学表示意义为：A 中的元素关于R 具有”传递性”，即。
例：若甲和乙是同一种族关系，而乙和丙也是同一种族关系，则甲和丙必有同一种族关系，这种则称为具有传递性关系。
模糊聚类分析
1 2 m
x11 x21 xm1
x12 x22 xm 2
x1n x2 n xmn
2 ．模糊聚类分析的一般步骤
实际问题中，不同的数据可能有不同的量 纲。为了使不同量纲的数据也能进行比较，需 要对数据进行适当的变换。根据模糊矩阵的要 求将数据压缩到区间 【0,1】。通常使用平移极差标准化： xik min{xik } 1im xik (k 1,2,, n) max{xik } min{xik }
取=0.8，得 ：
~ R0.8 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
X分为4类：｛X1,，X3｝，｛X2｝，｛X4 ｝， ｛ X5 ｝。
2 ．模糊聚类分析的一般步骤
取=0.5，得 ：
~ R0.5 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1
3 ．应用实例
通过聚类分析，该矿决定在房柱法的基础 上增加采矿费用的投入，采用无底柱上向干式 充填采矿法。
谢
谢！
模糊聚类分析步骤可以分为：数据标准化、建立 模糊相似矩阵、聚类
2 ．模糊聚类分析的一般步骤
2.1 数据标准化 设论域 X {x , x ,, x } 为被分类的对象，每个对像 又由n个指标表示其性状，即：xi (xi1, xi2 ,, xin ) (i 1,2,, m) 于是，得到原始数据矩阵为：
rij
m in (x
k 1
n
ik
, x jk )
1 2
(x
k 1
n
ik
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模糊关系的传递闭包
• 定义9.2.1 设RF(XX). 若R1F(XX)是传递的 且满足：1) RR1,
• 2) 若S是X上的模糊传递关系且RS, 必有R1S.
• 则称R1为R的传递闭包, 记为t(R). • 根据上述定义, 模糊关系R的传递闭包是包含R 的最小传递关系。 • 定理9.2.2 设RF(XX). 则 t(R)=∪n=1 R . • 证明：容易验证A, BiF(XX), • A∪i=1 Bi=∪i=1 (ABi),
基于模糊关系的聚类分析
• 数据规格化的方法有： • (1) 标准化方法: 对特性指标矩阵X*的第j列, 计 算均值和方差, 然后作变换
xij
xij x j σj
,
i 1, 2,, n; j 1, 2, , m.
1 n 其中 x j xij , n i 1 1 n σ 2 ( xij x j )2 , j 1, 2, , m j n i 1
模糊聚类分析(一)
1 聚类分析的基本概念
• “聚类”就是按照一定的要求和规律对事物进行 区分和分类的过程, 在这一过程中没有任何关于 分类的先验知识, 仅靠事物间的相似性作为类属 划分的准则, 属于无监督分类的范畴。 • “聚类分析”是指用数学的方法研究和处理给 定对象的分类。 • “人以群分, 物以类聚”, 聚类是一个古老的问 题,它伴随着人类社会的产生和发展而不断深化, 人类要认识世界就必须区别不同的事物并认识 事物间的相似性。
聚类分析的基本概念
• 聚类分析是多元统计分析的一种, 它把一个没有 类别标记的样本集按某种准则划分成若干个子 集(类), 使相似的样本尽可能归为一类, 而不相 似的样本尽量划分到不同的类中。
• 传统的聚类分析是一种硬划分, 它把每个待辨识 的对象严格地划分到某类中, 具有非此即彼的性 质, 因此这种类别划分的界限是分明的。而实际 上大多数对象并没有严格的属性, 它们在性态和 类属方面存在着中介性, 具有亦此亦彼的性质, 因此适合进行软划分。
相似关系)。依次计算R2, R4, R8知: R8=R4 R4=R4 (参见下页计算结果), 所以R的传递闭包 t(R)=R4.
1 0.1 R 0.8 0.5 0.3 1 0.4 4 R 0.8 0.5 0.5
0.1 0.8 0.5 0.3 1 0.1 0.2 0.4 0.1 1 0.3 0.1 0.2 0.3 1 0.6 0.4 0.1 0.6 1 0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.4 0.4 0.4 0.4 1 0.5 0.3 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.3 0.6 1
模糊关系的传递闭包
1 0.1 0.8 0.5 0.1 1 0.1 0.2 R 0.8 0.1 1 0.3 0.5 0.2 0.3 1 0.3 0.4 0.1 0.6
•解
0.3 0.4 0.1 0.6 1
容易看出R是自反的对称模糊关系 (即模糊
9.3 基于模糊关系的聚类分析
• (2) 夹角余弦法
rij
xi x j xi x j
m 2 xi xik , i 1, 2,, n k 1
xi x jk x j ( x jk x j ) 2
k 1 m
1 2
• (3) 相关系数法
rij
9.3 基于模糊关系的聚类分析
• 对于相似程度(相似系数)的确定, 有多种方法, 常用的有： i j 1 • (1) 数量积法
rij 1 M xi x j i j
xi x j xik x jk
k 1
m
• 其中M>0为适当选择的参数且满足Mmax{xixj | i j}. 这里, xixj为xi与xj的数量积.
• (4) 最大值规格化方法: 对特性指标矩阵X*的第j 列, 计算最大值 Mj=max{x1j, x2j, , xnj} , j=1, 2, , m. 然后作变换 xij =xij /Mj, i=1, 2, , n, j=1, 2, , m.
9.3 基于模糊关系的聚类分析
• 步骤二：构造模糊相似矩阵 • 聚类是按某种标准来鉴别X中元素间的接近程 度, 把彼此接近的对象归为一类。为此, 用[0, 1] 中的数rij 表示X中的元素xi 与xj 的接近或相似程 度。经典聚类分析中的相似系数以及模糊集之 间的贴近度, 都可作为相似程度(相似系数)。 • 设数据xij(i=1, 2, , n, j=1, 2, , m)均已规格化, xi=(xi1, xi2, , xim)与xj=(xj1, xj2, , xjm)之间的 相似程度记为rij[0, 1], 于是得到对象之间的模 糊相似矩阵R=(rij)n×n.
基于模糊关系的聚类分析
x11 x21 X* x n1 x12 x22 xn 2 x1m x2 m xnm
• 步骤一：数据规格化 • 由于m个特性指标的量纲和数量级不一定相同, 故在运算过程中可能突出某数量级特别大的特 性指标对分类的作用, 而降低甚至排除了某些数 量级很小的特性指标的作用。数据规格化使每 一个指标值统一于某种共同的数值特性范围。
0.5 0.7 0.1 0.1 0.1 0 0.2 0.8
模糊关系的传递闭包
• 设RF(XX). 称R是传递的, 如果对任意[0, 1] 及任意 x, y , zX 成立: • R(x, y), R(y, z) R(x, z). • 若R是X上的自反、对称、传递的模糊关系, 则 称R是X上的模糊等价关系。 • 设RF(XX). 则 • (1) R是自反的 IR , 这里I是恒等关系, 即当 x=y时I(x, y)=1, 当xy时I(x, y)=0. • (2) R是对称的 R=R1.
聚类分析的基本概念
• 常用的模糊聚类分析方法大致可分为两大类：
其一是基于模糊关系(矩阵)的聚类分析方法, 而
作为其中核心步骤的模糊分类,有下述的主要方 法：模糊传递闭包法、直接聚类法、最大树法 和编网法; 其二是基于目标函数的聚类分析方法, 称 为 模 糊 C 均 值 (FCM) 聚 类 算 法 ( 或 称 为 模 糊
• 若R是X上的自反、对称的模糊关系, 则称R是X 上的模糊相似关系。
模糊关系
• 某家庭子女和父母外貌相像关系为R, 父母和祖 父母、外祖父母相像关系为S, 它们分别用以下 模糊矩阵确定, 计算其ma祖母 外祖父 外祖母
0.8 0.2 0.1 0.7
• (3) R是传递的 R2R.
模糊关系的传递闭包
• 设RF(XX). 则R是模糊等价关系当且仅当对 任意[0, 1], R是等价关系。 • 论域X上的经典等价关系可以导出X的一个分类。 论域X上的一个模糊等价关系R对应一族经典等 价关系{R: [0, 1]}. 这说明模糊等价关系给出 X的一个分类的系列。这样, 在实际应用问题中 可以选择“某个水平”上的分类结果, 这就是模 糊聚类分析的理论基础。 • 实际问题中建立的模糊关系常常不是等价关系 而是相似关系, 这就需要将模糊相似关系改造为 模糊等价关系, 传递闭包正是这样一种工具。
x
k 1 m k 1
m
ik
1 m xi xik m k 1 1 m x j x jk m k 1
( xik xi ) 2
9.3 基于模糊关系的聚类分析
• (4) 贴近度法 • 当对象xi的特性指标向量xi=(xi1, xi2, , xim)为模 糊向量, 即xik[0, 1] (i=1,2, ,n ; k=1,2, ,m) 时, xi与xj的相似程度rij可看作模糊子集xi与xj的 贴近度。在应用中, 常见的确定方法有：最大最 小法、算术平均最小法、几何平均最小法。
基于模糊关系的聚类分析
• (2) 均值规格化方法: 对特性指标矩阵X*的第j列, 计算标准差j, 然后作变换 xij = xij /j, i=1, 2, , n, j=1, 2, , m. • (3) 中心规格化方法: 对特性指标矩阵X*的第j列, 计算平均值xj , 然后作变换 xij =xij xj , i=1, 2, , n, j=1, 2, , m.
n (∪i=1 Bi)A=∪i=1 (Bi A). n
• 据此可以证明∪n=1 R 是传递的：
模糊关系的传递闭包
• 计算有限论域上自反模糊关系R的传递闭包的 方法：从R出发, 反复自乘, 依次计算出R2, R4, …, k k k k 当第一次出现R R =R 时得t(R)=R .
1 0.3 R 2 0.8 0.5 0.5 1 0.4 R8 0.8 0.5 0.5
0.3 0.8 0.5 0.5 1 0.2 0.4 0.4 0.2 1 0.5 0.3 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.3 0.6 1 0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.4 0.4 0.4 0.4 1 0.5 0.3 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.3 0.6 1
基于模糊关系的聚类分析
• 基于模糊关系的聚类分析的一般步骤: (1) 数据 规格化; (2) 构造模糊相似矩阵; (3) 模糊分类。 • 上述第三步又有不同的算法, 以下先介绍利用模 糊传递闭包进行模糊分类的方法。 • 设被分类对象的集合为X={x1, x2, , xn}, 每一 个对象xi有m个特性指标 (反映对象特征的主要 指标), 即xi可由如下m维特性指标向量来表示: • xi=(xi1, xi1, , xim), i=1, 2, , n • 其中xij 表示第i个对象的第j个特性指标。则n个 对 象 的 所 有 特 性 指 标 构 成 一 个 矩 阵 , 记 作 X*= (xij)n×m, 称X*为X的特性指标矩阵。