求数列前n项和的几种方法ppt课件
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4.2.2等差数列的前n项和(第一课时)课件(人教版)
最小值时n的值为(
A.5
√
B.6
C.7
)
D.8
a1
17
解析 由 7a5＋5a9＝0，得 d ＝－ 3 .
又a9>a5，所以d>0，a1<0.
d
1 a1 1 17 37
d 2
因为函数 y＝2x ＋a1－2x 的图象的对称轴为 x＝2－ d ＝2＋ 3 ＝ 6 ，
取最接近的整数 6，故 Sn 取得最小值时 n 的值为 6.
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数
是n，第n项为an，求前n项和Sn .
S n a1 (a1 d ) (a1 2d ) ... [a1 (n 1)d ], ①
S n an (an d ) (an 2d ) ... [an (n 1)d ], ②
跟踪练习
8.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距
10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前
来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．
解析 假设20位同学是1号到20号依次排列，
使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，
由①+②，得
2Sn （a1 an）+（a1 an）+（a1 an）+...+（a1 an）
n个
n(a1 an )
2 S n n(a1 an ) 即Sn
2
求和公式
可知三
求一
等差数列的前n项和的公式：
n(a1 an )
Sn
不含d
A.5
√
B.6
C.7
)
D.8
a1
17
解析 由 7a5＋5a9＝0，得 d ＝－ 3 .
又a9>a5，所以d>0，a1<0.
d
1 a1 1 17 37
d 2
因为函数 y＝2x ＋a1－2x 的图象的对称轴为 x＝2－ d ＝2＋ 3 ＝ 6 ，
取最接近的整数 6，故 Sn 取得最小值时 n 的值为 6.
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数
是n，第n项为an，求前n项和Sn .
S n a1 (a1 d ) (a1 2d ) ... [a1 (n 1)d ], ①
S n an (an d ) (an 2d ) ... [an (n 1)d ], ②
跟踪练习
8.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距
10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前
来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．
解析 假设20位同学是1号到20号依次排列，
使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，
由①+②，得
2Sn （a1 an）+（a1 an）+（a1 an）+...+（a1 an）
n个
n(a1 an )
2 S n n(a1 an ) 即Sn
2
求和公式
可知三
求一
等差数列的前n项和的公式：
n(a1 an )
Sn
不含d
4.1.2数列的递推公式与前n项和课件(人教版)
a4 2
，
1
1 3
a2 2 2
a1
2 2
1
3 5
1
4 6
2 a5 2 2 .
a3
4 4
a4
5 5
n 1
猜想 an
.
n
，
1
2 4
a3 2 2
a2
3 3
，
四、巩固训练
解：当 n 2 时， an
Sn Sn 1
当 n 1 时， a1 S1 2 ，满足 an
又当 n = 1 时，不满足 ∗ 式，
2, n = 1,
∴ an = ቊ
故选B.
6n − 5, n ≥ 2，
2
− 2 n − 1 + 1] = 6n − 5 .
∗
五、课堂小结
问：本节课你有什么收获？
六、作业
谢谢！
3
3
2
2
a4 a3 1 3 1 3 ，
3
3
a5 a4 24 15 16 31 ，
2
2
a5 a4 1 3 1 3 ，
3
3
故数列的前 5 项分别为 1，3，7，15，31.
故数列的前 5 项分别为 3，3，3，3，3.
四、巩固训练
解
a1 2
故 an 的通项公式为 an
2n
2
2 n 1
4n 2 ，
4n 2 n Z
.
2
4n 2 ；
四、巩固训练
5.已知数列 {an } 的第1项是1，第2项是2，通项公式 an = an−1 +
等比数列的前n项和PPT课件
讲授新课
1 2 22 23 24 263
这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!
263
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
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讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
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讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
它是以1为首项，公比是2的等比数列，
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讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
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等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, 它的前n项和是
a2,
a3,
…,
an这…种求和
的方法,就
是错位相
减法!
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等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, a2, a3, …, an… 它的前n项和是
∴当q≠1时，
①
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讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 )
即 2S64 2 22 23 263 264 ②
由②－①可得：
2S64 S64 (2 22 23 263 264) (1 2 22 23 263 )
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
数学建模
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
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CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
等差数列前n项和PPT优秀课件
n 个 2 S （ a a ) （ a a ) （ a a ) n 1 n 1 n 1 n
n （ a a ) 1 n
n （ a 1 a n) S n 2
等差数列的前n项和公式的其它形式
n （ a 1 a n) S n 2 n （ n 1 ) S na d n 1 2
解： 由题意 , m 是 7 的倍数 , 且 0 m 100 .
练习1.
课 堂 小 练
1. 根据下列条件，求相应的等差数列
a n 的 S
( 1 ) a 5 , a 95 , n 10 ; 1 n
( 2 ) a 100 , d 2 , n 50 ; 1
n
练习2.
解得： n = 4 或 n = 6 a1=6 或 a1= -2
M m |m 7 n ,n N , 且 m 100 例3. 求集合
的元素个数 , 并求这些元素的和 .
将它们从小到大排列得 ： ,7 7 0,7 1, 7 2, 7 , 14 , 21 , , 98 . 14 .即 共有 15 个元素 , 构成一个等差数列 ,记为 a , n 15 ( 0 98 ) a 0 , a 98 S 1 15 735 15 2 答 : 集合 M 共有 15 个元素 , 和等于 735 .
= 7260 120 = (1 + 120 ) · 2
120 (a1 a120) · 2
(三)构建数学:猜测
问题 1: 问题 2: S120=1+2+ · · · · · ·+12 0 120
(a1 a120 )· 2
4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和课件ppt
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=
(3)在等差数列{an}中,若a1=1,an=-512,Sn=-1 022,则公差d=
.
.
.
分析利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程进行计算求解.
答案 (1)81 (2)15
(3)-171
解析 (1)设等差数列{an}的公差为d,
= 3,
则
3(-1)
Sn=20n+ 2
=
3 2 37
n
+
n.
2
2
令 Sn≤438,即 3n2+37n-876≤0 且 n∈N*,解得 n≤12.
所以最般思路
变式训练 3甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1分钟
438万元.则该研究所最多可以建设的实验室个数是(
A.10
B.11 C.12 D.13
)
答案 C
解析 设第 n 实验室的建设费用为 an 万元,其中 n∈N*,
设等差数列{an}的公差为 d,由题意可得
7 -2 = 5 = 15,
解得
3 + 6 = 21 + 7 = 61,
1 = 20,
+5n=70,
2
素养形成
利用Sn与an的关系式求通项公式
典例 已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn= 2+n-4.
(1)求证:{an}为等差数列;
(2)求出{an}的通项公式.
分析在等式2Sn= 2 +n-4中,令n取n-1,可得2Sn-1= 2 −1 +n-5.两式相减,利
和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方
第四节 数列求和 课件(共48张PPT)
－
1 n＋3
）＝
1 2
56－n＋1 2－n＋1 3. 答案：1256－n＋1 2－n＋1 3
考点1 分组转化法求和 [例1] （2020·焦作模拟）已知{an}为等差数列，且 a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝ 88，且数列{bn－an}为等比数列. （1）求数列{an}和{bn－an}的通项公式； （2
an＝n（n1＋k）型
[例2] （2020·中山七校联考）已知数列{an}为公差 不为0的等差数列，满足a1＝5，且a2，a9，a30成等比数列.
（1）求{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an（n∈N*），且b1＝
3，求数列b1n的前n项和Tn.
1.裂项时常用的三种变形.
（1）n（n1＋1）＝n1－n＋1 1.
（2）n（n1＋2）＝12n1－n＋1 2.
（3）（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1.
（4）
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
2.应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称 性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项.
3.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为 参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
） B. 2 020－1
C. 2 021－1 D. 2 021＋1
解析：由f（4）＝2，可得4α＝2，解得α＝12，
则f（x）＝ x.
所以an＝
1 f（n＋1）＋f（n）
＝
1 n＋1＋
＝ n
n＋1 －
n，
所以S2 020＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝（ 2 － 1 ）＋ （ 3－ 2）＋（ 4－ 3）＋…＋（ 2 021－ 2 020）＝
4.1第二课时 数列的递推公式与前n项和(课件(人教版))
由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为 an＋1＝ an＋f(n)或 an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得 通项公式，即：
(1)累加法：当 an＝an－1＋f(n)时，常用 an＝(an－an－1)＋ (an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 求通项公式；
(2)累乘法：当aan－n 1＝g(n)时，常用 an＝aan－n 1·aann－－12·…·aa21·a1 求通项公式．
3＋b，n＝1， 当 b≠－1 时，an＝2·3n－1，n≥2.
已知 Sn 求 an 的 3 个步骤 (1)先利用 a1＝S1 求出 a1； (2)用 n－1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用 an＝ Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当 n≥2 时 an 的表达式； (3)对 n＝1 时的结果进行检验，看是否符合 n≥2 时 an 的 表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符 合，则应该分 n＝1 与 n≥2 两段来写．
1．由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想 方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等， 此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…， n}这一条件．
2．可以利用不等式组aann－≥1≤ana＋n1， (n>1)找到数列的最大 项；利用不等式组aann－≤1≥ana＋n1， (n>1)找到数列的最小项．
根据数列的前 n 项和公式求通项 [例 4] 已知下面数列{an}的前 n 项和 Sn，求{an}的通项公式． (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b. [解] (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝2－3＝－1，
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]
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求数列前 n 项和的几种方法
1
数列求和是数列的一个重要内容，由于求和形式多样，所以思维容量大，思维层次高， 是高考的热点问题，应给予足够的重视，现总结如下：
一、公式法求和 【例 1】 已知等差数列{an}，a2＝9，a5＝21. (1)求{an}的通项公式； (2)令 bn＝2an，求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 思路点拨：由 a2，a5 的值列方程组可求得基本量 a1 和 d，即可求 an；再利用等比数列前 n 项和公式求 Sn.
7
【例 4】 求和 Sn＝1×2＋4×22＋7×23＋…＋(3n－2)×2n. 解：因为 Sn＝1×2＋4×22＋7×23＋…＋[3(n－1)－2]×2n－1＋(3n－2)×2n，① 2Sn＝1×22＋4×23＋…＋[3(n－2)－2]×2n－1＋[3(n－1)－2]×2n＋(3n－2)×2n＋1，② 所以①－②得 －Sn＝1×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－(3n－2)×2n＋1 ＝3×(2＋22＋…＋2n)－(3n－2)×2n＋1－4 ＝3×(2n＋1－2)－(3n－2)×2n＋1－4 ＝3×2n＋1－6－3n×2n＋1＋2n＋2－4 ＝2n＋2＋3(1－n)×2n＋1－10＝(5－3n)×2n＋1－10. 所以 Sn＝(3n－5)×2n＋1＋10.
8
四、裂项相消法求和 【例 5】 在数列{an}中，an＝n＋1 1＋n＋2 1＋…＋n＋n 1，又 bn＝an·a2n＋1，求数列{bn}的前 n 项的和．
解：an＝n＋1 1(1＋2＋…＋n)＝n2， ∵bn＝an·a2n＋1， ∴bn＝n n2＋1＝8(n1－n＋1 1)，
2· 2 ∴数列{bn}的前 n 项和为 Sn＝8[(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(n1－n＋1 1)]＝8(1－n＋1 1)＝n8＋n1.
分析数列是由等差数列或等比数列构成，可直接由等差数列与等比数列的 求和公式求和．
3
二、倒序相加法求和
【例 2】 设 f(x)＝2x＋1
，利用教科书上推导数列前 n 项和公式的方法，可求得 f(－5) 2
＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．
思路点拨：若直接求解则相当麻烦，考虑 f(x)＝2x＋1
的特点及 f(－5)，f(6)；f(－4)， 2
f(5)；…的特点，f(x)与 f(1－x)是否有某种特别的联系，如果有则可以用求等差数列前 n 项和
公式的方法倒序相加法解答此题．
4
解析：∵f(x)＝2x＋1
， 2
∴f(1－x)＝21－x＋1
＝ 2 2＋
2x 2×2x
1 ×2x ＝2 ＝
2＋2x
2×2x－1 2＋2x .
2
解：(1)设等差数列{an}的公差为 d，依题意得方程组aa11＋＋d4d＝＝921 解得 a1＝5，d＝4.
∴{an}的通项公式为 an＝4n＋1. (2)由 an＝4n＋1 得 bn＝24n＋1，bn＋1＝24(n＋1)＋1 ∴bbn＋n 1＝242n4＋n＋11＋1＝24. ∴{bn}是以 b1＝25 为首项，公比为 q＝24 的等比数列． 由等比数列前 n 项和公式得： Sn＝2511－－2244n＝32214n5－1.
2n个
n个
＝ 19×99…92n9个－29×99…n9个
＝ 19[102n－1－2×10n－1] ＝13 10n－131×(10－1)＋13×(102－1)＋…＋13(10n－1)
＝13×[(10＋102＋…＋10n)－n]← 重组两个和式 ＝13×101100－n－1 1－31×n ＝10n＋217－10－n3.
9
和．
(1)若数列{an}的通项能转化为 f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂项相消法求
(2)使用裂项相消法求和时，要注意正、负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项．
(3)常见的拆项有：①nn1＋1＝n1－n＋1 1，②ab1＝a＋b1，③
1
＝
n＋ n＋1
n＋1－
n，
④2n－112n＋1＝21(2n1－1－2n1＋1)等．
∴f(x)＋f(1－x)＝2x＋1
＋ 2
22×＋22x－x 1＝
2 2.
设 S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)，倒过来，则有
S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)，
∴2S＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(6)＋f(－5)]＝6 2.
∴S＝3 2.
答案：3 2
5
此题运用了倒序相加法求得所给函数值的和，由此可以看出，熟练掌握重 要的定理、公式的推导过程是非常重要的，它有助于同学们理解各种解题方法，强化思维过 程的训练．当数列{an}满足 ak＋an－k＝常数时，可用倒序相加法求数列{an}的前 n 项和．
6
三、错位相减法求和 【例 3】 求和 a＋2a2＋3a3＋…＋nan(n∈N)．
(1)一个等比数列在求前 n 项和时，一定要注意公比 q 是否为 1，若不能确 定，则要分 q＝1 和 q≠1 两种情况讨论．
(2)错位相减法：等比数列前 n 项和公式的推导方法，即将数列中的各项乘以一个适当的 数(式)．然后错开一位相减，使数列中的一些项相互抵消或形成规律，从而得出数列的前 n 项和．此种方法常用于求数列{an·bn}的前 n 项和，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列．
10
五、分组求和法与并项求和法求和
【例 6】 (1)求和：Sn＝ 11－2＋
1111－22＋…＋
11…1 1 －22… 2 ；
2n个
n个
(2)求和：Sn＝1－3＋5－7＋9－11＋…＋(－1)n－1(2n－1)；
(3)求和：12＋32＋52＋…＋(2n＋1)2.
11
解：(1)因为
an＝
11…1 1 －22… 2
解：记 Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＋nan， 则 aSn＝a2＋2a3＋…＋(n－2)an－1＋(n－1)an＋nan＋1. 两式相减，得(1－a)Sn＝(a＋a2＋a3＋…＋an)－nan＋1. 若 a＝1，则 Sn＝1＋2＋…＋n＝nn2＋1； 若 a≠1，则 Sn＝a11－－aan2－n1a－n＋a1.
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数列求和是数列的一个重要内容，由于求和形式多样，所以思维容量大，思维层次高， 是高考的热点问题，应给予足够的重视，现总结如下：
一、公式法求和 【例 1】 已知等差数列{an}，a2＝9，a5＝21. (1)求{an}的通项公式； (2)令 bn＝2an，求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 思路点拨：由 a2，a5 的值列方程组可求得基本量 a1 和 d，即可求 an；再利用等比数列前 n 项和公式求 Sn.
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【例 4】 求和 Sn＝1×2＋4×22＋7×23＋…＋(3n－2)×2n. 解：因为 Sn＝1×2＋4×22＋7×23＋…＋[3(n－1)－2]×2n－1＋(3n－2)×2n，① 2Sn＝1×22＋4×23＋…＋[3(n－2)－2]×2n－1＋[3(n－1)－2]×2n＋(3n－2)×2n＋1，② 所以①－②得 －Sn＝1×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－(3n－2)×2n＋1 ＝3×(2＋22＋…＋2n)－(3n－2)×2n＋1－4 ＝3×(2n＋1－2)－(3n－2)×2n＋1－4 ＝3×2n＋1－6－3n×2n＋1＋2n＋2－4 ＝2n＋2＋3(1－n)×2n＋1－10＝(5－3n)×2n＋1－10. 所以 Sn＝(3n－5)×2n＋1＋10.
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四、裂项相消法求和 【例 5】 在数列{an}中，an＝n＋1 1＋n＋2 1＋…＋n＋n 1，又 bn＝an·a2n＋1，求数列{bn}的前 n 项的和．
解：an＝n＋1 1(1＋2＋…＋n)＝n2， ∵bn＝an·a2n＋1， ∴bn＝n n2＋1＝8(n1－n＋1 1)，
2· 2 ∴数列{bn}的前 n 项和为 Sn＝8[(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(n1－n＋1 1)]＝8(1－n＋1 1)＝n8＋n1.
分析数列是由等差数列或等比数列构成，可直接由等差数列与等比数列的 求和公式求和．
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二、倒序相加法求和
【例 2】 设 f(x)＝2x＋1
，利用教科书上推导数列前 n 项和公式的方法，可求得 f(－5) 2
＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．
思路点拨：若直接求解则相当麻烦，考虑 f(x)＝2x＋1
的特点及 f(－5)，f(6)；f(－4)， 2
f(5)；…的特点，f(x)与 f(1－x)是否有某种特别的联系，如果有则可以用求等差数列前 n 项和
公式的方法倒序相加法解答此题．
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解析：∵f(x)＝2x＋1
， 2
∴f(1－x)＝21－x＋1
＝ 2 2＋
2x 2×2x
1 ×2x ＝2 ＝
2＋2x
2×2x－1 2＋2x .
2
解：(1)设等差数列{an}的公差为 d，依题意得方程组aa11＋＋d4d＝＝921 解得 a1＝5，d＝4.
∴{an}的通项公式为 an＝4n＋1. (2)由 an＝4n＋1 得 bn＝24n＋1，bn＋1＝24(n＋1)＋1 ∴bbn＋n 1＝242n4＋n＋11＋1＝24. ∴{bn}是以 b1＝25 为首项，公比为 q＝24 的等比数列． 由等比数列前 n 项和公式得： Sn＝2511－－2244n＝32214n5－1.
2n个
n个
＝ 19×99…92n9个－29×99…n9个
＝ 19[102n－1－2×10n－1] ＝13 10n－131×(10－1)＋13×(102－1)＋…＋13(10n－1)
＝13×[(10＋102＋…＋10n)－n]← 重组两个和式 ＝13×101100－n－1 1－31×n ＝10n＋217－10－n3.
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和．
(1)若数列{an}的通项能转化为 f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂项相消法求
(2)使用裂项相消法求和时，要注意正、负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项．
(3)常见的拆项有：①nn1＋1＝n1－n＋1 1，②ab1＝a＋b1，③
1
＝
n＋ n＋1
n＋1－
n，
④2n－112n＋1＝21(2n1－1－2n1＋1)等．
∴f(x)＋f(1－x)＝2x＋1
＋ 2
22×＋22x－x 1＝
2 2.
设 S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)，倒过来，则有
S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)，
∴2S＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(6)＋f(－5)]＝6 2.
∴S＝3 2.
答案：3 2
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此题运用了倒序相加法求得所给函数值的和，由此可以看出，熟练掌握重 要的定理、公式的推导过程是非常重要的，它有助于同学们理解各种解题方法，强化思维过 程的训练．当数列{an}满足 ak＋an－k＝常数时，可用倒序相加法求数列{an}的前 n 项和．
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三、错位相减法求和 【例 3】 求和 a＋2a2＋3a3＋…＋nan(n∈N)．
(1)一个等比数列在求前 n 项和时，一定要注意公比 q 是否为 1，若不能确 定，则要分 q＝1 和 q≠1 两种情况讨论．
(2)错位相减法：等比数列前 n 项和公式的推导方法，即将数列中的各项乘以一个适当的 数(式)．然后错开一位相减，使数列中的一些项相互抵消或形成规律，从而得出数列的前 n 项和．此种方法常用于求数列{an·bn}的前 n 项和，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列．
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五、分组求和法与并项求和法求和
【例 6】 (1)求和：Sn＝ 11－2＋
1111－22＋…＋
11…1 1 －22… 2 ；
2n个
n个
(2)求和：Sn＝1－3＋5－7＋9－11＋…＋(－1)n－1(2n－1)；
(3)求和：12＋32＋52＋…＋(2n＋1)2.
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解：(1)因为
an＝
11…1 1 －22… 2
解：记 Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＋nan， 则 aSn＝a2＋2a3＋…＋(n－2)an－1＋(n－1)an＋nan＋1. 两式相减，得(1－a)Sn＝(a＋a2＋a3＋…＋an)－nan＋1. 若 a＝1，则 Sn＝1＋2＋…＋n＝nn2＋1； 若 a≠1，则 Sn＝a11－－aan2－n1a－n＋a1.