离散数学习题解答 第十四章习题解答(1)
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则称 G1，G2，…，Gn 蕴涵 H，又称 H 是 G1，G2，…，Gn 的逻辑结果，记作（G1 ∧G2∧…∧Gn） H 或（G1，G2，…，Gn） H。 1.6.2 基本蕴涵式 （1）P∧Q P； （3）P P∨Q； （5） P （P→Q） ； （7） （P→Q） P； （9）P，P→Q Q； （11） P，P∨Q Q； （13）P∨Q，P→R，Q→R R； （15）P，Q P∧Q。 （2）P∧Q Q； (4) Q P∨Q； （6）Q （P→Q） ； （8） （P→Q） Q； （10） Q，P→Q P； （12）P→Q，Q→R P→R； （14）P→Q，R→S （P∧R）→（Q∧S） ；
变元，若将 A 和 A*写成 n 元函数形式，则 （1） A（P1，P2，…，Pn） A*（ P1， P2，…， Pn） （2）A（ P1， P2，…， Pn） A*（P1，P2，…，Pn） 定理（对偶原理）设 A、B 是两个命题公式，若 AÛB，则 A* B*，其中 A*、 B*分别为 A、B 的对偶式。 1.5.2 范式 定义 仅由有限个命题变元及其否定构成的析取式称为简单析取式，仅由有 限个命题变元及其否定构成的合取式称为简单合取式。 定义 仅由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。仅由有限个简单 析取式构成的合取式称为合取范式。 定理（范式存在定理）任何命题公式都存在着与之等价的析取范式和合取范式。 1.5.3 主范式 定义 在含有 n 个命题变元 P1，P2，…，Pn 的简单合取范式中，若每个命
P
Q
PQ
1 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
性质： （1）P↓P ﹁（P∨Q） ﹁P； （2） （P↓Q）↓（P↓Q） ﹁（P↓Q） P∨Q； （3） （P↓P）↓（Q↓Q） ﹁P↓﹁Q ﹁（﹁P∨﹁Q） P∧Q。
离散数学习题解答
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数理逻辑习题
1.
（1）要是明天不下雨且我有时间，那么我去步行街购物。
设p：明天下雨q：我有时间r：我去步行街购物
（2）如果小王和小张是一个组，那么这次英语竞赛一定取胜。
设p：小王和小张是一个组q：这次英语竞赛一定取胜
（3）除非天下雨，否则他不乘出租车上班。
设p：天下雨q：他乘出租车上班
设p：马会飞。q：羊吃草。r：母鸡是飞鸟。s：烤熟的鸭子会跑。
前提： ， ，
结论：
证明：
① 前提引入
② 前提引入
③ ①②拒取式
④ 前提引入
⑤ ③④拒取式
⑥ ⑤等值演算
⑦ ⑥化简规则
17
（1）有会说话的机器人。
设： ：x是机器人。 ：x会说话。
符号化为：
（2）尽管有人很聪明，但未必一切人都聪明。
设： ：x是人。 ：x很聪明。
符号化为：
（3）并不是所有的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ车都比火车快。
设： ：x是汽车。 ：y是火车。 ：x比y快。
符号化为：
（4）有的人不吃萝卜，但人都要喝水。
设： ：x是人。 ：x吃萝卜。 ：x要喝水。
符号化为：
（5）男人一定比女人高，是不对的。
设： ：x是男人。 ：y是女人。 ：x比y高。
符号化为：
（6）某些汽车慢于所有的火车，但至少有一火车快于每一汽车。
（4）自反
（5）对称
（6）对称
13
14
[a]=[b]={a,b}，[c]=[d]={c,d}。
15
（1）证明：
1） ， ，所以R自反。
2） ，
，所以R对称。
3） ， ，
，
，
由 和 可得 。
数理逻辑习题
1.
（1）要是明天不下雨且我有时间，那么我去步行街购物。
设p：明天下雨q：我有时间r：我去步行街购物
（2）如果小王和小张是一个组，那么这次英语竞赛一定取胜。
设p：小王和小张是一个组q：这次英语竞赛一定取胜
（3）除非天下雨，否则他不乘出租车上班。
设p：天下雨q：他乘出租车上班
设p：马会飞。q：羊吃草。r：母鸡是飞鸟。s：烤熟的鸭子会跑。
前提： ， ，
结论：
证明：
① 前提引入
② 前提引入
③ ①②拒取式
④ 前提引入
⑤ ③④拒取式
⑥ ⑤等值演算
⑦ ⑥化简规则
17
（1）有会说话的机器人。
设： ：x是机器人。 ：x会说话。
符号化为：
（2）尽管有人很聪明，但未必一切人都聪明。
设： ：x是人。 ：x很聪明。
符号化为：
（3）并不是所有的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ车都比火车快。
设： ：x是汽车。 ：y是火车。 ：x比y快。
符号化为：
（4）有的人不吃萝卜，但人都要喝水。
设： ：x是人。 ：x吃萝卜。 ：x要喝水。
符号化为：
（5）男人一定比女人高，是不对的。
设： ：x是男人。 ：y是女人。 ：x比y高。
符号化为：
（6）某些汽车慢于所有的火车，但至少有一火车快于每一汽车。
（4）自反
（5）对称
（6）对称
13
14
[a]=[b]={a,b}，[c]=[d]={c,d}。
15
（1）证明：
1） ， ，所以R自反。
2） ，
，所以R对称。
3） ， ，
，
，
由 和 可得 。
《离散数学》 习题解答
离散数学习题解 ∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧r) = m0 ∨ m1 ∨ m4 ∨ m5 ∨ m0 ∨ m1 ∨ m2 ∨ m3 ∨ m1 ∨ m3 ∨ m5 ∨ m7 ⇔ m0 ∨ m1 ∨ m2 ∨ m3 ∨ m4 ∨ m5 ∨ m7 ⇔ ∑(0, 1, 2, 3, 4, 5, 7). 两个公式的主吸取范式不同, 所以(p→q) →rk q→ (p→r).
离散数学习题解 ⇔¬ ((p→q) ∧ (q→p)) ⇔¬ ((¬p∨q) ∧ (¬q∨p)) ⇔ (p∧¬q) ∨ (q∧¬p) ⇔ (p∨q) ∧ (p∨¬p) ∧ (¬q∨q) ∧ (¬p∨¬q) ⇔ (p∨q) ∧¬ (p∧q) (4) (p∧¬q) ∨ (¬p∧q) ⇔ (p∨¬p) ∧ (p∨q) ∧ (¬q∨¬p) ∧ (¬q∨q) ⇔ (p∨q) ∧¬ (p∧q) 2.5. 求下列公式的主析取范式, 并求成真赋值: (1)( ¬p→q) → (¬q∨p) (2) ¬ (p→q) ∧q∧r (3)(p∨ (q∧r)) → (p∨q∨r) (1)(¬p→q) → (¬q∨p) ⇔ ¬(p∨q) ∨ (¬q∨p) ⇔ ¬p∧¬q ∨ ¬q ∨ p⇔ ¬p∧¬q ∨ ¬q ∨ p(吸收律)⇔ (p¬∨p)¬∧q ∨ p∧(q¬∨q) ⇔ p¬∧q ¬∨p¬∧q ∨ p∧q ∨ p¬∧q ⇔ m10 ∨ m00 ∨ m11 ∨ m10 ⇔ m0 ∨ m2 ∨ m3 ⇔ ∑(0, 2, 3). 成真赋值为 00, 10, 11. (2)主析取范式为 0, 无成真赋值, 为矛盾式. (3)m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7, 为重言式. 2.6. 求下列公式的主合取范式, 并求成假赋值: (1) ¬ (q→¬p) ∧¬p (2)(p∧q) ∨ (¬p∨r) (3)(p→ (p∨q)) ∨r (1) ¬ (q¬→p) ∧ ¬p ⇔ ¬(¬q¬∨p) ∧ ¬p ⇔ q∧p ∧ ¬p ⇔ q∧0 ⇔0 ⇔ M0∧M1∧M2∧M3 这是矛盾式. 成假赋值为 00, 01, 10, 11. (2)M4, 成假赋值为 100. (3)主合取范式为 1, 为重言式.
离散数学习题解答(第四版)清华大学出版社
由表 1.3 可知（5）为非重言式的可满足式。 主析取范式法
( p q ) ( q p ) ( p q ) ( q p )
5
( p q ) (q p ) ( p q ) q p
p q
(p 1) (1 q ) (p (q q ) ((p p ) q ) ( p q ) ( p q ) ( p q ) ( p q ) ( p q ) ( p q ) ( p q )
这正说明合取联结词在使用时是很灵活的。在符号化时，应该注意，不要将联结 词部分放入简单命题中。例如，在（2）中，不能这样写简单命题：p：小王不但 聪明，q：小王而且用功。在（4）中不能这样写：p：他一边吃饭， q ：他一边 看电视。 2° 后 4 个复合命题中，都使用了蕴含联结词，符号化为蕴含式，在这里， 关键问题是要分清蕴含式的前件和后件。
2
1．5 （1） p q ，其中，p：2 是偶数，q：2 是素数。此命题为真命题。 （2） p q ，其中，p：小王聪明，q：小王用功 （3） p q ，其中，p：天气冷，q：老王来了 （4） p q ，其中，p：他吃饭，q：他看电视 （5） p q ，其中，p：天下大雨，q：他乘公共汽车上班 （6） p q ，其中，p，q 的含义同（5） （7） p q ，其中，p，q 的含义同（5） （8） p q ，其中，p：经一事，q：长一智 分析 1°在前 4 个复合命题中， 都使用了合取联结词， 都符号化为合取式，
（8） ， （10）为非重言式的可满足式。 一般说来，可用真值表法、等值演算法、主析取范式（主合取范式）法等判 断公式的类型。 （1）对（1）采用两种方法判断它是重言式。 真值表法 表 1.2 给出了（1）中公式的真值表，由于真值表的最后一列全为 1，所以， （1）为重言式。 p 0 0 0 0 1 1 1 1 等值演算法 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1
离散数学习题解答 第十四章习题解答(1)
(2) S S ; 不是群。
设f是S S的一个映射，但不是一一映射。
f没有逆映射，即没有逆元.
S S ; 不是群。
14.10G;为群，是可交换的，当且仅当，对任意
a,b G, 有（ab）2 a2b2。 证明：（1）必要性。
G;为可交换群，
（ab）2 （ab）(ab) a(ba)b a(ab)b (aa)(bb) a2b2 (2)充分性。 （ab）2 a2b2 a(ba)b a(ab)b
由消去律得ba ab，即G;可交换。
14.11已知G;为不可交换群，当G 2时，必存在
a,b G, a b, a e,b e,但ab ba.
证明：G;为群
a G, 有aa1 a1a e. (1) 若a a1 ，命题得证。 （2）若a a1，即G中每一个元素的逆元为其自身, 那么ab (ab)1 b1a1 ba, 满足交换律，与题设 矛盾。 由（1），（2）可得必存在a,b G, a b, ab ba.
2.有单位元e
0m
。
,n
0 m,n
M1m,n (Q)
M1m,n (Q) 0m,n
(5) n ;
解答：是拟群。
1.满足结合性。 （i j） k i ( j k) 2.有单位元e 0。 0 i i 0
14.4指出下列代数系统中那些是群？那些 是可交换群?为什么？
(1);,其中 定义如下：a,b , a b a b 2;
S S的映射组成的集合，则S S； 不是群。
证明：（1）TS；为群
1.封闭性。若f , g TS , f g TS 2.结合性。 ( f g) h f (g h)
3.有单位元恒等变换I.为一一映射，存在逆元f 1.
综上所述，TS；为群。
离散数学习题解答 习题-
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离散数学习题解答
离散数学习题答案习题一1. 判断下列句子是否为命题？若是命题说明是真命题还是假命题。
（1）3是正数吗？（2）x＋1=0。
（3）请穿上外衣。
（4）2＋1＝0。
（5）任一个实数的平方都是正实数。
（6）不存在最大素数。
（7）明天我去看电影。
（8）9＋5≤12。
（9）实践出真知。
（10）如果我掌握了英语、法语，那么学习其他欧洲语言就容易多了。
解：（1）、（2）、（3）不是命题。
（4）、（8）是假命题。
（5）、（6）、（9）、（10）是真命题。
（7）是命题，只是现在无法确定真值。
2. 设P表示命题“天下雪”，Q表示命题“我将去书店”，R表示命题“我有时间”，以符号形式写出下列命题。
（1）如果天不下雪并且我有时间，那么我将去书店。
（2）我将去书店，仅当我有时间。
（3）天不下雪。
（4）天下雪，我将不去书店。
解：（1）（┐P∧R）→Q。
（2）Q→R。
（3）┐P。
（4）P→┐Q。
3. 将下列命题符号化。
（1）王皓球打得好，歌也唱得好。
（2）我一边看书，一边听音乐。
（3）老张和老李都是球迷。
（4）只要努力学习，成绩会好的。
（5）只有休息好，才能工作好。
（6）如果a和b是偶数，那么a+b也是偶数。
（7）我们不能既游泳又跑步。
（8）我反悔，仅当太阳从西边出来。
（9）如果f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处可微。
反之亦然。
（10）如果张老师和李老师都不讲这门课，那么王老师就讲这门课。
（11）四边形ABCD是平行四边形，当且仅当ABCD的对边平行。
（12）或者你没有给我写信，或者信在途中丢失了。
解：（1）P：王皓球打得好，Q：王皓歌唱得好。
原命题可符号化：P∧Q。
（2）P：我看书，Q：我听音乐。
原命题可符号化：P∧Q。
（3）P：老张是球迷，Q：老李是球迷。
原命题可符号化：P∧Q。
（4）P：努力学习，Q：成绩会好。
原命题可符号化：P→Q。
（5）P：休息好，Q：工作好。
原命题可符号化：Q→P。
（6）P：a是偶数，Q：b是偶数，R：a+b是偶数。
离散数学刘任任版第14章答案.ppt
x 和y 的作用域： (R(x, y) Q(x, z)
x 的作用域： H (x, y)
5．设谓词公式。判定以下改名是否正确 ：
x (P(x, y) Q(x, z))
(1)u(P(u, y) Q(x, z))
错误
(2)u(P(u, y) Q(u, z))
正确
(3) x(P(u, y) Q(u, z))
x0 D或y0 D, 使得G（x0,y）或G（x, y0）为假，
于是，此xo或yo亦弄假 yxG(x, y)
（2） xyG(x，y) yxG(x，y)
证：设D是论域，I是G（x, y）的一个解释。
（a)若 xyG(x，y) 在 I 下的为真，则在 I 下,有
8．
• (1) x(G(x) H ) xG(x) H
• (2) x(G(x) H ) xG(x) H
• 证明（1）
x(G(x) H ) x(7G(x) H ) x7G(x) H 7(xG(x)) H xG(x) H
• 证明（2）
x(G(x) H ) x(7G(x) H ) x7G(x) H 7(xG(x)) H xG(x) H
解：P(x) : x是实数，Q(x) : x是有理数. x(P(x) Q(x))
(2)有些实数是有理数。 解：P(x) : x是实数，Q(x) : 是有理数。
xyPx Q(x)。
(3)并非所有实数都是有理数。 解：P(x) : x是实数，Q(x) : x是有理数. x(P(x) Q(x)) (4)如果明天天气好, 有一些学生将去公园. 解 : P(x) : x是公园, S(x) : x是学生,W :明天天气好. W x(P(x) S(x))
离散数学
习题解答
1、
x 的作用域： H (x, y)
5．设谓词公式。判定以下改名是否正确 ：
x (P(x, y) Q(x, z))
(1)u(P(u, y) Q(x, z))
错误
(2)u(P(u, y) Q(u, z))
正确
(3) x(P(u, y) Q(u, z))
x0 D或y0 D, 使得G（x0,y）或G（x, y0）为假，
于是，此xo或yo亦弄假 yxG(x, y)
（2） xyG(x，y) yxG(x，y)
证：设D是论域，I是G（x, y）的一个解释。
（a)若 xyG(x，y) 在 I 下的为真，则在 I 下,有
8．
• (1) x(G(x) H ) xG(x) H
• (2) x(G(x) H ) xG(x) H
• 证明（1）
x(G(x) H ) x(7G(x) H ) x7G(x) H 7(xG(x)) H xG(x) H
• 证明（2）
x(G(x) H ) x(7G(x) H ) x7G(x) H 7(xG(x)) H xG(x) H
解：P(x) : x是实数，Q(x) : x是有理数. x(P(x) Q(x))
(2)有些实数是有理数。 解：P(x) : x是实数，Q(x) : 是有理数。
xyPx Q(x)。
(3)并非所有实数都是有理数。 解：P(x) : x是实数，Q(x) : x是有理数. x(P(x) Q(x)) (4)如果明天天气好, 有一些学生将去公园. 解 : P(x) : x是公园, S(x) : x是学生,W :明天天气好. W x(P(x) S(x))
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由消去律得ba ab，即G;可交换。
14.11已知G;为不可交换群，当G 2时，必存在
a,b G, a b, a e,b e,但ab ba.
证明：G;为群
a G, 有aa1 a1a e. (1) 若a a1 ，命题得证。 （2）若a a1，即G中每一个元素的逆元为其自身, 那么ab (ab)1 b1a1 ba, 满足交换律，与题设 矛盾。 由（1），（2）可得必存在a,b G, a b, ab ba.
解答：是可交换群。 1.满足结合律。(a b) c a (b c) a b c 4 2.有单位元e 2. e a a e e a 2 a 3.每一个元素有逆元. a1 4 a 4.可交换. a b b a a b 2
(2);,其中定义如下：a,b , a b a b ab;
2k2
n2
)
(cos 2(k1n2 k2n1) i sin 2(k1n2 k2n1) ) y;
n1n2
n1n2
则y为1的n1n2次根。
(5) R*;* ,*定义如下：a,b R, a *b a2b2, R* R 0.
解答：不是群。 不满足结合律。
a *(b *c) a2b4c4 (a *b) *c a4b4c2
解答：是拟群。 1.满足结合性。 （A B） C A (B C) 2.有单位元e 。 A A
(4) Mm,n (Q);
解答：是拟群。
1.满足结合性。 （M1m,n (Q) M2m,n (Q)） M3m,n (Q)
M1 m ,n
(Q)
(M 2m,n
(Q)
M3 m ,n
(Q))
2.有单位元e
0m
。
,n
0 m,n
M1m,n (Q)
M1m,n (Q) 0m,n
(5) n ;
解答：是拟群。
1.满足结合性。 （i j） k i ( j k) 2.有单位元e 0。 0 i i 0
14.4指出下列代数系统中那些是群？那些 是可交换群?为什么？
(1);,其中 定义如下：a,b , a b a b 2;
解答：不是群。
e 0为单位元。
a1 a ,当a 1时，无逆元；当 a 不为整数时，
a 1
a 1
也没有逆元。
(3)1的n次根，关于乘法的运算。
解答：是可交换群。
1.复数乘法满足结合律与交换律;
2.有单位元e 1;
3.每一个元素均有逆元。1的n次方根形式为
x cos 2k i sin 2k (k 0,1,n 1)
n
n
x1 cos 2(n k) i sin 2(n k) .
n
n
(4)1的所有正整数次根关于乘法运算。
解答：是可交换群。
1.满足结合律与交换律显而易见;
2.有单位元e 1;有逆元同上；
3.封闭性.
x1 x2
(cos 2k1
n1
i sin
2k1
n1
) (c os 2k 2
n2
i sin
14.1指出下列代数系统那些是半群，那些 是拟群，并说明理由。
(1);
解答：不是半群。 （a b） c a (b c)。不满足结合性。
（2）C；
解答：是拟群。 1.满足结合性。（a b） c a (b c),a,b, c C 2.有单位元e 1。 1 a a 1 a, a C
(3)S P(S);
(6)F (x);,其中F (x) a0 an xn | ai R,i 1,, n;
n N ,为多项式加法运算。
解答：是可交换群。
单位元为f (x) 0；g(x) F (x),逆元为 g(x) S的一一对应所组成的
集合，关于映射的复合运算，TS；为群；S S为所有
(2) S S ; 不是群。
设f是S S的一个映射，但不是一一映射。
f没有逆映射，即没有逆元.
S S ; 不是群。
14.10G;为群，是可交换的，当且仅当，对任意
a,b G, 有（ab）2 a2b2。 证明：（1）必要性。
G;为可交换群，
（ab）2 （ab）(ab) a(ba)b a(ab)b (aa)(bb) a2b2 (2)充分性。 （ab）2 a2b2 a(ba)b a(ab)b
S S的映射组成的集合，则S S； 不是群。
证明：（1）TS；为群
1.封闭性。若f , g TS , f g TS 2.结合性。 ( f g) h f (g h)
3.有单位元恒等变换I. I f f I
4.每一个元素有逆元。
f为一一映射，存在逆元f 1.
综上所述，TS；为群。
14.11已知G;为不可交换群，当G 2时，必存在
a,b G, a b, a e,b e,但ab ba.
证明：G;为群
a G, 有aa1 a1a e. (1) 若a a1 ，命题得证。 （2）若a a1，即G中每一个元素的逆元为其自身, 那么ab (ab)1 b1a1 ba, 满足交换律，与题设 矛盾。 由（1），（2）可得必存在a,b G, a b, ab ba.
解答：是可交换群。 1.满足结合律。(a b) c a (b c) a b c 4 2.有单位元e 2. e a a e e a 2 a 3.每一个元素有逆元. a1 4 a 4.可交换. a b b a a b 2
(2);,其中定义如下：a,b , a b a b ab;
2k2
n2
)
(cos 2(k1n2 k2n1) i sin 2(k1n2 k2n1) ) y;
n1n2
n1n2
则y为1的n1n2次根。
(5) R*;* ,*定义如下：a,b R, a *b a2b2, R* R 0.
解答：不是群。 不满足结合律。
a *(b *c) a2b4c4 (a *b) *c a4b4c2
解答：是拟群。 1.满足结合性。 （A B） C A (B C) 2.有单位元e 。 A A
(4) Mm,n (Q);
解答：是拟群。
1.满足结合性。 （M1m,n (Q) M2m,n (Q)） M3m,n (Q)
M1 m ,n
(Q)
(M 2m,n
(Q)
M3 m ,n
(Q))
2.有单位元e
0m
。
,n
0 m,n
M1m,n (Q)
M1m,n (Q) 0m,n
(5) n ;
解答：是拟群。
1.满足结合性。 （i j） k i ( j k) 2.有单位元e 0。 0 i i 0
14.4指出下列代数系统中那些是群？那些 是可交换群?为什么？
(1);,其中 定义如下：a,b , a b a b 2;
解答：不是群。
e 0为单位元。
a1 a ,当a 1时，无逆元；当 a 不为整数时，
a 1
a 1
也没有逆元。
(3)1的n次根，关于乘法的运算。
解答：是可交换群。
1.复数乘法满足结合律与交换律;
2.有单位元e 1;
3.每一个元素均有逆元。1的n次方根形式为
x cos 2k i sin 2k (k 0,1,n 1)
n
n
x1 cos 2(n k) i sin 2(n k) .
n
n
(4)1的所有正整数次根关于乘法运算。
解答：是可交换群。
1.满足结合律与交换律显而易见;
2.有单位元e 1;有逆元同上；
3.封闭性.
x1 x2
(cos 2k1
n1
i sin
2k1
n1
) (c os 2k 2
n2
i sin
14.1指出下列代数系统那些是半群，那些 是拟群，并说明理由。
(1);
解答：不是半群。 （a b） c a (b c)。不满足结合性。
（2）C；
解答：是拟群。 1.满足结合性。（a b） c a (b c),a,b, c C 2.有单位元e 1。 1 a a 1 a, a C
(3)S P(S);
(6)F (x);,其中F (x) a0 an xn | ai R,i 1,, n;
n N ,为多项式加法运算。
解答：是可交换群。
单位元为f (x) 0；g(x) F (x),逆元为 g(x) S的一一对应所组成的
集合，关于映射的复合运算，TS；为群；S S为所有
(2) S S ; 不是群。
设f是S S的一个映射，但不是一一映射。
f没有逆映射，即没有逆元.
S S ; 不是群。
14.10G;为群，是可交换的，当且仅当，对任意
a,b G, 有（ab）2 a2b2。 证明：（1）必要性。
G;为可交换群，
（ab）2 （ab）(ab) a(ba)b a(ab)b (aa)(bb) a2b2 (2)充分性。 （ab）2 a2b2 a(ba)b a(ab)b
S S的映射组成的集合，则S S； 不是群。
证明：（1）TS；为群
1.封闭性。若f , g TS , f g TS 2.结合性。 ( f g) h f (g h)
3.有单位元恒等变换I. I f f I
4.每一个元素有逆元。
f为一一映射，存在逆元f 1.
综上所述，TS；为群。