职高数学5.6三角函数的图像和性质
三角函数的图象与性质ppt课件
(π，－1)
，32π，0，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象和性质(下表中 k∈Z)
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图象
定义域Leabharlann RRxx∈R，且x≠
kπ＋π2，k∈Z
值域 周期性
[－1,1]
[－1,1]
R
周期是 2kπ(k∈Z， 周期是 2kπ(k∈Z， 周期是 kπ(k∈Z 且
系中画出[0,2π]上 y＝sinx 和 y＝cosx 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足 sinx＝cosx 的 x
为
π 4
，
5π 4
，
再
结
合
正
弦
、
余
弦
函
数
的
周
期
是
2π ， 所 以 原 函 数 的 定 义 域 为
x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z .
解法二：sinx－cosx＝ 2sinx－4π≥0，将 x－4π视为一个整体，由正弦函数 y＝sinx 的 图象和性质可知 2kπ≤x－4π≤π＋2kπ(k∈Z)，解得 2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π(k∈Z)．所以定义 域为
角度 2：三角函数的奇偶性和对称性 【例 3】 (1)已知 f(x)＝sin(x＋φ)＋cos(x＋φ)为奇函数，则φ的一个取值可以是( D )
A.π B．－π C.π D．－π
2
24
4
(2) 函 数 f(x) ＝ sin
2x－π 6
的 对 称 中 心 为 _____k2_π_＋__1π_2_，__0_(_k_∈__Z_)___ ， 对 称 轴 方 程 为
___x_＝__3π_＋__k2_π_(k_∈__Z_)_______．
高职类 三角函数的图像与性质
2k ,2k k Z
其值从1到-1
函数
y
1
y=sinx x R
y
1
y=cosx x R
图形
定义域 值域
2
0
-1
2
3 2
2
5 2
x
0
-1
2
3 2
2
5 2
x
最值
2k (k Z ) ymax 1 2 x 2k (k Z ) ymin 1 x
1
-3
5π 2
-2
3π 2
-
π 2
o
-1
π 2
x
3π 2
2
5π 2
3
7π 2
4
◎五点作图法
函数y= cosx，x[0, 2]的简图
2
3 2
列表
x
cosx
0 1
-1
2 1
0
0
描点作图
y 1
2
y=cosx，x[0, 2]
o -1
2
3 2
2
x
五点法：余弦函数y=cosx,x∈R的图象
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
余弦函数的单调性
y
1
-3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3Leabharlann 225 2x
3
7 2
4
y=cosx (xR)
原创三角函数的概念图像及性质.ppt
① asin□与bcos□之间是“+”连接
② a,b分别是sin□与cos□的系数 注3.辅助角φ的确定方法：
(a,b)
方法甚多凭爱好 坐标定义是基础
φ
数形结合两限制 注释说明一般角
O
X
（2） a sin □ bcos□ a2 b2 cos(□ )
（其中 tan a，Φ与点(b,a)同象限）
cos A b2 c2 a2 2bc
cos B a2 c2 b2 2ac
cos C a2 b2 c2 2ab
三角式运算公式总述
1.公式：
①同角关系 ②异角关系
2.作用：
一角二名三结构……
世上本无路三角走运的算人公多式了关便联有图了路
半角
作用
商数 平方 关系 关系
倒数
关系
同角
基本
1、同角基本关系式
(1)公式：
①平方关系 sin 2 cos2 1
②商数关系 sin tan cos③倒数关系 tan Fra bibliotekot 1 sinx
注：记忆图
①平方关系：阴影三角形…
tanx
②商数关系：边上左右邻居…
③倒数关系：对角线……
secx
cosx
1
cotx
cscx
1、同角基本关系式
(1).公式：……
(2).作用： 变名变结构
注：经典题型：同角两弦的和差商积可互化.即“知一有n”
桥梁： (sin x cos x)2 1 2sin x cos x 1 sin 2x
sin x n1 sin x cos x n3 sin x cos x n5 sin 2 x cos2 x n7
五点做图象 “代
职高数学5.6三角函数的图像和性质ppt课件
解 设 u 2x ，则使函数 y sin u 取得最大值 1 的集合是
u
u
π 2
2kπ,
k
Z
，
由
2x u π 2kπ ,
2
得
x π kπ ．
4
故所求集合为
x
x
π 4
kπ, k
Z
，
函数 y sin 2 x 的最大值是1．
变量替换
；.
12
三角函 数
应用知识 强化练习
练习5.6.1
计算器
；.
5
动脑思考 探索新知
用“描点法”作函数 y sin x 在0,2上的图像
向左或向右平移2π，4π,…
演示
y sin x, x R 的图像——正弦曲线．
；.
6
三角函 数
动脑思考 探索新知
正弦曲线夹在直线 y=-1 和 y=1 之间，
对任意的角 x ，都有 sin x 1成立，
函数的这种性质叫做有界性．
动脑思考探索新知对于函数yfx如果存在一个不为零的常数t当x取定义域d内的每一个值时都有xtd并且等式fxtfx成立那么函数yfx叫做周期函数常数t叫做这个函数的一个周期
第5章 三角函数 5.6 三角函数的图像和性质
；.
1
创设情景 兴趣导入
观察钟表，如果当前的时 间是2点，那么时针走过12 个小时后，显示的时间是 多少呢？再经过12个小时 后，显示的时间是多少呢？
正弦函数y=sinx是否是周期函数？
；.
3
动脑思考 探索新知
对于正弦函数有：
sin ( 2 k π )= sin (k Z )，
想一想：
自变量a每增加或减少多少，正弦函数值不变？
三角函数的定义、图像和性质
极值点：函数 在其周期内取 得最大值和最 小值的点，即 最值点的横坐 标
0 4
诱导公式
三角函数的诱导 公式是三角函数 性质的重要组成 部分，它可以帮 助我们简化复杂 的三角函数计算。
添加标题
诱导公式包括正 弦、余弦和正切 的诱导公式，它 们可以通过三角 函数的周期性和 对称性推导出来。
添加标题
奇偶性
奇函数：满足f(-x)=-f(x) 的函数
偶函数：满足f(-x)=f(x) 的函数
奇偶性的判断方法：根据 定义来判断
奇偶性在三角函数中的应 用：判断函数的图像对称
性
最值和零点
最大值和最小 值：三角函数 在其周期内可 以达到的最大 和最小值
0 1
零点：函数值 为零的点，即 解方程的根
0 2
周期性：三角 函数图像呈现 周期性变化， 每个周期内存 在一个最大值 和一个最小值
利用诱导公式， 我们可以将任意 角的三角函数转 化为锐角或0到 360度之间的角的 三角函数，从而
简化计算。
添加标题
诱导公式在三角 函数的图像和性 质中有着广泛的 应用，可以帮助 我们更好地理解 三角函数的性质
和图像。
添加标题
THANK YOU
汇报人：XX
三角函数的定义、 图像和性质
汇报人：XX
目录
01 三 角 函 数 的 定 义 02 三 角 函 数 的 图 像 03 三 角 函 数 的 性 质
01
三角函数的定义
正弦函数
定义：正弦函数是三角函数的一种，定义为y=sinx，x∈R。 图像：正弦函数的图像是一个周期函数，形状类似于波浪。 性质：正弦函数具有一些重要的性质，如奇偶性、周期性、单调性等。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是数学中的重要概念，它们在几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的图像与性质，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，它表示一个周期性变化的曲线。
正弦函数的图像可以通过在单位圆上取点来得到。
在单位圆上，我们可以将角度与坐标点联系起来，从而得到正弦函数的图像。
正弦函数的图像是一个连续的曲线，它在每个周期内都会经过最高点和最低点。
正弦函数的周期是360度或2π弧度，即在一个周期内，正弦函数的值会重复出现。
正弦函数的最高点和最低点分别为1和-1，它们对应于角度为90度或π/2弧度和270度或3π/2弧度。
正弦函数还具有以下性质： - 正弦函数是奇函数，即f(-x)=-f(x)。
- 正弦函数在0度或0弧度时取得最小值0。
- 正弦函数在90度或π/2弧度时取得最大值1。
- 正弦函数在180度或π弧度时取得最小值0。
- 正弦函数在270度或3π/2弧度时取得最大值-1。
余弦函数的图像与性质余弦函数是另一个常见的三角函数，它也表示一个周期性变化的曲线。
余弦函数的图像可以通过在单位圆上取点来得到。
与正弦函数类似，余弦函数的图像也是一个连续的曲线，它在每个周期内都会经过最高点和最低点。
余弦函数的周期也是360度或2π弧度，即在一个周期内，余弦函数的值会重复出现。
余弦函数的最高点和最低点分别为1和-1，它们对应于角度为0度或0弧度和180度或π弧度。
余弦函数还具有以下性质： - 余弦函数是偶函数，即f(-x)=f(x)。
- 余弦函数在0度或0弧度时取得最大值1。
- 余弦函数在90度或π/2弧度时取得最小值0。
- 余弦函数在180度或π弧度时取得最大值-1。
- 余弦函数在270度或3π/2弧度时取得最小值0。
正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一个重要概念，它表示一个周期性变化的曲线。
正切函数的图像可以通过在单位圆上取点来得到。
常见三角函数图像及性质
常见三角函数图像及性质三角函数在数学中具有重要的作用，主要有正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些三角函数的图像及性质对理解三角函数在不同角度下的变化规律至关重要。
1. 正弦函数（Sine Function）正弦函数可以表示为 $y = \\sin(x)$，其中x表示自变量（角度），x表示函数值。
正弦函数的图像是一条波浪形状的曲线，在 $[-\\pi, \\pi]$ 区间内，正弦函数的图像在原点(0,0)处达到最大值1和最小值−1，且图像在x轴上对称。
正弦函数的主要性质包括：•周期性：正弦函数的周期是 $2\\pi$，即 $f(x+2\\pi) = f(x)$。
•奇函数：正弦函数是奇函数，即x(−x)=−x(x)。
•范围：正弦函数的值域为[−1,1]。
•正负性：在第一和第二象限，正弦函数为正；在第三和第四象限，正弦函数为负。
2. 余弦函数（Cosine Function）余弦函数可以表示为 $y = \\cos(x)$，余弦函数的图像是一条类似正弦函数的波浪形状曲线，不过余弦函数的图像在x轴上下移了 $\\frac{\\pi}{2}$。
余弦函数的性质包括：•周期性：余弦函数的周期也是 $2\\pi$，即$f(x+2\\pi) = f(x)$。
•偶函数：余弦函数是偶函数，即x(−x)=x(x)。
•范围：余弦函数的值域为[−1,1]。
•正负性：在第一和第四象限，余弦函数为正；在第二和第三象限，余弦函数为负。
3. 正切函数（Tangent Function）正切函数可以表示为 $y = \\tan(x)$，正切函数的图像是一条周期性的曲线，其在某些角度处会出现无穷大的值。
正切函数的图像在 $x=k\\pi + \\frac{\\pi}{2}$ 时，即 $x =\\frac{\\pi}{2}, \\frac{3\\pi}{2}, \\frac{5\\pi}{2}$ 等，会出现垂直渐近线。
正切函数的性质包括：•周期性：正切函数的周期是 $\\pi$，即 $f(x+\\pi) = f(x)$。
三角函数的图像和性质
当0<A<1时，图像在y轴方向压缩。
02
周期变换
ω表示周期变换的系数，周期T=2π/|ω|。当ω>1时，周期减小，图像
在x轴方向压缩；当0<ω<1时，周期增大，图像在x轴方向拉伸。
03
相位变换
φ表示相位变换的角度，当φ>0时，图像左移；当φ<0时，图像右移。
正弦型曲线应用举例
振动问题
在物理学中，正弦函数常用来描述简谐振动，如弹簧振子 、单摆等。通过正弦函数的振幅、周期和相位等参数，可 以描述振动的幅度、频率和初始状态。
三角函数的图像和性 质
汇报人：XX 2024-01-28
contents
目录
• 三角函数基本概念 • 正弦函数图像与性质 • 余弦函数图像与性质 • 正切函数图像与性质 • 三角函数复合与变换 • 三角函数在解决实际问题中的应用
01
三角函数基本概念
角度与弧度制
角度制
01
将圆周分为360等份，每份称为1度，用度（°）作为单位来度量
角的大小。
弧度制
02
以弧长等于半径所对应的圆心角为1弧度，用符号rad表示，是
国际通用的角度度量单位。
角度与弧度的换算
03
1° = (π/180)rad，1rad = (180/π)°。
三角函数定义及关系
正弦函数
sinθ = y/r，表示单位圆上任意 一点P(x,y)与x轴正方向形成的 角θ的正弦值。
光学
在光的反射、折射等现象中，三角函数可以 帮助计算入射角、折射角等角度问题。
在工程问题中的应用
1 2
建筑设计
在建筑设计中，三角函数可以帮助计算建筑物的 角度、高度、距离等参数，确保设计的准确性和 安全性。
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三
练习5.6.2
角
用“ 五点作图法”作出函数 y 1 cos x ,
函 数
x 0, 2 π
上的图像．
再 见
2 π , 0 ．
巩固知识 典型例题
三
例 1 利用“五点法”作函数 y 1 sin x 在 0 , 2 π 上的图像
角 函 数
x
sin x
y 1 sin x
π
0
π
3π 2
2π
2
0 1
y 2 1 O
1 2
0 1
-1 0
0 1
x 0, 2 π y 1 s in x，
3π 2
π 2
π
2π
x
巩固知识 典型例题
三
例 2 已知
sin x a 4
, 求 a 的取值范围．
角 函 数
解 因为∣sinx∣≤1， 所以∣a-4∣≤1, 即 解得 1≤a-4≤1 ≤a≤ ．
故a的取值范围是
．
巩固知识 典型例题
三
例3 求使函数y=sin2x取得最大值的x的集合， 并指出最大值是多少．
演示
向左或向右平移2π，4π,…
演示
余弦函数 y
co s x , x R
的图像—余弦曲线．
动脑思考
探索新知
x R
三
y 1
－ 2π
－ π
y co s x
o -1
π
2π
3π
4π
x
角 函 数
定义域： 实数集R
当x
2 kπ (k Z )
时, y m ax 1 ； 时,
y m in 1
正弦函数的周期是
2 π．
动脑思考
探索新知
用“描点法”作函数 y sin x 在 0 , 2 上的图像
1.列表 2.描点
演示
3.联结各点
3
0 .8 7
x
0
6
2
1
2 3
0 .8 7
5 6
0 .5
7 6
4 3
- 0 .8 7
3 2
- 1
5 3
- 0 .8 7
1 1 6
s i n x „ 1 成立，
角 函 数
－3π
函数的这种性质叫做有界性．
y 1
－ 2π
－ π
y s in x，
x R
O -1
π
2π
3π
4π
x
正弦函数是R内的有界函数．
动脑思考
探索新知
x R
三
y 1
－ 2π
－ π
y s in x，
－3π
O -1
π
2π
3π
4π
x
角 函 数
定义域： 实数集R 值 域： [-1,1]
当x
2
2k (k Z )
时, y m ax 1 ； 时, y min 1 ．
)内是增函数； )内是减函数.
奇偶性： 奇函数 单调性： 周 期：
在 ( 在(
2
图像关于原点对称
当x
2
2k (k Z )
2
2k ,
2k ( k Z 2k ( k Z
2k ,
3 2
周期为 2 π
动脑思考
y
1 O -1
π 2
探索新知
最高点
y s in x， x 0 , 2 π
中点
π
3π 2
终点
x
2π
起点 最低点 五个关键点:
π ( 0 , 0 ), ,1 , 2
五点法
3π π , 0 , , 1 , 2
角
解 设 u 2 x ，则使函数 y sin u 取得最大值 1 的集合是
函 数
π u u 2 k π , k Z 2
， ,
由 得
2x u
π 2
2 kπ
变量替换
x
π 4
kπ
． ，
故所求集合为 函数 y
s in 2 x
π x x k π , k Z 4
对于正弦函数有： s in (
想一想：
自变量a每增加或减少多少，正弦函数值不变？ 正弦函数是周期函数吗 ？它的周期是什么呢？
正弦函数是周期函数. 周期有： 2 π, 4π, 6π, … 和
－ 2 π , － 4 π ,－ 6 π , …
周期中最小的正数叫做最小正周期
今后研究的函数的周期，都是指最小正周期.
值
域：[-1,1]
当x
( 2 k 1) π ( k Z )
奇偶性：偶函数
在 (( 2 k
图像关于y轴对称
1) π , 2 k π ) ( k Z ) 1) π ) ( k Z )
内是增函数 内是减函数
单调性 周期
在 (2 kπ, (2 k
周期为 2 π
巩固知识 典型例题
的最大值是1 ．
应用知识 强化练习
三
练习5.6.1
1．利用“五点法”作函数 y sin x 在 0 , 2 π 上的图像． 2．利用“五点法”作函数 y 2 sin x 在 0 , 2 π 上的图像． 3．已知 sin 3 a , 求 a 的取值范围． 4．求使函数 y s in 4 x 取得最大值的 x 的集合，并指
三
例 5 用“五点法”做出函数 y cos x ,
x 0, 2 π
上的图像
角 函 数
x
cos x
y co s x
π
0
π
3π 2
2π
2
1 -1
y 1 -1
0 0
-1 1
0 0
1 -1
y co s x，x 0 , 2 π
2
o
3 2
2
x
应用知识 强化练习
第5章 三角函数
5.6 三角函数的图像和性质
创设情景Βιβλιοθήκη 兴趣导入观察钟表，如果当前的时 间是2点，那么时针走过12 个小时后，显示的时间是
多少呢？再经过12个小时
后，显示的时间是多少呢？
每间隔12小时，当前时间2点重复出 现．这种现象称为周期现象。
类似这样的周期现象还有哪些？ 举例说明。
动脑思考
探索新知
三
对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，
当x取定义域D内的每一个值时，都有x+T∈D， 并且等式f(x+T)=f(x)成立，那么，函数y=f(x)叫 做周期函数,常数T叫做这个函数的一个周期．
角 函 数
正弦函数y=sinx是否是周期函数？
动脑思考
探索新知
2 k π )= s in ( k Z )，
- 0 .5
2
y = sin x
0
0 .5
0
- 0 .5
0
计算器
动脑思考
探索新知
用“描点法”作函数 y sin x 在 0 , 2 上的图像
向左或向右平移2π，4π,…
演示
y s in x , x R 的图像——正弦曲线．
动脑思考
探索新知
三
正弦曲线夹在直线 y=-1 和 y=1 之间， 对任意的角 x ，都有
角 函 数
出最大值是多少?
计算器
动脑思考
探索新知
2 k π )= c o s ( k Z )，
对于余弦函数有：c o s (
想一想：
自变量a每增加或减少多少，余弦函数值不变？ 余弦函数是周期函数吗 ？它的周期是什么呢？
余弦函数是周期函数.
周期是
2 π．
动脑思考
探索新知
用“描点法”作出余弦函数 y cos x 在 0 , 2 π 上的图像