线上的最近点面上的最近点相交性检测线线相交线面
人教版七年级下册数学第五---六章识点归纳总结
A B 《相交线与平行线》知识点总结一：相交线（1）相交线的定义两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（4）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．∠1和∠3，∠2和∠4是对顶角.（5）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．如图：∠1和∠2，∠2和∠3是邻补角.（6）对顶角的性质：对顶角相等．（如图∠1＝∠3，∠2＝∠4）（7）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（如图∠1＋∠2＝180°）（8）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的。
二、垂线（1）、垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如图，OD⊥AB，垂足为O（2）、垂线的性质过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“过一点”的点在直线上或直线外都可以。
（3）、垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（4）垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．（如图，PA,PB,PC等线段中，PO最短）（4）、点到直线的距离（如图，PO的长）（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．A B O C（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．三、平行线1、在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交．（1）平行线的定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线．记作：a∥b；读作：直线a平行于直线b．（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：①前提是在同一平面内；②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．（3）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．如图，过点P只有直线a 与直线 b 平行（4）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．（5）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． a ∥c 如图，如果a ∥c ，b ∥c ，那么2、同位角、内错角、同旁内角（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．例如∠1和∠5，∠3和∠7，∠4和∠8，∠2和∠6. （2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．例如∠3和∠5，∠4和∠6.（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角。
空间几何中的相交线判定
空间几何中的相交线判定在几何学中，相交线的判定是一个重要的概念。
当给定两条直线时，我们可以通过判断它们是否相交来得出结论。
相交线的判定在许多几何问题和应用中都有广泛的应用，因此其理解和运用是非常必要的。
在平面几何中，我们常常遇到直线与直线相交的情况。
这种情况下，我们可以通过比较直线的斜率以及截距来判断它们是否相交。
如果两条直线的斜率不相等，则它们一定相交于某一点；而如果它们的斜率相等，则可能是平行线或者重合线。
此时，我们还需要比较直线的截距，若截距也相等，则两条直线重合，否则它们是平行线。
为了更清楚地理解相交线的判定，我们可以通过线性方程组来进行推导。
假设有两条直线，其中直线L1的一般形式为Ax+By+C1=0，直线L2的一般形式为Dx+Ey+C2=0。
若两条直线相交于某一点(x_0, y_0)，则此点一定满足L1和L2的方程，即有A*x_0 + B*y_0 + C1 = 0，D*x_0 + E*y_0 + C2 = 0。
我们可以将这个线性方程组化简为矩阵形式，即：|A B| |x_0| |-C1|| | | | = | ||D E| |y_0| |-C2|如果矩阵的行列式不等于零，即|A B||D E| != 0，则可以使用克莱姆法则解得唯一的解(x_0, y_0)，即两条直线相交于某一点；如果行列式等于零，则无法通过克莱姆法则得到唯一解，即两条直线平行或者重合。
此外，在三维空间中，我们也可以用向量来判断两条直线的相交性。
两条直线在三维空间中相交，当且仅当它们的方向向量不共线，并且它们的平面截距也不相等。
为了更准确地判断两个向量的共线性，我们可以使用向量的内积来判断。
如果两个向量的内积等于零，则它们垂直；若内积不等于零，则它们不垂直。
因此，当两条直线的方向向量垂直，并且它们的平面截距不相等时，它们在三维空间中相交于某一点。
总结起来，判断两条直线是否相交可以通过比较它们的斜率、截距、方向向量等属性来进行。
测绘技术中的相交测量与相交计算技巧
测绘技术中的相交测量与相交计算技巧在测绘技术中，相交测量与相交计算是非常重要的一部分。
它们可应用于土地测量、建筑设计、道路规划等多个领域。
相交测量主要用于测定两个对象之间的交点位置，而相交计算则用于计算交点之间的距离、角度等相关参数。
本文将探讨相交测量与相交计算的一些技巧和应用。
1. 相交测量技巧相交测量是指通过观测两条或多条直线的交点来确定各直线之间的相对位置。
在实际应用中，我们常常会遇到需要精确测量两个交叉道路的交点位置的情况。
这时，我们可以选取两个已知固定点，通过测量它们与待测交点的距离和方位角，进而计算出待测点的坐标。
在进行相交测量时，有几点需要注意：a. 测量仪器的选择：选择具有高精度和稳定性的测量仪器，如全站仪或高精度电子经纬仪，可以提高测量结果的准确性。
b. 观测数据的处理：在进行相交测量时，要确保取得足够的测量角度和距离数据，以提高测量精度。
同时，应仔细处理观测数据，排除异常值和误差，以获得可靠的结果。
c. 地形和环境的考虑：在进行相交测量时，应考虑地形和环境因素对观测误差的影响。
如有大坡度地形或遮挡物时，应采用适当的测量方法和措施。
2. 相交计算技巧相交计算是指根据已知的相交点和其它相关参数，通过数学计算来确定交点之间的距离、角度、倾斜等相关参数。
相交计算常用于土木工程、建筑设计等领域，如确定道路上两条直线的交叉角度，计算建筑物的相交面积等。
在进行相交计算时，需要掌握一些技巧：a. 坐标转换：通常情况下，相交计算需要将测量点的坐标从某个坐标系转换到另一个坐标系。
因此，熟练掌握坐标转换公式和方法是十分重要的。
b. 角度计算：对于需要计算交角的情况，我们可以运用向量的知识来进行计算。
通过计算向量之间的夹角，可以准确求得交角的数值。
c. 倾斜计算：在计算两个相交面的倾斜角度时，可以利用三角函数公式进行计算。
根据已知的高度和底边长度，可以求得两个面的倾斜角。
3. 相交测量与相交计算的应用相交测量与相交计算在土地测量、建筑设计、道路规划等领域有广泛应用。
空间几何体的位置关系
空间几何体的位置关系在三维空间中，几何体的位置关系是几何学研究的重要内容之一。
了解和掌握几何体的位置关系，对于解决实际问题以及进行几何证明都有着重要的意义。
本文将介绍几种常见的空间几何体的位置关系。
一、点和直线的位置关系1. 点在线上：当一个点与一条直线重合时，我们称该点在线上。
2. 点在线上方或线下方：当一条直线将空间分成上下两部分时，点在直线上方或线下方。
3. 点在线上的延长线上：当一条直线延长后，点位于该直线的延长线上。
二、点和平面的位置关系1. 点在平面上：当一个点与一个平面重合时，我们称该点在平面上。
2. 点在平面之上或之下：当一个平面将空间分成上下两部分时，点在平面之上或之下。
3. 点在平面上的延长线上：当一个点的延长线与平面相交时，我们称该点在平面上的延长线上。
三、直线和直线的位置关系1. 平行线：若两条直线在同一平面上且不相交，则这两条直线称为平行线。
2. 相交线：若两条直线在同一平面上相交，则这两条直线称为相交线。
3. 垂直线：若两条直线在同一平面上相交，且交角为直角，则这两条直线称为垂直线。
四、直线和平面的位置关系1. 平行关系：若一条直线与一个平面平行，则它位于该平面之上、之下或在该平面的内部。
2. 相交关系：若一条直线与一个平面相交，则它有且只有一个交点。
3. 垂直关系：若一条直线与一个平面相交，且交角为直角，则它垂直于该平面。
五、平面和平面的位置关系1. 平行关系：若两个平面无公共交线，并且相互平行，则这两个平面平行。
2. 相交关系：若两个平面有且只有一条公共交线，则这两个平面相交。
3. 垂直关系：若两个平面相交，并且交线与其中一个平面的法线垂直，则这两个平面垂直。
综上所述，空间几何体的位置关系包括点和直线的位置关系、点和平面的位置关系、直线和直线的位置关系、直线和平面的位置关系以及平面和平面的位置关系。
了解和掌握这些位置关系对于学习和应用空间几何学具有重要的意义。
在实际应用中，我们可以根据这些位置关系来解决不同的几何问题，并进行相关的几何证明。
平面几何中的相交线与轮廓
平面几何中的相交线与轮廓平面几何是数学中的一个重要分支，研究了点、线、面等几何元素在平面上的性质和关系。
在平面几何中，相交线和轮廓是两个常见的概念，它们在解决几何问题和实际应用中起到了重要作用。
本文将介绍相交线和轮廓在平面几何中的基本概念、性质和应用。
一、相交线的概念与性质相交线是指在平面上的两条或多条线相交于某一点。
相交线的性质主要包括相交线的交点、交角、交叉点等。
1. 相交线的交点：当两条线相交于一点时，该点便是相交线的交点。
在平面几何中，两条线相交于一点的条件是两线不平行。
2. 相交线的交角：相交线的交角是指两条相交线之间所夹的角度。
根据相交线的性质，交角的度数等于两个相对角之和。
3. 相交线的交叉点：当两条线相交于一点时，称这个点为相交线的交叉点。
在平面几何的研究中，交叉点常用于计算图形的面积和位置关系等。
二、轮廓的概念与性质轮廓是指平面几何中由线组成的封闭曲线。
轮廓通常用于表示图形的边界和形状。
1. 轮廓的封闭性：轮廓是由一条或多条线构成的封闭曲线，其定义特点是起点和终点一致。
这种封闭性使得轮廓在计算图形的周长和边界问题中具有重要作用。
2. 轮廓的形状：轮廓的形状决定了图形的外形和特征。
根据轮廓的形状，可以判断图形的种类和性质，如矩形、三角形、圆形等。
3. 轮廓的应用：轮廓广泛应用于设计、建筑、地理信息系统等领域。
通过分析轮廓的特征和变化，可以进行图形的识别、测量和分析，为实际应用提供便利。
三、相交线与轮廓的应用相交线和轮廓在平面几何的实际应用中发挥着重要作用。
1. 图形分析与识别：通过分析图形的相交线和轮廓，可以识别出不同种类的图形，如判断矩形、正方形、梯形等，为图形分析和识别提供了依据。
2. 图形测量与计算：相交线和轮廓的特征可以用于计算图形的周长、面积和体积等，为工程测量和计算提供了准确的数值。
3. 空间位置关系：通过相交线和轮廓的相对位置，可以判断图形的位置关系，如判断点是否在某个图形内部或外部，为空间位置研究提供了基础。
初中数学 什么是相交线
初中数学什么是相交线
相交线是指在平面上两条直线相交于一个点的情况。
下面我将详细介绍相交线的概念以及与之相关的性质：
1. 相交线的定义：
相交线是指在平面上两条直线相交于一个点的情况。
这个相交点是两条直线的公共点，也是这两条直线的交点。
2. 相交线的性质：
-两条相交线的交点是这两条直线上的点，也是这两条直线的公共点。
-相交线的交点将平面分成四个部分，分别是交点的四个象限。
-相交线的交点是两条直线的垂直平分线，即交点到两条直线的距离相等。
-相交线的交点是两条直线的角平分线，即交点将两条直线的夹角分成两个相等的角。
3. 相交线的应用：
相交线在几何学中有广泛的应用。
例如，在平面几何中，相交线可以用于解决直线的交点、角的平分等问题；在图形的构造中，相交线可以用于定位和布局。
此外，相交线的性质也可以用于证明几何定理和推理。
需要注意的是，相交线是指两条直线在平面上相交于一个点的情况。
以上是有关相交线的概念和性质的介绍。
希望以上内容能够满足你对相交线的了解。
高考数学(理)之立体几何与空间向量 专题03 空间点、线、面的位置关系(解析版)
立体几何与空间向量03 空间点、线、面的位置关系一、具体目标：1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理；2.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.二、知识概述：1.平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2. 空间两直线的位置关系直线与直线的位置关系的分类⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3.异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：.4.异面直线的判定方法： ]2,0(π【考点讲解】判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．5.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．【温馨提示】平面的基本性质，点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点，题型除了选择题或填空题外，往往在大题中结合平行关系、垂直关系或角的计算间接考查．1.【2019年高考全国Ⅲ卷】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【解析】本题主要考查的空间两条直线的位置关系问题，要求会构造三角形，讨论两直线是否共面，并通过相应的计算确定两条直线的大小关系.如图所示，作EO CD⊥于O，连接ON，BD，易得直线BM，EN是三角形EBD的中线，是相交直线.过M作MF OD⊥于F，连接BF，Q平面CDE⊥平面ABCD，,EO CD EO⊥⊂平面CDE，EO∴⊥平面ABCD，MF⊥平面ABCD，MFB∴△与EON△均为直角三角形．设正方形边长为2，易知12EO ON EN===,，5,2MF BF BM==∴=，BM EN∴≠，故选B．] 2 ,0(π【真题分析】【答案】B2.【2018年高考全国Ⅱ卷理数】在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为（ ）A ．15 BCD【解析】方法一：用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面，如图，则11B P AD ∥，连接DP ，易求得1DB DP =，12B P =，则1DB P ∠是异面直线1AD 与1DB 所成的角，由余弦定理可得22211111cos 2DB B P DP DB P DB PB +-∠===⋅.故选C.方法二：以D 为坐标原点，DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，则()()((110,0,0,1,0,0,,D A B D ,所以((11,AD DB =-=u u u u r u u u u r ,因为111111cos ,5AD DB AD DB AD DB ⋅===u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ， 所以异面直线1AD 与1DB所成角的余弦值为5，故选C. 【答案】C3. 【2018年高考全国Ⅱ卷文数】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为（ ）A．2 BCD【解析】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，CD AB ∥，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠，设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以BE =，则tan BE EAB AB ∠===．故选C ．【答案】C4.【2017年高考全国Ⅱ卷理数】已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A．2 B．5 C．5D．3 【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A B C D -，则所求角为1111,BC D BC BD C D AB ∠=====Q易得22211C D BD BC =+，因此111cos 5BC BC D C D ∠===，故选C ． 【答案】C5.【2017年高考全国Ⅲ卷文数】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（ ）A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥【解析】根据三垂线定理的逆定理，可知平面内的线垂直于平面的斜线，则也垂直于斜线在平面内的射影.A.若11A E DC ⊥，那么11D E DC ⊥，很显然不成立；B.若1A E BD ⊥，那么BD AE ⊥，显然不成立；C.若11A E BC ⊥，那么11BC B C ⊥，成立，反过来11BC B C ⊥时，也能推出11BC A E ⊥,所以C 成立；D.若1A E AC ⊥，则AE AC ⊥，显然不成立，故选C.【答案】C6.【2019年高考北京卷理数】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ； ②m ∥α； ③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m ，正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α，不正确，有可能m 在平面α内；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α，不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.故答案为：如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m.【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m .7.【2017年高考全国Ⅲ卷理数】a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最大值为60°. 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）【解析】设1AC BC ==.由题意，AB 是以AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线，由,AC a AC b ⊥⊥，又AC ⊥圆锥底面，所以在底面内可以过点B ，作BD a ∥，交底面圆C 于点D ，如图所示，连接DE ，则DE ⊥BD ，DE b ∴∥，连接AD ，等腰ABD △中，AB AD ==当直线AB 与a 成60°角时，60ABD ∠=o ，故BD =Rt BDE △中，2,BE DE =∴=B 作BF ∥DE ，交圆C 于点F ，连接AF ，由圆的对称性可知BF DE ==ABF ∴△为等边三角形，60ABF ∴∠=o ，即AB 与b 成60°角，②正确，①错误.由图可知③正确；很明显，可以满足平面ABC ⊥直线a ，则直线AB 与a 所成角的最大值为90°，④错误.故正确的是②③.【答案】②③8.【2016高考浙江文数】如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，ADADC =90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD '，直线AC 与BD '所成角的余弦的最大值是______．【解析】设直线AC 与'BD 所成角为θ．设O 是AC 中点，由已知得AC =如图，以OB 为x 轴，OA 为y 轴，过O 与平面ABC 垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由(0,2A，(2B，(0,2C -，作DH AC ⊥于H ，翻折过程中，'D H 始终与AC 垂直，26CD CH CA ===，则3OH =，DH =='(,sin )636D αα-，则'sin )6236BD αα=--uuu r ，与CA uu r 平行的单位向量为(0,1,0)n =r ， 所以cos cos ',BD n θ=<>uuu r r ''BD n BD n⋅=uuu r r uuu r rcos 1α=时，cos θ取最大值9．9.【2017天津，文17】如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD BC ∥，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =.（I ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值；（II ）求证：PD ⊥平面PBC ；（Ⅲ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.【分析】（Ⅰ）异面直线所成的角一般都转化为相交线所成的角，//AD BC ，所以PAD ∠即为所求，根据余弦定理求得，但本题可证明AD PD ⊥，所以cosAD PAD AP ∠=；（Ⅱ）要证明线面垂直，根据判断定理，证明线与平面内的两条相交直线垂直，则线与面垂直，即证明,PD BC PD PB ⊥⊥；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，做//DF AB ，连结PF ,DFP ∠即为所求【解析】（Ⅰ）解：如图，由已知AD //BC ，故DAP ∠或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角.因为AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥PD .在Rt △PDA 中，由已知，得225AP AD PD =+=，故5cos AD DAP AP ∠==. 所以，异面直线AP 与BC C（Ⅱ）证明：因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD .又因为BC //AD ，所以PD ⊥BC ，又PD ⊥PB ，所以PD ⊥平面PB C.10.【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.【解析】方法一：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC ．又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC ．又因为A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，故BC ⊥A 1F ．所以BC ⊥平面A 1EF ．因此EF ⊥BC ．（2）取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形．由于A 1E ⊥平面ABC ，故A 1E ⊥EG ，所以平行四边形EGFA 1为矩形．由（1）得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1，所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上．连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角（或其补角）．不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E ，EG O 为A 1G 的中点，故12A G EO OG ===， 所以2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∠==⋅．因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35． 方法二：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC .又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ．如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E –xyz ．不妨设AC =4，则A 1（0，0，B 1，0），1B ，3,2F ，C (0，2，0)．因此，3,2EF =u u u r ，(BC =u u u r ．由0EF BC ⋅=u u u r u u u r 得EF BC ⊥． （2）设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ．由（1）可得1=(310)=(0223)BC A C --u u u r u u u u r ，，，，，．设平面A 1BC 的法向量为n ()x y z =，，，由100BC A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r n n，得00y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 取n (11)=，故||4sin |cos |=5|||EF EF EF θ⋅==⋅u u u r u u u r u u u r ，n n n |， 因此，直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为35．2.【2017课标1，文6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ） A ． B ．C ．D ．【解析】本题考点是线面平行的判断问题，由题意可知：第二个选项中AB ∥MQ ，在直线AB ∥平面MNQ ，第三个选项同样可得AB ∥MQ ，直线AB ∥平面MNQ ，第四个选项有AB ∥NQ ，直线AB ∥平面MNQ ，只有选项A 不符合要求【答案】A2．空间中，可以确定一个平面的条件是（ ）A ．两条直线B ．一点和一条直线C ．一个三角形D ．三个点【解析】不共线的三点确定一个平面，C 正确；A 选项，只有这两条直线相交或平行才能确定一个平面；B 选项，一条直线和直线外一点才能确定一个平面；D 选项，不共线的三点确定一个平面.【答案】C3.在三棱锥A －BCD 的棱AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF ∩HG ＝P ，则点P （ ）A .一定在直线BD 上B .一定在直线AC 上 【模拟考场】C .在直线AC 或BD 上 D .不在直线AC 上，也不在直线BD 上【解析】如图所示，∵EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ACD ，EF ∩HG ＝P ，∴P ∈平面ABC ，P ∈平面ACD .又∵平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，∴P ∈AC ，故选B .【答案】B4.已知平面α和直线l ，则在平面α内至少有一条直线与直线l ( )A.平行B.垂直C.相交D.以上都有可能【解析】本题的考点是直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，若直线l 与平面α相交，则在平面α内不存在直线与直线l 平行，故A 错误；若直线l ∥平面α，则在平面α内不存在直线与l 相交，故C 错误；对于直线l 与平面α相交，直线l 与平面α平行，直线l 在平面α内三种位置关系，在平面α内至少有一条直线与直线l 垂直，故选B.【答案】B5.如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=︒，2BC AD =，PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为（ ）A ．90︒B ．75︒C ．60︒D ．45︒【解析】设1AD =，则2BC =，过A 作//AE CD 交BC 于E ，则AD CE =，过E 作//EF PB 交PC于F ，则AEF ∠即为为所求，如图所示，过F 作//FG CD 交PD 于G ，连接AG ，则四边形AEFG 是梯形，其中//FG AE ，12EF =G 作//GH EF 交AE 于H ，则GHA AEF ∠=∠，在GHA ∆中，1,,222GH EF AH AE FG AG ===-===则 222AG GH AH =+，所以90AEF ∠=︒，故选A.【答案】A6.不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，给出以下三个命题：①△ABC 中至少 有一条边平行于α；②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC 中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.【解析】直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，如图，三点A 、B 、C 可能在α的同侧，也可能在α两侧，其中真命题是①.【答案】①7.已知A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．【解析】本题考点反证法证明异面直线，异面直线所成的角.(1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以直线EF 与EG 所成的角即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，可得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.8.如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为3，M ，N 分别是棱AA 1，AB 上的点，且AM ＝AN ＝1.（1）证明：M ，N ，C ，D 1四点共面；（2）平面MNCD 1将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比.【解析】本题考点是多点共面的证明，平面分几何体的体积之比.（1）证明：连接A 1B ，在四边形A 1BCD 1中，A 1D 1∥BC 且A 1D 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形.所以A 1B ∥D 1C. 在△ABA 1中，AM ＝AN ＝1，AA 1＝AB ＝3，所以1AM AN AA AB， 所以MN ∥A 1B ，所以MN ∥D 1C.所以M ，N ，C ，D 1四点共面.（2）记平面MNCD 1将正方体分成两部分的下部分体积为V 1，上部分体积为V 2，连接D 1A ，D 1N ，DN ，则几何体D 1－AMN ，D 1－ADN ，D 1－CDN 均为三棱锥，所以V 1＝111D AMN D ADN D CDN V V V ---++＝13S △AMN ·D 1A 1＋13S △ADN ·D 1D ＋13S △CDN ·D 1D ＝13×12×3＋13×32×3＋13×92×3＝132. 从而V 2＝1111ABCD A B C D V -－V 1＝27－132＝412，所以121341V V =， 所以平面MNCD 1分此正方体的两部分体积的比为1341.。
北师大版七年级下册数学《两条直线的位置关系》相交线与平行线研讨说课复习课件
对顶角相等
探究新知
素养考点 1利用对顶角的性质求角的度数
例 如图,直线a,b相交，∠1=40°,求 ∠2,∠3,∠4的度数.
解：由平角的定义可知， ∠2=180°-∠1
=180°-40°=140°；
b
1（ 2
a
4 ）3
由对顶角相等可得，
12 43
58 67
所以∠2的补角有∠1,∠3,∠6和∠8.
连接中考
1.（2020•金昌）若α＝70°，则α的补角的度数是（ B ） A．130° B．110° C．30° D．20° 2.（2020•陕西）若∠A＝23°，则∠A余角的大小是（ B ） A．57° B．67° C．77° D．157°
DO
C
12 34
AN B
图2
图3
探究新知
将图2简化为图3，ON 与 DC 相交所成的 ∠ DON和∠CON
都等于90° ，且∠1=∠2．在图 3 中： （1）有哪些角互为补角？有哪些角互为余角？ 互补的角： ∠1与∠AOC， ∠1与∠BOD，
DO
C
12
34
∠互2余与的∠角B：OD∠，1与∠∠2与3，∠∠AO1C与，∠∠4，D∠ON2与与∠∠4N，O∠C.2与∠A3，N图3 B （2） ∠3与∠4有什么关系？为什么？
第一课时垂线的定义及性质 核心要点 1垂线的有关概念：两条直线相交成四个角，如果有一个角是 直角 ，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线 的 垂线 ，它们的交点叫做 垂足 。 2.垂线的性质： （1）平面内，过一点有且 只有一条 直线与已知直线垂直。 （2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段 最短。 3.点到直线的距离：过点A作直线L的垂线，垂足为B，线段 AB 的长度叫做点A到直线L的距离。
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在3D中的射线方程为p(t)=p0+td 平面方程为p·n=d
内容提要 交点的计算方法
线上的最近点 面上的最近点 相交性检测
线线相交 线面相交 AABB和面相交 面面相交 线球相交 球球相交 AABB和球相交 面和球相交 线和三角形相
交 线与AABB相交 两个AABB相交
解得
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
核心代码
如果q本来在AABB内部,则返回原来的点
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
《图形与游戏开发的3D数学》
相交性检测概述
内容提要 目的:检测两个几何图元是否相交,在某些情况下
线上的最近点 还要求出其相交的部分
面上的最近点 相交性检测
相交性检测是碰撞检测系统的基础,用来防止物 体互相穿越,或者使物体看起来好像互相被弹开
无穷多解,两条直线重合,分母为0
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
《图形与游戏开发的3D数学》
在3D中两条射线的相交性检测(1)
内容提要
线上的最近点 面上的最近点 相交性检测
线线相交 线面相交 AABB和面相交 面面相交 线球相交 球球相交 AABB和球相交 面和球相交 线和三角形相
所有动态测试总是涉及一个静态图元和一个动态 图元
线与AABB相交
两个AABB相交
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
《图形与游戏开发的3D数学》
在2D中两条隐式直线的相交性检测
内容提要
线上的最近点 面上的最近点 相交性检测
线线相交 线面相交 AABB和面相交 面面相交 线球相交 球球相交 AABB和球相交 面和球相交 线和三角形相
《图形与游戏开发的3D数学》
射线和平面的相交性检测(1)
内容提要
线上的最近点 面上的最近点 相交性检测
线线相交 线面相交 AABB和面相交 面面相交 线球相交 球球相交 AABB和球相交 面和球相交 线和三角形相
交 线与AABB相交 两个AABB相交
《图形与游戏开发的3D数学》
参数射线上的最近点
内容提要 在2D或3D中的射线参数方程: p(t)= p0 + td(0 ＃t l)
线上的最近点 d为单位向量
面上的最近点 目标:找出射线R上距定点q距离最短的点q’
相交性检测
注意事项
如果t<0或t>l,则p(t)不在R的 范围内.R上距q最近的点事原 点或是终点
要找到圆上距离q最近的点q’
||b|| = ||d|| － r
d- r
b=
d
d
q¢= q + b = q +
d-
r d
d
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
《图形与游戏开发的3D数学》
AABB上的最近点 相交性检测
目标:给定B是由极值点pmin和pmax定义的AABB 和任意点q,寻找B上距离q最近的点q’
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
《图形与游戏开发的3D数学》
平面上的最近点
内容提要 平面p的隐式方程: p·n=d, n为单位向量
线上的最近点 面上的最近点 相交性检测
目标:给定一点q,找到q在平面p上的投影点q’
p+an = q (p+an) ·n = q·n
p·n + (an) ·n = q·n
2D隐式直线上的最近点
内容提要 直线隐式方程: p·n=d
线上的最近点 面上的最近点 相交性检测
目标:找出直线L上距q距离最短的点q’
做一条经过q并平行于L的辅助线M 设nM和dM为直线M的法向量和d值
只需要将q沿着n的方向位移一定距离即可得到q’
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
线线相交 线面相交 AABB和面相交 面面相交 线球相交 球球相交 AABB和球相交 面和球相交 线和三角形相
交
静态测试:检测两个静止图元是否相交,返回一个 布尔值
动态测试:检测两个运动图元是否相交以及相交 的时间点.返回的结果包含一个布尔值和一个指 明相交时间点的值
《图形与游戏开发的3D数学》
在3D中两条射线的相交性检测(3)
内容提要 交点的分情况讨论
线上的最近点 面上的最近点 相交性检测
线线相交 线面相交 AABB和面相交 面面相交 线球相交 球球相交 AABB和球相交 面和球相交 线和三角形相
交 线与AABB相交 两个AABB相交
交 线与AABB相交 两个AABB相交
设两条直线的隐式方程为a1x+b1y=d1, a2x+b2y=d2 将方程组得
d1 b1
a1 d1
x d2 b2 , a1 b1
y a2 d2 a1 b1
a2 b2
a2 b2
若分母为0,则只有一个解
无解,直线是彼此平行的,分母为0
交 线与AABB相交 两个AABB相交
设两条射线的隐式方程为: r1(t1)=p1+t1d1 r2(t2)=p2+t2d2
两条射线的关系
交于一点
平行,没有交点 重合,有无限个交点 不在一个平面中
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
《图形与游戏开发的3D数学》
在3D中两条射线的相交性检测(2)
如果两条射线平行,d1和d2的向量积为0,分母为0
如果分母不为0,通过检查p1(t1)和p2(t2)即可确定两 条射线的相交情况(需给出一定的偏差值阈值)
上面的解法没有限定t1, t2的取值范围.如果射线的 长度有限,在计算出t1, t2后还应作适当的边界检测
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
d+a = q·n
a= q·n－d
将q沿着n的相反方向移动一段距离得到q’
q’=q+(d－q·n)·n
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
《图形与游戏开发的3D数学》
圆上的最近点
内容提要 目标:给定2D中的点q和圆心为c、半径为r的圆,
线上的最近点 面上的最近点 相交性检测