线线角与线面角

线线角与线面角
线线,线面,面面的平行与垂直,异面直线所成角,直线与平面所成角 异面直线所成角,直线与平面所成角 知识整合:
1.转化思想:将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形;⇔⇔⊥⇔⊥⇔⊥线线平行线面平行面面平行,线线线面面面
2.求角的三个步骤:一猜,二证,三算.猜是关键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方,然后再证
热点题型1
例1、如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，
13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB 的
中点
(Ⅰ)求证1AC BC ⊥; (Ⅱ) 求证11AC CDB 平面;
(Ⅲ)求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值
解析;异面直线所成角的平面角顶点O 的选取一般
选在两异面直线的端点处,初学者或观察能力有限者可采用穷举法,实行逐个端点考察,也有取在某线段的中点处.
解：（I ）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，
∴ AC ⊥BC ，且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ，∴ AC ⊥BC 1；
（II ）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，∵ D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴ DE//AC 1， ∵ DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴ AC 1//平面CDB 1； （III ）∵ DE//AC 1，∴ ∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角，
在△CED 中，ED=21AC 1=25，CD=21
AB=2
5，
CE=2
1
CB 1=22，
∴
8cos 5
5
22
CED ∠=
=
⋅，
1
A
1
A
∴ 异面直线 AC 1与 B 1C
所成角的余弦值
5
. 解法二： ∵直三棱锥111ABC A B C -底面三边长3,4,5AC BC AB ===，
1,,AC BC CC 两两垂直
如图建立坐标系，则C(0,0,0),A(3,0,0),C 1(0,0,4),B(0,4,0),B 1(0,4,4),D(3
2
,2,0) (Ⅰ)
11(3,0,0),(0,4,4)AC BC =-=,11110,AC BC AC BC ∴⋅=∴⊥
(Ⅱ)设1CB 与1C B 的交点为E ，则E(0,2,2)
13
(,0,2),(3,0,4),2DE AC =-=-
111
,//2
DE AC DE AC ∴=∴
111,,DE CDB AC CDB ⊂⊄平面平面 1//AC CDB ∴平面
(Ⅲ)
11(3,0,4),(0,4,4),AC CB =-
=
1111112cos ,5||||
AC CB AC
CB AC CB ∴<>=
=
∴异面直线1AC 与1B C 5
热点题型2
例2、如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，a B A A A AC AB AC A AB A ===∠=∠1111,,，侧面11BCC B 与底面ABC 所成的二面角为
120，E 、F 分别是棱A A C B 111、的中点
（Ⅰ）求A A 1与底面ABC 所成的角
（Ⅱ）证明E A 1∥平面FC B 1
（Ⅲ）求经过C B A A 、、、1四点的球的体积
1
解：（Ⅰ）过1A 作⊥H A 1平面ABC ，垂足为H ． 连结AH ，并延长交BC 于G ，
于是AH A 1∠为A A 1与底面ABC 所成的角． ∵AC A AB A 11∠=∠，∴AG 为BAC ∠的平分线． 又∵AC AB =，∴BC AG ⊥，且G 为BC 的中点． 因此，由三垂线定理BC A A ⊥1．
∵B B A A 11//，且B B EG 1//，∴BC EG ⊥．
于是AGE ∠为二面角E BC A --的平面角，即
120=∠AGE ． 由于四边形AGE A 1为平行四边形，得
601=∠AG A ．
（Ⅱ）证明：设EG 与C B 1的交点为P ，则点P 为EG 的中点．连结PF ． 在平行四边形1AGEA 中，因F 为A A 1的中点，故FP E A //1． 而⊂FP 平面FC B 1，⊄E A 1平面FC B 1，所以//1E A 平面FC B 1．
（Ⅲ）连结C A 1．在AC A 1∆和AB A 1∆中，由于AB AC =，AC A AB A 11∠=∠，
A A A A 11=，则
AC A 1∆≌AB A 1∆，故B A C A 11=．由已知得a C A B A A A ===111．
又∵⊥H A 1平面ABC ，∴H 为ABC ∆的外心．
设所求球的球心为O ，则H A O 1∈，且球心O 与A A 1中点的连线A A OF 1⊥．
在FO A Rt 1∆中，3
330cos 21
cos 111a
a
H AA F A O A === ．故所求球的半径a R 33=，球的体积3
327
3434a R V ππ==
． 热点题型3
例3、如图，在四棱锥P —ABC 右，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB=3，
BC=1，PA=2，E 为PD 的中点
（Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值； （Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ， 并求出N 点到AB 和AP 的距离
解法一：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别为A （0，0，0）， B （3，0，0），C （3，1，0），D （0，1，0）， P （0，0，2），E （0，
2
1
，2） 从而=（3，1，0），=（3，0，-2）设与的夹角为θ，则14
7
37
23|
|||cos =
=
⋅=
PB AC θ， ∴AC 与PB 14
7
3（Ⅱ）由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为（x ，0，z ），
则)
1,21
,(z x ME --=由NE ⊥面PAC
可得：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,
0,
0AC NE 即
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--,0)0,1,3()1,2
1
,(,0)2,0,0()1,2
1
,(z x z x
化简得⎪⎩
⎪⎨⎧==
⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-.1,63
.0213,01z x x z
即N 点的坐标为（
63，0，1），从而N 点到AB 、AP 的距离分别为16
3
解法二：（Ⅰ）设AC ∩BD=O ，连OE ，则OE//PB ，
∴∠EOA 即为AC 与PB 所成的角或其补角
在ΔAOE 中，AO=1，OE=
21
PB=27，AE=21PD=2
5
，∴
141731
2
7
245471cos =⨯⨯-
+
=
EOA 即AC 与PB 14
17
3 （Ⅱ）在面ABCD 内过D 作AC 的垂线交AB 于F ，则6
=
∠ADF
连PF ，则在Rt ΔADF 中DF=
3
3
tan ,332cos ===ADF AD AF ADF AD
设N 为PF 的中点，连NE ，则NE//DF ，
∵DF ⊥AC ，DF ⊥PA ，∴DF ⊥面PAC 从而NE ⊥面PAC
∴N 点到AB 的距离=21AP=1，N 点到AP 的距离=2
163。