人教版高中数学必修2学案：2.3.1直线与平面垂直的判定

2.3.1直线与平面垂直的判定
一、学习目标:
知识与技能：理解直线与平面垂直的定义, 掌握直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题. 理解直线与平面所成的角的定义及求法； 过程与方法：培养几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。

情感态度与价值观：亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣,同时培养从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知的能力。

二、学习重、难点
学习重点: 操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。

学习难点: 操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用 三、使用说明及学法指导:
1、限定45分钟完成，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。

2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。

3、对小班学生要求完成全部问题,实验班完成80%以上,平行班完成60%以上.
4、A 级是自主学习,B 级是合作探究,C 级是提升 四、知识链接：
直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 五、学习过程：自主探究 一、直线与平面垂直的判定 1、线面垂直的定义
A 问题1、结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义． (1)阳光下，直立于地面的旗杆A
B 与它在地面上的影子B
C 所成的角度是多少？
(2)随着太阳的移动,影子BC 的位置也会移动,而旗杆AB 与影子BC 所成的角度是否会发生改变?
(3)旗杆AB 与地面上任意一条不过点B 的直线B 1C 1的位置关系如何?依据是什么？ A 问题2、直线与平面垂直的定义
如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作：l ⊥α. 直线 l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足。

符号语言： 图形语言:
思想: 直线与平面垂直 直线与平面垂直
A 思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？
⇒a l l a αα
⎫
⇒⊥⎬⊥⎭
是平面内任一直线α
l
P
（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？即若
αα⊂⊥a l ,，则a l ⊥
2、直线与平面垂直的判定定理
A 问题3、请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD （如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD 、DC 与桌面接触）
（图1） （图2） （1）折痕AD 与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直？ A 问题4、直线与平面垂直的判定定理。

定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

符号语言： 图形语言:
思想: 直线与直线垂直直线与平面垂直
例1有一根旗杆AB 高8m ，它的顶端A 挂一条长10m 的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上）,C D ，如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m ，那么旗杆就和地面垂直，为什么？
A 问题5、如图，在长方体ABCD-A 1
B 1
C 1
D 1中，请列举与平面ABCD 垂直的直线。

并说明这些直线有怎样的位置关系？
⇒D
C B A
D
B
A
C
α
αα⊥⇒⎭
⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l n
l m l P n m n m ,,,l
α m
n
p
A
B C
D A 1
B 1
C 1
D 1
A 例2：如图5，已知α⊥a b a ,//，则α⊥b 吗？请说明理由。

小结:判断直线与平面垂直的方法
(1)定义法:(2)直接法:线面垂直的判定定理(3)间接法: 如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面即α⊥a b a ,//，则α⊥b 3、直线与平面所成的角 问题6: 斜线: 斜足:
斜线在平面上的投影: 直线和平面所成的角:
一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；(判断直线与平面垂直的方法4) 一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角． 例3:在正方体1111_ABCD A B C D 中,求: (1)直线1A B 和平面ABCD 所成的角
(2)直线1A B 和平面11A B C D 所成的角
▲ 小结：直线和平面所成角的步骤 ①作图—找出或作出直线在平面上的射影
②证明—证明所找或所作角即为所求角 ③计算—通常在三角形中计算角
六、达标检测:
1直线l 与平面α内的两条直线都垂直，则直线l 与平面α的位置关系是 （A ）平行 （B ）垂直 （C ）在平面α内 （D ）无法确定 2对于已知直线a ，如果直线b 同时满足下列三个条件：
①与a 是异面直线；②与a 所成的角为定值θ；③与a 距离为定值d 那么这样的直线b 有（ ）
（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）无数条
A
B
C
D A 1
D 1
C 1
B 1
3．如图，已知E ，F 分别是正方形ABCD 边AD ，AB 的中点，EF 交AC 于M ，GC 垂直于ABCD 所在平面．
求证：EF ⊥平面GMC ．
4．已知：空间四边形ABCD ，AB AC =，DB DC =， 求证：BC AD ⊥
七、总结评价：
直线与平面垂直的判定方法
1.定义：如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线，则此直线垂直于这个平面.
2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么此直线垂直于这个平面。

3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。

4.如果直线和平面所成的角等于90°,则这条直线和平面垂直
E D
C B A。